Ứng dụng đạo hàm giải bài toán cực trị trong hình học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN ——————————– NGUYỄN GIA TÌNH ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC ĐỀ ÁN THẠC SĨ TOÁN HỌC Bình Định- 2023 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN ——————————– NGUYỄN GIA TÌNH ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC ĐỀ ÁN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 8.46.01.13 Người hướng dẫn thứ nhất : TS Nguyễn Viết Dũng Người hướng dẫn thứ hai : TS Lê Quang Thuận Bình Định - 2023 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đề án là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn trực tiếp của thầy giáo TS Nguyễn Viết Dũng và thầy giáo TS Lê Quang Thuận Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn Tác giả Nguyễn Gia Tình LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành đề án này, em xin gửi lời cảm ơn đến các Quý Thầy cô Khoa Toán-Thống kê, Trường Đại học Quy Nhơn đã tạo cơ hội cho em được học tập, rèn luyện và tích lũy kiến thức, kỹ năng để thực hiện đề án Đặc biệt, em xin gửi lời cảm ơn đến Giảng viên hướng dẫn, thầy giáo TS.Nguyễn Viết Dũng và thầy giáo TS Lê Quang Thuận đã tận tình chỉ dẫn, theo dõi và đưa ra những lời khuyên bổ ích giúp em giải quyết được các vấn đề gặp phải trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành đề tài một cách tốt nhất Do kiến thức của bản thân còn hạn chế và thiếu kinh nghiệm thực tiễn nên nội dung khóa luận khó tránh những thiếu sót Em rất mong nhận sự góp ý, chỉ dạy thêm từ Quý Thầy cô Cuối cùng, em xin chúc Quý Thầy Cô luôn thật nhiều sức khỏe và đạt được nhiều thành công trong công việc Tác giả Nguyễn Gia Tình MỤC LỤC DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT VÀ KÍ HIỆU 1 MỞ ĐẦU 2 CHƯƠNG 1 Cơ sở lý luận và thực tiễn 6 1.1 Các kiến thức cơ bản về đạo hàm 6 1.1.1 Các khái niệm cơ bản 6 1.2 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 7 1.2.1 Khái niệm cơ bản 7 1.2.2 Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn 7 1.3 Quy tắc tìm cực trị 8 1.4 Bài toán cực trị hình học 10 1.5 Một số dạng toán cực trị hình học thường gặp 10 1.6 Một số phương pháp giải toán cực trị hình học 11 1.7 Một số khó khăn và sai lầm khi giải toán cực trị hình học 11 CHƯƠNG 2 Ứng dụng đạo hàm để giải bài toán cực trị trong hình học 13 2.1 Dạng toán xác định khoảng cách lớn nhất, nhỏ nhất 13 2.1.1 Phương pháp 13 2.1.2 Một số ví dụ minh họa 16 2.1.3 Một số bài tập áp dụng 22 2.2 Dạng toán xác định diện tích, chu vi của đa giác, hình tròn lớn nhất nhỏ nhất 28 2.2.1 Phương pháp 28 2.2.2 Một số ví dụ minh họa 28 2.2.3 Một số bài tập áp dụng 35 2.3 Dạng toán xác định và tính góc lớn nhất, nhỏ nhất 40 2.3.1 Phương pháp 40 2.3.2 Một số ví dụ minh họa 41 2.3.3 Một số bài tập áp dụng 45 2.4 Dạng toán tìm thể tích lớn nhất, nhỏ nhất 49 2.4.1 Phương pháp 49 2.4.2 Một số ví dụ minh họa 50 2.4.3 Một số bài tập áp dụng 57 CHƯƠNG 3 Bài toán mang tính thực tiễn 64 3.1 Phương pháp chung 64 3.2 Bài toán thực tiễn trong áp dụng hình học phẳng 66 3.3 Bài toán thực tiễn trong áp dụng hình học không gian 72 KẾT LUẬN 86 TÀI LIỆU THAM KHẢO 87 1 DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT VÀ KÍ HIỆU 1) GV: Giáo viên 2) HS: Học sinh 3) THPT: Trung học phổ thông 4) VTCP: Vectơ chỉ phương 5) VTPT: Vectơ pháp tuyến 6) GTLN: Giá trị lớn nhất 7) GTNN: Giá trị nhỏ nhất 2 MỞ ĐẦU 1 Lý do chọn đề tài Chương trình môn Toán bậc Trung học phổ thông đóng vai trò quan trọng trong việc cung cấp kiến thức, kỹ năng cũng như rèn luyện tư duy cho học sinh để bước vào đời hoặc tiếp tục học lên Toán học góp phần hình thành và phát triển các phẩm chất chủ yếu, năng lực chung và năng lực toán học cho học sinh, phát triển kiến thức, kĩ năng then chốt và tạo cơ hội để học sinh được trải nghiệm, vận dụng toán học vào thực tiễn, tạo lập sự kết nối giữa các ý tưởng toán học, giữa Toán học với thực tiễn, giữa Toán học với các môn học và hoạt động giáo dục khác, đặc biệt với các môn Khoa học tự nhiên, Vật lí, Hoá học, Sinh học và Công nghệ Trong chương trình Giải tích THPT, đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm giữ vai trò chủ đạo Thực trạng dạy và học toán ở trường THPT cho thấy rằng, với vai trò chủ đạo, đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong chương trình toán nên phần lớn giáo viên và học sinh rất chú trọng Bên cạnh đó có nhiều sách tham khảo viết về ứng dụng của đạo hàm để giải toán nói chung Trong đó, về bài toán cực trị hình học và việc ứng dụng của đạo hàm giải loại toán này thì đa số HS còn chưa được rèn luyện, thậm chí ít được tiếp cận Trên thực tế có rất ít tài liệu tham khảo viết có hệ thống về loại toán này Vấn đề cực trị hình học khó đối với HS vì nó đòi hỏi kiến thức tổng hợp về hình học, đại số, giải tích và nó đòi hỏi học sinh phải có thói quen ứng dụng tổng hợp kiến thức Nếu rèn luyện được kỹ năng giải loại toán này thì không chỉ HS nắm được hệ thống tri thức toán mà còn góp phần rèn luyện năng lực giải toán, kỹ năng vận dụng tri thức toán vào thực tiễn mà còn phát triển tư duy toán học cho HS Nhằm góp phần vào việc nghiên cứu ứng dụng đạo hàm để giải toán 3 cực trị hình học là một nhu cầu thiết yếu đối với HS, đặc biệt là HS khá, giỏi cấp THPT Vì vậy, dưới sự hướng dẫn của thầy giáo TS Nguyễn Viết Dũng, tôi quyết định chọn đề tài nghiên cứu: "Ứng dụng đạo hàm giải bài toán cực trị trong hình học " cho đề tài đề án thạc sĩ của mình 2 Tổng quan tình hình nghiên cứu Đối với đề tài “Ứng dụng đạo hàm giải bài toán cực trị trong hình học” hiện nay trên thế giới và Việt Nam có một số tác giả quan tâm nghiên cứu nhưng chưa đi sâu vào đề tài này Có khá nhiều tài liệu trình bày về lịch sử về ứng dụng của đạo hàm, trong phần này chủ yếu chúng tôi tham khảo từ David B Johnson, Thomas A Mowry (2004), Judith V Grabiner (1983), Carl Boyer (1959), Ngô Minh Đức (2013) Bài toán xác định tiếp tuyến đường cong có thể nói là động lực thúc đẩy chủ yếu mà việc giải quyết nó giúp nảy sinh ra các ý tưởng về đạo hàm Ở Việt Nam, Nguyễn Trung Kiên (2008) Rèn luyện kỹ năng ứng dụng đạo hàm để giải toán cực trị hình học cho học sinh khá, giỏi lớp 12 THPT Nghiên cứu lý luận về kỹ năng, kỹ năng giải toán và một số biện pháp rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh THPT, rèn luyện kỹ năng ứng dụng đạo hàm để giải toán cực trị của hàm số Tìm hiểu thực trạng của việc rèn luyện kỹ năng ứng dụng của đạo hàm trong giải toán cực trị hình học Tìm hiểu bài toán cực trị hình học và nêu quy tắc giải bài toán cực trị hình học có ứng dụng của đạo hàm Xây dựng hệ thống các bài tập điển hình nhằm rèn luyện kỹ năng ứng dụng của đạo hàm để giải bài toán cực trị hình học cho học sinh khá giỏi lớp 12 thực nghiệm sư phạm Nhìn chung, các công trình nghiên cứu trên đã cho thấy việc ứng dụng của đạo hàm Tuy nhiên, các công trình nghiên cứu chưa đi sâu vào công dụng cũng như vai trò của việc ứng dụng đạo hàm trong giải bài toán cực trị trong hình học một cách hệ thống đối với chủ đề “Ứng dụng đạo hàm trong giải bài toán cực trị trong hình học” 4 3 Mục tiêu nghiên cứu • Nghiên cứu lí luận về kỹ năng, kỹ năng giải toán và một số biện pháp rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh THPT • Rèn luyện kỹ năng ứng dụng đạo hàm để giải toán cực trị của hàm số • Tìm hiểu thực trạng của việc rèn luyện kỹ năng ứng dụng của đạo hàm trong giải toán cực trị hình học • Tìm hiểu bài toán cực trị hình học và nêu quy tắc giải bài toán cực trị hình học có ứng dụng của đạo hàm • Xây dựng hệ thống các bài tập điển hình nhằm rèn luyện kỹ năng ứng dụng của đạo hàm để giải toán cực trị hình học cho học sinh khá, giỏi lớp 12 4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiên cứu đề tài là học sinh lớp 12 • Phạm vi nghiên cứu: giới hạn trong những bài toán cực trị trong chương trình hình học cấp THPT 5 Nội dung nghiên cứu • Các dạng bài toán cực trị hình học và nêu phương pháp giải bài toán cực trị hình học • Xây dựng hệ thống các bài tập điển hình nhằm rèn luyện kỹ năng ứng dụng của đạo hàm để giải bài toán cực trị hình học • Các dạng bài toán cực trị hình học mang tính thực tiễn 6 Phương pháp nghiên cứu • Phương pháp nghiên cứu lý luận Nghiên cứu một số giáo trình phương pháp dạy học môn toán, SGK