Ứng dụng đạo hàm giải bài toán cực trị trong hình học

Ở Việt Nam, Nguyễn Trung Kiên 2008 Rèn luyện kỹ năng ứng dụngđạo hàm để giải toán cực trị hình học cho học sinh khá, giỏi lớp 12 THPT.Nghiên cứu lý luận về kỹ năng, kỹ năng giải toán và

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

Mã số: 8.46.01.13

Người hướng dẫn thứ nhất : TS Nguyễn Viết Dũng

Người hướng dẫn thứ hai : TS Lê Quang Thuận

Bình Định - 2023

Tôi xin cam đoan đề án là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sựhướng dẫn trực tiếp của thầy giáo TS Nguyễn Viết Dũng và thầy giáo TS.

Lê Quang Thuận

Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của cácnhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Tác giảNguyễn Gia Tình

Để hoàn thành đề án này, em xin gửi lời cảm ơn đến các Quý Thầy côKhoa Toán-Thống kê, Trường Đại học Quy Nhơn đã tạo cơ hội cho emđược học tập, rèn luyện và tích lũy kiến thức, kỹ năng để thực hiện đề án.Đặc biệt, em xin gửi lời cảm ơn đến Giảng viên hướng dẫn, thầy giáoTS.Nguyễn Viết Dũng và thầy giáo TS Lê Quang Thuận đã tận tình chỉdẫn, theo dõi và đưa ra những lời khuyên bổ ích giúp em giải quyết đượccác vấn đề gặp phải trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành đề tài mộtcách tốt nhất.

Do kiến thức của bản thân còn hạn chế và thiếu kinh nghiệm thực tiễnnên nội dung khóa luận khó tránh những thiếu sót Em rất mong nhận sựgóp ý, chỉ dạy thêm từ Quý Thầy cô

Cuối cùng, em xin chúc Quý Thầy Cô luôn thật nhiều sức khỏe và đạtđược nhiều thành công trong công việc

Tác giảNguyễn Gia Tình

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT VÀ KÍ HIỆU 1

MỞ ĐẦU 2

CHƯƠNG 1 Cơ sở lý luận và thực tiễn 6

1.1 Các kiến thức cơ bản về đạo hàm 6

1.1.1 Các khái niệm cơ bản 6

1.2 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 7

1.2.1 Khái niệm cơ bản 7

1.2.2 Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn 7

1.3 Quy tắc tìm cực trị 8

1.4 Bài toán cực trị hình học 10

1.5 Một số dạng toán cực trị hình học thường gặp 10

1.6 Một số phương pháp giải toán cực trị hình học 11

1.7 Một số khó khăn và sai lầm khi giải toán cực trị hình học 11

CHƯƠNG 2 Ứng dụng đạo hàm để giải bài toán cực trị trong hình học 13

2.1 Dạng toán xác định khoảng cách lớn nhất, nhỏ nhất 13

2.1.1 Phương pháp 13

2.1.2 Một số ví dụ minh họa 16

2.1.3 Một số bài tập áp dụng 22

nhất nhỏ nhất 28

2.2.1 Phương pháp 28

2.2.2 Một số ví dụ minh họa 28

2.2.3 Một số bài tập áp dụng 35

2.3 Dạng toán xác định và tính góc lớn nhất, nhỏ nhất 40

2.3.1 Phương pháp 40

2.3.2 Một số ví dụ minh họa 41

2.3.3 Một số bài tập áp dụng 45

2.4 Dạng toán tìm thể tích lớn nhất, nhỏ nhất 49

2.4.1 Phương pháp 49

2.4.2 Một số ví dụ minh họa 50

2.4.3 Một số bài tập áp dụng 57

CHƯƠNG 3 Bài toán mang tính thực tiễn 64

3.1 Phương pháp chung 64

3.2 Bài toán thực tiễn trong áp dụng hình học phẳng 66

3.3 Bài toán thực tiễn trong áp dụng hình học không gian 72

KẾT LUẬN 86

TÀI LIỆU THAM KHẢO 87

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT VÀ KÍ HIỆU

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Chương trình môn Toán bậc Trung học phổ thông đóng vai trò quantrọng trong việc cung cấp kiến thức, kỹ năng cũng như rèn luyện tư duycho học sinh để bước vào đời hoặc tiếp tục học lên Toán học góp phầnhình thành và phát triển các phẩm chất chủ yếu, năng lực chung và nănglực toán học cho học sinh, phát triển kiến thức, kĩ năng then chốt và tạo

cơ hội để học sinh được trải nghiệm, vận dụng toán học vào thực tiễn, tạolập sự kết nối giữa các ý tưởng toán học, giữa Toán học với thực tiễn, giữaToán học với các môn học và hoạt động giáo dục khác, đặc biệt với cácmôn Khoa học tự nhiên, Vật lí, Hoá học, Sinh học và Công nghệ

Trong chương trình Giải tích THPT, đạo hàm và ứng dụng của đạohàm giữ vai trò chủ đạo Thực trạng dạy và học toán ở trường THPT chothấy rằng, với vai trò chủ đạo, đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trongchương trình toán nên phần lớn giáo viên và học sinh rất chú trọng Bêncạnh đó có nhiều sách tham khảo viết về ứng dụng của đạo hàm để giảitoán nói chung Trong đó, về bài toán cực trị hình học và việc ứng dụngcủa đạo hàm giải loại toán này thì đa số HS còn chưa được rèn luyện,thậm chí ít được tiếp cận Trên thực tế có rất ít tài liệu tham khảo viết

có hệ thống về loại toán này Vấn đề cực trị hình học khó đối với HS vì nóđòi hỏi kiến thức tổng hợp về hình học, đại số, giải tích và nó đòi hỏi họcsinh phải có thói quen ứng dụng tổng hợp kiến thức Nếu rèn luyện được

kỹ năng giải loại toán này thì không chỉ HS nắm được hệ thống tri thứctoán mà còn góp phần rèn luyện năng lực giải toán, kỹ năng vận dụng trithức toán vào thực tiễn mà còn phát triển tư duy toán học cho HS

Nhằm góp phần vào việc nghiên cứu ứng dụng đạo hàm để giải toán

cực trị hình học là một nhu cầu thiết yếu đối với HS, đặc biệt là HS khá,giỏi cấp THPT Vì vậy, dưới sự hướng dẫn của thầy giáo TS Nguyễn ViếtDũng, tôi quyết định chọn đề tài nghiên cứu: "Ứng dụng đạo hàm giải bàitoán cực trị trong hình học " cho đề tài đề án thạc sĩ của mình.

2 Tổng quan tình hình nghiên cứu

Đối với đề tài “Ứng dụng đạo hàm giải bài toán cực trị trong hình học”hiện nay trên thế giới và Việt Nam có một số tác giả quan tâm nghiên cứunhưng chưa đi sâu vào đề tài này

Có khá nhiều tài liệu trình bày về lịch sử về ứng dụng của đạo hàm,trong phần này chủ yếu chúng tôi tham khảo từ David B Johnson, Thomas

A Mowry (2004), Judith V Grabiner (1983), Carl Boyer (1959), Ngô MinhĐức (2013) Bài toán xác định tiếp tuyến đường cong có thể nói là độnglực thúc đẩy chủ yếu mà việc giải quyết nó giúp nảy sinh ra các ý tưởng

về đạo hàm

Ở Việt Nam, Nguyễn Trung Kiên (2008) Rèn luyện kỹ năng ứng dụngđạo hàm để giải toán cực trị hình học cho học sinh khá, giỏi lớp 12 THPT.Nghiên cứu lý luận về kỹ năng, kỹ năng giải toán và một số biện pháp rènluyện kỹ năng giải toán cho học sinh THPT, rèn luyện kỹ năng ứng dụngđạo hàm để giải toán cực trị của hàm số Tìm hiểu thực trạng của việcrèn luyện kỹ năng ứng dụng của đạo hàm trong giải toán cực trị hình học.Tìm hiểu bài toán cực trị hình học và nêu quy tắc giải bài toán cực trịhình học có ứng dụng của đạo hàm Xây dựng hệ thống các bài tập điểnhình nhằm rèn luyện kỹ năng ứng dụng của đạo hàm để giải bài toán cựctrị hình học cho học sinh khá giỏi lớp 12 thực nghiệm sư phạm

Nhìn chung, các công trình nghiên cứu trên đã cho thấy việc ứng dụngcủa đạo hàm Tuy nhiên, các công trình nghiên cứu chưa đi sâu vào côngdụng cũng như vai trò của việc ứng dụng đạo hàm trong giải bài toán cựctrị trong hình học một cách hệ thống đối với chủ đề “Ứng dụng đạo hàmtrong giải bài toán cực trị trong hình học”

3 Mục tiêu nghiên cứu

• Nghiên cứu lí luận về kỹ năng, kỹ năng giải toán và một số biện pháprèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh THPT

•Rèn luyện kỹ năng ứng dụng đạo hàm để giải toán cực trị của hàm số

• Tìm hiểu thực trạng của việc rèn luyện kỹ năng ứng dụng của đạohàm trong giải toán cực trị hình học

• Tìm hiểu bài toán cực trị hình học và nêu quy tắc giải bài toán cựctrị hình học có ứng dụng của đạo hàm

• Xây dựng hệ thống các bài tập điển hình nhằm rèn luyện kỹ năngứng dụng của đạo hàm để giải toán cực trị hình học cho học sinh khá, giỏilớp 12

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

• Đối tượng nghiên cứu đề tài là học sinh lớp 12

• Phạm vi nghiên cứu: giới hạn trong những bài toán cực trị trongchương trình hình học cấp THPT

5 Nội dung nghiên cứu

• Các dạng bài toán cực trị hình học và nêu phương pháp giải bài toáncực trị hình học

• Xây dựng hệ thống các bài tập điển hình nhằm rèn luyện kỹ năngứng dụng của đạo hàm để giải bài toán cực trị hình học

• Các dạng bài toán cực trị hình học mang tính thực tiễn

6 Phương pháp nghiên cứu

• Phương pháp nghiên cứu lý luận

Nghiên cứu một số giáo trình phương pháp dạy học môn toán, SGK

phổ thông, Sách bồi dưỡng giáo viên THPT, các sách tham khảo, các tạpchí về giáo dục.

• Phương pháp tổng kết kinh nghiệm

Tổng kết kinh nghiệm giảng dạy, qua trao đổi kinh nghiệm với một sốgiáo viên giỏi bộ môn Toán ở trường THPT Từ đó xây dựng được hệthống các bài tập điển hình và những gợi ý dạy học nhằm rèn luyện kỹnăng ứng dụng của đạo hàm trong giải toán cực trị hình học

• Phương pháp quan sát, điều tra

Quan sát và điều tra thực trạng dạy học giải toán cực trị hình học đốivới học sinh lớp 12, qua đó nắm bắt được nhu cầu của việc rèn luyện kỹnăng ứng dụng của đạo hàm cho học sinh khá, giỏi lớp 12

• Phương pháp thực nghiệm sư phạm

Thử nghiệm việc rèn luyện kỹ năng ứng dụng của đạo hàm để giải toáncực trị hình học thông qua chuyên đề tự chọn môn toán lớp 12 Bước đầukiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của nội dung đã được xây dựngtrong đề tài

7 Bố cục của đề án

Nội dung của đề án được xây dựng và trình bày bao gồm:

• Phần mở đầu

• Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn

• Chương 2: Ứng dụng của đạo hàm để để giải bài toán cực trị tronghình học

• Chương 3: Bài toán mang tính thực tiễn

• Kết luận

• Tài liệu tham khảo

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

Trong chương này, chúng tôi trình một số kiến thức cơ bản về đạo hàm

có liên quan để giải bài toán cực trị hình học và tổng quan về bài toán cựctrị hình học nhằm phục vụ cho các chương sau

1.1 Các kiến thức cơ bản về đạo hàm

1.1.1 Các khái niệm cơ bản

Định nghĩa 1.1.1 Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng (a; b) và

x0 ∈ (a; b) Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)

1) Đại lượng ∆x = x − x0 gọi là số gia của đối số x tại x0

2) Đại lượng ∆y = f (x) − f (x0) = f (x0 + ∆x) − f (x0) được gọi là sốgia tương ứng của hàm số Như vậy

1) Nếu y = f (x) gián đoạn tại x0 thì nó không có đạo hàm tại x0.2) Nếu y = f (x) liên tục tại x0 thì có thể không có đạo hàm tại x0.Định nghĩa 1.1.5 Hàm sốy = f (x)được gọi là có đạo hàm trên khoảng

(a; b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm x trên khoảng đó Khi đó, ta gọihàm số

f′ : (a, b) −→ R

x 7−→ f′(x)

là đạo hàm của hàm sốy = f (x)trên khoảng(a; b), kí hiệu lày′hayf′(x) 1.2 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

1.2.1 Khái niệm cơ bản

Định nghĩa 1.2.1 Cho hàm số y = f (x) xác định trên tập D

• Số M được gọi là giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số y = f (x)

trên tập D nếu f (x) ≤ M với mọi x thuộc D và tồn tại x0 ∈ D sao cho

f (x0) = M

Kí hiệu: M = max

D f (x)

• Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số y = f (x)

trên tập D nếu f (x) ≥ m với mọi x thuộc D và tồn tại x0 ∈ D sao cho

f (x0) = m

Kí hiệu: m = min

D f (x)

Định lí 1.2.2 Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất

và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó

1.2.2 Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm sốtrên đoạn

Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f (x) trên đoạn

[a, b] ta làm như sau:

1) Tìm các điểm x1, x2, , xn trên (a; b) mà tại đó f′(x) = 0 hoặcf′(x)

Bài giải Hàm số đã cho xác định trên R Ta có f′(x) = x2 − 2x − 3;

f′(x) = 0 ⇔ x = −1 hoặc x = 3 Bảng biến thiên

Vậy hàm số đạt cực đại tại điểm x = −1, giá trị cực đại của hàm số là

f (−1) = 3; hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 3, giá trị cực tiểu của hàm

Bài giải Hàm số đã cho xác định trên R.

Trong mục này, chúng tôi đưa ra khái niệm tổng quát về bài toán cựctrị hình học như sau:

"Trong tất cả các hình có chung một tính chất, tìm những hình mà mộtđại lượng nào đó (độ dài đoạn thẳng, số đo góc, số đo diện tích, thể tích ) có giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất.”

Để giải các bài toán cực trị hình học, ta có hướng làm như sau:

Khi tìm vị trí của hình H trên miền D sao cho biểu thức f có giá trịlớn nhất, ta phải chứng tỏ được

• Với mọi vị trí của hình H trên miền D thì f ≤ m (m là hằng số)

• Xác định vị trí của hình H trên miền D sao cho f = m

Khi tìm vị trí của hình H trên miền D sao cho biểu thức f có giá trịnhỏ nhất, ta phải chứng tỏ được

• Với mọi vị trí của hình H trên miền D thì f ≥ m (m là hằng số)

• Xác định vị trí của hình H trên miền D sao cho f = m

1.5 Một số dạng toán cực trị hình học thường gặp

Dạng 1: Xác định khoảng cách lớn nhất hoặc nhỏ nhất

Dạng 2: Xác định chu vi, diện tích đa giác, hình tròn lớn nhất hoặc nhỏnhất.

Dạng 3: Xác định và tính góc lớn nhất, nhỏ nhất

Dạng 4: Xác định thể tích đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất

1.6 Một số phương pháp giải toán cực trị hình học

Trọng tâm của đề án là phương pháp ứng dụng đạo hàm để giải bàitoán cực trị hình học Tuy nhiên, ta vẫn còn một số phương pháp khácnhư sau:

• Sử dụng phương pháp hàm số

• Sử dụng quan hệ giữa đường vuông góc, đường xiên, hình chiếu

• Sử dụng quan hệ giữa đoạn thẳng và đường gấp khúc, các bất đẳngthức trong tam giác

• Sử dụng bất đẳng thức trong đường tròn

• Sử dụng tỉ số lượng giác

• Sử dụng một số phép dời hình

• Sử dụng một số bất đẳng thức cơ bản

1.7 Một số khó khăn và sai lầm khi giải toán cực trị hình học

Khi giải toán hình học nói chung, giải toán cực trị hình học đặc biệt làhình học không gian, học sinh lớp 12 kể cả học sinh khá, giỏi môn Toán

đã và có thể mắc những khó khăn và sai lầm sau:

• Trong vẽ hình không gian: khó khăn do hình vẽ phức tạp, phươngtiện hỗ trợ còn thô sơ (thước kẻ và compa), quy tắc vẽ hình không gianđơn giản song để vẽ đúng hình trong các trường hợp cụ thể còn gặp khókhăn như xác định hình chiếu, đường vuông góc, thiết diện, dẫn đến

vẽ hình sai

• Khó khăn trong việc áp dụng các định lý, đặc biệt là cách xác địnhgóc, khoảng, cách dẫn đến xác định sai góc, và khoảng cách.

• Sai lầm khi không xét bài toán ở trường hợp đặc biệt, trường hợpkhông tồn tại theo giả thiết

• Khó khăn và sai lầm trong việc vận dụng các phương pháp giải toáncực trị hình học: so sánh các đại lượng, áp dụng bất đẳng thức, sử dụngphương pháp hàm số

CHƯƠNG2 ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN

Để trình bày cụ thể, chúng tôi tiến hành các mục như sau:

- Phương pháp để xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của đạilượng cần tìm

Định nghĩa 2.1.1 Khoảng cách từ điểmM đến đường thẳng∆là khoảng

cách giữa hai điểm M và H trong đó H là hình chiếu của điểm M trênđường thẳng ∆.

Định nghĩa 2.1.2 Khoảng cách từ điểmMđến mặt phẳng(P )là khoảngcách giữa hai điểm M và H trong đó H là hình chiếu của điểm M trênmặt phẳng (P )

Định nghĩa 2.1.3 Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P )

song song với a là khoảng cách từ một điểm nào đó của a đến mặt phẳng

(P )

Định nghĩa 2.1.4 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảngcách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia

Định nghĩa 2.1.5 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

- Ta dựng mặt phẳng (α) chứa a và vuông góc với b tại B

- Trong (α) dựng BA⊥ (α) tại A, ta được độ dài đoạn AB là khoảngcách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b

Ta cần chú ý một vài công thức về khoảng cách sau đây

Chú ý 2.1.6 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M (x0; y0) và đườngthẳng ∆ : ax + by + c = 0 Khi đó, khoảng cách từ M đến ∆ là

đường thẳng d Khi đó, khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d là

−−−→

M1M2 [⃗u1, ⃗u2]

Bài giải

Bài toán này ta có thể tọa độ hóa để giải Tuy nhiên, ta có thể tínhtrực tiếp M N theo a, x để sử dụng đạo hàm và tìm GTNN của M N

2 Như vậy, M N đạt giá trị nhỏ

nhất khi và chỉ khi x = a

√2

2 Khi đó, M, N lần lượt là trung điểm của

AC và A′B

Ví dụ 2.1.11 Cho hình chóp SABC có SA⊥(ABC) và SA = 2a, tamgiác ABC vuông tại C, AB = 2a, bA = 30o Gọi M là một điểm di độngtrên cạnh AC, SH⊥BM (H ∈ BM) Đặt AM = x, tính khoảng cách từ

S đến BM theo a và x Tìm x để khoảng cách đó lớn nhất

Bài giải

Đây là dạng toán tìm khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Mụcđích của chúng ta là tìm mối liên hệ giữa các giả thiết để xuất hiện biểuthức mối quan hệ giữa khoảng cách cần tìm là SH với biến x, sau đó đặt

f (x) = SH và khảo sát hàm số bằng phương pháp đạo hàm

Ta có

Khi đó,

∆AHM ∼ ∆BCM

3

Từ bảng biến thiên, ta thấy f (x) đạt giá trị lớn nhất là 3 khi x = a√

3.Vậy, giá trị lớn nhất của SH là a√

7

Ví dụ 2.1.12 Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A (3; 4; 4),

B (1; 2; 3), C (5; 0; −1) Điểm M thay đổi trong không gian thỏa mãn

Ta có: AC = 3√

5; AB = 3; BC = 6 Suy ra ∆ABC vuông tại B Vì

(

AB⊥BCAB⊥BM.

Suy ra

AB⊥ (BCM ) ⇒ AB⊥M C

để đơn giản hơn, ta đặt BM = x(0 < x < 6), khi đó

3 √ 5 5

Hướng giải:

Gọi F là trung điểm của BC, suy ra EF là đường cao của tam giác

EBC Bởi vì mặt phẳng (EBC) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên

EF vuông góc với mặt phẳng (ABCD)

Xét tam giác IAE có IO là trung tuyến, khi đó

2 = a

√3

Tam giác ABF vuông tại B, suy ra

7a24

4a24a2

Dựa vào bảng biến thiên, ta có được f (x) đạt GTLN khi x = 2a và

Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = a

2 trên khoảng (0; 2a) Khi đó, hàm số

1 3

.Xét các điểm M thay đổi sao cho tam giác OAM không phải là tam giácnhọn và có diện tích bằng 20 Tìm giá trị nhỏ nhất của đoạn thẳng M B.

Hướng giải: Gọi M (a; b; c) Ta có −→

OA = (0; 0; 10) và −−→

OM = (a; b; c).Suy ra

h−→

OA,−−→

OMi

= 12

Do tam giác OAM không phải là tam giác nhọn nên chỉ xảy ra một trong

các điều kiện sau

Ta có

M B2 = (3 − a)2+(4 − b)2+



c − 192

đạt giá trị lớn nhất Tổng P = a − 2b + 3c + 12 bằng bao nhiêu?

Hướng giải: Mặt phẳng (P )đi qua hai điểm M (0; −1; 2) , N (−1; 1; 3)

c = 1 Kéo theo a = −1, b = −1 Vậy P = a − 2b + 3c + 12 = 16.

2.2 Dạng toán xác định diện tích, chu vi của đa giác, hình trònlớn nhất nhỏ nhất

2.2.1 Phương pháp

Viết biểu thức cần tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất chỉ phụthuộc vào một biến Cuối cùng, sử dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhấthoặc giá trị nhỏ nhất của hàm đó

Ta cần chú ý các công thức diện tích và chu vi của đa giác, hình tròn.2.2.2 Một số ví dụ minh họa

Ví dụ 2.2.1 Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi bằng 16cm

thì hình chữ nhật có diện tích lớn nhất bằng bao nhiêu?

Bài giải Gọi a, b lần lượt là chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật.Diện tích hình chữ nhật:

S = ab

Biểu thức S phụ thuộc hai biến a và b nên gây khó khăn cho việc xét hàm

Do đó ta cần tìm mối liên hệ giữa a và b, mục đích để rút a theo b (hoặc

b theo a) để đưa S về biểu thức một biến Theo giả thiết, ta có

Như vậy, hình chữ nhật có diện tích lớn nhất bằng 16cm2.

Ví dụ 2.2.2 Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2 và hai điểm C, D

thay đổi trên nửa đường tròn đó sao cho ABCD là hình thang Diện tíchlớn nhất của hình thang ABCD bằng bao nhiêu?

Bài giải

Ta đã biết công thức diện tích của hình thang ABCD là

S = 1

2(AB + CD).DH.

Trong đó, H là hình chiếu vuông góc của D lên AB Để đơn giản hơntrong việc tìm GTLN của hình thang, ta sẽ tính toán các độ dài cần thiết

và đưa về biểu thức một biến và sau đó xét hàm Bây giờ, ta gọi thêm I

là trung điểm của đoạn CD và O là trung điểm của AB Đặt DH = x,

1 − x2, (điều kiện t ≥ 0) khi đó phương trình 2.1 trở thành

Ta có

t = 1

2 ⇒ x = ±

√3

b (phân số

a

b tối giản) Tính giá trị T = a + b.

Bài giải

Đây là bài toán tìm giá trị lớn nhất của thiết diện bao gồm 2 hình tròn.

Ta cần tìm biểu thức diện tích của 2 hình này mà chỉ theo một ẩn Bâygiờ, ta sẽ đi tìm diện tích của mỗi phần như sau

Gọi G là tâm của thiết diện cắt bởi mặt phẳng (Q) và mặt cầu

Theo giả thiết ta có OA = OB = OH = R = 5 và HG = x GF làbán kính của đường tròn thiết diện Khi đó

GF =

q

52 − (5 − x)2 = p10x − x2

Gọi S1 là tâm của thiết diện cắt bởi mặt phẳng (Q) và mặt cầu

Gọi M là tâm của thiết diện cắt bởi (Q) và hình nón Theo giả thiết

2

75 2

325 9

325 9

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy rằng hàm số đạt giá trị lớn nhất khi

Bài giải

Gọi x là bán kính của hình trụ 0 < x < R Ta sẽ đi tìm biểu thức tínhdiện tích của thiết diện mà chỉ theo biến x, sau đó sử dụng đạo hàm đểtìm giá trị lớn nhất của thiết diện Ta có, diện tích thiết diện là