Về đa thức lucas tổng quát và mối quan hệ giữa các đa thức fibonacci với đa thức lucas

Nguyễn Thu Hằng Cô đã tận tình chỉ bảo và hướngdẫn tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hồn thành luận văn tốtnghiệp.Tơi xin gửi lời cảm ơn Ban Giám Hiệu nhà trường, các thầy

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ HẰNG VỀ ĐA THỨC LUCAS TỔNG QUÁT VÀ MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC ĐA THỨC FIBONACCI VỚI ĐA THỨC LUCAS LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8 46 01 13 Thái Nguyên – 2024 i ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ HẰNG VỀ ĐA THỨC LUCAS TỔNG QUÁT VÀ MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC ĐA THỨC FIBONACCI VỚI ĐA THỨC LUCAS LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Nguyễn Thu Hằng Thái Nguyên – 2024 ii Lời cảm ơn Để hoàn thành luận văn cùng với những nỗ lực của bản thân, tôi đã nhận được sự động viên, giúp đỡ của rất nhiều người Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Nguyễn Thu Hằng Cô đã tận tình chỉ bảo và hướng dẫn tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn tốt nghiệp Tôi xin gửi lời cảm ơn Ban Giám Hiệu nhà trường, các thầy cô giáo trong khoa Toán- Tin, Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên đã truyền thụ cho tôi những kiến thức bổ ích và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi để tôi hoàn thành luận văn này Tôi xin cám ơn Ban Giám Hiệu cùng toàn thể các thầy cô đồng nghiệp trường PTDTNT THPT tỉnh Lai Châu nơi tôi công tác đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập, nghiên cứu để tôi có thể tập trung hoàn thiện luận văn đúng tiến độ Cuối cùng tôi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè, anh chị đã động viên giúp đỡ tôi về mọi mặt trong thời gian tôi thực hiện luận văn này Tôi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 25 tháng 01 năm 2024 Học viên Nguyễn Thị Hằng iii Mục lục Lời cảm ơn ii Một số ký hiệu và viết tắt iv Mở đầu 2 Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 3 1.1 Về các số Fibonacci và đa thức Fibonacci 3 1.2 Về các số Lucas và đa thức Lucas 11 Chương 2 Về mối quan hệ giữa các đa thức Fibonacci với đa thức Lucas; Đa thức Lucas tổng quát 21 2.1 Một số liên hệ giữa đa thức Fibonacci và đa thức Lucas 21 2.2 Đa thức r-Lucas tổng quát 24 Kết luận 37 Tài liệu tham khảo 38 iv Một số ký hiệu và viết tắt (Fn)n∈N dãy số Fibonacci đa thức Fibonacci Fn(x) số Pell dãy số Lucas Pn đa thức Lucas đa thức 3-Lucas (Ln)n∈N đa thức 4-Lucas đa thức r-Lucas Ln(x) L∗n(x) tổ hợp chập m của n phần tử L∗n∗(x) Ln(r)(x) định thức của ma trận A  n  m det A 1 Mở đầu Dãy Fibonacci là một dãy số nổi tiếng trong Toán học và có nhiều ứng dụng trong các khoa học khác Dãy Fibonacci được biết đến là một dãy số được cho bằng thuật toán truy hồi: ngoại trừ hai số hạng đầu tiên của dãy, mỗi số hạng sẽ bằng tổng của hai số liền trước nó Dãy này luôn được ký hiệu là (Fn) Các số hạng của dãy Fibonacci còn được gọi là các số Fibonacci Các số Fibonacci lần đầu tiên được mô tả bởi các nhà toán học Ấn Độ vào khoảng 200 năm trước Công nguyên trong công trình của Pingala về việc liệt kê các bài thơ tiếng Phạn được hình thành từ các âm tiết có hai độ dài Dãy Fibonacci chính thức được đặt tên theo tên của nhà toán học người Ý Leonardo, hay còn được gọi là Fibonacci, khi ông giới thiệu dãy số này tại Tây Âu trong cuốn sách năm 1202 của ông tên là Liber Abaci Các số Fibonacci liên quan chặt chẽ đến tỷ lệ vàng Công thức Binet biểu thị số Fibonacci thứ n theo n và tỷ lệ vàng, đồng thời cũng ngụ ý rằng tỷ lệ của hai số Fibonacci liên tiếp có xu hướng tiến về tỷ lệ vàng khi n tăng Các số Fibonacci cũng có liên quan chặt chẽ với các số Lucas, hai dãy số này cùng tuân theo cùng một mối quan hệ truy hồi và cùng với nhau tạo thành một cặp dãy bổ sung cho nhau Do đó, người ta thường nghiên cứu hai dãy này một cách song hành Trong những thập kỷ gần đây, bên cạnh các nghiên cứu về các khía cạnh áp dụng của dãy Fibonacci và dãy Lucas trong chuyên ngành của Toán học 2 như: Lý thuyết nhóm, Giải tích, Đại số tuyến tính, Toán học tính toán hoặc các ngành khoa học khác như: Khoa học máy tính, Vật lý, Sinh học và Xác xuất thống kê Các nhà nghiên cứu còn không ngừng mở rộng các tổng quát hoá cho hai dãy này Một trong các hướng mở rộng hay gặp là nghiên cứu các đa thức có liên kết với dãy Fibonacci và dãy Lucas Từ những tính chất có được của dãy các đa thức, ta có thể nhận được các tính chất mới liên quan đến hai dãy ban đầu, hoặc từ đó có thể mở rộng sự áp dụng của hai dãy này vào các vấn đề khoa học khác Trong luận văn này chúng tôi quan tâm đến những vấn đề có liên quan đến đa thức Fibonacci và đa thức Lucas Luận văn trình bày lại một kết quả thú vị về việc biểu diễn các đa thức Fibonacci và đa thức Lucas thông qua các phép toán về ma trận Một số mối liên hệ giữa đa thức Fibonacci và đa thức Lucas được chúng tôi trình bày lại Chúng tôi cũng biểu diễn lại các tổng quát hoá cho các đa thức Fibonacci và đa thức Lucas lên đến bậc r cũng bằng phương pháp ma trận Luận văn được trình bày qua hai chương Trong Chương 1 chúng tôi nhắc lại định nghĩa, một số ví dụ, các tính chất của dãy Fibonacci và các đa thức Fibonacci; dãy Lucas và các đa thức Lucas Các phương pháp về ma trận dùng để nghiên cứu hai dãy này được thể hiện rất rõ trong Chương 1 Ngoài ra chúng tôi cũng trình bày lại các tiếp cận khác thông qua công thức Binet hoặc qua các hệ số nhị thức Trong Chương 2 chúng tôi nghiên cứu một số các mối liên hệ giữa đa thức Fibonacci và đa thức Lucas có trong Chương 1 Chúng tôi cũng trình bày lại các mở rộng của dãy các đa thức Lucas như dãy 3-Lucas, 4-Lucas và r-Lucas Các mở rộng này đều được nghiên cứu thông qua phương pháp ma trận 3 Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này chúng tôi trình bày lại về hai dãy số là dãy Fibonacci và dãy Lucas cùng với các đa thức liên kết với hai dãy này mà ta thường gọi là đa thức Fibonacci và đa thức Lucas Chúng tôi đề cập đến các vấn đề như công thức Binet, cách biểu diễn thông qua ma trận và khai triển qua hệ số nhị thức Các kiến thức này nhằm phục vụ cho các chứng minh của chương sau Tất cả các kết quả của chương này đều nằm trong các tài liệu tham khảo [1–4] 1.1 Về các số Fibonacci và đa thức Fibonacci Trước hết chúng tôi nhắc lại về dãy Fibonacci quen thuộc Ta quy ước dãy số được ký hiệu là (un) Định nghĩa 1.1.1 Dãy Fibonacci, ký hiệu là (Fn), được định nghĩa bởi công thức truy hồi sau đây:  (1.1) F0 = 0,    F1 = 1,     Fn = Fn−1 + Fn−2, với mọi n ≥ 2 Ta gọi Fn là số hạng thứ n của dãy Fibonacci Nói cách khác dãy Fibonacci là dãy số sau đây 4 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, Số hạng tổng quát của dãy số Fibonacci được thể hiện thông qua công thức được gọi là công thức Binet như sau Bổ đề 1.1.2 Số hạng tổng quát của dãy Fibonacci được cho bởi công thức 1 + √5 n 1 − √5 n − Fn = 2 √ 2 5 (1.2) Chứng minh Từ hệ thức truy hồi (1.1) của dãy Fibonacci ta có Fn − Fn−1 − Fn−2 = 0, với mọi n 2 Do đó ta có phương trình đặc trưng (1.3) λ2 − λ − 1 = 0 Phương trình đặc trưng (1.3) có hai nghiệm là: √ √ 1+ 5 1− 5 λ1 = 2 , λ2 = 2 Do đó công thức nghiệm tổng quát của Dãy số (1.1) là: Fn = a1λ1n + a2λn2 , trong đó a1, a2 là các hằng số tự do Với F0 = 0, F1 = 1 ta có  a1 + a2 = 0, a1λ1 + a2λ2 = 1, hay  1 √ a1 = 5 , a2 15 = −√ Do đó bổ đề được chứng minh 5 Ta cũng có mối liên hệ sau giữa các số hạng trong dãy số Bổ đề 1.1.3 Cho (Fn) là dãy Fibonacci Khi đó ta có Fm = Fk+1Fm−k + FkFm−k−1, (1.4) với mọi 1 ≤ k ≤ m Chứng minh Ta chứng minh bổ đề bằng quy nạp theo k như sau Với k = 1 ta có F2Fm−1 + F1Fm−2 = Fm−1 + Fm−2 = Fm Giả sử Bổ đề đúng với mọi k, tức là Fm = Fk+1Fm−k + FkFm−k−1 Với k + 1 ta có Fk+2Fm−(k+1) + Fk+1Fm−(k+1)−1 = Fk+2Fm−k−1 + Fk+1Fm−k−2 = (Fk+1 + Fk)Fm−k−1 + Fk+1Fm−k−2 = Fk+1(Fm−k−1 + Fm−k−2) + FkFm−k−1 = Fk+1Fm−k + FkFm−k−1 = Fm Từ đó ta có điều phải chứng minh Nhận xét 1.1.4 i) Công thức trong Bổ để 1.1.3 còn có thể được viết dưới dạng Fm+n = FmFn−1 + Fm+1Fn (1.5) ii) Từ (1.1) ta có biểu diễn     1 Fn−1 Fn 1   (1.6)  = 0 Fn−2 Fn−1 1 Đặt    Q= F2 F1 11  =   F1 F0 10