bài tập nhóm số 2 học phần nhập môn thống kê ứng dụng trong giáo dục

Khái niệm:Phân phối chuẩn hay phân bố Gauss trên R với kì vọng μ và độ lệchchuẩn σ là phân phối của biến ngẫu nhiên liên tục X với hàm mật độPhân phối chuẩn mô tả một đồ thị dữ liệu đối

BÀI TẬP NHÓM SỐ 2 HỌC PHẦN NHẬP MÔN THỐNG KÊ ỨNG DỤNG TRONG GIÁO

DỤC Học kỳ II, năm học 2023 – 2024

HÀM PHÂN BỐ CHUẨN

1 Phân bố chuẩn

Khái niệm:Phân phối chuẩn (hay phân bố Gauss) trên R với kì vọng μ và độ lệch

chuẩn σ là phân phối của biến ngẫu nhiên liên tục X với hàm mật độ

Phân phối chuẩn mô tả một đồ thị dữ liệu đối xứng xung quanh giá trị trung bình của nó, trong đó độ rộng của đường cong được xác định bởi độ lệch chuẩn Nó

được mô tả trực quan là “đường cong hình chuông”

Công thức:

𝑓(𝑥) = σ 2π1 𝑒 −

(𝑥−µ) 2

2σ 2

· x = giá trị của biến hoặc dữ liệu đang được kiểm tra và f (x) hàm xác suất

· μ = trung bình

· σ = độ lệch chuẩn

Đồ thị của hàm mật độ phân phối chuẩn X≅N(μ, σ 2)

•Đồ thị đối xứng qua đường thẳng x=μ và thoải dài về hai phía, hai đuôi không cắt trục hoành

•Đồ thị hàm mật độ có hình cái chuông, trung điểm của cái chuông x=μ và chiều cao là 1

σ 2π

•Phân phối chuẩn là phân phối xác xuất quan trọng nhất, vì nhiều phân bố thực tế

có dáng điệu khá giống phân phối chuẩn, phân bố của IQ, chứng khoán, điểm thi, phân bố nhị thức, …

Độ lệch chuẩn

Nếu độ lệch chuẩn càng nhỏ, dữ liệu càng gần nhau và biểu đồ trở nên hẹp hơn Nếu độ lệch chuẩn càng lớn, dữ liệu sẽ bị phân tán nhiều hơn và biểu đồ trở nên rộng hơn Độ lệch chuẩn được sử dụng để chia nhỏ diện tích dưới đường cong

thông thường Mỗi phần được chia nhỏ xác định tỷ lệ phần trăm dữ liệu nằm trong vùng cụ thể của biểu đồ

Phân phối chuẩn chuẩn là phân phối chuẩn với giá trị trung bình bằng 0 và độ lệch chuẩn là 1

2 Phân bố chuẩn tắc

Trường hợp riêng: a = 0 và σ =1 thì X ∼ N(0, 1) còn gọi là phân phối (chuẩn) chuẩn tắc Hàm mật độ của phân phối chuẩn tắc được gọi làhàm mật độ Gauss

Nếu X∼ N(a, σ 2 ) thì

𝑌 = 𝑋−𝑎σ ∼ 𝑁(0; 1)

⇒Nhờ phép đổi biến, ta có thể tìm các tính chất của hàm chuẩn thông qua việc khảo sát hàm Gauss

- Hàm mật độ Gauss là hàm chẵn

- Khi |x|> 3, hàm Gauss nhận các giá trị xấp xỉ 0

- Hàm phân phối xác suất của phân phối chuẩn tắc:

𝐹(𝑥) =

−∞

𝑥

∫ 12Π 𝑒 −𝑡

2

2 𝑑𝑡

Vì hàm f(x) không có nguyên hàm, chúng ta có thể tìm giá trị gần đúng của F(x) bằng nhiều cách:

• Nhập trực tiếp công thức vào MTBT

• Lấy giá trị hàm P(t) qua chức năng STAT của MTBT ( slide 8, 9)

• Tra bảng số

VD: F( 1,24) = P(1,24) = 0,89251 F(-∞) = 0

F(- 1,24) = P(- 1,24) = 0,10749 F(+∞) = 1

Hàm hàm tích phân Laplace:

Φ(𝑥) =

0

𝑋

∫ 12π𝑒 −𝑡

2

2 𝑑𝑡

- Các tính chất:

Vì hàm f(x) không có nguyên hàm, chúng ta có thể tìm giá trị gần đúng của F(x) bằng nhiều cách:

• Nhập trực tiếp công thức vào MTBT

• Lấy giá trị hàm P(t) qua chức năng STAT của MTBT ( slide 8, 9)

• Tra bảng số

VD: F( 1,24) = P(1,24) = 0,89251 F(-∞) = 0

F(- 1,24) = P(- 1,24) = 0,10749 F(+∞) = 1

3 Các bài toán liên quan:

Câu 1: Kích thước chi tiết là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn với μ=50cm Kích

thước thực

tế của các chi tiết không nhỏ hơn 32cm và không lớn hơn 68cm Tìm xác suất để lấy ngẫu

nhiên một chi tiết có kích thước

a) Lớn hơn 55cm

b) Nhỏ hơn 40cm

Giải:

Cách Bấm Máy Tính:

a) Xác suất lấy ngẫu nhiên một chi tiết có kích thước lớn hơn 55cm: P(X>55)

B1: Vào Menu -> 7 ( Phân Phối)

B2: Chọn 2 ( PP t lũy Chuẩn)

B3: Nhập L dưới :55

L Trên : 9999999999999

σ: 3,6

µ : 50

B4: Đáp án P=0,082

b) Xác suất Ngẫu nhiên của một chi tiết có kích thước nhỏ hơn 40cm : P( X<40)

Tương tự câu a)

Nhập L Dưới : -99999999

L Trên : 40

σ : 3,6 µ: 50

Đáp án : P~ 0,0027

Câu 2: Tính hàm mật độ xác suất của phân phối chuẩn sử dụng dữ liệu sau x = 3,

μ = 4 và σ = 2

Giải:

Cho trước, biến số, x = 3, trung bình = 4 và độ lệch chuẩn = 2

Bằng công thức mật độ xác suất của phân phối chuẩn, chúng ta có thể viết:

Vậy, f(3,4,2) = 0,176

Các bước bấm máy tính cầm tay:

Bước 1: Nhấn phím MENU => nhấn phím 7 để chọn Distribution (Phân phối) => nhấn phím 1 để chọn Normal PD (Mật độ xác suất chuẩn)

Bước 2: Nhập x= 3 => nhấp phím =, suy ra nhập μ = 4 và σ = 2 cũng tương tự như vậy

Bước 3: Nhấp phím = , sau đó màn hình hiện ra kết quả cần tìm