c) Điểm thuộc (C) có tung độ bằng 7/4 nên hoành độ của điểm đó là nghiệm của phương trình:.[r]
(1)Toán 12 Giải tập trang 43, 44 SGK Giải tích lớp 12: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số
Bài (trang 43 SGK Giải tích 12): Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị các hàm số bậc ba sau:
a) y = + 3x - x3 ; b) y = x3 + 4x2 + 4x
c) y = x3 + x2 + 9x ; d) y = -2x3 +
Lời giải:
a)
- Tập xác định: D = R
- Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên: y' = - 3x2
y' = => x = ±1
+ Giới hạn:
+ Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến khoảng (1; )
Hàm số nghịch biến khoảng (-∞; -1) (1; +∞)
+ Cực trị:
Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là: ( 1; 0)
(2)- Đồ thị:
Ta có x3 + 4x2 + 4x = x(x2⇒ + 4x + 4) =
⇒ x(x + 2)2 = => x = 0; x = -2
+ Giao với Ox: (0; 0) (-2; 0)
+ Giao với Oy: (0; 0) (vì y(0) = 0)
(Đồ thị hàm số nhận điểm (0; 2) làm tâm đối xứng.)
b)
- Tập xác định: D = R
- Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên: y' = 3x2 + 8x +
y' = => x = -2 x = -2/3
+ Giới hạn:
(3)Đồ thị hàm số có điểm cực đại là: (-2; 0)
- Đồ thị:
Ta có + 3x - x3 = x = -1 ; x = 2⇒
+ Giao với Ox: (-1; 0) (2; 0)
(4)c)
- Tập xác định: D = R
- Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên: y' = 3x2 + 2x + > x R∀ ∈
=> Hàm số đồng biến R khơng có điểm cực trị
+ Giới hạn:
(5)- Đồ thị:
x -1
y 11 -9
d)
- Tập xác định: D = R
- Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên: y' = -6x2 ≤ x R∀ ∈
=> Hàm số ln nghịch biến R khơng có điểm cực trị
+ Giới hạn:
(6)- Đồ thị:
x -1
y
Bài (trang 43 SGK Giải tích 12): Khảo sát tự biến thiên vẽ đồ thị các hàm số bậc bốn sau:
a) y = -x4 + 8x2 - ; b) y = x4 - 2x2 +
Lời giải:
a)
- Tập xác định: D = R
(7)+ Chiều biến thiên: y' = -4x3 + 16x = -4x(x2 - 4)
y' = -4x(x2⇔ - 4) = => x = ; x = ±2
+ Giới hạn:
+ Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến khoảng (-∞; -2) (0; 2)
Hàm số nghịch biến khoảng (-2; 0) (2; +∞)
+ Cực trị:
Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là: (0; -1)
Đồ thị hàm số có hai điểm cực đại là: (-2; 15) (2; 15)
- Đồ thị:
Hàm số cho hàm số chẵn, vì:
y(-x) = -(-x)4 + 8(-x)2 - = -x4 + 8x2 - = y(x)
Do đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng
Ta có: -x4 + 8x2 - = => x = ±√(4 + √15) ; x = ±√(4 - √15)
+ Giao với Ox: điểm
(8)b)
- Tập xác định: D = R
- Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên: y' = 4x3 - 4x = 4x(x2 - 1)
y' = 4x(x2⇔ - 1) = => x = ; x = ±1
+ Giới hạn:
+ Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến khoảng (-1; 0) (1; +∞)
Hàm số nghịch biến khoảng (-∞; -1) (0; 1)
(9)Đồ thị hàm số có hai điểm cực tiểu là: (-1; 1) (1; 1)
Đồ thị hàm số có điểm cực đại là: (0; 2)
- Đồ thị:
Xác định tương tự a) ta có đồ thị:
c)
- Tập xác định: D = R
- Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên: y' = 2x3 + 2x = 2x(x2 + 1)
y' = 2x(x2⇔ + 1) = => x =
+ Giới hạn:
(10)Hàm số đồng biến khoảng (0; +∞)
Hàm số nghịch biến khoảng (-∞; 0)
+ Cực trị:
Đồ thị hàm số có điểm cực đại là: (0; -3/2)
- Đồ thị:
Xác định tương tự a) ta có đồ thị:
d)
- Tập xác định: D = R
- Sự biến thiên:
(11)y' = -4x(1 + x2) = => x = 0⇔
+ Giới hạn:
+ Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến khoảng (-∞; 0)
Hàm số nghịch biến khoảng (0; +∞)
+ Cực trị:
Đồ thị hàm số có điểm cực đại là: (0; 3)
- Đồ thị:
(12)Bài (trang 43 SGK Giải tích 12): Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số phân thức:
Lời giải:
a)
- Tập xác định: D = R \ {1}
- Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên:
=> Hàm số nghịch biến (-∞; 1) (1; +∞)
+ Cực trị: Hàm số khơng có cực trị
+ Tiệm cận:
Vậy x = tiệm cận đứng
Vậy y = tiệm cận ngang
(13)- Đồ thị:
+ Giao với Oy: (0; -3)
+ Giao với Ox: (-3; 0)
b)
- Tập xác định: D = R \ {2}
- Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên:
=> Hàm số đồng biến (-∞; 2) (2; +∞)
+ Cực trị: Hàm số cực trị
(14)Vậy x = tiệm cạn đứng
Vậy y = -1 tiệm cận ngang
+ Bảng biến thiên:
- Đồ thị:
+ Giao với Oy: (0; -1/4)
+ Giao với Ox: (1/2; 0)
Xác định số điểm khác:
(15)- Tập xác định: D = R \ {-1/2}
- Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên:
=> Hàm số nghịch biến (-∞; -1/2) (-1/2; +∞)
+ Cực trị: Hàm số khơng có cực trị
+ Tiệm cận:
Vậy x = -1/2 tiệm cận đứng
Vậy y = -1/2 tiệm cận ngang
+ Bảng biến thiên:
- Đồ thị:
+ Giao với Oy: (0; 2)
(16)Bài (trang 44 SGK Giải tích 12): Bằng cách khảo sát hàm số, tìm số nghiệm phương trình sau:
a) x3 - 3x2 + = ;
b) -2x3 + 3x2 - = ;
c) 2x2 - x4 = -1
Lời giải:
a) x3 - 3x2 + = (1)
Số nghiệm phương trình (1) số giao điểm đồ thị hàm số y = x3 - 3x2 + trục hoành (y = 0)
Xét hàm số y = x3 - 3x2 + ta có:
- TXĐ: D = R
- Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên: y' = 3x2 - 6x = 3x(x - 2)
(17)+ Giới hạn:
+ Bảng biến thiên:
- Đồ thị:
Đồ thị hàm số y = x3 - 3x2 + cắt trục hoành điểm Từ suy phương trình x3 - 3x2 + = có nghiệm
b) -2x3 + 3x2 - =
(18)Số nghiệm phương trình (2) số giao điểm đồ thị hàm số y = 2x3 - 3x2 đường thẳng y = -2
Xét hàm số y = 2x3 - 3x2
- TXĐ: D = R
- Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên: y' = 6x2 - 6x = 6x(x - 1)
y' = => x = ; x =
+ Giới hạn:
+ Bảng biến thiên:
(19)Đồ thị hàm số y = 2x3 - 3x2 cắt đường thẳng y = -2 điểm Từ suy phương trình 2x3 - 3x2 = -2 có nghiệm
Vậy phương trình -2x3 + 3x2 - = có nghiệm
c) 2x2 - x4 = -1 (3)
Số nghiệm phương trình (3) số giao điểm đồ thị hàm số y = 2x2 - x4 đường thẳng y = -1
Xét hàm số y = 2x2 - x4 ta có:
- TXĐ: D = R
- Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên: y' = 4x - 4x3 = 4x(1 - x2)
y' = => x = ; x = ±1
+ Giới hạn:
(20)- Đồ thị:
Đồ thị hàm số y = 2x2 - x4 cắt đường thẳng y = -1 hai điểm Từ suy phương trình 2x2 - x4 = -1 có hai nghiệm phân biệt
Bài (trang 44 SGK Giải tích 12): a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số:
y = -x3 + 3x +
b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận số nghiệm phương trình sau theo tham số m:
x3 - 3x + m =
Lời giải:
(21)- Tập xác định: D = R
- Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên: y' = -3x2 + = -3(x2 - 1)
y' = -3(x2⇔ - 1) = x = ±1⇔
+ Giới hạn:
+ Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến khoảng (-1; 1)
Hàm số nghịch biến khoảng (-∞; -1) (1; +∞)
+ Cực trị:
Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là: (-1; -1)
Đồ thị hàm số có điểm cực đại là: (1; 3)
- Đồ thị:
+ Giao với Oy: (0; 1)
(22)b) Ta có: x3 - 3x + m = (*) -x3⇔ + 3x = m
⇔ -x3 + 3x + = m +
Số nghiệm phương trình (*) số giao điểm đồ thị hàm số (C) với đường thẳng (d): y = m +
Biện luận: Từ đồ thị ta có:
+ Nếu m + < –1 m < –2 (C ) cắt (d) điểm.⇔
(23)+ Nếu –1 < m + < –2 < m < (C ) cắt (d) điểm.⇔
+ Nếu m + = m = (C ) cắt (d) điểm.⇔
+ Nếu m + > m > (C ) cắt (d) điểm.⇔
Từ suy số nghiệm phương trình x3 - 3x + m = phụ thuộc tham số m sau:
+ Phương trình có nghiệm m < -2 m >
+ Phương trình có nghiệm m = -2 m =
+ Phương trình có nghiệm nếu: -2 < m <
Bài (trang 44 SGK Giải tích 12): Cho hàm số
a) Chứng minh với giá trị tham số m, hàm số đồng biến khoảng xác định
b) Xác định m để tiệm cận đứng đồ thị qua A(-1, √2)
c) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m =
Lời giải:
a) Ta có:
Vậy hàm số ln đồng biến khoảng xác định
(24)Vậy với m = tiệm cận đứng đồ thị qua A(-1, √2)
c) Với m = ta hàm số:
Xét hàm số ta có:
- TXĐ: D = R \ {-1}
- Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên:
=> Hàm số đồng biến D
+ Tiệm cận:
(25)=> đồ thị có tiệm cận ngang y =
+ Bảng biến thiên:
Hàm số cực trị
- Đồ thị:
(26)Bài (trang 44 SGK Giải tích 12): Cho hàm số
a) Với giá trị tham số m, đồ thị hàm qua điểm (-1; 1) ?
b) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số m =
c) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm có tung độ 7/4
Lời giải:
(27)b) Với m = 1, ta có:
- TXĐ: D = R
- Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên: y' = x3 + x = x(x2 + 1)
y' = x(x2⇔ + 1) x = 0⇔
+ Giới hạn:
+ Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến (0; +∞) nghịch biến (-∞; 0)
+ Cực trị:
Hàm số có điểm cực tiểu (0; 1)
(28)(29)Bài (trang 44 SGK Giải tích 12): Cho hàm số:
y = x3 + (m + 3)x2 + - m (m tham số)
có đồ thị (Cm)
a) Xác định m để hàm số có điểm cực đại x = -1
b) Xác định m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành x = -2
Lời giải:
a) Ta có: y' = 3x2 + 2(m + 3)x = x[3x + 2(m + 3)]
y' = x[3x + 2(m + 3)] = x1⇔ ⇔ = 0; x2 = [-2(m + 3)]/3 = -2/3 m -
- Nếu x1 = x2 => -2/3 m - = => m = -3
Khi y' = 3x2 ≥ hay hàm số ln đồng biến R nên khơng có cực trị (loại)
Do để hàm số có cực trị m ≠ -3
(30)Loại dựa vào bảng biến thiên ta thấy điểm cực đại x =
- Nếu x1 > x2 m < -3 ta có bảng biến thiên:⇔
Từ bảng biến thiên ta thấy điểm cực đại x = -2/3 m -
Để điểm cực đại x = -1 thì:
b) Đồ thị (Cm) cắt trục hoành x = -2 suy ra:
(-2)3 + (m + 3)(-2)2 + - m = (*)
=> -8 + 4(m + 3) + - m =
=> 3m + = => m = -5/3
(Giải thích *: Cắt trục hoành x = -2 nên tọa độ giao điểm (-2; 0) Thay tọa độ giao điểm vào phương trình hàm số ta (*).)
Bài (trang 44 SGK Giải tích 12): Cho hàm số
có đồ thị (G)
(31)b) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số với m tìm
c) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị giao điểm với trục tung
Lời giải:
a) Đồ thị (G) qua điểm (0; -1) khi:
b) Với m = ta hàm số:
- TXĐ: D = R \ {1}
- Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên:
Hàm số nghịch biến D
+ Tiệm cận:
Đồ thị có tiệm cận đứng x =
Đồ thị có tiệm cận ngang y =
(32)- Đồ thị:
+ Giao điểm với Ox: (-1; 0)
+ Giao điểm với Oy: (0; -1)
c) Đồ thị cắt trục tung điểm P(0;-1), phương trình tiếp tuyến điểm P(0; -1) là:
y = y'(0).(x - 0) - => y = -2x -
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = -2x -