Chuyên đề câu 40 thể tích khối đa diện

Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng 0Ví dụ 2: Cho khối chóp S ABC.. Thể tích của khối chóp đã cho bằng 0Ví dụ 4: Cho khối lăng trụ ABC A B C.. Thể tích của khối chóp đã cho bằng 0Ví d

ANH SHIPER TOÁN ĐỒNG HÀNH CÙNG 2K6 CHUYÊN ĐỀ CÂU 40 THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

Ví dụ 1: Cho khối lăng trụ đứng ABC A B C    có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A cạnh bên ,

2 ,

AA = a góc giữa hai mặt phẳng (A BC ) và (ABC bằng ) 60 Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng 0

Ví dụ 2: Cho khối chóp S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2 a Tam giác SAC cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Góc giữa hai mặt phẳng (SBC và ) (ABC bằng ) 60 Thể tích của 0khối chóp đã cho bằng

Ví dụ 3: Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, SA=SB=SC=AC= a, SB tạo với mặt phẳng (SAC một góc ) 60 Thể tích của khối chóp đã cho bằng 0

Ví dụ 4: Cho khối lăng trụ ABC A B C    có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, A A = A B = A C =a

Biết góc giữa hai mặt phẳng (BCC B  và ) (ABC bằng ) 30 , thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng 0

Ví dụ 5: Cho khối chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B Biết SA⊥(ABC), AB= 2 ,a

6 ,

BC= a góc tạo bởi hai mặt phẳng (SAC và ) (SBC bằng ) 60 Thể tích của khối chóp 0 S ABC bằng

Ví dụ 6: Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C    có đáy ABC là tam giác vuông, AB=BC=a Biết góc giữa hai mặt phẳng (ACC và ) (AB C  bằng ) 0

60 Thể tích của khối chóp B ACC A   bằng

Ví dụ 7: Cho khối chóp đều S ABCD có AC=4 ,a hai mặt phẳng (SAB và ) (SCD tạo với nhau một )góc 90 Thể tích của khối chóp đã cho bằng 0

Ví dụ 8: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D đáy nhỏ của hình ,

thang là CD cạnh bên , SC=a 15 Tam giác SAD là tam giác đều cạnh 2a và nằm trong mặt phẳng

vuông góc với đáy Gọi H là trung điểm của cạnh AD khoảng cách từ B tới mặt phẳng , (SHC bằng )

2 6 a Thể tích của khối chóp đã cho bằng

Ví dụ 9: Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình thoi cạnh ,a góc ABC =600 và SA vuông góc với mặt

phẳng đáy Gọi G là trọng tâm tam giác SAD Biết khoảng cách từ G đến mặt phẳng (SBC bằng )

Thể tích của khối chóp S ABC bằng

Ví dụ 11: Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình thang ABCD vuông tại A và D , SA vuông góc với

đáy, AB=2AD=2CD, góc giữa SC và đáy bằng 60 Biết khoảng cách từ B đến 0 (SCD bằng ) 42,

7

a

tính thể tích của khối chóp S ACD

Ví dụ 12: Cho khối lăng trụ đứng ABC A B C    có đáy ABC là tam giác vuông tại ,A ACB =30 0 Biết

góc giữa B C và mặt phẳng (ACC A  bằng  thoả mãn ) sin 1

2 5

 = Khoảng cách giữa hai đường

thẳng A B và CC bằng a 3 Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho

Ví dụ 13: Cho hình chóp S ABC có mặt phẳng (SAC vuông góc với mặt phẳng ) (ABC),SAB là tam giác đều cạnh a 3,BC=a 3 và đường thẳng SC tạo với mặt phẳng (ABC góc ) 0

60 Thể tích của khối chóp S ABC bằng

Ví dụ 14: Một viên đá quý có dạng hình chóp đều, đáy là hình vuông

cạnh 6 mm và chiều cao 6 mm Nhà chế tác tạo hình cho viên đá quý để

gắn vào sản phẩm đã được đặt hàng Ông cắt viên đá theo các mặt

phẳng đi qua tâm của đáy, lần lượt song song với các cạnh đáy và vuông

góc với các mặt bên để thu được viên đá hoàn thiện (phần được tô màu

xám trong hình vẽ tham khảo bên) Thể tích của viên đá hoàn thiện gần

nhất với kết quả nào sau đây?

Ví dụ 15: Cho khối lăng trụ ABC A B C    có tất cả các cạnh bằng a Gọi hai điểm M M  lần lượt là ,

trung điểm của hai cạnh AC A C,   Biết 7

2

a

AM  = và AM ⊥BM Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng

Ví dụ 16: Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và SA vuông góc với mặt phẳng đáy Biết AB= 2 ,a AD=2 ,a 0

45

ABC = và góc giữa hai mặt phẳng (SBC),(SCD bằng ) 30 Thể tích 0khối chóp đã cho bằng

Ví dụ 17: Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác đều, SC vuông góc với mặt phẳng đáy Biết cosin

của góc giữa hai mặt phẳng (SAB và ) (SBC bằng ) 1 ,

2 3 khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB )bằng a Thể tích của khối chóp S ABC bằng

Ví dụ 18: Mục tiêu điểm thi môn Toán của em là ……

ANH SHIPER TOÁN ĐỒNG HÀNH CÙNG 2K6

  BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Câu 1. Cho khối lăng trụ đứng ABC A B C    có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , góc giữa mặt phẳng

(A BC ) và mặt đáy (ABC bằng ) 60 Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng

A

3

a

Câu 2. Cho hình hộp chữ nhật ABCDA B C D    có AB=a AD, =a 2 Biết khoảng cách từ A đến mặt

Câu 3 Cho hình chóp tam giác S ABC cóAB=1, AC=2,BAC=120, SA vuông góc với mặt phẳng

đáy Biết SBC có diện tích bằng 3 Thể tích khối chóp S ABC bằng:

Câu 4 Cho hình chóp S ABCD có đáyABCD là hình vuông, SA vuông góc với mặt phẳng đáy Biết

góc giữa SC và mặt phẳng đáy bằng 60 và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC bằng )6

a Thể tích khối chóp S ABCD bằng:

A. 7 6 3

342

3 a

Câu 5 Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với đáy

và SA=a Gọi M N lần lượt là trung điểm của hai cạnh , AB CD và ,, E F là hai điểm lần lượt

thuộc hai cạnh SB SC thỏa mãn , ES =EB và SC=3SF.Hãy tính theo a thể tích của khối đa

diện BCNMEF

A 3 3

31

33

37

24a

Câu 6 Cho khối lăng trụ ABC A B C    có đáy là tam giác đều cạnh a Hình chiếu vuông góc của B

trên mặt phẳng đáy trùng trung điểm H của cạnh AB, biết góc giữa B H và mặt phẳng (BCC B   bằng 30 Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho )

a

3

316

a

Câu 7 Cho khối lăng trụ ABC A B C    có đáy là tam giác đều cạnh a Hình chiếu vuông góc của A

trên mặt phẳng đáy trùng trọng tâm tam giác ABC , biết khoảng cách giữa AA và BC bằng

a

334

a

3312

a

3316

a

Câu 8 Cho khối lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' có đáy ABC là tam giác có AB=a AC; =a 3;BC =a

Gọi M là trung điểm CC và khoảng cách từ M đến (A BC' ) bằng 21

14

a

, thể tích khối lăng trụ đã cho bằng

A

3312

a

3 3 4

a

334

Câu 10 Cho lăng trụ đứng ABCD A B C D ' ' ' ' có đáy là hình vuông, cạnh bên có độ dài bằng 2a Gọi

A

32

a

33

a

Câu 11 Cho lăng trụ đều ABC A B C ' ' ' có CA' tạo với (BCC B' ') mọt góc 45 Gọi Glà trọng tâm tam

giác A B C' ' ', khoảng cách từ C' đến (CA G' ) bằng a 2 Tính thể tích lăng trụ?

A 9a3 2 B a3 6 C 3a3 2 D

363

a

338

Câu 13 Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' có đáy ABClà tam giác vuông tại A, ACB =30 Biết

góc giữa B C' và mặt phẳng (ACC A ) bằng  thỏa mãn sin 1

2 5

 = và khoảng cách giữa hai đường thẳng A B và CC bằng a 3 Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC A B C   

Câu 14 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D, AB=AD=a CD, =2a

Hình chiếu của đỉnh S lên mặt (ABCD trùng với trung điểm của ) BD Biết thể tích của khối .chóp S ABCD bằng

32

Câu 15 Cho khối lăng trụ ABC A B C   có đáy là tam giác đều, hình chiếu vuông góc của Blên mặt

phẳng (ABC trùng với trọng tâm tam giác ABC , góc giữa hai mặt phẳng ) (A B C   và ) (BCC B  bằng 60, Khoảng cách giữa hai đường thẳng ) AA và B C  bằng 3a Thể tích khối

Câu 16 Cho hình lăng trụ tam giác đều ABCA B C   Biết khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng

(ABC bằng a , góc giữa 2 mặt phẳng ) (ABC và ) (BCC B  bằng )  với 1

Câu 17 Cho khối lập phương ABCD A B C D     Gọi M là trung điểm cạnh BB Biết khoảng cách từ

a

323

a

Câu 18. Cho khối chóp SABC có đáy là tam giác ABC vuông tại A, AB=a ACB, =300 Các mặt bên

tạo với đáy những góc bằng nhau và bằng 0

60 Thể tích khối chóp đã cho bằng

A ( ) 3

3 112

a

−

3 14

a

−

3 16

Câu 20 Cho khối lập phương ABCD A B C D     có khoảng cách giữa hai đường thẳng C D và B C là

a Khi đó thể tích khối lập phương ABCD A B C D     là

Câu 21 Cho lăng trụ tam giác đều ABC A B C    có cạnh đáy bằng a Góc giữa hai đường thẳng A B'

và B C bằng 90 Tính theo a thể tích V của khối lăng trụ đã cho.'

A

3

624

a

3

64

a

3

68

a

Câu 22 Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C    có đáy là tam giác đều cạnh a , góc giữa hai mặt

phẳng (A BC ) và (ABC bằng 60 , A A)  = A B = A C Tính thể tích của khối lăng trụ

ABC A B C  

A

338

a

328

a

326

a

335

a

.

Câu 23 Cho lăng trụ ABC A B C   , có A A = A B = A C , đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh

BC = a Góc giữa hai mặt phẳng (A BC ) và mặt phẳng đáy bằng 600và khoảng cách từ điểm

a

3

3 312

a

3

3 24

a

3

3 34

32

33

3 a

Câu 25 Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCDlà hình bình hành, mặt bên SAB là tam giác đều cạnha

Khoảng cách giữa hai đường thẳngSA và CD bằng 2a Thể tích khối chóp S ABCD bằng

A.

3

33

a

3

36

a

3

312

ANH SHIPER TOÁN ĐỒNG HÀNH CÙNG 2K6

  ĐÁP ÁN CHI TIẾT Câu 1. Cho khối lăng trụ đứng ABC A B C    có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , góc giữa mặt phẳng

(A BC ) và mặt đáy (ABC bằng ) 60 Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng

FB tác giả: Đào Nguyễn

Gọi M là trung điểm của BC

Do tam giác ABC đều nên BC⊥AM (1)

Lại có BC⊥(A AM ) (Do BC⊥AM và BC⊥ AA) Suy ra BC⊥A M (2)

Từ (1) và (2) suy ra góc giữa mặt phẳng (A BC ) và đáy chính là góc giữa hai đường thẳng

Câu 2. Cho hình hộp chữ nhật ABCDA B C D    có AB=a AD, =a 2 Biết khoảng cách từ A đến mặt

FB tác giả: Đào Nguyễn

Gọi H là hình chiếu của A trên AD, tức là A H ⊥AD (1)

Do C D ⊥(ADD A ) nên C D ⊥A H (2)

Từ (1) và (2) suy ra A H ⊥(ABC D ) hay A H ⊥(BC D )

Suy ra A H chính là khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BC D  )

2

9

a a

Câu 3 Cho hình chóp tam giác S ABC cóAB=1, AC=2,BAC=120, SA vuông góc với mặt phẳng

đáy Biết SBC có diện tích bằng 3 Thể tích khối chóp S ABC bằng:

Vậy . 1 1 3 7 3 21

S ABC ABC

Câu 4 Cho hình chóp S ABCD có đáyABCD là hình vuông, SA vuông góc với mặt phẳng đáy Biết

góc giữa SC và mặt phẳng đáy bằng 60 và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC bằng )6

Câu 5 Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với đáy

và SA=a Gọi M N lần lượt là trung điểm của hai cạnh , AB CD và ,, E F là hai điểm lần lượt

thuộc hai cạnh SB SC thỏa mãn , ES =EB và SC=3SF.Hãy tính theo a thể tích của khối đa

diện BCNMEF

A 3 3

31

33

37

24a

Lời giải

FB tác giả: Ngoclan Nguyen

Khối đa diện BCNMEF có thể phân chia thành hai khối chóp F BCNM và EFBM

Câu 6 Cho khối lăng trụ ABC A B C    có đáy là tam giác đều cạnh a Hình chiếu vuông góc của B

trên mặt phẳng đáy trùng trung điểm H của cạnh AB, biết góc giữa B H và mặt phẳng (BCC B   bằng 30 Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho )

a

3316

Câu 7 Cho khối lăng trụ ABC A B C    có đáy là tam giác đều cạnh a Hình chiếu vuông góc của A

trên mặt phẳng đáy trùng trọng tâm tam giác ABC , biết khoảng cách giữa AA và BC bằng

a

3

34

a

3

312

a

3

316

a

Lời giải

FB tác giả: Chu Bá Biên

Gọi O là trọng tâm của tam giác ABC và K = AO  BC

B A'

H

Tam giác AHK vuông tại H: 2 2 3

Câu 8 Cho khối lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' có đáy ABC là tam giác có AB=a AC; =a 3;BC =a

Gọi M là trung điểm CC và khoảng cách từ M đến (A BC' ) bằng 21

14

a

, thể tích khối lăng trụ đã cho bằng

A

3

312

a

3 3 4

a

3

34

a

3 4

A 3

323

A

32

a

33

a

Lời giải

*Gọi N I, lần lượt là trung điểm D C   và B C 

Gọi P đối xứng M qua I , khi đó AMPC là hình bình hành

( )//

'

552

Câu 11 Cho lăng trụ đều ABC A B C ' ' ' có CA' tạo với (BCC B' ') mọt góc 45 Gọi Glà trọng tâm tam

giác A B C' ' ', khoảng cách từ C' đến (CA G' ) bằng a 2 Tính thể tích lăng trụ?

A 9a3 2 B a3 6 C 3a3 2 D

363

a

Lời giải

Gọi độ dài cạnh đáy là x

Gọi H là trung điểm cạnh B C , suy ra 3

'2

a

338

Gọi H là hình chiếu của A trên BC , H  là hình chiếu của H trên B C , K là hình chiếu của H trên AH

Tam giác vuông ABC có diện tích bằng

238

Câu 13 Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' có đáy ABClà tam giác vuông tại A, ACB =30 Biết

góc giữa B C' và mặt phẳng (ACC A ) bằng  thỏa mãn sin 1

2 5

 = và khoảng cách giữa hai đường thẳng A B và CC bằng a 3 Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC A B C   

Câu 14 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D, AB=AD=a CD, =2a

Hình chiếu của đỉnh S lên mặt (ABCD trùng với trung điểm của ) BD Biết thể tích của khối .chóp S ABCD bằng

32

Gọi M là trung điểm của CD Ta có tứ giácABMD là hình vuông Gọi H là trung điểm của

BD Ta có H cũng là trung điểm của AM và BD⊥AM(1)

Câu 15 Cho khối lăng trụ ABC A B C   có đáy là tam giác đều, hình chiếu vuông góc của Blên mặt

phẳng (ABC trùng với trọng tâm tam giác ABC , góc giữa hai mặt phẳng ) (A B C   và ) (BCC B  bằng 60, Khoảng cách giữa hai đường thẳng ) AA và B C  bằng 3a Thể tích khối

Gọi M là trung điểm BC , O là trọng tâm tam giác ABC , Hlà hình chiếu vuông góc của O

lên B M Giả sử cạnh đáy bằng x

2

x OM

Câu 16 Cho hình lăng trụ tam giác đều ABCA B C   Biết khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng

(ABC bằng a , góc giữa 2 mặt phẳng ) (ABC và ) (BCC B  bằng )  với 1

a

3

3 1520

Gọi E là trung điểm của AB, gọi H là hình chiếu vuông góc hạ từ điểm C lên C E

a

323

Gọi độ dài cạnh lập phương là x (x 0) Gọi I =ABA M , do M là trung điểm của BB và

//

BB AA nên B là trung điểm của AI, suy ra AI =2x

Ta có d A A DM( ,(  ) )=d A A DI( ,(  ) )= AH, với AH⊥IK tại H, A D ⊥IK tại K

Vì tứ diện AA DI có AA, AD, AI đôi một vuông góc nên AH ⊥(A DI )

Xét hai tam giác vuông AKI, A AD có đường cao lần lượt là AH, AK, khi đó

Câu 18. Cho khối chóp SABC có đáy là tam giác ABC vuông tại A, AB=a ACB, =300 Các mặt bên

tạo với đáy những góc bằng nhau và bằng 0

60 Thể tích khối chóp đã cho bằng

A ( ) 3

3 112

a

−

3 14

a

−

3 16

FB tác giả: Võ Quỳnh Trang

Gọi H là hình chiếu của S lên đáy, I J K là hình chiếu của S lên , , AC CB BA , ,

Dễ dàng chứng minh được góc giữa các mặt bên và đáy là các góc SIH SJH SKH và các tam , ,giác vuông SHI SHJ SHK bằng nhau, nên HI, , =HJ =HK Do đó H là tâm đường tròn nội

tiếp của tam giác ABC

Ta có: AC= AB tan 600 =a 3;BC=2a Nên diện tích và nửa chu vi của tam giác ABC lần

p

−

Đường cao của khối chóp SABC là 0 3( 3 1)

FB tác giả: Nguyễn Phong Vũ

Gọi I là giao điểm của AC và BD

Trong mặt phẳng (ACC A   : AC cắt ) A I tại G

Câu 20 Cho khối lập phương ABCD A B C D     có khoảng cách giữa hai đường thẳng C D và B C là

a Khi đó thể tích khối lập phương ABCD A B C D     là

Lời giải

FB tác giả: Lê Thị Hồng Ngọc

Câu 21 Cho lăng trụ tam giác đều ABC A B C    có cạnh đáy bằng a Góc giữa hai đường thẳng A B'

và B C bằng 90 Tính theo a thể tích V của khối lăng trụ đã cho.'

A

3624

a

364

a

368

a

Lời giải

FB tác giả: Hoa Nguyen

FB phản biện: Nguyễn Quế Sơn

Chọn D

Gọi D, E là điểm sao cho B là trung điểm của AD và E là trung điểm của CD

Khi đó tam giác ACD vuông tại C ( BC BA BD= = ) và CD= 3a ; 1 1

BE = AC = a (1)

Vì A B' ' BD

=

// nên B D A B' // ' Mà (A B B C =' , ' ) 90 , do đó tam giác CB D vuông tại ' B' và

có đường trung tuyến ' 1 3

B E= CD= a (2)

( )'

BB ⊥ ABC nên tam giác B BE' vuông tại B

Câu 22 Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C    có đáy là tam giác đều cạnh a , góc giữa hai

mặt phẳng (A BC ) và (ABC bằng 60 , A A)  = A B =A C Tính thể tích của khối lăng trụ

ABC A B C  

A

338

a

328

a

326

a

335

a

.

Lời giải

FB tác giả: Trần Minh Hưng

FB phản biện: Thanh Tram Nguyen

Diện tích tam giác đều ABC là

234

Câu 23 Cho lăng trụ ABC A B C   , có A A = A B = A C , đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh

BC = a Góc giữa hai mặt phẳng (A BC ) và mặt phẳng đáy bằng 600và khoảng cách từ điểm

G M A

B

C A'