CHƯƠNG VIII CHUYỂN ĐỘNG KHÔNG ỔN ĐỊNH TRONG ỐNG CÓ ÁP - HIỆN TƯỢNG NƯỚC VA VÀ SỰ DAO ĐỘNG CỦA KHỐI NƯỚC TRONG THÁP ĐIỀU ÁP Unsteady Flow in bounded systems – Surge tanks and shafts ***
Trang 1CHƯƠNG VIII
CHUYỂN ĐỘNG KHÔNG ỔN ĐỊNH TRONG ỐNG CÓ ÁP - HIỆN TƯỢNG NƯỚC VA VÀ SỰ DAO ĐỘNG CỦA KHỐI NƯỚC
TRONG THÁP ĐIỀU ÁP Unsteady Flow in bounded systems – Surge tanks and shafts
***
A - PHƯƠNG TRÌNH CỎ BẢN DÒNG KHÔNG ỔN ĐỊNH TRONG ỐNG CÓ ÁP
I Phương trình liên tục của dòng chảy không ổn định
II Phương trình động lực của dòng chảy không ổn định trong ống có áp
B - HIỆN TƯỢNG NƯỚC VA
III Đặt vấn đề
IV Nước va khi đóng khóa tức thời
V Nước va khi đóng khóa từ từ
VI Tốc độ truyền sóng nước va trong ống
Trang 2CHƯƠNG VIII
CHUYỂN ĐỘNG KHÔNG ỔN ĐỊNH TRONG ỐNG CÓ ÁP - HIỆN TƯỢNG NƯỚC VA VÀ SỰ DAO ĐỘNG CỦA KHỐI NƯỚC
TRONG THÁP ĐIỀU ÁP Unsteady Flow in bounded systems – Surge tanks and shafts
Chuyển động không ổn định (KOĐ) là chuyển động mà các yếu tố thủy lực như lưu tốc, áp suất, tại mỗi điểm của không gian thay đổi theo thời gian tức là: u = u(x, y,
z, t), p = p( x, y, z, t ), ≠0
∂
∂ t
u
Ví dụ: Dòng chảy trên sông khi có lũ về, hoặc dòng chảy ở cửa sông khi có sự ảnh hưởng thủy triều, dòng chảy trong ống dẫn nước đến turbine của trạm thủy điện khi điều chỉnh độ mở của turrbine,
Ở chương nầy ta chỉ xét dòng chảy KOĐ trong ống có áp và cũng chủ yếu nghiên cứu về hiện tượng nước va và sự dao động của nước trong tháp điều áp của nhà máy thủy điện khi điều chỉnh độ mở của turrbine
Trước hết ta đi nghiên cứu các phương trình vi phân mô tả quá trình nầy
Trang 3A - PHƯƠNG TRÌNH CỎ BẢN DÒNG KHÔNG ỔN ĐỊNH TRONG ỐNG CÓ ÁP
I Phương trình liên tục của dòng chảy không ổn định
Trong dòng chảy, ta lấy một đoạn dòng giới hạn bởi hai mặt cắt ướt w1 và w2 cách
nhau độ dài vô cùng nhỏ dl Tại một thời điểm nhất định, khối lượng chất lỏng đi qua w1
để vào thể tích trên trong thời gian dt là: ρ.Q.dt; khối lượng chất lỏng ra khỏi w2 là:
[
l
∂ ρ
∂
+
ρ.Q ( Q).dl ].dt
Khối lượng chất lỏng trong đoạn đang xét (w1, w2 ) là ρ.w.dl Trong khoảng thời
gian dt thì khối lượng trong đoạn dòng sẽ thay đổi một lượng
t
dt )
dl w (
∂ ρ
t
) dl w ( dt ]
l
dl )
Q ( Q [ dt Q
∂
ρ
∂
=
∂ ρ
∂ + ρ
− ρ
t
) w ( l
) Q
∂
ρ
∂ +
∂
ρ
∂
Đối với chất lỏng không nén: ρ =const
Ta có: = 0
∂
∂ +
∂
∂
t
w l
Q
(8.1) Đây là phương trình liên tục của dòng chảy không ổn định của chất lỏng không nén được
Đối với dòng chảy không ổn định trong ống có áp thì diện tích ống w = const nên
0
=
∂
∂ t w Phương trình (8.1) viết thành :
=0
∂
∂ l
Q (8.2)
Do đó: Lưu lượng dọc theo chiều dài l của ống là hằng số: Q = Q(l)=const (8.3)
Có nghĩa là lưu lượng qua các mặt cắt đều như nhau tại một thời điểm nhất định, nhưng ở
các thời điểm khác nhau, lưu lượng có trị số khác nhau
II Phương trình động lực của dòng chảy không ổn định trong ống có áp
Ta có phương trình vi phân chuyển động ổn định Euler của chất lỏng lý tưởng viết theo
đường dòng dọc trục ống là :
Fl
-dt
du l
p =
∂
∂ ρ
1
(8.4)
dl W
Trang 4Vì u = u(l,t) nên : (u )
l t
u u l
u t
u dt
dl l
u t
u dt
du
2
2
∂
∂ +
∂
∂
=
∂
∂ +
∂
∂
=
∂
∂ +
∂
∂
=
Lực khối lượng ở đây là lực có thế nên :Fl = -
l
∂
π
∂ với π là hàm số thê
Phương trình (8.4) thành :
t
u )
u ( l l
p
∂
=
∂
∂
−
∂
∂ ρ
−
∂
π
∂
−
2
(8.5) Đối với chất lỏng không nén được, ta có:
t
u ) u p (
∂
−
= + ρ + π
∂
∂
2 2
Mà Fl = g =
-dl
dπ =>π = g.z
t
u g
) g
u p z (
∂
−
= + γ
+
∂
2
2
: Phương trình động lực của dòng nguyên tố viết cho một đơn vị trọng lượng chất lỏng lý tưởng
t
u g l
w h ) g
u p z (
∂
−
∂
′
∂
−
= + γ
+
∂
2
2
Đây là phương trình động lực của dòng nguyên tố viết cho một đơn vị trọng lượng chất
lỏng thực Để mở rộng cho toàn dòng cần tích phân :
t
u g
h )
g
u p z (
w
∂
−
∂
′
∂
−
= + γ
+
∂
∂
∫
∫
Sau đó ta nhân thêm với trọng lượng của dòng nguyên tố dQγ
t
u g dQ
h dQ
)
g
u p z (
w
w
γ
∂
∂
− γ
∂
′
∂
−
= γ + γ
+
∂
∂
∫
∫
∫ 22 l 1 (8.6)
Vì Q không đổi theo l nên ba tích phân trong phương trình trên viết thành :
dQ ) g
u p z ( l dQ )
g
u p z ( l
A
w
2 2
γ
+
∂
∂ γ
= γ + γ
+
∂
∂
g
v p z ( l Q A
2
2 1
α + γ
+
∂
∂ γ
= , trong đó α hệ số sửa chữa động năng
w w w
l Q dQ h dQ l
h
∂
∂ γ
=
′
∂
∂ γ
= γ
∂
′
∂
∫
A3 =
t
) w v ( g dw u t
g dw u t
u g dQ t
u g
0 w
2
w
∂ α
γ
=
∂
∂ γ
=
∂
∂ γ
= γ
∂
∂
∫
∫
t
v g
Q t
v v 2 w g dQ t
u g
1
o w
∂ γ α
=
∂
∂ α
γ
= γ
∂
∂
=∫ Thế vào phương trình (8.6) và đơn giản cho γQ, ta được :
t
v g l
h ) g
v p z ( l
0 w 2
∂
∂ α
−
∂
∂
−
=
α + γ
+
∂
∂ Tích phân phương trình nầy từ mặt cắt 1-1 đến mặt cắt 2-2 được
dl t
v g
h g
v p
z g
v p
z
l
l
∂ α + +
α + γ +
=
α + γ
2
1
0 2 1
2 2 2 2 2
2 1 1 1 1
2
2 (8.7)
Trang 5Đó chính là phương trình Becnoulli cho dòng không ổn định, ta có thêm số hạng:
hi = dl
t
v g l
l ∂
∂ α
∫2 1
0 (8.8)
Ý nghĩa vật lý của số hạng nầy biểu thị cột nước dùng để khắc phục quán tính của khối chất lỏng trong đoạn dòng 1-2 Vì thế cột nước hi1-2 gọi là cột nước quán tính
Nếu
t
v
∂
∂
>0 thì hi > 0
t
v
∂
∂
<0 thì hi < 0
Do đó đường tổng cột nước thay đổi có thể đi xuống, nằm ngang hoặc đi lên; điều nầy khác với dòng ổn định là đường tổng cột nước luôn đi xuống
Trang 6
B - HIỆN TƯỢNG NƯỚC VA
III Đặt vấn đề
Xét ống AB dẫn nước từ hồ chứa đến nhà máy thủy điện T; bình thường turrbine
làm việc với lưu lượng Q, ứng với nó lưu tốc trong ống là v0 Nếu do một nguyên nhân
nào đó mà yêu cầu dùng điện bên ngoài đột ngột thay đổi (giảm thấp một phần hoặc toàn
phần, hoặc gia tăng) thì turrbine phải giảm một phần, toàn phần hoặc mở thêm Vì thế lưu
lượng trong ống giảm nhỏ, ngừng hẳn hoặc gia tăng Do quán tính nên áp suất đột ngột
gia tăng hoặc giảm thấp rất lớn Đó là hiện tượng nước va trong đường ống
IV Nước va khi đóng khóa tức thời
Xét một ống tròn đơn giản dài l, đầu A có khóa đóng mở, đầu B nối với bể chứa
có mực nước không đổi Chọn A làm gôc, trục l hướng về bể chứa làm chiều dương Để
đơn giản trong phân tích vấn đề, ta tạm thời không xét đến tổn thất do ma sát và bỏ qua
cột nước lưu tốc
Ta gọi lưu tốc trong ống khi turrbine làm việc bình thường với độ mở toàn phần là
v0 và lưu tốc tại khóa trong quá trình đóng mở khóa là vc với vc = v (t)
Giả thiết ta đột nhiên đóng khóa hoàn toàn và tức thời, khi đó ở ngay tại khóa
dòng chảy ngừng lại, vc = 0
Sau một thời gian ∆t chỉ có một lớp nước aa-mm dài ∆l dừng lại và bị nén nên áp
suất tăng là ∆p trong khi đó lớp nước ở phía trên nó vẫn chảy về với lưu tốc và áp lực
như lúc bình thường
1 Trị số áp suất khi đóng khoá tức thời
Viết phương trình động lượng cho đoạn dòng ∆l ta được:
→
→
=
dt
) mu ( d dt dK
p0.w - (p0 + ∆p ).w = (
t
) v ( ) l w
∆
−
∆
Suy ra : .v0
t
l p
∆
∆ ρ
=
∆ (8.9)
Đặt c =
t
l
∆
∆
: Tốc độ truyền sóng nước va (8.10)
V 0
B
H0
A Tua-bin
l
Trang 7Thay vào (8.10) ta có công thức tính áp suất nước va:
∆p = ρ.c.v0 (8.11)
Hay:
g
v c
p = 0 γ
∆
(8.12) Trên đây là trường hợp đóng khóa hoàn toàn, nếu đóng khóa một phần thì v0 ≠ 0, phân
tích tương tự như trên ta thấy độ tăng áp suất là:
∆p = ρ.c(v0 -vc ) (8.13)
Hay:
g
) v v (
c
= γ
(8.14)
2 Chu kỳ nước va tại khóa
- Khoảng thời gian τ để sóng nước va truyền từ một vị trí nào đó về bể, rồi lại
truyền từ bể về vị trí đó gọi là một pha nước va
- Vậy pha nước va tại khóa là
c
L 2
=
τ , tại vị trí cách khóa một đoạn l là:
c
)
l
L
(
2
1
−
=
τ , còn tại đầu ống cạnh bể là :τL = 0
3 Tốc độ truyền sóng nước va
Khi phân tích hiện tượng nước va ta đã có:
c = ∆
∆
l
Trong đó: ∆l là độ dài của lớp nước bị nén lại sau thời gian ∆t Do nén lại nên khối
lượng riêng của nước ρ tăng lên từ ρ đến ρ+∆ρ, còn vỏ ống bị giãn ra làm cho diện tích
mặt cắt ngang ống tăng từ w lên w + ∆w Kết quả là khối lượng nước trong đoạn dài ∆l
tăng thêm:
∆m = (ρ + ∆ρ) ( w + ∆w ) ∆l - ρ.w ∆l = (ρ.∆w + w∆ρ) c ∆t (8.16)
(Bỏ qua vi phân bậc cao ∆w.∆ρ)
Trong khoảng thời gian ∆t ấy, tuy lớp nước ở đầu dưới đã dừng lại, nhưng ở đầu trên vẫn
chảy vào với lưu tốc v0 Do đó khối lượng nước chảy thêm vào đoạn ống ấy là ρ.w.v0 ∆t
Chính khối nước chảy thêm vào này đã làm khối lượng nước trong ống tăng thêm ∆m
Vậy ρ.w.v0 ∆t = ∆m = (ρ.∆w + w∆ρ).c ∆t (8.17)
Theo (8.11) ta có : ρ.v0 =
c
p
∆ Thay vào phương trình (8.15), sau khi thu gọn ta được:
c =
w
w
p
∆ ρ
∆
ρ +
ρ
∆
∆ 1
=
e
d E
K 1
K +
ρ (8.18)
Với K: Modun đàn hồi của nước K =
dw
dp w w
−
= β 1
E: Modun đàn hồi của vật liệu vỏ ống
d: Đường kính ống
e: Chiều dày vỏ ống
V Nước va khi đóng khóa từ từ
Trang 8Ở trên ta đã xét trường hợp đóng khóa tức thời, tại khóa lưu tốc ban đầu từ v0 đột
nhiên giảm xuống vc = 0 Thực tế thì sự đóng mở dù có nhanh đến đâu cũng phải trải qua
một khoảng thời gian nhất định
Đóng khoá từ từ là biện pháp quản lý để giảm áp suất nước va
Gọi thời gian đóng khoá là τd, ta có hai trường hợp:
1 Nếu thời gian đóng khóa ngắn hơn một pha nước va (τd< τ0) thì khi đóng khóa( t = τd<
τ0), sóng phản xạ giảm áp suất vẫn chưa về đến khóa nên độ tăng áp suất tại khóa được
tích lũy lại và bằng: ∆p=ρ.c.(v0 −vt)
Như vậy áp suất cực đại của nước va khi đóng khóa từ từ cũng bằng khi đóng khóa tức
thời, chỉ khác là áp suất cực đại trong trường hợp nầy không xuất hiện tức thời mà tăng
lên từ từ trong thời gian đóng khóa Ta gọi trường hợp nầy là nước va trực tiếp
2 Nếu thời gian đóng khóa dài hơn một pha nước (τd> τ0) thì lúc ( t = τ0 < τd), khóa vẫn
chưa đóng xong, nên lưu tốc mới giảm đến trị số vτo<v0, do đó áp suất nước va lúc nầy
bằng: ∆p = ρ.c(v0-vτ0) Ta gọi trường hợp nầy là nước va gián tiếp
Ở đây ta không đi sâu nghiên cứu lý luận về hiện tượng nầy mà chỉ giới thiệu một số
công thức để tính toán
Gọi λ(t) là độ mở của khóa, tức tỉ số giữa diện tích tháo nước qua tua bin Ω(t) tại thời
điểm t và diện tích lúc mở khóa hoàn toàn Ω0: λ(t)=
0 Ω
Ω )( t (8.19)
Gọi ξ là độ tăng áp lực tương đối:
0
0 H
p H
H γ
∆
=
∆
=
ξ (8.20)
Trong đó: H∆ : Cột nước tăng áp lực
γ
∆p
Ho: cột nước toàn dòng tác dụng lên Turbine
Giải phương trình truyền sóng nước va của N.E.Giu-cốp-ki với giả thiết rằng lưu
lượng qua khóa thì tỉ lệ với độ mở λ và căn bậc hai của cột nước áp suất tại khóa (H0 +
∆H), như qui luật dòng chảy qua lỗ vòi Ta đi đến công thức sau đây để tính áp suất nước
va tại khóa ở các thời điểm :
t = n.τ0 (n = 1,2,3,
0 τ
τd )
µ
ξ
−
−
= ξ + λ
2 1
n n
n B (8.21) Trong đó :
µ
ξ
− ξ + λ
−
−
−
2
1 1
1
n n n
n
B (8.22)
0
0 2gH
v c
=
µ (8.23)
Giải phương trình (8.21) ta tìm được ξn :
1
2
n = µ.(B +µλ −λ + µB +µ λ
ξ − − (8.24)
Lần lượt cho n = 1,2,3,
0 τ
τd , ta tìm được các giá trị ξ1,ξ2,ξ3 ξτd, từ đó tìm được ξmax
và có áp suất nước va cực đại là :
∆p = γ.ξmax.H0 (8.25)
Trang 9Đặc biệt nếu độ mở λ(t) thay đổi bậc nhất với thời gian, thì sau khi giải (8.21), A-li-ê-vi đưa ra kết luận sau :
a Hoặc là áp suất cực đại của nước va xuất hiện ở cuối pha thứ nhất (n = 1) còn sau đó bé hơn ( hình 14 ): ξmax = ξ1 Nước va như thế gọi là nước va thứ nhất Để tìm ξmax chỉ cần giải phương trình (8.23) với n = 1
b Hoặc là áp suất nước va cứ tăng dần cho tới khi đóng xong khóa ( n =
0 τ
τd ) thì đạt đến trị số lớn nhất Nước va như thế gọi là nước va giới hạn ( hình 15 ) ξmax = ξgh = ξτđ
Để phân biệt nước va thứ nhất hoặc nước va pha giới hạn ta dùng các chỉ số sau:
d
o H g
L v τ
=
Trong đó: vo: Tốc độ ổn định
L: Chiều dài ống
G: Gia tốc trọng trường
HO : Cột nước tác động
Tìm σqd =
0
0 0
2 1
1 4
µ
−
µλ
− λ
µ ( )
(8.26) Khi σ > σqđ, ta có nước va pha thứ nhất
σ < σqđ, ta có nước va giới hạn
Thí dụ 1: Cho một ống vào dẫn nước vào tuốc bin dài l = 570m, đường kính d = 500
mm, dày e = 9 mm, bằng thép có E = 2,03.1011 N/m2, lưu tốc trung bình trong ống là: v0
= 2 m/s, cột nước tĩnh H0 = 70 m
Tính tốc độ truyền sóng nước va và áp suất nước va trong hai trường hợp :
9 Đóng khóa tức thời, hoàn toàn
9 Đóng khoá hoàn toàn theo qui luật bậc nhất với thời gian t, trong thời gian τđ = 5 sec, ( cho K = 2,03.109 N/m2)
Giải:
Ta có : c = 1143m/s
9
500 10 03 , 2
10 03 , 2 1
1425 e
d E
K 1 K
11
+
= +
ρ
Khi đóng khóa tức thời, hoàn toàn áp lực nước va :
∆p = ρ.c.v0 = 1000.1143.2 = 2.286.103 KN/m2
Tương ứng cột nước :
∆H = 233m
81 , 9
10 286 , 2
γ
∆
Mặt khác : 2sec
1143
570 2 c
L 2
0 = = × =
τ < τđ = 5 sec Vậy ta có nước va gián tiếp
Ta đi tính σ và σqđ
Trang 10σ = 0333
5 70 81 9
570 2 0
,
,
H g
L V â
=
= τ
1,664
70 62 , 19
2 1143 gH
2
v c 0
×
×
=
=
µ
λ0 = 1
646 , 1 2 1
) 664 , 1 1 ( 664 , 1 4 ) 2 1 (
) 1
( 4
0
0
−
−
= µλ
−
µλ
− λ µ
Ta có : σ < σqđ
Vậy ta có nước va giới hạn
Với ξgh = .( 0,333 4 0,333) 0,392
2
333 , 0 ) 4 (
2
2
σ σ
Vậy áp suất nước va cực đại trong trường hợp nầy là:
∆p = γ.ξgh.H0 = 9,81.103 0,393.70 = 269,873 N/m2 tương đương với cột nước : ∆H = p = 0 , 393 70 = 27 , 5 m
γ
∆
Như vậy so với trường hợp tức thời, áp suất nước va đã giảm xuống gần 8,5 lần
Thí dụ 2:
Một ống dẫn nước vào turbine dài 540 m, có đường kính d = 1200mm dày 16 mm, turbine đang làm việc với độ mở toàn phần, ứng với lưu lượng Q = 5 m/s thì từ đóng lại theo qui luật sau :
t(s) 0 1 2 3 4
λ 1 0,6 0,3 0,1 0 Xác định áp suất cực đại của nước va và thời điểm xuất hiện áp suất nước va cực đại đó, cho biết H = 110 m , 0 , 01
L
K =
Giải:
Diện tích mặt cắt ống :
2 2
m 131 , 1 4
2 , 1 14 , 3 4
π
Lưu tốc ban đầu : v0 = 4 , 42 m / s
131 , 1
5 w
Tốc độ truyền sóng nước va:
, e
d E K Q
K
1080 16
1200 01 0 1
1425 1
= +
− +
Pha nước va tại khóa:
1 sec 4 sec
1080
540 2 2
1
0 = = = <τ =
τ
c L
Vậy là nước va gián tiếp Vì độ mở không thay đổi theo qui luật bậc nhất với thời gian , nên phải giải phương trình tổng quát với n lần lượt là 1, 2, 3, 4, 4
0
d = τ τ
Trang 11Ta đi tính : 222
110 62 19
42 4 1080
2 0
,
, gH
v c
=
=
= µ
Với n = 1 :
µ
ξ
− λ
= ξ + λ
2
0 1
1
0,6
22 2 2 1
1
ξ
−
= ξ
Giải ra ta dược : ξ1 =0,842
Với n = 2 :
µ
ξ
−
= ξ + λ
2
1 2
Ở đây : B1 =
µ
ξ
− ξ + λ
2
1 1
B1 = 0,6 062
44 4
842 0 842 0
,
,
Thay vào và giải ra ta được : ξ2 =0,91
Tương tự n = 3, được : ξ3 =0,42
n = 4 ξ4 =0,11
Vậy : ξmax =ξ2 =0,91
Có nghĩa là áp suất nước va cực đại xảy ra sau khi bắt đầu đóng khóa 2 séc và có giá trị bằng ∆p = γ.ξ.H0 = 9,81.103.0,91.110 = 981.000 N/m2
Tương đương với cột nước: ∆H = p =100m
γ
∆
Thí dụ 3 :
Chất lỏng chảy từ bình chứa theo ống dẫn ra ngoài , tìm sự biến thiên vận tốc theo thời gian của dòng chảy trong giai đoạn đầu , nếu biết hệ số hiệu chỉnh động năng là α , hệ số tổn thất dọc đường là λ , và hệ số tổn thất cục bộ từ bình qua ống là ξv , biết đoạn ống dài
là l , có đường kính d = const Xác định thời gian τ1 khi vận tốc trong ống đạt 990/0 trị số vận tốc dòng chảy dừng v0 ; tìm vận tốc v0 ở trạng thái chảy dừng và lưu lượng Q1 tại thời điểm τ1
Giải:
Phương trình Becnoulli cho dòng chất lỏng không dừng , theo điều kiện bài toán có dạng :
i w a
a
h h g
v p h
γ
= +
2
(a)
Trong đó : hw = h1 + hc =
g
v g
v d
2 2
2
2 ξ + λ
hi =
τ d
dv d
l : Tổn thất năng lượng do quán tính vì dòng không ổn định Đưa các biểu thức trên vào (a), ta được:
h =
τ λ
ξ α
d
dv d
l g
v d
l
2 ).
(
2 + +
+ (b)
