Cd30 (câu 43)thể tích khối đa diện vd vdc hdg p1

TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT CHUYÊN ĐỀ 30: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN VD – VDC KIẾN THỨC CẦN NHỚ: THỂ TÍCH KHỐI CHĨP – KHỐI LĂNG TRỤ 1 Vchãp = ìS y chiều cao = ìS y d ( ỉnh; mặt phẳng đáy) 3 Thể tích khối chóp Thể tích khối lăng tr g Th tớch lp phng Vlăng trụ = Sđ ¸ y chiỊu cao V = a3 g Thể tích khối hộp chữ nhật V = abc c a a b Tỉ số thể tích S Cho khối chóp S.ABC , đoạn thẳng SA, SB, SC lấy điểm A ¢, B ¢, C ¢ khác S Khi ta ln có số thể g VS.A ¢B ¢C ¢ VS.ABC = SA ¢ SB Â SC Â ì ì ì SA SB SC A¢ A C¢ B¢ tích: g Ngồi cách tính thể tích trên, ta cịn phương pháp chia nhỏ khối đa diện thành đa diện nhỏ mà dễ dàng tính tốn Sau cộng lại g Ta thường dùng tỉ số thể tích điểm chia đoạn theo tỉ lệ Tính chất hình chóp g Đáy đa giác g Chân đường cao trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy g Các mặt bên tam giác cân g Góc cạnh bên mặt đáy g Góc mặt bên mặt đáy tỉ C B Page Sưu tầm biên soạn TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT Tứ diện bát diện đều: g Tứ diện hình chóp có tất mặt tam giác g Bát diện hình gồm hai hình chóp tứ giác ghép trùng khít hai đáy với Mỗi đỉnh đỉnh chung bốn tam giác Tám mặt tam giác Nếu nối trung điểm hình tứ diện tâm mặt hình lập phương ta thu hình bát diện Hình lăng trụ đứng hình lăng trụ đều: g Hình lăng trụ đứng hình lăng trụ có cạnh bên vng góc với mặt phẳng đáy Do mặt bên hình lăng trụ đứng hình chữ nhật nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy g Hình lăng trụ hình lăng trụ đứng có đáy đa giác XÁC ĐỊNH CHIỀU CAO THƯỜNG GẶP a) Hình chóp có Ví dụ : Hình chóp S.ABC có mợt cạnh bên cạnh bên SA vng góc với mặt vng góc với đáy: SA ^ (ABC ) Chiều cao hình phẳng đáy, tức chóp độ dài cạnh chiều cao hình chóp SA bên vng góc với đáy b) Hình chóp có mặt bên vng góc với mặt đáy: Chiều cao hình chóp chiều cao tam giác chứa mặt bên vng góc với đáy Ví dụ: Hình chóp S.ABCD có mặt bên (SAB ) vng góc với mặt phẳng đáy (ABCD) c) Hình chóp có mặt bên vng góc với mặt đáy: Chiều cao hình chóp giao tuyến hai mặt bên vng góc với mặt phẳng đáy Ví dụ : Hình chóp S.ABCD có hai mặt bên (SAB ) C A B S A chiều cao hình chóp SH chiều cao D SAB (SAD ) vng góc với mặt đáy (ABCD) chiều S B C S D A B C cao hình chóp SA d) Hình chóp đều: Ví dụ : Hình chóp Chiều cao hình D H S Page Sưu tầm biên soạn TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT chóp đoạn thẳng S.ABCD có tâm đa giác đáy giao điểm hai nối đỉnh tâm đường chéo hình vng ABCD có đường cao đáy Đối với hình chóp SO đáy tam giác tâm trọng tâm G tam giác DIỆN TÍCH CỦA MỘT SỐ HÌNH THƯỜNG GẶP  Diện tích tam giác thường: Cho tam giác ABC đặt AB = c, BC = a, CA = b a +b +c : nửa chu vi Gọi R, r bán kính đường trịn ngoại tiếp nội tiếp tam giác ABC Khi đó: p= g SDABC 1 = a.ha = bh b = ch 2 c 1 = absinC = bc sin A = ac sin B = 2 abc = = pr 4R = p(p - a)(p - b)(p - c), (Héron) A ch r b B H aR a g Stam giác vuông = ì C (cạnh huyền)2 g Stam giác vuông cân = ì g Stam giác = Shỡnh ch nht S hình thang = (cạnh)2 cạnh ị Chiều cao tam giác = × = dài ´ rộng Shình vuụng = (đáy lớn + đáy bé) ì(chiều cao) ì S Tứ giác có đ ờng chéo vuông góc = Tích hai đ ờng chéo Tích đ ờng chéo ị S hình thoi = ì 2 HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Hệ thức lượng tam giác vuông Cho D ABC vuông A, có AH đường cao, AM trung tuyến Khi đó: 2 * BC = AB + AC (Pitago), AH BC = AB AC * AB = BH ×BC AC = CH ×CB 1 = + 2 AB AC AH = HB ×HC * AH * BC = 2AM 1 SDABC = ×AB ×AC = ×AH ×BC 2 * Hệ thức lượng tam giác thường A B HM C Page Sưu tầm biên soạn TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT a +b +c Cho D ABC đặt Gọi R, r bán kính đường trịn ngoại tiếp nội tiếp tam giác ABC Khi đó: AB = c, BC = a, CA = b, p = * * * * a b c = = = 2R sin B sinC Định lý hàm sin: sin A ïìï b2 + c2 - a2 µ µ 2 ïï g a = b + c - 2bc cosA Þ cosA = 2bc ïï ïï a + c2 - b2 µ µ 2 × í g b = a + c - 2ac cosB Þ cosB = ïï 2ac 2 ùù ị cosC = a +b - c ïï g c = a2 + b2 - 2abcosC ï 2ab Định lý hàm cos: ïỵ 2 ìï ïï g AM = AB + AC - BC ïï ïï 2 ïí g BN = BA + BC - AC × ïï 2 ïï CA + CB AB ïï g CK = A ï Cơng thức trung tuyến: ïỵ ìï M ïï g MN P BC Þ AM = AN = MN = k ïï AB AC BC × í ỉ ùù SDAMN AM ữ ỗ ữ =ỗ =k ùù g B ữ ỗ ữ S AB ố ứ ï D ABC Định lý Thales: ỵ N C Câu 43_TK2023 Cho khối lăng trụ đứng ABC ABC  có đáy ABC tam giác vuông cân B , AB a Biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng , thể tích khối lăng trụ cho a A a B C 2a Lời giải  ABC  a 3 a D Chọn B Page Sưu tầm biên soạn TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT Kẻ AH  AB , H  AB BC  AB    BC   ABBA  BC  AA  BC  AH Vì BC  AH , AH  AB  AH   ABC  Ta có Do Xét tam giác vng AAB vng A , ta có d  A,( ABC )   AH  a 1 1 1      2 2   AH AA AB AA AH AB 1      AA a 2 AA 6a a 2a a3 VABC ABC  SABC AA  a.a.a  2 Vậy  Câu 1: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thoi cạnh a góc BAD 120 , tam giác SAB cân S nằm mặt phẳng vng góc với mặt đáy, góc ( SCD ) mặt đáy 600 Tính thể tích khối chóp S ABCD A V= a3 B V= a3 12 V= C Lời giải 3a D V= a3 Gọi H trung điểm đoạn AB Vì SAB tam giác cân đỉnh S nên SH  AB , mà  SAB    ABCD  ,  SAB    ABCD   AB suy SH   ABCD   Vì đáy ABCD hình thoi cạnh a có góc BAD 120 nên tam giác BAC tam giác cạnh a , suy CH  a Page Sưu tầm biên soạn TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT Vì BAC tam giác nên CH ^ AB mà CD P AB suy CH  CD Vì CD  CH ; CD  SH suy CD  SC Vì CD  CH ; CD  SC ;  SCD    ABCD  CD  ABCD  góc hai đường thẳng  SCD   SC HC suy góc SCH 600 SH HC.tan 600  SH  Xét tam giác SHC vng H ta có Diện tích hình thoi ABCD là: suy góc hai mặt phẳng S ABCD 2 S ABC 2 a 3 3 a 2 a2 a2  a a3 V  a  2 Vậy thể tích khối chóp S ABCD là:  SAB  tam Câu 2: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy hình vuông, mặt bên giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt đáy Biết khoảng cách  SCD  a Tính thể tích V khối chóp từ điểm A đến mặt phẳng a 21 A a 21 B 7a3 C Lời giải 3a D Gọi cạnh hình vng ABCD x H , M trung điểm AB, CD Do tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với đáy nên SH vng góc với AB , AH //  SCD   d  A,  SCD   d  H ,  SCD   SH  x , SH   ABCD  CD  MH  CD   SHM   CD  HK  CD  SH  Kẻ HK  SM , Từ  HK   SDC  hay d  H ,  SDC   HK a 1 1    2 2 2 2 HM HK 3x x 3a Trong tam giác vuông SHM : SH    x a 3x 3a Page Sưu tầm biên soạn TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT VS ABCD  a   a 21 a 21  Câu 3: Cho hình chóp S ABC có mặt phẳng ( SAC ) vng góc với mặt phẳng ( ABC ) , SAB tam giác cạnh a , BC a , đường thẳng SC tạo với mặt phẳng ( ABC ) góc 60 Thể tích khối chóp S ABC a3 A a3 B C 2a a3 D Lời giải Gọi O trung điểm AC , BA BC nên BO  AC Mà ( SAC )  ( SAB ) nên BO  ( SAC ) Khi đó, tam giác vuông OA OC OS BOA , BOC , BOS nên Suy tam giác SAC vng S Vì ( SAC ) vng góc với ( ABC ) góc SC mặt phẳng ( ABC )  60 nên góc SCA 60 OS OA OC  Như AC SA  a  2sin SCA 2 Suy BO  SB  OS a Diện tích SAC tính cơng thức 1  S  SA AC sin SAC   3a 2a sin 30  a 2 V  BO SSAC  a 3 Như Câu 4: Trong không gian cho tam giác SAB hình chữ nhật ABCD , với AD 2a nằm hai mặt phẳng vng góc Gọi  góc hai mặt phẳng S ABC  SAB   SCD  Biết tan   2 Thể tích khối chóp Page Sưu tầm biên soạn TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT a3 V A B V a Lời giải a3 V C Dễ dàng xác định giao tuyến hai mặt phẳng a3 V 12 D  SAB   SCD  đường thẳng d qua S song song với AB, CD Gọi H , K trung điểm cạnh AB, CD  SAB  có SH  AB  SH  d Trong mặt phẳng CD  HK  CD   SHK   CD  SK  d  SK  CD  SH  Vì  SAB    SCD  d   SH  d , SH   SAB   , SK HSK   SAB  ,  SCD   SH SK  d , SK   SCD   Ta có Do    HK 2  2a 2 3a  tan HSK      SH  SHK , SH SH Xét tam giác vng có Xét tam giác SAB có: SH  AB 3a AB    AB a 2 1 3a V  a 6.2a a 3 S ABC 2 Thể tích khối chóp Câu 5: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, mặt bên SAD tam giác cạnh 2a nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích khối chóp S ABCD biết mặt phẳng phẳng đáy góc 30 A 3a 3a 3 B C 3a Lời giải  SBC  tạo với mặt 3a 3 D Page Sưu tầm biên soạn TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT Gọi H , M trung điểm AD, BC ta có: SH  AD,  SAD    ABCD   SH   ABCD  Góc  SBC  mặt phẳng  ABCD   SMH 30 SH HM  3a tan 30 Tam giác SHM vng H có SH a suy 1 VS ABCD  SH S ABCD  a 6a 2 a 3 Thể tích khối chóp S ABCD Câu 6: Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a , tam giác SAD cân S nằm mặt phẳng vng góc với đáy Góc  SBC  mặt đáy 60 Tính thể tích khối chóp S ABCD 2a 3 A 4a 3 B 8a 3 C D 2a Lời giải Gọi H trung điểm AD Vì tam giác SAD cân S nên SH  AD Hai mặt phẳng  SAD   ABCD  vng góc cắt theo giao tuyến AD có SH   SAD  mà SH  AD nên SH   ABCD   BC  HI  BC   SHI   BC  SI  BC  SH BC  I Gọi trung điểm ta có suy góc hai mặt phẳng  SBC  mặt đáy  ABCD   góc SIH 60 Page Sưu tầm biên soạn TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT Xét tam giác SHI vuông H có SH HI tan 60 2a 1 8a 3 VS ABCD  S ABCD SH   2a  2a  3 Vậy Câu 7: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác đều, hình chiếu vng góc đỉnh S mặt đáy trung điểm H cạnh AB Biết mặt phẳng  SAC  vng góc với mặt phẳng a4 A a4 B 16 SH  a  SBC  Thể tích khối chóp a4 C S ABC 3a D Lời giải ⬥ Kẻ MB  SC  M  SC   SH  AB  AB   SHC   AB  SC  HC  AB  ⬥ Ta có  SC   AMB   SC  MH ⬥ Do AMB 90 AB  x  HC  x ⬥ Đặt ⬥ Trong AMB vng M có MH  AB trung điểm H AB nên AMB vuông cân M Suy MH  AB x  2 a x SH HM 3a     SC  SC HC SC x ⬥ Ta có CHS CMH nên ⬥ Trong SHC có HC  SC  SH  a x   x a 2 Page 10 Sưu tầm biên soạn