Phương pháp nhánh cận trong tối ưu tổ hợp

BË GIO DÖC V€ €O T„O TR×ÍNG „I HÅC QUY NHÌN NG CH‡N KHA PH×ÌNG PHP NHNH CŠN TRONG TÈI ×U TÊ HÑP LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC B¼nh ành - N«m 2023 BË GIO DÖC V€ €O T„O TR×ÍNG „I HÅC QUY NHÌN NG CH‡N KHA PH×ÌNG PHP NHNH CŠN TRONG TÈI ×U TÊ HÑP Ng nh : Ph÷ìng ph¡p To¡n sì c§p M¢ sè : 8460113 Ng÷íi h÷îng d¨n: TS TR†N NGÅC NGUY–N LÍI CAM OAN Tæi xin cam oan nëi dung trong luªn v«n "Ph÷ìng ph¡p nh¡nh cªn trong tèi ÷u tê hñp" l do b£n th¥n thüc hi»n theo logic ri¶ng d÷îi sü h÷îng d¨n cõa TS Tr¦n Ngåc Nguy¶n C¡c nëi dung v k¸t qu£ sû döng trong luªn v«n ·u câ tr½ch d¨n v chó th½ch nguçn gèc rã r ng B¼nh ành, th¡ng 10 n«m 2023 Håc vi¶n °ng Ch§n Kha i Möc löc MÐ †U 1 1 Giîi thi»u v· b i to¡n quy ho¤ch nguy¶n tuy¸n t½nh 5 1.1 B i to¡n quy ho¤ch nguy¶n 5 1.2 C¡c i·u ki»n tèi ÷u 7 1.3 Mët sè v½ dö 16 2 Ph÷ìng ph¡p nh¡nh cªn (branch and bound) 23 2.1 Giîi thi»u v· ph÷ìng ph¡p nh¡nh cªn 23 2.2 Mët sè kÿ thuªt ÷ñc sû döng trong ph÷ìng ph¡p nh¡nh cªn 26 2.2.1 Chia º trà 26 2.2.2 L÷ñc bît c¥y li»t k¶ 28 2.3 Minh håa cö thº cho chi¸n l÷ñc nh¡nh cªn 31 2.4 Ph÷ìng ph¡p nh¡nh cªn düa tr¶n LP 35 2.4.1 L÷u trú c¥y 35 2.4.2 Chån mët nót 36 3 Ùng döng cõa ph÷ìng ph¡p nh¡nh cªn trong vi»c gi£i quy¸t mët sè b i to¡n quy ho¤ch nguy¶n 37 3.1 B i to¡n c¡i tói 37 3.1.1 Ph¡t biºu b i to¡n 37 3.1.2 Thuªt to¡n nh¡nh cªn 40 3.1.3 V½ dö minh håa 43 ii 3.2 B i to¡n ng÷íi giao h ng 47 3.2.1 Ph¡t biºu b i to¡n 47 3.2.2 Thuªt to¡n nh¡nh cªn 48 3.2.3 V½ dö minh håa 53 3.3 V½ dö kh¡c 59 K¸t luªn 62 T i li»u tham kh£o 63 1 MÐ †U Tèi ÷u tê hñp (combinatorial optimization) hay cán gåi l quy ho¤ch nguy¶n (integer programming) l mët l¾nh vüc con cõa tèi ÷u to¡n håc, trong â t§t c£ ho°c mët ph¦n c¡c bi¸n cõa b i to¡n ÷ñc y¶u c¦u ph£i thuëc tªp hñp c¡c sè nguy¶n Tèi ÷u tê hñp câ nhi·u ùng döng quan trång trong mët sè l¾nh vüc nh÷ tr½ tu» nh¥n t¤o, kÿ thuªt ph¦n m·m, to¡n håc ùng döng v khoa håc m¡y t½nh Trong íi sèng, ta g°p r§t nhi·u b i to¡n tèi ÷u tê hñp quan trång nh÷ s­p x¸p làch tr¼nh t u häa, s­p x¸p làch cho c¡c chuy¸n bay, lªp k¸ ho¤ch s£n xu§t cho nh m¡y, quy ho¤ch c¡c nh m¡y ph¡t i»n, Câ r§t nhi·u ph÷ìng ph¡p º gi£i c¡c b i to¡n tèi ÷u tê hñp Mët trong nhúng ph÷ìng ph¡p phê bi¸n nh§t trong sè â l ph÷ìng ph¡p nh¡nh cªn Ph÷ìng ph¡p n y ÷ñc · xu§t l¦n ¦u ti¶n bði Ailsa Land v Alison Doig v o n«m 1960 ¥y l mët cæng cö húu hi»u º gi£i quy¸t c¡c b i to¡n NP-khâ, ch¯ng h¤n nh÷ b i to¡n ng÷íi giao h ng, b i to¡n c¡i tói, V¼ th¸ håc vi¶n ¢ chån · t i Ph÷ìng ph¡p nh¡nh cªn trong tèi ÷u tê hñp º nghi¶n cùu cho luªn v«n th¤c s¾ cõa m¼nh Möc ti¶u cõa luªn v«n n y l nghi¶n cùu mæ h¼nh cõa mët b i to¡n tèi ÷u tê hñp còng vîi ph÷ìng ph¡p nh¡nh cªn º gi£i quy¸t b i to¡n n y B¶n c¤nh â luªn v«n s³ t¼m hiºu v· c¡c ùng döng cõa ph÷ìng ph¡p n y trong vi»c gi£i quy¸t mët sè b i to¡n tèi ÷u tê hñp ìn gi£n 2 Ngo i mð ¦u, k¸t luªn v t i li»u tham kh£o, nëi dung luªn v«n ÷ñc chia th nh ba ch÷ìng nh÷ sau: Ch÷ìng 1 Giîi thi»u v· b i to¡n quy ho¤ch nguy¶n tuy¸n t½nh Trong ch÷ìng n y, ta tr¼nh b y v· b i to¡n quy ho¤ch nguy¶n, c¡c i·u ki»n tèi ÷u cõa b i to¡n v ÷a ra mët sè v½ dö minh håa Ch÷ìng 2 Ph÷ìng ph¡p nh¡nh cªn (branch and bound) Trong ch÷ìng n y, ta giîi thi»u têng qu¡t v· ph÷ìng ph¡p nh¡nh cªn v tr¼nh b y mët sè kÿ thuªt ÷ñc sû döng trong ph÷ìng ph¡p nh¡nh cªn Ch÷ìng 3 Ùng döng cõa ph÷ìng ph¡p nh¡nh cªn trong vi»c gi£i quy¸t mët sè b i to¡n quy ho¤ch nguy¶n Trong ch÷ìng n y, ta tr¼nh b y ùng döng cõa ph÷ìng ph¡p nh¡nh cªn v o gi£i mët sè b i to¡n iºn h¼nh trong tèi ÷u tê hñp ch¯ng h¤n nh÷ b i to¡n c¡i tói, b i to¡n ng÷íi giao h ng v v½ dö kh¡c Luªn v«n ÷ñc ho n th nh d÷îi sü h÷îng d¨n tªn t¼nh cõa Th¦y Tr¦n Ngåc Nguy¶n Håc vi¶n xin gûi líi c£m ìn ch¥n th nh ¸n Th¦y ¢ nhªn líi h÷îng d¨n v cung c§p nguçn t i li»u công nh÷ c¡c ki¸n thùc º håc vi¶n câ th¶m hiºu bi¸t v· · t i Håc vi¶n công xin gûi líi c£m ìn ¸n Ban Gi¡m hi»u Tr÷íng ¤i håc Quy Nhìn, Pháng  o t¤o Sau ¤i håc, Khoa To¡n v Thèng k¶ còng quþ Th¦y Cæ gi£ng d¤y lîp Cao håc Ph÷ìng ph¡p To¡n sì c§p khâa 23, ¢ t¤o måi i·u ki»n tèt nh§t trong suèt thíi gian håc tªp v nghi¶n cùu thüc hi»n · t i M°c dò b£n th¥n ¢ né lüc cè g­ng h¸t sùc º ho n th nh luªn v«n Tuy nhi¶n, do i·u ki»n v· thíi gian, ki¸n thùc v kinh nghi»m nghi¶n cùu cán h¤n ch¸ n¶n ch­c ch­n luªn v«n s³ khæng thº tr¡nh khäi nhúng thi¸u sât nh§t ành Håc vi¶n r§t mong nhªn ÷ñc nhúng líi nhªn x²t, gâp þ cõa quþ th¦y cæ v c¡c b¤n º luªn v«n ÷ñc ho n thi»n hìn Håc vi¶n xin ch¥n th nh c£m ìn! 3 B¼nh ành, th¡ng 10 n«m 2023 Håc vi¶n thüc hi»n °ng Ch§n Kha 4 C¡c kþ hi»u, c¡c chú vi¸t t­t LP (Linear Programming): Quy ho¤ch tuy¸n t½nh BI P (Binary Integer Program): Quy ho¤ch nguy¶n nhà ph¥n I P (Integer Program): Quy ho¤ch nguy¶n M I P (Mixed Integer Program): Quy ho¤ch nguy¶n hén hñp C OP (Combinatorial Optimization Problem): B i to¡n tèi ÷u tê hñp Rn: khæng gian tuy¸n t½nh n chi·u Rm×n: khæng gian c¡c ma trªn c§p m × n x∗: ph÷ìng ¡n tèi ÷u Zn: tªp hñp c¡c vectì trong Rn m méi th nh ph¦n l mët sè nguy¶n 1n: l vectì [1 1 1]T trong Rn 2D: l tªp hñp c¡c tªp con cõa tªp D húu h¤n 5 Ch÷ìng 1 Giîi thi»u v· b i to¡n quy ho¤ch nguy¶n tuy¸n t½nh Trong ch÷ìng n y, ta giîi thi»u mët sè ki¸n thùc cì b£n v· b i to¡n quy ho¤ch nguy¶n tuy¸n t½nh v mët sè v½ dö Nëi dung cõa ch÷ìng n y chõ y¸u ÷ñc tham kh£o tø c¡c t i li»u [2] v [3] 1.1 B i to¡n quy ho¤ch nguy¶n Chóng ta x²t b i to¡n quy ho¤ch tuy¸n t½nh d÷îi d¤ng (LP ) max cT x Ax ≤ b, trong â c ∈ Rn, b ∈ Rm l x ≥ 0, mët ma trªn c¡c vectì ¢ cho v A ∈ Rm×n l B¥y gií, ta th¶m i·u ki»n mët sè bi¸n nhªn gi¡ trà nguy¶n nh÷ sau: • Khi ch¿ câ mët sè (chù khæng ph£i t§t c£) c¡c bi¸n l nguy¶n th¼ ta gåi â l b i to¡n quy ho¤ch nguy¶n hén hñp (mixed integer programming, vi¸t t­t l MIP) B i to¡n n y ÷ñc mi¶u t£ nh÷ sau: (M IP ) max cT x Ax ≤ b, x ≥ 0, x ∈ Zp × Rn−p