Tải Giải bài tập trang 43, 44 SGK Giải tích lớp 12: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số - Giải chi tiết bài tập Giải tích lớp 12

c) Điểm thuộc (C) có tung độ bằng 7/4 nên hoành độ của điểm đó là nghiệm của phương trình:.[r]

Toán 12 Giải tập trang 43, 44 SGK Giải tích lớp 12: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số

Bài (trang 43 SGK Giải tích 12): Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị các hàm số bậc ba sau:

a) y = + 3x - x3 ; b) y = x3 + 4x2 + 4x

c) y = x3 + x2 + 9x ; d) y = -2x3 +

Lời giải:

a)

- Tập xác định: D = R

- Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên: y' = - 3x2

y' = => x = ±1

+ Giới hạn:

+ Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến khoảng (1; )

Hàm số nghịch biến khoảng (-∞; -1) (1; +∞)

+ Cực trị:

Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là: ( 1; 0)

- Đồ thị:

Ta có x3 + 4x2 + 4x = x(x2⇒ + 4x + 4) =

⇒ x(x + 2)2 = => x = 0; x = -2

+ Giao với Ox: (0; 0) (-2; 0)

+ Giao với Oy: (0; 0) (vì y(0) = 0)

(Đồ thị hàm số nhận điểm (0; 2) làm tâm đối xứng.)

b)

- Tập xác định: D = R

- Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên: y' = 3x2 + 8x +

y' = => x = -2 x = -2/3

+ Giới hạn:

Đồ thị hàm số có điểm cực đại là: (-2; 0)

- Đồ thị:

Ta có + 3x - x3 = x = -1 ; x = 2⇒

+ Giao với Ox: (-1; 0) (2; 0)

c)

- Tập xác định: D = R

- Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên: y' = 3x2 + 2x + > x R∀ ∈

=> Hàm số đồng biến R khơng có điểm cực trị

+ Giới hạn:

- Đồ thị:

x -1

y 11 -9

d)

- Tập xác định: D = R

- Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên: y' = -6x2 ≤ x R∀ ∈

=> Hàm số ln nghịch biến R khơng có điểm cực trị

+ Giới hạn:

- Đồ thị:

x -1

y

Bài (trang 43 SGK Giải tích 12): Khảo sát tự biến thiên vẽ đồ thị các hàm số bậc bốn sau:

a) y = -x4 + 8x2 - ; b) y = x4 - 2x2 +

Lời giải:

a)

- Tập xác định: D = R

+ Chiều biến thiên: y' = -4x3 + 16x = -4x(x2 - 4)

y' = -4x(x2⇔ - 4) = => x = ; x = ±2

+ Giới hạn:

+ Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến khoảng (-∞; -2) (0; 2)

Hàm số nghịch biến khoảng (-2; 0) (2; +∞)

+ Cực trị:

Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là: (0; -1)

Đồ thị hàm số có hai điểm cực đại là: (-2; 15) (2; 15)

- Đồ thị:

Hàm số cho hàm số chẵn, vì:

y(-x) = -(-x)4 + 8(-x)2 - = -x4 + 8x2 - = y(x)

Do đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng

Ta có: -x4 + 8x2 - = => x = ±√(4 + √15) ; x = ±√(4 - √15)

+ Giao với Ox: điểm

b)

- Tập xác định: D = R

- Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên: y' = 4x3 - 4x = 4x(x2 - 1)

y' = 4x(x2⇔ - 1) = => x = ; x = ±1

+ Giới hạn:

+ Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến khoảng (-1; 0) (1; +∞)

Hàm số nghịch biến khoảng (-∞; -1) (0; 1)

Đồ thị hàm số có hai điểm cực tiểu là: (-1; 1) (1; 1)

Đồ thị hàm số có điểm cực đại là: (0; 2)

- Đồ thị:

Xác định tương tự a) ta có đồ thị:

c)

- Tập xác định: D = R

- Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên: y' = 2x3 + 2x = 2x(x2 + 1)

y' = 2x(x2⇔ + 1) = => x =

+ Giới hạn:

Hàm số đồng biến khoảng (0; +∞)

Hàm số nghịch biến khoảng (-∞; 0)

+ Cực trị:

Đồ thị hàm số có điểm cực đại là: (0; -3/2)

- Đồ thị:

Xác định tương tự a) ta có đồ thị:

d)

- Tập xác định: D = R

- Sự biến thiên:

y' = -4x(1 + x2) = => x = 0⇔

+ Giới hạn:

+ Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến khoảng (-∞; 0)

Hàm số nghịch biến khoảng (0; +∞)

+ Cực trị:

Đồ thị hàm số có điểm cực đại là: (0; 3)

- Đồ thị:

Bài (trang 43 SGK Giải tích 12): Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số phân thức:

Lời giải:

a)

- Tập xác định: D = R \ {1}

- Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

=> Hàm số nghịch biến (-∞; 1) (1; +∞)

+ Cực trị: Hàm số khơng có cực trị

+ Tiệm cận:

Vậy x = tiệm cận đứng

Vậy y = tiệm cận ngang

- Đồ thị:

+ Giao với Oy: (0; -3)

+ Giao với Ox: (-3; 0)

b)

- Tập xác định: D = R \ {2}

- Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

=> Hàm số đồng biến (-∞; 2) (2; +∞)

+ Cực trị: Hàm số cực trị

Vậy x = tiệm cạn đứng

Vậy y = -1 tiệm cận ngang

+ Bảng biến thiên:

- Đồ thị:

+ Giao với Oy: (0; -1/4)

+ Giao với Ox: (1/2; 0)

Xác định số điểm khác:

- Tập xác định: D = R \ {-1/2}

- Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

=> Hàm số nghịch biến (-∞; -1/2) (-1/2; +∞)

+ Cực trị: Hàm số khơng có cực trị

+ Tiệm cận:

Vậy x = -1/2 tiệm cận đứng

Vậy y = -1/2 tiệm cận ngang

+ Bảng biến thiên:

- Đồ thị:

+ Giao với Oy: (0; 2)

Bài (trang 44 SGK Giải tích 12): Bằng cách khảo sát hàm số, tìm số nghiệm phương trình sau:

a) x3 - 3x2 + = ;

b) -2x3 + 3x2 - = ;

c) 2x2 - x4 = -1

Lời giải:

a) x3 - 3x2 + = (1)

Số nghiệm phương trình (1) số giao điểm đồ thị hàm số y = x3 - 3x2 + trục hoành (y = 0)

Xét hàm số y = x3 - 3x2 + ta có:

- TXĐ: D = R

- Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên: y' = 3x2 - 6x = 3x(x - 2)

+ Giới hạn:

+ Bảng biến thiên:

- Đồ thị:

Đồ thị hàm số y = x3 - 3x2 + cắt trục hoành điểm Từ suy phương trình x3 - 3x2 + = có nghiệm

b) -2x3 + 3x2 - =

Số nghiệm phương trình (2) số giao điểm đồ thị hàm số y = 2x3 - 3x2 đường thẳng y = -2

Xét hàm số y = 2x3 - 3x2

- TXĐ: D = R

- Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên: y' = 6x2 - 6x = 6x(x - 1)

y' = => x = ; x =

+ Giới hạn:

+ Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số y = 2x3 - 3x2 cắt đường thẳng y = -2 điểm Từ suy phương trình 2x3 - 3x2 = -2 có nghiệm

Vậy phương trình -2x3 + 3x2 - = có nghiệm

c) 2x2 - x4 = -1 (3)

Số nghiệm phương trình (3) số giao điểm đồ thị hàm số y = 2x2 - x4 đường thẳng y = -1

Xét hàm số y = 2x2 - x4 ta có:

- TXĐ: D = R

- Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên: y' = 4x - 4x3 = 4x(1 - x2)

y' = => x = ; x = ±1

+ Giới hạn:

- Đồ thị:

Đồ thị hàm số y = 2x2 - x4 cắt đường thẳng y = -1 hai điểm Từ suy phương trình 2x2 - x4 = -1 có hai nghiệm phân biệt

Bài (trang 44 SGK Giải tích 12): a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số:

y = -x3 + 3x +

b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận số nghiệm phương trình sau theo tham số m:

x3 - 3x + m =

Lời giải:

- Tập xác định: D = R

- Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên: y' = -3x2 + = -3(x2 - 1)

y' = -3(x2⇔ - 1) = x = ±1⇔

+ Giới hạn:

+ Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến khoảng (-1; 1)

Hàm số nghịch biến khoảng (-∞; -1) (1; +∞)

+ Cực trị:

Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là: (-1; -1)

Đồ thị hàm số có điểm cực đại là: (1; 3)

- Đồ thị:

+ Giao với Oy: (0; 1)

b) Ta có: x3 - 3x + m = (*) -x3⇔ + 3x = m

⇔ -x3 + 3x + = m +

Số nghiệm phương trình (*) số giao điểm đồ thị hàm số (C) với đường thẳng (d): y = m +

Biện luận: Từ đồ thị ta có:

+ Nếu m + < –1 m < –2 (C ) cắt (d) điểm.⇔

+ Nếu –1 < m + < –2 < m < (C ) cắt (d) điểm.⇔

+ Nếu m + = m = (C ) cắt (d) điểm.⇔

+ Nếu m + > m > (C ) cắt (d) điểm.⇔

Từ suy số nghiệm phương trình x3 - 3x + m = phụ thuộc tham số m sau:

+ Phương trình có nghiệm m < -2 m >

+ Phương trình có nghiệm m = -2 m =

+ Phương trình có nghiệm nếu: -2 < m <

Bài (trang 44 SGK Giải tích 12): Cho hàm số

a) Chứng minh với giá trị tham số m, hàm số đồng biến khoảng xác định

b) Xác định m để tiệm cận đứng đồ thị qua A(-1, √2)

c) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m =

Lời giải:

a) Ta có:

Vậy hàm số ln đồng biến khoảng xác định

Vậy với m = tiệm cận đứng đồ thị qua A(-1, √2)

c) Với m = ta hàm số:

Xét hàm số ta có:

- TXĐ: D = R \ {-1}

- Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

=> Hàm số đồng biến D

+ Tiệm cận:

=> đồ thị có tiệm cận ngang y =

+ Bảng biến thiên:

Hàm số cực trị

- Đồ thị:

Bài (trang 44 SGK Giải tích 12): Cho hàm số

a) Với giá trị tham số m, đồ thị hàm qua điểm (-1; 1) ?

b) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số m =

c) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm có tung độ 7/4

Lời giải:

b) Với m = 1, ta có:

- TXĐ: D = R

- Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên: y' = x3 + x = x(x2 + 1)

y' = x(x2⇔ + 1) x = 0⇔

+ Giới hạn:

+ Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến (0; +∞) nghịch biến (-∞; 0)

+ Cực trị:

Hàm số có điểm cực tiểu (0; 1)

Bài (trang 44 SGK Giải tích 12): Cho hàm số:

y = x3 + (m + 3)x2 + - m (m tham số)

có đồ thị (Cm)

a) Xác định m để hàm số có điểm cực đại x = -1

b) Xác định m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành x = -2

Lời giải:

a) Ta có: y' = 3x2 + 2(m + 3)x = x[3x + 2(m + 3)]

y' = x[3x + 2(m + 3)] = x1⇔ ⇔ = 0; x2 = [-2(m + 3)]/3 = -2/3 m -

- Nếu x1 = x2 => -2/3 m - = => m = -3

Khi y' = 3x2 ≥ hay hàm số ln đồng biến R nên khơng có cực trị (loại)

Do để hàm số có cực trị m ≠ -3

Loại dựa vào bảng biến thiên ta thấy điểm cực đại x =

- Nếu x1 > x2 m < -3 ta có bảng biến thiên:⇔

Từ bảng biến thiên ta thấy điểm cực đại x = -2/3 m -

Để điểm cực đại x = -1 thì:

b) Đồ thị (Cm) cắt trục hoành x = -2 suy ra:

(-2)3 + (m + 3)(-2)2 + - m = (*)

=> -8 + 4(m + 3) + - m =

=> 3m + = => m = -5/3

(Giải thích *: Cắt trục hoành x = -2 nên tọa độ giao điểm (-2; 0) Thay tọa độ giao điểm vào phương trình hàm số ta (*).)

Bài (trang 44 SGK Giải tích 12): Cho hàm số

có đồ thị (G)

b) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số với m tìm

c) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị giao điểm với trục tung

Lời giải:

a) Đồ thị (G) qua điểm (0; -1) khi:

b) Với m = ta hàm số:

- TXĐ: D = R \ {1}

- Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

Hàm số nghịch biến D

+ Tiệm cận:

Đồ thị có tiệm cận đứng x =

Đồ thị có tiệm cận ngang y =

- Đồ thị:

+ Giao điểm với Ox: (-1; 0)

+ Giao điểm với Oy: (0; -1)

c) Đồ thị cắt trục tung điểm P(0;-1), phương trình tiếp tuyến điểm P(0; -1) là:

y = y'(0).(x - 0) - => y = -2x -

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = -2x -