THÔNG TIN TÀI LIỆU
BÀI TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ MỤC TIÊU Kiến thức: - Phát biểu định nghĩa tích vơ hướng hai vectơ - Nắm tính chất tích vơ hướng biểu thức tọa độ tích vơ hướng Kĩ năng: - Nắm cơng thức tính độ dài vectơ, góc hai vectơ khoảng cách hai điểm mặt phẳng tọa độ - Tính tích vơ hướng hai vectơ dựa vào định nghĩa dựa vào biểu thức tọa độ tích vơ hưởng - Làm số tốn vận dụng tích vơ hướng hai vectơ I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM Định nghĩa Cho hai vectơ a b khác Tích vơ hướng a b số, kí hiệu a , b , xác định công thức sau a b | a | | b | cos(a, b ) Chú ý: Với a b khác ta có a b a b Khi a = b tích vơ hướng a b kí hiệu a gọi bình phương vơ hướng vectơ a Ví dụ: Cho tam giác ABC vng cân A, AB = a Khi ta có AB AC a a cos 90 BA BC a a cos 45 a Tính chất tích vơ hướng Với ba vectơ a, b, c số k ta có * a b b a (tính chất giao hốn); * a(b c ) a b a c (tính chất phân phối); * (ka) b k (a b ) a (kb ) * a 0, a a Nhận xét Từ tính chất tích vơ hướng hai vectơ ta suy (a b )2 a 2a b b (a b )2 a 2a b b (a b )(a b ) a b Ví dụ: Cho ba điểm A, B, C, thẳng hàng thỏa mãn AB 3BC , B nằm A C AB BC (3BC ) BC BC 3BC ( AB CB)2 (2BC)2 4BC Trang số ( AB CB)( AB CB) 2 AB CB BC BC 8BC Biểu thức tọa độ tích vơ hướng Trên mặt phẳng tọa độ (0; i , j ) cho hai vectơ a a1; a2 , b b1; b2 Khi tích vơ hướng a.b a b a1b1 a2b2 Nhận xét Hai vectơ a a1; a2 , b b1; b2 khác vectơ vng góc với a1b1 a2b2 Ví dụ: Trên mặt phẳng tọa độ xOy cho A(3;1), B(2;3) Khi ta có OA (3;1), OB (2;3) OA OB 1.3 | OA | 12 32 10;| OB | 22 32 13 cos(OA, OB) 3.2 1.3 10 13 130 Suy (OA; OB) 3752 AB (3 2)2 (1 3)2 Ứng dụng • Độ dài vectơ a a1; a2 tính theo cơng thức | a | a12 a22 • Góc hai vectơ: Nếu a a1; a2 b b1; b2 khác vectơ ta có: cos(a , b ) a1b1 a2b2 a b | a || b | a12 a22 b12 b22 • Khoảng cách hai điểm A xA ; yA B xB ; yB tính theo cơng thức AB xB xA yB yA 2 II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng Tích vơ hướng hai vectơ Phương pháp giải Áp dụng công thức định nghĩa a b | a | | b | cos(a, b ) Dùng tính chất phân phối Trang a (b c ) a b a c Như vậy, để tính tích vơ hướng hai vectơ, ta cần xác định độ dài hai vectơ góc hai vectơ Ví dụ: Cho ABC có cạnh a a2 Khi AB AC | AB | | AC | cos( AB, AC) a a cos 60 Ví dụ mẫu Ví dụ Cho ABC vng A có BC a, Bˆ 60 Giá trị tích vơ hướng BC CA A BC CA 3a2 B BC CA 7a C BC CA 3a D BC CA 7a Hướng dẫn giải Xét ABC vng A, ta có AC BC sin B a sin 60 a Ta có ( BC, CA) 180 ACB 180 90 ABC 180 90 60 150 a 3a Do BC CA BC CA cos( BC , CA) a cos150 3a Vậy BC CA Chọn đáp án C Ví dụ Cho tam giác ABC cân đỉnh A, có Bˆ 30 BC Lấy M điểm thuộc đoạn BC cho MC = 2MB Giá trị tích vơ hướng MA MC A Hướng dẫn giải B 20 C D Ta có MC 2MB BM BC; MC BC 3 Gọi I trung điểm BC Ta có MA MC ( BA BM ) BC BA BC BC 3 2 BA BC BC Trang 2 ( BA BC cos B) BC 2 BI BC BC ( BA cos B BI ) 2 3.6 62 Vậy MA MC Chọn đáp án A Ví dụ Cho hình thoi ABCD có độ dài cạnh a ADC 60 Gọi M trung điểm CD Tính a) DA DC b) MA CB (Trích Đề thi HK1, Trường THPT Đinh Thiện Lý, Thành phố Hồ Chí Minh, năm 2017-2018) Hướng dẫn giải a) Ta có DA DC DA DC cos ADC a a cos 60 a2 b) Ta có DA DC, ADC 60 ADC AM DC Xét tam giác AMD vuông M có AM AD2 MD2 a a2 a a AM 4 Gọi {O} AC BD {N} MO AB Xét tam giác BDC có M trung điểm DC, trung điểm DB MO đường trung bình BDC MO / / BC MO / / AD( BC / / AD) AMN DAM DAC 30 Ta có (MA, CB) (MA, MN ) AMN DAM 30 Vậy MA CB MA CB cos(MA, CB) a 3a a cos30 Ví dụ Cho ABC BAC 60 , AB 4, AC a) Tính AB AC b) Tính BC , từ suy độ dài cạnh BC c) Gọi M trung điểm BC Tính AM Hướng dẫn giải a) Ta có AB AC AB AC cos( AB, AC) 4.6 cos60 12 Trang 2 b) Ta có BC ( BA AC )2 BA BA AC AC BA2 AC AB AC 42 62 12 28 Vậy BC 28 suy BC2 28 BC 28 c) Ta có 2AM AB AC 2 AM ( AB AC )2 AB AB AC AC 42 2.12 62 76 AM 76 AM 19 AM 19 Vậy AM 19 Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai vectơ u (2; 1) v (3; 4) Giá trị tích vơ hướng u v A -2 B -10 C D -14 Câu Cho ABC vng cân có AB = AC = a Giá trị tích vơ hướng AB AC a A B a C a D Câu Cho ba điểm phân biệt O, A, B thẳng hàng OA = a, OB = b Biết nằm đoạn AB, giá trị tích vơ hướng OA OB A ab B C ab D a b Câu Cho hai vectơ a b khác vectơ không thỏa mãn a b | a | | b | Khi góc hai vectơ a b A (a, b ) 180 B (a, b ) 0 C (a, b ) 90 D (a, b ) 45 Câu Cho ABC có H trực tâm Giá trị biểu thức ( AB HC)2 A AB HC B ( AB HC)2 C AC AH D AC AH Câu Cho ABC cạnh a Giá trị AB BC BC CA CA AB A 3a 2 B 3a 2 C a2 D a2 Câu Cho tam giác RST có SRT 60 , RS 7, RT Gọi I trung điểm ST Độ dài IR A 57 B 13 C 169 D 169 Câu Cho hình bình hành ABCD có AB 4, AD 6, BAD 60 Gọi M, N trung điểm cạnh AB BC Giá trị CM DN A B C -5 Câu Cho hình thoi ABCD tâm O Khẳng định sau sai? D 1 BD 1 C AO BC AC D DC.DO BD 4 Câu 10 Cho hình vng ABCD, tâm O, cạnh a Mệnh đề sau sai? A AB AC a B BO CB A AB AC a B AC BD Trang C AB AO a2 D AB BO a2 Câu 11 Cho hình bình hành ABCD có AB = 4, AD = , BAD 60 Gọi M , N trung điểm cạnh AB BC Giá trị CM DN A B C -5 D 1 Câu 12 Cho | a | 2,| b | (a, b ) 60 Giá trị biểu thức A a b 1 a b A B C D 2 Câu 13 Cho hai vectơ a b thỏa điều kiện sau | a | 3,| b | | a b | Tích vô hướng a b 21 21 21 21 A B C D 2 4 Bài tập nâng cao Câu 14 Cho hai vectơ a b thỏa mãn | a || b | Biết vectơ x a 2b vng góc với vectơ y 5a 4b Góc hai vectơ a b A (a, b ) 60 B (a, b ) 120 C (a, b ) 90 D (a, b ) 30 Câu 15 Cho hình thang ABCD vng A D, AB = 4a , CD = 2a , AD = 3a Gọi N điểm thuộc cạnh AD cho NA = 2a Giá trị T ( NB NC) DC A 16a Đáp án trắc nghiệm 1-B 2-A 11-D 12-D B 14a C 8a 3-C 4-B 5-A 13-B 14-A 15-D 6-A D 12a 7-B 8-D 9-B 10-D Hướng dẫn giải Câu 14 Ta có vectơ x a 2b vng góc với vectơ y 5a 4b nên x y (a 2b ) (5a 4b ) | a |2 8 | b |2 6a b 5.12 8.12 6a b a b a b Từ suy cos(a, b ) (a, b ) 60 | a | | b | 1.1 Chọn đáp án A Câu 15 Trang Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ bên Khi A(0;0), B(4a;0), N(0;2a), D(0;3a), C(2a;3a) Suy NB (4a; 2a), NC (2a; a), DC (2a;0) Suy NB NC (6a; a) Vậy T ( NB NC) DC 6a 2a (a) 12a2 Chọn đáp án D Dạng Chứng minh đẳng thức có liên quan đến tích vô hướng Phương pháp giải - Để chứng minh đẳng thức, ta biến đổi từ vế thành vế kia, biến đổi hai vế biểu thức thứ ba biến đổi tương đương để đưa đẳng thức - Sử dụng tính chất phân phối tích vơ hướng phép cộng vectơ - Dùng quy tắc ba điểm AB BC AC hay quy tắc hiệu AB OB OA - Sử dụng tính chất: Nếu G trọng tâm ABC GA GB GC - Chú ý công thức AB AB2 Ví dụ: Cho tứ giác ABCD Chứng minh DA BC DB CA DC AB Hướng dẫn giải Nhận thấy BC CA AB nên ta tìm cách tách để xuất ba vectơ cộng với quy tắc ba điểm DA BC DB CA DC AB DA BC ( DA AB) CA ( DA AC) AB DA BC DA CA AB CA DA AB AC AB (DA BC DA CA DA AB) ( AB CA AC AB) DA ( BC CA AB) AB (CA AC) DA AB 0 Ví dụ mẫu Ví dụ Cho ABC có ba đường trung tuyến AI , BJ , CK Chứng minh AB CK BC AI CA BJ Hướng dẫn giải Trang 1 Ta có AI ( AB AC ) BC AI BC ( AB AC ) ( BC AB BC AC ) 2 Tương tự AB CK ( AB CA AB CB) CA BJ (CA BA CA BC ) Vậy AB CK BC AI CA BJ ( BC AB BC AC AB CA AB CB CA BA CA BC ) ( BC AB AB CB BC AC CA BC AB CA CA BA) Ví dụ Cho ABC có trực tâm H Gọi M trung điểm BC Chứng minh: a) AB AC MA2 MB b) MH MA BC Hướng dẫn giải a) Vì M trung điểm BC nên MB MC MC MB Ta có AB AC ( AM MB) ( AM MC ) AM AM MC AM MB MB MC 2 AM AM (MC MB) MB AM AM MB2 AM MB Vậy AB AC MA2 MB 1 b) Ta có MH ( HB HC ); MA ( AB AC ) 2 Suy MH MA ( HB HC ) ( AB AC ) ( HB AB HB AC HC AB HC AC ) Mà HB AC 0; HC AB 1 Suy MH MA ( HB AB HC AC ) [ HB ( AC CB) HC ( AB BC )] 4 ( HB AC HB CB HC AB HC BC ) 1 ( HC HB) BC BC 4 Vậy MH MA BC Ví dụ Cho hình chữ nhật ABCD , gọi M điểm tùy ý Chứng minh MA MC MB MD Trang Hướng dẫn giải Ta có MA MC (MB BA) (MD DC) MB MD MB DC BA MD BA DC Mà BA DC nên MA MC MB MD MB DC DC MD BA DC MB MD DC(MB MD BA) MB MD DC(DB BA) MB MD DC DA MB MD DC DA cos 90 MB MD Vậy MA MC MB MD Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai vectơ a a1; a2 b b1; b2 Khẳng định sau sai? a b (a b ) B a b a1 b1 a2 b2 2 C a b (a b ) a b D a b | a | | b | cos(a, b ) Câu Cho đoạn thẳng AB có trung điểm O điểm M tùy ý Đẳng thức sau đúng? A a b A MA MB OA2 OM B MA MB OM OA2 C MA MB 2MO D MA MB 2OM Câu Cho bốn điểm A, B, C, D thẳng hàng theo thứ tự Khẳng định sau đúng? A AB CD BA CD B AB AC BA CA C AC CD CA CD D AB BA AB Câu Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB Gọi M , N hai điểm thuộc nửa đường tròn cho hai dây cung AM BN cắt I Khẳng định sau đúng? A AI AM AI AB B AI AM AN AB C AI AM AI AN D AI AM AI BA Câu Cho a b hai vectơ khác Khi | u v |2 A u v 2u v C u v B u v 2u v D u v (u v ) Câu Cho M trung điểm AB, đẳng thức sau sai? A MA AB MA AB B MA MB MA MB C AM AB AM AB D MA MB MA MB Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a a1; a2 b b1; b2 Khẳng định sau sai? A a b a1b1 a2b2 B | a | a12 a22 Trang C cos(a , b ) a b | a || b | D cos(a, b ) | a | | b∣ a b Bài tập nâng cao Câu Cho tam giác ABC có AB a Tập hợp tất điểm M thỏa mãn điều kiện (MA MB) (MC MB) A đường thẳng qua trung điểm AB BC B đường trung trực đoạn thẳng AB C đường thẳng qua trung điểm AB vng góc với BC D đường thẳng qua trung điểm BC vng góc với AB Câu 10 Cho AB a I trung điểm AB Tập hợp điểm M thỏa mãn điều kiện MA2 MB a a a A đường tròn tâm I , bán kính B đường trịn tâm I , bán kính a C đường trịn tâm I , bán kính D đường trịn tâm I , bán kính a Câu 11 Cho ABC có cạnh BC = a, AC = b, AB = c Tích vơ hướng AB AC theo a, b, c 1 A AB AC a b c B AB AC a c b 2 1 C AB AC a b c D AB AC b c a 2 Câu 12 Cho ABC vng A có AB = 1, AC = Dựng điểm M cho AM BC , AM Đặt AM x AB y AC Giá trị T x2 y2 153 151 157 159 B T C T D T 20 20 20 20 Câu 13 Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H M trung điểm cạnh BC Đẳng thức sau đúng? 1 A MH MA BC B MH MA BC 2 1 C MH MA BC D MH MA BC Đáp án trắc nghiệm 1-A 2-B 3-B 4-A 5-B 6-B 7-D 8-C 9-B 10-D A T 11-A 12-C Hướng dẫn giải Bài tập nâng cao Câu Gọi I trung điểm AB Ta có (MA MB) (MC MB) 2MI BC MI BC Vậy tập hợp điểm M đường thẳng qua trung điểm AB vng góc với BC Chọn đáp án C Câu Ta có MA2 MB2 (MI IA)2 (MI IB)2 2MI 2MI ( IA IB) IA2 IB2 Trang 10 2MI 1 AB 2MI a 2 Mà MA2 MB a 2 a2 a 2 Suy 2MI a a MI MI 2 Vậy tập hợp điểm M đường tròn tâm I , bán kính a Chọn đáp án B Câu 10 Ta có BC ( AC AB)2 BC AC AB AC AB2 AB2 AC BC c2 b2 a2 2 Vậy AB AC b c a Chọn đáp án D Câu 11 AB AC Ta có AM x AB y AC AM x2 AB2 y AC x2 y Mặt khác AM BC AM BC x AB BC y AC BC x.AB ( AC AB) y AC ( AC AB) x y 144 x y x 144 x 20 Từ ta có hệ phương trình 20 x y x y y2 20 Vậy T x y 153 20 Chọn đáp án A Câu 12 MH ( BH CH ) Vì M trung điểm cạnh BC nên MA ( BA CA) Suy MH MA ( BA BH CA BH BA CH CA CH ) Trang 11 ( BA BH CA CH ) [ BA ( BC CH ) CA (CB BH )] ( BA BC BA CH CA CB CA BH ) 1 [ BC ( BA AC )] BC BC 4 Chọn đáp án C Dạng Chứng minh hai vectơ, hai đường thẳng vng góc Phương pháp giải Sử dụng tính chất tích vơ hướng a b a b Ví dụ: Cho hai vectơ a b vng góc với thỏa mãn | a | 1,| b | Chứng minh hai vectơ 2a b a b vng góc với Hướng dẫn giải Ta tính tích vơ hướng hai vectơ 2a b a b , sau chứng minh tích Ta có (2a b ) (a b ) 2a 2a b a b b | a |2 a b | b |2 2.1 0 Vậy 2a b a b vng góc với Ví dụ mẫu Ví dụ Cho hình vng ABCD cạnh a có M trung điểm AB N trung điểm BC Chứng minh AN DM Hướng dẫn giải Ta chứng minh AN DM Vì ABCD hình vng nên BC AD DA AB AD Do AB DA 0; BC AB 1 Ta có AN DM AB BC DA AB 2 1 AB BC DA AB DA BC AB 2 Trang 12 1 1 AB BC a a 2 2 Vậy AN DM Ví dụ Cho hình vng ABCD có M trung điểm đoạn thẳng AB N điểm thuộc đoạn AC cho AN = 3NC Chứng minh DN MN Hướng dẫn giải Vì AN 3NC N nằm A C nên AN 3NC AD DN 3( ND DC ) DN DC DA 4 3 Ta lại có MN MA AN BA AC BA ( AB BC ) AB BC 4 4 Mà ABCD hình vng nên DC AB AB2 ; DC BC DA AB 0; AD BC AD2 3 1 Từ suy DN MN DC DA AB BC 4 4 4 3 1 DC AB DC BC DA AB DA BC 4 4 4 4 3 AB DA2 16 16 Vậy DN MN Ví dụ Cho ABC vng A có AB = a, AC = 2a Gọi M trung điểm BC điểm D thuộc cạnh a AC cho AD Chứng minh BD AM Hướng dẫn giải Ta có AM BD ( AB AC) ( AD AB) AB AD AB AC AD AC AB AB2 AC AD cos( AC, AD) a a 2a Trang 13 Do AM BD Vậy BD AM Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho ba điểm A(1;1), B(3;2) C(-2;m – 1) Với giá trị m vectơ AB vng góc với vectơ OC ? A m = -5 B m = -3 C m = D m = Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho a (4;1), b x 1;8x Giá trị âm x để hai vectơ a b vng góc với 1 A x B x , x 1 C x , x D x 1 2 Câu Cho hình chữ nhật ABCD có AB = a, AD = 2a Gọi M trung điểm AB, N điểm cạnh AD cho AD k AN Giá trị k để CM BN A k 7,9 B k C k 8,1 D k 7,8 Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm A(-2;4) B(8;4) Điểm C thuộc trục hồnh cho ABC vng C A C (6;0) B C (0;0) (6;0) C C (0;0) D C (-1;0) Câu Cho a, b có vectơ (a 2b ) vng góc với vectơ (5a 4b ) | a || b | Khi cos(a, b ) B C D 2 Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm M(1;2), N(3;4) Điểm P trục Ox cho tam giác MNP vuông M A P(0:3) B P(-1;0) C P(3;0) D P(0;-1) Bài tập nâng cao Câu Cho tam giác ABC cạnh 3a, (a > 0) Lấy điểm M, N, P cạnh BC, CA, AB cho BM a, CN 2a, PA x(0 x 3a) Giá trị x để AM PN A A x 3a B x 4a C x a D x 2a ˆ 60 Lấy điểm E tia MP đặt ME k MP Tìm Câu Cho tam giác MNP có MN 4, MP 8, M k để NE vng góc với trung tuyến MF tam giác MNP 2 1 A k B k C k D k Câu Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB = AD = Gọi M trung điểm cạnh AB N điểm cạnh AD cho AN k AD Biết CM vng góc với BN , k thuộc vào khoảng sau đây? 1 1 1 1 1 A 0; B ; C ; D ; 9 6 16 16 20 20 Trang 14 Đáp án trắc nghiệm 1-D 2-A 3-B 4-B 5-D 6-C 7-B 8-B 9-D Hướng dẫn giải Bài tập nâng cao Câu x AC AB 3a 1 AM AB BM AB BC AB ( AC AB) AB AC 3 3 Do AM PN x 2 1 AM PN AB AC AC AB 3a 3 3 2 2x x AB AC AB AC AB AC 9a 9a 2x x AB AC cos 60 (3a) (3a) AB AC cos 60 9a 9a 4a 2a ax x 4a Vậy x AM PN Chọn đáp án B Câu Ta có PN AN AP Trang 15 Ta có NE NM ME k MP MN ; MF ( MP MN ) Do NE MF NE.MF (k MP MN ) ( MP MN ) (k.MP MN ) (MP MN ) k MP k MP.MN MN MP MN k.82 (k 1).8.4 cos60 42 80k 32 k Vậy k Chọn đáp án B Câu 10 Ta có CM CB BM AD AB; BN BA AN AB k AD Theo giả thiết, ta có 1 CM BN CM BN AD AB ( AB k AD) 16k k 2 1 1 Vậy k ; 9 6 Chọn đáp án D Dạng Ứng dụng tích vơ hướng: tính độ dài vectơ, tính khoảng cách hai điểm, tỉnh góc hai vectơ Phương pháp giải - Cho hai vectơ a a1; a2 b b1; b2 Ta có a b a1b1 a2b2 - Cho vectơ u u1; u2 Ta có | u | u12 u22 - Cho hai điểm A xA ; yA , B xB ; yB Ta có AB | AB | xB xA yB yA 2 Trang 16 - Tính góc hai vecto a a1; a2 b b1; b2 , ta dùng công thức cos(a , b ) a1b1 a2b2 a12 a22 b12 b22 Ví dụ: Trong mặt phẳng Oxy cho A(0;2), B(1;3), C(3;2) Ta có AB (1;1), AC (3;0) AB | AB | 12 12 AC | AC | 32 02 cos( AB, AC ) 1.3 1.0 ( AB, AC ) 45 2.3 Ví dụ mẫu Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho a (1;2) b (2;4) a) Tính | a |,| b | b) Tính a b tính cơsin góc hai vectơ a b c) Cho c 4a b d mi (m 1) j Tìm m để c d Hướng dẫn giải a) Ta có | a | (1)2 22 5,| b | 22 42 b) Ta có a b 1.2 2.4 Khi cos(a, b ) a b | a || b | 2 5 c) Ta có c 4a b c (6;4); d mi (m 1) j d (m; m 1) Do c d c d 6 m (m 1) 2m m 2 Vậy m = -2 c d Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy cho A(-2;1), B(3;-2), C(0;3) a) Tính độ dài trung tuyến BM ABC b) Tìm tọa độ điểm D cho ABCD hình bình hành c) Tính cos( AB, AC) (Trích Đề thi HK1, Trường THPT Lê Minh Xuân Thành phố Hồ Chí Minh, năm 2017 - 2018) Hướng dẫn giải a) Vì M trung điểm AC nên M(-1;2) Suy BM (4;4) Vậy BM (4)2 42 b) Giả sử điểm D cần tìm có tọa độ (x;y) 3 (2) x x 5 Ta có ABCD hình bình hành AB DC y 2 y Vậy D(-5;6) c) Ta có AB (5; 3) AC (2;2) Suy cos( AB, AC ) 5.2 (3) (3) 2 2 17 17 Trang 17 17 17 Ví dụ Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho hai điểm A(2;4) B(1;1) Tìm tọa độ điểm C cho tam giác ABC vuông cân B A C 16; 4 B C 0;4 C 2; 2 Vậy cos( AB, AC ) D C 4;0 C 2;2 C C 1;5 C 5;3 Hướng dẫn giải Giả sử C(x;y) Khi BA (1;3) BC ( x 1; y 1) Tam giác ABC vuông cân B x x 3y y BA BC x y 2 2 x 2 10 ( x 1) ( y 1) BA BC ( y 1) (3 y 3) 10 y Vậy C(4;0) C(-2;2) Chọn đáp án D Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ABC có A(4;-1), B(-2;-4) C(-2;-2) a) Tìm tọa độ trực tâm H ABC b) Tính chu vi ABC c) Tìm tọa độ điểm M thuộc Ox cho ABM cân M Hướng dẫn giải a) Giả sử tọa độ điểm H (x;y) Khi AH ( x 4; y 1), BH ( x 2; y 4) BC (0;2), AC (6; 1) Do H trực tâm ABC nên y 1 AH BC AH BC 0.( x 4) 2.( y 1) BH AC BH AC 6.( x 2) 1.( y 4) x Vậy H ; 1 b) Ta có AB (6; 3), AC (6; 1), BC (0;2) Suyra AB (6)2 (3)2 5, AC (6) (1) 37, BC 02 22 Vậy chu vi ABC AB AC BC 37 c) Giả sử tọa độ điểm M xM ;0 Khi AM xM 4;1 , BM xM 2;4 Do ABM cân M nên AM BM xM 4 12 xM 2 42 xM2 8xM 17 xM2 4xM 20 xM Vậy M ;0 Bài tập tự luyện dạng Bài tập Trang 18 Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai điểm A(2;-1), B(-2;1) điểm M có tung độ Tất điểm M để ABM vuông M A M(1:2) B M(-3;2); M(1:2) C M(-1;2) D M(1;2); M(-1;2) Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A(4;3), B(-5;6) C(-4;-1) Tọa độ trực tâm H tam giác ABC A H 3;2 B H 3; 2 C H 3; 2 D H 3;2 Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A(1;5), B(3;-1) C(6;0) Chân đường cao H kẻ từ B lên AC A H 5;1 B H 5;1 C H 1; 5 D H 5; 1 Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho A(-1;1), B(2;-3) C(2;1) Chu vi ABC A B 10 C 11 D 12 Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy có hai vectơ đơn vị hai trục i j Cho v bj v j v i (a;b) cặp số sau đây? A 2;3 B 3; C 3; D 0; Câu Cho tam giác ABC có NMP 30 , MN 4, MP Giá trị NP A 41 20 B 41 20 C 41 20 D 41 20 Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho A(-3;-3), B(1;3) C(7;-1) Tam giác ABC tam giác gì? A Tam giác nhọn B Tam giác tù C Tam giác vuông cân D Tam giác Câu Cho tam giác ABD có AB 4, AD 6, BAD 60 Độ dài đoạn thẳng BD A 28 B C 20 D Câu Điểm M trục Ox cho khoảng cách từ M đến N(-2;3) điểm sau đây? A M 0;3 B M 2;0 C M 3;0 M 2;0 D M 3;1 Câu 10 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC với A(3;4), B(4;1), C(2;-3) Tọa độ tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC 2 A 3; B 7; C 9; D 1;1 3 Câu 11 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm M(1;2), N(3;4) Điểm P trục Ox cho tam giác MNP vuông M A P 0;3 B P 1;0 C P 3;0 D P 0; 1 Câu 12 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm A(-1;5) B(3;3) Điểm M nằm trục Ox cho MA = MB A M 0;1 B M 1;0 C M 2;0 D M 2;0 Bài tập nâng cao Câu 13 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A(6;-6), B(-1;-5), C(3;3) Gọi I (a; b) tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Giá trị a + b A a b 6 B a b 1 C a b D a b Trang 19 Câu 14 Cho tam giác ABC vng A có BC = 2a , M điểm đoạn BC cho MB = 2MC Biết AM BC a Độ dài cạnh AC a 33 a 21 B a C D a 3 Câu 15 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A(-3;-2), B(5;2) trực tâm H(5;0) Tọa độ đỉnh C A 6; 2 B 4; 2 C 5; 2 D 4; 1 A Đáp án trắc nghiệm 1-D 2-A 11-C 12-B 3-B 4-D 5-A 13-C 14-C 15-A 6-C 7-C 8-B 9-B 10-D Hướng dẫn giải Bài tập nâng cao Câu 13 Vì I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên IA IB IC Từ đó, ta có hệ phương trình 14a 2b 46 (a 6)2 (b 6) (a 1) (b 5) a 2 2 b 2 (a 1) (b 5) (a 3) (b 3) 8a 16b 8 Vậy a b Chọn đáp án C Câu 14 8a2 Ta có AM BC ( AB BM ) BC AB BC BM BC AB BC BM BC cos AB BC 2 8a 5a Mà AM BC a nên AB BC a2 AB BC 3 Ta lại có AC AC ( AB BC )2 AB BC AB BC 5a 2a 2 AB 4a AB (1) Mặt khác AB AC BC 4a (2) 5a 7a 2 Từ (1) (2) suy AB , AC 3 a 21 Chọn đáp án C Câu 15 Gọi tọa độ đỉnh C (x;y) Vậy AC Ta có AC ( x 3; y 2), BC ( x 5; y 2), AH (8;2), BH (0; 2) Vì H trực tâm tam giác ABC nên AH BC AH BC 8( x 5) 2( y 2) x BH AC y 2 2( y 2) BH AC Vậy C (6;-2) Chọn đáp án A Trang 20 ... án C Câu Ta có MA2 MB2 (MI IA )2 (MI IB )2 2MI 2MI ( IA IB) IA2 IB2 Trang 10 2MI 1 AB 2MI a 2 Mà MA2 MB a 2 a2 a 2 Suy 2MI a a MI MI 2 Vậy tập hợp điểm... thức | a | a 12 a 22 • Góc hai vectơ: Nếu a a1; a2 b b1; b2 khác vectơ ta có: cos(a , b ) a1b1 a2b2 a b | a || b | a 12 a 22 b 12 b 22 • Khoảng cách hai điểm A xA ; yA... 1 a b A B C D 2 Câu 13 Cho hai vectơ a b thỏa điều kiện sau | a | 3,| b | | a b | Tích vô hướng a b 21 21 21 21 A B C D 2 4 Bài tập nâng cao Câu 14 Cho hai vectơ a b thỏa mãn
Ngày đăng: 30/04/2021, 09:14
Xem thêm: