Giải bài tập SGK Toán 12 Bài 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Đồ thị hàm số nhận trục tung làm trục đối xứng.. - Lập bảng biến thiên: Thể hiện đầy đủ và chính xác các giá trị trên bảng biến thiên. Thiếu bên nào học sinh lấy điểm phía bên đó, không [r]

(1)

eLib.vn: Thư viện trực tuyến miễn phí BÀI 5: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ 1 Giải trang 43 SGK Toán GT lớp 12

Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số bậc ba sau

a)

2

y= + x−x

b)

4

y=x + x + x

c)

9

y=x +x + x

d)

2

y= − x +

1.1 Phương pháp giải

Các bước khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số bậc - Tập xác định: D=

- Sự biến thiên: Xét chiều biến thiên hàm số • Tính đạo hàm:

3ax +2bx+c

y =

•

0 3ax +2bx+c=0

y =  (Bấm máy tính nghiệm chẵn, giải  ; nếu nghiệm lẻ -

không ghi nghiệm gần đúng)

• Xét dấu đạo hàm y’ suy chiều biến thiên hàm số - Tìm cực trị

- Tìm giới hạn vơ cực x→ 

- Hàm số bậc ba nói riêng hàm số đa thức nói chung khơng có tiệm cận đứng tiệm cận ngang

- Lập bảng biến thiên: Thể đầy đủ xác giá trị bảng biến thiên - Đồ thị

• Tính đối xứng: Đồ thị hàm số bậc ba nhận điểm I(x0, f(x0)) với x0 nghiệm phương

trình f''(x0)= làm tâm đối xứng

• Giao đồ thị với trục Oy: x=0 =>y=d => (0; d) • Giao đồ thị với trục Ox:

0 ax +bx +cx+d ?

y=  =  =x

• Các điểm CĐ; CT (nếu có)

• Lấy thêm số điểm (nếu cần), điều làm sau hình dung hình dạng đồ thị Thiếu bên học sinh lấy điểm phía bên đó, khơng lấy tùy tiện thời gian Trong thực tế, giải tập để thuận lợi cho việc tính tốn ta thường tính giới hạn, lập bảng biến thiên suy cực trị hàm số

1.2 Hướng dẫn giải

Câu a: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số bậc ba sau y= +2 3x−x3

Xét hàm số

2

y= + x−x Tập xác định: D=

Giới hạn: lim ; lim

x→−y= + x→+y= −

Sự biến thiên

Đạo hàm: y' = - 3x2

(2)

eLib.vn: Thư viện trực tuyến miễn phí Vậy hàm số đồng biến khoảng (-1;1), nghịch biến khoảng (− −; 1)

và (1;+)

Cực trị: Hàm số đạt cực đại x = 1, giá trị cực đại yCĐ = y(1) = 4, đạt cực tiểu x = -1 yCT = y(-1) =

Đồ thị:

Ta có: y'' = -6x; y'' = ⇔ x = Với x = ta có y = Vậy đồ thị hàm số nhận điểm I(0;2) làm tâm đối xứng

Đồ thị cắt trục Ox điểm (2;0) (-1;0), cắt Oy điểm (0;2) Đồ thị hàm số nhận điểm (0;2) làm điểm uốn

Nhận thấy, nhánh bên trái thiếu điểm để vẽ đồ thị, dựa vào tính đối xứng ta chọn điểm hoành độ x = -2 suy y =

Câu b: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số bậc ba sau

4

y=x + x + x Xét hàm số

4

y=x + x + x Tập xác định: D=

x→−y= − x→+y= +

Sự biến thiên

Đạo hàm: y' = 3x2 + 8x +

2

0 2

3

x y

x = −    = 

 = − 

Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến khoảng (− −; 2) 2;

− +

 

  nghịch biến

2 2;

3

− − 

 

 

Cực trị

Hàm số đạt cực đại x=-2, giá trị cực đại ycđ = y(-2) = Hàm số đạt cực tiểu 2,

3

x= − giá trị cực tiểu 32

3 27

ct

y =y− = −   Đồ thị hàm số

(3)

eLib.vn: Thư viện trực tuyến miễn phí

6

4 16

0

3 27

y x

y x y

 = +

 =  = −  = −

Đồ thị hàm số cắt trục Oy điểm (0;0), cắt trục Ox điểm có hồnh độ nghiệm phương trình: x3 + 4x2 + 4x = ⇔ x = x = -2 nên tọa độ giao điểm (0;0)

(-2;0)

Câu c: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số bậc ba sau

9

y=x +x + x Xét hàm số

9

y=x +x + x Tập xác định: D=

x→−y= − x→+y= +

Sự biến thiên

Đạo hàm: y' = 3x2 + 2x + > 0, ∀x

Vậy hàm số đồng biến \(\mathbb{R}\) khơng có cực trị Bảng biến thiên

Đồ thị

Đồ thị hàm số cắt trục Ox điểm (0;0), cắt trục Oy điểm (0;0)

Đồ thị hàm số có tâm đối xứng điểm có hồnh độ nghiệm phương trình y'' = ⇔

6x+2 = ⇔

x= − Suy tọa độ tâm đối xứng là: 1; 79 27

I− − 

 

Lúc ta chưa có đủ điểm để vẽ đồ thị hàm số, ta cần lấy thêm hai điểm có hồnh độ cách hồnh độ x1 x2 cho 1 2

3

x − −  = x − − 

    , hai điểm đối xứng qua điểm uốn Ta chọn điểm (-1;-9) 39;

2

 

 

(4)

Câu d: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số bậc ba sau y= −2x3+5

Xét hàm số

2

y= − x + Tập xác định: D=

x→−y= + x→+y= −

Sự biến thiên

Đạo hàm: y' = -6x2 ≤ 0, ∀x

Vậy hàm số nghịch biến R Hàm số khơng có cực trị

Đồ thị

Tính đối xứng: y'' = -12x; y'' = ⇔ x = Vậy đồ thị hàm số nhận điểm uốn I(0;5) làm tâm đối xứng

Đồ thị hàm số cắt trục Oy điểm (0;5), đồ thị cắt trục Ox điểm 5; 0

2

 

 

 

2 Giải trang 43 SGK Toán GT lớp 12

Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số bậc bốn sau: a) y= − +x4 8x2−1

b) y=x4−2x2+2

c)

2

(5)

eLib.vn: Thư viện trực tuyến miễn phí d) y= −2x2−x4+3

Trước giải 2, em cần ôn lại bước khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số bậc (trùng phương)

- Tập xác định: D= - Sự biến thiên

+ Tính đạo hàm

4ax +2bx

y = + Ta có

3

2

0

2 (2 )

0

2

y ax bx

x ax b

x x

b

ax b x

a

 =  + =

 + =

=  =

 

  − 



+ = =

 

- Xét dấu đạo hàm y’ suy chiều biến thiên hàm số - Tìm cực trị

- Tìm giới hạn vơ cực x→ 

- Hàm trùng phương khơng có Tiệm cận đứng tiệm cận ngang

- Lập bảng biến thiên: Thể đầy đủ xác giá trị bảng biến thiên - Đồ thị

+ Giao đồ thị với trục Oy: x=0 =>y= c => (0;c) + Giao đồ thị với trục Ox:

0 ax +bx +c ? (?;0)

y=  =  = x

+ Các điểm cực tiểu, cực đại (nếu có)

Trong thực tế, trình giải tập để thuận lợi việc tính tốn tốn ta tính giới hạn, lập bảng biến thiên trước đưa kết luận tính đơn điệu, cực trị hàm số

Câu a: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số bậc bốn sau y= − +x4 8x2−1

Xét hàm số

8

y= − +x x − Tập xác định: D=

x→−y= − x→+y= −

Sự biến thiên

Đạo hàm: y' =-4x3 + 16x = -4x(x2 - 4)

y' = ⇔ x = x = ±2 Bảng biến thiên

Vậy hàm số đồng biến khoảng (− −; 2) (0;2), nghịch biến khoảng

(-2;0) (2;+)

Cực trị: Hàm số đạt cực đại x = -2 x = 2, giá trị cực đại yCĐ = y(-2) = y(2) = 15 Hàm số đạt cực tiểu x = 0, giá trị cực tiểu yCT = y(0) = -1

Đồ thị

(6)

eLib.vn: Thư viện trực tuyến miễn phí Biểu thị điểm cực trị lên hệ trục tọa độ

Đồ thị hàm số cắt trục Ox điểm

( 4− 15 ; ;) (− 4− 15; 0); ( 4+ 15 ; ;) (− 4+ 15 ; 0) điểm có tọa độ lẻ ta cần

ước lượng vị trí gần để vẽ đồ thị cho xác Đồ thị cắt trục Oy tai điểm (0;-1) Đồ thị hàm số

Câu b: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số bậc bốn sau

2

y=x − x + Xét hàm số

2

y=x − x + Tập xác định: D=

x→−y= + x→+y= +

Sự biến thiên

Đạo hàm: y' = 4x3 - 4x = 4x(x2 - 1)

y' = ⇔ x = x = ±1 Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến khoảng (1;0) (1;+), nghịch biến khoảng (−;1) (0;1)

Cực trị: Hàm số đạt cực đại x = 0, giá trị cực đại yCĐ= y(0) = 2, hàm số đạt cực tiểu x = -1 x = 1, giá trị cực tiểu yCT = y(-1) = y(1) =

Đồ thị

Đồ thị hàm số nhận trục tung làm trục đối xứng Biểu diễn điểm cực trị lên hệ trục tọa độ

Đồ thị hàm số không cắt trục Ox, cắt Oy điểm (0;2)

Ta thây với điểm có ta chưa vẽ đồ thị hàm số, ta cần lấy thêm hai điểm điểm có hồnh độ x1 < -1 điểm có hoành độ x2 > thuộc đồ thị hàm số đối xứng qua trục tung Ta chọn: với x1 = -2 ta có y = 10, với x2 = ta có y = 10

(7)

Câu c: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số bậc bốn sau

2

y= x +x − Xét hàm số

2

y= x +x − Tập xác định: D=

x→−y= + x→+y= +

Sự biến thiên

Đạo hàm: y' =2x3 + 2x = 2x(x2 + 1); y' = ⇔ x =

Hàm số đồng biến khoảng (0;+) nghịch biến khoảng (−;0)

Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu x = giá trị cực tiểu (0)

ct

y =y = − Hàm số khơng có cực đại

Đồ thị

Đồ thị hàm số nhận trục tung làm trục đối xứng Đồ thị hàm số cắt trục Oy điểm: 0; ,

2

 − 

 

  cắt trục Ox điểm có hồnh độ nghiệm phương trình

4

1

0 10

4x +x − =  =  − +2 x

Vậy tọa độ giao điểm là: ( − +2 10 ; ;) (− − +2 10 ; 0)

(8)

Câu d: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số bậc bốn sau y= −2x2−x4+3

Xét hàm số

2

y= − x −x + Tập xác định: D=

x→−y= − x→+y= −

Sự biến thiên

Đạo hàm: y' = -4x - 4x3 = -4x(1 + x2); y' = ⇔ x = Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến khoảng (−;0) nghịch biến khoảng (0;+)

Cực trị: Hàm số đạt cực đại x = 0, giá trị cực đại yCT = y(0) =

Đồ thị

Đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng

Đồ thị hàm số cắt trục Oy điểm (0;3), cắt trục Ox điểm có hồnh độ nghiệm

của phương trình:

2

1

x

x x

x =  − − + =  

= −  Đồ thị hàm số

3 Giải trang 43 SGK Toán GT lớp 12

Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số phân thức sau

a)

1

x y

x + =

− b)

2

x y

x − =

−

c)

2

x y

x − + =

+

Xét hàm số phân thức: y ax b (c 0,ad bc 0)

cx d +

=  − 

+ - Tập xác định: D \ d

c −  

=  

  - Sự biến thiên

+ Tính đạo hàm d-bc2

(cx+d)

ax b a

y

cx d 

+

 

 =  =

+

(9)

eLib.vn: Thư viện trực tuyến miễn phí + y’ khơng xác định x d;

c −

= y’ âm (hoặc dương) với x d c − 

+ Hàm số đồng biến (nghịch biến) khoảng ( ; d)

c

− − ( d; )

c − + + Cực trị: Hàm số cực trị

- Tiệm cận

+ lim lim ax+b cx+d

x x

a y

c

→ = → = nên đường thẳng

a y

c

= tiệm cận ngang

+ lim lim ax+b ( ) cx+d d d x x c c y − − − − → →

= =  ; lim lim ax+b ( )

cx+d d d x x c c y + + − − → →

= =   nên đường thẳng x d

c −

= tiệm

cận đứng

- Lập bảng biến thiên: Thể đầy đủ xác giá trị bảng biến thiên - Đồ thị:

+ Giao đồ thị với trục Oy: x y b (0; b)

d d

=  = =

+ Giao đồ thị với trục Ox: ax+b 0 cx+d

y=  = ax+ =b x b ( b; 0)

a a

− −

 = 

+ Lấy thêm số điểm (nếu cần) - điều làm sau hình dung hình dạng đồ thị Thiếu bên học sinh lấy điểm phía bên đó, khơng lấy tùy tiện thời gian.)

+ Nhận xét đặc trưng đồ thị Đồ thị nhận điểm I( d a; )

c c −

là giao hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng

Câu a: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số phân thức sau

1 x y x + = − Xét hàm số

1 x y x + = − Tập xác định: D= \ 1 

Đạo hàm: 2 0, ( 1) y x x −  =    − Tiệm cận 1

lim ; lim

x x

y y

− +

→ →

= − = + nên đường thẳng x = tiệm cận đứng đồ thị hàm số

lim 1; lim

x x

y y

→+ = →− = nên đường thẳng y = tiệm cận ngang đồ thị hàm số

Vậy hàm số nghịch biến khoảng (−;1) (1;+)

Hàm số khơng có cực trị Đồ thị hàm số

(10)

eLib.vn: Thư viện trực tuyến miễn phí 10 Đồ thị hàm số cắt trục Ox điểm (-3;0), cắt Oy điểm (0;-3)

Nhận xét: chưa đủ điểm để vẽ đồ thị hàm số nên ta tiến hành lấy thêm điểm đối xứng với (-3;0) (0;-3) qua I(1;1) điểm (2;5) (3;3)

Vậy ta có đồ thị hàm số:

Câu b: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số phân thức sau

2

x y

x − =

− Xét hàm số

2

x y

x − =

− Tập xác định: D= \ 2 

Đạo hàm:

( )2

6

0,

2x

y =   x

− Tiệm cận

2

lim ; lim

x x

y y

− +

→ →

= + = − nên đường thẳng x = tiệm cận đứng đồ thị hàm số

lim 1; lim

x x

y y

→+ = − →− = − nên đường thẳng y =- tiệm cận ngang đồ thị hàm số

Hàm số đồng biến khoảng (−; 2) (2;+)

Hàm số khơng có cực trị Đồ thị hàm số

Đồ thị hàm số nhận điểm I(2;-1) làm tâm đối xứng Đồ thị hàm số cắt trục Ox 1; ;

2

   

  cắt trục Oy

1 0; ;

4

 − 

 

 

Ta lấy thêm điểm thuộc nhánh lại để vẽ đồ thị hàm số: với x=3 suy

2

(11)

eLib.vn: Thư viện trực tuyến miễn phí 11

Câu c: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số phân thức sau

2

x y

x − + =

+ Xét hàm số

2

x y

x − + =

+ Tập xác định: \

2

D= −    Đạo hàm:

( )2

5

0,

2 2x

y = −    −x

+ Tiệm cận

1

2

lim ; lim

x x

y y

− −

   

→ −  → − 

   

= − = + nên đường thẳng

2

x= − tiệm cận đứng đồ thị hàm số

1

lim ; lim

2

x x

y y

→+ = − →− = − nên đường thẳng

1

y= − tiệm cận ngang đồ thị hàm số Bảng biến thiên:

Hàm số nghịch biến khoảng ;

− − 

 

 

1 ;

− +

 

 

Hàm số khơng có cực trị Đồ thị

Đồ thị hàm số nhận điểm 1; 2

I− − 

  làm tâm đối xứng

(12)

eLib.vn: Thư viện trực tuyến miễn phí 12 4 Giải trang 44 SGK Toán GT lớp 12

Bằng cách khảo sát hàm số, tìm số nghiệm phương trình sau a)

3

x − x + =

b)

2x 3x

− + − =

c)

2x −x = −1

hực chất yêu cầu tập khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số Sau từ đồ thị hàm số suy số nghiệm phương trình cần tìm

Số nghiệm phương trình cho số giao điểm đồ thị hàm số y = f(x) vế trái phương trình cới trục hoành câu a, b với đường thẳng y = -1 câu c

Câu a: Bằng cách khảo sát hàm số, tìm số nghiệm phương trình sau

3

x − x + =

Xét hàm số

3

y=x − x + Tập xác định: D=

x→−y= − x→+y= +

Sự biến thiên

Đạo hàm: y' = 3x2 - 6x = 3x(x - 2); y' = ⇔ x = 0, x =

Hàm số đồng biến khoảng (−;0)và (2;+)nghịch biến khoảng (0;2)

Cực trị: Hàm số đạt cực đại x = 0, giá trị cực đại yCĐ = y(0) = 5; đạt cực tiểu x = 2, giá trị cực tiểu yCT = y(2) =

Đồ thị

Tính đối xứng: y'' = 6x - 6; y'' = ⇔ x = Vậy đồ thị hàm số nhận điểm (1;3) làm tâm đối

xứng

Đồ thị hàm số cắt trục Oy điểm (0;5) Đồ thị hàm số qua điểm (-1;1); (3;5) Đồ thị hàm số:

Từ đồ thị ta thấy phương trình

3

x − x + = có nghiệm

Câu b: Bằng cách khảo sát hàm số, tìm số nghiệm phương trình sau

3

2x 3x

− + − =

(13)

eLib.vn: Thư viện trực tuyến miễn phí 13 Tập xác định: D=

x→−y= + x→+y= −

Sự biến thiên

Đạo hàm: y' = -6x2 + 6x = -6x(x - 1); y' = ⇔ x = 0,x =

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến khoảng (0;1); nghịch biến khoảng (−;0) (1;+)

Cực trị: Hàm số đạt cực đại x = 1, giá trị cực đại yCĐ = y(1) = -1, hàm số đạt cực tiểu

x = 0, giá trị cực tiểu yCT = y(0) = -2

Đồ thị hàm số Tính đối xứng

1

12 6;

2

y= − x+ y=  =x

Nên tọa độ tâm đối xứng 1; 2

I − 

 

Đồ thị hàm số qua điểm: (-1;3); (2;-6) Đồ thị hàm số:

Từ đồ thị hàm số ta thấy phương trình

2x 3x

− + − = có nghiệm

Câu c: Bằng cách khảo sát hàm số, tìm số nghiệm phương trình sau

2x −x = −1

Xét hàm số

1

y= x −x = − Tập xác định: D=

x→−y= − x→+y= −

Sự biến thiên

Đạo hàm: y' = 4x - 4x3 = 4x(1 - x2); y' = ⇔ x = 0,x = ±1

(14)

eLib.vn: Thư viện trực tuyến miễn phí 14 Hàm số đồng biến khoảng (− −; 1) (0;1); nghịch biến khoảng (-1;0)

và (1;+)

Cực trị: Hàm số đạt cực đại x = -1 x = 1, giá trị cực đại yCĐ = y(-1) = y(1) = 1; đạt cực

tiểu x = 0, giá trị cực tiểu yCT = y(0) =

Đồ thị:

Tính đối xứng: Đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng

Đồ thị hàm số cắt trục Ox điểm (0;0); (− 2; 0) ( 2; 0) cắt truc Oy điểm (0;0)

Đồ thị hàm số

Đồ thị hàm số f(x) đường thẳng y = - hình bên

Từ đồ thị ta thấy phương trình cho có hai nghiệm phân biệt 5 Giải trang 44 SGK Toán GT lớp 12

a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số

3

y= − +x x+

b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận số nghiệm phương trình sau theo tham số m

3

x − x m+ =

Câu a khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm tương tự câu làm nên không nhắc lại đây, trọng tâm toán câu b

Đây tốn:

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) Dựa vào đồ thị (C) biện luận số nghiệm phương trình g(x; m) = với m tham số

Với 5, ta chuyển tốn dạng:

f(x) = h(m), h(m) hàm phụ thuộc vào tham số m - Vẽ đồ thị hàm số y = f(x)

- Đường thẳng y = h(m) di động song song với trục hoành, dựa vào số giao diểm đường thẳng y = h(m) với đồ thị hàm số y = f(x) để suy số nghiệm phương trình g(x;m) =

Đó phương pháp để giải tốn này, nhiều em đọc qua phần lý thuyết chưa hình dung phải làm Vậy xin mời em tham khảo lời giải chi tiết sau để hiểu nắm phương pháp làm

Câu a: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số

3

y= − +x x+ Với m = ta có hàm số: y = -x3 + 3x +

Tập xác định: \(D=\mathbb{R}.\) Giới hạn: lim ; lim

x→−y= + x→+y= −

Sự biến thiên

Đạo hàm: y' = -3x2 + = -3(x2 - 1); y' = ⇔ x = -1, x =

(15)

eLib.vn: Thư viện trực tuyến miễn phí 15 Hàm số đồng biến khoảng (-1;1), nghịch biến khoảng (− −; 1) (1;+)

Cực trị: Hàm số đạt cực đại x=1, giá trị cực tiểu yCĐ = y(1) = 3; đạt cực tiểu x = - 1,

giá trị cực tiểu yCT = y(-1) = -1 Đồ thị

Tính đối xứng: y'' = - 6x, y'' = ⇔ x = Vậy tọa độ tâm đối xứng đồ thị hàm số (0;1)

Đồ thị hàm số qua điểm (-2;3); (2;-1) Đồ thị hàm số:

Câu b: Dựa vào đồ thị (C), biện luận số nghiệm phương trình sau theo tham số m

3

x − x m+ =

Xét phương trình x3 - 3x + m = ⇔ - x3 + 3x + = m + (1)

Số nghiệm (1) số giao điểm đồ thị (C) với đường thẳng (d): y = m + Từ đồ thị ta thấy

- Khi: m + < -1 ⇔ m < -2: (d) cắt (C) điểm suy (1) có nghiệm

- Khi: m + = -1 ⇔ m = -2: (d) cắt (C) điểm tiếp xúc với (C) điểm suy (1) có nghiệm

- Khi: -1 < m + < ⇔ -2 < m < 2: (d) cắt (C) điểm suy (1) có nghiệm

- Khi: m + = ⇔ m = 2: (d) cắt (C) điểm tiếp xúc với (C) điểm suy (1) có nghiệm

- Khi: m + > ⇔ m > 2: (d) cắt (C) điểm suy (1) có nghiệm 6 Giải trang 44 SGK Toán GT lớp 12

Cho hàm số

2

mx y

x m − =

+

a) Chứng minh với giá trị tham số m, hàm số đồng biến khoảng xác định

b) Xác định m để tiệm cận đứng đồ thị qua A( 1; 2)−

c) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m =

Để giải câu a 6, em cần nắm điều kiện để hàm số đồng biến miền cho trước

(16)

eLib.vn: Thư viện trực tuyến miễn phí 16 - f x( )  0, x D f'(x) = số điểm hữu hạn x0D(Phương trình f'(x) = có hữu hạn nghiệm)

Với câu b 6, ta tìm tiệm cận đứng đồ thị hàm số theo m, từ kiện đường tiệm cận qua điểm ta tìm giá trị m

Chú ý: xét tiệm cận đứng ta cần quan tâm đến hoành độ điểm mà tiệm cận qua

Câu a: Chứng minh với giá trị tham số m, hàm số đồng biến

khoảng xác định Xét hàm số

2 mx y x m − = + Tập xác định: \

2

m D= − 

  ( ) 2 0, m y m x m +  =  

+ \

m

x  

  − 

 

Vậy hàm số đồng biến khoảng ;

m

− − 

 

  2;

m

− +

 

 

Câu b: Xác định m để tiệm cận đứng đồ thị qua A( 1; 2)−

Điều kiện đề hàm số y ax b cx d + =

+ có tiệm cận đứng

2

0

0 0,

c c

ad bc m m

 = 

 



 −   +  

  (ln đúng)

Ta có: 2 lim lim m m x x mx y y x m + +     → −  → −      − = = − + ; 2 lim lim m m x x mx y y x m − −     → −  → −      − = = + + Nên đường thẳng

2

m

x= − tiệm cận đứng đồ thị hàm số Tiệm cận đứng qua A(−1; 2)

2

m

m − = −  =

Khi tìm điều kiện liên quan đến tiệm cận đứng ta cần quan tâm đến hoành độ, cụ thể 6, đường thẳng x = -1 qua A(−1; 2)

Câu c: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m =

Với m = 2, ta có hàm số

2 x y x − = + Tập xác định D= −\ 1

Tiệm cận

( )1 ( )1

2

lim lim ;

2 x x x y y x − − → − → − − = = +

+ ( )1 ( )1

2 lim lim 2 x x x y y x + + → − → − − = = − +

Nên đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = -1 làm tiệm cận đứng

2

lim lim 1;

2 x x x y y x →− →− − = = +

lim lim

2 x x x y y x →+ →+ − = = +

(17)

eLib.vn: Thư viện trực tuyến miễn phí 17

Đạo hàm: 2 0,

(2 2)

y x

x

 =    −

+ Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến khoảng (− −; 1) (− +1; )

Hàm số khơng có cực trị Đồ thị

Đồ thị hàm số nhận điểm I(-1;1) làm tâm đối xứng Đồ thị hàm số cắt trục Ox 1;

2

   

  cắt Oy

1 0;

2

 − 

 

 

Đồ thị hàm số qua điểm 2;5

− 

 

 

Đồ thị hàm số

7 Giải trang 44 SGK Toán GT lớp 12 Cho hàm số

4

y= x + x +m

a) Với giá trị tham số m, đồ thị hàm số qua điểm (-1;1)? b) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số m =

c) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm có tung độ

4

- Câu a, yêu cầu tìm tham số m để đồ thị hàm số qua điểm cho trước, đơn giản ta cần thay tọa điểm vào hàm số tương ứng y tung độ, x hoành độ, ta cần giải phương trình tìm tham số m

- Câu b, tham giá trị m vào hàm số ta hàm số cụ thể sau thực bước khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số

- Câu c, phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) tiếp điểm M(x0,y0) thuộc đồ thị hàm số học chương trình lớp 11 có dạng y-y0=f'(x_0)(x-x0)

Như câu c, ta cần phải xác định tọa độ tiếp điểm Mặc khác theo đề ta có tung độ tiếp điểm 7,

4 từ ta thay vào hàm số tìm hồnh độ

(18)

eLib.vn: Thư viện trực tuyến miễn phí 18 Điểm (-1;1) thuộc đồ thị hàm số nên ta có

( )4 ( )2

1 1

4 m m

= − + − +  =

Câu b: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số m =

Với m = ta có hàm số:

4

1

4

y= x + x + Tập xác định: D=

x→−y= + x→+y= +

Sự biến thiên

( )

3

1 ; 0

y=x + =x x x + y=  =x

Vậy hàm số đồng biến khoảng (0;+)và nghịch biến khoảng (−;0) Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu x = giá trị cực tiểu yCT = y(0) =

Đồ thị

Đồ thị hàm số cắt trục Oy điểm (0;1) Với x = ta có

4

y= Với x = -1 ta có

4

y= Đồ thị hàm số:

Câu c: Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm có tung độ

4

Với

4

y= ta có

4

2

1

4

1

x x x x

x x

+ + =  + − =

 =  = 

Vậy hai điểm thuộc (C) có tung độ

4

y= 1;7

A 

 

7 1;

4

B− 

 

(19)

eLib.vn: Thư viện trực tuyến miễn phí 19 Phương trình tiếp tuyến với (C) A là: (1)( 1)

4

y− =y x−  =y x− Phương trình tiếp tuyến với (C) B là: ( 1)( 1)

4

y− =y − x+  = − −y x 8 Giải trang 44 SGK Toán GT lớp 12

Cho hàm số

( 3)

y=x + m+ x + −m (m tham số) có đồ thị (Cm) a) Xác định m để hàm số có điểm cực đại x = -1

b) Xác định m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành x = -2

- Sử dụng kiến thức: hàm số y= f x( ) đạt cực đại tại điểm ( )( )0 0 f x x x f x  =  =     

- Đồ thị hàm số cắt trục hồnh điểm có M hoành độ x= a M a( ;0) Thay tọa độ điểm M

vào công thức hàm số để tìm m

Câu a: Xác định m để hàm số có điểm cực đại x = -1

( )

3

y=x + m+ x + −m

Ta có: ( ) ( )

3

y= x + m+ xy= x+ m+

Hàm số đạt cực đại điểm ( )

( )1

1 0 y x y  − =  = −    −  ( ) ( )

3 3

2

6

0 m m m m m  − + =  = −      = − − + +    

Vậy

2

m= − hàm số cho đạt cực đại x=-1

Câu b: Xác định m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành x = -2

Đồ thị hàm số cắt trục hồnh điểm có M hoành độ x= − 2 M( 2;0)−

( ) ( )( )

( )

3

2

8

4

3 5 m m m m m m m m  − + + − + − =  − + + + − =  + − =  = −  = −

9 Giải trang 44 SGK Toán GT lớp 12 Cho hàm số ( 1)

1

m x m

y

x

+ − +

=

− (m tham số) có đồ thị (G) a) Xác định m để đồ thị (G) qua điểm (0 ; -1)

b) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số với m tìm

c) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị giao điểm với trục tung

- Thay tọa độ điểm đề cho vào công thức hàm số để tìm m

- Thay giá trị m tìm câu a vào đồ thị hàm số sau khảo sát vẽ đồ thị hàm số

(20)

eLib.vn: Thư viện trực tuyến miễn phí 20 +) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số M x y( 0; 0) công thức:

( )(0 0)

y=y x x x− +y

Câu a: Xác định m để đồ thị (G) qua điểm (0 ; -1)

Theo đề ta có

( 1)

(0; 1) ( ) 1 2 0

0

m m

G +  − + m m m

−   − =  − = −  =  =

−

Câu b: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số với m tìm

Với m = ta hàm số

1

x y

x + =

− Tập xác định: D= \{1}

* Sự biến thiên Ta có: 2

( 1)

y x D

x

−

 =   

−

- Hàm số nghịch biến khoảng: (−;1) (1;+)

- Cực trị

Hàm số khơng có cực trị - Tiệm cận:

1

lim 1; lim ; il m

x x x

y y y

− +

→ → →

= = − = +

Tiệm cận đứng là: x=1, tiệm cận ngang là: y=1 - Bảng biến thiên

* Đồ thị

Đồ thị hàm số giao trục Ox (-1;0), trục Oy (0;-1) Đồ thị hàm số nhận I(1;1) làm tâm đối xứng

Câu c: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị giao điểm với trục tung

G0) cắt trục tung M(0 ; -1)

2

(0) ( 1)

y y

x

−

=   = −

−