I .Góc giữa hai vectơ :Định nghĩa:Cho 2 vectơ và (khác ).Từ điểm O bất kì vẽ , . Góc với số đo từ 0 đến 180 gọi là góc giữa hai vectơ và KH : ( , ) hay ( ) Đặc biệt : Nếu ( , )=90 thì ta nói và vuông góc nhau .KH: hay Nếu ( , )=0 thì Nếu ( , )=180 thì II. Tích vơ hướng của hai vecto 1. Định nghĩa: Cho hai vectơ khác . Tích vô hướng của là môt số kí hiệu: được xác định bởi công thức: Chú ý: gọi là bình phương vô hướng của vec . âm hay dương phụ thuộc vào .
r r r uuu r r Iu.Góc hai vectơ :Định nghĩa:Cho vectơ a b (khác ).Từ điểm O vẽ OA = a uur r , OB = b r r ∧ Góc AOB với số đo từ 0 đến 180 gọi góc hai vectơ a b r r r r KH : ( a , b ) hay ( b, a ) u r r r r b Đặc biệt : Nếu ( a , b )=90 r r r r r r a ta nói r a rvà b vng góc KH: a ⊥ b hay b ⊥ a r r Ou Nếu ( ar , br )=0 a ⇑rb r r Nếu ( a , b )=180 a ↑↓ b b II Tích vơ hướng hai vecto Định nghĩa:r r r r r rr Cho hai vectơ a, b khác Tích vơ hướng a vàb mơt số kí hiệu: a.b xác định công thức: rr r r r r a.b = a b Cos (a, b) Chú ý: r r r r * a ⊥ b ⇔ a.b = r r rr r * a = b ⇔ a.b = a r r2 a gọi bình phương vô hướng vec a r r rr * a.b âm hay dương phụ thuộc vào Cos (a, b) 2) Các tính chất : r r r Với vectơ a, b, c Với số k ta có: rr rr a.b = b.a r r r rr rr a.(b + c) = a.b + a.c r r rr r r (k a).b = k (a.b) = a.(k b) r2 r2 r r * a ≥ 0, a = ⇔ a = * Nhận xét uu r : r r r r r uu (a + b) = a + 2a.b + b uu r r r r2 r r (a − b) = a + 2a.b + b r uu r r r r r uu (a + b)( a − b) = a − b Biểu thức rtọa độ tích vơ hướng : r Cho vectơ a(a1 ; a2 ), b(b1 ; b2 ) rr Ta có : a.b = a b + a b 1 rr 2 r r r Nhận xét : a.b = a1.b1 + a2 b2 =0 ( a, b ≠ ) Ứng dụng : r r Cho a(a1; a2 ), b(b1; b2 ) r a = a12 + a2 a) Độ dài vectơ : b) Góc hai vectơ : rr a.b r r cos(a, b) = r r a.b = a1.b1 + a2 b2 a1 + a2 b12 + b2 2 Hoạt động luyện tập Tính tích vơ hướng hai vecto Phương pháp: C1: Sử dụng định nghĩa : ( ) -Áp dụng công thức a , b = a b cos(a; b ) góc tạobởi vecto a; b -Tính a ; a vaø C2: Sử dụng tc đẳng thức C3: Sử dụng cơng thức hình chiếu C4: Sử dụng biểu thức tọa độ Thí dụ : Cho tam giác ABC vng cân A có AB =AC = a Tính AB.AC ; AC.CB GIẢI AB ⊥ AC = >AB.AC = AC,CB = −CA.CB = CA.CB cos45 − a2 2 = −a2 BÀI TẬP Bài 1.Cho hình vng ABCD có cạnh a Tính AB.AD ; AB.AC ĐS: ; a2 Bài 2.Cho tam giác ABC vng C có AC = BC = Tính AB.AC ĐS:81 Bài 3.Cho tam giác ABC có AB=2 BC = CA = a.TínhAB.AC suyracosA b.GọiG làtrọng tâm tamgiác TínhAG.BC c.TínhGA.GB + GB.GC + GC.GA d.GọiD giaiểm phân giác trongcủa góc A với BC TínhAD theoAB ; AC roàisuyra AD HD: cosA = − 1 b.AG = AM = AB + AC = >AG.BC = AB + AC AC − AB 3 29 c.ÑS: − AD = BC = AC − AB bìnhphương vế : ÑS : - ( ) ( )( ) ÑS : Bài 4.Chouuurtam giác ABC cạnh a, trọng tâm G uuur uuu r uuur a)Tính AB.BC; AB.HC (với H chân đường cao thuộc BC) uu r uur uur r b)Gọi I điểm thỏa mãn IA − IB + IC = CMR tứ giác BCIG hình bình hành, từ tính: uu r uuu r uuur uur uur uu r uur IA( AB + AC ); IB.IC ; IA.IB (sử dụng trung điểm M BC) Bài 5.Cho hình vng ABCD cạnh a tâm O M điểm tùy ý đtr nội tiếp hv N điểm tùy uýuurtrên cạnhr BC Tính: uuur uuuu uuuu r a) MA MB + MC.MD (tính qua véc tơ tổng) uuu r uuu r uuur uuu r b) NA AB; NO.BA (sử dụng B hc N AB, lấy K trung điểm AB suy M hc O AB) Bàiu6.Cho hình thang vng ABCD, đường cao AB=2; đáy lớn BC=3; đáy nhỏ AD=2 Tính: uu r uuur uuur uuur uuur uuur a) AB.CD; BD.BC ; AC.BD uur uuur b) AI BD (với I trung điểm CD) Hoạt động luyện tập 2: Chưng minh đẳng thức vec tơ có liên quan đến tích vơ hướng hay đẳng thức độ dài Phương pháp : -Ta sử dụng phép tốn vec tơ tính chất tích vơ hướng -Về độ dài ta ý :AB2 = AB Thí dụ1 : Cho tam giác ABC M điểm 1.Chứng minh MA BC + MB.CA + MC.AB = 2.Gọi G trọng tâm tam giác chứng minh MA + MB + MC = 3MG + GA + GB2 + GC2 3.Suy GA + GB2 + GC2 = ( a + b2 + c2 ) với a ; b ;c độ dài cạnh tam giác Chưng minh VT = MA (MC − MB) + MB(MA − MC) + MC(MB − MA ) = = MA MC − MA MB + MB.MA − MB.MC + MC.MB − MC.MA = ( 2.MA = MA = MG + GA ( ) = ( MG + GC) ) = MG + GA + 2MG.GA MB = MB = MG + GB = MG + GB2 + 2MG.GB MC = MC 2 = MG + GC2 + 2MG.GC ( ) = >VT = 3MG + GA + GB2 + GC2 + MG.GA + MG.GB + MG.GC ( ) = 3MG + GA + GB + GC + 2MG GA + GB + GC = =3MG + GA + GB2 + GC2 2 2 3.M ≡ A = >AB + AC = 4GA + GB + GC 2 2 M ≡ B = >BA + BC = 4GB2 + GA + GC2 M ≡ C = >CB2 + AC = 4GC2 + GB2 + GA ( ) = >6 GA + GB2 + GC2 = 2(a2 + b2 + c2 ) = >GA + GB2 + GC2 = ( a + b2 + c2 ) B1: BÀI TẬP: Bài 1.Cho điểm cố định A B M điểm H hình chiếu M lên AB I trung điểm AB.Chứng minh : a)MA MB = MI − AB b)MA + MB = 2MI + AB 2 c)MA − MB = 2AB.IH Bài 2.Cho tứ giác ABCD a.Chứng minh AB − BC + CD2 − DA = 2AC.DB b Chưng minh điều kiện cần đủ để tứ giác ABCD có đường chéo vng góc :AB2+CD2=BC2+AD2 Bài 3.Cho tam giác ABC vng A có cạnh huyền BC = a√3 Gọi M trung điểm BC biết AM , BC = a2 TínhAB AC ĐS: AB = a AC = a Bài 4.Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R Gọi M N điểm thuộc đương tròn AM BN cắt I a.Chưng minh AI AM = AI AB ; BI.BN = BI.BA b.Từ tính AI AM + BI.BN theo R Bài 5.Cho tam giác ABC có trực tâm H M trung điểm BC Chứng minh MH.MA = BC Bài 6.Cho tứ giác ABCD có đường chéo AC BD vng góc với M P trung điểm AD Chứng minh MP ⊥ BC MA MC = MB.MD uuur uuur Bài 7.Cho hai điểm A, B với trung điểm O, M điểm tùy ý CMR: MA.MB = OM − OA2 (tính vế trái vp) Bài 8.Cho nửa đtr đk AB Có hai dây AC, BD cắt E CMR: AE AC + BE.BD = AB (tính tích vt, cộng lại bđ vp) Bài 9.Cho tam giác ABC, H trực tâm, M trung điểm BC CMR: uuuur uuur a) MH MA = BC b) MH + MA2 = AH + BC uuur uuuu r uuur uuuu r uuuu r uuu r uuuu r uuur (sử dụng A1 chân đcao AH có CH BM = −CA1.CM ; CM BA = CM BA1 thay vào tích cần uuuur uuur uuur uuuu r uuu r uuuu r tìm MH MA = (CH − CM )( BA − BM ) ; tính AH qua MH, MA để có ý b) Bài10.Cho tamr giác ABC, gọi M, N, P theo thứ tự trung điểm BC, CA, AB CMR: uuuu r uuur uuur uuu uuu r uuu r AM BC + BN CA + CP AB = Bài11.Cho tam giác ABC, đường cao AH, gọi I trung điểm trung tuyến AM CMR: a) AB − AC = AB.MH b)2MA2 + MB2 + MC2 = 4MI2 + 2IA2 + IB2 + IC2 Hoạt động luyện tập Trong mp Oxy cho tam giác ABC với A(x1;y1) B(x2;y2) C(x3;y3) Xác định hình dạng tam giác ABC Phương pháp: − Tính AB = ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) BC = ( x3 − x2 ) + ( y3 − y2 ) CA = ( x1 − x3 ) + ( y1 − y3 ) –Nêu AB = BC = CA =>Tam giác ABC –Nếu AB = AC =>Tam giác ABC cân –Nếu AB = AC BC = AB√2 => Tam giác ABC vuông cân B –Nếu BC2=AB2 +AC2 =>tam giác ABC vng A Ví dụ 1: Trong mpOxy cho tam giác ABC với A( 1;5) B(3;–1) C(6;0).Xác định hình dạng tam giác ABC Tính diện tích tam giác ABC GIẢI : AB = ( − 1) + (−1 − 5)2 = 40 BC = ( − 3) + (0 + 1)2 = 10 CA = (1 − ) + ( − ) CA = 50 ; AB + BC = 40 + 10 = 50 = >CA = AB + BC = >∆ABC vuông B = >S = BA.BC = 10đvdt = 50 Ví dụ 2: Cho tam giác ABC với A(–1;3) B(3;5) C(2;2).Xác định hình dạng tam giác ABC ,Tính diện tích tam giác ABC chiều cao kẻ từ A AB = 20 BC = 10 ; CA = 10 = >AB = BC = >∆ABC vuông cân A S=5đvdt Ví dụ 3:Trong mpOxy cho A(4;0) B( 2;2 ) Chứng minh tam giac OAB Tìm trực tâm tam giác OAB Giải : OA = OB = AB = ( − 4) + ( −0 ) =4 = >OA = OB = AB = = >∆OAB 3 Trựctâm H tamgiác OAB làtrọng tâm tamgiác OAB = >H 2; B1: Bài Tập : Bài Cho tam giác ABC với A(1;0) B(–2;–1) C(0;3).Xác định hình dạng tam giác ABC Tìm Tâm I đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC ĐS: Vuông A , Tâm I (–1;1) Bài 2.Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(0;2) B(m ; 0) C(m+3; 1) Định m để tam giác ABC vuông A ĐS:m = –1 hay m =-2 Bài Cho tam giác ABC biết A(–1;3) B(–3;–2) C(4;1) , Chứng minh tam giác ABC vng từ suy khoảng cách từ C đến AB Bài 4.Ch điểm A (2 ; –1) B(–2;1) Tìm điểm M biết tung độ tam giác ABM vuông C ĐS: M(1;2) M(–1;2) Bài 5.Trong mpOxy cho điểm A(2;4) B(1 ; 1) Tìm điểm C cho tam giác ABC vuông cân B ĐS: C(4;0) C(–2;2) B2: Tất HS thực nhiệm vụ B3: GV định HS lên bảng làm B4: GV nhận xét chốt kiến thức Hoạt động luyện tập 4: Trong mp Oxy cho tam giác ABC với A(x1;y1) B(x2;y2) C(x3;y3) Xác định trọng tâm G , trực tâm H tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Phương pháp : x1 + x2 + x3 y1 + y2 + y3 ; 3 –Trọng tâm G Tìm trực tâm H -Gọi H(x;y)là trực tâm tam giác ABC Tính AH = ( x − x1 ; y − y1 ) Tính AH.BC AH.BC = Do H trực tâm BH.CA = Tính BH = (x − x2 ; y − y2 ) ; BH.CA Giải hệ tìm x ; y Tìm tâm I đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Gọi I(x;y) Tính AI2=(x-x1)2+(y–y1)2 BI2=(x-x2)2+(y–y2)2 CI2=(x-x3)2+(y–y3)2 I tâm đường tròn ngoai tiếp tam giác ABC AI = BI =CI Giải hệ tìm x ; y Ví dụ : Trong mpOxy cho tam giác ABC với A(5 ;4) B(2 ;7) C(–2 ;–1) a.Tìm trọng tâm G , trực tâm H tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC b.Chứng minh I ; G ;H thẳng hang GIẢI 5+ - + − 10 a)GọiG làtrọng tâm tamgiác ABC = >G ; = G ; 3 GọiH(x; y ) làtrựctâm tamgiác ABC AH = ( x − 5; y − ) ; BC = (−4;−8) AH, BC = −4(x − 5) − 8(y − 4) = −4x − 8y + 52 BH = ( x − 2; y − ) ; CA = (7;5) BH, CA = 7(x − 2) + 5(y − 7) = x + 5y − 49 11 x= 4x + 8y = 52 11 14 H làtrựctâm tamgiác ABC = >H ; 3 3 7x+ 5y = 49 y = 14 GọiI(x;y)làtâm đường tròn ngoạitiếp tamgiác ABC x = AI = BI (x − 5)2 + (y − 4)2 = (x − 2)2 + (y − 7)2 − 6x + 6y = 12 AI = CI (x − 5)2 + (y − 4)2 = (x + 2)2 + (y + 1)2 − 14x − 10y = −36 y = 8 = >I ; 3 2 2 b, IG = 1; IH = ( 3;2 ) = 31; = 3IG = >I; G; H thẳng hàng 3 3 BÀI TẬP: 1.Cho tứ giác ABCD với A(3;4) B(4;1) C(2;–3;D(–1;6) Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn HD: Tìm tâm I bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC (ĐS: I(-1;1), Chứng minh IA =ID 2.Trong mpOxy cho tam giác ABC với A(–1;–3) B(2;5) C(4;0).Xác định trực tâm H tam giác ABC 164 15 ;− 31 31 ĐS: 3.Trong mpOxy cho tam giác ABC với A(–1;4) B(–4;0) C(2;–2) Tìm tâm I đường trịn −1 ; 2 ngoại tiếp tam giác ABC ĐS: I 4.Trong mpOxy cho điểm A(–2;–2) B(5 ;–4) a)Tìm điểm C cho trọng tâm tam giác ABC điểm G(2;0) ĐS:C(3;6) b)Tìm tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ĐS I 169 47 ; 66 33 5.Trong mp Oxy cho tam giác ABC với A(0;1) B(3;2) C(1;5) Tìm trực tâm H tam giác ABC ĐS: 21 25 H ; 11 11 Dạng : Chứng minh hai đt vuông góc Phương pháp: Chứng minh hai véc tơ phương chúng có tích vơ Hướng Bài tập: 1.Cho điểm A, B, C, D CMR AB ⊥ CD; AD ⊥ BC AC ⊥ BD Từ suy định lý đường cao tam giác đồng quy 2.Cho tam giác ABC có góc A nhọn Vẽ tam giác vuông cân đỉnh A bên tg ABC ABD, ACE Gọi M trung điểm BC CMR AM ⊥ DE uuuu r uuur r uuur uuur uuur uuu (Tính AM DE = ( AB + AC )( AE − AD ) = … = (AB.AE.cos(900+A)-…)=0) 3.Cho tam giác AC vuông A, gọi M trung điểm BC Lấy điểm B1, C1 AB AC cho AB.AB1=AC.AC1 CMR AM ⊥ B1C1 Dạng: Trong mp Oxy cho tam giác ABC với A(x1;y1) B(x2;y2) C(x3;y3),Tính cosA Phương pháp : − Tính AB ; AC − CosA = − TínhAB vàAC ; Tính AB.AC AB.AC AB.AC Ví dụ : Trong mpOxy cho tam giác ABC với A(0;3) B(2;2) C(–6;1).Tínhsố đo góc A AB = (2;−1) = >AB = AC = (−6;−2) = >AC = 40 = 10 AB.AC = −12 + = −10 cosA = AB.AC − 10 = =− = >A = 135 AB.AC 10 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1.Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(– 1;1) ,B(1;3) ,C(1;– 1) Chứng minh rằng: tam giác ABC vuông cân A Bài Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(2;4) ,B(– 3;1) ,C(3;– 1) a)Tìm tọa độ điểm D cho ABCD hình bình hành b)Kẻ đường cao AH Tìm tọa độ chân đường cao H Bài 3.Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A,B,C,D với A(– 1;1) ,B(0;2) ,C(3;1) D(0;– 2) Chứng minh rằng: tứ giác ABCD hình thang cân Bài 4.Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A,B,C với A(– 1;– 1) ,B(3;1) ,C(6;0) a)Chứng minh rằng: điểm A ,B ,C tạo thành tam giác b)Tính góc B tam giác ABC Bài 5.Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A,B với A(5;4) ,B(3;– 2).Một điểm M thay đổi trục hồnh.Tìm giá trị nhỏ Bài 6.Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(3;4) ,B(4;1) ,C(2;– 3) ,D(– 1;6) Chứng minh rằng: tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn Bài 7.Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(– 8;0) ,B(0;4) ,C(2;0) ,D(– 3;– 5) Chứng minh rằng: tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn uuu r uuuu r Bài 8.Cho A(3;1); B(4;2) Tìm tọa độ M cho AM = ( AB; AM ) = 1350 Bài 9.Cho A(7;4); B(0;3); C(4;0) Tìm tọa độ hc H A BC A’ đx với A qua BC Bài 10.Cho A(1;1) Tìm B có tung độ 3, C Ox cho ABC Bài 11.Cho A(1;2); B(-1;1); C(5;-1) uuur uuur a)Tính AB AC b)Tính cosin sin góc A c)Tìm tọa độ chân đường cao AA1 d)Tìm tọa độ trực tâm H e)Tìm tọa độ trọng tâm G g)Tìm tọa độ I tâm đường tròn ngoại tiếp; J tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC ... 2: Chưng minh đẳng thức vec tơ có liên quan đến tích vơ hướng hay đẳng thức độ dài Phương pháp : -Ta sử dụng phép toán vec tơ tính chất tích vơ hướng -Về độ dài ta ý :AB2 = AB Thí dụ1 : Cho... rr a.b r r cos(a, b) = r r a.b = a1.b1 + a2 b2 a1 + a2 b12 + b2 2 Hoạt động luyện tập Tính tích vô hướng hai vecto Phương pháp: C1: Sử dụng định nghĩa : ( ) -Áp dụng công thức a , b = a b cos(a;... 11 11 Dạng : Chứng minh hai đt vng góc Phương pháp: Chứng minh hai véc tơ phương chúng có tích vơ Hướng Bài tập: 1.Cho điểm A, B, C, D CMR AB ⊥ CD; AD ⊥ BC AC ⊥ BD Từ suy định lý đường cao