Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan

Tính cấp thiết của đề tàiKhảo sát hàm số và những bài toán liên quan là một trong những phần quan trọng trong chương trình toán ở bậc Trung học Phổ thông.. Đặc biệt, đây cũng là công cụ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————–

ĐỖ QUANG TOAN

KHẢO SÁT HÀM SỐ

VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - 2019

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————–

ĐỖ QUANG TOAN

KHẢO SÁT HÀM SỐ

VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN

Chuyên ngành: Phương Pháp Toán Sơ Cấp Mã số: 8.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Lương Quốc Tuyển

ĐÀ NẴNG - NĂM 2019

3.3 Giải phương trình bằng phương pháp hàm số 58

3.4 Giải bất phương trình bằng phương pháp hàm số 61

3.5 Chứng minh bất đẳng thức hàm nhiều biến 65

3.6 Một số đề thi liên quan khảo sát hàm số 73

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 77

TÀI LIỆU THAM KHẢO 78

MỞ ĐẦU

1 Tính cấp thiết của đề tài

Khảo sát hàm số và những bài toán liên quan là một trong những phần quan trọng trong chương trình toán ở bậc Trung học Phổ thông Nó được tập trung trong chương trình lớp 12, là chủ đề được Bộ Giáo dục và Đào tạo đưa vào trong các kỳ thi Quốc gia từ trước tới nay, thường chiếm tỷ lệ hơn 3/10 của đề thi Ngoài ra, rất nhiều bài toán ở bậc Trung học Phổ thông được giải rất hiệu quả nếu chúng ta sử dụng phương pháp hàm số Đặc biệt, đây cũng là công cụ sắc bén thường được sử dụng trong các kỳ thi học sinh giỏi các cấp.

Ta thấy rằng, những bài toán liên quan đến khảo sát hàm số là rất phong phú, đa dạng và nó được vận dụng vào hầu như tất cả các khía cạnh khác nhau trong việc dạy và học Toán ở bậc Trung học Phổ thông Những năm gần đây, Bộ Giáo dục và Đào tạo đã ra đề thi môn toán cấp Quốc gia theo hình thức trắc nghiệm nên việc giải một bài toán hiệu quả là quan trọng hàng đầu, trong đó không thể không nói đến việc giải bài toán bằng phương pháp hàm số - một trong những phương pháp giải các bài toán dùng để phân loại học sinh khá và giỏi trong kỳ thi cấp Quốc gia Trong chương trình sách giáo khoa Trung học Phổ thông, học sinh chỉ được nghiên cứu kỹ hàm số bậc ba, bậc bốn trùng phương, phân thức bậc nhất Như vậy, việc vận dụng phương pháp hàm số vào giải các dạng toán khác nhau tỏ ra rất khó khăn đối với các em học sinh Bên cạnh đó, rất nhiều sách tham khảo liên quan đến khảo sát hàm số và các bài toán liên quan được xuất bản nhưng phần lớn là chỉ hướng dẫn giáo viên và học sinh giải toán theo nghĩa “trắc nghiệm”, làm cho học sinh không nắm rõ bản chất của hàm số, không vận dụng để giải những bài toán phức tạp.

Với mong muốn nghiên cứu sâu sắc hơn việc giải các bài toán bằng phương pháp hàm số, chúng tôi quyết định chọn đề tài luận văn thạc sĩ là Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan.

2 Mục đích nghiên cứu

• Khảo sát và vẽ đồ thị của một số hàm khác các dạng đặc biệt trong chương trình Trung học Phổ thông;

• Nghiên cứu một số dạng toán liên quan đến khảo sát hàm số;

• Nghiên cứu một số ứng dụng trong thực tế của việc khảo sát hàm số;

• Làm tài liệu tham khảo cho giáo viên, học sinh nhằm phục vụ việc dạy và học tại Trường Trung học Phổ thông.

3 Đối tượng nghiên cứu

Hàm số dạng hữu tỷ, hàm số vô tỷ, hàm số chứa giá trị tuyệt đối, hàm số hàm hợp, một số bài toán đưa về hàm số, một số bài toán vận dụng khảo sát hàm số.

4 Phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu về khảo sát hàm số và những bài toán liên quan Nhờ đó, vận dụng vào giải một số dạng toán bằng cách dùng phương pháp hàm.

5 Phương pháp nghiên cứu

• Thu thập các tài liệu trên các kênh thông tin Nhờ các kiến thức được học, phân tích, tổng hợp và lựa chọn các tài liệu liên quan đến đề tài.

• Hệ thống hóa lý thuyết, phương pháp giải khảo sát hàm số, các dạng toán liên quan Đưa ra và phát triển một số dạng toán.

• Thảo luận, trao đổi với giáo viên hướng dẫn, trao đổi với bạn bè đồng nghiệp trong quá trình viết luận văn.

6 Tổng quan và cấu trúc luận văn

Trong luận văn này, chúng tôi đã khảo sát và vẽ đồ thị một số hàm đặc biệt như: vô tỷ, hữu tỷ, hàm chứa giá trị tuyệt đối, lượng giác Vận dụng giải một số bài toán có liên quan đến việc xét hàm số, tính chất hàm số Giải một số bài toán thi quốc gia, thi học sinh giỏi và giải một số bất đẳng thức trong các đề thi toán khác

Nội dung luận văn được trình bày gồm ba chương Ngoài ra luận văn còn có phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo.

• Chương 1: Trình bày một số kiến thức lý thuyết cơ bản về khảo sát hàm số như: đồng biến, nghịch biến, tiệm cận, cực trị, giới hạn các lý thuyết liên quan sử dụng cho các chương sau.

• Chương 2: Trình bày về cách khảo sát một số hàm số đặc biệt như: Hàm vô tỷ , hàm hữu tỷ, lượng giác, hàm giá trị tuyệt đối, hàm mũ, lôgarit sau đó ví dụ một số bài minh hoạ.

• Chương 3: Trình bày một số bài toán ứng dụng, liên quan đến việc xét hàm số, đồ thị hàm số như: số nghiệm phương trình, đồ thị hàm đạo hàm, bất phương trình, bất đẳng thức tiếp tuyến

CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức nhằm phục vụ cho các chương sau.

1.1 Tính đơn điệu hàm số

Định nghĩa 1.1.1 ([5]) Cho hàm số f : (a, b) →R Khi đó,

1) Hàm số f được gọi là hàm số tăng (đồng biến) trên (a, b) nếu với

3) Hàm số tăng hoặc giảm được gọi chung là hàm số đơn điệu Định lí 1.1.2 ([5]) Cho hàm y = f (x) xác định trên (a, b) Khi đó,

1) Nếu f0(x) = 0 với mọi x ∈ (a, b), thì f là hàm hằng trên (a, b) 2) Nếu f0(x) > 0 với mọi x ∈ (a, b), thì f đồng biến trên (a, b) 3) Nếu f0(x) < 0 với mọi x ∈ (a, b), thì f nghịch biến trên (a, b).

Định lí 1.1.3 ([5]) Giả sử rằng f0(x) = 0 chỉ có hữu hạn nghiệm trên

(a, b) Khi đó,

1) f tăng trên (a, b) khi và chỉ khi f0(x) ≥ 0 với mọi x ∈ (a, b) 2) f giảm trên (a, b) khi và chỉ khi f0(x) ≤ 0 với mọi x ∈ (a, b).

Nhận xét 1.1.4 Dựa vào định lý 1.1.3 ta có thể xác định được tính đơn điệu của hàm số thông qua việc xét dấu f0(x).

Ví dụ 1.1.5 (Đề thi ĐHQG Tp HCM năm 1996) Cho hàm số

y = 2x

2 + (1 − m)x + 1 + m −x + m .

Xác định m để hàm số nghịch biến trên khoảng (2, +∞) Bài giải Tập xác định của hàm số là D = R\ {m} Ta có

• Nếu m 6= −1, thì ∆ > 0, kéo theo (1.1) có hai nghiệm x1, x2 Do đó,

Nhận xét 1.1.6 Cho hàm số y = f (x) liên tục trên (a, b) Khi đó, 1) Nếu f (x) đồng biến trên (a, b), thì f (x) > f (a) với mọi x ∈ (a, b) 2) Nếu f (x) nghịch biến trên (a, b), thì f (x) < f (a) với mọi x ∈ (a, b) Ví dụ 1.1.7 ([4], Đề thi ĐH Hàng Hải năm 1999) Chứng minh rằng

cos α + α sin α > 1 với mọi 0 < α < π

f0(x) = − sin x + sin x + x cos x = x cos x ≥ 0.

Như vậy, f là hàm tăng trên đoạn

Nhận xét 1.1.8 1) Cho hàm số f (x) tăng hoặc giảm trên khoảng

4) Nếu f (x) tăng trên khoảng (a, b), g(x) giảm hoặc hàm hằng trên khoảng (a, b) thì f (x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trên khoảng

giảm trên R và f (1) = 1 nên phương trình có nghiệm duy nhất t = 1 Như vậy, nghiệm của phương trình đã cho là x = 92t = 81.

1.2 Giới hạn hàm số

Ngoài các khái niệm, định nghĩa giới hạn trong chương trình sách giáo khoa Toán lớp 11 Trung học Phổ thông, chúng tôi xin trình bày thêm một số công thức, bài toán cơ bản để thuận tiện cho việc tính toán.

Chứng minh Ta đặt y = P (x), khi đó vì x → 0 nên y → 0 Ta có

Như vậy, theo (1.3) ta có

Định nghĩa 1.3.1 ([5]) Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng

(a, b) ⊂R và x0 ∈ (a, b) Khi đó,

1) Nếu tồn tại sốh > 0 sao chof (x) < f (x0) với mọix ∈ (x0−h, x0+h)

và x 6= x0, thì ta nói f (x) đạt cực đại tại x0.

2) Nếu tồn tại sốh > 0 sao chof (x) > f (x0) với mọix ∈ (x0−h, x0+h)

và x 6= x0 thì ta nói f (x) đạt cực tiểu tại x0.

Chú ý 1.3.2 1) Hàm số f (x) đạt cực đại hoặc cực tiểu tại x0 ta nói hàm số f (x) đạt cực trị tại x0.

2) f (x0) được gọi là cực trị của f (x), x0 được gọi là điểm cực trị của

f (x) và điểm M (x0, f (x0)) được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số f (x).

Định lí 1.3.3 (Định lý Fermat) Cho (a; b) ⊂ R và f : (a; b) → R Khi

đó, nếu c ∈ (a; b) là điểm cực trị của f (x) và tồn tại f0(c) thì f0(c) = 0 Định nghĩa 1.3.4 Nghiệm của phương trìnhf0(x) = 0 hoặc những điểm không thuộc tập xác định của hàm số được gọi là điểm dừng.

Định lí 1.3.5 ([4], Điều kiện cần để hàm số có cực trị) Nếu hàm số

y = f (x) có đạo hàm tại x0 và đạt cực trị tại x0 thì tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M (x0; f (x0)) phải cùng phương với trục hoành.

Định lí 1.3.6 ([4], Điều kiện đủ để hàm số có cực trị) Cho hàm số

y = f (x) xác định trên (a, b) và x0 ∈ (a, b) Khi đó,

1) Nếu y = f (x) có đạo hàm trên (a; b) và khi x đi qua x0, f0(x) đổi dấu, thì hàm số đạt cực trị tại x0.

2) Nếu y = f (x) có đạo hàm cấp hai liên tục trên (a, b), f0(x0) = 0, thì (a) Nếu f ”(x0) < 0, thì f đạt cực đại tại x0.

(b) Nếu f ”(x0) > 0, thì f đạt cực tiểu tại x0.

2) Đường thẳng (∆) được gọi là tiệm cận của đồ thị (C) nếu như

d(M, ∆) → 0 khi M tiến ra vô cùng trên (C).

Định nghĩa 1.4.2 ([5]) Cho hàm số y = f (x) xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng (a; +∞), (−∞; b), (−∞; +∞)) Đường thẳngy = y0 được gọi là đường tiệm cận ngang hay (tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y = f (x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn

x→+∞f (x) = y0, lim

x→−∞f (x) = y0.

Định nghĩa 1.4.3 ([5]) Đường thẳng x = x0 được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f (x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được

Định nghĩa 1.4.4 ([5]) Đường thẳng y = ax + b được gọi là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f (x) nếu

Cho C là đồ thị của hàm số y = f (x) Khi đó,

1) Nếu f (x) là hàm số chẵn thì Oy là trục đối xứng của (C) 2) Nếu f (x) là hàm số lẻ thì gốc tọa độ là tâm đối xứng của (C) 3) Hàm bậc ba nhận điểm uốn làm tâm đối xứng.

4) Hàm hữu tỷ bậc nhất trên bậc nhất và bậc hai trên bậc nhất nhận giao của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng.

5) Hàm bậc hai y = ax2 + bx + c (a 6= 0) nhận đường thẳng x = −b 2a

làm trục đối xứng.

6) Hàm trùng phương y = ax4 + bx2 + c (a 6= 0) nhận trục tung làm trục đối xứng.

7) Công thức đổi hệ tọa độ: Giả sử I(x0, y0), khi đó ta có công thức đổi trục từ hệ tọa độ Oxy sang hệ tọa độ IXY là

Đồ thị hàm số nhận đường x = x0 làm trục đối xứng khi và chỉ khi

• Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến, cực trị (nếu có).

• Tính giới hạn, tìm các đường tiệm cận.

• Lập bảng biến thiên tổng kết các kết quả nêu trên.

KHẢO SÁT HÀM SỐ

Trong chương này, chúng tôi trình bày về việc khảo sát một số dạng hàm số vô tỷ, hàm hữu tỷ, hàm số giá trị tuyệt đối, hàm số lượng giác, hàm luỹ thừa, hàm logarit

-Nhận xét: Đồ thị là một nửa parabol đồng biến.

Tuỳ thuộc vào giá trị của hệ số a và giá trị của biệt thức ∆ mà đồ thị của hàm số này có các dạng khác nhau Do vậy, ta xét các khả năng sau:

• Trường hợp 1 : ∆ < 0 Khi đó: f (x) < 0 với mọi x, suy ra D = ∅.

• Trường hợp 2 : ∆ = 0 Khi đó: f (x) ≤ 0 với mọi x, nên đồ thị chỉ có

−3x2 + 6x + 9 và y = m − 1 Như vậy, phương trình (2.1) có nghiệm khi và chỉ khi

d 6= 0 và ax2 + bx + c = 0, dx2 + ex + f = 0 không có nghiệm chung Đồ thị hàm số dạng này có các đặc điểm chung sau đây:

+ Đồ thị luôn có tiệm cận ngang y = a

dx2 + ex + f phân theo số nghiệm ở mẫu số.

- Trường hợp dx2 + ex + f = 0 vô nghiệm:

Đồ thị nhận trục hoành làm tiệm cận ngang, không có tiệm cận đứng

- Trường hợp dx2 + ex + f = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2:

Đồ thị nhận trục hoành làm tiệm cận ngang, nhận đường thẳng x = x1,

x = x2 làm tiệm cận đứng, và đồ thị có dạng sau.

Như vậy, chúng ta đã biết được một số dạng của đồ thị hàm số hữu tỷ dạng bậc hai chia bậc hai.

2.3 Hàm số lượng giác

A Hàm số tuần hoàn

Định nghĩa 2.3.1 Cho hàm số y = f (x) có tập xác định D được gọi là hàm số tuần hoàn, nếu tồn tại một số T 6= 0 sao cho với mọi x ∈ D ta có

a) x + T ∈ D, x − T ∈ D;

b) f (x + T ) = f (x).

Số T dương nhỏ nhất thoả mãn các tính chất trên được gọi là chu kỳ của hàm số tuần hoàn đó.

Nhận xét 2.3.2 - Các hàm số y = sin x, y = cos x có chu kỳ là 2π - Các hàm số y = tan x, y = cot x có chu kỳ là π.

- Các hàm số y = sin(ax + b), y = cos(ax + b), a 6= 0 có chu kỳ là 2π |a|.

- Nếu f là hàm tuần hoàn có chu kỳ T1, g là hàm tuần hoàn có chu kỳ

T2 thì f ± g là hàm tuần hoàn có chu kỳ là bội chung nhỏ nhất của

T1 và T2.

- Khi khảo sát hàm số tuần hoàn ta chỉ cần khảo sát hàm số trên 1 chu kỳ của nó Hơn nữa, nếu hàm số có tính chẵn lẻ ta chỉ xét trên nửa chu kỳ rồi lấy đối xứng trên 1 chu kỳ.

Ví dụ 2.3.3 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = sin x + sin 2x Bài giải - Tập xác định: D = R.

- Hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2π và là hàm số lẻ nên ta cần xét trên đoạn [0, π].

- Đạo hàm: Ta có y0 = cos x + 2 cos 2x Suy ra

- Đồ thị hàm số nhận trục hoành làm đường tiệm cận ngang - Đồ thị luôn đi qua điểm I(0, 1).

- Bảng biến thiên và đồ thị:

- Tiệm cận: Đồ thị nhận trục tung làm tiệm cận đứng + Đồ thị luôn đi qua điểm I(1, 0).

+ Đồ thị đi qua điểm (1, 0), (e, 1/e).

2.5 Hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

Để khảo sát hàm số dạng này, chúng ta dựa theo quy trình sau.

• Xét dấu các biểu thức trong giá trị tuyệt đối.

để bỏ giá trị tuyệt đối.

• Viết lại hàm số dưới dạng nhiều trường hợp rồi xét bảng biến thiên chung và vẽ đồ thị của từng hàm số trên từng khoảng xác định.

Sau đây là các bước vẽ đồ thị hàm số dạng này.

- Bước 1 : Ta giữ nguyên đồ thi (C) của hàm số y = f (x) ứng với phần phía trên trục hoành.

- Bước 2 : Lấy đối xứng qua trục hoành phần đồ thị (C) nằm ở phía dưới trục hoành và bỏ phần dưới trục hoành.

- Bước 3 : Hợp hai phần đồ thị trên ta được đồ thị (C1) của hàm số

y = |f (x)| Ta có minh hoạ như sau.

- Bước 2 : Lấy đối xứng phần bên phải Oy qua bên trái Oy.

- Bước 3 : Hợp của hai phần đồ thị trong hai bước trên ta thu được đồ thị (C2) của hàm số y = f (|x|) Ta minh họa như sau.

- Bước 2 : Từ đồ thị (C) ta suy ra đồ thị (C1) của hàm y = f (|x|).

- Bước 3 : Từ đồ thị (C1) theo cách vẽ đồ thị (C2) ta được đồ thị (C3).

Minh hoạ:

2x2 − 4x + 3, bỏ phần bên trái 0y, lấy đối xứng phần bên phải (x ≥ 0) qua bên trái, ta được đồ thị hàm số cần tìm.

x y

y = (x − 1)e2x

y = (x − 1)e2x

3) Phương trình dạng f (x, m) = 0 ta biến đổi về dạng g(x) = h(m), trong đó y = h(m) là hàm hằng có đồ thị song song trục Oy.

B Một số dạng toán liên quan

Bài toán 3.1.1 Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ sau

Tìm giá trị của tham số m để phương trình f (|x| − 1) = m có 4 nghiệm phân biệt.

Bài giải Từ đồ thị hàm số y = f (x) ta suy ra đồ thị y = f (|x|) Tịnh tiến qua phải 1 đơn vị ta nhận được đồ thị hàm số y = f (|x| − 1).

x y

y = f (|x| − 1)

y = m

Số nghiệm của phương trình f (|x| − 1) = m là số giao điểm của hai đồ thị hàm số y = f (|x| − 1) và y = m Như vậy, phương trình có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi −3 < m < −1.

Bài toán 3.1.2 Cho hàm số y = f (x) xác định, liên tục trên R và có đồ

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình sau có nghiệm

Bài giải Bởi vì √

x2 + 2 − 1 > 0 với mọi x nên phương trình đã cho tương đương với

m = √ x

x2 + 2 − 1.

Như vậy, phương trình f (2 − f (x)) = 0 có tất cả 5 nghiệm phân biệt Bài toán 3.1.5 Cho đa thức f (x) xác định với mọi x ∈ R và thỏa mãn

Bài giải Từ (3.2) ta nhận thấy vế trái của biểu thức dưới hàm f là bậc nhất x, 1 − x, và vế phải là bậc hai x2 Do vậy, f (x) phải có dạng

f (x) = ax2 + bx + c.

Khi đó (3.2) trở thành

2(ax2 + bx + c) + a(1 − x)2 + b(1 − x) + c = x2.

2+ 2x − 1) Thử lại ta thấy hiển nhiên f (x) thỏa mãn điều kiện bài toán.

Công việc còn lại ta phải chứng minh mọi hàm số khác f (x) sẽ không thỏa mãn điều kiện bài toán Thật vậy giả sử còn hàm số g(x) khác f (x)

thỏa mãn (3.2) Do f (x) không trùng với g(x) nên tồn tạix0 ∈ R sao cho g(x0) 6= f (x0) Mặt khác, vì g(x) thỏa mãn điều kiện bài toán nên

Phương trình (1) vô nghiệm, phương trình (2) có 4 nghiệm Do vậy, phương trình (3.3) có 4 nghiệm phân biệt.

3.2 Xác định tính chất của hàm số y = f (x) dựa vào đồ thị hàm số y = f0(x)

A Phương pháp

Dựa vào đồ thị hàm số y = f0(x) ta có thể xác định được

1) Phần đồ thị nằm trên trục hoành có f0(x) > 0, phần đồ thị nằm dưới trục hoành có f0(x) < 0 Từ đó, ta suy ra các khoảng đồng biến, nghịch biến.

2) Tại các điểm f0(x) cắt Ox ta suy ra các điểm cực trị của f (x) 3) Lập bảng biến thiên hàm số y = f (x) nhưng chưa thể xác định được

các giá trị cực trị.