Đang tải... (xem toàn văn)
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Định nghĩa Cho hai vectơ và đều khác . Tích vô hướng của và là một số, kí hiệu là , được xác định bởi công thức sau: Chú ý Với và khác ta có . Khi tích vô hướng được kí hiệu là và số này được gọi là bình phương vô hướng của vectơ . Tính chất của tích vô hướng Với ba vectơ và mọi số ta có • (tính chất giao hoán); • (tính chất phân phối); • ; • Nhận xét. Từ tính chất tích vô hướng của hai vectơ ta suy ra ; ; . Biểu thức tọa độ của tích vô hướng Trên mặt phẳng tọa độ , cho hai vectơ , . Khi đó tích vô hướng . Nhận xét. Hai vectơ , đều khác vectơ vuông góc với nhau khi và chỉ khi Ứng dụng • Độ dài của véctơ được tính theo công thức • Góc giữa hai vectơ: Nếu và đều khác vectơ thì ta có: • Khoảng cách giữa hai điểm và được tính theo công thức: Ví dụ: Cho tam giác vuông cân tại , Khi đó ta có ; Ví dụ: Cho ba điểm thẳng hàng thỏa mãn , nằm giữa và . ; ; Ví dụ: Trên mặt phẳng tọa độ cho , . Khi đó ta có Suy ra
CHƯƠNG TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG BÀI TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ MỤC TIÊU Kiến thức + Phát biểu định nghĩa tích vơ hướng hai vectơ + Nắm tính chất tích vơ hướng biểu thức tọa độ tích vơ hướng + Nắm cơng thức tính độ dài vectơ, góc hai vectơ khoảng cách hai điểm mặt phẳng tọa độ Kỹ + Tính tích vơ hướng hai vectơ dựa vào định nghĩa dựa vào biểu thức tọa độ tích vơ hướng + Làm số tốn vận dụng tích vơ hướng hai vectơ Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Định nghĩa r r r r Cho hai vectơ a b khác Tích vơ hướng a Ví dụ: Cho tam giác ABC vng cân A , r rr AB a b số, kí hiệu a.b , xác định công thức sau: rr r r r r a.b a b cos a , b Chú ý r r r rr r r Với a b khác ta có a.b � a b Khi ta có r r ur r r2 r uuur Khi a b tích vơ hướng a.a kí hiệu a số uuu AB AC a.a.cos 90� ; r uuu r uuur gọi bình phương vô hướng vectơ a BA.BC a.a cos 45� a Tính chất tích vơ hướng r r r Với ba vectơ a, b, c số k ta có rr rr a.b b.a (tính chất giao hốn); r r r rr rr a b c a.b a.c (tính chất phân phối); r r rr ur r ka b k a.b a k.b ; r2 r2 r r a �0, a � a r r r2 r r r2 a 2a.b b ; r r r2 r r r2 a 2a.b b ; r r r r uuu r uuur uuur uuur uuur AB.BC 3BC BC 3BC 3BC ; 4BC uuu r uuu r uuu r uuu r AB CB AB CB suy a b mãn AB 3BC , B nằm A C uuu r uuu r uuur AB CB BC Nhận xét Từ tính chất tích vơ hướng hai vectơ ta a b Ví dụ: Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng thỏa 2 ; uuu r uuu r2 AB CB BC BC BC r2 r2 b a b a b a Biểu thức tọa độ tích vơ hướng Ví dụ: Trên mặt phẳng tọa độ xOy cho rr Trên mặt phẳng tọa độ O, i, j , cho hai vectơ A 3;1 , B 2;3 r r a a1 ; a2 , b b1 ; b2 Khi tích vơ hướng Khi ta có uuu r uuur rr OA 3;1 , OB 2;3 a.b a1.b1 a2 b2 uuu r uuu r r r OA.OB 2.3 1.3 9; Nhận xét Hai vectơ a a1 ; a2 , b b1 ; b2 khác r vectơ vng góc với Trang a1.b1 a2 b2 Ứng dụng r Độ dài véctơ a a1 ; a2 tính theo cơng r 2 thức a a1 a2 Góc hai vectơ: r r r Nếu a a1 ; a2 b b1 ; b2 khác vectơ ta có: rr rr a.b a1.b1 a2 b2 cos a.b r r a.b a12 a2 b12 b2 Khoảng cách hai điểm A xA ; y A xB x A uuu r uuu r 3.2 1.3 cos OA, OB 10 130 uuu r uuur 52� Suy OA; OB �37� B xB ; yB tính theo cơng thức: AB uuu r uuu r OA 12 32 10; OB 2 32 13; AB 2 3 yB y A II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tích vô hướng hai vectơ Phương pháp giải Áp dụng công thức định nghĩa rr r r r r a.b a b cos a, b Ví dụ: Cho ABC có cạnh a Khi uuur uuur uuur uuur uuur uuur AB AC AB AC cos AB, AC Dùng tính chất phân phối r r r rr rr a b c a.b a.c =a.a.cos60� = a2 Như vậy, để xác định tích vơ hướng hai vectơ, ta cần xác định độ dài hai vectơ góc hai vectơ Ví dụ mẫu � 60� Ví dụ Cho ABC vng A có BC a, B uuur uuu r Giá trị tích vô hướng BC.CA uuur uuu r 3a A BC.CA uuur uuu r 7a B BC.CA Trang uuur uuu r 3a C BC.CA uuur uuu r 7a D BC.CA Hướng dẫn giải Xét ABC vng A , ta có AC BC.sin B a.sin 60� a uuur uuu r ACB 180� 90� � ABC 180� 90� 60� 150� Ta có BC , CA 180� � uuur uuu r uuur uuu r a 3a Do BC.CA BC.CA.cos BC , CA a .cos150� uuur uuu r 3a Vậy BC.CA Chọn đáp án C � 30�và BC Lấy M điểm thuộc Ví dụ Cho tam giác ABC cân đỉnh A , có B uuur uuuu r đoạn BC cho MC 2MB Giá trị tích vô hướng MA.MC A B 20 C D Hướng dẫn giải uuuu r uuur uuuu r uuur Ta có MC MB � BM BC ; MC BC 3 Gọi I trung điểm BC uuur uuuu r uuu r uuuu r uuur � uuu r uuur �2 uuur BC Ta có MA.MC BA BM BC �BA BC � 3 � �3 r uuur uuur2 uuu BA.BC BC 2 uuur2 BA.BC.cos B BC 2 BI BC BC (do BA.cos B BI ) Trang 2 3.6 uuur uuuu r Vậy MA.MC Chọn đáp án A Ví dụ Cho hình thoi ABCD có độ dài cạnh a � ADC 60� Gọi M trung điểm CD Tính uuur uuur a) DA.DC uuur uuu r b) MA.CB (Trích đề thi HK1, Trường THPT Đinh Thiện Lý, Thành phố Hồ Chí Minh, năm 2017-2018) Hướng dẫn giải uuur uuur a2 a) Ta có DA.DC DA.DC.cos � ADC a.a.cos 60� b) Ta có DA DC , � ADC 60�� ADC � AM DC Xét tam giác AMD vuông M có AM AD MD a a2 a a � AM 4 Gọi O AC �BD N MO �AB Xét tam giác BDC có M trung điểm DC , O trung điềm DB � MO đường trung bình BDC 1� � AMN DAM DAC 30� � MO //BC � MO //AD (do BC //AD ) � � uuur uuu r uuur uuuu r � AMN DAM 30� Ta có MA, CB MA, MN � uuur uuu r uuur uuu r a 3a Vậy MA.CB MA.CB.cos MA, CB a cos 30� � 60� Ví dụ Cho ABC có BAC , AB 4, AC uuuruuur a) Tính AB AC uuur2 b) Tính BC , từ suy độ dài cạnh BC c) Gọi M trung điểm BC Tính AM Hướng dẫn giải uuu r uuur uuu r uuur a) Ta có AB AC AB AC.cos AB, AC 4.6.cos 60� 12 uuur2 uuu r uuur b) Ta có BC BA AC uuu r2 uuu r uuur uuur BA 2.BA.BC AC uuu r uuur BA2 AC AB AC 42 62 2.12 28 uuur Vậy BC 28 suy BC 28 � BC 28 Trang uuuu r uuu r uuur c) Ta có 2AM AB AC uuuu r2 uuu r uuur uuu r2 uuu r uuur uuur � AM AB AC AB AB AC AC 42 2.12 62 76 � AM 76 � AM 19 � AM 19 Vậy AM 19 Bài tập tự luyện dạng Bài tập r r Câu 1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai vectơ u 2; 1 v 3; Giá trị tích vơ rr hướng u.v A -2 B -10 C D -14 uuur uuur Câu 2: Cho ABC vng cân có AB AC a Giá trị tích vơ hướng AB AC A B a C a D a Câu 3: Cho ba điểm phân biệt O, A, B thẳng hàng OA a , OB b Biết O nằm đoạn AB , giá uuu r uuu r trị tích vơ hướng OA.OB A ab B C ab D a b rr r r r r r Câu 4: Cho hai vectơ a b khác vectơ không thỏa mãn a.b a b Khi góc hai vectơ a r b r r r r r r r r A a, b 180� B a, b 0� C a, b 90� D a, b 45� uuur uuur Câu 5: Cho ABC có H trực tâm Giá trị biểu thức AB HC B AB HC A AB HC C AC AH D AC AH uuur uuur uuur uuu r uuu r uuu r Câu 6: Cho ABC cạnh a Giá trị AB.BC BC.CA CA AB A 3a B 3a C a2 D a2 � 60� Câu 7: Cho tam giác RST có SRT , RS 7, RT Gọi I trung điểm ST Độ dài IR A 57 B 13 C 169 D 169 � 60� Câu 8: Cho hình bình hành ABCD có AB 4, AD 6, BAD Gọi M , N trung điểm uuuu r uuur cạnh AB BC Giá trị CM DN A B C -5 D Câu 9: Cho hình thoi ABCD có tâm O Khẳng định sau sai? Trang uuu r uuur A AB.AC AC uuur uuur C AO.BC AC uuur uuu r B BO.CB BD uuur uuur D DC.DO BD Câu 10: Cho hình vng ABCD , tâm O , cạnh a Mệnh đề sau sai? uuu r uuur uuur uuur A AB AC a B AC.BD uuu r uuur a C AB AO uuur uuur a D AB.BO � 60� Câu 11: Cho hình bình hành ABCD có AB 4, AC 6, BAD Gọi M , N trung điểm uuuu r uuur cạnh AB BC Giá trị CM DN A B C -5 D r r r r 1 Giá trị biểu thức A r r r r Câu 12: Cho a 2, b a, b 60� a.b a.b C D 2 r r r r r r rr Câu 13: Cho hai vectơ a b thỏa mãn điều kiện a 3, b 4, a b Tích vơ hướng a.b A B A 21 B 21 C 21 D 21 Bài tập nâng cao r r r r r r r Câu 14: Cho hai vectơ a b thỏa mãn a b Biết vectơ x a 2b vng góc với vectơ u r r r r r y 5a 4b Góc hai vectơ a b r r r r r r r r A a, b 60� B a, b 120� C a, b 90� D a, b 30� Câu 15: Cho hình thang ABCD vuông A D , AB 4a, CD 2a, AD 3a Gọi N điểm thuộc uuur uuur uuur cạnh AD cho NA 2a Giá trị T NB NC DC B 14a A 16a C 8a D 12a ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN DẠNG 1- B 2- A 3- C 11- D 12- D 13- B Hướng dẫn giải 4- B 14- A 5- A 15- D 6- A 7- B 8- D 9- B 10- D Câu 14 u r r r r r r Ta có vectơ x a 2b vng góc với vectơ y 5a 4b nên ru r r r r r r2 r2 rr rr rr x y � a 2b 5a 4b � a b 6a.b � 5.12 8.12 6a.b � a.b rr r r r r Từ suy cos a; b ra.br � a, b 60� a b 1.1 Trang Chọn đáp án A Câu 15 Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ bên Khi A 0;0 , B 4a;0 , N 0; 2a , D 0;3a , C a;3a uuur uuur uuur Suy NB 4a; 2a , NC 2a; a , DC 2a;0 uuur uuur Suy NB NC 6a; a uuur uuur uuur Vậy T NB NC DC 6a.2a a 12a Chọn đáp án D Dạng Chứng minh đẳng thức có liên quan đến tích vơ hướng Phương pháp giải - Để chứng minh đẳng thức, ta biến đổi từ vế thành vế kia, biến đổi hai vế biểu thức thứ ba biến đổi tương đương để đưa đẳng thức - Sử dụng tính chất phân phối tích vơ hướng phép cộng vectơ uuu r uuur uuur - Dùng quy tắc ba điểm AB BC AC hay uuu r uuu r uuu r quy tắc AB OB OA - Sử dụng tính chất: Nếu G trọng tâm ABC uuu r uuur uuur r GA GB GC uuur2 - Chú ý công thức AB AB Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD Chứng minh uuur uuur uuur uuu r uuur uuu r DA.BC DB.CA DC AB Hướng dẫn giải uuur uuu r uuur r Nhận thấy BC CA AB nên ta tìm cách tách để xuất ba vectơ cộng với quy tắc ba điểm uuur uuur uuur uuu r uuur uuu r DA.BC DB.CA DC AB uuur uuur uuur uuu r uuu r uuur uuur uuu r DA.BC DA AB CA DA AC AB uuur uuur uuur uuu r uuur uuu r uuur uuu r uuur uuur DA.BC DA.CA AB.CA DA AB AC AB uuur uuur uuur uuu r uuur uuu r uuu r uuu r uuur uuu r DA.BC DA.CA DA AB AB.CA AC AB uuur uuur uuu r uuu r uuu r uuu r uuur DA BC CA AB AB CA AC uuur r uuu rr DA.0 AB.0 0 Ví dụ mẫu Ví dụ Cho ABC có ba đường trung tuyến AI , BJ , CK uuu r uuur uuur uur uuu r uuu r Chứng minh AB.CK BC AI CA.BJ Hướng dẫn giải Trang uur uuu r uuur uuur uur uuur uuu r uuur uuur uuu r uuur uuur Ta có AI AB AC � BC AI BC AB AC BC AB BC AC 2 uuu r uuur uuu r uuu r uuu r uuu r Tương tự AB.CK AB.CA AB.CB ; uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuur CA.BJ CA.BA CA.BC uuu r uuur uuur uur uuu r uuu r Vậy AB.CK BC AI CA.BJ r uuur uuur uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuur uuur uuu BC AB BC AC AB.CA AB.CB CA.BA CA.BC r uuu r uuu r uuur uuur uuu r uuur uuu r uuu r uuu r uuu r uuur uuu BC AB AB.CB BC AC CA.BC AB.CA CA.BA Ví dụ Cho ABC có trực tâm H Gọi M trung điểm BC Chứng minh: uuuur uuur b) MH MA BC uuu r uuur a) AB AC MA2 MB Hướng dẫn giải uuur uuuu r r uuuu r uuur a) Vì M trung điểm BC nên MB MC MC MB uuu r uuur uuuu r uuur uuuu r uuuu r uuuu r uuuu r uuuu r uuuu r uuur uuur uuuu r Ta có AB.AC AM MB AM MC AM AM MC AM MB MB.MC uuuu r uuuu r uuuu r uuur uuur uuuu rr AM AM MC MB MB AM AM MB AM MB uuu r uuur Vậy AB AC MA2 MB uuuur r uuur uuur uuur uuur uuu b) Ta có MH HB HC ; MA AB AC 2 Trang uuuur uuur uuur uuur uuu r uuur Suy MH MA HB HC AB AC r uuur uuur uuur uuu r uuur uuur uuur uuu HB AB HB AC HC AB HC AC uuur uuur r uuur uuu r r Mà HB AC 0; HC AB uuuur uuur uuur uuu r uuur uuur uuur uuur uuu r uuur uuu r uuur HB AC CB HC AB BC � Suy MH MA HB AB HC AC � � 4� r uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuu HB AC HB.CB HC AB HC BC uuur uuur uuur HC HB BC BC 4 uuuur uuur Vậy MH MA BC Ví dụ Cho hình chữ nhật ABCD , gọi M điểm tùy ý uuur uuuu r uuur uuuu r Chứng minh MA.MC MB.MD Hướng dẫn giải uuur uuuu r uuur uuu r uuuu r uuur Ta có MA.MC MB BA MD DC uuur uuuu r uuur uuur uuu r uuuu r uuu r uuur MB.MD MB.DC BA.MD BA.DC uuu r uuur uuur uuuu r uuur uuuu r uuur uuur uuur uuuu r uuu r uuur Mà BA DC nên MA.MC MB.MD MB.DC DC.MD BA.DC uuur uuuu r uuur uuur uuuu r uuu r MB.MD DC MB MD BA uuur uuuu r uuur uuur uuu r uuur uuuu r uuur uuur MB.MD DC DB BA MB.MD DC DA uuur uuuu r uuur uuuu r MB.MD DC.DA.cos 90� MB.MD uuur uuuu r uuur uuuur Vậy MA.MC MB.MD Bài tập tự luyện dạng r r Câu 1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hao vectơ a a1; a2 b b1 ; b2 Khẳng định sau sai? r r r2 r2 r r � a b a b A a.b � � 2� r r r r r2 r2 C a.b �a b a b � � 2� rr B a b a1b1 a2 b2 rr r r r r D a.b a b cos a, b Câu 2: Cho đoạn thẳng AB có trung điểm O điểm uuur uuur A MA.MB OA2 OM B uuur uuur uuuu r C MA.MB 2MO D M tùy ý Đẳng thức sau đúng? uuur uuur MA.MB OM OA2 uuur uuur MA.MB 2OM Câu 3: Cho bốn điểm A, B, C , D thẳng hàng theo thứ tự Khẳng định sau đúng? Trang 10 uuu r uuur uuu r uuur A AB.CD BA.CD uuur uuur uuu r uuur C AC.CD CA.CD uuu r uuur uuu r uuu r B AB AC BA.CA uuur uuu r D AB.BA AB Câu 4: Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB Gọi M , N hai điểm thuộc nửa đường tròn cho hai dây cung AM BN cắt I Khẳng định sau đúng? uur uuuu r uur uuu r uur uuuu r uuur uuu r A AI AM AI AB B AI AM AN AB uur uuuu r uur uuur uur uuuu r uur uuu r C AI AM AI AN D AI AM AI BA r r2 r r r Câu 5: Cho a b hai vectơ khác Khi u v r r2 rr A u v 2u.v r r2 C u v r r2 rr B u v 2u.v rr r r D u.v u v Câu 6: Cho M trung điểm AB , đẳng thức sau sai? uuur uuu r uuur uuur A MA AB MA AB B MA.MB MA.MB uuuu r uuu r uuur uuur C AM AB AM AB D MA.MB MA.MB r r Câu 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai vectơ a a1; a2 b b1 ; b2 Khẳng định sau sai? r 2 B a a1 a2 rr A a.b a1.b1 a2 b2 rr r r a.b C cos a, b r r a.b r r a.b r r D cos a, b r r a.b Bài tập nâng cao Câu 9: Cho tam giác ABC có AB a Tập hợp tất điểm M thỏa mãn điều kiện uuur uuur uuuu r uuur MA MB MC MB A Đường thẳng qua trung điểm AB BC B Đường trung trực đoạn thẳng AB C Đường thẳng qua trung điểm AB vng góc với BC D Đường thẳng qua trung điểm BC vng góc với AB Câu 10: Cho AB a I trung điểm AB Tập hợp điểm M thỏa mãn điều kiện MA2 MB a A đường trịn tâm I , bán kính C đường trịn tâm I , bán kính a a B đường trịn tâm I , bán kính a D đường trịn tâm I , bán kính a uuur uuur Câu 11: Cho ABC có cạnh BC a, AC b, AB c Tích vơ hướng AB AC theo a, b, c uuu r uuur uuu r uuur 2 2 A AB AC a b c B AB AC a c b 2 uuu r uuur uuu r uuur 2 2 C AB AC a b c D AB AC b c a 2 Trang 11 Câu 12: Cho ABC vuông A có AB 1, AC Dựng điểm M cho AM BC , AM Đặt uuuu r uuu r uuur AM x AB y AC Giá trị T x y A T 153 20 B T 151 20 C T 157 20 D T 159 20 Câu 13: Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H M trung điểm cạnh BC Đẳng thức sau đúng? uuuur uuur uuuur uuur 2 A MH MA BC B MH MA BC uuuur uuur uuuur uuur 2 C MH MA BC D MH MA BC ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BẢI TẬP TỰ LUYỆN DẠNG 1- A 2- B 3- B 11- A 12- C Hướng dẫn giải 4- A 5- B 6- B 7- D 8- C 9- B 10- D Bài tập nâng cao Câu Gọi I trung điểm AB uuur uuur uuuu r uuur uuu r uuur Ta có MA MB MC MB � 2MI BC � MI BC Vậy tập hợp điểm M đường thẳng qua trung điểm AB vng góc với BC Chọn đáp án C Câu Ta có uuu r uu r uuu r uur MA2 MB MI IA MI IB uuu r uu r uur 1 2MI 2MI IA IB IA2 IB 2MI AB 2MI a 2 Mà MA2 MB a a2 a Suy MI a a � MI � MI Vậy tập hợp điểm M đường tròn tâm I , bán kính a Chọn đáp án B Câu 10 uuur2 uuur uuu r uuu r uuur Ta có BC AC AB � BC AC AB AC AB uuu r uuur AB AC BC c b a � AB AC 2 uuu r uuur 2 Vậy AB AC b c a Chọn đáp án D Trang 12 Câu 11 uuuu r uuu r uuur Ta có AM x AB y AC � AM x AB2 y AC � x y uuuu r uuur uuu r uuur uuur uuur Mặt khác AM BC � AM BC � x AB.BC y AC BC uuu r uuur uuu r uuur uuur uuu r � x AB AC AB y AC AC AB � x y � 144 � 144 �x �x y �x � 20 �� 20 � � Từ ta có hệ phương trình � x y � � �y �x y � 20 2 Vậy T x y 153 20 Chọn đáp án A Câu 12 �uuuur uuur uuur MH BH CH � � Vì M trung điểm cạnh BC nên �uuur uuu r uuu r �MA BA CA � r uuur uuu r uuur uuu r uuur uuu r uuur uuuur uuur uuu Suy MH MA BA.BH CA.BH BA.CH CA.CH r uuur uuu r uuur uuu BA.BH CA.CH r uuur uuur uuu r uuu r uuur uuu � BA BC CH CA CB BH � � 4� A H B r uuur uuu r uuur uuu r uuu r uuu r uuur uuu BA.BC BA.CH CA.CB CA.BH r uuur uuur uuu uuur2 � BC BA AC � BC BC � 4� M C Chọn đáp án C Dạng Chứng minh hai vectơ, hai đường thẳng vng góc Phương pháp giải Sử dụng tính chất tích vơ hướng r r rr a b � a.b r r Ví dụ: Cho hai vectơ a b vng góc với r r thỏa mãn a 1, b Chứng minh hai r r r r vectơ 2a b a b vng góc với Hướng dẫn giải r r Ta tính tích vơ hướng hai vectơ 2a b r r a b , sau chứng minh tích r r r r r2 r r r r r2 Ta có 2a b a b 2a 2a.b a.b b Trang 13 r2 rr r2 a a.b b 2.1 0 r r r r Vậy 2a b a b vng góc với Ví dụ mẫu Ví dụ Cho hình vng cạnh ABCD cạnh a có M trung điểm đoạn thẳng AB N trung điểm BC Chứng minh AN DM Hướng dẫn giải uuur uuuur Ta chứng minh AN DM uuur uuur uuur Vì ABCD hình vng nên BC AD DA AB AD uuur uuur uuur uuu r Do AB.DA 0; BC AB uuur uuuur �uuu r uuur �� uuur uuu r� �DA AB � Ta có AN DM �AB BC � 2 � �� � r uuur uuur uuu r uuur uuur uuu r uuu AB BC.DA AB.DA BC AB 2 1 1 AB BC a a 2 2 Vậy AN DM Ví dụ Cho hình vng ABCD có M trung điểm đoạn thẳng AB N điểm thuộc đoạn AC cho AN 3NC Chứng minh DN MN Hướng dẫn giải uuur uuur Vì AN 3NC N nằm A C nên AN 3NC uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur � AD DN ND DC � DN DC DA 4 uuuu r uuur uuur uuu r uuur uuu r uuu r uuur uuu r uuur Ta lại có MN MA AN BA AC BA AB BC AB BC 4 4 Trang 14 uuur uuu r uuur uuur uuur uuu r uuur uuur Mà ABCD hình vng nên DC AB AB ; DC.BC 0; DA AB 0; AD.BC AD uuur uuuu r �3 uuur uuur ��1 uuu r uuur � � AB BC � Từ suy DN MN � DC DA � 4 �4 ��4 � r uuur uuur uuur uuu r uuur uuur uuur uuu DC AB DC BC DA AB DA BC 4 4 4 4 3 AB DA2 16 16 =0 (do AB DA2 ) Vậy DN MN Ví dụ Cho ABC vng A có AB a, AC 2a Gọi M trung điểm BC điểm D thuộc cạnh AC cho AD uuur uuuu r a Chứng minh rẳng BD AM Hướng dẫn giải uuuu r uuur uuu r uuur uuur uuu r Ta có AM BD AB AC AD AB uuu r uuur uuu r uuur uuur uuur uuu r AB AD AB AC AD AC AB uuur uuur AB AC AD cos AC AD a a 2a uuuu r uuur uuur uuuu r Do AM BD Vậy BD AM Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho ba điểm A 1;1 , B 3; C 2; m 1 Với giá trị uuur uuur m vectơ AB vng góc với vectơ OC ? A m 5 B m 3 C m D m r ur r Câu 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho a 4;1 , b x 1;8 x Giá trị âm x để hai vectơ a ur b vng góc với A x B x ; x 1 C x ; x D x 1 Câu 3: Cho hình chữ nhật ABCD có AB a, AD 2a Gọi M trung điểm AB , N điểm uuur uuur cạnh AD cho AD k AN Giá trị k để CM BN A k 7,9 B k C k 8,1 D k 7,8 Trang 15 Câu 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm A 2; B 8; Điểm C thuộc trục hoành cho ABC vuông C A C 6;0 B C 0;0 C 6;0 C C 0;0 D C 1;0 r r r r r r r r r r Câu 5: Cho a b có vectơ a 2b vng góc với vectơ 5a 4b a b Khi cos a, b A B C D Câu 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm M 1; , N 3; Điểm P trục Ox cho tam giác MNP vuông M A P 0;3 B P 1;0 C P 3;0 D P 0; 1 Bài tập nâng cao Câu 7: Cho tam giác ABC cạnh 3a, a Lấy điểm M , N , P cạnh BC , CA, AB cho BM a, CN 2a, PA x x 3a Giá trị x để AM PN A x 3a B x 4a a C x D x 2a uuur uuur � 60� Lấy điểm E tia MP đặt ME k MP Câu 8: Cho tam giác MNP có MN 4, MP 8, M Tìm k để NE vng góc với trung tuyến MF tam giác MNP A k B k C k D k Câu 9: Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB AD Gọi M trung điểm cạnh AB uuur uuur N điểm cạnh AD cho AN k AD Biết CM vng góc với BN , k thuộc vào khoảng sau đây? � 1� 0; � A � � 16 � �1 � B � ; � 16 20 � � �1 � C � ; � �20 � �1 � D � ; � �9 � ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BẢI TẬP TỰ LUYỆN DẠNG 1- D 2- A 3- B Hướng dẫn giải 4- B 5- D 6- C 7- B 8- B 9- D Bài tập nâng cao Câu uuur uuur uuu r uuur x uuu r Ta có PN AN AP AC AB; 3a uuuu r uuu r uuuu r uuu r uuur uuu r uuur uuu r r uuur uuu AM AB BM AB BC AB AC AB AB AC 3 3 Do AM PN uuuu r uuur r uuur ��1 uuur x uuu r� �2 uuu AM PN � � AB AC � � AC AB � 3a � �3 ��3 Trang 16 � r uuur 2x uuu r uuur x uuu r uuur uuu AB AC AB AC AB AC 9a 9a ۰� AB AC.cos 60 2x 3a 9a 3a x AB AC cos 60 9a 4a � 2a2 ax � x Vậy với x 4a AM PN Câu r uuur uuuur uuur uuur uuuu r uuur uuur uuuu Ta có NE NM ME k MP MN ; MF MP MN uuur uuur Do NE MF � NE.MF uuur uuuu r uuur uuuu r � k MP MN MP MN uuur uuuu r uuur uuuu r � k MP MN MP MN uuur uuuu r uuuu r uuur � k MP k MP.MN MN MP MN � k 82 k 1 8.4.cos 60� 42 � 80k 32 �k Vậy k Chọn đáp án B Câu 10 uuuu r uuu r uuuu r uuur uuu r uuur uuu r uuur uuu r uuur Ta có CM CB BM AD AB; BN BA AN AB k AD Theo giả thiết, ta có uuuu r uuur r � uuu r uuur 1 � uuur uuu CM BN � CM BN � � AD AB � AB k AD � 16k � k 2 � � �1 � Vậy k �� ; � �9 � Chọn đáp án D Dạng Ứng dụng tích vơ hướng: tính độ dài vectơ, tính khoảng cách hai điểm, tính góc hai vectơ Phương pháp giải Trang 17 r r - Cho hai vectơ a a1 ; a2 b b1 ; b2 Ta có rr a.b a1b1 a2b2 r r 2 - Cho vectơ u u1 ; u2 Ta có u u1 u2 - Cho hai điểm A x A ; y A , B xB ; yB Ta có uuur 2 AB AB xB x A y B y A r - Tính góc hai vectơ a a1 ; a2 r b b1 ; b2 Ta dùng công thức r r a1b1 a2b2 cos a, b a12 a2 b12 b2 Ví dụ: Trong mặt phẳng Oxy cho A 0; , B 1,3 , C 3; Ta có uuu r uuur AB 1;1 , AC 3;0 uuu r AB AB 12 12 2; uuur AC AC 32 02 uuu r uuur 1.3 1.0 uuu r uuur cos AB, AC � AB, AC 45� 2.3 Ví dụ mẫu r r Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho a 1; b 2; r r a) Tính a , b rr r r b) Tính a.b tính cơsin góc hai vectơ a b ur r r r r r r ur c) Cho c 4a b d mi m 1 j Tìm m để c d Hướng dẫn giải r r a) Ta có a 1 22 5, b 22 42 rr b) Ta có a.b 1.2 2.4 rr r r a.b Khi cos a, b r r 5.2 5 a.b r r r r uu r r r ur c) Ta có c 4a b � c 6; ; d mi m 1 j � d m; m 1 r u r r ur Do c d � c.d � 6.m m 1 � 2m � m 2 r ur Vậy m 2 c d Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy cho A 2;1 , B 3; 2 , C 0;3 a) Tính độ dài trung tuyến BM ABC b) Tìm tọa độ điểm D cho ABCD hình bình hành uuur uuur c) Tính cos AB, AC (Trích Đề thi HK1, Trường THPT Lê Minh Xuân Thành Phố Hồ Chí Minh , năm 2017-2018) Hướng dẫn giải Trang 18 uuuu r a) Vì M trung điểm AC nên M 1; Suy BM 4; Vậy BM 4 42 b) Giả sử điểm D cần tìm có tọa độ x; y uuu r uuur � 2 x �x 5 �� Ta có ABCD hình bình hành � AB DC � � 2 y � �y Vậy D 5;6 uuur uuur c) Ta có AB 5; 3 AC 2; uuu r uuur Suy cos AB, AC 5.2 3 52 3 22 22 17 17 uuu r uuur 17 Vậy cos AB, AC 17 Ví dụ Trong hệ trục tọa độ Oxy , cho hai điểm A 2; B 1;1 Tìm tọa độ điểm C cho tam giác ABC vuông cân B A C 16; 4 B C 0; C 2; 2 C C 1;5 C 5;3 C C 4;0 C 2; Hướng dẫn giải uuu r uuur Giả sử C x; y Khi BA 1;3 BC x 1; y 1 Tam giác ABC vuông cân B � �x uuu r uuur � � �x y �x y �BA.BC � � �y � �� � � 2 � � 2 10 x 1 y 1 y 1 y 3 10 � �x 2 � � �BA BC � � � �y Vậy C 4;0 C 2; Chọn đáp án D Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ABC có A 4; 1 , B 2; 4 C 2; 2 a) Tìm tọa độ trực tâm H ABC b) Tính chu vi ABC c) Tìm tọa độ điểm M thuộc Ox cho ABM cân M Hướng dẫn giải uuur uuur a) Giả sử tọa độ điểm H x; y Khi AH x 4; y 1 , BH x 2; y , uuur uuur BC 0; , AC 6; 1 Do H trực tâm ABC nên Trang 19 uuur uuur �y 1 �AH BC � x y 1 �AH BC � � � � �uuur uuur �� �� � x 6 x y �BH AC � �BH AC � � �5 � ; 1� Vậy H � �2 � uuu r uuur uuuu r b) Ta có AB 6; 3 , AC 6; 1 , BC 0; Suy AB 6 3 5, AC 6 1 37, BC 2 2 Vậy chu vi ABC AB AC BC 37 uuuu r uuuu r c) Giả sử tọa độ điểm M xM ;0 Khi AM xM 4;1 , BM xM 2; Do ABM cân M nên AM BM � xM 12 xM 42 � xM xM 17 xM xM 20 � xM �1 � Vậy M � ;0 � �4 � Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai điểm A 2; 1 , B 2;1 điểm M có tung độ Tất điểm M để ABM vuông M A M 1; B M 3; ; M 1; C M 1; D M 1; ; M 1; Câu 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A 4;3 , B 5;6 , C 4; 1 Tọa độ trực tâm H tam giác ABC A H 3; B H 3; 2 C H 3; 2 D H 3; Câu 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A 1;5 , B 3; 1 , C 6;0 Chân đường cao H kẻ từ B lên AC A H 5;1 B H 5;1 C H 1; 5 D H 5; 1 Câu 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho A 1;1 , B 2; 3 , C 2;1 Chu vi tam giác ABC A B 10 C 11 D 12 r r r r r Câu 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy có hai vectơ đơn vị hai trục i j Cho v b j , rr rr v j v.i a; b cặp số sau đây? A 2;3 B 3; C 3; D 0; uuur2 � 30� Câu 6: Cho tam giác ABC có NMP , MN 4, MP Giá trị NP Trang 20 A B 41 20 C 41 20 41 20 D 41 20 Câu 7: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho A 3; 3 , B 1;3 , C 7; 1 Tam giác ABC tam giác A Tam giác nhọn B Tam giác tù C Tam giác vuông cân D Tam giác � 60� Độ dài đoạn thẳng BD Câu 8: Cho tam giác ABD có AB 4, AD 6, BAD A 28 B C 20 D Câu 9: Điểm M trục Ox cho khoảng cách từ M đến N 2;3 điểm sau đây? A M 0;3 B M 2;0 C M 3;0 M 2;0 D M 3;1 Câu 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC với A 3; , B 4;1 , C 2; 3 Tọa độ tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC � 2� 3; � A � � 3� B 7; C 9; D 1;1 Câu 11: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm M 1; , N 3; Điểm P trục Ox cho tam giác MNP vuông M A P 0;3 B P 1;0 C P 3;0 D P 0; 1 Câu 12: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm A 1;5 B 3;3 Điểm M nằm trục Ox cho MA MB A M 0;1 B M 1;0 C M 2;0 D M 2;0 Bài tập nâng cao Câu 13: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A 6; 6 , B 1; 5 , C 3;3 Gọi I a; b tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Giá trị a b A a b 6 B a b 1 C a b D a b Câu 14: Cho tam giác ABC vng A có BC 2a , M điểm đoạn BC cho MB 2MC uuuu r uuur Biết AM BC a Độ dài cạnh AC A a 33 B a C a 21 D a Câu 15: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A 3; 2 , B 5; trực tâm H 5;0 Tọa độ đỉnh C A 6; 2 B 4; 2 C 5; 2 D 4; 1 ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BẢI TẬP TỰ LUYỆN DẠNG Trang 21 1- D 2- A 3- B 11- C 12- B 13- C Hướng dẫn giải 4- D 14- C 5- A 15- A 6- C 7- C 8- B 9- B 10- D Bài tập nâng cao Câu 13 Vì I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên IA IB IC Từ đó, ta có hệ phương trình 2 2 � a b a 1 b 5 14a 2b 46 a3 � � � � � � � � 2 2 8a 16b 8 b 2 � � a b a b � � Vậy a b Chọn đáp án C Câu 14 uuuu r uuur uuu r uuuu r uuur uuu r uuur uuuu r uuur uuu r uuur uuu r uuur 8a2 Ta có AM BC AB BM BC AB.BC BM BC AB.BC BM BC.cos 0� AB.BC uuu r uuur 8a uuu r uuur uuuu r uuur 5a Mà AM BC a nên AB.BC a � AB.BC 3 uuur uuu r uuur uuu r uuur 2 Ta lại có AC AC AB BC AB BC AB.BC � 5a2 � 2a2 AB 4a � AB 1 � � � Mặt khác AB AC BC 4a Từ 1 suy AB Vậy AC 5a 7a , AC2 3 a 21 Chọn đáp án C Câu 15 Gọi tọa độ đỉnh C x; y uuur uuur uuuur uuur Ta có AC x 3; y , BC x 5; y , AH 8; , BH 0; 2 Vì H trực tâm tam giác ABC nên uuur uuur �AH BC � x 5 y �AH BC �x � � � �uuur uuur �� �� � 2 y �BH AC �y 2 � �BH AC Vậy C 6; 2 Chọn đáp án A Trang 22 Trang 23 ... uuu r2 uuu r uuur uuur BA 2. BA.BC AC uuu r uuur BA2 AC AB AC 42 62 2. 12 28 uuur Vậy BC 28 suy BC 28 � BC 28 Trang uuuu r uuu r uuur c) Ta có 2AM AB AC uuuu r2 uuu... xét Hai vectơ a a1 ; a2 , b b1 ; b2 khác r vectơ vng góc với Trang a1.b1 a2 b2 Ứng dụng r Độ dài véctơ a a1 ; a2 tính theo cơng r 2 thức a a1 a2 Góc hai vectơ: ... Câu 12: Cho a 2, b a, b 60� a.b a.b C D 2 r r r r r r rr Câu 13: Cho hai vectơ a b thỏa mãn điều kiện a 3, b 4, a b Tích vơ hướng a.b A B A 21 B 21 C 21 D 21 Bài