Thực hành toán cao cấp chương 5 bổ sung khái niệm cơ bản, một số ứng dụng của giải tích

Bộ môn Khoa học Dữ liệu Thực hành Toán cao cấp 2019 Trang 1 THỰC HÀNH TOÁN CAO CẤP TÀI LIỆU PHỤC VỤ SINH VIÊN NGÀNH KHOA HỌC DỮ LIỆU Nhóm biên soạn TS Hoàng Lê Minh – Khưu Minh Cảnh – Hoàng Thị Kiều A[.]

Bộ mơn Khoa học Dữ liệu THỰC HÀNH TỐN CAO CẤP TÀI LIỆU PHỤC VỤ SINH VIÊN NGÀNH KHOA HỌC DỮ LIỆU Nhóm biên soạn: TS Hồng Lê Minh – Khưu Minh Cảnh – Hoàng Thị Kiều Anh – Lê Thị Ngọc Huyên – … TP.HCM – Năm 2019 Thực hành Tốn cao cấp - 2019 Trang Bộ mơn Khoa học Dữ liệu MỤC LỤC CHƯƠNG 5: BỔ SUNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN, MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA GIẢI TÍCH 3 Các khái niệm giải tích 1.1 Phép lặp để giải phương trình 1.2 Vector Một số khái niệm giải tích cần biết 2.1 Không gian hai chiều nhiều chiều 2.2 Các lân cận 4, 2.3 Các tiêu chuẩn đo khoảng cách (distance) 10 Ơn luyện giới hạn, đạo hàm tích phân 12 3.1 Giới hạn 12 3.2 Đạo hàm 14 3.3 Tích phân 17 BÀI TẬP CHƯƠNG 20 Thực hành Toán cao cấp - 2019 Trang Bộ môn Khoa học Dữ liệu CHƯƠNG 5: BỔ SUNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN, MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA GIẢI TÍCH Mục tiêu: - Các khái niệm bản, giới thiệu hàm nhiều biến - Các ứng dụng giải tích sống Nội dung chính: Các khái niệm giải tích 1.1 Phép lặp để giải phương trình Trong tính toán, phép lặp phương pháp kỹ thuật để giải phương trình Ví dụ sau liên quan đến số gọi Tỉ số Vàng (Golden Ratio) phép lặp for Python Vấn đề, cần giải phương trình sau: = √1 + Để giải phương trình trên, bước chọn nghiệm, nghiệm gọi nghiệm ban đầu Và tiếp tục trình lặp để tìm nghiệm xác Thực hành 1: Lặp để tìm nghiệm >>> x = >>> print (x) …………………………………………………  sinh viên điền giá trị vào >>> x = math.sqrt(1+x) >>> print (x) …………………………………………………  sinh viên điền giá trị vào >>> x = math.sqrt(1+x) >>> print (x) …………………………………………………  sinh viên điền giá trị vào >>> x = math.sqrt(1+x) >>> print (x) Thực hành Tốn cao cấp - 2019 Trang Bộ mơn Khoa học Dữ liệu …………………………………………………  sinh viên điền giá trị vào Sinh viên thực lệnh đến x không thay đổi cho biết cần lần thực phép gán: x = sqrt(x)………………………………? Thực hành 2: Lặp while để tìm nghiệm Chúng ta thử viết lệnh lặp để giải sau: >>> import math >>> x = >>> lap = >>> while (x != math.sqrt(x+1)): x = math.sqrt(x+1) lap = lap +1 # lưu ý: enter lần để thoát vòng lặp while >>> x …………………………………………………  sinh viên điền giá trị vào >>> lap …………………………………………………  sinh viên điền giá trị vào Từ đó, thấy qua bước lặp, x giá trị sau: 3, √1 + 3, + √1 + 3, + + √1 + 3, … x hội tụ số bước lặp (mặt khác sai số ngôn ngữ Python) Ở đây, gọi điểm hội tụ điểm cố định (fixed point) Thực hành 3: Giải phương trình hàm solve sympy Lưu ý: với sympy, giải phương trình = √1 + >>> import sympy as sp >>> from sympy import Symbol >>> x = Symbol('x') >>> sp.solve(x-sp.sqrt(1+x),x) Thực hành Toán cao cấp - 2019 Trang Bộ môn Khoa học Dữ liệu …………………………………………………  sinh viên điền giá trị vào 1.2 Vector Trong giải tích, hình học đại số, khái niệm vector khái niệm Một vector số để vị trí, hướng cung cấp thơng tin độ lớn vật tượng theo hướng Với không gian chiều, vector số gồm số Với không gian vector mặt phẳng Oxy chiều, vector số gồm số, thông thường, số giá trị x số sau giá trị y Gói numpy Python hỗ trợ xử lý vector với kiểu liệu numpy.array Thực hành 4: Các phép toán vector >>> import numpy as np >>> v1 = np.array([1., 2., 3.]) # tạo vector chiều >>> v2 = np.array([2., 1., 0.]) >>> v3 = v1 + v2 # cộng vector >>> v3 ………………………………………………  sinh viên điền kết vào Thực phép toán vector: >>> 3*v1 + 2*v2 ………………………………………………  sinh viên điền kết vào * Lưu ý: kiểu numpy.array khác với kiểu liệu list Python Thử nghiệm ví dụ sau (trên đối tượng list) >>> [1, 2, 3] + [2, 1, 0] ………………………………………………  sinh viên điền kết vào >>> 3*[1, 2, 3] + 2*[2, 1, 0] ………………………………………………  sinh viên điền kết vào Dễ dàng thấy, phép cộng list khơng phải phép cộng vector Thực hành Tốn cao cấp - 2019 Trang Bộ môn Khoa học Dữ liệu Ghép nối (Concatenating) nhiều vector: >>> v4 = np.hstack([v1, v2]) ………………………………………………  sinh viên điền kết vào * Phép nhân vô hướng vector: >>> np.dot(v1, v2) ………………………………………………  sinh viên điền kết vào Tính toán giá trị sin vector: >>> angles = np.linspace(0, np.pi/2, 5) >>> angles ………………….………………………………………………  sinh viên điền kết vào >>> np.sin(angles) …………………………………….……………………………  sinh viên điền kết vào Tuy nhiên, hàm xử lý sin gói sympy khơng hỗ trợ việc tính tốn tồn vector chứa liệu Thử nghiệm: >>> import sympy as sy >>> sy.sin(angles) ………………………………….……………………………  sinh viên điền kết (tên lỗi) Do đó, để sử dụng hàm sin sympy, viết đoạn chương trình lặp với vector xây dựng sẵn tạm thời: >>> from sympy import sin as sysin >>> angles = np.linspace(0, np.pi/2, 5) >>> sinangle = np.zeros(5) # tương đương >>> sinangle = np.array([0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0]) >>> len(angles) # kiểm tra kích thước/số chiều vector angles >>> for i in range(len(angles)): sinangle[i] = sysin(angles[i]) Thực hành Toán cao cấp - 2019 # lưu ý: phải enter lần để khỏi vịng for Trang Bộ môn Khoa học Dữ liệu >>> sinangle ………………………………….……………………………  sinh viên điền kết vào Lưu ý số lệnh tạo vector ma trận: Yêu cầu xử lý Lệnh Tạo vector* Tạo vector có n phần tử Tạo vector có n phần tử Tạo vector có n phần tử ngẫn nhiên từ đến Tạo vector rỗng có n phần tử np.zeros(n) np.ones(n) np.rand(n) np.empty(n) Tạo ma trận Tạo ma trận đơn vị np.eye(n) Tạo ma trận toàn np.zeros([n,m]) Tạo ma trận ngẫu nhiên np.rand(n,m) Tạo ma trận trống np.empty([n, m]) Tích vector ma trận np.dot( ma_tran1, ma_tran2) * ( Giả định thực thi lệnh >>> import numpy as np từ trước) Thực hành 5: Tính tổng tích ma trận vector Giả định gói thư viện numpy đưa vào hệ thống có tên np Dạng: ↔ ( , ) Minh họa thực Python: >>> import numpy as np >>> goc = np.pi/3 >>> A = np.array([ [np.cos(goc), -np.sin(goc)], [np.sin(goc), np.cos(goc)] ]) >>> V = np.array([1 , ]) >>> Y = np.dot(A, V) >>> Y ………………………………….……………………………  sinh viên điền kết vào Thực hành Toán cao cấp - 2019 Trang Bộ môn Khoa học Dữ liệu * Lưu ý 1: Tích ma trận với vector ma trận cần lưu ý đến thứ tự * Lưu ý 2: Không nên sử dụng dấu * thay cho phép toán dot Vì dấu * tính tốn tích phần tử (elementwise) mảng/ma trận thay cho phép nhân ma trận định nghĩa toán học * Lưu ý 3: Một số dạng toán học lệnh tương ứng Python - Tích vector - vector: = ∑ - Tích ma trận – ma trận: - Tích vector - ma trận: ↔ = = ∑" ! " #" ↔ =∑ ! ↔ = = ( , ) (!, #) ( , !) Một số khái niệm giải tích cần biết Dưới số khái niệm giải tích sinh viên cần biết 2.1 Không gian hai chiều nhiều chiều Như đề cập chương 1, khác với trục số chiều, không gian hai chiều gồm thành phần, thường đặt x y (hoặc u v) Ví dụ: tại, giới có khơng gian chiều x, y, z tính theo chiều thời gian có chiều! Theo đó, hàm số nhiều biến hiểu hàm số có khơng gian nhiều chiều Ví dụ: vị trí tàu lửa/xe lửa có biến (x,y, t) với x, y biến vị trí t thời gian cụ thể (có thể thêm z quan tâm đến độ cao tàu lửa) Đối với hệ thống học, số mơ hình lựa chọn thiết bị chiều với giá trị trạng thái thiết bị Khi đó, sử dụng vector nhiều chiều để biểu diễn Để thể hàm nhiều biến, sympy có biến hàm phải khai báo đối tượng Symbol 2.2 Các lân cận 4, Trong tính tốn, số khơng gian cần rời rạc hóa thành vị trí khơng gian Thông thường, người ta lưu vào thành bảng ma trận nhiều trường hợp lưới Với lưới đều, giải tích, vị trí có hai loại lân cận (neighbourhood) Đó lân cận (cịn gọi Moore neighborhood) lân cận (còn gọi lân cận Von Neumann neighborhood) Ngoài ra, số dạng lân cận khác sử dụng tùy theo ứng dụng cụ thể Ví dụ: lân cận hình tổ ong thường ứng dụng lĩnh vực truyền thơng/phát tín sóng điện thoại Hình bên minh họa lân cận: Thực hành Tốn cao cấp - 2019 Trang Bộ mơn Khoa học Dữ liệu Mỗi loại lân cận hỗ trợ giải tính tốn loại tốn khác đặc trưng tính tốn khoảng cách, đặc biệt có liên quan đến vị trí điểm mà quan điểm triết học biện chứng nơi có đối tượng có tương tác với nhau! Hình bên cho thấy với bán kính r=1 r=2 lân cận Von Neumann Moore khác số lượng điểm lân cận: Lân cận giải tích tảng ứng dụng y khoa (như việc loại bỏ tế bào ung thư…), ứng dụng ngập lụt (vị trí nước chảy đến),… ứng dụng tìm kiếm ảnh hưởng vật/hiện tượng có tính tự phát triển (là ứng dụng CA – Cellular Automata) như: lan truyền nhiệt, lửa cháy, vi khuẩn phát sinh, lan truyền khơng khí/nước ô nhiễm, sinh sôi nẩy nở vi khuẩn tượng xã hội đó… Với vector $⃗ = (&' , &( , … &) ), có phép tính vi phân sau: *$ = ( &) − &)-' &( − &' &, − &( , ,…, ) * * * Nghĩa vector tạo thành giảm chiều Thực hành 6: Tính toán đạo hàm vector liệu + Trường hợp dx cố định: >>> from numpy import diff >>> dx = 0.1 >>> y = [1, 2, 3, 4, 4, 5, 6] Thực hành Toán cao cấp - 2019 Trang Bộ môn Khoa học Dữ liệu >>> dy = diff(y)/dx >>> dy ………………………………….……………………………  sinh viên điền kết vào >>> z = np.array([1, 2, 3, 4, 4, 5, 6]) >>> dz = diff(z)/dx >>> dz ………………………………….……………………………  sinh viên điền kết vào Sinh viên so sánh kết tính nhận xét: ………………………………………… + Trường hợp dx dãy số: >>> from numpy import diff >>> x = [.1, 2, 5, 6, 7, 8, 9] >>> y = [1, 2, 3, 4, 4, 5, 6] >>> dydx = diff(y)/diff(x) >>> print (dydx) ………………………………….……………………………  sinh viên điền kết vào 2.3 Các tiêu chuẩn đo khoảng cách (distance) Từ việc xác định lân cận tiêu chuẩn không gian liên tục, có điểm ( , $ ) /( , $0 ) khoảng cách *( , /) điểm / xác định theo cách tiêu chuẩn sau: - - Với không gian Euclide: *( , /) = ( − )( + ($ − $0 )( Với lân cận 4, thực giống khoảng cách khối nhà hình bàn cờ (hay gọi khoảng cách Mahattan): *( , /) = | − | + |$ − $0 | Với lân cận 8: *( , /) = max (| − |, |$ − $0 |) Thực hành 7: Một số hàm xử lý phẳng (khơng gian Euclide) Thực hành Tốn cao cấp - 2019 Trang 10 ... liệu CHƯƠNG 5: BỔ SUNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN, MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA GIẢI TÍCH Mục tiêu: - Các khái niệm bản, giới thiệu hàm nhiều biến - Các ứng dụng giải tích sống Nội dung chính: Các khái niệm giải tích. .. LỤC CHƯƠNG 5: BỔ SUNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN, MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA GIẢI TÍCH 3 Các khái niệm giải tích 1.1 Phép lặp để giải phương trình 1.2 Vector Một số khái. .. sp.solve(x-sp.sqrt(1+x),x) Thực hành Toán cao cấp - 2019 Trang Bộ môn Khoa học Dữ liệu …………………………………………………  sinh viên điền giá trị vào 1.2 Vector Trong giải tích, hình học đại số, khái niệm vector khái niệm Một vector