Luận văn bài toán giá trị ban đầu đối với đa thức của các toán tử khả nghịch phải và ứng dụng

Mở đầu Toán tử khả nghịch phải Bài toán giá trị ban đầu đa thức toán tử khả nghịch phải Tính điều khiển đ TỐN TỬ KHẢ NGHỊCH PHẢI VÀ BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC Chu Thị Phương Thảo Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Nguyễn Đình Quyết Ngày 28 tháng 12 năm 2013 Chu Thị Phương Thảo () Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Nguy TOÁN TỬ KHẢ NGHỊCH PHẢI VÀ BÀI TỐN ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC / 28 Mở đầu Tốn tử khả nghịch phải Bài toán giá trị ban đầu đa thức toán tử khả nghịch phải Tính điều khiển đ Mở đầu Lý thuyết đại số toán tử khả nghịch phải nghiên cứu phát triển nhiều nhà toán học, lĩnh vực tốn học có nhiều ứng dụng quan trọng, xuất phát triển vài thập kỉ gần Lý thuyết đại số toán tử khả nghịch phải kết nghiên cứu D Przeworska-Rolewicz báo "Algebraic theory of right invertible operators" đăng tạp chí Studia Mathematica, Vol 48 (1973), sau phát triển H Vontrotha, Z.Karwowski nhiều nhà toán học khác Chu Thị Phương Thảo () Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Nguy TOÁN TỬ KHẢ NGHỊCH PHẢI VÀ BÀI TỐN ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC / 28 Mở đầu Tốn tử khả nghịch phải Bài toán giá trị ban đầu đa thức toán tử khả nghịch phải Tính điều khiển đ Mở đầu Trên sở lý thuyết toán tử khả nghịch, lý thuyết điều khiển, Nguyễn Đình Quyết xét tính điều khiển hệ tuyến tính mơ tả tốn tử khả nghịch phải trường hợp toán tử giải khả nghịch Các kết liên quan đến tính điều khiển hệ tổng quát hóa A Pogorzelec trường hợp giải khả nghịch phía Chu Thị Phương Thảo () Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Nguy TOÁN TỬ KHẢ NGHỊCH PHẢI VÀ BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC / 28 Mở đầu Toán tử khả nghịch phải Bài toán giá trị ban đầu đa thức toán tử khả nghịch phải Tính điều khiển đ Mở đầu Trên sở lý thuyết toán tử khả nghịch, lý thuyết điều khiển, Nguyễn Đình Quyết xét tính điều khiển hệ tuyến tính mơ tả tốn tử khả nghịch phải trường hợp toán tử giải khả nghịch Các kết liên quan đến tính điều khiển hệ tổng quát hóa A Pogorzelec trường hợp giải khả nghịch phía Trong khn khổ nghiên cứu đề tài luận văn thạc sĩ này, tập trung số vấn đề sau Xét toán giá trị ban đầu đa thức toán tử khả nghịch phải nghiên cứu tính điều khiển hệ suy biến Nghiên cứu tính điều khiển hệ mơ tả tốn tử khả nghịch Chu Thị Phương Thảo () Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Nguy TOÁN TỬ KHẢ NGHỊCH PHẢI VÀ BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC / 28 Mở đầu Toán tử khả nghịch phải Bài toán giá trị ban đầu đa thức toán tử khả nghịch phải Tính điều khiển đ Cấu trúc luận văn Luận văn gồm có chương: Chương Trình bày khái niệm, tính chất tốn tử khả nghịch phải, ví dụ Một số kết giải tích hàm làm sở cho việc nghiên cứu chương sau Chương Xét toán giá trị ban đầu đa thức tốn tử khả nghịch phải Chương Trình bày kết tính điều khiển hệ bậc mơ tả tốn tử khả nghịch phải Chu Thị Phương Thảo () Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Nguy TOÁN TỬ KHẢ NGHỊCH PHẢI VÀ BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC / 28 Mở đầu Toán tử khả nghịch phải Bài toán giá trị ban đầu đa thức toán tử khả nghịch phải Tính điều khiển đ Một số kí hiệu dùng luận văn L(X → Y ) L0 (X → Y ) L(X ) V (X ) domA D R R(X ) (RD ) : Tập toán tử tuyến tính có miền xác định X nhận giá trị Y : Tập toán tử tuyến tính có miền xác định tồn khơng gian X := L(X → X ) : Tập toán tử Vonterra : Tập giá trị toán tử A : Toán tử khả nghịch phải : Toán tử nghịch đảo phải : Tập toán tử nghịch đảo phải : Tập toán tử nghịch đảo phải D Chu Thị Phương Thảo () Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Nguy TOÁN TỬ KHẢ NGHỊCH PHẢI VÀ BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC / 28 Mở đầu Toán tử khả nghịch phải Bài toán giá trị ban đầu đa thức toán tử khả nghịch phải Tính điều khiển đ 1.1 Tốn tử khả nghịch phải khơng gian tuyến tính 1.1.1 Khơng gian tuyến tính tốn tử tuyến tính 1.1.2 Định nghĩa tính chất tốn tử khả nghịch phải 1.2 Ví dụ Chi tiết Chi tiết Chu Thị Phương Thảo () Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Nguy TOÁN TỬ KHẢ NGHỊCH PHẢI VÀ BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC / 28 Mở đầu Toán tử khả nghịch phải Bài toán giá trị ban đầu đa thức tốn tử khả nghịch phải Tính điều khiển đ 1.3 Toán tử ban đầu tính chất Định nghĩa 1.3.1 Mỗi tốn tử F ∈ L0 (X ) gọi toán tử ban đầu D ∈ R(X ) tương ứng với nghịch đảo phải R ∈ RD nếu: (i) F = F , FX = kerD (ii) FR = domR Chu Thị Phương Thảo () Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Nguy TOÁN TỬ KHẢ NGHỊCH PHẢI VÀ BÀI TỐN ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC / 28 Mở đầu Tốn tử khả nghịch phải Bài toán giá trị ban đầu đa thức toán tử khả nghịch phải Tính điều khiển đ 1.3 Tốn tử ban đầu tính chất Định nghĩa 1.3.1 Mỗi tốn tử F ∈ L0 (X ) gọi toán tử ban đầu D ∈ R(X ) tương ứng với nghịch đảo phải R ∈ RD nếu: (i) F = F , FX = kerD (ii) FR = domR Từ định nghĩa suy rằng: Fz = z với z ∈ kerD, DF = X , kerF = RX kerD ∩ kerF = {0} Chu Thị Phương Thảo () Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Nguy TOÁN TỬ KHẢ NGHỊCH PHẢI VÀ BÀI TỐN ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC / 28 Mở đầu Tốn tử khả nghịch phải Bài toán giá trị ban đầu đa thức toán tử khả nghịch phải Tính điều khiển đ 1.3 Tốn tử ban đầu tính chất Định lí 1.3.2.(Cơng thức Taylor-Gontcharov) Giả sử D ∈ R(X ) họ fD = {Fγ }γ∈Γ toán tử ban đầu D sinh RD = {Rγ }γ∈Γ Lấy {γn } ⊂ Γ dãy tùy ý số Khi đó, số nguyên dương N thỏa mãn I = Fγ + N1 X Rγ Rγ k−1 Fγ k D k + Rγ Rγ N−1 D N domD N (1.7) k=1 Chu Thị Phương Thảo () Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Nguy TOÁN TỬ KHẢ NGHỊCH PHẢI VÀ BÀI TỐN ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC / 28 Mở đầu Tốn tử khả nghịch phải Bài toán giá trị ban đầu đa thức toán tử khả nghịch phải Tính điều khiển đ 3.1 Hệ tuyến tính tính điều khiển Định nghĩa 3.1.1 Giả X , Y U khơng gian tuyến tính (trên R C) Giả sử D ∈ R(X ), dimkerD 6= 0, F toán tử ban đầu, với D tương ứng với R ∈ RD , A ∈ L0 (X ), A1 ∈ L0 (X → Y ), B ∈ L0 (U → X ), B1 ∈ L0 (U → Y ) Một hệ tuyến tính (nói gọn, (LS)) tổng qt có dạng: Dx = Ax + Bu với BU ⊂ (D − A)X (3.1) (LS) y = A1 x + B1 u, (3.2) Fx = x0 , x0 ∈ kerD (3.3) Chu Thị Phương Thảo () Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Nguy TOÁN TỬ KHẢ NGHỊCH PHẢI VÀ BÀI TỐN ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC / 28 Mở đầu Tốn tử khả nghịch phải Bài toán giá trị ban đầu đa thức toán tử khả nghịch phải Tính điều khiển đ 3.1 Hệ tuyến tính tính điều khiển Các khơng gian X U tương ứng gọi không gian trạng thái khơng gian điều khiển Do đó, phần tử x ∈ X u ∈ U gọi trạng thái điều khiển Một cặp (x0 , u) ∈ (kerD) × U gọi đầu vào y xác định công thức (3.2) gọi đầu hệ tuyến tính việc xem xét ứng với đầu vào Từ đó, khơng gian (kerD) × U gọi khơng gian đầu vào tập hợp tương ứng điểm y Y-không gian đầu Người ta thường xem xét hệ với A1 = I B1 = 0, nghĩa là, với Y = X đầu y = x Chúng ta kí hiệu hệ (LS)0 Chu Thị Phương Thảo () Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Nguy TOÁN TỬ KHẢ NGHỊCH PHẢI VÀ BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC / 28 Mở đầu Toán tử khả nghịch phải Bài toán giá trị ban đầu đa thức tốn tử khả nghịch phải Tính điều khiển đ 3.1 Hệ tuyến tính tính điều khiển Định nghĩa 3.1.2 Xem xét (LS)0 Giả sử I − RA ∈ R(X ) I − RA ∈ Λ(X ) I − RA khả nghịch I − AR ∈ R(X ) I − AR ∈ Λ(X ) I − AR khả nghịch RA ∈ RI −RA , LA ∈ LI −RA , EA = (I − RA)−1 , R A ∈ RI −AR , LA ∈ LI −AR , E A = (I − AR)−1 , tương ứng Kí hiệu φi (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6), tập hợp sau định nghĩa cho x0 ∈ kerD, u ∈ U: (i) Nếu I − RA ∈ R(X ) φ1 (x0 , u) = {RA (RBu + x0 ) + z : z ∈ ker (I − RA)}, RA ∈ RI −RA ; Chu Thị Phương Thảo () Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Nguy TOÁN TỬ KHẢ NGHỊCH PHẢI VÀ BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC / 28 Mở đầu Toán tử khả nghịch phải Bài toán giá trị ban đầu đa thức tốn tử khả nghịch phải Tính điều khiển đ 3.1 Hệ tuyến tính tính điều khiển (iii) Nếu I − RA khả nghịch φ3 (x0 , u) = {EA (RBu + x0 )}, EA = (I − RA)−1 ; (iv) Nếu I − AR ∈ R(X ) φ4 (x0 , u) = {R[R A (Bu + Ax0 ) + z] + x0 : z ∈ ker (I − AR)} R A ∈ RI −AR ; (v) Nếu I − AR ∈ Λ(X ) Bu + Ax0 (I − AR)X φ5 (x0 , u) = {RLA (Bu + Ax0 ) + x0 }, LA ∈ LI −AR , (vi) Nếu I − AR khả nghịch φ6 (x0 , u) = {RE A (Bu + Ax0 ) + x0 }, E A = (I − AR)−1 Chu Thị Phương Thảo () Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Nguy TOÁN TỬ KHẢ NGHỊCH PHẢI VÀ BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC / 28 Mở đầu Toán tử khả nghịch phải Bài toán giá trị ban đầu đa thức tốn tử khả nghịch phải Tính điều khiển đ 3.1 Hệ tuyến tính tính điều khiển Định nghĩa 3.1.3 Xét hệ (LS)0 tập hợp φi (x0 , u)(i = 1, , 6) xác định Định nghĩa 3.3 Một trạng thái x ∈ X gọi đạt từ trạng thái ban đầu x0 ∈ kerD với RA ∈ RI −RA (LA ∈ LI −RA , EA = (I − RA)−1 , R A ∈ RI −AR , LA ∈ LI −AR , E A = (I − AR)−1 tương ứng) Một trạng thái x ∈ X gọi RA -đạt từ trạng thái ban đầu x0 ∈ kerD tồn điều khiển u ∈ U cho x = φi (x0 , u)(i = 1, 2, , 5) tương ứng Chu Thị Phương Thảo () Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Nguy TOÁN TỬ KHẢ NGHỊCH PHẢI VÀ BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC / 28 Mở đầu Toán tử khả nghịch phải Bài toán giá trị ban đầu đa thức tốn tử khả nghịch phải Tính điều khiển đ 3.1 Hệ tuyến tính tính điều khiển Định nghĩa 3.1.4 Xem xét hệ tuyến tính (LS)0 xác định Định nghĩa 3.1 Giả sử F1 6= F toán tử ban đầu D Trạng thái x1 ∈ kerD gọi F1 -đạt từ trạng thái ban đầu x0 ∈ kerD tồn u ∈ U cho x1 ∈ F1 φi (x0 , u)(i=1, 2, 3, 4, 5, tương ứng, xem Định nghĩa 3.3) Trạng thái x1 gọi trạng thái kết thúc Hệ tuyến tính (LS)0 gọi F1 -điều khiển với trạng thái ban đầu x0 ∈ kerD, F1 RangU,x0 φi = kerD (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, tương ứng ), (3.19) Hệ (LS)0 gọi F1 -điều khiển không ∈ RangU,x0 φi (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, tương ứng ) (3.20) với trạng thái ban đầu x0 ∈ kerD Rõ ràng, tính F1 -điều khiển hệ tuyếnNgười tính kéo tính hướng dẫntheo khoa học: PGS TS Nguy Chu Thị Phương Thảo () TOÁN TỬ KHẢ NGHỊCH PHẢI VÀ BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC / 28 Mở đầu Toán tử khả nghịch phải Bài toán giá trị ban đầu đa thức tốn tử khả nghịch phải Tính điều khiển đ 3.1 Hệ tuyến tính tính điều khiển Định lí 3.1.4 (Nguyễn Đình Quyết, 1977, 1978) Cho hệ tuyến tính dừng với tốn tử giải khả nghịch I − RA cho trước Khi đó, (i) Điều khiển (3.29) có dạng: kerB ∗ EA∗ F1∗ = {0}, EA = (I − RA)−1 , (3.31) với B ∈ L0 (U → X , X → U ), R, F1 , A, E ∈ L0 (X , X ), D ∈ L(X , X ); (ii) Giả sử hệ (LS)0 F1 -điều khiển BU ⊂ (I − RA)X Khi đó, với tốn tử tuyến tính ban đầu F2 ∈ FD , hệ (LS)0 F2 -điều khiển Chu Thị Phương Thảo () Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Nguy TOÁN TỬ KHẢ NGHỊCH PHẢI VÀ BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC / 28 Mở đầu Toán tử khả nghịch phải Bài toán giá trị ban đầu đa thức toán tử khả nghịch phải Tính điều khiển đ 3.2 Ví dụ Ví dụ 3.2.2 Cho X = (s) khơng gian tất dãy x = {xn } ⊂ R (trên R) với tổng tích vơ hướng: {xn } + {yn } = {xn + yn }; λ{xn } = {λxn } với {xn }, {yn } ∈ X ; λ ∈ R Xét hệ tuyến tính sau: Dx = Ax + Bu, Fx = x0 , (3.36) Ở đây, D{xn } = {xn+1 − xn }, F {xn } = x1 {en }, en = với n ∈ N x0 ∈ kerD = {c{en } : c ∈ R}; A{xn } = {xn+2 }, u ∈ kerD B = λI , 6= λ ∈ R, R{xn } = {yn }, y1 = 0, yn = n−1 X xk ; n ≥ k=1 Chúng ta biết rằng, D ∈ R(X ) F toán tử ban đầu D tương ứng với R ∈ RD (RD ) Điều kiện BU ⊂ (D − A)domD thỏa mãn, BU = kerD, domD = X (D − A)X = X Toán tử I − RA nghịch đảo phải Chu Thị Phương Thảo () Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Nguy TOÁN TỬ KHẢ NGHỊCH PHẢI VÀ BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC / 28 Mở đầu Toán tử khả nghịch phải Bài toán giá trị ban đầu đa thức toán tử khả nghịch phải Tính điều khiển đ Kết luận Luận văn nghiên cứu toán giá trị ban đầu đa thức toán tử khả nghịch phải ứng dụng Những kết luận văn: Hệ thống hóa kết toán khả nghịch phải Nêu phương pháp giải toán giá trị ban đầu đa thức tốn tử khả nghịch phải Trình bày kết tính điều khiển xấp xỉ hệ bậc hệ tổng quát mô tả toán tử khả nghịch phải Chu Thị Phương Thảo () Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Nguy TOÁN TỬ KHẢ NGHỊCH PHẢI VÀ BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC / 28 Mở đầu Toán tử khả nghịch phải Bài toán giá trị ban đầu đa thức tốn tử khả nghịch phải Tính điều khiển đ Tài liệu tham khảo [1] Phạm Quang Hưng (1994), "Toán tử Green toán giá trị biên với toán tử khả nghịch phải D N ", Tạp chí Khoa học- Khoa học tự nhiên, Đại học Tổng hợp Hà Nội, Vol 7/1974 Tr 11-18 [2] Phạm Quang Hưng (1995), Bài toán nội suy tổng quát toán biên lớp toán tử khả nghịch phải, Luận án tiến sĩ toán học, Trường đại học tổng hợp Hà Nội [3] Hoàng Văn Thi (2005), Về tính điều khiển hệ mơ tả toán tử khả nghịch phải khả nghịch suy rộng, Luận án tiến sĩ toán học, Trường đại học tổng hợp Hà Nội [4] V.N Mau (1992), Boundary value problems and controllability of linear systems with right invertible operators, Disertationes Math, CCCXVI, Warszawa [5] D.Danuta przeworska-Rolewiez (1988), Algebraic Analysis, PWN and Reidel, Warszawa-Dordecht Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Nguy Chu Thị Phương Thảo () TOÁN TỬ KHẢ NGHỊCH PHẢI VÀ BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC / 28 Mở đầu Toán tử khả nghịch phải Bài toán giá trị ban đầu đa thức tốn tử khả nghịch phải Tính điều khiển đ EM XIN CHÂN THÀNH CẢM ƠN! Chu Thị Phương Thảo () Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Nguy TOÁN TỬ KHẢ NGHỊCH PHẢI VÀ BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC / 28 Mở đầu Toán tử khả nghịch phải Bài toán giá trị ban đầu đa thức tốn tử khả nghịch phải Tính điều khiển đ Định nghĩa tính chất tốn tử khả nghịch phải Định nghĩa 1.1.1 Toán tử D ∈ L(X ) gọi toán tử khả nghịch phải tồn toán tử R ∈ L0 (X ) cho ImR ⊂ domD DR = I domR (1.1) với I tốn tử đồng Khi đó, R gọi nghịch đảo phải D Chu Thị Phương Thảo () Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Nguy TOÁN TỬ KHẢ NGHỊCH PHẢI VÀ BÀI TỐN ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC / 28 Mở đầu Tốn tử khả nghịch phải Bài toán giá trị ban đầu đa thức toán tử khả nghịch phải Tính điều khiển đ Định nghĩa tính chất toán tử khả nghịch phải (tiếp theo ) Định lí 1.1.1 [2] Giả sử D ∈ R(X ) R1 ∈ RD Khi đó, tập nghịch đảo D xác định RD = {R1 + (I − R1 D)A : A ∈ L0 (X ), AX ⊂ domD} (1.3) Chu Thị Phương Thảo () Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Nguy TOÁN TỬ KHẢ NGHỊCH PHẢI VÀ BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC / 28 Mở đầu Toán tử khả nghịch phải Bài toán giá trị ban đầu đa thức toán tử khả nghịch phải Tính điều khiển đ Định nghĩa tính chất tốn tử khả nghịch phải (tiếp theo ) Định nghĩa 1.1.2 Toán tử ∆ ∈ L0 (X ) gọi khả nghịch trái tồn toán tử L ∈ L(X ) cho Im∆ ⊂ domL L∆ = I dom∆ (1.4) Khi đó, tốn tử L gọi nghịch đảo trái ∆ Kí hiệu ∆(X ) tập toán tử khả nghịch trái L(X ), L∆ tập tất nghịch đảo trái ∆ ∈ ∆(X ) Quay lại Chu Thị Phương Thảo () Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Nguy TOÁN TỬ KHẢ NGHỊCH PHẢI VÀ BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC / 28 Mở đầu Toán tử khả nghịch phải Bài toán giá trị ban đầu đa thức toán tử khả nghịch phải Tính điều khiển đ Ví dụ Ví dụ 1.2.1 Cho X = C [a, b] không gian hàm số liên tục đoạn Rt ∂ [a, b] Đặt D := ; (Rx)(t, s) := t0 x(s)ds, với t0 ∈ [a, b], x ∈ C [a, b] ∂t Khi đó, D tốn tử khả nghịch phải, R nghịch đảo phải D Tuy nhiên, toán tử D khả nghịch phải không khả nghịch Quay lại Chu Thị Phương Thảo () Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Nguy TOÁN TỬ KHẢ NGHỊCH PHẢI VÀ BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC / 28