Luận văn hàm green và ứng dụng vào một số bài toán biên cấp bốn (tt)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ——————– * ——————— HOÀNG VĂN QUANG HÀM GREEN VÀ ỨNG DỤNG VÀO MỘT SỐ BÀI TỐN BIÊN CẤP BỐN Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60.46.01.02 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ THANH HÓA, 2016 Luận văn hoàn thành Trường Đại học Hồng Đức Người hướng dẫn: GS TS ĐẶNG QUANG Á Phản biện 1: Phản biện 2: Luận văn bảo vệ Hội đồng chấm luận văn Thạc sĩ khoa học Tại: Vào hồi: .ngày tháng năm Có thể tìm hiểu luận văn Thư viện Trường Đại học Hồng Đức, Bộ môn .Trường Đại học Hồng Đức MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Hàm Green khái niệm cổ điển lĩnh vực phương trình vi phân, giới thiệu George Green, nhà toán học vật lý người Anh, vào năm 1828 Hàm Green nghiên cứu sâu, ứng dụng rộng tốn điện từ trở thành cơng cụ toán học đắc lực để giải phương trình vi phân khơng Đặc biệt hàm Green ứng dụng nhiều vật lý lượng tử học chất rắn biến dạng Có thể kể thí dụ tốn biến dạng dầm đàn hồi có đầu cố định, đầu lại gắn vòng bi đàn hồi Hình 1: Mơ hình dầm đàn hồi Nếu gọi u = u (x) độ võng dầm, momen uốn M = −EIu00 , (trong E suất Young hay modun đàn hồi, I momen qn tính, EI cịn gọi độ cứng dầm) Bây biến dạng dầm gây tải trọng f = f (x) hay gọi f ngoại lực, từ kết vật lý ta có f = −v v = M = −EIu000 (trong v lực mặt cắt dọc), từ ta có có tốn mơ hình dầm đàn hồi sau ( u(4) (x) = f (x, u (x)) , 0 cho ∀n ≥ N ta có kfn − f k < ε Trong trường hợp ta viết lim fn = n→∞ 2) fn gọi dãy Cauchy ∀ε > 0, ∃N > để ∀n, m ≥ N ta có kfm − fn k < ε Định nghĩa 1.3 (Khơng gian Banach) Khơng gian tuyến tính định chuẩn đủ (X, k.k) gọi không gian Banach Cho B = C [a, b] với chuẩn kf k = sup |f (x)|, không gian Baa≤x≤b nach Kí hiệu chuẩn sup k.k∞ Định lý 1.1 ([5; tr 2]) Cho ω ∈ C (1) [a, b] hàm thỏa mãn ω (a) = ω (a) = ω (b) = ω (b) = ω (x) > với a < x < b Gọi B ∗ = {u ∈ B : |u (x)| ≤ cω (x) , c = c (u) > 0}.Vì u ∈ B ∗ , ta định nghĩa |u (x)| a k+1 Định nghĩa 1.5 (Hàm Heaviside) ( Hàm Heaviside định nghĩa H (x − y) = 1, x > y 0, x < y Nhận xét 1.2 Mối quan hệ hàm δ (x − y) H (x − y) Zx H (x − y) = δ (x − y) hay H (x − y) = δ (z − y)dz với c > y−c x+d Z Định lý 1.3 f (y) δ (x − y)dy = f (x) với c, d > x−c Nhận xét 1.3 Sử dụng (g, f ) = Rb g (x)f (x) dx với a < x < b, viết a (δ (x − y) , f (y)) = (f (y) , δ (x − y)) = f (x) 1.3 Toán tử toán tử liên hợp Định nghĩa 1.6 (Toán tử) Cho hai khơng gian tuyến tính X Y Một ánh xạ A : X → Y gọi ánh xạ tuyến tính hay tốn tử tuyến tính (gọi tắt toán tử) A thỏa mãn: 1) A (x1 + x2 ) = Ax1 + Ax2 , với x1 , x2 ∈ X 2) A (αx) = αAx, với x với số α Định nghĩa áp dụng không gian định chuẩn trường K Ví dụ 1.1 X = Y = C (k) [a, b] ( khơng gian hàm có đạo hàm liên tục đến cấp k đoạn [a, b]) Du (x) = ak u(k) (x) + ak−1 u(k−1) (x) + + a0 u (x) Trong , i = 1, k số hàm số cho trước x thuộc C (k) [a, b] Toán tử Du gọi toán tử vi phân Giả sử A : X → Y toán tử bị chặn Cố định phiếm hàm f ∈ Y = L [Y, K] tùy ý Xét phiếm hàm g không gian X ∗ g (x) = f (Ax) (1.1) Rõ ràng g tuyến tính, |g (x)| = |f (Ax)| ≤ kf k kAxk ≤ kf k kAk kxk Do g bị chặn, tức g ∈ X ∗ Như đẳng thức (1.1) thiết lập ánh xạ A∗ : Y ∗ → X ∗ công thức A∗ f = g (f ∈ Y ∗ ), tức (A∗ f ) (x) = f (Ax) với x ∈ X Rõ ràng A tuyến tính bị chặn kA∗ f k = kgk = sup |g (x)| ≤ x∈X,kxk=1 ∗ ∗ kAk kf k hay kA∗ k ≤ kAk Do A∗ bị chặn, tức A∗ ∈ L [Y , X ] Định nghĩa 1.7 Toán tử A∗ nói gọi tốn tử liên hợp A Định nghĩa 1.8 Toán tử A gọi tự liên hợp A = A∗ Nhận xét 1.4 Nếu E không gian Hilbert với A ∈ L [E] tốn tử liên hợp A∗ thỏa mãn (Ax, y) = (x, A∗ y) , ∀x, y ∈ E Khi A = A∗ tức (Ax, y) = (x, Ay) , ∀x, y ∈ E 1.4 Bài toán biên Định nghĩa 1.9 ([8; tr 9]) Cho phương trình vi phân tuyến tính cấp n dn−1 u dn u D [u (x)] = P0 (x) n + P1 (x) n−1 + + Pn (x) u = dx dx với điều kiện ban đầu (điều kiện biên)  n  k k X i d u (b) i d u (a) + βk = 0, i = 1, n, Bi (u (a) , u (b)) = αk k k dx dx k=0 (1.2) (1.3) Pi (x) , i = 0, n hàm liên tục khoảng (a; b), P0 (x) 6= 0, αki βki hệ số điều kiện biên độc lập tuyến tính Bài tốn (1.2) với điều kiện biên (1.3) gọi toán biên cấp n Ta viết gọn toán biên lại sau ( D [u (x)] = Bi (u (a) , u (b)) = (1.4) Nếu D [u (x)] = f (x) ta gọi phương trình (1.2) phương trình vi phân khơng cấp n Lúc ta có tốn ( D [u (x)] = f (x) (1.5) Bi (u (a) , u (b)) = Luận văn tập trung vào phương trình vi phân cấp bốn dạng u(4) = f (x, u (x) , u0 (x) , u00 (x) , u000 (x)) thỏa mãn điều kiện Lipschitz |f (x, u, u0 , u00 , u000 ) − f (x, v, v , v 00 , v 000 )| ≤ L |u − v| + K |u0 − v | + M |u00 − v 00 | + N |u000 − v 000 | , (1.6) K, L, M N số dương cố định Tuy nhiên thời điểm số thay hàm l (x) , k (x) , m (x) , n (x) cho điều kiện Lipschitz tổng quát 10 2.2 Tồn nghiệm Luận văn tập trung vào toán biên cấp bốn liên quan đến độ biến dạng dầm đàn hồi trạng thái cân bằng, có hai đầu gối tự Do nghiệm tốn biên cấp bốn trọng tâm luận văn Ta tập trung vào ứng dụng tương ứng hàm Green với thuộc tính nghiệm Xét phương trình vi phân cấp bốn sau u(4) (x) = f (x, u (x) , u0 (x) , u00 (x) , u000 (x)) , (2.1) với điều kiện biên độc lập tuyến tính B1 u := α1 u (a) + α2 u0 (a) + α3 u00 (a) + α4 u000 (a) = 0, B2 u := β1 u (a) + β2 u0 (a) + β3 u00 (a) + β4 u000 (a) = 0, B3 u := γ1 u (b) + γ2 u0 (b) + γ3 u00 (b) + γ4 u000 (b) = 0, B4 u := ξ1 u (b) + ξ2 u0 (b) + ξ3 u00 (b) + ξ4 u000 (b) = (2.2) Khơng gian điều kiện biên kí hiệu S, gồm tất u ∈ C (4) [a, b] thỏa mãn điều kiện biên Các chuẩn khác sử dụng để làm cho S trở thành không gian không gian C [a, b] Định lý sau chứng minh cho phương trình cấp bốn kết luận áp dụng cho phương trình cấp khác Định lý 2.1 ([5; tr - 8]) Giả sử f : R2 → R liên tục thỏa mãn điều kiện |f (x, u2 ) − f (x, u1 )| ≤ h (x) |u2 − u1 |, với hàm h liên tục khơng âm Giả sử tồn hàm Green G toán biên cấp bốn u(4) (x) = g (x) (2.3) Định nghĩa toán tử T : C [a, b] → S ⊂ C [a, b], Zb (T u) (x) = G (x, s)f (s, u (s)) ds a Giả sử ω phần tử cố định không tầm thường C [a, b] với ω (x) ≥ T : Bω → Bω , Bω khơng gian Banach nói Định lý 1.1   z (x) i) Nếu hàm Green G không đổi dấu sup < 1, x∈Sω ω (x) Sω = {x ∈ [a, b] : ω (x) 6= 0} z xác định 11 Zb z (x) = |G (x, s)|h (s) ω (s) ds a (2.2), (2.3) có nghiệm Hơn z thỏa mãn z (4) (x) = (signG) h (x) ω (x) điều kiện biên (2.3)  ii) Nếu G đổi dấu sup  x∈Sω ω (x) Zb  |G (x, s)|h (s) ω (s) ds < (2.2), a (2.3) có nghiệm Ví dụ 2.1 Tìm hàm h (x) Cho hàm hai biến f (x, y) = x2 y sin (ex ) [0, 1] Theo định lý giá trị trung bình, vói y1 , y2 ∈ R (y1 < y2 ), tồn ξ ∈ (y1 , y2 ) cho ∂f |f (x, y2 ) − f (x, y1 )| = |y2 − y1 | ∂y y=ξ