Về đa thức lucas tổng quát và mối quan hệ giữa các đa thức fibonacci với đa thức lucas

Nguyễn Thu Hằng Cô đã tận tình chỉ bảo và hướngdẫn tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hồn thành luận văn tốtnghiệp.Tơi xin gửi lời cảm ơn Ban Giám Hiệu nhà trường, các thầy

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THỊ HẰNG

VỀ ĐA THỨC LUCAS TỔNG QUÁT

VÀ MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC ĐA THỨC FIBONACCI

VỚI ĐA THỨC LUCAS

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 8 46 01 13

Thái Nguyên – 2024

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THỊ HẰNG

VỀ ĐA THỨC LUCAS TỔNG QUÁT

VÀ MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC ĐA THỨC FIBONACCI

VỚI ĐA THỨC LUCAS

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 8 46 01 13

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS Nguyễn Thu Hằng

Thái Nguyên – 2024

Lời cảm ơn

Để hoàn thành luận văn cùng với những nỗ lực của bản thân, tôi đã nhậnđược sự động viên, giúp đỡ của rất nhiều người Tôi xin chân thành bày tỏ lòng

biết ơn sâu sắc đến TS Nguyễn Thu Hằng Cô đã tận tình chỉ bảo và hướng

dẫn tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn tốtnghiệp

Tôi xin gửi lời cảm ơn Ban Giám Hiệu nhà trường, các thầy cô giáo trong

khoa Toán- Tin, Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên đã truyền thụcho tôi những kiến thức bổ ích và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi để tôi hoàn

thành luận văn này

Tôi xin cám ơn Ban Giám Hiệu cùng toàn thể các thầy cô đồng nghiệp trườngPTDTNT THPT tỉnh Lai Châu nơi tôi công tác đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi

trong suốt thời gian học tập, nghiên cứu để tôi có thể tập trung hoàn thiện luận

văn đúng tiến độ

Cuối cùng tôi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè, anh chị đã động viên

giúp đỡ tôi về mọi mặt trong thời gian tôi thực hiện luận văn này

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Thái Nguyên, ngày 25 tháng 01 năm 2024

Học viên

Nguyễn Thị Hằng

Mục lục

1.1 Về các số Fibonacci và đa thức Fibonacci 3

1.2 Về các số Lucas và đa thức Lucas 11

Chương 2 Về mối quan hệ giữa các đa thức Fibonacci với đa thức

2.1 Một số liên hệ giữa đa thức Fibonacci và đa thức Lucas 21

2.2 Đa thức r-Lucas tổng quát 24

 tổ hợp chập m của n phần tử

det A định thức của ma trận A

Mở đầu

Dãy Fibonacci là một dãy số nổi tiếng trong Toán học và có nhiều ứng dụngtrong các khoa học khác Dãy Fibonacci được biết đến là một dãy số được cho

bằng thuật toán truy hồi: ngoại trừ hai số hạng đầu tiên của dãy, mỗi số hạng

sẽ bằng tổng của hai số liền trước nó Dãy này luôn được ký hiệu là (Fn) Các

số hạng của dãy Fibonacci còn được gọi là các số Fibonacci Các số Fibonacci

lần đầu tiên được mô tả bởi các nhà toán học Ấn Độ vào khoảng 200 năm trước

Công nguyên trong công trình của Pingala về việc liệt kê các bài thơ tiếngPhạn được hình thành từ các âm tiết có hai độ dài Dãy Fibonacci chính thức

được đặt tên theo tên của nhà toán học người Ý Leonardo, hay còn được gọi là

Fibonacci, khi ông giới thiệu dãy số này tại Tây Âu trong cuốn sách năm 1202của ông tên là Liber Abaci

Các số Fibonacci liên quan chặt chẽ đến tỷ lệ vàng Công thức Binet biểu

thị số Fibonacci thứ n theo n và tỷ lệ vàng, đồng thời cũng ngụ ý rằng tỷ lệcủa hai số Fibonacci liên tiếp có xu hướng tiến về tỷ lệ vàng khi n tăng Các số

Fibonacci cũng có liên quan chặt chẽ với các số Lucas, hai dãy số này cùng tuân

theo cùng một mối quan hệ truy hồi và cùng với nhau tạo thành một cặp dãy

bổ sung cho nhau Do đó, người ta thường nghiên cứu hai dãy này một cách

song hành

Trong những thập kỷ gần đây, bên cạnh các nghiên cứu về các khía cạnh

áp dụng của dãy Fibonacci và dãy Lucas trong chuyên ngành của Toán học

như: Lý thuyết nhóm, Giải tích, Đại số tuyến tính, Toán học tính toán hoặc cácngành khoa học khác như: Khoa học máy tính, Vật lý, Sinh học và Xác xuất

thống kê Các nhà nghiên cứu còn không ngừng mở rộng các tổng quát hoá cho

hai dãy này Một trong các hướng mở rộng hay gặp là nghiên cứu các đa thức

có liên kết với dãy Fibonacci và dãy Lucas Từ những tính chất có được của

dãy các đa thức, ta có thể nhận được các tính chất mới liên quan đến hai dãy

ban đầu, hoặc từ đó có thể mở rộng sự áp dụng của hai dãy này vào các vấn đềkhoa học khác

Trong luận văn này chúng tôi quan tâm đến những vấn đề có liên quan đến

đa thức Fibonacci và đa thức Lucas Luận văn trình bày lại một kết quả thú vị

về việc biểu diễn các đa thức Fibonacci và đa thức Lucas thông qua các phép

toán về ma trận Một số mối liên hệ giữa đa thức Fibonacci và đa thức Lucas

được chúng tôi trình bày lại Chúng tôi cũng biểu diễn lại các tổng quát hoácho các đa thức Fibonacci và đa thức Lucas lên đến bậc r cũng bằng phương

pháp ma trận

Luận văn được trình bày qua hai chương

Trong Chương 1 chúng tôi nhắc lại định nghĩa, một số ví dụ, các tính chất

của dãy Fibonacci và các đa thức Fibonacci; dãy Lucas và các đa thức Lucas

Các phương pháp về ma trận dùng để nghiên cứu hai dãy này được thể hiệnrất rõ trong Chương 1 Ngoài ra chúng tôi cũng trình bày lại các tiếp cận khác

thông qua công thức Binet hoặc qua các hệ số nhị thức

Trong Chương 2 chúng tôi nghiên cứu một số các mối liên hệ giữa đa thứcFibonacci và đa thức Lucas có trong Chương 1 Chúng tôi cũng trình bày lại

các mở rộng của dãy các đa thức Lucas như dãy 3-Lucas, 4-Lucas và r-Lucas

Các mở rộng này đều được nghiên cứu thông qua phương pháp ma trận

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

Trong chương này chúng tôi trình bày lại về hai dãy số là dãy Fibonacci và

dãy Lucas cùng với các đa thức liên kết với hai dãy này mà ta thường gọi là đa

thức Fibonacci và đa thức Lucas Chúng tôi đề cập đến các vấn đề như côngthức Binet, cách biểu diễn thông qua ma trận và khai triển qua hệ số nhị thức

Các kiến thức này nhằm phục vụ cho các chứng minh của chương sau Tất cả

các kết quả của chương này đều nằm trong các tài liệu tham khảo [1–4]

1.1 Về các số Fibonacci và đa thức Fibonacci

Trước hết chúng tôi nhắc lại về dãy Fibonacci quen thuộc Ta quy ước dãy

dãy số sau đây.

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,

Số hạng tổng quát của dãy số Fibonacci được thể hiện thông qua công thức

được gọi là công thức Binet như sau

Bổ đề 1.1.2 Số hạng tổng quát của dãy Fibonacci được cho bởi công thức

Fn =

 1 +√52

Phương trình đặc trưng (1.3) có hai nghiệm là:

λ1 = 1 +

√5

2 , λ2 =

1 −√5

2 .

Do đó công thức nghiệm tổng quát của Dãy số (1.1) là:

Fn = a1λn1 + a2λn2,trong đó a1, a2 là các hằng số tự do

Ta cũng có mối liên hệ sau giữa các số hạng trong dãy số.

Bổ đề 1.1.3 Cho (Fn) là dãy Fibonacci Khi đó ta có

Fm = Fk+1Fm−k + FkFm−k−1, (1.4)với mọi 1 ≤ k ≤ m

Chứng minh Ta chứng minh bổ đề bằng quy nạp theo k như sau

Từ đó ta có điều phải chứng minh

Nhận xét 1.1.4 i) Công thức trong Bổ để 1.1.3 còn có thể được viết dướidạng

Fm+n = FmFn−1+ Fm+1Fn (1.5)ii) Từ (1.1) ta có biểu diễn

Ma trận Q được gọi là ma trận Fibonacci Khi đó với n ≥ 1 là một sốnguyên dương bất kỳ Ta có

Chứng minh Ta có thể chứng minh công thức (1.7) bằng quy nạp như sau:

Thật vậy, với n = 1, hiển nhiên ta có (1.7) đúng

Do đó ta có điều phải chứng minh

Dãy Fibonacci được mở rộng bằng nhiều cách, chúng tôi nhắc lại về một sự

mở rộng thông qua các đa thức liên kết với dãy các số Fibonacci và gọi là các

ii) Khi x = 1, ta có Fn(1) = Fn là số hạng Fibonacci thứ n Do đó dãyFibonacci là một đặc biệt hoá từ dãy các đa thức Fibonacci.

iii) Khi x = 2, ta có Fn(2) = Pn là số hạng thứ n của dãy số Pell, là dãy sốđược định nghĩa bởi hệ thức truy hồi:

Tương tự như Bổ đề 1.1.2 ta cũng trình bày lại công thức Binet biểu diễn

số hạng tổng quát cho dãy các đa thức Fibonacci

Bổ đề 1.1.8 Cho mọi n ∈ N Khi đó số hạng tổng quát của dãy các đa thứcFibonacci được cho bởi

ii) Ngoài cách mô tả bằng Định nghĩa 1.1.5 và công thức Binet trong Bổ đề

1.1.8, một cách tương tự như Nhận xét 1.1.4 ii) ta cũng có thể xác định các đa

thức Fibonacci Fn(x) bằng phương pháp dùng ma trận thông qua công thứcsau

Thật vậy, với n = 1, hiển nhiên ta có (1.11) đúng.

Suy ra ta có điều phải chứng minh

Ta kiểm tra lại một vài ma trận trong Ví dụ 1.1.7 thông qua biểu diễn ma

Ngoài phương pháp dùng công thức Binet trong Bổ đề 1.1.8 và phương pháp

ma trận như trong Nhận xét 1.1.9 ii), ta có thể xác định công thức số hạng

tổng quát của đa thức Fibonacci thứ n như sau

Mệnh đề 1.1.10 Với mọi n> 1 ta có

Fn(x) =

 n − 12

Giả sử Đẳng thức (1.13) đúng với n = k Khi n = k + 1, trong đó k > 4 tacó

Fk+1(x) = xFk(x) + Fk−1(x)

Theo giả thiết quy nạp ta có

Fk(x) =

 k − 12

Fk−1(x) =

 k − 22



xk−2m−2.Khi đó, ta có

F2t+1(x) =



2t − 1

2



x2t−4+ +



x2t−2+



2t − 31



x2t−4+



2t − 42



x2t−6

+ +



t

m



x2t−2m =

 k2

Một cách tương tự như Nhận xét 1.1.4, chúng ta có khẳng định sau

Mệnh đề 1.1.11 Với mọi n ≥ 1 và m ≥ 0 ta có

Fm+n(x) = Fm+1(x)Fn(x) + Fm(x)Fn−1(x)

1.2 Về các số Lucas và đa thức Lucas

Tiếp theo, chúng tôi giới thiệu lại về dãy Lucas và dãy các đa thức Lucas,

trong đó tương tự như dãy các đa thức Fibonacci, dãy các đa thức Lucas cũng

là một sự mở rộng của dãy Lucas thông thường

Trước hết, chúng tôi nhắc lại về dãy Lucas như sau

Định nghĩa 1.2.1 Dãy Lucas, ký hiệu là (Ln), được định nghĩa bởi công thứctruy hồi sau đây:

Số hạng tổng quát của dãy số Lucas được gọi là công thức Binet và đượccho như sau.

Bổ đề 1.2.2 Cho n > 0, số hạng tổng quát của dãy Lucas được cho bởi côngthức

Phương trình đặc trưng (1.15) có hai nghiệm là:

γ1 = 1 +

√5

2 , γ2 =

1 −√5

2 .

Do đó công thức nghiệm tổng quát của Dãy số (1.14) là:

Ln = t1γ1n+ t2γ2n,trong đó t1, t2 là các hệ số

Các số hạng của dãy Fibonacci và dãy Lucas có một số các tính chất liênquan như sau.

Bổ đề 1.2.3 Cho (Fn) và (Ln) là dãy Fibonacci và dãy Lucas, tương ứng Khi

và

Fn+1 =

 1 +√52

2 )

n−1



1 +√5

2 )

2+ 1



− √15

1 −√5

Fn =

 1 +√52

Nhận xét 1.2.4 Ta cũng có thể xác định dãy Lucas Ln thông qua phươngpháp ma trận Cho

Tương tự như đa thức Fibonacci, là một sự mở rộng của dãy Fibonacci Ta

cũng nhắc lại về các đa thức Lucas, là một mở rộng của dãy Lucas

Định nghĩa 1.2.5 Dãy các đa thức Lucas, ký hiệu là Ln(x), được định nghĩabởi công thức truy hồi sau đây

ii) Khi x = 1, ta có Ln(1) = Ln là số Lucas thứ n Do đó dãy Lucas là mộtđặc biệt hoá từ dãy các đa thức Lucas.

Ví dụ 1.2.7 Ta có một số các đa thức Lucas ban đầu như sau

Tương tự như Bổ đề 1.2.2 ta cũng trình bày lại công thức Binet biểu diễn

số hạng tổng quát cho dãy các đa thức Lucas

Bổ đề 1.2.8 Cho n > 0, số hạng tổng quát của dãy các đa thức Lucas đượccho bởi công thức

Ln(x) = α(x)n+ β(x)n, (1.18)trong đó α(x) = x +

Chứng minh Bằng cách chứng minh tương tự như trong Bổ đề 1.2.2 ta dễ dàng

suy ra điều phải chứng minh

Nhận xét 1.2.9 i) Từ Ví dụ 1.2.7 ta thấy nếu quan sát các đa thức Lucastheo thứ tự giảm dần của bậc của đa thức thì hệ số thứ k (tính từ trái sang)

của đa thức bậc Ln+2(x) bằng tổng của hệ số thứ k của đa thức bậc Ln+1(x)

và hệ số k − 1 của đa thức bậc Ln(x)

ii) Ngoài cách mô tả các đa thức Lucas bằng Định nghĩa 1.2.1 và công thức

Binet trong Bổ đề 1.2.2 ta cũng có thể xác định đa thức Lucas Ln(x) thông quahai ma trận như sau

Mệnh đề 1.2.10 Với mọi n ≥ 1 ta có

det ϕn,2 =

Ln+1(x) Ln(x)

Ln(x) Ln−1(x)