12 50 câu THỂ TÍCH tỉ số THỂ TÍCH KHỐI đa DIỆN

12 50 câu THỂ TÍCH tỉ số THỂ TÍCH KHỐI đa DIỆN 12 50 câu THỂ TÍCH tỉ số THỂ TÍCH KHỐI đa DIỆN 12 50 câu THỂ TÍCH tỉ số THỂ TÍCH KHỐI đa DIỆN 12 50 câu THỂ TÍCH tỉ số THỂ TÍCH KHỐI đa DIỆN 12 50 câu THỂ TÍCH tỉ số THỂ TÍCH KHỐI đa DIỆN 12 50 câu THỂ TÍCH tỉ số THỂ TÍCH KHỐI đa DIỆN

THỜI GIAN KHƠNG NGỪNG TRƠI DẠNG 12: THỂ TÍCH VÀ TỈ SỐ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN PHẦN I: ĐỀ BÀI Cho lăng trụ ABC ABC có tất cạnh Gọi M , N P trung Câu điểm AB ; BC  C A Thể tích khối đa diện lồi có đỉnh điểm A, B, C, M , N , P A Câu 3 16 B 3 C 3 D 3 Cho khối lăng trụ ABC ABC tích 2020 Gọi M , N trung điểm AA ; BB điểm P nằm cạnh CC cho PC  3PC Thể tích khối đa diện lồi có đỉnh điểm A, B, C, M , N , P A 2020 B 5353 C 2525 D 3535 Câu Cho lăng trụ ABC ABC có đáy ABC tam giác cạnh a , góc cạnh bên với mặt phẳng đáy 60 A cách điểm A, B, C Gọi M trung điểm AA ; N  BB thỏa mãn NB  NB P  CC cho PC  3PC Thể tích khối đa diện lồi có đỉnh điểm A, B, C, M , N , P A Câu a3 B 41a 3 240 C 23a 3 144 D 19a 3 240 Cho khối lăng trụ ABC ABC tích V Gọi M trung điểm AA ; N thuộc cạnh BB cho NB  NB P thuộc cạnh CC  cho PC  3PC Thể tích khối đa diện lồi có đỉnh điểm A, B, C, M , N , P theo V A Câu 101 V 180 B V C 41 V 60 D V Cho lăng trụ ABC ABC  diện tích đáy chiều cao Gọi M , N , P trung điểm AA, BB, CC  G, G  trọng tâm hai đáy ABC, ABC  Thể tích khối đa diện lồi có đỉnh điểm G, G, M , N , P A 10 Câu B C D Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' có diện tích đáy chiều cao Gọi M , N P tâm mặt bên AA ' B ' B , BB ' C ' C CC ' A ' A , G , G' trọng tâm hai đáy ABC A ' B ' C ' Thể tích khối đa diện lồi có đỉnh điểm G , G ', M , N , P bằng: A Trang B C D THỜI GIAN KHƠNG NGỪNG TRƠI Cho hình lăng trụ ABC ABC có chiều cao diện tích đáy Gọi M , N Câu trung điểm cạnh AB, AC P, Q thuộc cạnh AC, AB cho AP AQ   Thể tích khối đa diện lồi có đỉnh điểm A, A, M , N , P Q AC  AB A 18 B 19 C 27 D 36 Cho hình lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có điểm O G tâm mặt bên ABB ' A ' trọng tâm ABC Biết VABC A' B 'C '  270 cm3 Thể tích khối chóp AOGB Câu A 15 cm3 B 30 cm3 D 15 cm3 C 45 cm3 Cho lăng trụ ABC ABC tất cạnh a Gọi M điểm đối xứng A qua Câu BC  Thể tích khối đa diện ABC.MBC 3a 3a a3 a3 A B C D 3 Câu 10 Cho lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' có AB  AA '  a Gọi M , P trung điểm hai cạnh AC B ' C ' Lấy điểm N cạnh AB thỏa mãn AN  AB Mặt phẳng  MNP  chia lăng trụ cho thành khối đa diện, thể tích V1 khối đa diện chứa đỉnh C là: A V1  3057 a 23520 B V1  2057 a 23520 C V1  4057 a 23520 D V1  5057 a 23520 Câu 11 Cho lăng trụ tam giác ABC ABC Biết A B vng góc đáy Đường thẳng AA tạo với đáy góc 45 Góc hai mặt phẳng  ABBA   ACC A  30 Khoảng cách từ A đến BB CC  Gọi H , K hình chiếu vng góc A BB, CC H , K  hình chiếu vng góc A BB, CC Thể tích lăng trụ AHK AH K  200 200 B V  100 C V  D V  100 3 Câu 12 Cho hình lăng trụ ABC ABC có độ dài tất cạnh a Gọi M trung điểm A V  AB N điểm thuộc cạnh AC cho CN  AN Thể tích khối đa diện lồi có đỉnh điểm A, M , N , A, B C  A 3a 12 B 3a 36 C 3a 36 D 3a 12 Câu 13 Cho khối lăng trụ ABC ABC tích 30 Gọi O tâm hình bình hành ABBA G trọng tâm tam giác ABC  Thể tích tứ diện COGB Trang THỜI GIAN KHÔNG NGỪNG TRÔI A B 15 14 C D 10 Câu 14 Cho lăng trụ ABC ABC có độ dài tất cạnh Gọi M , N trung điểm hai cạnh AB AC Tính thể tích V khối đa diện AMNABC A V  48 B V  32 C V  32 D V  48 Câu 15 Cho hình lập phương ABCD ABCD cạnh 1cm Gọi M , N , P , Q trung điểm cạnh AB , AD , DC  , C B O , I , J , ,lần lượt tâm hình vng ABCD , AADD , BCCB (như hình vẽ) Tính thể tích khối đa diện OINPQMJ B C D cm cm3 cm3 cm3 12 24 24 Câu 16 Cho lăng trụ ABC ABC có chiều cao a đáy tam giác cạnh a Gọi M , N P tâm mặt bên ABBA , ACCA BCCB Thể tích khối đa diện lồi có đỉnh điểm A, B, C, M , N , P A 3a 3 3a 3 3a 3 a3 B C D 32 32 24 Câu 17 Cho hình hộp chữ nhật ABCD ABCD Trên cạnh AA , BB , CC  lấy điểm AM BN CP  Mặt phẳng  MNP  cắt cạnh DD Q  ,  , M , N , P cho AA BB CC  Gọi V1 , V2 thể tích khối đa diện MNPQABCD MNPQABCD Khi A V1 V2 A 31 B 31 C 40 D 40 31 Câu 18 Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.DEF có chiều cao a diện tích đáy 4a Gọi M , N , P tâm mặt bên ABED , BCFE , ACFD G , H trọng tâm hai đáy ABC , DEF Thể tích khối đa diện có đỉnh điểm G , M , N , P , H Trang THỜI GIAN KHÔNG NGỪNG TRÔI a3 a3 a3 a3 B C D 12 Câu 19 Cho hình lăng trụ ABCD ABCD có đáy hình bình hành Gọi M , N , P , Q trọng tâm tam giác AAD , ACD , ACB , ABA Gọi O điểm mặt đáy ABCD Biết thể tích khối chóp O.MNPQ V Tính theo V thể tích khối lăng trụ ABCD.ABCD 81 81 27 27 A B V C V D V V Câu 20 Cho lăng trụ tam giác ABC ABC có chiều cao diện tích đáy Gọi M , N , P tâm mặt bên ABBA , BCCB CAAC Thể tích khối đa diện lồi có đỉnh điểm A , B , C , M , N , P A D Câu 21 Cho khối lăng trụ đứng ABCD ABCD có đáy hình thoi cạnh a , chiều cao a , A B C góc BAD  120 Gọi O giao điểm CA AC  Gọi điểm M , N , P, Q, R, S đối xứng với O qua mặt phẳng  ABCD  ,  ABCD ,  CDDC ,  ABBA ,  BCCB ,  ADDA Thể tích khối đa diện lồi tạo đỉnh M , N , P, Q, R, S 3a a3 3 3a B C D 3a3 2 Câu 22 Cho khối lăng trụ tam giác ABC ABC có cạnh đáy a , chiều cao 2a Gọi M , N , P trung điểm AA , CC  , BC Mặt phẳng  MNP  chia khối lăng trụ cho A thành hai phần Thể tích phần có chứa đỉnh B 19a 3 5a 3 11a 3 3a 3 A B C D 48 48 Câu 23 Cho khối tứ diện ABCD tích V Gọi M , N , P, Q trung điểm AC, AD, BD, BC Thể tích khối chóp A.MNPQ A Trang V 12 B V C V D V THỜI GIAN KHÔNG NGỪNG TRÔI Câu 24 Cho hình chóp S ABCD có diện tích đáy 13, đường cao Đáy ABCD hình thoi tâm O Gọi M , N , P, Q trọng tâm tam giác SAB, SBC, SCD, SDA Tính thể tích khối đa diện O.MNPQ A 130 27 B 130 81 C 130 D 130 63 Câu 25 Cho khối lăng trụ ABC ABC tích V Trên cạnh AA, BB, CC lấy điểm M N P cho AM  AA, BN  BB, CP  CC  Thể tích khối đa diện ABCMNP 5V 2V 4V V A B C D 9 Câu 26 Cho hình hộp ABCD ABCD tích 2020 Trên cạnh AB lấy điểm M khác A B Gọi  P  mặt phẳng qua M song song với mặt phẳng  ACD  chia khối hộp thành hai phần cắt hình hộp theo thiết diện có diện tích lớn Tính thể tích phần khối hộp chứa cạnh DD A 1010 B 2020 C 505 D 505 Câu 27 Cho hình chóp S ABCD có SA vng góc với mặt phẳng ( ABC ) tam giác ABC cân A Cạnh bên SB tạo với mặt phẳng đáy, mặt phẳng trung trực BC góc 300 450 , khoảng cách từ S đến cạnh BC a Tính thể tích khối chóp S ABC a3 a3 a3 C VS ABC  D VS ABC  Câu 28 Cho hình chóp S ABCD đáy hình vng cạnh a , có SA  2a vng góc với mặt đáy Gọi M , N trọng tâm tam giác SAB , SCD Tính thể tích khối tứ diện S MNC A VS ABC  a3 B VS ABC  2 3 B C a D a a a 13 13 27 27 Câu 29 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SAB nằm mặt phẳng vng góc đáy Gọi M , N , P , Q , R , T trung điểm đoạn thẳng AB , A BC , CD , DA , SB SC Thể tích (tính theo a ) khối đa diện MNPQRT bao nhiêu? 5a a3 5a 3 a3 B C D 96 96 96 96 Câu 30 Cho khối chóp tứ giác S ABCD Gọi M điểm đối xứng C qua B, N trung điểm A cạnh SC Mặt phẳng MDN chia khối chóp S ABCD thành hai khối đa diện Tỉ số thể tích khối đa diện chứa đỉnh S khối chóp S ABCD A Trang 5 B 12 C 12 D THỜI GIAN KHƠNG NGỪNG TRƠI Câu 31 Cho hình chóp S ABC có SC B , AB ABC , SC 3a Tam giác ABC vuông cân qua C vng góc với SA, cắt SA, SB D, E a Mặt phẳng Tính tỉ số thể tích khối chóp S.CDE khối chóp S ABC A 11 B 20 C 20 D 15 12 Câu 32 Cho hình hộp ABCD ABCD tích V , gọi M , N hai điểm thỏa mãn DM  2MD , CN  NC , đường thẳng AM cắt đường AD P , đường thẳng BN cắt đường thẳng BC  Q Gọi V  thể tích khối đa diện lồi có đỉnh điểm A, B, P, Q, M , N Tính tỉ số V V A B C D Câu 33 Cho hình chóp S ABCD có M , N trung điểm SA, SB Mặt phẳng MNCD chia hình chóp cho thành hai phần Tỉ số thể tích khối chóp S.MNCD khối đa diện MNABCD là: A B C D Câu 34 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với đáy, cạnh bên SB tạo với đáy góc 450 Gọi B , D hình chiếu A SB, SD Mặt phẳng AB D A cắt SC C Tính tỉ số thể tích khối chóp S AB C D S ABCD B 12 C D Câu 35 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy hình bình hành Gọi M trung điểm cạnh SA, điểm E , F điểm đối xứng A qua B D Mặt phẳng MEF cắt cạnh SB, SD điểm N , P Tính tỉ số thể tích khối đa diện ABCDMNP S AEF A B C D Câu 36 Cho khối tứ diện ABCD Gọi M , N điểm thỏa mãn MA  MB  NC  2ND  Mặt phẳng   chứa đường thẳng MN song song với AC chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện Tính tỉ số thể tích khối đa diện chứa đỉnh A khối đa diện lại A Trang 11 18 B 18 C 11 D 11 THỜI GIAN KHƠNG NGỪNG TRƠI Câu 37 Cho hình lăng trụ ABC ABC Gọi M , N , P theo thứ tự trung điểm cạnh CC, BC BC , tỉ số thể tích khối chóp A.MNP với lăng trụ ABC ABC 1 1 A B C D Câu 38 Cho lăng trụ tam giác ABC ABC Lấy H , G tâm hình chữ nhật BCCB ACCA, I trung điểm CC  Tính tỉ số thể tích tứ diện CHGI tứ diện CBAC 15 30 A B C D 8 Câu 40 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH có AB  , AD  , AE  Gọi M trung điểm FG Tính tỉ số thể tích khối đa diện MBCHE với khối hộp chữ nhật ABCD.EFGH A B C D Câu 41 Cho hình lập phương ABCD.A ' B ' C ' D ' , I trung điểm BB Mặt phẳng DIC chia khối lập phương thành phần Tỉ số thể tích phần bé phần lớn A 19 B 15 C 17 D 10 17 Câu 42 Cho hình lập phương ABCD ABCD cạnh Gọi M trung điểm cạnh BB Mặt phẳng  MAD  cắt cạnh BC K Tính tỷ số thể tích khối đa diện ABCDMKCD khối lập phương 17 A B C D 17 24 24 24 Câu 43 Cho hình hộp chữ nhật ABCD ABCD Gọi N trung điểm BC  , P đối xứng với B qua B Khi mặt phẳng  PAC  chia khối hộp thành hai phần Tính tỉ số thể tích phần lớn phần bé A B 17 C 25 D 25 14 Câu 44 Cho khối chóp S ABC có M  SA, N  SB cho MA  2MS , NS  2 NB Mặt phẳng   qua hai điểm M , N song song với SC chia khối chóp thành hai khối đa diện, tích V1 , V2 với V1  V2 Tỉ số V1 V2 B C Câu 45 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình bình hành tích A V  Gọi M , N , P , Q lần D lượt trọng tâm tam giác SAB, SBC , SCD, SDA Gọi O điểm mặt V phẳng đáy  ABCD  Biết thể tích khối chóp O.MNPQ V Tính tỉ số V 27 27 27 A B C D 4 Trang THỜI GIAN KHÔNG NGỪNG TRƠI Câu 46 Cho hình chóp tứ giác S ABCD Gọi C  trung điểm SC Mặt phẳng  P  qua AC  vng góc SC cắt SB , SD B , D Gọi V1 , V2 thể tích hai khối chóp S ABCD S ABCD Tính tỉ số A V1  V2 B V1  V2 V1 V2 C V1  V2 D V1  V2 Câu 47 Cho tứ diện SABC có G trọng tâm tứ diện, mặt phẳng quay quanh AG cắt cạnh SB , SC M , N Giá trị nhỏ tỉ số VS AMN VS ABC 1 B C D Câu 48 Cho tứ diện ABCD , cạnh BC , BD , AC lấy điểm M , N , P cho BC  3BM , BD  BN , AC  AP Mặt phẳng  MNP  chia khối tứ diện ABCD thành hai V phần tích V1 , V2 với V1  V2 Tính tỉ số T  V1 A A T  26 13 B T  26 19 C T  26 21 D T  26 15 Câu 49 Cho tứ diện ABCD tích V , M trung điểm AB ; N , P điểm thuộc đoạn AD , DC cho AD  y AN CD  x.PD , với x , y số thực dương Biết thể tích tứ diện BMNP A B V , tích x y 12 C D 12 Câu 50 Cho khối chóp tứ giác S ABCD có tất cạnh a , O tâm đáy Gọi  P  3a 10 Mặt phẳng  P  10 chia khối chóp S ABCD thành hai khối đa diện, khối đa diện chứa đỉnh A tích V V1 khối đa diện cịn lại tích V2 Biết mặt phẳng  P  cắt đoạn OC I Tỉ số V2 mặt phẳng qua S , song song với BD cách A khoảng bằng: A B C HẾT - Trang D THỜI GIAN KHÔNG NGỪNG TRÔI PHẦN II: BẢNG ĐÁP ÁN 1.D 11.D 21.C 31.B 41.C 2.D 12.C 22.C 32.A 42.D 3.B 13.D 23.D 33.C 43.B 4.C 14.A 24.B 34.C 44.D 5.C 15.C 25.B 35.C 45.A 6.C 16.A 26.A 36.D 46.D 7.B 17.A 27.D 37.B 47.A 8.A 18.D 28.B 38.A 48.B 9.B 19.C 29.A 39.D 49.B 10.B 20.C 30.C 40.B 50.C PHẦN III: HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Cho lăng trụ ABC ABC có tất cạnh Gọi M , N P trung điểm AB ; BC  C A Thể tích khối đa diện lồi có đỉnh điểm A, B, C, M , N , P Trang THỜI GIAN KHÔNG NGỪNG TRÔI A 3 16 B 3 C 3 D 3 Lời giải Chọn D Thể tích khối lăng trụ ABC ABC V  AA.SABC  22  Gọi thể tích khối đa diện lồi có đỉnh điểm A, B, C, M , N , P V1 Ta có V1  V  VAAMP  VBBMN  VCCNP VAAMP  1 1 AA.SAMP  AA SA' B 'C '  V 3 12 1 1 VBBMN  BB.SB ' MN  BB SABC  V 3 12 1 1 VCCNP  CC .SCNP  CC  SABC  V 3 12 Vậy V1  V  VAAMP  VBBMN  VCC NP  V  Câu 2: 3 3 V  V   12 4 Cho khối lăng trụ ABC ABC tích 2020 Gọi M , N trung điểm AA ; BB điểm P nằm cạnh CC cho PC  3PC Thể tích khối đa diện lồi có đỉnh điểm A, B, C, M , N , P A 2020 B 5353 C Lời giải Chọn D Giả sử V  VABC ABC  2020 Trang 10 2525 D 3535 THỜI GIAN KHÔNG NGỪNG TRÔI B C H A I G B' C' A' Câu 39 Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C Gọi M , N , P tâm mặt bên AA B B , BB C C , CC A A Tỉ số thể tích khối đa diện lồi có đỉnh điểm A , B , C , M , N , P khối lăng trụ ABC A B C A B C Lời giải Chọn D Trang 51 D THỜI GIAN KHÔNG NGỪNG TRÔI Mặt phẳng MNP cắt cạnh AA , BB , CC D , E , F Gọi thể tích khối đa diện cần tìm V thì: V VABC.DEF VA.DMP Mặt khác VA.DMP Do V Câu 40 VB.EMN VC.FNP VABC A B C S d A, DEF DEF d A, DPM S DMP VABC A B C VABC A B C 24 VA.DMP V VABC DEF 12 V V ABC A B C VABC A B C VABC A B C 24 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH có AB  , AD  , AE  Gọi M trung điểm FG Tính tỉ số thể tích khối đa diện MBCHE với khối hộp chữ nhật ABCD.EFGH A B C D Lời giải Chọn B D C A B K H G M E F Kẻ FK  BE mà FK  BC (do BC   ABFE  )  FK   BCHE   d  F ,  BCHE    FK 1 1 5       FK  2 FK FE FB 16 16 BE  BF  EF  22  42  FG //  BCHE   d  M ,  BCHE    d  F ,  BCHE    FK  Diện tích: SBCHE  BC.BE  1.2  1  VM BCHE  d  M ,  BCHE   S BCHE  3 VABCD.EFGH  AB AD AE  4.1.2  Trang 52 THỜI GIAN KHÔNG NGỪNG TRÔI Vậy VM BCHE VABCD.EFGH 3 Cách phản biện Kí hiệu V  VABCD.EFGH Ta có VEBF HCG  V 1 1 VMBCHE  VEBF HCG  VE.FMB  VH MGC   V  V  V (Tổng diện tích tam giác MBF 2 3 MGC ½ diện tích BFGC ) Vậy VMBCHE  VABCD.EFGH Câu 41 Cho hình lập phương ABCD.A ' B ' C ' D ' , I trung điểm BB Mặt phẳng DIC chia khối lập phương thành phần Tỉ số thể tích phần bé phần lớn A 19 B 15 C 17 D 10 17 Lời giải Chọn C Trong  BAA ' B ' kẻ IN / / AB ' , N  AB Vì AB '/ / DC ' NA NB mặt phẳng IDC ' cắt AB N Do mặt phẳng DIC chia hình lập phương thành khối đa diện: khối C ' INDCB tích V1 phần cịn lại tích V2 Giả sử cạnh hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' a Trang 53 THỜI GIAN KHƠNG NGỪNG TRƠI Ta có: VC ' DAB ' IN V1 a a a2 5a3 24 CC '.S ADN VC ' ANIB ' a2 S IBN a a 2 Mà S ADN S ANIB ' VC ' ADN 3a2 C ' B '.S ANIB ' a2 a a 2 5a3 24 VC ' DAB ' IN a3 24 a3 24 a3 Phần cịn lại tích V 17a3 24 V1 V2 17 Các cách giải khác: Cách 1: Giả sử hình lập phương có cạnh a ta có VABCD A B C D S DCC VBIN CC D a , S BIN BC S BIN 1 a 2 2 a S BIN SCC D Thể tích phần cịn lại a3 7a3 24 a3 SCC D a2 a a2 a2 7a3 24 17a3 Tỉ số cần tính 17 24 Cách 2: Gọi E giao điểm CB DN , ta có VE DCC VE BNI VABB DCC 1 VABCD A B C D 1 V Suy VBNI CDC Thể tích phần cịn lại V V 24 V V 24 V V 24 17 V Tỉ số cần tính 17 24 Câu 42 Cho hình lập phương ABCD ABCD cạnh Gọi M trung điểm cạnh BB Mặt phẳng  MAD  cắt cạnh BC K Tính tỷ số thể tích khối đa diện ABCDMKCD khối lập phương Trang 54 THỜI GIAN KHÔNG NGỪNG TRÔI A 24 B 17 C 24 D 17 24 Lời giải Chọn D Gọi K trung điểm BC MK / / BC Mà BC / / AD  MK / / AD  K   MAD  VABCD A' B'C' D'  13   1 1   A ' A  MB AB   2 Ta có S A ' MBA    2 1 Nên VD A ' ABM  S A ' MBA AD   3 4 V BM BK 1 Dễ thấy B.MKD    VB.CB'D BB ' BC 2 A' B' C' D' M B A K D Suy ra: C 1 1 1 1 1 VB.MKD  VB.CB'D  S DBC BB '  DC.BC.BB '  1.1.1  4 4 24 1 1  V  V  V V ' ' ' ' D A ' ABM B MKD 24  17 Vậy A ' B 'C ' D '.MKCD  ABCD A B C D  24 VABCD A' B'C ' D' VABCD A' B'C ' D' Câu 43 Cho hình hộp chữ nhật ABCD ABCD Gọi N trung điểm BC  , P đối xứng với B qua B Khi mặt phẳng  PAC  chia khối hộp thành hai phần Tính tỉ số thể tích phần lớn phần bé A B 17 C Lời giải Chọn B Trang 55 25 D 25 14 THỜI GIAN KHÔNG NGỪNG TRÔI Gọi M trung điểm AB Mặt phẳng  ACM  chia khối hộp chữ nhật thành hai phần hình vẽ Gọi thể tích khối hộp chữ nhật ban đầu V , phần chứa điểm B tích V1 phần cịn lại tích V2 Ta có PB PN PM MB     PB PC PA AB 1 1 Thể tích khối chóp P ACB VP ACB  PB.S ABC  2.BB AB.BC  V 3 Ta lại có VP.MNB PB PN PM   VP ACB PB PC PA 7  1 Do V1  VP ACB  VP.MNB  1   VP ACB  VP ACB  VABCD ABC   V 8 24  8 Vậy V1 V   V2 V  V1 7V   24  V  V  24    17 Câu 44 Cho khối chóp S ABC có M  SA, N  SB cho MA  2MS , NS  2 NB Mặt phẳng   qua hai điểm M , N song song với SC chia khối chóp thành hai khối đa diện, tích V1 , V2 với V1  V2 Tỉ số A B V1 V2 C D Lời giải Chọn D S M N Q C A P B Ta có mặt phẳng   cắt mặt phẳng  SAC  theo giao tuyến MQ SC (Q  AC ) cắt mặt phẳng  SBC  theo giao tuyến NP SC ( P  BC ) Thiết diện tạo mặt phẳng   với hình chóp hình thang MNPQ Gọi V  VS ABC S  SABC Ta có: Trang 56 QC PC 2  ,  nên S PQC  S 3 AC BC THỜI GIAN KHÔNG NGỪNG TRÔI S 1 7  d  N ,  ABC   S ABPQ  d  S ,  ABC   S  V 3 27 Suy ra: SABPQ  S  S PQC  VN ABPQ MA QA  nên SAMQ  SASC  , SA CA VN AMQ  d  N ,  SAC   SAMQ  d  B,  SAC   SASC  V 3 27 Vậy VMNABPQ  VN ABPQ  VN AMQ  V  VSMNPQC  V 9 V Suy SMNPQC  VMNABPQ Mặt khác: V  Gọi M , N , P , Q trọng tâm tam giác SAB, SBC , SCD, SDA Gọi O điểm mặt V phẳng đáy  ABCD  Biết thể tích khối chóp O.MNPQ V Tính tỉ số V 27 27 27 A B C D Lời giải Câu 45 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình bình hành tích Chọn A Gọi E, F , G, K trung điểm AB, BC, CD, DA Vì M , N trọng tâm tam giác SAB, SBC nên 1 Chứng minh tương tự ta có PQ KG   Vì E , F trung điểm AB, BC nên FE KG FE  3 Chứng minh tương tự ta có AC   Từ 1 ,   ,  3 ,   suy MN Trang 57 AC SM SN   Suy MN SE SF PQ Suy điểm M , N , P , Q đồng phẳng THỜI GIAN KHƠNG NGỪNG TRƠI có  MNPQ  //  ABCD  ; Ta SM   d  S ,  MNPQ    2.d   MNPQ  ,  ABCD    2.d  O,  MNPQ   ME  VS MNPQ  2VO MNPQ  2V + + VS MNQ VS EFK VS NPQ VS FGK  SM SN SQ 2 8    VS MNQ  VS EFK     SE SF SK 3 27 27  SN SP SQ 2 8  VS NPQ  VS FGK   SF SG SK 3 27 27 8 VS EFK  VS FGK  VS MNPQ  VS EFGK 27 27 27 27 27  VS EFGK  VS MNPQ  V (1) BE.BF sin EBF 1 SEBF   SEBF  SABC  S ABCD Ta có  SABC BA.BC.sin ABC Chứng minh tương tự ta có SFCG  SGDK  SKAE  SABCD  VS MNQ  VS NPQ  SEFGK  SABCD   SEBF  SFCG  SGDK  SKAE   SABCD  4SEBF  SABCD VS EFGK d  S ,  EFGK   SEFGK   VS ABCD  2.VS EFGK (2)  Suy VS ABCD d S , ABCD S    ABCD  27 V  27 Từ (1) (2) suy VS ABCD  V hay  V CƠNG THỨC TÍNH NHANH: Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành M , N , P , Q cho Mặt phẳng cắt cạnh SA , SB , SC , SD SD SC SB SA t  y,  z,  x, SQ SM SN SP Khi Khi đó: VS MNPQ VS ABCD  x y  z t xyzt Áp dụng vào tốn ta được: Trang 58 THỜI GIAN KHƠNG NGỪNG TRƠI  VS MNPQ VS EFGK  V  S MNPQ  VS ABCD 27 27 VS MNPQ  2VO MNPQ  VO.MNPQ VS ABCD  V  27   27 V Câu 46 Cho hình chóp tứ giác S ABCD Gọi C  trung điểm SC Mặt phẳng  P  qua AC  vng góc SC cắt SB , SD B , D Gọi V1 , V2 thể tích hai khối chóp S ABCD S ABCD Tính tỉ số A V1  V2 B V1  V2 V1 V2 C V1  V2 D V1  V2 Lời giải Chọn D Do S ABCD hình chóp tứ giác nên hình chiếu S lên mặt phẳng  ABCD  trùng với tâm H hình vng ABCD Vì C  trung điểm SC H trung điểm AC nên I  AC  SH trọng tâm SAC  SI  SH Ta có: BD  AC , BD  SH  BD   SAC   BD  SC mà BD   P  ;  P   SC  BD //  P  Vì BD   SBD  ;  SBD    P   BD BD //  P  suy BD // BD Mặt khác:  P    SBD   BD , Do đó: Trang 59 I  AC   P  , I  SH   SBD   I  BD THỜI GIAN KHÔNG NGỪNG TRÔI SB SD SI    SB SD SH Ta có: V1 VS ABC D VS ABC   VS AC D VS ABC  VS AC D SA SB SC  SA SC  SD             2VS ABC 2VS ACD SA SB SC SA SC SD VS ABCD V2 VS ABCD 1  1    1    2 3 Vậy V1  V2 CƠNG THỨC TÍNH NHANH: Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành SA , SB , SC , Mặt phẳng cắt cạnh SD M , N , P ,Q cho SD SC SB SA t  y,  z,  x, SQ SM SN SP Ta có: VS MNPQ VS ABCD  x y  z t xyzt Áp dụng vào toán ta có V1 VS ABC D  V2 VS ABCD SA SD SC SB 3    1   2 1  SA SD ' SC ' SB '  SA SD SC SB 3    1    SA SD ' SC ' SB ' 2 Câu 47 Cho tứ diện SABC có G trọng tâm tứ diện, mặt phẳng quay quanh AG cắt cạnh SB , SC M , N Giá trị nhỏ tỉ số A B C Lời giải Chọn A Trang 60 VS AMN VS ABC D THỜI GIAN KHÔNG NGỪNG TRÔI Gọi E , F trung điểm BC , SA trung điểm G EF trọng tâm tứ diện SABC Điểm I giao điểm AG SE Qua I dựng đường thẳng cắt cạnh SB , SC M , N Suy  AMN  mặt phẳng quay quanh AG thỏa mãn yêu cầu toán Dựng GK //SE ,  K  SA suy K trung điểm FS  KG SI KG AK      Mà SE SE AS SI Cách 1: Dựng BP //MN , CQ //MN ,  P, Q  SE  Ta có: SM SI SN SI  ;  SB SP SC SQ Ta có: BP //QC , E  PQ  BC EB  EC  BEP  CEQ  E trung điểm PQ  SP  SQ  2SE (đúng trường hợp P  Q  E ) SA SM SN SI SI V Ta có: S AMN   SA SB SC SP SQ VS ABC AM GM SI   SP  SQ  SI  SI      SE  SE  Dấu "  " xảy SP  SQ  SE Hay P  Q  E  MN //BC Vậy tỉ số nhỏ Cách 2: Trang 61 THỜI GIAN KHÔNG NGỪNG TRÔI Đặt SC SB  x;  y , với x  , y  SM SN Ta có: SI   Do I , M , N thẳng hàng nên Ta có:    1 x y SE  SB  SC  x.SM  y.SN  SM  SN 3 3 x y  1  x y  3 SA SM SN VS AMN   SA SB SC xy VS ABC AM GM   x  y  Dấu "  " xảy x  y  Vậy tỉ số nhỏ  MN //BC Câu 48 Cho tứ diện ABCD , cạnh BC , BD , AC lấy điểm M , N , P cho BC  3BM , BD  BN , AC  AP Mặt phẳng  MNP  chia khối tứ diện ABCD thành hai V phần tích V1 , V2 với V1  V2 Tính tỉ số T  V1 A T  26 13 B T  26 19 C T  26 21 D T  26 15 Lời giải Chọn B A Q P I D N B M C Gọi VABCD  V , I  MN  CD , Q  IP  AD suy Q  AD   MNP  Thiết diện tứ diện ABCD cắt mặt phẳng  MNP  tứ giác MNQP AP MC NB PC  BN   AC  AP   ; BC  3BM  1 ; AC MB ND PA Áp dụng định lí Menelaus tam giác BCD ACD ta có: NB ID MC ID ID   .2    ND IC MB IC IC AQ QA QA ID PC QA  Và 1  4    AD QD QD IC PA QD Áp dụng tốn tỉ số thể tích hai khối chóp tam giác ta có: Có BD  Trang 62 THỜI GIAN KHÔNG NGỪNG TRÔI VANCD ND   VANCD  V VCBNA  V  3 VABCD BD VANPQ  VANCD AN AP AQ 1 2  VANPQ  VANCD  V Suy VN PQDC  V  V   AN AC AD 15 5 15  V CM CN CP 1 VCMNP     VCMNP  VCBNA  V CB CN CA 3 VCBNA 19 Suy thể tích phần thứ là: V1  VN PQDC  VCMNP  V  V  V 45 26 Do thể tích phần cịn lại là: V2  V  V1  V 45 V 26 Vậy T   V1 19 Câu 49 Cho tứ diện ABCD tích V , M trung điểm AB ; N , P điểm thuộc đoạn AD , DC cho AD  y AN CD  x.PD , với x , y số thực dương Biết thể tích tứ diện BMNP B A V , tích x y 12 C Lời giải D 12 Chọn B C P D B M N A CD thuộc đoạn thỏa mãn PD d  C ,  ABD    d  C ,  ABD   d  P,  BMN    d  P,  ABD    CD x Và SABD  y.SABN  y.SBMN  SBMN  SABD 2y Ta có: điểm P CD  x.PD 1 1 Khi đó: VPBMN  d  P,  BMN   SBMN  d  C ,  ABD   SABD 3 x 2y  1 d  C ,  ABD   SABD  V xy xy Vậy để thể tích tứ diện VBMNP  Trang 63 V xy  12 nên THỜI GIAN KHƠNG NGỪNG TRƠI Câu 50 Cho khối chóp tứ giác S ABCD có tất cạnh a , O tâm đáy Gọi  P  3a 10 Mặt phẳng  P  10 chia khối chóp S ABCD thành hai khối đa diện, khối đa diện chứa đỉnh A tích V V1 khối đa diện cịn lại tích V2 Biết mặt phẳng  P  cắt đoạn OC I Tỉ số V2 mặt phẳng qua S , song song với BD cách A khoảng bằng: A B C Lời giải D Chọn C Ta có SO   ABCD   SO  BD Đáy ABCD hình vng  AC  BD , từ suy BD   SAC  Mà  P  // BD   P    SAC  Mặt khác  P   AC  I , suy   P    SAC   SI Gọi H hình chiếu vng góc A SI  AH   P   AH  d  A ,  P    Ta có AO  3a 10 10 AC a a  SO  (áp dụng Pi-ta-go cho tam giác vuông SOA )  2   a a  OI  x  Đặt AI  x ,  AO  AI  AC   x  a    2    SI  a  x  ax (áp dụng Pi-ta-go cho tam giác vuông SOI ) Dễ thấy tam giác vng SOI AHI đồng dạng (chung góc OIH ) AH AI AH SI    AI  x SO SI SO Trang 64 3a 10 a  x  ax 10  x2  9a x  9a  a 2 THỜI GIAN KHÔNG NGỪNG TRÔI  3a x   x  3a (do a  x  a )   3a x   CI 3a a   CI  AC  AI  Dễ thấy CO 4 Từ I kẻ đường thẳng song song với BD cắt BC , CD M N CM CN MN CI    CMN đồng dạng với CBD theo tỉ số    CB CD BD CO  AI  S ABCD 1 S 1  S ABCD Vậy CMN      SCMN  SCBD  SCBD   3 8 Khi V2  VS CMN  SO.SCMN  SO S ABCD  VS ABCD Suy V1  VS ABCD  V2  VS ABCD Vậy V1  V2 HẾT - Trang 65 ... SC Mặt phẳng MDN chia khối chóp S ABCD thành hai khối đa diện Tỉ số thể tích khối đa diện chứa đỉnh S khối chóp S ABCD A Trang 5 B 12 C 12 D THỜI GIAN KHƠNG NGỪNG TRƠI Câu 31 Cho hình chóp... với AC chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện Tính tỉ số thể tích khối đa diện chứa đỉnh A khối đa diện lại A Trang 11 18 B 18 C 11 D 11 THỜI GIAN KHƠNG NGỪNG TRƠI Câu 37 Cho hình lăng... MNPQ  VM NRT  cạnh SC Mặt phẳng MDN chia khối chóp S ABCD thành hai khối đa diện Tỉ số thể tích khối đa diện chứa đỉnh S khối chóp S ABCD A 12 B C 12 D Lời giải Chọn C Gọi P  MN  SB Tam