Tỉ số thể tích khối đa diện file word có lời giải chi tiết

[ Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12 ] Luyện thi THPT Quốc gia 2018 TỈ SỐ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Trường THPT Đặng Huy Trứ, Huế SĐT 0935.785.115 Địa chỉ: 116/04 Nguyễn Lộ Trạch, TP Huế I – PHƯƠNG PHÁP Kết 1: Cho tam giác OAB , cạnh OA chọn A ' �0 , cạnh OB chọn B ' �0 Lúc đó: SOA ' B ' OA ' OB '  � SOAB OA OB Chứng minh: Gọi H , H ' hình chiếu vng góc A A ' lên OB Lúc đó: S0 A ' B '  1 A ' H '.OB ' SOAB  AH OB 2 Suy ra: SOA ' B ' OA ' OB ' OA ' OB '  �  � (Định lý thales) SOAB OA OB OA OB Kết 2: Cho hình chóp S ABC , cạnh SA chọn A ' �0 , cạnh SB chọn B ' �0 cạnh SC chọn C ' �0 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word [ Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12 ] Luyện thi THPT Quốc gia 2018 VS A ' B 'C ' SA ' SB ' SC '  � � VS ABC SA SB SC Lúc đó: Chứng minh: Gọi H , H ' hình chiếu vng góc A A ' lên mp  SBC  Lúc đó: VS A ' B ' C '  1 A ' H '.SSB ' C ' VS ABC  AH S SBC 3 Suy ra: VS A' B ' C ' A ' H ' S SB 'C ' SA ' SB ' SC '  �  � � (Định lý thales) VS ABC AH S SBC SA SB SC II – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌA Ví dụ 1: Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' Tỉ số thể tích khối AA ' B ' C ' khối ABCC ' A B C D Lời giải d A; A ' B ' C '   S A ' B 'C ' VAA ' B 'C '    Ta có: (1) VC ' ABC d  C ;  ABC   S ABC Do S ABC  S A ' B 'C' d  A;  A ' B ' C '    d  C ;  ABC   nên (1): VAA ' B ' C '  VC ' ABC � Chọn đáp án A http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word [ Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12 ] Luyện thi THPT Quốc gia 2018 Ví dụ 2: Cho hình chóp tứ giác S ABCD Gọi M , N trung điểm SB, SD Mặt phẳng  AMN  cắt SC E Gọi V2 thể tích khối chóp S AMEN V1 thể tích khối chóp S ABCD Khẳng định sau đúng? A V2  V1 Lời giải B V2  V1 C V2  V1 D V2  V1 SM SN SI    �� � Qua O dựng OK P AE SB SD SO OK P AE � � Xét AEC : � Suy ra: K trung điểm EC OK  AE � � �IE POK � SE  Xét SOK : � Suy : E trung điểm S Vậy IE  OK SC � � Ta có : VS AMEN 2VS AME SA SM SE 1  � �  � VS ABCD 2VS ABC SA SB SC 1 � VS AMEN  VS ABCD hay V2  V1 6 � Chọn đáp án D uuur uuur Ví dụ : Cho tứ diện ABCD Điểm M trung điểm AB N cạnh CD cho CN  ND Tỉ số thể tích khối ABCD khối MNBC A B C D Lời giải Ta có VBMCN VBACN VBMCN VBACN  ;  � �  VBACN VBACD VBACN VBACD � VBMCN V  � BACD  VBACD VBMCN http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word [ Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12 ] Luyện thi THPT Quốc gia 2018 � Chọn đáp án A Ví dụ : Cho hình chóp S ABC Gọi M , N thuộc cạnh SB, SC cho uuu r uuur SM  MB, SN  2CN Mặt phẳng  AMN  chia khối chóp thành hai phần, gọi V1  VS AMN V2  VABCNM Khẳng định sau ? A V1  V2 B V1  V2 C V1  V2 2 D V1  V2 Lời giải Ta có : VS AMN SM SN  �  � VS ABC SB SC 3 � VS AMN  VS ABC � V ABCNM  VS ABC Vậy V1  V2 � Chọn đáp án C Ví dụ 5: Cho hình chóp tam giác S ABC Gọi M , N trung điểm cạnh BC , SM Mặt phẳng  ABN  cắt SC E Gọi V2 thể tích khốối chóp S.ABE V1 thể tích khối chóp S ABC Khảng định sau đúng? A V2  V1 Lời giải B V2  V1 C V2  V1 D V2  V1 �� � Qua M dựng MK P BE Xét tam giác BEC : �MK P BE � Suy E trung điểm SK � MK  MK � � Vậy SE  SC http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word [ Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12 ] Ta có: Luyện thi THPT Quốc gia 2018 VS ABE SA SB SE 1  � �  � VS ABE  VS ABC VS ABC SA SB SC 3 hay V2  V1 � Chọn đáp án A Ví dụ 6: Chp hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' Gọi E , F trung điểm cạnh AA ' BB ' Đường thẳng CE cắt đường thẳng C ' A ' E ' Đường thẳng CF cắt đường thẳng B ' C ' F ' Gọi V2 thể tích khối chóp C ABFE V1 thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' Khẳng định sau đúng? A V2  V1 Lời giải B V2  V1 C V2  V1 D V2  V1 Hình chóp C A ' B ' C ' lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đường cao đáy nên 1 VC A ' B 'C '  VABC A ' B 'C ' � VC ABB ' A '  V1  V1  V1 3 Do EF đường trung bình hình bình hành ABB ' A ' � S ABFE  1 S ABB ' A ' � VC ABB ' A '  V1 hay V2  V1 � Chọn đáp án A Ví dụ 7: Cho hình chóp S ABC , AB, BC , SC lấy điểm M , N , P cho AM  MB, BN  NC , SP  PC Tỉ lệ thể tích hai khối chóp S BMN A.CPN là: A B C D Lời giải + VS BMN VB MNS BM BN BS 4   � �  � VS ABC VB ACS BA BC BS 15 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word [ Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12 ] + Luyện thi THPT Quốc gia 2018 VA.CPN VC ANP CA CN CP 1   � �  � VS ABC VC ABS CA CB CS 10 � VS BMN  �  VA.CNP 15 10 � Chọn đáp án C Ví dụ 8: (Đề minh họa Bộ GD&ĐT) Cho tứ diện ABCD có cạnh AB, AC AD đơi vng góc với nhau; AB  6a, AC  a AD  4a Gọi M , N , P tương ứng trung điểm cạnh BC , CD, DB Tính thể tích V tứ diện AMNP A V  a B V  14a C V  28 a D V  a 3 Lời giải Ta có: VABCD  AB AC AD  28a Dễ thấy MNP tạo nên đường trung bình BCD � chúng đồng dạng với theo tỉ số VAMNP S MNP 1 1 �   �  � VAMNP  VABCD  7a VABCD S BCD 2 4 � Chọn đáp án D Ví dụ 9: Cho hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' Gọi O tâm ABCD; M, N trung điểm A ' B ' A ' D ' Tỉ số thể tích khối A ' ABD khối OMND ' C ' B ' A B C D Lời giải Do S ABD  S A ' B 'D' � S MND ' C ' B '  S B ' C ' D '  SMND ' B '  S ABD  S MND ' B ' http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word [ Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12 ] Mặt khác ta có: S A ' MN 3  � S MND ' B '  S A ' B ' D '  S ABD S A' B ' D ' 4 Suy ra: S MND 'C'B'  Ta có:  VA ' ABD S MND 'C ' B '  S ABD  VOMND 'C ' B ' S ABD Luyện thi THPT Quốc gia 2018 d  A ';  ABCD   S ABD d  O;  A ' B ' C ' D '   S MND 'C ' B ' � Chọn đáp án B Ví dụ 10: Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với mặt đáy, SA  a, ABC cạnh 2a Gọi M , N uuu r uuur thuộc cạnh SB, SC cho SM  MB, SN  2CN Tính thể tích khối AMNCB A 3a B 3a C 3a D 3a 3 Lời giải Ta có:  2a  3a   3a � VS ABC  SA.SABC  3 S ABC Ta có: VS AMN SM SN  �  � VS ABC SB SC 3 � VS AMN 2 3a  VS ABC � VABCNM  VS ABC  3 � Chọn đáp án A Ví dụ 11: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình bình hành Gọi M trung điểm cạnh SA Mặt phẳng  qua M song song với  ABCD  , cắt cạnh SB, SC , SD N , P, Q Gọi V1  VS ABCD V2  VS MNPQ Khẳng định sau đúng? A V1  8V2 B V1  6V2 C V1  16V2 D V1  4V2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word [ Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12 ] Luyện thi THPT Quốc gia 2018 Lời giải Dễ thấy N , P, Q trung điểm cạnh SB, SC , SD VS MNPQ  2VS MNP � Ta có: � VS ABCD  2VABC � � VS MNPQ VS ABCD  2VS MNP SM SN SP 1 1  � �  ��  2VS ABC SA SB SC 2 � V1  8V2 � Chọn đáp án A Ví dụ 12: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình bình hành Gọi M trung điểm cạnh SC Mặt phẳng    chứa AM song song với BD , cắt cạnh SB, SD N , P Gọi V1  VS ANMP V2  VABCDPMN Khẳng định sau đúng? A V2  3V1 B V2  V1 C V2  2V1 D V2  V1 Lời giải Gọi BD �AC   O ; AM �SO   I  trọng tâm SAC SBD Qua I dựng PN PBD � Thiết diện tứ giác ANMP Ta có: V1 VS ABCD  2VS ANM SN SM 1  �  � 2VS ABC SB SC 3 � V1  VS ABCD � V2  VS ABCD � V2  2V1 3 � Chọn đáp án C Ví dụ 13: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có tất cạnh a Gọi M , N , P, Q http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word [ Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12 ] Luyện thi THPT Quốc gia 2018 uur uuur uuu r uuu r thuộc cạnh SA, SB, SC , SD cho SM  MA; SN  NB; SP  3PC ; SQ  SD Tính thể tích khối SMNPQ A 2a 16 B 2a 48 C 2a 16 D 2a 32 Lời giải Ta có VS MNP SM SN SP  � �  ��  VS ABC SA SB SC 4 1 � VS MNP  VS ABC  VS ABCD Tương tự: VS MPQ VS ACD  SM SP SQ 1 � �  ��  SA SC SD 1 � VS MPQ  VS ACD  VS ABCD 16 Vậy VSMNPQ  VS MNP  VS MPQ   VS ABCD 16 2a3 a3 � Chọn đáp án D �  16 32 Ví dụ 14: Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' Gọi V1  VA A' B ' C ' V2  VABC A ' B 'C ' Khẳng định sau đúng? A V1  V2 Lời giải B V1  V2 C V1  V2 D V1  V2 Ta có: VA A' B ' C '  d  A;  A ' B ' C '   S A ' B 'C ' Và VABC A ' B 'C '  d  A;  A ' B ' C '  S A ' B 'C ' Suy ra: V1  � Chọn đáp án D V2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word [ Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12 ] Luyện thi THPT Quốc gia 2018 Ví dụ 15: Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' Điểm M cạnh AA ' cho: AM  2MA ' Gọi V1  VM BCC ' B ' V2  VABC A ' B 'C ' Khẳng định sau đúng? A V1  V2 Lời giải B V1  V2 C V1  V2 D V1  V2 Do AA ' P BCC ' B '  � VM BCC ' B '  VA.BCC ' B ' Ta có : VA A' B 'C '  VABC A' B ' C ' � VA BCC ' B '  VABC A' B ' C ' 3 Suy ra: V1  � Chọn đáp án D V2 Nhận xét: Điểm M nằm đường thẳng AA ' ? Kết tỉ số thể tích đúng! Ví dụ 16: Cho hình hộp ABCD.A ' B ' C ' D ' Gọi V1  VBACB ' V2  VABCD A ' B ' C ' D ' Khẳng định sau đúng? A V1  V2 Lời giải B V1  V2 C V1  V2 D V1  V2 Ta có: VB ACB '  d  A;  BCB '  S BCB ' 1  d  A;  BCB ' C '   � S BCB ' C '  1 d  A;  BCB ' C '  S BCB 'C '  VABCD A ' B 'C ' D ' 6 Suy ra: V1  � Chọn đáp án B V2 Ví dụ 17: Cho hình hộp ABCD.A ' B ' C ' D ' Gọi M trung điểm cạnh AB Gọi V1  VMBCB ' V2  VABCD A ' B 'C ' D ' Khẳng định sau đúng? http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word [ Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12 ] A V1  V2 B V1  V2 12 C V1  Luyện thi THPT Quốc gia 2018 V2 12 D V1  V2 Lời giải Ta có: 1 1 VMBCB '  VABCB '  �VABCD A ' B 'C ' D '  VABCD A ' B 'C ' D ' 2 12 � Chọn đáp án C Ví dụ 18: Cho khối lăng trụ tam giác ABCA ' B ' C ' , đường thẳng qua trọng tâm tam giác ABC song song với BC cắt AB D , cắt AC E Mặt phẳng qua A ', D, E chia khối lăng trụ thành hai phần, tỉ số thể tích (số bé chia cho số lớn) chúng bằng: A B 4 C 23 D 27 Lời giải Ta có: S ADE AD AE 2  �  � S ABC AB AC 3 Mặt khác: 1 VA ' ADE  d  A ';  ADE   S ADE  d  A ';  ABC   � S ABC 3  4 d  A ';  ABC   S ABC  VABC A ' B ' C ' 27 27 � VA ' B 'C 'CEDB  23 VA ' ADE VABC A ' B 'C ' �  27 VA ' B 'C ' CEDB 23 � Chọn đáp án B Ví dụ 19: Xét khối chóp tứ giác S ABCD , mặt phẳng chứa đường thẳng AB qua điểm C ' cạnh SC chia khối chóp thành hai phần tích Tính tỉ số SC ' SC http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word [ Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12 ] A B C 1 D Luyện thi THPT Quốc gia 2018 Lời giải Đặt SC '  x;   x  1 SC Ta có : VS AD 'C ' SD ' SC ' x2  �  x � VS AD ' C '  x 2VS ADC  VS ABCD VS ADC SD SC Và VS ABC ' SC ' x   x � VS ABC '  xVS ABC  VS ABCD VS ABC SC � VS ABC ' D '  VS ABC '  VS AC ' D '  x2  x � VS ABCD x2  x Theo đề ta suy VS ABC ' D '  VS ABCD �  2 � x2  x 1  � x  1  � Chọn đáp án C Ví dụ 20: Cho khối hộp ABCD.A ' B ' C ' D ' tích V Tính thể tích khối chóp A.CB ' D ' A V B V C 2V 3V D Lời giải Hình hộp cho hợp khối chóp xét với khối chóp A ' AB ' D '; B AB ' C; C '.B ' CD '; D ACD ' ; khối cuối tích cần tìm V  V nên thể tích 4V V � Chọn đáp án A  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word [ Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12 ] Luyện thi THPT Quốc gia 2018 Nhận xét: Hồn tồn “thử: trường hợp đặt biệt, hình hộp đặt biệt trở thành hình lập phương cạnh a dễ thấy thể tích khối lập phương a , khối A.CB ' D ' khối tứ diện cạnh a � thể tích tương ứng  a  12  a So sánh ta đưa kết Ví dụ 21: Cho hình chóp S ABCD đáy hình chữ nhật ABCD có BC  AB , SA vng góc với đáy Gọi M điểm cạnh AD cho AM  AB Gọi V1 ,V2 thể tích hai khối chóp S ABM S ABC Tính A B C V1 � V2 D Lời giải Ta có: S ABM  AD 1 � AB �  � S ABCD � VS ABM  VS ABCD 2 4 V1 Mặt khác: VS ABC  VS ABCD �  � V2 � Chọn đáp án D Ví dụ 22: Cho hình chóp S ABC có cạnh đáy a , góc đường thẳng SA mặt đáy 600 Gọi A '; B '; C ' tương ứng điểm đối xứng A; B; C qua S Tính thể tích khối bát diện có mặt ABC ; A ' B ' C '; A ' BC ; B ' CA; C ' AB; AB ' C '; BC ' A '; CA ' B ' A 3a B 3a C 3a 3 D 3a 3 Lời giải Thể tích khối bát diện cho V  2VA ' B 'C ' BC  2.4VA '.SBC  �.SG.SSBC http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word [ Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12 ] Luyện thi THPT Quốc gia 2018 �  600 Ta có:  SA;  ABC    SAG �  SG � SG  SA.tan SAG � a Xét SGA vuông G : tan SAG SA 1 3a 2 3a Vậy V  �� SG.S ABC  ��� a  3 � Chọn đáp án C Câu Cho hình chóp tứ giác S ABCD có tất cạnh a Gọi M , N , P, Q uur uuur uuu r uuu r thuộc cạnh SA, SB, SC , SD cho SM  MA; SN  NB; SP  3PC ; SQ  SD Tính tỉ số thể tích khối SMNPQ khối S ABCD 3 B C D 16 32 12 Câu Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' Gọi V1  VA BCC ' B ' V2  VABC A ' B ' C ' Khẳng định sau A đúng? A V1  V2 B V1  V2 C V1  V2 D V1  V2 Câu Cho tứ diện ABCD Gọi B ' C ' trung điểm AB AC Khi tỉ số thể tích khối tứ diện AB ' C ' D khối tứ diện ABCD A B C D Câu Cho hình lăng trụ ngũ giác ABCDE A ' B ' C ' D ' E ' Gọi A ", B '', C '', D '', E '' trung điểm AA ', BB ', CC ', DD ', EE ' Khi tỉ số thể tích khối lăng trụ ABCDE A '' B '' C '' D '' E '' khối lăng trụ ABCDE A ' B ' C ' D ' E ' bằng: A B C D 10 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word [ Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12 ] Luyện thi THPT Quốc gia 2018 Câu Cho hình chóp tứ giác S ABCD tích V Lấy điểm A ' cạnh SA cho SA '  SA Mặt phẳng qua A ' song song với đáy hình chóp cắt cạnh SB, SC , SD B ', C ', D ' Khi thể tích khối chóp S A ' B ' C ' D ' bằng: A V B V C V V D 27 81 Câu Cho hình chóp S ABC có A ' B ' trung điểm cạnh SA, SB Tỉ số thể tích VS ABC bằng: VS A ' B ' C ' A B C D.2 Câu Cho hình chóp S ABC Gọi A ' B ' trung điểm SA SASB Khi tỉ số thể tích hai khối chóp S A ' B ' C S ABC bằng: A B C D Câu Cho hình chóp S ABCD Gọi A ', B ', C ', D ' trung điểm SA, SB, SC , SD Khi tỉ số thể tích hai khối chóp S A ' B ' C ' D ' S ABCD bằng: A B C D 16 Câu Cho hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' Tỉ số thể tích khối tứ diện ACB ' D ' khối hộp ABCD A ' B ' C ' D ' bằng: A B C D Câu 10 Cho hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' , gọi O giao điểm AC BD Tỉ số thể tích khối chóp O A ' B ' C 'D' khối hộp ABCD A ' B ' C ' D ' bằng: A B C D http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word [ Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12 ] Luyện thi THPT Quốc gia 2018 Câu 11 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng tâm O Khi đó, tỉ số A B C D Câu 12 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng tâm O Khi đó, tỉ số A B C D B C D VS OAB VS ABCD Câu 13 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng tâm O Khi đó, tỉ số A VA ABC VS ABCD VS OAB VS ABC Câu 14 Cho tứ diện SABC Gọi M , N , P trung điểm cạnh AB, BC , AC Gọi V1  VS ABC , V2  VS MNP Lựa chọn kết luận kết luận sau: A V1  2V2 B V1  8V2 C V1  4V2 D V1  6V2 Câu 15 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M , N trung điểm SA SB Tính tỉ số thể tích A B C VS CDMN VS CDAB D Câu 16 Cho hình chóp S ABC có SA  9; SB  4; SC  đơi vng góc Các điểm A; B '; C ' thỏa uur uuur uuu r uuur uuu r uuur mãn SA  SA '; SB  3SB '; SC  4SC ' Tính thể tích khối chóp S A ' B ' C ' A 24 B 16 C.2 D.12 Câu 17 Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' có cạnh a Tính thể tích khối tứ diện ACD ' B ' http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word [ Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12 ] A a3 2a B 3 C a3 D Luyện thi THPT Quốc gia 2018 6a http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word ... SA, SB, SC , SD Khi tỉ số thể tích hai khối chóp S A ' B ' C ' D ' S ABCD bằng: A B C D 16 Câu Cho hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' Tỉ số thể tích khối tứ diện ACB ' D ' khối hộp ABCD A ' B '... chóp S ABC có A ' B ' trung điểm cạnh SA, SB Tỉ số thể tích VS ABC bằng: VS A ' B ' C ' A B C D.2 Câu Cho hình chóp S ABC Gọi A ' B ' trung điểm SA SASB Khi tỉ số thể tích hai khối chóp... V2 thể tích khối chóp C ABFE V1 thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' Khẳng định sau đúng? A V2  V1 Lời giải B V2  V1 C V2  V1 D V2  V1 Hình chóp C A ' B ' C ' lăng trụ ABC A ' B ' C ' có