Hình 10 bài 2 tổng và hiệu của hai vecto

CHƯƠNG VEC-TƠ TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ §2 TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ A TÓM TẮT LÍ THUYẾT ĐỊNH NGHĨA TỔNG VÀ HIỆU HAI VÉC-TƠ #» # » # » #» Định nghĩa (Phép cộng) Cho hai véc-tơ #» a b Với điểm A bất kỳ, dựng AB = #» a , dựng BC = b #» # » Khi đó, véc-tơ AC gọi véc-tơ tổng #» a b #» #» # » # » # » Ta ký hiệu: #» a + b , tức là: #» a + b = AB + BC = AC B #» a #» a # b» # b» a#» + #» b A C Phép tốn tìm tổng hai véc-tơ gọi phép cộng véc-tơ Định nghĩa (Véc-tơ đối) Cho véc-tơ #» a , véc-tơ có độ dài ngược hướng với #» a gọi #» #» véc-tơ đối a , ký hiệu − a − #» a #» a #» #» Định nghĩa (Phép trừ) Cho hai véc-tơ #» a b Phép phép trừ #» a với b định nghĩa #» phép cộng #» a với − b #» #» Ký hiệu #» a − b = #» a + (− b ) HDedu - Page CHƯƠNG VEC-TƠ 2 TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ QUY TẮC HÌNH BÌNH HÀNH Cho hình bình hành ABCD, # » # » # » • AC = AB + AD # » # » # » • AB − AD = DB B A C D CÁC TÍNH CHẤT CỦA PHÉP CỘNG, TRỪ HAI VÉC-TƠ Tính chất (giao hốn kết hợp) #» #» a) #» a + b = b + #» a, #» #» b) #» a + ( b + #» c ) = ( #» a + b ) + #» c Tính chất (véc-tơ đối) #» #» a) − = #» #» b) #» a − b = −( b − #» a ), # » # » c) −AB = BA #» #» #» Tính chất (cộng với véc-tơ ) #» a + = + #» a = #» a Tính chất Cho điểm A, B, C ta có: # » # » # » a) AB + BC = AC (quy tắc điểm), # » # » # » b) AB − AC = CB (quy tắc trừ) Tính chất # » # » #» a) (quy tắc trung điểm) I trung điểm AB ⇔ IA + IB = , # » # » # » #» b) (quy tắc trọng tâm) G trọng tâm 4ABC ⇔ GA + GB + GC = B CÁC DẠNG TOÁN | Dạng Xác định véc-tơ Dựa vào quy tắc cộng, trừ, quy tắc điểm, hình bình hành, ta biến đổi dựng hình để xác định véc-tơ Chú ý quy tắc sau # » # » a) −AB = BA # » # » # » b) AB + BC = AC (quy tắc điểm) # » # » # » c) AB − AC = CB (quy tắc trừ) # » # » # » d) AB + AD = AC (ABCD hình bình hành) ccc BÀI TẬP DẠNG ccc HDedu - Page CHƯƠNG VEC-TƠ TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ Ví dụ Cho tam giác ABC # » # » a) Xác định véc-tơ #» a = AB + BC #» # » # » b) Xác định véc-tơ b = AB − AC # » # » c) Xác định véc-tơ #» c = AB + AC Lời giải Ta có # » # » # » a) #» a = AB + BC = AC #» # » # » # » b) b = AB − AC = CB # » # » # » c) #» c = AB + AC = AD, với ABDC hình bình hành B #» b A #» c D #» a C  Ví dụ Cho hình bình hành ABCD, có tâm O Hãy xác định véc-tơ sau đây: a) b) # » # » #» x = AB + AD # » # » #» y = AO + CD c) d) # » # » #» z = CD − AC #» # » # » t = OA − BD C D O E A B F Lời giải H # » # » # » a) Theo tính chất hình bình hành #» x = AB + AD = AC # » # » # » # » # » b) #» y = AO + CD = OC + CD = OD # » # » # » # » # » c) #» z = CD − AC = CD + CA = CE (dựng hình bình hành CDEA) # » # » # » # » # » # » # » # » # » #» d) t = OA − BD = OA + DB = OA + OF = OH Trong đó, ta dựng OF = DB hình bình hành OF HA  Ví dụ Cho tam giác ABC đều, G trọng tâm M trung điểm cạnh BC Hãy xác định véc-tơ sau đây: # » # » a) GB + GC # » # » b) AG + CB # » # » c) AB + M C # » # » # » d) AB + GB + GC Lời giải HDedu - Page CHƯƠNG VEC-TƠ TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ # » # » # » a) GB + GC = GK (dựng hình bình hành GBKC) # » # » # » # » # » # » # » b) AG + CB = BF + CB = CF (dựng BF = AG) # » # » # » # » # » c) AB + M C = AB + BM = AM # » # » # » # » # » # » # » # » d) AB + GB + GC = AB + GK = AB + BF = AF A G B M C K F  Ví dụ Cho đoạn thẳng AB có trung điểm I Gọi M điểm tùy ý không nằm đường thẳng AB Lấy tia M I điểm N cho IN = M I Hãy xác định véc-tơ: # » # » # » a) M A + M B − M I # » #» b) AM + N I Lời giải # » # » # » # » # » #» a) M A + M B − M I = M N − M I = IN # » #» #» # » # » b) AM + N I = N I + N B = N K K M A I B N  BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Cho hình bình hành ABCD có tâm O Xác định véc-tơ đối véc-tơ sau đây: # » # » a) OA, DO # » # » b) AC, DA Bài Cho hình bình hành ABCD có tâm O Xác định véc-tơ sau đây: # » # » # » # » a) OA + OB + OC + OD # » # » # » # » b) OA + BO + CO + DO # » # » # » # » c) AC + BD + BA + DA # » # » # » # » d) OA + CB + OC + AD Bài Cho tam giác ABC Tìm véc-tơ #» x trường hợp: HDedu - Page CHƯƠNG VEC-TƠ TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ # » # » # » a) #» x + BC = AC + BA # » # » # » b) CA − #» x − CB = AB Bài Cho tam giác ABC Gọi M, N, P trung điểm BC, AC, AB Xác định véc-tơ sau đây: # » # » # » a) P B + M C + N A # » # » # » b) BA + P A + CM Bài Cho tam giác ABC, gọi M trung điểm AC N điểm đối xứng B qua M Xác định véc-tơ sau đây: # » # » a) AB + AN # » # » b) BA + CN # » # » # » c) AB + M C + M N # » # » # » d) BA + BC − M N Bài Cho hình lục giác ABCDEF , gọi M , N , P , Q, R, S trung điểm AB, BC, CD, DE, EF , F A Xác định véc-tơ sau đây: # » # » # » # » # » # » a) AD + BE + CF − AE − BF − CD # » # » # » b) M Q + RN + P S Bài Cho tam giác ABC Gọi D, E, F nằm cạnh BC, AC, AB cho BD = BC, 1 CE = CA, AF = AB Xác định véc-tơ sau đây: 3 # » # » # » # » # » # » a) AF + BD + CE b) AD + BE + CF | Dạng Xác định điểm thỏa đẳng thức véc-tơ cho trước Để xác định điểm M thỏa đẳng thức véc-tơ cho trước, ta làm sau: ◦ HƯỚNG 1: # » − Biến đổi đẳng thức véc-tơ cho dạng AM = #» v , A điểm cố định #» v véc-tơ cố định − Lấy A làm điểm gốc, dựng véc-tơ #» v điểm điểm M cần tìm ◦ HƯỚNG 2: # » # » − Biến đổi đẳng thức véc-tơ cho dạng AM = AB, A, B hai điểm cố định − Khi điểm M cần tìm trùng với điểm B ◦HƯỚNG 3: − Biến đổi đẳng thức véc-tơ cho đẳng thức véc-tơ với điểm M − Khi điểm M cần tìm điểm tùy ý ◦HƯỚNG 4: − Biến đổi đẳng thức véc-tơ cho đẳng thức véc-tơ sai với điểm M − Khi khơng có điểm M thỏa điều kiện ◦HƯỚNG 5: # » # » − Biến đổi đẳng thức véc-tơ cho dạng IM = AB , I, A, B điểm cố định − Khi điểm M cần tìm thuộc đường trịn tâm I, bán kính AB ◦HƯỚNG 6: − Biến đổi đẳng thức véc-tơ cho dạng # » # » M A = M B , A, B điểm cố định HDedu - Page CHƯƠNG VEC-TƠ TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ phân biệt − Khi điểm M cần tìm thuộc đường trung trực đoạn AB ccc BÀI TẬP DẠNG ccc # » # » # » #» Ví dụ Cho tam giác ABC Tìm điểm M thỏa mãn điều kiện BA + BC + M B = Lời giải # » # » # » #» # » # » #» # » # » BA + BC + M B = ⇔ BA + M C = ⇔ CM = BA A ⇒ Điểm M điểm thứ tư hình bình hành ABCM M B C  # » # » # » # » Ví dụ Cho tam giác ABC Tìm điểm M thỏa mãn điều kiện M A − M B + M C = BC Lời giải # » # » # » # » # » # » # » # » # » M A − M B + M C = BC ⇔ BA − BC = CM ⇔ CA = CM A ⇒ Điểm M trùng với điểm A B C  # » # » # » Ví dụ Cho tam giác ABC Tìm điểm M thỏa mãn điều kiện M A − M B = AB Lời giải # » # » # » # » # » M A − M B = AB ⇔ BA = AB A ⇒ khơng có M thỏa điều kiện toán B C  # » # » # » Ví dụ Cho tam giác ABC Tìm điểm M thỏa mãn điều kiện |M A| = |M B − M C| Lời giải HDedu - Page CHƯƠNG VEC-TƠ TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ # » # » # » # » # » |M A| = |M B − M C| ⇔ |M A| = |CB| ⇔ M A = CB ⇒ Điểm M thuộc đường trịn tâm A, bán kính CB A B M C  BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Cho 4ABC Dựng điểm M thỏa mãn điều kiện # » # » # » #» MA + MB − MC = (1) # » # » # » #» Bài Cho tam giác ABC Tìm điểm M thỏa mãn điều kiện M A + M B − M C = Bài Cho tam giác ABC Gọi I trung điểm cạnh AC Tìm điểm M thỏa mãn điều kiện # » # » # » # » #» IB + AI − IC − CM = Bài Cho tam giác ABC Gọi I, K trung điểm đoạn thẳng BC, AI Tìm điểm # » # » # » # » # » #» M thỏa mãn điều kiện BA + BI − BM + AK + IC = # » # » # » Bài Cho hình bình hành ABCD tâm O Tìm điểm M thỏa mãn điều kiện CO + BO = OM # » # » # » # » #» Bài Cho hình bình hành ABCD Tìm điểm M thỏa mãn điều kiện CA − BM + BC + AD = Bài Cho tam giác ABC Gọi G trọng tâm tam giác ABC Tìm điểm M thỏa mãn điều kiện # » # » # » # » #» AB + BG + CA − CM = # » # » # » Bài Cho hình bình hành ABCD tâm O Tìm điểm M thỏa mãn điều kiện BA + M D + DO = # » # » M A + BC # » # » # » # » Bài Cho hai điểm A B Tìm điểm M thỏa mãn điều kiện |M A + M B| = |M A − M B| # » # » # » # » Bài 10 Cho tam giác ABC Tìm điểm M thỏa mãn điều kiện |M A − CA| = |AC − AB| # » # » # » # » Bài 11 Cho tam giác ABC Tìm điểm M thỏa mãn điều kiện |BA − BM | = |M A + AC| # » # » # » # » Bài 12 Cho năm điểm A, B, C, D, E Tìm điểm M thỏa mãn điều kiện AD + BE + CM = AE + # » # » BM + CD | Dạng Tính độ dài tổng hiệu hai véc-tơ − Độ dài véc-tơ độ dài đoạn thẳng có hai đầu mút điểm đầu điểm cuối véc-tơ − Ta thường sử dụng công thức cạnh hệ thức lượng tam giác vng, định lý Pytago, tính chất tam giác đều, hình chữ nhật, hình vng, ccc BÀI TẬP DẠNG ccc HDedu - Page CHƯƠNG VEC-TƠ TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ # » # » Ví dụ Cho tam giác ABC cạnh a Tính AB − AC Lời giải # » # » # » # » # » # » Ta có AB − AC = CB nên AB − AC = CB = CB = a  # » # » Ví dụ Cho hình vng ABCD cạnh a Tính DB + DC Lời giải Vẽ hình bình hành CDBM DM cắt BC trung điểm I A B đường # » # » # » # » # » Ta có DB + DC = DM nên DB + DC = DM = 2DI  a 2 # » # » √ Mà DI = a2 + = a2 nên DB + DC = a M I D C  # » # » # » # » Ví dụ Chứng minh 4ABC thỏa mãn AB + AC = AB − AC ∆ABC tam giác vng Lời giải Dựng hình bình hành ABDC # » # » # » Theo quy tắc hình bình hành ta có AB + AC = AD # » # » # » Theo quy tắc hiệu hai ta có AB − AC = CB # véc-tơ » # » Từ giả thiết suy AD = BC , tức AD = BC Hình bình hành ABDC có hai đường chéo nên hình chữ nhật, tức tam giác ABC vng B D A C  Ví dụ Cho hình vng ABCD cạnh a Gọi M trung điểm AB, N điểm đối xứng # » # » với C qua D Hãy tính độ dài véc-tơ sau M D, M N Lời giải Áp dụng Định lý Pytago tam giác vuông M AD√ta có  a 2 5a2 a 2 DM = AM + AD = + a2 = ⇒ DM = 2 √ # » a Suy M D = M D = Qua N kẻ đường thẳng song song với AD cắt AB P Khi tứ giác ADN P hình vng P M = P A + AM = a 3a a+ = 2 D C N A P B M Áp dụng Định lý Pytago tam giác vng N P M√ta có √ Å ã2 # » 3a 13a2 a 13 a 13 2 2 MN = NP + P M = a + = ⇒ DM = Suy M N = M N = 2 HDedu - Page  CHƯƠNG VEC-TƠ TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ # » Ví dụ Cho hình vng ABCD cạnh a, M điểm Tính độ dài véc-tơ M A − # » # » # » M B − M C + M D Lời giải Áp dụng quy tắc trừ ta có # » # » # » # » Ä # » # »ä Ä # » # »ä # » # » # » # » M A − M B − M C + M D = M A − M B − M C − M D = BA − DC = BA − DC LấyB điểm đối xứng B qua A # » # » # » # » # » # » # » Khi −DC = AB ⇒ BA − DC = BA + AB = BB # » # » # » # » # » Suy |M A − M B − M C + M D| = |BB | = BB = 2a  BÀI TẬP TỔNG HỢP # » # » # » # » Bài Cho tam giác ABC cạnh 5a Tính độ dài véc-tơ AB + BC, CA − CB #» #» #» #» Bài Xét véc-tơ #» a b khác Khi | #» a + b | = | #» a | + | b | #» #» #» #» Bài Xét véc-tơ #» a b khác Khi #» a + b = #» a − b #» Bài Chứng minh với #» a b khơng phương #» #» #» | #» a | − | b | < #» a + b < | #» a | + | b | Bài Cho tam giác ABC cân A, đường cao AH Biết AB = a BC = 2b (với a > b > 0) Tính # » # » # » # » độ dài véc-tơ tổng AB + BH độ dài véc-tơ hiệu AB − CA √ # » # » Bài Cho tam giác ABC vuông A, AB = a, BC = a Tính độ dài véc-tơ AB + BC, # » # » CA − CB # » # » Bài Cho tam giác ABC vuông A, biết AB = a AC = 3a Tính độ dài véc-tơ tổng AB + AC # » # » độ dài véc-tơ hiệu AB − AC ’ = 60◦ Tính: Bài Cho hình thoi ABCD có tâm O, cạnh BAD # » # » # » # » # » # » # » AB + AD , OC − AB , −OD + DB + OC Bài đường thẳng d hai điểm A, B phân biệt, khơng nằm d Tìm M ∈ d cho # »9 Cho # » M A + BA nhỏ Bài 10 Cho đường thẳng d hai điểm A, B nằm nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng d Tìm # » # » giá trị nhỏ biểu thức M A + M B , với M ∈ d HDedu - Page CHƯƠNG VEC-TƠ TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ | Dạng Chứng minh đẳng thức véc-tơ a) Sử dụng quy tắc ba điểm b) Sử dụng quy tắc hình bình hành ccc BÀI TẬP DẠNG ccc # » # » # » # » # » Ví dụ Cho điểm A, B, C, D, E Chứng minh AB + CD + EA = CB + ED Lời giải Đẳng thức cần chứng minh tương đương với Ä # » # »ä Ä # » # »ä # » #» AB − CB + CD − ED + EA = # » # » # » #» ⇔AC + CE + EA = # » # » #» ⇔AE + EA = (luôn đúng)  # » # » # » #» Ví dụ Cho hình bình hành ABCD Chứng minh BA + DA + AC = Lời giải # » # » Do ABCD hình bình hành nên BA = CD # » # » #» Đẳng thức cần chứng minh tương đương vớiCD + DC = (ln đúng)  Ví dụ Cho tam giác ABC Gọi M, N, P trung điểm cạnh BC, CA, AB # » # » # » #» Chứng minh AM + BN + CP = Lời giải # » # » # » AM = AC + CM   # » # » # » Ta có BN = BA + AN   # » # » # » CP = CB + BP # » # » # » Ä # » # » # »ä Ä # » # » # »ä ⇒ AM + BN + CP = AC + CB + BA + CM + BP + AN #» # » # » # » = + CM + BP + AN (# » # » BP = M N Lại có # » # » AN = N C # » # » # » # » # » # » #» ⇒ AM + BN + CP = CM + M N + N C = A P N B C M  # » # » # » # » # » # » Ví dụ Cho điểm A, B, C, D, E Chứng minh AC + DE − DC − CE + CB = AB Lời giải Ta có # » # » # » # » # » Ä # » # »ä Ä # » # »ä # » AC + DE − DC − CE + CB = AC − DC + DC − CE CB # » # » # » = AD + DC + CB # » = AB  HDedu - Page 10 CHƯƠNG VEC-TƠ TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ # » Ví dụ Chứng minh hai hình bình hành ABCD A0 B C D0 có tâm AA0 + # » # » # » #» BB + CC + DD0 = Lời giải Gọi O tâm hai hình bình hành Ta có # » # » # » # » Ä # » # »ä Ä # » # »ä Ä # » # »ä Ä # » # »ä AA0 + BB + CC + DD0 = OA0 − OA + OB − OB + OC − OC + OD0 − OD Ä # » # »ä Ä # » # »ä Ä # » # »ä Ä # » # »ä = − OA + OC − OB + OD + OA0 + OC + OB + OD0 #» =  BÀI TẬP TỰ LUYỆN # » # » # » # » Bài Chứng minh AB = CD ⇔ AC = BD Bài Cho hình bình hành ABCD M điểm tùy ý Chứng minh: # » # » # » # » M A − M B = M D − M C # » # » Bài Cho hình bình hành ABCD Chứng minh với điểm M ta ln có M A + M C = # » # » M B + M D Bài Cho tam giác ABC, gọi M, N, P trung điểm cạnh BC, CA, AB Chứng # » # » # » # » # » # » minh với điểm O ta ln có OA + OB + OC = OM + ON + OP Bài Cho tam giác ABC có trọng tâm G Gọi I trung điểm BC Dựng điểm B cho # » # » # » #» B B = AG Gọi J trung điểm BB Chứng minh BJ = IG # » # » # » #» Bài Cho hai hình bình hành ABCD AB C D0 Chứng minh B B + CC + D0 D = Bài Cho hình bình hành ABCD Gọi E F trung điểm hai cạnh AB CD Nối # » # » # » AF CE, hai đường cắt đường chéo BD M N Chứng minh DM = M N = N B Bài Cho hình bình hành ABCD Trên đoạn thẳng DC, AB theo thứ tự lấy điểm M, N cho DM = BN Gọi P giao điểm AM, DB Q giao điểm CN, DB Chứng minh # » # » # » # » AM = N C DP = QB Bài Cho tam giác ABC có H trực tâm O tâm đường tròn ngoại tiếp Gọi B điểm đối # » # » # » # » xứng B qua O Chứng minh AH = B C AB = HC Bài 10 Cho tam giác ABC có trung tuyến AM Trên cạnh AC lấy điểm E cho AE = AC # » # » #» BE cắt AM N Chứng minh N A + N M = # » # » # » # » # » #» Bài 11 Cho ngũ giác ABCDE tâm O Chứng minh OA + OB + OC + OD + OE = # » Bài 12 Cho đa giác A1 A2 An với n ∈ N n ≥ có tâm O Chứng minh #» u = OA1 + # » # » #» OA2 + + OAn = HDedu - Page 11 ...CHƯƠNG VEC-TƠ 2 TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ QUY TẮC HÌNH BÌNH HÀNH Cho hình bình hành ABCD, # » # » # » • AC = AB + AD # » # » # » • AB − AD = DB B A C D CÁC TÍNH CHẤT CỦA PHÉP CỘNG, TRỪ HAI VÉC-TƠ... giác vuông, định lý Pytago, tính chất tam giác đều, hình chữ nhật, hình vuông, ccc BÀI TẬP DẠNG ccc HDedu - Page CHƯƠNG VEC-TƠ TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ # » # » Ví dụ Cho tam giác ABC cạnh a... + OC + AD Bài Cho tam giác ABC Tìm véc-tơ #» x trường hợp: HDedu - Page CHƯƠNG VEC-TƠ TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ # » # » # » a) #» x + BC = AC + BA # » # » # » b) CA − #» x − CB = AB Bài Cho tam