Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Chuyên đề 2 - KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ - Lê Hoành Phò - File word | Toán học, Lớp 12 - Ôn Luyện

điểm cực trị lập thành một tam giác có trọng tâm là gốc tọa độ.. Đồ thị không có TCĐ..[r]

CHUYÊN ĐỀ - KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

1 KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Tính lồi lõm đồ thị:

Hàm số f xác định K khoảng, đoạn nửa khoảng.

f gọi lõm K   , ,  1: f xy  f x  f y ,x y, 0

f gọi lồi K   , ,  1: f xy  f x  f y ,x y, 0

Cho hàm số yf x  liên tục có đạo hàm cấp K

f lõm K  f '' x   0, x K

f lồi K  f '' x   0, x K

Điểm uốn đồ thị:

Điểm U x f x 0;  0  gọi điểm uốn đường cong  C :yf x  tồn khoảng a b; 

chứa điểm x0 cho khoảng a x; 0 , x b0;  tiếp tuyến điểm U nằm phía đồ thị cịn

ở khoảng tiếp tuyến nằm phía đồ thị

Cho hàm số yf x  có đạo hàm cấp khoảng a b;  chứa điểm x0 Nếu f '' x 0 f '' x

đổi dấu x qua điểm x0 U x f x 0;  0  điểm uốn đường cong  C : yf x 

Chú ý:

1) Nếu yp x y  ''r x  tung độ điểm uốn x0 y0 r x 0

2) Nếu f lồi đoạn a b;  GTLN max f a f b ;  

3) Nếu f lõm đoạn a b;  GTNN min f a f b ;  

Khảo sát vẽ đồ thị hàm đa thức: gồm bước: Bước 1: Tập xác định

- Xét tính chẵn, lẻ có Bước 2: Sự biến thiên - Tính giới hạn

- Tính đạo hàm cấp một, xét dấu

- Lập bảng biến thiên khoảng đồng biến, nghịch biến cực đại, cực tiểu Bước 3: Vẽ đồ thị

- Tính đạo hàm cấp hai, xét dấu để điểm uốn hàm đa thức - Cho vài giá trị đặc biệt, giao điểm với hai trục tọa độ

- Vẽ đồ thị

Bốn dạng đồ thị hàm bậc 3: y ax3 bx2 cx d a, 0

     có tâm đối xứng điểm uốn

Bốn dạng đồ thị hàm trùng phương: y ax4 bx2 c a, 0

   

Đường tiệm cận

- Đường thẳng x x gọi tiệm cận đứng đồ thị hàm số yf x 

điều kiện sau thỏa mãn:

       

0 0

lim ; lim ; lim ; lim

xx f x  xx f x  xx f x   x x  f x  

- Đường thẳng yy0 gọi tiệm cận ngang đồ thị hàm số yf x  xlim f x  y0   

 

lim

x   f x y

- Đường thẳng y ax b a  , 0 gọi tiệm cận xiên đồ thị yf x 

   

lim

x  f x  ax b   xlim   f x   ax b  

Chú ý:

1) Nếu chia tách yf x  ax b r x    xlim r x 

   tiệm cận xiên: y ax b 

2) Biểu thức tiệm cận :

2

b

x  x bx c  x

Bước 1: Tập xác định - Tìm tập xác định - Xét tính chẵn, lẻ có Bước 2: Chiều biến thiên

- Tính giới hạn, tìm tiệm cận - Tính đạo hàm cấp một, xét dấu

- Lập bảng biến thiên khoảng đồng biến, nghịch biến cực đại, cực tiểu Bước 3: Vẽ đồ thị

- Cho vài giá trị đặc biệt, giao điểm với hai trục tọa độ - Vẽ đồ thị, lưu ý tâm đối xứng giao điểm tiệm cận

Hai dạng đồ thị hàm hữu tỉ bậc 1/1: y ax b cx d

 

 với c0,ad bc 0

Bốn dạng đồ thị hàm hữu tỉ:  

2

0, '

' '

ax bx c

y a a

a x b

 

  



Chú ý:

1) Từ đồ thị  C :yf x  suy đồ thị:

 

y f x cách lấy đối xứng qua trục hoành

 

yf  x cách lấy đối xứng qua trục tung

 

y f  x cách lấy đối xứng qua gốc

 

y f x cách lấy phần đồ thị phía trục hồnh, cịn phần phía trục hồnh đối xứng qua trục hồnh

 

2) Bài toán biện luận số nghiệm phương trình dạng g x m  , 

Đưa phương trình dạng f x  h m  vế trái hàm số xét, vẽ đồ thị  C :yf x 

Số nghiệm số giao điểm đồ thị  C với đường thẳng y h m  

3) Điểm đặc biệt họ đồ thị: Cm :yf x m , 

- Điểm cố định họ điểm mà đồ thị qua:

     

0 0; m , 0, ,

M x y  C m y f x m m

- Điểm mà họ không qua điểm mà khơng có đồ thị họ qua với tham số:

   

0 0; m

M x y  C , m y0 f x m 0, m

Nhóm theo tham số áp dụng mệnh đề sau:

0, 0,

Am B  m A B

2 0, 0, 0, 0

Am Bm C  m A B C 

0, 0,

Am B  m A B

2 0, 0, 0, 0

Am Bm C  m A B C 

hoặc A  0, B2 4AC0

2 CÁC BÀI TOÁN

Bài tốn 2.1: Tìm điểm uốn khoảng lồi lõm đồ thị: a) y x3 2x2 x 1

    b) y x 48x29

Hướng dẫn giải a) D  Ta có y' 3 x2 4x1, '' 6y  x

2 2

'' ; '' ; ''

3 3

y   x y   x y   x

Vậy điểm uốn 29; 37

I  

 , hàm số lồi khoảng

2 ;

3

 

 

 

  lõm khoảng

;

 



 

 

b) D  Ta có y' 4x3 16 , '' 12x y x2 16 0 x

     

Vậy đồ thị khơng có điểm uốn hàm số lõm  Bài tốn 2.2: Tìm điểm uốn khoảng lồi lõm đồ thị:

a)

2 2 3

1

x x

y

x

 



 b)

2

5

x y

x

 

a) D \ 1 Ta có

2 2 3 6

3

1

x x

y x

x x

 

   

 

Nên

 2  3

6 12

' , '' 0,

1

y y x

x x

     

 

'' 1; ''

y   x  y   x 

Vậy đồ thị khơng có điểm uốn, hàm số lồi khoảng   ; 1 lõm khoảng 1;

b) D \ 5  Ta có

 2  3

11 22

' , '' 0,

5

y y x

x x



    

 

'' 5; ''

y   x y   x

Vậy đồ thị khơng có điểm uốn, hàm số lồi khoảng  ;5 lõm khoảng 5; .

Bài toán 2.3: Chứng minh với a, đồ thị hàm số 2

1

x a y

x x

 

  ln có ba điểm uốn thẳng hàng Hướng dẫn giải

Ta có:      

   

2 2

2

2

1 2 1

'

1

x x x a x x ax a

y

x x x x

       

 

   

 

 

 

3

3

2 3 1

''

1

x ax a x

y

x x

   



 

 

3

'' 3 1

y   x  ax  a x 

Đặt f x x33ax23a 1x 1,x 

Ta có: f  0  1 0, f 1  1

   

lim , lim

x   f x   x  f x  đồng thời hàm số liên tục tập số thực nên phương trình

 

f x  có ba nghiệm phân biệt thuộc khoảng   ; , 1;0 , 0;    

Giả sử hoành độ điểm uốn x0 nên

 

3

0 3 1

x  ax  a x  

Ta có: x033ax023ax03a 3 x03a

x0 3a 1x02 x0 1 3x0 a

Suy   

 

2

0 0

0

0 2

0 0

3 1 3 1

1 3

x a x x

x a x a

y

x x x x

   

  

  

   

Vậy điểm uốn đồ thị thuộc đường thẳng 3

x a

y   nên chúng thẳng hàng

Bài toán 2.4: Cho hàm số: yx3 6x23mx m 2, m tham số. a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m 3

b) Tìm m cho đồ thị hàm số cho có điểm cực đai, cực tiểu A B mà khoảng cách AB 4 65

Hướng dẫn giải a) Khi m 3 hàm số trở thành y x3 6x2 9x 1

   

 Tập xác định D 

 Sự biến thiên: y' 3 x2 12x9

'

y   x  x

Bảng biến thiên:

x   

'

y + − +

y 3 

  −1

Hàm số đồng biến khoảng  ;1 3;, nghịch biến 1;3 Hàm số đạt cực đại

x  , yC Ð 3 đạt cực tiểu x3,yCT 1

• Đồ thị:

'' 12

y  x ,

''

y   x

nên tâm đối xứng điểm uốn I2;1

Cho x 0 y 1

b) Ta có y' 3x2 12x 3m

  

Đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu phương trình '

y  có hai nghiệm phân biệt   ' 36 9 m0 m4

Theo định lý Viet

1

4

x x

x x m

 

 

 

Ta có y12m 8x1m2,y22m 8x2m2

 22 2 8 2 12

AB x  x  m x  x

  2 22

1 2m  x x 4x x 

    

 

4m2 32m 65 16 4 m

   

nên AB 4 65 4m2 32m 65 16 4 m 1040

     

 

3 2

4m 48m 193m m m4 48m 193

       

0

m

  (thỏa mãn) Vậy m 0

Bài toán 2.5: Cho hàm số:  1 3 2

3

y x  m x  m x có đồ thị Cm với m tham số.

a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m 2

b) Tìm m để đồ thị Cm có hai điểm phân biệt có hồnh độ dấu tiếp tuyến Cm

điểm vng góc với đường thẳng d x:  3y 1

Hướng dẫn giải

a) Khi m 2 hàm số trở thành

3

y x x  x

 Tập xác định D 

 Sự biến thiên: y'2x22x4;

'

y   x  x

Bảng biến thiên

x   −1 

'

y − + +

y  5

Hàm số đồng biến khoảng 1;2 nghịch biến khoảng   ; 1, 2;

Hàm số đạt cực tiểu x 1 yCT 4, đạt cực đại x 2 yC Ð 5

 Đồ thị:

Đồ thị cắt Oy 0;

 



 

 ,

''

y  x ,

1 ''

2

y   x nên đồ thị nhận điểm uốn 1; 2

I  

  làm tâm đối xứng

b) y' 2x2 2m 1x 3m 2

    

Hệ số góc d x:  3y 1

k 

Tiếp tuyến Cm điểm vng góc với đường thẳng d x:  3y 1 y '

 

 

2

2

2 3

2

x m x m

x m x m

      

     

Phương trình có hai nghiệm x x1, thỏa mãn x x 1

 2   3

'

1

3 1

0 3

3

m

m m

m m

m m m

            

  

     

      



  

 

Vậy m  3 hay 1

3

m

   

Bài toán 2.6: Cho hàm số 3

6 2

y x  x  x Tìm m để hai điểm A, B thuộc đồ thị  C có tung độ m

và gốc O tạo thành tam giác OAB cân O.

Hướng dẫn giải

Hai điểm A, B thuộc đồ thị  C có tung độ m nên thuộc đường thẳng d y m: 

Hoành độ giao điểm d đồ thị  C nghiệm phương trình 3 6x  2x  2x m Phương trình x3 3x2 9x 12 6m 0

Đường thẳng d cắt  C A, B thỏa mãn tam giác OAB cân O

5 17

2

0

m

m



  

 

 



phương trình (1)

có nghiệm x1,x x1, (trong x1, x1 hồnh độ A, B)

Khi x x1, nghiệm phương trình    2

1

x  x x x 

Phương trình  x3 x x2 2 x x x x12  12 0 (2)

Đồng hệ số (1) (2):

2 2

3

12

x x

x x m

  

 

  



Suy 12 27

2

m m

   

Bài toán 2.7: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số a) y x3 3x2 4x 2

    b) y x 3 3x23x1

Hướng dẫn giải a) y x3 3x2 4x 2

   

 Tập xác định D 

 Sự biến thiên xlim  y  xlim y

Ta có y'3x26x 0, x nên hàm số nghịch biến  Hàm số khơng có cực trị

Bảng biến thiên

x   

'

y −

y 

 

 Đồ thị: y''6x6, '' 0y 

1

x

  nên đồ thị có điểm uốn I1;0

Cho x 0 y2 Cho y 0

  

3

2

3

1 2

x x x

x x x x

     

      

b) y x3 3x2 3x 1

 Tập xác định D 

 Sự biến thiên: xlim  y  xlim y

Ta có y' 3 x2 6x 3 3x12  0, x nên hàm số đồng biến , hàm số khơng có cực trị

Bảng biến thiên:

x   

'

y + −

y 

 

 Đồ thị: y'' 6 x 6, '' 0y 

1

x

  nên đồ thị có điểm uốn I1;2

Cho x 0 y1

Bài toán 2.8: Cho hàm số: y x3 3m 3x2 3m2 3m 5 x 1

       , m tham số Tìm m để đồ thị của

hàm số cho đạt cực đại, cực tiểu x x1, thỏa mãn x1x2 x x1 7

Hướng dẫn giải

D ,

   

2

' 3

y  x  m x m  m

   

2

' 3

y   x  m x m  m 

Hàm số cực đại, cực tiểu x x1, phương trình có nghiệm phân biệt

1

4

, '

3

x x    m   m

Ta có x1x2 2m ; x x1 m2 3m5

Do x1x2 x x1 7 2m 323m 7

2

2

2

5 11

5 11

1

5 11 18

m m

m m m m

m

m m m m

   

       

 

      

      

 

 

Kết hợp chọn:

m

 

a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m 3

b) Tìm m để đồ thị hàm số cho có điểm cực trị lập thành tam giác vuông. Hướng dẫn giải

a) Khi m 3, hàm số trở thành y x4 6x2 5

  

 Tập xác định D , hàm số chẵn

 Sự biến thiên: y' 4 x312x4x x 2 3

' 0

y   x x 

Bảng biến thiên

x    3 

'

y − + − +

y  5 

−4 −4

Hàm số đồng biến khoảng  3;0 ,  3; nghịch biến khoảng   ; 3 ; 0; 3 Hàm số đạt cực đại x0,yC Ð 5 đạt cực tiểu x 3,yCT 4

 Đồ thị: Đồ thị hàm số nhận Oy trục đối xứng

b) Ta có D  y' 4 x x 2 m

 

' 0

y   x x  m   x x2 m



Hàm số có điểm cực trị  y' 0 có nghiệm phân biệt  m0 Khi điểm cực trị đồ thị hàm số là:

 ; 2 , 0;2 ,  ; 2 1

Vì hàm số chẵn nên tam giác ABC cân B Oy , A C đối xứng qua Oy.

ABC tam giác vuông  tam giác ABC vuông cân B

2

AC AB m m m

      m 0

Vậy chọn m 1

Bài toán 2.10: Cho hàm số: y x4 mx2 2m 1

    , với m tham số Tìm m để đồ thị hàm số cho có điểm cực trị cho điểm cực trị với gốc tọa độ đỉnh hình thoi

Hướng dẫn giải Ta có y' 4 x3 2mx

3

2

0

'

2

x

y x mx

x m

 

     

 

Đồ thị hàm số có điểm cực trị phương trình y ' có nghiệm phân biệt  m0 Khi điểm cực trị:

 

2

; , 0;2 , ;

2 4

m m m m

A   m  B m C   m 

   

Vì tam giác ABC cân B, AC song song Ox nên O, A, B, C đỉnh hình thoi OABC hình thoi

 O B đối xứng qua

2

O B

A

y y

AC   y

2

2

2

2

2

m m

m m m



       

2

m

   (thỏa mãn) Vậy m  2

Bài toán 2.11: Cho hàm số: yx4 2mx2m2m, với m tham số

a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m 2

b) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành Ox điểm phân biệt A, B, C, D cho AB BO OC CD   Hướng dẫn giải

a) Khi m 2 hàm số trở thành y x4 4x2 2

  

 Tập xác định D , hàm số chẵn

 Sự biến thiên: y'4x38x4x x 2 2

' 0

y   x  x

x    2 0 2 

'

y + − + −

y 6 6

   

Hàm số đồng biến khoảng   ; 2 0; 2 ; nghịch biến khoảng  2;0

 2; Hàm số đạt cực tiểu điểm x 0, giá trị cực tiểu yCT 2; hàm số đạt cực đại điểm

2

x  , giá trị cực đại yC Ð 6

 Đồ thị: nhận Oy trục đối xứng

b) Cho y 0 x4 2mx2 m2 m 0

      

Đặt t x t2, 0

  PT: t22mt m 2 m0

Đồ thị cắt trục hoành điểm phân biệt phương trình bậc có nghiệm dương phân biệt t1t2

2 2

2

'

2 0

0

m m m m m

S m m

P m m m m

       

 

      

 

    

 

1

2

1

0

2

1

m m

m m

m



  

 

       

   



Vì đồ thị đối xứng qua trục tung nên giao điểm A, B, C, D thỏa mãn AB BO OC CD  

2 2 41

t  t  t  t

Do 12 2  

1

5

4.4 25

4

t m

m m m

t m m

 

   



 



2

42m 25m m

     hay 25

41

m 

Ta chọn 25 41

m 

Bài toán 2.12: Cho hàm số 2

y x  x 

a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số

b) Tìm m để phương trình x4 8x26 m có nghiệm phân biệt

Hướng dẫn giải

a) 2

4

y x  x 

 Tập xác định D  Hàm số chẵn

 Sự biến thiên: y'x3 4x x x  2 4

' 0

y   x hay x 2

Bảng biến thiên

x   −2 

'

y − + − +

y   3 

−1 −1

Hàm số đồng biến khoảng 2;0 ; 2;  , hàm số nghịch biến khoảng   ; 2;

0;2 Hàm số đạt cực đại x0;yC Ð 3, đạt cực tiểu x2,yCT 1

b) Ta có phương trình

4 8 12 2 3

4

m

x  x  m x  x  

Đồ thị C' hàm số 2

y x  x  suy từ đồ thị  C cách giữ ngun phần nằm

phía Ox, cịn phần nằm phía Ox lấy đối xứng qua Ox.

Số nghiệm phương trình 2

4

m

x  x   giao điểm đồ thị C' đường thẳng

m

y 

Dựa vào đồ thị, phương trình có nghiệm phân biệt khi:

0

4

m

m

    

Bài toán 2.13: Cho hàm số: 3 1 2 1

4

y x  m x  m , với m tham số Tìm m để đồ thị hàm số có 3

điểm cực trị lập thành tam giác có trọng tâm gốc tọa độ Hướng dẫn giải

   

3

' 3

y x  m x x x   m 

 

2

' 0

y   x  x  m

Hàm số cho có điểm cực trị 1

m m

     

Khi điểm cực trị đồ thị là: A0;2m 2, B 6m2; 9 m2 4m1

 6 2; 9 4 1

C m  m  m

O trọng tâm tam giác ABC  yAyB yC 0

 

2m 2 9m 4m

      

2

2

9

1

m

m m

m

  

     

 



Chọn giá trị

m 

Bài toán 2.14: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số

a) yx4 2x25 b)

4

2

2

x

y x 

Hướng dẫn giải a) y x4 2x2 5

  

 Tập xác định D  Hàm số chẵn

 Sự biến thiên xlim  y  xlim y 

 

3

' 4 , ' 0

y  x  x x x  y   x

BBT

x   

'

y + −

y 5

   

Hàm số đồng biến khoảng  ;0 nghịch biến khoảng 0;

Hàm số đạt cực đại điểm x0 :yC Ð 5

 Đồ thị: y''12x2 0, x nên đồ thị khơng có điểm uốn

Cho y 0 x 6 1

b)

4

2

2

x

y x 

 Tập xác định D : Hàm số chẵn

 Sự biến thiên: xlim y

 

3

' 2 , ' 0

BBT

x   0 

'

y − +

y  

−3/2

Hàm số đồng biến khoảng

0;, nghịch biến khoảng  ;0

đạt cực tiểu 0;

 



 

 

 Đồ thị: y'' 6 x2 2 0,x nên đồ thị khơng có điểm uốn

Giao điểm với trục tung 0;

 



 

 , giao điểm với trục hoành   1;0

 1;0

Bài tốn 2.15: Tìm đường tiệm cận đồ thị hàm số sau:

a)

3

2

2

x y

x x

 

 b)

2

2

1

5

x x

y

x x

  

  

Hướng dẫn giải a) D \ 0;2  suy TCĐ: x 0 x 2

Ta có

3

2

2

2

2

x x

y x

x x x x

 

   

  nên TCX: y x 2

b) \ 1;3

5

D   

 

 suy TCĐ: x 1

x 

Ta có lim

x y nên TCN:

1

y 

Bài tốn 2.16: Tìm đường tiệm cận đồ thị hàm số sau:

a) y x

x

  b) y x2 4x 3

  

Hướng dẫn giải a) D 0; Ta có xlim0y



 nên TCĐ: x 0 (khi x 0

 )

Ta có lim  lim

x  y x x  x nên TNX:

y x (khi x  )

Gọi y ax b  TCN, TCX thì:

2

1

4

lim lim lim 1

x x x

y x x

a

x x x x

     

 

      ;

   

1 xlim xlim

b y x x x x

          2 4

lim lim

4

4 1 1

x x

x x

x x x

x x                 

Vậy tiệm cận xiên: y x  (khi x  )

2

4

lim lim

x x

y x x

a x x           2 4

lim lim 1

x x

x

x x

x x x

    

  

    

   

2 xlim xlim

b y x x x x

    

     

2

2

4

lim lim

4

4 1

x x

x x

x x x x x

x x                    4 lim 2 1 x x x x x              

Vậy tiệm cận xiên: y x2 (khi x   )

Cách khác: y x2 4x3 x  x2 4x 3 x 2

và lim 2

x  x  x  x  suy TCX

Bài toán 2.17: Tùy theo m, tìm tiệm cận đồ thị:

a) 1 x mx y x     b) 3 mx y x x    

Hướng dẫn giải

a) Ta có

2

1

1 ,

1

x mx m

y x m x

x x

  

     

- Khi m 2 lim  1 lim

x x

m

y x m

x

   



    

 nên y x m  1 tiệm cận xiên Ta có:

2 1 lim x x mx x      

Khi m  2

2 1 lim x x mx x      

 m  2 nên TCĐ x 1

- Khi m 2  

2 1 x y x  

 (với

x  ), đồ thị đường thẳng (trừ điểm 1;0) nên trùng với tiệm

cận xiên

b) Ta có:

3

2

1

3

3

mx mx m

y mx m

x x x x

  

   

   

Khi m 1

3

2

1

, 1,

3 2

x x x

y x x

x x x

  

   

  

Khi

8

m 

   

3

2

8

, 1,

8

8

x x x

y x x

x x x          

Từ suy ra: Với m 1 x 2 tiệm cận đứng

Với

8

m  x 1 tiệm cận đứng

Với m 1

m  đồ thị có hai tiệm cận đứng x 1 x 2

Ta có lim   lim 2

3

x x

mx m

y mx m

x x

   

 

   

  nên đồ thị có TCN, TCX: y mx 3m

Bài toán 2.18: Cho đường cong    

2

2

:

m

x m x

C y

x m

  





a) Tìm m để tiệm cận xiên Cm qua A1;1

b) Tìm m để giao điểm hai tiệm cận nằm  P y: x23

Hướng dẫn giải

a) Ta có  

 

2

2

lim lim

x x

x m x

y

x x x m

               

2

lim lim

x x

x m x

y x x

x x m

   

    

    



 

2

2 2

lim

x

x m x x mx

m x m

 

    

  



Suy phương trình tiệm cận xiên y2x 1 m

TCX qua A1;1 khi: 2.1 1   m m2

b) Đồ thị có tiệm cận đứng xm Từ suy giao điểm hai tiệm cận Im;1 3 m

Giao điểm nằm đường cong y x2 3

 

 2

1 3 m  m  3 m 3m  2 m1 m 2

Bài toán 2.19: Cho hàm số    

2 1 2

1 m

x m x

y C

x

  



 Tìm m để tiệm cận xiên Cm tạo với trục tọa độ thành tam giác có diện tích 18

Hướng dẫn giải

Hàm số 2, \ 1

1

m

y x m D

x



    

 

Ta có xlimy x m

     nên tiệm cận xiên d Cm có phương trình y x m  Giao điểm d

với Ox: A m ;0, giao điểm d với Oy: B0;m

Diện tích tam giác OAB 2

S  m

Điều kiện 18 18

2

S   m   m

Bài toán 2.20: Cho hàm số: 1

x y

x

 



a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị  C hàm số

b) Suy đồ thị 1

x y

x

 



Hướng dẫn giải

a)

1

x y

x

 



 Tập xác định D \ 1 

 Sự biến thiên: Ta có: limx 1 y

   limx 1y

 

Vì xlim  yxlim y2 nên đường thẳng y 2 tiệm cận ngang đồ thị

Ta có:

 2

1

' 0,

1

y x

x



   



Bảng biến thiên

x   1 

'

y − −

y 

2

 

Hàm số nghịch biến khoảng  ;1 , 1;  

 Đồ thị: Đồ thị  C cắt Ox 1;0

 

 

  cắt Oy   0;1

 C nhận giao điểm I0;2 hai tiệm cận làm tâm đối xứng

b) Ta có

2

1

2 1

2

1

1

x

x

x x

y

x x

x x

 

 

  

 



 



 



nên đồ thị C' giữ nguyên phần bên phải tiệm cận đứng x 1

Bài toán 2.21: Cho hàm số: 2

x y

x

 



a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị  C hàm số

b) Lập phương trình tiếp tuyến  C , biết tiếp tuyến cắt đường tiệm cận đứng A, cắt đường tiệm cận

ngang B mà OB2OA

Hướng dẫn giải

a) 2

1

x y

x

 



 Tập xác định D \ 1

 Sự biến thiên: Ta có xlim 1 y

 



 1

lim

x y

 

 

Do đường thẳng x 1 tiệm cận đứng

Ta có xlim  yxlim y2 nên đường thẳng y 2 tiệm cận đứng

 2

4

' 0,

1

y x

x

   



Hàm số đồng biến khoảng   ; ; 1;  

 Đồ thị: Đồ thị  C cắt Ox 1;0, cắt Oy 0; 2 , nhận giao điểm I  1;2 hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng

b) Phương trình tiếp tuyến M x y 0; 0   C x, 1

   

0

2

0

2

4 :

1

x

d y x x

x x



  

Giao điểm d với tiệm cận đứng x 1 0 1; x A x          ;

Giao điểm d với tiệm cận ngang y 2 B x 2 1;2

Do  

2

2 0

0

0

2

2 2

1

x

OB OA x

x                  

2

2 0 0

0 2

0

0 0 0

0

0

4 12

2

2 13

1

2

2

4 12

1 2 7 11 0

2

1

x x

x x VN

x x

x

x

x x x

x x                                      137

x  

  Thế vào d có tiếp tuyến cần tìm.

Bài tốn 2.22: Cho hàm số: x y x    a) x y x   

 Tập xác định: D \ 1 

 Sự biến thiên: Ta có limx 1 y

 

lim

x y

  

Do đường thẳng x 1 tiệm cận đứng

Vì xlim  yxlim y1 nên đường thẳng y 1 tiệm cận ngang

Ta có

 2

1

' 0,

1

y x

x

   



Bảng biến thiên

x   1 

'

y + +

y  1

1  

Hàm số đồng biến khoảng  ;1 , 1;  

b) Vì x 1 khơng nghiệm nên phương trình

   

2 5

1

x

x x m m

x



      



Ta có:

2

2

2 1

2

1

1

x

x

x x

y

x x

x x

 

 

  

 



 

 

 



Suy đồ thị C'

1

x y

x

 

 gồm phần  

C ứng với x 2 đối xứng phần  C ứng với

2

x  qua trục hồnh

Số nghiệm phương trình số giao điểm đồ thị C' đường thẳng y m  5:

Xét m  5 hay m  5 hay m   5

m

  hay m 5 hay m 4 phương trình có nghiệm

Xét 0m 1  5m6 phương trình có nghiệm Xét   1 m 0  4m5 phương trình vơ nghiệm

Bài tốn 2.23: Cho hàm số:

2

m x y

x

 

 , với m tham số Tìm m để đường thẳng d: 2x2y 0 cắt đồ thị

tại hai điểm A, B cho tam giác OAB có diện tích

S 

Hướng dẫn giải

Phương trình hồnh độ giao điểm

2

x m x x

 

 



 

2

2x x m 0,x

     

 2  

17

17 16

66

2 2 2

m m

m m



   

 

 

   

    

 

  

Ta có

1

1

x x

x x m



 

 

  



nên AB x2 x12 y2 y12

 12  12

2

2 17 16

2

x x x x x x m

      

Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến d 2

h 

1 17 16

17 16

2 2 2

OAB

m

S  AB h  m  

Nên 17 16

8 8

OAB

m

S      m (thỏa mãn)

Bài toán 2.24: Cho hàm số

x y

x

  

 Tìm  H điểm A, B cho độ dài AB 4 đường thẳng

AB vng góc với đường thẳng y x .

Hướng dẫn giải

Vì đường thẳng AB vng góc với y x nên phương trình AB là:

yx m .

Hoành độ A, B nghiệm phương trình

x

x m x

 

 



 

2 3 2 1 0, 2

x m x m x

      

Điều kiện phương trình có hai nghiệm phân biệt x x1, khác 2:

   

 

2 2

3 2 0,

4 2 1 0,

m m m m m

m m m

         

 

      

 

luôn thỏa mãn Ta có x1x2  m 3; x x1 2m1

Nên AB2 16 x2 x12 y2 y12 16

x2 x12  x2 m x1 m2 16

       

x2 x12 x1 x22 4x x1

m 32 2 m 1

    

2 2 3 0 3 1

m m m m

       

Với m 3 phương trình: x2 6x 7 0 x 3 2

     

Nên A, B có tọa độ 3 2; , 3   2; 2 Với m 1, tương tự hai điểm A, B có tọa độ:

1 2; 2  , 3   2; 2  2

Bài toán 2.25: Cho hàm số

2

2

1

x x

y

x

 

 

a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị  C hàm số

b) Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm dương phân biệt:

  

2 2 5 2 5 1

x  x  m  m x

Hướng dẫn giải

a)

2 2 5 4

1

1

x x

y x

x x

 

   

 

 Tập xác định D \ 1

 Sự biến thiên:

 

2

2

4

' , ' 1,

1 1

x x

y y x x

x x

 

      

 

Bảng biến thiên

x   −3 −1 1 

'

y + − − +

y −4  

Hàm số đồng biến   ; , 1;  , nghịch biến 3; , 1;1   

Hàm số đạt CĐ 3; 4  , CT 1;4

Ta có xlim 1 y , limx  1 y

   

   nên TCĐ: x 2

 

 

lim lim

1

x  y x x x  nên TCX:

1

y x 

 Đồ thị:

Cho x 0 y5

Tâm đối xứng giao điểm tiệm cận I  1;0

b) Vì x 1 khơng nghiệm nên phương trình cho tương đương với:

2

2

2

2

1

x x

m m

x

 

  

 Số nghiệm phương trình số giao điểm đồ thị hàm số

2 2 5

1

x x

y

x

 



 với đường thẳng

2 2 5

y m  m

Phương trình có hai nghiệm dương khi:

2

4 5

2

m

m m

m

 

     

  



Bài toán 2.26: Cho hàm số

2

2

2

x x

y

x

 

 

a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị  C hàm số

Hướng dẫn giải

a) Ta có

2

y x x

  

 Tập xác định D \ 2 

 Sự biến thiên: xlim2 y

 

lim

x y

   nên TCĐ: x 2

 

lim lim

2

x  y x x x  nên TCX:

y x .

 2

3

'

2

y

x

  

 với x 2 nên hàm số đồng biến khoảng  ;2 2;

Bảng biến thiên:

x   2 

'

y + +

y  

   

 Đồ thị:

Cho

2

x  y

0 1;

y  x x

b) Điểm M x y ;    C có tọa độ nguyên x  ước số nên x  2 1,

Giao điểm tiệm cận I2;2 chuyển trục phép tịnh tiến vectơ : 2

x X OI

y Y

 

 

  



Đồ thị    

 

3

: 2

2

C Y X Y X

X X

      

 

Vì Y F X : X X

  hàm số lẻ nên đồ thị  C nhận gốc I2;2 làm tâm đối xứng

Bài toán 2.27: Cho hàm số

2

1

x y

x

 

a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số Tính góc tiệm cận

b) Biện luận theo m số nghiệm PT:

2 1 1

x m

x m

 



Hướng dẫn giải

a) y x x

 

 Tập xác định D \ 0  Hàm số lẻ

 Sự biến thiên:

2

1

' x , '

y y x

x



    x 1

0

lim ; lim

x  y x y

     nên TCĐ: x 0

 

lim lim

x  y x x x  nên TCX:

y x .

Bảng biến thiên

x   −1 0 1 

'

y + − − +

y −2  

   

 Đồ thị: Đối xứng qua gốc O.

TCĐ: x 0, TCX: y x nên hai tiệm cận hợp góc 45°.

b) Số nghiệm phương trình

2 1 1

x m

x m

 

 số giao điểm đồ thị với đường thẳng  

2 1

m

y f m

m



 

Nếu 1 m m 

 

2 1

2 0,

m

m m

m



    , PT có nghiệm

Nếu 1 m m 



2 1 m m m 

   m 1 PT có nghiệm

Cịn m 0 PT vơ nghiệm

Bài tốn 2.28: Cho hàm số  

2 1 mx mx y x     a) Tìm điểm cố định đồ thị hàm số (1)

b) Khảo sát vẽ đồ thị  C m 1 Suy đồ thị hàm số

2 1 x x y x    

Hướng dẫn giải a) Gọi M x y 0; 0 điểm cố định đồ thị (1):

 

2 0 0 0 01 1 , , 1

m x x

mx mx

y m y m

x x           

0 0

0

0

0

0,

0

1

x x x

x y y x                  

Vậy đồ thị luôn qua M0; 1 

b) Khi m 1

2 1 1

1 x x y x x x       

 Sự biến thiên

   

2

2

1

' , ' 0,

1

x x

y y x x

x x



      

 

Bảng biến thiên:

x   

'

y + − − +

y −1  

   

 Đồ thị

Ta có

2 1

1

x x

y

x

 



 hàm số chẵn nên đồ thị C' đối xứng qua Oy.

Khi x 0 lấy phần đồ thị  C , sau lấy đối xứng phần qua Oy đồ thị C' .

3 BÀI LUYỆN TẬP

Bài tập 2.1: Tìm khoảng lồi, lõm điểm uốn đồ thị: a) y 31 x

  b) y 5x2

Hướng dẫn giải

a)

 2    2

3

1

' ; ''

3 1

y y

x x x

 

  

  

b)

 

2 2

5

' ; '' 0,

5 5

x

y y x

x x x

   

  

Kết đồ thị lõm  Bài tập 2.2: Tìm tham số để đồ thị: a) y f x  x3 ax2 x b

     nhận I1;1 làm điểm uốn

b) y f x  x4 mx2 3

    có điểm uốn

Hướng dẫn giải a) f x'  3x2 2ax1; ''f  x 6x 2a Kết a 3 b 2

b) Kết m 0

Bài tập 2.3: Cho hàm số: y x3 3m 1x2 9x m

     , với m tham số.

a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m 1

b) Tìm m để đồ thị hàm số cho đạt cực trị x x1, cho x1 x2 2

Hướng dẫn a) Khi m 1 yx3 6x29x

b) Kết  3 m  1  1 3m1

Bài tập 2.4: Cho hàm số: y 2x3 3m 1 x2 m

    , với m tham số.

a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m 2

b) Tìm m để đồ thị hàm số cho có hai điểm cực trị cho điểm I3;1 nằm đường thẳng qua cực trị

Hướng dẫn a) Khi m 2 y 2x3 3x2 2

  

b) Lấy y chia y' Kết

m 

Bài tập 2.5: Cho hàm số y x4 3x2 2

  

a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị  C hàm số.

b) Tìm số m dương để đường thẳng y m cắt  C tai hai điểm A, B cho tam giác OAB vuông gốc tọa độ O.

b) Kết a 2

Bài tập 2.6: Tìm đường tiệm cận đồ thị hàm số sau:

a)

3

1

x x

y x

  

 b)

2 1

y x x 

Hướng dẫn a) Chia tử cho mẫu thức để tách bậc

Kết TCĐ: x 1 x 1; TCX: y x .

b) Kết TCX: y2x (khi x  ); TCN: y 0 (khi x   ) Bài tập 2.7: Tìm m để tiệm cận xiên đồ thị:

a)  

2

2x m x

y

x m

  



 qua  

1;1

H

b)

2

1

x mx

y

x

 



 tạo với trục tọa độ thành tam giác có S 1 Hướng dẫn

a) Tìm TCX tọa độ H1;1 vào TCX Kết m 2

b) Kết m  1

Bài tập 2.8: Cho hàm số: 1

x y

x

 



a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị  C hàm số cho

b) Tìm điểm M đồ thị  C cho tổng khoảng cách từ M đến đường thẳng 1: 2x y  0

2:x 2y

    nhỏ

Hướng dẫn

a) Tập xác định D \ 1 

 2

2 '

1

y x

 



b) Kết M1 2;1 , M1 2;1 2

Bài tập 2.9: Cho hàm số:

x y

x

 



a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị  C hàm số cho

b) Viết phương trình tiếp tuyến  C biết khoảng cách từ tâm đối xứng  C đến tiếp tuyến 2

a) Tập xác định D \ 1

 2

4 '

1

y x





b) Kết y x 2;y x

Bài tập 2.10: Cho hàm số: 1

x y

x

 



a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị  C hàm số

b) Với giá trị m, đường thẳng d y:  x m cắt  C hai điểm A, B thỏa mãn AB  10

Hướng dẫn

a) Tập xác định D \ 1 

 2

3 '

1

y x

 



b) Kết m 0 hay m 6

Bài tập 2.11: Cho hàm số

2 4

x y

x

 

a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị  C hàm số.

b) Tìm m cho đường thẳng y m x   2 4 cắt đường cong  C hai điểm thuộc hai nhánh

Hướng dẫn

a) Tập xác định D \ 0 

2

4

' x

y x

x x



  

b) Điều kiện phương trình hồnh độ giao điểm có nghiệm khác dấu Kết m 1

Bài tập 2.12: Cho hàm số  

2 1 2

1

x m x

y

x

  





a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số m 2

b) Xác định m để hàm số đạt cực trị x x1, cho x x 1

Hướng dẫn

a) Khi m 2

2 2

1

x x

y

x

  

