Vấn đề 11 tích vô hướng của hai vecto trả lời ngắn

Biết rằng AC và BD là hai dây thuộc nửa đường tròn cắt nhau tại E.. Gọi H là trung điểm của BC D, là hình chiếu của H trên AC M, là trung điểm của HD.. Gọi M N, lần lượt là trung điểm củ

Trang 1

TOÁN 10- BÀI TẬP TRẢ LỜI NGẮN Điện thoại: 0946798489

PHẦN E CÂU HỎI TRẢ LỜI NGẮN

CÂU HỎI

Câu 1 Cho hình thang vuông ABCD có đáy lớn AB8a; đáy nhỏ CD4a; đường cao AD6a ; I là

trung điểm của AD Tính (   )

Trả lời:………

Câu 2 Cho tam giác ABC vuông tại A có ABa AC, 2 3a và A M là trung tuyến Tính tích vô hướng  

BA AM

Câu 3 Cho A(1; 2) và B( 1;3) Cho điểm P(0, )b

Tính cos APB theo tung độ của P

 

2 2

3



 

trí của điểm M trên đường thẳng BC sao cho EFM 90

Câu 6 Cho tam giác ABC cân tại A M; là trung điểm của BC H, là hình chiếu của M trên AC E; là trung điểm của M H Tính  AE BH

Câu 7 Cho tam giác ABC có BCa CA b AB,  , c Biết M là trung điểm của BC

Tính 2

Câu 8 Cho nửa đường tròn đường kính AB Biết rằng AC và BD là hai dây thuộc nửa đường tròn cắt nhau tại E Tính    AE AC BE BD  

biết AB 2

4

 AC

AM Gọi N là trung điểm CD Khi đó BMN là tam giác vuông cân tại đỉnh nào?

Câu 10 Cho tam giác ABC cân tại A Gọi H là trung điểm của BC D, là hình chiếu của H trên AC M,

là trung điểm của HD Tính  AM BD

VẤN ĐỀ 11 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉC TƠ

• |FanPage: Nguyễn Bảo Vương

Trang 2

Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/

Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/

Câu 11 Cho hai điểm A B, cố định có khoảng cách bằng a Tập hợp điểm M sao cho:

2

3

4

 

  a

Câu 12 Cho hình vuông ABCD cạnh a và số thực k Tập hợp điểm M sao cho

   

MA MC MB MD k là đường tròn có bán kính bằng bao nhiêu?

F có độ lớn 90 N làm một vật dịch chuyển một đoạn 100 m Biết lực



F hợp với hướng dịch chuyển một góc 60

Tính công sinh ra bởi lực 

F

Câu 14 Cho tứ giác lồi ABCD, hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O Gọi H và K lần lượt là trực tâm các tam giác ABO và CDO Gọi I J, lần lượt là trung điểm AD và BC Tính HK IJ 

?

Câu 15 Cho hình chữ nhật ABCD Kẻ BK AC K, AC Gọi M N, lần lượt là trung điểm của AK và

CD Tìm số đo góc BMN

Câu 16 Cho đoạn AB20 Tồn tại điểm M sao cho T3MA22MB2 đạt giá trị bé nhất Tmin Tính giá trị Tmin ?

Câu 17 Một chiếc xe được kéo bởi một lực 

F có độ lớn 50 N, di chuyển theo quãng đường từ A đến B

có chiều dài 200 m Cho biết góc hợp bởi lực 

F và 

AB bằng 30

và lực 

F được phân tích thành hai lực

1, 2

 

F F Tính công sinh ra bởi các lực  , 1,2

F F F ?

Câu 18 Cho tam giác ABC vuông tại A có cạnh AC7 cm và BC14 cm

Tính côsin của góc giữa hai vectơ 

AC và 

CB

Câu 19 Cho hình vuông ABCD cạnh bằng 3 Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho BM 1, trên cạnh

CD lấy điểm N sao cho DN1 và P là trung điểm BC Tính cos MNP 

Trang 3

Điện thoại: 0946798489 TOÁN 10- BÀI TẬP TRẢ LỜI NGẮN Trả lời:………

Câu 20 Cho tam giác ABC Gọi M N E, , lần lượt là trung điểm của BC CA AB, , Tính:

AM BC BN CA CE AB    

     

Câu 21 Cho tam giác đều ABC cạnh a nội tiếp đường tròn ( )O bán kính R M, là điểm bất kỳ nằm trên đường tròn ( )O Tính MA2MB2MC2

Câu 22 Cho tam giác ABC vuông tại A , trên hai cạnh AB và AC lần lượt lấy hai điểm B và  C sao cho AB AB AC AC  Gọi M là trung điểm của BC Tính  AM B C

΄ ΄

Câu 23 Cho hình chữ nhật ABCD có ABa và AD a 2 Gọi K là trung điểm của cạnh AD Tính

BK AC

 

Câu 24 Cho hai vectơ 

a và



b Biết | | 2,| |    3

a b và ( , )  120

a b Tính ||

Câu 25 Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a Tập hợp điểm M thỏa mãn        2

MA MC MB MD a là đường tròn bán kính R ?

Câu 26 Hai chiếc tàu thủy P và Q trên biển cách nhau 100 m và thẳng hàng với chân A của tháp hải đăng AB ở trên bờ biển Từ P và Q người ta nhìn chiều cao AB của tháp dưới các góc  BPA15 và

 55



BQA Tính chiều cao của tháp (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)



ABD Gọi I là điểm thỏa mãn

2   0

IC ID Tính tích vô hướng  

AO BI

Câu 28 Cho ABC đều cạnh là 3 Điểm M thỏa mãn: MA2MB2 18, khi đó tập hợp điểm M thuộc

đường tròn có bán kính bằng bao nhiêu?

Câu 29 Cho ABC đều cạnh là 3 Điểm M thỏa mãn: MA2MB2MC218, khi đó tập hợp điểm M

thuộc đường tròn có bán kính bằng bao nhiêu?

Câu 30 Cho ABC đều cạnh là 3 Điểm M thỏa mãn: 2MA2MB2MC2 18, khi đó tập hợp điểm

M thuộc đường tròn có bán kính bằng bao nhiêu?

Trang 4

Câu 31 Cho tam giác ABC Gọi M là trung điểm BC và H là trực tâm Biết MH MA  kBC2

Khi đó

?

k 

Câu 32 Cho tứ giác ABCD có AB2CD2 BC2AD2 Tính 

 

DB AC

LỜI GIẢI

Câu 1 Cho hình thang vuông ABCD có đáy lớn AB8a; đáy nhỏ CD4a; đường cao AD6a ; I là

trung điểm của AD Tính (   )

Trả lời: 18a2

Lời giải

2

cos cos

2 2 (3 ) 18

IA

IB

  

    

    

         

   



Câu 2 Cho tam giác ABC vuông tại A có ABa AC, 2 3a và AM là trung tuyến Tính tích vô hướng  

BA AM

Trả lời:

2

a



Lời giải

Tam giác AMB có AM BM AB nên là tam giác đều Suy ra MAB60

2

| | | | cos( , ) cos 60

2

a

       

Câu 3 Cho A(1; 2) và B( 1;3) Cho điểm P(0, )b

Tính cos APB theo tung độ của P

Trả lời:

2

5 5 ( 2) 1 ( 3) 1

 

    

Lời giải

Vì P thuộc trục tung nên P(0, )b Khi đó PA(1; 2b)

và PB ( 1;3b)

2

1.( 1) (2 )(3 ) 5 5

 

2

5 5 cos

| | | | ( 2) 1 ( 3) 1

APB

 

Trả lời: 1

4

Lời giải

Trang 5

Điện thoại: 0946798489 TOÁN 10- BÀI TẬP TRẢ LỜI NGẮN

Ta có:

4

AB AC

 



   

 

3



 

AF AD Xác định vị

trí của điểm M trên đường thẳng BC sao cho EFM 90

Trả lời: là điểm nằm trên phần kéo dài của BC về phía C sao cho 5

6

a

CM 

Lời giải

Gọi a là độ dài cạnh hình vuông

Xét hệ trục toạ độ xOy sao cho DO(0;0),C( ; 0),a A(0; )a

Dễ thấy ; ; 0;2

E a F  

Giả sử M( ; )a y (y ) Ta có:

;

2 3 2

; 3

a a FE

a

  











Vậy ta có biến đổi tương đương:

EF  FM

0

FE FM

  

2

      

Vậy ; 5

6

a

M a  

Từ đó M là điểm nằm trên phần kéo dài của BC về phía C sao cho 5

6

a

CM 

Trang 6

Câu 6 Cho tam giác ABC cân tại A M; là trung điểm của BC H, là hình chiếu của M trên AC E; là trung điểm của M H Tính  AE BH

Trả lời:  AE BH  0

Lời giải

Ta có biến đổi tích vô hướng như sau:

2 AE BH ( AM AH) (  BMMH)

     

    

     

0

  

Suy ra AE  BH (đpcm)

Suy ra  AE BH  0

Câu 7 Cho tam giác ABC có BCa CA b AB,  , c Biết M là trung điểm của BC

Tính 2

Trả lời:  2 2 2

2

4

Lời giải

Vì M là trung điểm của BC, nên: 1

2

  

      

2 2 2

; 2

 

 

  b c a

2

 

     

(đây cũng là công thức để tính độ dài đường trung tuyến tam giác)

Câu 8 Cho nửa đường tròn đường kính AB Biết rằng AC và BD là hai dây thuộc nửa đường tròn cắt nhau tại E Tính    AE AC BE BD  

biết AB 2

Trả lời: 4

Lời giải

Ta có:         (  )  (  )

AE AB AE BC BE BA BE AD

       

       

Vì AB là đường kính nửa đường tròn nên

Trang 7

   

Khi đó:                      

AE AC BE BD AE AB BE BA AE AB EB AB

     2

2

4

 AC

AM Gọi N là trung điểm CD Khi đó BMN là tam giác vuông cân tại đỉnh nào?

Trả lời: vuông cân tại đỉnh M

Lời giải

Đặt  , 

Khi đó: 1 1

   

1 2

    

1

16

  AD  AB   MBMN

Hơn nữa: 2 1 2 1  2 2  1  2 2  5 2

Suy ra MBMN(2) Từ (1) và (2) suy ra BMNvuông cân tại đỉnh M

Câu 10 Cho tam giác ABC cân tại A Gọi H là trung điểm của BC D, là hình chiếu của H trên AC M,

là trung điểm của HD Tính  AM BD

Trả lời: 0

Lời giải

Ta cần chứng minh:   0

2

       

Do đó: 1

2

     

2

              

AH HC AH HD AD HC AD HD ,

Trang 8

0( do )







 

 AH HC AH BC

1

2

        

1

2

       

0

                   



Vậy AM DB

Câu 11 Cho hai điểm A B, cố định có khoảng cách bằng a Tập hợp điểm M sao cho:

2

3

4

 

  a

Trả lời: Ra

Lời giải

Gọi I là trung điểm của AB ta có:

  a     a

2 2

   

2

4 4

a

IA



Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm I bán kính Ra

Câu 12 Cho hình vuông ABCD cạnh a và số thực k Tập hợp điểm M sao cho

   

MA MC MB MD k là đường tròn có bán kính bằng bao nhiêu?

Trả lời:

2 2



 k a

R

Lời giải

Gọi I là tâm của hình vuông ABCD

Ta có :  (    )(  )

MA MC MI IA MI IC (    )(  )22  2 2

Hoàn toàn tương tự, ta có:    2 2

MB MD MI IB Khi đó:        2 2 2 2  2 22 2

(trong đó

2

 

    

 

Nếu k a2 : Tập hợp điểm M là tập rỗng

Nếu k a2 thì MI  0 M I (điểm M trùng với điểm I )

Nếu k a2 thì

2 2



 k a

Khi đó tập hợp điểm M là đường tròn tâm I , bán kính

2 2



 k a

F có độ lớn 90 N làm một vật dịch chuyển một đoạn 100 m Biết lực



F hợp với hướng dịch chuyển một góc 60 Tính công sinh ra bởi lực 

F

Trang 9

Trả lời: 4500 J

Lời giải

Đặt OM s là đoạn đường mà vật di chuyển được với O là điểm đặt vật ban đầu Công sinh ra bởi lực 

F

là:

| | | | cos( , ) 90 100 cos 60 4500

  

Câu 14 Cho tứ giác lồi ABCD, hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O Gọi H và K lần lượt là trực tâm các tam giác ABO và CDO Gọi I J, lần lượt là trung điểm AD và BC Tính  HK IJ

?

Trả lời: 0

Lời giải

Ta có:     2  

  



   

  

   

Suy ra: 2  (  )     

                 

Vậy   0

HK IJ

Câu 15 Cho hình chữ nhật ABCD Kẻ BKAC K, AC Gọi M N, lần lượt là trung điểm của AK và

CD Tìm số đo góc BMN

Trả lời: 90

Lời giải

Đặt  , , 

Trang 10

1

[2 ( ) ( ) ]

      

Ta thấy rằng:   0

a b do   ; (  ) 0

Do  ; (   ) 0

Vì vậy 0  90

 

Câu 16 Cho đoạn AB20 Tồn tại điểm M sao cho T3MA22MB2 đạt giá trị bé nhất Tmin Tính giá trị Tmin ?

Trả lời: 480

Lời giải

Gọi điểm I thỏa mãn 32 0

IA IB

2

5

        

Vậy điểm I thuộc đoạn AB và 2 2

20 8, 12

: 3 2 3 2 3(  ) 2(  )

     

0



       

  



Ta có  2 2

3IA 2IB là hằng số do ba điểm A B I, , cố định

Do đó: T đạt giá trị nhỏ nhất  MI5 2 nhỏ nhất  MI bé nhất  Điểm M trùng với điểm I

Khi đó giá trị T nhỏ nhất là 2 2 2 2

min :T 3IA 2IB  3 8  2 12 480

Câu 17 Một chiếc xe được kéo bởi một lực 

F có độ lớn 50 N, di chuyển theo quãng đường từ A đến B

có chiều dài 200 m Cho biết góc hợp bởi lực 

F và 

AB bằng 30 và lực 

F được phân tích thành hai lực

1, 2

 

F F Tính công sinh ra bởi các lực  , 1,2

F F F ?

Trả lời: 5000 3 J ; 0; 5000 3 J

Lời giải

Đặt     , 1 , 2 

Khi đó AMNP là hình bình hành, mà AM  AP nên AMNP là hình chữ nhật

Ta có : 50, cos 30 50 3 25 3

2



25

APMN  AN AM 

Trang 11

Lực 

F sinh ra công | | | | cos 30 50 200 3 5000 3

2



        

Lực 1

F có độ lớn 25 N và tạo với phương dịch chuyển góc 90 nên công sinh ra là

1  1 | | cos 90 0

Lực 2

F có độ lớn 25 3 N và tạo với phương dịch chuyển góc 0 nên công sinh ra là

0

2   2 | | cos 0 25 3 200 1 5000 3   

Câu 18 Cho tam giác ABC vuông tại A có cạnh AC7 cm và BC14 cm

Tính côsin của góc giữa hai vectơ 

AC và 

CB

Trả lời: 1

2



Lời giải

Ta có: ( , )180( , )180

cos( )

2

 AC 

ACB

BC nên  60





Vậy ( , )18060120

cos( , ) cos120

2



 

AC CB

Câu 19 Cho hình vuông ABCD cạnh bằng 3 Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho BM 1, trên cạnh

CD lấy điểm N sao cho DN1 và P là trung điểm BC Tính cos MNP 

Trả lời: 13

5 10

Lời giải

,

     

 

NM NP

 

Câu 20 Cho tam giác ABC Gọi M N E, , lần lượt là trung điểm của BC CA AB, , Tính:

AM BC BN CA CE AB    

     

Trả lời: 0

Lời giải

Vì M là trung điểm BC nên:

2    2  (       )     (1)

Tương tự ta có: 2          (2)

2      (3)

     

Cộng từng vế (1), (2), (3) được:

2  2  2  0

AM BC BN CA CE AB hay           0

AM BC BN CA CE AB (đpcm)

Câu 21 Cho tam giác đều ABC cạnh a nội tiếp đường tròn ( )O bán kính R M, là điểm bất kỳ nằm trên đường tròn ( )O Tính MA2MB2MC2

Trả lời: 2a 2

Lời giải

Trang 12

Tam giác đều ABC cạnh a nội tiếp đường tròn ( )O bán kính R nên O là trọng tâm của tam giác

0

     

3

  a

Ta có: MA2MB2MC22a2

2

3

a

 

       

 

     

       

 

Vậy MA2MB2MC2 2a2

Câu 22 Cho tam giác ABC vuông tại A , trên hai cạnh AB và AC lần lượt lấy hai điểm B và  C sao cho AB AB AC AC  Gọi M là trung điểm của BC Tính  AM B C

΄ ΄

Trả lời: 0

Lời giải

Vì M là trung điểm của BC nên AM 12 ABAC

Do đó, 2 AM B C    ABACAC AB

   

   

Câu 23 Cho hình chữ nhật ABCD có ABa và AD a 2 Gọi K là trung điểm của cạnh AD Tính

BK AC

 

Trả lời: 0

Lời giải

Ta có: ACBD 2a2a2 a 3

1 2

    

  

AC AB AD

Suy ra

1

0 0 ( 2) 0

2

     

             

Câu 24 Cho hai vectơ 

a và 

b Biết | | 2,| |    3

a b và ( , )  120

a b Tính |  |

Trả lời: 72 3

Lời giải

Ta có | | ()2  222  | | 2 | | 22 | | | | cos( , )       7 2 3

Tiêu đề	Vấn Đề 11 Tích Vô Hướng Của Hai Vecto
Tác giả	Nguyễn Bảo Vương
Trường học	Trường Đại Học
Chuyên ngành	Toán
Thể loại	Bài Tập

Định dạng
Số trang	16
Dung lượng	765,82 KB