- Vẽ các điểm cự trị của đồ thị hàm số, vẽ các giao với các trục.. - Dựa vào bảng biến thiên hoàn thiện đồ thị.[r]
(1)Ôn thi tốt nghiệp và CĐ, ĐH hàm số Chuyên đề Khảo sát và vẽ đồ thị Chuyên đề KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ I Tính đơn điệu hàm số y f ( x) Định nghĩa: Cho hàm số y f ( x) xét trên khoảng K D Khi đó - Hàm số gọi là đồng biến trên khoảng K x1 x2 K f ( x1 ) f ( x2 ) (Ý nghĩa đồ thị: Hàm số đồng biến có đồ thị lên từ trái sang phải trên khoảng đó) - Hàm số gọi là nghịch biến trên khoảng K x1 x2 K f ( x1 ) f ( x2 ) (YN Đồ thị: Hàm số nghịch biến có đồ thị xuống từ trái sang phải trên khoảng đó) Định lý: Cho hàm số y f ( x) có đạo hàm trên khoảng K D Khi đó - Nếu f ( x) x K thì hàm số y f ( x) đồng biến trên K - Nếu f ( x) x K thì hàm số y f ( x) nghịch biến trên K (Nếu hàm số đồng biến nghịch biến trên K gọi chung là đơn điệu trên K ) Quy tắc Tìm tập xác định Tính đạo hàm f ( x) Tìm các điểm xi (i 1,2, , n) mà đó f ( xi ) f ( x) không xác định Lập bảng xét dấu f ( x) Kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số Ví dụ Ví dụ Xét tính đơn điệu các hàm số sau: a) y x3 x x b) y x x 3 x2 x 3x c) y d) y x 1 1 x Đáp án a) Hàm số đồng biến trên các khoảng (;2) và (4; ) Hàm số nghịch biến trên khoảng (2;4) b) Hàm số đồng biến trên các khoảng (1;0) và (1; ) Hàm số nghịch biến trên khoảng (; 1) và (0;1) c) y x hàm số đồng biến trên các khoảng (;1) và (1; ) (1 x) x2 x d) y x hàm số đồng biến trên các khoảng (;1) và (1; ) (1 x) Ví dụ Xét tính đơn điệu các hàm số sau: a) y x3 x b) y x3 x Giáo viên: Hạ Trọng Liên Giang Trường THPT Nguyễn Thị Lop12.net (2) Ôn thi tốt nghiệp và CĐ, ĐH hàm số Chuyên đề Khảo sát và vẽ đồ thị 2x d) y x x x 1 Đáp án a) Hàm số đồng biến trên các khoảng (;0) và (2; ) Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;2) b) Hàm số đồng biến trên khoảng (0;2) Hàm số nghịch biến trên các khoảng (;0) và (2; ) c) y x 1 hàm số đồng biến trên các khoảng (; 1) và (1; ) ( x 1) d) Hàm số đồng biến trên các khoảng (1;0) và (1; ) Hàm số nghịch biến trên khoảng (; 1) và (0;1) Ví dụ Xét tính đơn điệu các hàm số sau: x a) y b) y x x x 4 Đáp án a) Hàm số đồng biến trên khoảng (2;2) Hàm số nghịch biến trên các khoảng (; 2) và (2; ) b) Hàm số đồng biến trên khoảng (0;1) Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;2) II Cực trị hàm số y f ( x) Định nghĩa Cho hàm số y f ( x) xác định và liên tục trên khoảng (a; b) và điểm x0 (a; b) +) Nếu tồn số h cho f ( x) f ( x0 ) x ( x0 h; x0 h) và x x0 thì ta nói hàm số y f ( x) đạt cực đại x0 +) Nếu tồn số h cho f ( x) f ( x0 ) x ( x0 h; x0 h) và x x0 thì ta nói hàm số y f ( x) đạt cực tiểu x0 Chú ý: - Nếu hàm số y f ( x) đạt cực đại (cực tiểu) x0 thì x0 gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) hàm số, f ( x0 ) gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) hàm số (ký hiệu là fC§ ( fCT ) Điểm M ( x0 ; f ( x0 )) gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) đồ thị hàm số - Các điểm cực đại và cực tiểu gọi chung là điểm cực trị hàm số Định lý Giả sử hàm số y f ( x) liên tục trên khoảng K ( x0 h; x0 h) và có đạo hàm trên K K \ x0 , với h +) Nếu y f ( x) đổi dấu từ dương sang âm x vượt qua x0 thì x0 là điểm cực đại hàm số y f ( x) c) y Giáo viên: Hạ Trọng Liên Giang Trường THPT Nguyễn Thị Lop12.net (3) Ôn thi tốt nghiệp và CĐ, ĐH hàm số Chuyên đề Khảo sát và vẽ đồ thị +) Nếu y f ( x) đổi dấu từ âm sang dương x vượt qua x0 thì x0 là điểm cực tiểu hàm số y f ( x) +) Nếu y f ( x) không đổi dấu x vượt qua x0 thì x0 không phải điểm cực trị hàm số y f ( x) Quy tắc tìm cực trị Tìm tập xác định Tính đạo hàm f ( x) Tìm các điểm xi (i 1,2, , n) mà đó f ( xi ) f ( x) không xác định Lập bảng xét dấu f ( x) Kết luận các điểm cực trị hàm số, thay các điểm cực trị vào hàm số để tìm giá trị cực trị Ví dụ Ví dụ Tìm cực trị các hàm số a) y x3 x x b) y x x 3 x2 x 3x c) y d) y x 1 1 x Đáp án 14 a) Hàm số đạt cực đại xC§ yC§ 10 Hàm số đạt cực tiểu xCT yCT b) Hàm số đạt cực đại xC§ yC§ Hàm số đạt cực tiểu xCT 1 yCT c) Hàm số không có cực trị d) Hàm số không có cực trị Ví dụ Tìm cực trị các hàm số a) y x3 x b) y x3 x c) y x3 x x d) y x x Đáp án a) Hàm số không có cực trị b) Hàm số đạt cực đại xC§ yC§ Hàm số đạt cực tiểu xCT yCT 2 c) Hàm số đạt cực đại xC§ yC§ 29 Hàm số đạt cực tiểu xCT 1 yCT 3 d) b) Hàm số đạt cực đại xC§ yC§ Hàm số đạt cực tiểu xCT 1 yCT 1 Ví dụ Tìm cực trị các hàm số Giáo viên: Hạ Trọng Liên Giang Trường THPT Nguyễn Thị Lop12.net (4) Ôn thi tốt nghiệp và CĐ, ĐH hàm số Chuyên đề Khảo sát và vẽ đồ thị x4 x2 x2 x a) y b) y x 1 Đáp án a) Hàm số đạt cực tiểu xCT yCT 2 b) Hàm số đạt cực đại xC§ yC§ 3 Hàm số đạt cực tiểu xCT yCT III Khoảng lồi, lõm, điểm uốn Khoảng lồi, khoảng lõm đồ thị a) Định nghĩa Giả sử sử hàm số y f ( x) có đạo hàm trên khoảng K Ta nói rằng: +) Đồ thị (C) hàm số y f ( x) lồi trên khoảng K tiếp tuyến (C) điểm nó nằm phía trên đồ thị +) Đồ thị (C) hàm số y f ( x) lõm trên khoảng K tiếp tuyến (C) điểm nó nằm phía đồ thị b) Định lý Giả sử sử hàm số y f ( x) có đạo hàm cấp trên khoảng K Khi đó: +) Nếu y f ( x) x K thì đồ thị (C) hàm số y f ( x) lồi trên K +) Nếu y f ( x) x K thì đồ thị (C) hàm số y f ( x) lõm trên K Điểm uốn a) Định nghĩa Giả sử sử hàm số y f ( x) có đạo hàm trên khoảng (a; b) chứa điểm x0 Nếu đồ thị (C) hàm số y f ( x) lồi trên hai khoảng (a; x0 ) , ( x0 ; b) và lõm trên khoảng còn lại thì điểm U ( x0 ; f ( x0 )) gọi là điểm uốn đồ thị (C) (điểm uốn là điểm phân chia hai phần lồi và lõm đồ thị) b) Định lý Giả sử sử hàm số y f ( x) có đạo hàm cấp trên khoảng K chứa điểm x0 Nếu f ( x0 ) và f ( x) đổi dấu x vượt qua x0 thì điểm U ( x0 ; f ( x0 )) là điểm uốn đồ thị hàm số y f ( x) Quy tắc xét khoảng lồi, lõm, tìm điểm uốn Tìm tập xác định Tính đạo hàm f ( x) , giải phương trình f ( x) Lập bảng xét dấu f ( x) Kết luận các khoảng lồi, lõm, điểm uốn đồ thị hàm số Ví dụ Ví dụ Tìm các khoảng lồi, lõm, điểm uốn đồ thị các hàm số sau: a) y x3 x b) y x3 x c) y x3 x x d) y x x Đáp án Giáo viên: Hạ Trọng Liên Giang Trường THPT Nguyễn Thị Lop12.net (5) Ôn thi tốt nghiệp và CĐ, ĐH hàm số Chuyên đề Khảo sát và vẽ đồ thị a) Đồ thị hàm số lồi trên khoảng (;0) , lõm trên khoảng (0; ) , điểm uốn U (0; 4) b) Đồ thị hàm số lồi trên khoảng (;1) , lõm trên khoảng (1; ) , điểm uốn U (1;0) c) Đồ thị hàm số lồi trên khoảng (1; ) , lõm trên khoảng (;1) , điểm uốn U (1,13) 1 ; d) Đồ thị hàm số lồi trên khoảng , lõm trên các khoảng ; và 3 3 5 ; , điểm uốn U1,2 ; 9 IV Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y ax3 bx cx d và hàm số y ax bx c với a Sơ đồ khảo sát Tập xác định D Chiều biến thiên - Tính y , tìm các điểm xi (i 1, n) thoả mãn y( xi ) - Lập bảng xét dấu y - Từ bảng xét dấu kết luận khoảng đơn điệu, cực trị hàm số - Tính lim f ( x) ? x - Lập bảng biến thiên Đồ thị - Tìm giao đồ thị với các trục toạ độ (nếu tìm giao với Ox khó thì bỏ qua) - Vẽ các điểm cự trị đồ thị hàm số, vẽ các giao với các trục - Dựa vào bảng biến thiên hoàn thiện đồ thị Nhận xét: Đồ thị hàm bậc nhận trung điểm cực đại và cực tiểu làm tâm đối xứng Đồ thị hàm trùng phương nhận trục Oy làm trục đối xứng Ví dụ Ví dụ Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y x3 x Giải Bảng biến thiên Đồ thị Giáo viên: Hạ Trọng Liên Giang Trường THPT Nguyễn Thị Lop12.net (6) Ôn thi tốt nghiệp và CĐ, ĐH hàm số Chuyên đề Khảo sát và vẽ đồ thị Ví dụ Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y x3 x Giải Bảng biến thiên Đồ thị Ví dụ Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y x x Giải Bảng biến thiên Đồ thị Giáo viên: Hạ Trọng Liên Giang Trường THPT Nguyễn Thị Lop12.net (7) Ôn thi tốt nghiệp và CĐ, ĐH hàm số Chuyên đề Khảo sát và vẽ đồ thị Ví dụ Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y x3 x Giải Bảng biến thiên Đồ thị Ví dụ Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y x x Giải Bảng biến thiên Đồ thị Giáo viên: Hạ Trọng Liên Giang Trường THPT Nguyễn Thị Lop12.net (8) Ôn thi tốt nghiệp và CĐ, ĐH hàm số Chuyên đề Khảo sát và vẽ đồ thị y CĐ -1 O CT CĐ x V Tiệm cận đồ thị hàm số y f ( x) Tiệm cận ngang Cho hàm số y f ( x) xác định trên khoảng vô hạn (là các khoảng dạng (a; ), (; b), (; ) ) Đường thẳng y y0 gọi là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) đồ thị hàm số y f ( x) ít các giới hạn sau tồn lim f ( x) y0 ; lim f ( x) y x x Tiệm cận đứng Đường thẳng x x0 gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) đồ thị hàm số y f ( x) ít các giới hạn sau tồn lim f ( x) , lim f ( x) , lim f ( x) , lim f ( x) x x0 x x0 x x0 x x0 Tiệm cận xiên Đường thẳng y ax b gọi là đường tiệm cận xiên (hay tiệm cận xiên) đồ thị hàm số y f ( x) nếu: lim f ( x) (ax b) lim f ( x) (ax b) x x * Cách tìm tiệm cận xiên: Cách Hai hệ số a, b phương trình y ax b xác định theo công thức: f ( x) f ( x) a lim , b lim f ( x) ax a lim , b lim f ( x) ax x x x x x x f ( x) Cách Đối với hàm số y , có tiệm cận xiên và bậc f ( x) lớn g ( x) bậc g ( x) Khi đó ta tìm tiệm cận xiên cách thực phép chia đa thức h( x ) , thì đường thẳng y ax b chính là f ( x) cho g ( x) Giả sử f ( x) (ax b) g ( x) f ( x) tiệm cận xiên đồ thị hàm số y g ( x) Giáo viên: Hạ Trọng Liên Giang Trường THPT Nguyễn Thị Lop12.net (9) Ôn thi tốt nghiệp và CĐ, ĐH hàm số Chuyên đề Khảo sát và vẽ đồ thị x 3x Ví dụ Tìm tiệm cận xiên hàm số y 2x Giải Cách Ta có f ( x) x 3x a lim lim , x x (2 x 1) x x x 3x 7 x b lim f ( x) ax lim x lim x x x 2(2 x 1) 2x 1 Vậy đường thẳng y x là tiệm cận xiên đò thị hàm số đã cho x 3x 23 Cách Ta có y x 2x 4(2 x 1) x 3x 23 lim x lim 0 x x 4(2 x 1) 2 2x 1 Vậy đường thẳng y x là tiệm cận xiên đò thị hàm số đã cho x3 x Ví dụ Tìm tiệm cận xiên hàm số y x2 Giải x3 x x3 x 2x 2x Ta có y , x lim x lim x x x x2 x2 x 1 Vậy đường thẳng y x là tiệm cận xiên đò thị hàm số đã cho Giáo viên: Hạ Trọng Liên Giang Trường THPT Nguyễn Thị Lop12.net (10)