phân công mỗi ngày một bạn, còn lại 7 bạn ta phân công cả vào ngày cuối cùng3. Thế thì rõ rằng trong ngày cuối cùng có ít nhất 3 bạn trực nhật.[r]
(1)CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Ở TIỂU HỌC
Phương pháp ứng dụng nguyên tắc Đirichlê
Ta xét chẳng hạn việc đặt thìa vào cốc Nếu số thìa số cốc
nhau cốc có thìa thìa đặt vào cốc, tức không thừa
thìa khơng thừa cốc Nếu số thìa số cốc khơng
thì có tượng : có cốc khơng (số cốc nhiều số thìa )
hoặc có cốc thìa thừa (số thìa nhiều số cốc) Trường hợp sau
liên quan đến tính chất gọi nguyên tắc Đirichlê ( P.G.L Dirichlet (1805 –
1895) tên nhà Toán học Đức ) Nguyên tắc Đirichlê thường phát
biểu dạng “hài hước” sau: “Không thể nhốt thỏ vào ba lồng,
sao cho lồng khơng có thỏ” (nghĩa là, phải có lồng
có thỏ )
Ta vận dụng nguyên tắc Đirichlê để giải tập, cần xác lập tương
ứng đối tượng hai nhóm mà số lượng hữu hạn đối tượng
hai nhóm khơng
Ví dụ Tổ Dương phải trực nhật suốt ngày học tuần Tổ có 11
bạn, bạn phải làm trực nhật Chứng tỏ có ngày bạn
trực nhật.
Phân tích Trước hết, xem xét không phân công bạn trực nhật
một ngày hay không Ta xếp 11 bạn ( có vai trị thỏ ) vào
nhóm ( lồng ) nhóm trực nhật ngày Trước hết ta bố trí bạn
vào nhóm, cịn lại bạn Sau lại xếp tiếp bạn vào nhóm này,
như nhóm có bạn lại bạn Bạn cuối ta phân cơng
(2)có bạn cuối có bạn, tức có nhóm bạn trực nhật
Theo cách phân cơng nói có ngày có bạn trực nhật,
nhưng đầu lại đặt “có ngày bạn trực nhật” Điều
giải thích sau Trước hết, mặt lơgic, nhóm “có bạn” mà ta nói “có
nhất bạn”
Mặt khác, ý nghĩa thực tế có nhiều cách phân cơng trực nhật Chẳng
hạn phân cơng cách khơng hợp lí sau : ngày học đầu,
phân công ngày bạn, lại bạn ta phân cơng vào ngày cuối
Thế rõ ngày cuối có bạn trực nhật Như dù có
đúng bạn, có nhiều bạn làm trực nhật, khả phân cơng “cơng
bằng” nhất, trình bày phần đầu, có ngày bạn trực nhật
Giải
Ta xếp 11 bạn vào nhóm, nhóm trực nhật ngày Vì x = 10 <
11 nên, theo ngun tắc Đirichlê phả có nhóm có bạn trực nhật
Ví dụ Trường em có 380 học sinh Chứng minh có bạn cùng một ngày sinh.
Phân tích Một năm thường có 365 ngày, năm nhuận có 366 ngày Giả sử 366
bạn có ngày sinh từ ngày tháng đến 31 tháng 12 Số lại :
380 – 366 = 14 ( học sinh )
Số học sinh phải có ngày sinh ngày năm Do đó,
chắc chắn có bạn ngày sinh Ở ta nói nhất, ta giả
sử 366 bạn có ngày sinh rải từ ngày 1-1 đến 31-12, thực tế có bạn
hoặc nhiều bạn có ngày sinh
Giải
(3)380 ngày sinh vào ngày năm Vì 380 > 366 nên, theo nguyên tắc
Đirichlê, chắn có bạn có ngày sinh
Ví dụ Chứng minh số tự nhiên bất kỳ, tìm
được số cho tổng chúng chia hết cho 2.
Phân tích Các số tự nhiên 0, 1, 2, 3, gồm có số chẵn 0, 2, 4,…
số lẻ 1, 3, 5,… Vì có số tự nhiên phải có
số chẵn, số lẻ Trong trường hợp thứ nhất, hai số chẵn có tổng
số chẵn nên tổng chia hết cho vậy, hai số chẵn hai số phải tìm
Cịn trường hợp thứ hai, hai số lẻ có tổng số chẵn nên
tổng chia hết cho 2, hai số lể hai số phải tìm Ở
nguyên tắc Đirichlê ứng dụng chỗ ta có ba số tự nhiên mà có hai loại
số số chẵn số lẻ nên ba số có hai số chẵn
hoặc lẻ
Giải
Số tự nhiên gồm có chẵn số lẻ, nên số tự nhiên theo nguyên
tắc Đirichlê có hai số chẵn hai số lẻ Tổng hai số
luôn số chẵn nên chia hết cho
Bài tập
1 Trường Kim Đồng có 30 lớp 1000 học sinh Chứng minh có lớp
có 34 học sinh
2 Trong lớp có 40 học sinh Hỏi tìm hay khơng tháng đó
trong năm mà tháng có bạn kỉ niệm ngày sinh ?
3 Tổ Dương có 10 bạn Trong viết tả Dương mắc phải lỗi,
còn tất bạn khác mắc số lỗi Chứng minh có ba bạn
(4)4 Bàn cờ quốc tế gồm có x = 64 vng Ném vào bàn cờ 100
viên bi có 35 viên bi lăn ngồi bàn cờ Chứng minh có
trong bàn cờ chứa viên bi, ( kể trường hợp viên bi nằm cạnh ô
vuông )
5 Cho ba số tự nhiên bất kì, khơng có số chia hết cho Chứng
minh có hai số mà chia cho cho số dư
6 Một người mua cho quan 25 bao thuốc gồm ba loại : Điện biên, Sông
cầu Du lịch Hỏi số có bao thuốc loại hay không ?
Đáp án
1 Chia 1000 học sinh vào 30 lớp lớp có học sinh ? dư
bao nhiêu học sinh ?
Lại “phân phối” tiếp số dư vào lớp !
2 Một năm có tháng
Phân chia 40 bạn vào tháng ấy, số dư lại phân chia tiếp!
3 Trừ bạn Dương lại bạn?
Tất bạn mắc từ lỗi đến lỗi?
Như vậy, viết tả chia làm loại (tính theo số lỗi)?
So sánh số người số loại tả!
3 Có viên bi rơi vào bàn cờ ?
So sánh số viên bi số ô vuông ?
4 Một số tự nhiên chia cho có loại số dư ?
Ba số cho thuộc vào loại số dư ?
So sánh ba số tự nhiên với loại số dư !
5 Chia 25 bao thuốc vào loại loại có bao ? dư bao ?
(5)