Luận văn bài toán giá trị ban đầu đối với hệ mô tả bởi toán tử khả nghịch phải và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ——————————————– TRƯƠNG THỊ HƯƠNG BÀI TỐN GIÁ TRỊ BAN ĐẦU ĐỐI VỚI HỆ MƠ TẢ BỞI TOÁN TỬ KHẢ NGHỊCH PHẢI VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THANH HĨA, 2021 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ——————– * ——————— TRƯƠNG THỊ HƯƠNG BÀI TỐN GIÁ TRỊ BAN ĐẦU ĐỐI VỚI HỆ MƠ TẢ BỞI TOÁN TỬ KHẢ NGHỊCH PHẢI VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 8.46.01.02 Người hướng dẫn khoa học: TS Hoàng Văn Thi THANH HÓA, 2021 Danh sách hội đồng chấm thi luận văn thạc sĩ theo Quyết định số 967/QĐ-ĐHHĐ ngày 27 tháng năm 2021 Hiệu trưởng Trường Đại học Hồng Đức: Học hàm, học vị, Họ tên Chức danh Cơ quan công tác hội đồng TS Hoàng Nam Trường Đại học Hồng Đức Chủ tịch HĐ GS TSKH Vũ Ngọc Phát Viện Toán học - Viện HLKHCNVN UV Phản biện TS Nguyễn Văn Lương Trường Đại học Hồng Đức UV Phản biện TS Bùi Xuân Diệu Trường ĐH Bách Khoa HN Ủy viên TS Mai Xuân Thảo Trường Đại học Hồng Đức Thư ký Xác nhận người hướng dẫn Học viên chỉnh sửa theo ý kiến hội đồng Ngày 10 tháng năm 2021 (ký, ghi rõ họ tên) TS Hoàng Văn Thi * Có thể tham khảo luận văn Thư viện trường Đại học Hồng Đức Bộ môn Giải tích - PPGD Tốn LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi, hồn thành hướng dẫn khoa học TS Hồng Văn Thi Các kết trình bày luận văn trung thực, nội dung luận văn khơng trùng lặp với khóa luận, luận văn, luận án cơng trình nghiên cứu cơng bố Người cam đoan Trương Thị Hương i LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành Trường Đại học Hồng Đức hướng dẫn TS Hoàng Văn Thi Ngoài dẫn mặt khoa học, thầy động lực lớn giúp tác giả tự tin say mê nghiên cứu Tác giả bày tỏ lịng biết ơn kính trọng thầy Tác giả bày tỏ lòng biết ơn đến Ban giám hiệu, phịng QLĐTSĐH, mơn Giải tích - PPGD Tốn, thầy cô giáo bạn đồng nghiệp tạo điều kiện thuận lợi trình học tập, nghiên cứu khoa học hoàn thành luận văn Tác giả bày tỏ lòng biết ơn đến Ban giám hiệu, mơn Tốn trường THPT Quảng Xương - nơi tác giả công tác tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả q trình cơng tác giảng dạy để có thời gian hợp lý hồn thành khóa học luận văn thạc sĩ Trong trình viết chỉnh sửa thảo luận văn, tác giả nhận quan tâm góp ý nhà khoa học, bạn bè đồng nghiệp Tác giả chân thành cảm ơn giúp đỡ quý báu Thanh Hóa, tháng năm 2021 Trương Thị Hương ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Một số ký hiệu dùng luận văn iv Mở đầu Chương Toán tử khả nghịch phải khơng gian tuyến tính 1.1 Khơng gian tuyến tính tốn tử tuyến tính 1.2 Tính chất toán tử khả nghịch phải 1.3 Tốn tử ban đầu tính chất 1.4 Một số ví dụ 1.5 Toán tử khả nghịch suy rộng 14 Chương Bài toán giá trị ban đầu phương trình mơ tả tốn tử khả nghịch phải 19 2.1 Bài toán giá trị ban đầu hệ bậc 19 2.2 Bài toán giá trị ban đầu đa thức tổng quát 23 2.3 Bài toán giá trị ban đầu phương trình tốn tử khả nghịch suy rộng 27 Kết luận 29 Tài liệu tham khảo 30 iii MỘT SỐ KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN L(X → Y ): Tập toán tử tuyến tính có miền xác định X nhận giá trị Y L0 (X → Y ): Tập toán tử tuyến tính có miền xác định tồn không gian X L0 (X, X) := L0 (X, X) L(X, Y ): Tập tốn tử tuyến tính liên tục từ X vào Y L0 (X, Y ): Tập tốn tử tuyến tính liên tục có miền xác định tồn khơng gian X L(X): Tập tốn tử tuyến tính liên tục từ X vào X L0 (X) := L0 (X, X) V (X): Tập toán tử Volterra domA: Miền xác định toán tử A ImA: Tập giá trị toán tử A IndA: Chỉ số toán tử A kerD: Nhân toán tử D dim(kerD): Số chiều không gian kerD D: Toán tử khả nghịch phải R: Toán tử nghịch đảo phải R(X): Tập toán tử khả nghịch phải RD : Tập nghịch đảo phải D RD x: Ticha phân khơng xác định x F : Tốn tử ban đầu D FD : Tập toán tử ban đầu D iv Iαβ : Toán tử phép lấy tích phân xác định ∆: Tốn tử khả nghịch trái L: Toán tử nghịch đảo trái Λ(X): Tập toán tử khả nghịch trái L∆ : Tập toán tử nghịch đảo trái ∆ V : Toán tử khả nghịch suy rộng W : Toán tử nghịch đảo suy rộng W (X): Tập toán tử khả nghịch suy rộng WV : Tập tất nghịch đảo suy rộng V WV1 : Tập tất hầu nghịch đảo V F (r) : Toán tử ban đầu phải F (l) : Toán tử ban đầu trái (r) FV : Tập toán tử ban đầu phải V (l) FV : Tập tốn tử ban đầu trái V C[a, b]: Khơng gian hàm liên tục [a, b] C [a, b]: Không gian hàm khả vi liên tục [a, b] C N [a, b]: Không gian hàm khả vi liên tục cấp N [a, b] C(Ω): Không gian hàm liên tục Ω ⊆ R2 v MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài Lý thuyết toán tử khả nghịch phải bắt đầu nghiên cứu từ năm 1973, nhờ lý thuyết tổng qt hóa tốn, phương trình vi phân, phương trình vi tích phân, phương trình đạo hàm riêng, phương trình sai phân, thành lớp phương trình mơ tả tốn tử khả nghịch phải Các cơng cụ lý thuyết tốn tử khả nghịch phải hồn tồn giải vấn đề tìm nghiệm, nghiên cứu tính định tính hệ phương trình cách dễ dàng Do đề tài chúng tơi đặt vấn đề nghiên cứu đề tài “Bài toán giá trị ban đầu hệ mơ tả tốn tử khả nghịch phải ứng dụng” Mục tiêu nghiên cứu Nghiên cứu sở lý thuyết lý thuyết toán tử khả nghịch phải, toán giá trị ban đầu hệ phương trình tốn tử khả nghịch phải ứng dụng việc giải toán giá trị ban đầu lớp phương trình vi phân, phương trình tích phân Đối tượng nghiên cứu • Lý thuyết giải tích - đại số • Các lớp phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, phương trình vi tích phân Phạm vi nghiên cứu • Nghiên cứu tốn tử khả nghịch phải tính chất • Bài tốn giá trị ban đầu ứng dụng giải lớp phương trình Phương pháp nghiên cứu Sử dụng kiến thức giải tích hàm, đại số Ý nghĩa luận văn Luận văn hệ thống trình bày kết tính đặt tồn nghiệm toán giá trị ban đầu liên quan đến toán tử khả nghịch phải, toán tử khả nghịch suy rộng Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, luận văn gồm hai chương • Chương Trình bày khái niệm, kết về: khơng gian tuyến tính, tốn tử tuyến tính, tốn tử khả nghịch phải tính chất tốn tử khả nghịch phải, tốn tử ban đầu tính chất tốn tử ban đầu, tốn tử khả nghịch suy rộng • Chương Nghiên cứu toán giá trị ban đầu đối với: hệ bậc nhất, đa thức tổng qt phương trình tốn tử khả nghịch suy rộng nghịch đảo phải (nghịch đảo trái, nghịch đảo, nghịch đảo suy rộng) I − AB tồn RBA ∈ RI−BA LBA ∈ LI−BA (I − BA)−1 , WBA ∈ WI−BA thỏa mãn
(i) RAB = I + ARBA B , RBA = I + BRAB A, (ii) LAB = I + ALBA B , LBA = I + BLAB A, (iii) (I − AB)−1 = I + A(I − BA)−1 B , (I − BA)−1 = I + B(I − AB)−1 A, (iv) WAB = I + AWBA B , WBA = I + BWAB A Chứng minh Vì tốn tử khả nghịch phía khả nghịch tốn tử khả nghịch suy rộng, khơng tính tổng qt chứng minh trường hợp (iv) đủ Giả sử I − AB ∈ W (X) WAB ∈ WI−AB , nghĩa (I − AB)WAB (I − AB) = I − AB Do đó, tốn tử BWAB A hoàn toàn xác định Nếu đặt WBA := I +BWAB A, dom A ta có (I − BA)WBA (I − BA) = (I − BA)(I + BWAB A)(I − BA) = (I − BA)2 + (I − BA)BWAB A(I − BA) = (I − BA)2 + B(I − AB)WAB (I − AB)A = (I − BA)2 + (I − BA)BA = (I − BA)(I − BA + BA) = I − BA Điều chứng tỏ WBA ∈ WI−BA Ví dụ 1.5.11 ([5]) Cho Γ đường cong đóng quy C khơng gian X = H µ (Γ) (0 < µ < 1) Xét toán tử K1 := a1 I + b1 S, K2 := a2 I + b2 S 17 aj , bj ∈ H µ (Γ), j = 1, (Sx)(t) := πi Z x(s) ds s−t Γ Nếu a2j − b2j ̸= 0, ∀t ∈ Γ (j = 1, 2) IndK1 > 0, IndK2 < M := K2 K1 tốn tử khả nghịch suy rộng Ví dụ 1.5.12 Giả sử D1 , D2 ∈ R(X) Lấy R1 ∈ RD1 , R2 ∈ RD2 Đặt V := R1 D2 , W := R2 D1 Khi V tốn tử khả nghịch suy rộng W ∈ WV1 Thật vậy, ta có V W V = R1 D2 R2 D1 R1 D2 = R1 D2 = V, W V W = R2 D1 R1 D2 R2 D1 = R2 D1 = W Các toán tử ban đầu phải, trái V tương ứng với W xác định sau F (r) = I − W V = I − R2 D1 R1 D2 = I − R2 D2 = F2 , F (ℓ) = I − V W = I − R1 D2 R2 D1 = I − R1 D1 = F1 , Fi toán tử ban đầu Di tương ứng với Ri (i = 1, 2) 18 Chương BÀI TOÁN GIÁ TRỊ BAN ĐẦU ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH MƠ TẢ BỞI TỐN TỬ KHẢ NGHỊCH PHẢI Chương dành cho việc nghiên cứu toán giá trị ban đầu phương trình mơ tả tốn tử khả nghịch phải, khả nghịch suy rộng Cụ thể toán giá trị ban đầu với hệ bậc nhất, toán giá trị ban đầu đa thức tổng quát toán giá trị ban đầu phương trình tốn tử khả nghịch suy rộng Các kết chương tham khảo [5, 10] 2.1 Bài toán giá trị ban đầu hệ bậc Giả sử D ∈ R(X) với dim(ker D) ̸= (nghĩa D khả nghịch phải không khả nghịch); F ∈ FD toán tử ban đầu D tương ứng với R ∈ RD ; toán tử A ∈ L0 (X) Xét toán giá trị ban đầu hệ bậc dạng Dx = Ax + y, y ∈ X, (2.1) ?1.15? F x = x0 , x0 ∈ ker D (2.2) ?1.16? Mệnh đề 2.1.1 ([10]) Giả sử D ∈ R(X), dim(ker D) ̸= 0; F toán tử ban đầu D tương ứng với R ∈ RD A ∈ L0 (X) Khi đó, đồng thức sau nghiệm đúng: (i) D − A = D(I − RA) dom D, (ii) (D − A)R = I − AR X , (iii) D − A = (I − AR)D − AF dom D Định nghĩa 2.1.2 Giả sử giả thiết Mệnh đề 2.1.1 thỏa mãn Khi đó, tốn tử I − RA I − AR gọi toán tử giải (resolving operator) hệ (2.1) Nếu I −RA I −AR khả nghịch hệ (2.1) gọi xác định đắn (well - determined), trái lại toán tử I − RA 19 I − AR khơng khả nghịch hệ gọi không xác định đắn (ill-determined) Tính giải hệ phương trình khơng xác định đắn trường hợp toán tử giải khả nghịch phía nghiên cứu A Pogorzelec (xem [7], [8]) Tổng quát hơn, N V Mậu giải toán toán tử giải khả nghịch suy rộng (xem [3], [5]) Theo Định lý 1.5.10, toán tử I −RA khả nghịch phải (khả nghịc trái, khả nghịch, khả nghịch suy rộng) I − AR khả nghịch phải (khả nghịch trái, khả nghịch, khả nghịch suy rộng) tương ứng Do đó, khơng tính tổng qt xét toán với toán tử giải I − RA Định lý 2.1.3 Giả sử D ∈ R(X), dim(ker D) ̸= 0, A ∈ L0 (X) toán tử giải I − RA khả nghịch suy rộng Khi đó, tốn giá trị ban đầu (2.1) - (2.2) có nghiệm Ry + x0 ∈ (I − RA) dom D (2.3) ?1.17? Hơn nữa, điều kiện (2.3) thỏa mãn tập tất nghiệm tốn xác định G = {x = WA (Ry + x0 ) + u : WA ∈ WI−RA , u ∈ ker(I − RA)} (2.4) ?1.18? Chứng minh Sử dụng đồng (i) Mệnh đề 2.1.1, phương trình (2.1) tương đương với D(I − RA)x = y Do tính chất tốn tử khả nghịch phải, phương trình viết dạng (I − RA)x = Ry + z, z ∈ ker D (2.5) ?1.19? Tác động toán tử ban đầu F vào hai vế (2.5) sử dụng tính chất tốn tử ban đầu với điều kiện (2.2) cho ta x0 = F x = F (I − RA)x = F Ry + F z = z Do toán (2.1) - (2.2) tương đương với (I − RA)x = Ry + x0 20 (2.6) ?1.20? nghĩa điều kiện (2.3) thỏa mãn Ngược lại, giả sử (2.3) thỏa mãn, giả thiết định lý I − RA khả nghịch suy rộng suy phương trình (2.6) có nghiệm x = WA (Ry + x0 ) + u, u ∈ ker(I − RA) Hệ 2.1.4 Giả sử D ∈ R(X), dim(ker D) ̸= 0, A ∈ L0 (X) điều kiện (2.3) thỏa mãn Khi (i) I − RA ∈ R(X) RA ∈ RI−RA tốn (2.1) - (2.2) có nghiệm xác định x = RA (Ry + x0 ) + u, u ∈ ker(I − RA); (ii) I − RA ∈ Λ(X) LA ∈ LI−RA tốn (2.1) - (2.2) có nghiệm x = LA (Ry + x0 ); (iii) I − RA khả nghịch tốn (2.1) - (2.2) đặt đắn nghiệm x = (I − RA)−1 (Ry + x0 ) Ví dụ 2.1.5 Cho X không gian dãy số thực {xn } , xn ∈ R, n = 0, 1, Đặt D {xn } = {xn+1 − xn } , R {xn } = {yn } ; y0 = 0, yn = n−1 X xk , n ⩾ 1, k=0 F {xn } = {x0 , x0 , x0 , · · · } Ví dụ 1.4.3 chứng minh D toán tử khả nghịch phải, F toán tử ban đầu D tương ứng với R không gian số ker D = {z = {zn } : zn = c, c ∈ R} Xét toán giá trị ban đầu Dx = Ax + y, (2.7) ?1.21? F x = x¯0 , x¯0 ∈ ker D (2.8) ?1.22? Trong đó, A {xn } = {an } với a0 = 0, a1 = 0, a2 = x3 , an = xn+1 − xn , n ⩾ 21 y = {yn } với y0 + y1 + y2 = 0, yn = 0, ∀n ⩾ Toán tử (I − RA) khả nghịch suy rộng, (I − RA)(I − RA) {xn } = (I − RA) {xn } = {un } với un = xn , ⩽ n ⩽ 2, un = 0, ∀n ⩾ Hơn nữa, ta có Ry + x ¯0 ∈ Im(I − RA) ker(I − RA) = {{vn } : ∈ R, = 0, ⩽ n ⩽ 3} Theo Định lý 2.1.3 tốn (2.7) - (2.8) có nghiệm x = (Ry + x¯0 ) + v, v ∈ ker(I − RA) (2.9) ?1.23? Ví dụ 2.1.6 Cho X = C[0, T ] (không gian hàm số liên tục đoạn Rt d [0, T ]) Lấy D = , R = , toán tử ban đầu D tương ứng với R xác dt t0 định (F x)(t) = x(t0 ) với x ∈ X, t0 ∈ [0, T ] Không gian số ker D = {x ∈ C[0, T ] : x(t) = c, ⩽ t ⩽ T, c ∈ R} , không gian hàm [0, T ] Xét toán giá trị ban đầu Dx = λx + y, y ∈ X (2.10) ?1.24? F x = x0 , x0 ∈ ker D (2.11) ?1.25? Nhận thấy tốn có tốn tử giải I − λR khả nghịch, R tốn tử Volterra, tốn tử nghịch đảo eλ = (I − λR)−1 xác định (xem [10]) eλ x(t) = x(t) + λ Zt eλ(t−s) x(s)ds, ∀x ∈ X t0 Theo Hệ 2.1.4 tốn (2.10) - (2.11) có nghiệm x = eλ (Ry + x0 ), 22 (2.12) ?1.26? hay x(t) = eλ (Ry + x0 )(t)  t  Z = eλ  y(s)ds + x0  t0  t  Z = eλ(t−t0 )  eλ(t0 −s) y(s)ds + x0  t0 Kết hồn tồn trùng với cơng thức nghiệm tốn Cauchy phương trình vi phân tuyến tính cấp 2.2 Bài tốn giá trị ban đầu đa thức tổng quát Cho D toán tử khả nghịch phải, F toán tử ban đầu D tương ứng với R ∈ RD Bài toán giá trị ban đầu đa thức tổng quát toán tử khả nghịch phải toán tìm nghiệm phương trình tổng quát dạng Q[D]x = y, y ∈ X, (2.13) ?1.27? thỏa mãn điều kiện ban đầu F Dj x = yj , yj ∈ ker D(j = 0, 1, , M + N − 1), (2.14) ?1.28? đa thức Q[D] xác định Q[D] := N M X X Dm Amn Dn , (2.15) ?1.29? m=0 n=0 với M, N ∈ N, Amn ∈ L(X), m = 0, 1, , M ; n = 0, 1, , N AM N = I Hơn nữa, giả sử Amn XM +N −n ⊂ Xm , m = 0, 1, , M ; n = 0, 1, , N ; m + n < M + N Xj := dom Dj Định nghĩa 2.2.1 ([10]) 23 (i) Bài toán (2.13) - (2.14) gọi đặt đắn có nghiệm y ∈ X ; y0 , y1 , , yM +N −1 ∈ ker D (ii) Bài toán (2.13) - (2.14) gọi không đặt đắn tồn y ∈ X ; y0 , y1 , , yM +N −1 ∈ ker D cho tốn khơng có nghiệm, tốn tương ứng có nghiệm khơng tầm thường Định nghĩa 2.2.2 Giả sử toán tử Q[D] xác định (2.15) Đặt ′ Q := N M X X RM −m Bmn RN −n , (2.16) ?1.30? m=0 n=0 Bmn :=   A′0n ,   m = ′   Amn − A′mn := M X F Dµ−m A′µn trái lại, (2.17) ?1.30.a? µ=m  0 Amn m = M n = N, trái lại, (2.18) ?1.30.b? (m = 0, 1, , M ; n = 0, 1, , N ) Khi I + Q′ gọi toán tử giải toán (2.13) - (2.14) Bổ đề 2.2.3 ([5]) Cho Q′ xác định (2.16) Q := N M X X RM +N −m Bmn Dn (2.19) ?1.31? m=0 n=0 Khi đó, đồng thức sau QRN = RN Q′ , (2.20) ?1.32? DM +N (I + Q) = Q[D], (2.21) ?1.33? F Dj (I + Q) = F Dj (j = 0, 1, , M + N − 1) (2.22) ?1.34? Bổ đề 2.2.4 ([5]) Giả sử Q xác định (2.19) Khi đó, toán giá trị ban đầu (2.13) - (2.14) đặt đắn toán tử I + Q khả nghịch XM +N 24 Định lý 2.2.5 ([5]) Bài toán giá trị ban đầu (2.13) - (2.14) đặt đắn toán tử giải I + Q′ khả nghịch Định lý 2.2.6 ([5]) Cho D ∈ R(X), R ∈ RD F ∈ FD toán tử ban đầu D tương ứng với R Các toán tử Q′ Q xác định (2.16) (2.19) tương ứng Khi (i) Nếu tốn tử giải I +Q′ khả nghịch tốn (2.13) - (2.14) đặt đắn có nghiệm  x = MQ RM +N y + MX +N −1 j=0  R j yj  , MQ := I − RN (I + Q′ )−1 Q1 , Q1 := N M X X RM −m Bmn Dn , (2.23) ?1.35? (2.24) ?1.35.a? (2.25) ?1.35.b? m=0 n=0 Bmn (m = 0, 1, , M ; n = 0, 1, , N ) xác định (2.17) (2.18) (ii) Nếu toán tử giải I + Q′ khả nghịch phải dim ker(I + Q′ ) ̸= tốn (2.13) - (2.14) khơng đặt đắn Tuy nhiên, tốn ln có nghiệm  x = RQ RM +N y + MX +N −1 j=0  Rj yj  + z, (2.26) ?1.36? RQ = I − RN RQ′ H , RQ′ ∈ RI+Q′ z ∈ ker(I + Q) tùy ý (iii) Nếu toán tử giải I + Q′ khả nghịch trái khơng khả nghịch tốn (2.13) - (2.14) không đặt đắn Tuy nhiên, tốn có nghiệm R M +N y+ MX +N −1 Rj yj ∈ (I + Q)XM +N j=0 25 (2.27) ?1.37? Điều kiện (2.27) thỏa mãn tốn có nghiệm   MX +N −1 (2.28) ?1.38? x = LQ RM +N y + R j yj  j=0 LQ = I − RN LQ′ H LQ′ ∈ LI+Q′ Ví dụ 2.2.7 Cho X := C[0, 1] không gian hàm thực liên tục Rt d [0, 1] Lấy D := , R := , dt t0 (F x)(t) := x(t0 ), t0 ∈ [0, 1], ∀x ∈ X, D tốn tử khả nghịch phải, R nghịch đảo phải D, F toán tử ban đầu D tương ứng với R ker D = {x ∈ X : x(t) = c, ∀t ∈ [0, 1], c ∈ R} Ký hiệu Xk := dom Dk , Zk := ker Dk (k ∈ N) Xét toán giá trị ban đầu  N  D + P0 (D, I) + P1 (D, I)F ′ + Rk P2 (D, I) x = y, F Dj x = xj , xj ∈ R, j = 0, 1, , N − 1, (2.29) ?1.39? (2.30) ?1.40? F ′ ∈ FDN , số N, k ∈ N, N ̸= Pµ (t, s) := N −1 X aµi ti sN −i , aµi ∈ R (µ = 0, 1, 2) i=0 Đặt Q0 := P0 (D, I) + P1 (D, I)F ′ + Rk P2 (D, I), Q := RN Q0 , Q′ := P0 (I, R) + Rk P2 (I, R) Bởi R ∈ V (X) (tập tất toán tử Volterra), toán tử giải I + Q′ khả nghịch (xem [10]) Hơn nữa, ta có Q′ = Q0 RN , theo Định lý 1.5.10, toán tử I + Q khả nghịch nghịch đảo (I + Q)−1 = I − RN (I + Q′ )−1 Q0 26 (2.31) ?1.41? Bài toán (2.29) - (2.30) viết lại dạng tương đương N 0 (I + Q)x = R y + x , x = N −1 X R j x j ∈ ZN (2.32) ?1.42? j=0 Đẳng thức (2.31) kéo theo I + Q ∈ L0 (XN ) (I + Q)−1 XN ⊂ XN Do đó, phương trình (2.32) có nghiệm   x = I − RN (I + Q′ )−1 Q0 (RN y + x0 ), nghiệm nghiệm toán (2.29) - (2.30) 2.3 Bài toán giá trị ban đầu phương trình tốn tử khả nghịch suy rộng Cho V ∈ W (X), với dim(ker V ) ̸= (nghĩa V khả nghịch suy rộng không khả nghịch); F (r) , F (l) toán tử ban đầu phải, trái V ứng với W ∈ WV1 Giả sử A ∈ L0 (X) cho A(dom V ) ⊂ ImV Xét toán giá trị ban đầu V x = Ax + y, y ∈ X (2.33) ?1.43? F (r) x = x0 , x0 ∈ ker V (2.34) ?1.44? Định nghĩa 2.3.1 Bài toán (2.33) - (2.34) gọi đặt đắn có nghiệm y ∈ X, x0 ∈ ker V Trái lại, tốn (2.33) - (2.34) gọi khơng đặt đắn tồn y ∈ X x0 ∈ ker V cho tốn khơng có nghiệm, tốn tương ứng có nghiệm khơng tầm thường Bổ đề 2.3.2 ([5]) Bài toán (2.33) - (2.34) có nghiệm W y + x0 ∈ (I − W A)Xy , Xy xác định n o (l) Xy = x ∈ dom V : F (Ax + y) = , y ∈ X 27 (2.35) ?1.45? Định lý 2.3.3 ([5]) Giả sử y ∈ X x0 ∈ ker V điều kiện (2.35) thỏa mãn Khi đó, tốn (2.33) - (2.34) đặt đắn toán tử giải I − W A khả nghịch Hơn nữa, toán đặt đắn nghiệm có dạng x = (I − W A)−1 (W y + x0 ) Ví dụ 2.3.4 Cho X = C(R) không gian hàm liên tục R Lấy d D = , a ∈ C ( R) dt (P (x))(t) = [x(t) + x(−t)] (Q(x))(t) = [x(t) − x(−t)] (Ax)(t) = a(t)x(t) Xét toán giá trị ban đầu (P + DQAQ)x = y, (2.36) ?1.46? Qx = x0 , x0 ∈ ker P (2.37) ?1.47? Hoàn toàn kiểm tra P = P, Q2 = Q, P Q = QP = Do đó, P ∈ W (X) P ∈ WP1 Từ suy toán tử ban đầu phải, trái P tương ứng với P xác định F (r) = I − P P = Q, F (l) = I − P P = Q Do QDQ = nên ta có điều kiện cần đủ để toán (2.36) - (2.37) tồn nghiệm Qy = (2.38) ?1.48? Nếu (2.38) thỏa mãn toán (2.36) - (2.37) tương đương với (I + P DAQ)x = P y + x0 Bởi toán tử I + P DAQ khả nghịch (I + P DAQ)−1 = I − P DAQ, nghiệm toán (2.36) - (2.37) xác định sau x = P y + x0 − P DAx0 28 KẾT LUẬN Luận văn với đề tài “Bài toán giá trị ban đầu hệ mơ tả tốn tử khả nghịch phải ứng dụng” hệ thống số kết sau Các kiến thức toán tử khả nghịch phải, khả nghịch suy rộng tính chất chúng Trình bày số kết toán giá trị ban đầu phương trình mơ tả tốn tử khả nghịch phải, khả nghịch suy rộng Cụ thể toán giá trị ban đầu hệ bậc nhất, đa thức tổng quát phương trình tốn tử khả nghịch suy rộng 29 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] N M Tuấn (1996), Chính quy hóa suy rộng phương trình tích phân kỳ dị với phép quay, Luận án tiến sĩ toán học, Trường Đại học Khoa học Tự Nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội Tiếng Anh [2] Z Binderman (1991), “Initial operators for generalized invertible operators” Comment Math., 31, pp.25-37 19 [3] N V Mau (1989), “Remarks on initial value problems for equations with right invertible operators”, Preprint No 451, Institute of Mathematics, Polish Acad Sci , Warszawa 22 [4] N V Mau (1992), “Properties of generalized almost inverses”, Demonstratio Math., 25, pp.493-511 23 [5] N V Mau (1992), Boundary value problems and controllability of linear systems with right invertible operators, Dissertationes Math., CCCXVI, Warszawa 25 [6] N V Mau and N M Tuan (1997), “Algebraic properties of generalized right invertible operators”, Demonstratio Math., 30, pp.495-508 30 26 [7] A Pogorzelec (1983), “Initial value problems with ill-determined linear systems with right invertible operators”, Demonstratio Math , 16, pp.407-420 27 [8] A Pogorzelec (1983), Solvability and controllability of ill-determined systesms with right invertible operators, Ph.D.Diss., Institute of Mathematics, Technical University of Warsaw, Poland 30 [9] D Przeworka-Rolewicz (1973), “Algebraic theory of right invertible operators”, Studia Math., 48, pp.129-143 34 [10] D Przeworka-Rolewicz (1988), Algebraic Analysis, PWN and Reidel, Warsaw - Dordrecht 36 [11] D Przeworka-Rolewicz and S.Rolewicz (1968), Equations in Linear Spaces, Monografie Mat , 47, PWN-Polish Scientific Publishers, Warsaw, Poland 31