Ý tƣởng gi i bài toán ảBài toán 1.1 và 1.2 tương đương với phương trình vi– tích phân sau: 1.3Tức nghiệm của 1.1, 1.2 là điểm bất động của toán tử: Do nhận xét trên ta có thể áp dụng ngu
Bài toán t ng quát 8 ổ 1.2 Ý tưở ng gi i bài toán 8 ả 1 3 Phương pháp giả i
Không gian Metric
Định nghĩa 1.3.1.1 Cho m t t p h p X và m t ánh x ộ ậ ợ ộ ạ từ tích Descartes X x X vào tập hợp số thực dương R+ thỏa mãn các tiên đề sau đây:
3) ( tiên đề tam giác). Ánh xạ g i là metric trên , s ọ ố gọi là khoảng cách giữa hai phần.
T p h p ậ ợ đươc trang bị ột Metric m được gọi là một không gian Metric
Khi đó các ph n t c a ầ ử ủ gọi là các điểm của không gian metric Các tiên đề 1), 2),
3) gọi là các tiên đề metric
1.3.1.1 Các tính chất cơ bản của không gian metric
Dựa vào định nghĩa, dễ dàng chứng minh các tính chất đơn giản sau đây:
(bất đẳng thức tứ giác)
(bất đẳng thức tam giác)
Các ví dụ về không gian metric
Ví dụ 1.3.1.1 Một tập M bất kỳ ủ c a đường th ng , v i khoẳ ớ ảng cách thông thường
(độ dài nối x và )y là một không gian metric.
Ví dụ 1.3.1.2 Tổng quát hơn, trong không gian k chiều có th ể xác định khoảng cách giữa hai điểm và
Không gian này được xác định là không gian metric vì hai tiên đề đầu tiên (1) và (2) đã được thỏa mãn Đối với tiên đề thứ ba, chúng ta có thể chứng minh một cách dễ dàng Với mọi số thực a và b, ta có hằng đẳng thức:
Từ đó suy ra bất đẳng thức Cauchy
Chứng tỏ bất đẳng thức tam giác được nghiệm đúng
Trong tập các hàm số thực liên tục trên đoạn [a,b], nếu sử dụng khoảng cách giữa hai phần tử theo một quy tắc nhất định, các tiên đề của metric sẽ được thỏa mãn Tập hợp này được ký hiệu là không gian, thường được gọi tắt là không gian metric.
Ví dụ 1.3.1.4.Trong tập vừa nói trên cũng có thể lấy khoảng cách bằng
Dễ nhận thấy rằng đây là một metric Tập hợp các hàm số liên tục trên đoạn [a,b] được ký hiệu Định nghĩa 1.3.1.2 cho biết rằng, với hai metric trên cùng một tập X, hai metric này được coi là tương đương nếu tồn tại hai số dương sao cho
Ví dụ 1.3.1.5 Trên tập cho hai metric
Hai không gian metric X và Y được định nghĩa với các metric tương ứng Một ánh xạ từ X vào Y được coi là liên tục tại một điểm nếu thỏa mãn các điều kiện nhất định.
Cũng như trong giải tích c ổ điển, điều này tương đương với: cho mọi dãy Ánh x ạ gọi là liên tục nếu nó liên tục tại mọi điểm
1.3.1.2 Lân cận, tập mở và tập đóng Định nghĩa 1.3.1.4 Cho không gian metric Ta g i là lân c n cọ ậ ủa điểm trong không gian hình c u m ầ ở tâm , bán kính , tức là tập hợp mọi điểm y X sao cho d( y, x ) < r
Trong không gian metric, điểm được phân loại thành ba loại chính: điểm trong, điểm ngoài và điểm biên của tập hợp Điểm trong tập là điểm mà xung quanh nó có thể tìm thấy các điểm thuộc tập, trong khi điểm ngoài là điểm không chứa bất kỳ điểm nào của tập Điểm biên là điểm nằm gần tập, bao gồm cả những điểm thuộc tập và những điểm không thuộc tập.
Tập biên của một tập hợp là tập hợp các điểm giới hạn, được gọi là điểm giới hạn của tập Tập hợp các giới hạn của một tập hợp được ký hiệu là ∂A Theo định nghĩa, trong không gian metric M=(X,d), một tập A thuộc X được xem là tập mở nếu mọi điểm trong A đều là điểm nội của A, nghĩa là tồn tại một lân cận của mỗi điểm x nằm hoàn toàn trong A.
Tập A được gọi là tập đóng trong không gian M nếu mọi điểm không thuộc A đều là điểm ngoài của A Nói cách khác, với mỗi điểm x thuộc A, tồn tại một lân cận của x mà không chứa bất kỳ điểm nào thuộc tập A.
1.3.1.3 Không gian metric đủ Định nghĩa 1.3.1.6 Cho không gian metric Dãy điểm( X gọi là dãy cơ bản trong M nếu
Không gian metric gọi là không gian đầy, nếu mọi dãy cơ bản trong không gian này hội tụ
Ví dụ 1.3.1.6 Không gian là không gian đầy.
Thật vậy, giả sử là dãy cơ bản tùy ý
13 trong không gian Eukleides Theo định nghĩa dãy cơ bản, ( hay
1.3.1.4 Ánh xạ co và nguyên lý điểm bất động
Một trường hợp riêng quan trọng khác của ánh xạ liên tục là ánh xạ co từ một không gian vào chính nó
Cho m t không gian metric b t k M t ánh x ộ ấ ỳ ộ ạ t ừ vào b n thân nó g i là ả ọ ánh x ạco, n u có mế ột số sao cho, với mọi ta có
Trong phép ánh xạ vào chính nó, tồn tại những điểm mà ánh xạ trùng với chính nó, gọi là điểm bất động Việc tìm kiếm điểm bất động của một ánh xạ có nhiều ứng dụng trong giải tích, đặc biệt là trong lý thuyết các phương trình vi phân, đạo hàm riêng và tích phân, vì điểm bất động tương ứng với nghiệm của phương trình Theo Định lý 1.3.1.1 (Banach), mỗi ánh xạ từ một không gian metric đủ vào chính nó đều có một điểm bất động duy nhất.
Lấy một điểm bất kỳ và những điểm
Theo định nghĩa ánh xạ co:
Trong không gian X, một dãy cơ bản hội tụ đến một giới hạn x, cho thấy rằng x là điểm bất động duy nhất Nếu tồn tại một điểm bất động y khác, thì điều này sẽ dẫn đến mâu thuẫn, khẳng định rằng chỉ có một điểm bất động duy nhất trong trường hợp này.
Với điều này ch x y ra n u ỉ ả ế tức là Ứng dụng: Xét phương trình vi phân
Trong đó là một hàm số liên tục trong một miền phẳng G chứa điểm ( và thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo x tức là có một hằng số K sao cho
V i mớ ọi cặp điểm và
Ta hãy chứng minh định lý Picard: Trên một đoạn nào đó phương trình (1.5) có lời giải duy nhất thỏa mãn điều kiện ban đầu (1.6)
Rõ ràng phương trình (1.5) với điều kiện ban đầu (1.6) tương đương với phương trình
Xét hình chữ nhật với các cạnh liên tục và chiều dài là L, trong đó L là một hằng số Cho r là một số dương bất kỳ sao cho
Không gian con của tất cả các hàm số x(t) với mọi t trong đoạn được coi là không gian đủ Nếu có một dãy cơ bản trong không gian này, thì nó cũng là dãy cơ bản trong không gian lớn hơn, chứng tỏ rằng tồn tại hàm số liên tục nào đó Điều này dẫn đến việc suy ra rằng không gian này là không gian đủ.
Bây gi ta xét ánh x ờ ạ xác định bởi:
Với N u ế thì rõ ràng liên tục và
Cho nên và là một ánh xạ từ vào bản thân nó Hơn nữa, theo (1.7) thì
Theo định lý về ánh xạ co, tồn tại một hàm số duy nhất trên đoạn, đảm bảo rằng phương trình vi phân có lời giải duy nhất thỏa mãn điều kiện ban đầu (1.6).
Không gian Banach
Không gian định chuẩn là một khái niệm quan trọng trong toán học, liên quan đến không gian tuyến tính và các chuẩn tương ứng Nếu một không gian metric thỏa mãn các tiên đề về chuẩn và đạt đủ điều kiện, nó sẽ được gọi là không gian Banach Điều này có nghĩa là không gian Banach là một không gian metric hoàn chỉnh, trong đó mọi chuỗi Cauchy đều hội tụ.
Banach là một không gian tuyến tính định chuẩn và đầy đủ
Ví d 1.3.2.1 ụ Xét G là m t mi n b ộ ề ị chặn trong m t ph ng ặ ẳ
, H( là không gian ch a tứ ất cả các hàm nhận giá trị phức, xác định liên tục trong và chỉnh hình trong G Trên H(G) trang bị chuẩn cực đại:
Với không gian định chuẩn được trang bị, hàm ẩn gi ới hạn của một dãy Cauchy các hàm thuần tục là hàm liên tục và hội tụ đều Theo định lý Weierstrass, hàm giới hạn của dãy hàm liên tục cũng là một hàm chỉnh hình Do đó, với chuẩn cực đại, không gian này trở thành không gian Banach.
Xét một miền sao cho nó được chứa hoàn toàn trong miền G Mọi điểm trong miền này đều có khoảng cách từ biên giới của miền G Khi đó, tất cả các đĩa tròn có tâm tại điểm trong miền đều nằm trong bán kính r của nó Sử dụng công thức tính tích phân để giải quyết bài toán này.
Cauchy, giá trị của đạo hàm tại điểm có thể biểu diễn được dưới dạng tích phân sau:
T ừ định nghĩa về chuẩn (1.10) trên , chúng ta có mọi nơi trên , do đó có ước lượng:
Bấ ẳt đ ng thức này đúng với mọi r < Khi d n tầ ới chúng ta được ước lượng sao cho mỗi
Xây dựng tương tự như tương ứng với không gian đã được xác định, nơi không gian tấ cả các hàm nh n giá trị phức ch nh hình trong ứ ỉ và liên tục.
Khi đó không gian được trang bị chuẩn cực đại:
Cũng là một không gian Banach Để phân bi t hai chu n trong không gian ệ ẩ và n trong chuẩ được kí hiệu là Sử dụng kí hiệu này, chúng ta có:
Từ đó dẫn đến định lý sau: Định lý 1.3.2.1 Đạo hàm phức là một toán tử giới nội ánh xạ H(G) vào H’(G) với chuẩn được ước lượng bởi:
Trong không gian Banach và không gian đã đề cập, chuẩn cực đại được trang bị cho phép biểu diễn đạo hàm như một toán tử Hạn chế lên một hàm thuộc không gian cũng có thể được xem như một toán tử, ký hiệu là Khi đó, hàm này trở thành hàm chính hình trong không gian và liên tục trong không gian đã chỉ định Với chuẩn cực đại, chúng ta có thể đưa ra ước lượng sau:
Do đó chúng ta có là toán tử có chuẩn không vượt quá 1, nghĩa là:
Hàm chỉnh hình có tính chất quan trọng là nếu một hàm chỉnh hình xác định trên miền triệt tiêu trên một miền con, thì hàm đó cũng sẽ triệt tiêu trên toàn bộ miền Do đó, hai hàm chỉnh hình sẽ đồng nhất trên miền nếu chúng trùng nhau trên một miền con Giới hạn lên của hai hàm chỉnh hình xác định trên toàn miền là đồng nhất khi và chỉ khi chúng trùng nhau trên toàn bộ miền, dẫn đến toán tử là đơn ánh.
Bổ đề 1.3.2.1 Phép hạn chế I thỏa mãn: i I là toán tử tuyến tính ii I là toán tử bị chặn với chuẩn không vượt quá 1 iii I là đơn ánh
Trong không gian Banach, một họ các miền con của một biến thực trên miền đã cho được xác định Cụ thể, nếu chọn một miền đóng trong không gian phức, cần thỏa mãn các điều kiện: đầu tiên, bao đóng của miền đó phải là một tập con compact; thứ hai, khoảng cách giữa biên của miền có thể được ước lượng bằng một công thức với một hằng số không phụ thuộc vào miền; cuối cùng, mọi điểm thuộc miền sẽ nằm trong một miền nào đó khi tham số đủ lớn.
V iớ tùy ý, , chúng ta xác định một không gian gồm tất cả các hàm nhận giá trị phức liên tục trên và chỉnh hình trong , được trang bị chuẩn:
Khi đó là một không gian Banach Ký hi u phép h n ch hàm ệ ạ ế lên ,
Khái niệm phép nội xạ: Không gian Banach B được gọi là nội xạ vào không gian
Banach B’ nếu tồn tại toán tử đơn ánh tuyến tính, có chuẩn không vượt quá 1, biến
Thang Banach là một tập hợp các không gian Banach, trong đó mỗi không gian được định nghĩa trên một miền nhất định Một họ không gian Banach được coi là thang Banach nếu mọi thành phần trong đó đều có thể nội suy vào không gian lớn hơn Với một thang Banach đã cho, chúng ta có thể xác định các toán tử tuyến tính đơn ánh, tương ứng với chuẩn không vượt quá một ánh xạ vào không gian đó.
Toán tử Cauchy Riemann tổng quát trong thang Banach-
Trong không gian Banach, các hàm chỉnh hình liên tục được nghiên cứu theo định lý 1.2.1.1, trong đó đạo hàm phức được xác định và ước lượng bằng công thức (1.15) Khi áp dụng định lý này cho các không gian Banach, chúng ta có thể rút ra những phát biểu quan trọng về tính chất của các hàm này.
Với mỗi cặp s’,s thỏa mãn s’