Luận văn bài toán giá trị ban đầu đối với đa thức toán tử khả nghịch phải, khả nghịch suy rộng và ứng dụng (tt)

1 LỜI NÓI ĐẦU Lý thuyết đại số toán tử khả nghịch phải kết nghiên cứu D Przeworska-Rolewicz báo “Algebraic theory of right invertible operators” đăng tạp chí Studia Mathematica, Vol.48 (1973), sau phát triển H von Trotha, Z Binderman, M Tasche, N.V Mậu, W Z Karwowski nhiều nhà toán học khác (xem [3, 6, 7, 10]) Với đời lý thuyết này, ngơn ngữ thống (tốn khả nghịch phải - right invertible operators) tổng quát hóa phương trình vi phân, tích phân, vi – tích phân, phương trình đạo hàm riêng,…thành phương trình tốn tử khả nghịch phải, khả nghịch suy rộng Việc áp dụng lý thuyết đại số toán tử khả nghịch phải khơng cho phép tìm điều kiện đủ, điều kiện cần đủ tồn số phương trình vi – tích phân, sai phân, đạo hàm riêng,… mà cịn mơ tả nghiệm phương trình toán giá trị biên, toán giá trị ban đầu, toán biên toán biên hỗn hợp lớp phương trình dạng biểu thức đại số tường minh Theo hướng này, nước ta từ cuối năm 80 kỷ XX có số nhà tốn học thuộc Trường Đại học Tổng hợp Hà Nội (nay Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội), trường Đại học Sư phạm Hà Nội nghiên cứu nhận số kết đáng kể (xem [1, 4, 9]) Luận văn thạc sĩ chúng tôi, với Đề tài luận văn thạc sĩ “Bài toán giá trị ban đầu đa thức toán tử khả nghịch phải, khả nghịch suy rộng ứng dụng” nghiên cứu với mục đích sử dụng tính chất tốn tử khả nghịch phải, tính chất khả nghịch suy rộng để áp dụng cho việc giải toán giá trị ban đầu đa thức khả nghịch phải khả nghịch suy rộng Luận văn bao gồm: Phần mở đầu, phần kết luận, danh mục tài liệu tham khảo Chương trình bày khái niệm tính chất toán tử khả nghịch phải, khả nghịch suy rộng; khái niện tốn tử ban đầu tính chất chúng làm sở cho viẹc nghiên cứu chương sau Chương luận văn trình bày số kết toán giá trị ban đầu đa thức toán tử khả nghịch phải, khả nghịch suy rộng ứng dụng việc giải phương trình vi phân Chương TỐN TỬ KHẢ NGHỊCH PHẢI VÀ KHẢ NGHỊCH SUY RỘNG Chương trình bày số kết dùng nhiều Chương 2, khái niệm số tính chất tốn tử khả nghịch phải khả nghịch suy rộng 1.1 Toán tử khả nghịch phải khơng gian tuyến tính 1.1.1 Khơng gian tuyến tính tốn tử tuyến tính Giả sử X Y khơng gian tuyến tính trường vô hướng K (K =   ) Ký hiệu L(X Y) tập tất toán tử tuyến tính có miền xác định X nhận giá trị Y Ký hiệu domA, ImA miền xác định tập giá trị toán tử A Đặt L(X): = L(X L0(X Y):= A L(X Toán tử A với Y): domA = X L0(X):= L0(X X), X) L0(X ) gọi toán tử Volterra I - A khả nghịch K Tập hợp tất toán tử Vollterra L0 (X ) ký hiệu V(X) Cho X không gian tuyến tính trường vơ hướng K, ký hiệu X’ khơng gian tất phím hàm tuyến tính xác định X Cho X Y hai khơng gian tuyến tính trường vơ hướng K Khi đó, tốn tử A L(X ( A) x = ( Ax), x dom A, Y) có tương ứng tốn tử H Y Tốn tử A xác định A đựợc gọi toán tử liên hợp A, thường kí hiệu A* Cho X không gian liên hợp tùy ý X Chúng ta xét toán tử A* xác nh cho A xác định ( A* ) = A Khi , tốn tử A L(X , Y) có tương ứng tốn tử A* H L( H Theo cách tồn toán tử liên hợp xác định tập Sau ) ta xem xét toán tử A L0 (X toán tử đuợc ký hiệu L0 ( X đặt L0 ( X , ) := L0 ( X ) Tập hợp Y) cho A* L0 ( H Y, H ) Nếu Y=X , H= ) Y, H 1.1.2 Tốn tử khả nghịch phải tính chất Định nghĩa 1.1.1 Toán tử D L(X) gọi toán tử khả nghịch phải tồn toán tử R L0(X) cho ImR domD DR = I domR, (1.1) với I tốn tử đồng Khi R gọi nghịch đảo phải D Ký hiệu R(X) tập tất toán tử khả nghịch phải L(X), RD tập hợp tất nghịch đảo phải D R(X), ta sử dụng cách viết RD = R = R L0(X) : DR = I, Giả sử x phần tử cố định X D RD x = R x R(X) Khi đó, tập hợp gọi tích phân khơng xác định x Mỗi phần tử R x gọi nguyên hàm x Từ định nghĩa suy ra, y nguyên hàm x Dy = x Thật vậy, tồn cho y = R x , D y = DR x = Ix = x Ký hiệu kerD: = x = domD: Dx = , tập hợp gọi nhân D (cũng gọi không gian số) Mỗi phần tử z kerD gọi số Mệnh đề 1.1.1 Nếu D R(X) R RD Dk Rk = I, k  *= N\ Mệnh đề 1.1.2 Giả sử D R(X) toán tử khả nghịch phải; toán tử R1, R2 RD y1 = R1x, y2 = R2x với x X Khi y1 – y2 kerD Mệnh đề 1.1.2 cho ta khẳng định: Hai nguyên hàm x X sai khác số Do đó, biết ngun hàm tất ngun hàm khác nhận cách cộng thêm số Vì ta có mệnh đề sau: Mệnh đề 1.1.3 Nếu D R(X) R RD tích phân khơng xác định x X có dạng: RD x = Rx + z : z kerD Mệnh đề 1.1.4 Nếu D R(X) R RD domD = RX Định lý 1.1.1 Giả sử D kerD (1.2) R(X) R1 R D Khi đó, tập nghịch đảo phải D xác định RD = R1 + ( I – R1D )A : A Định nghĩa 1.1.2 Toán tử toán tử L domD (1.3) L0(X) gọi khả nghịch trái tồn L(X) cho Im L L0(X), AX domL = I dom (1.4) Khi đó, tốn tử L gọi nghịch đảo trái Ký hiệu (X) tập toán tử khả nghịch trái L(X), L tập tất nghịch đảo trái (X) Ta có: Lk k =I, k=1,2 … 1.1.3 Tốn tử ban đầu tính chất Định nghĩa 1.1.3 Mỗi toán tử F L0(X) gọi toán tử ban đầu D R(X) tương ứng với nghịch đảo phải R RD nếu: (i) F2 = F, FX = kerD, (ii) FR = domR Việc giả định domF=X yếu tố cần thiết Điều đủ để giả định cho vấn đề xem xét domD domF X Từ định nghĩa suy F z = z với z kerD DF = X, kerF = RX kerD ∩ kerF = (*) Thật vậy, theo định nghĩa, Fx kerD với x X, theo DFx=0 Sự tùy ý x suy DF=0 Tính chất FR=0 suy kerF = RX Bây giả sử z kerD Fz=0 Hệ thức (*) suy z = Fz=0 chứng minh kerD ∩ kerF = Định lý 1.1.2 Cho D R(X) Điều kiện cần đủ để F toán tử ban đầu D tương ứng với R L0(X) RD F = I – RD domD (1.5) Hệ 1.1.1 Nếu A L X khả nghịch khơng tồn tốn tử ban đầu khác Như vậy: Tốn tử ban đầu khơng tầm thường tồn toán tử khả nghịch phải mà không khả nghịch Hệ 1.1.2 Mỗi họ RD = R toán tử nghịch đảo phải D R(X) cảm sinh họ FD = F toán tử ban đầu D, xác định F = I – R D, domD (1.6) Định lý 1.1.3 (Công thức Taylor – Gontcharov) Giả sử D R(X) họ toán tử ban đầu D sinh RD = R FD = F Lấy n dãy tuỳ ý số Khi số nguyên dương N thỏa mãn N I=F0 + k R R k – F Trường hợp R R, F N N k k D + R R N -1 DN domDN (1.7) F , N 1, 2, ta có hệ sau: Hệ 1.1.3 (Cơng thức Taylor) Nếu D R(X) F toán tử ban đầu D tương ứng với R RD N I= k k R FD k + RN DN domDN ( N = 1, 2, ) (1.8) Hệ qủa 1.1.4 Nếu giả thiết Định lý 1.1.3 thỏa mãn N kerD = z = z0 + R R k-1 zk : z0 , z1 , zN N k kerD số nguyên dương N Trường hợp R Hệ 1.1.5 Nếu D R F với k=0,1, ,ta có hệ sau: R, F k k R(X) F toán tử ban đầu D tương ứng với RD kerD = z = N N k Rk zk : z0 , z1 , zN kerD , ( N= 1, 2, ) Tính chất 1.1.1 Cho D R(X) FD = F họ toán tử ban đầu D Khi (i) F F = F , , , (ii) F R = R - R , , Tính chất 1.1.2 Với , , vào việc chọn R , toán tử F R - F R khơng phụ thuộc RD Từ tính chất trên, ta có cách viết: I FR FR, , , Khi đó, tốn tử I gọi tốn tử phép lấy tích phân xác định Với x X , phần tử I x gọi tích phân xác định x, số gọi cận dưới, cận tích phân Tính chất 1.1.3 Đối với tùy ý x X, , ta có I x = z , z kerD Nghĩa là, tích phân xác định phần tử tùy ý số Định lý 1.1.4 Giả sử D R(X) F L0(X) phép chiếu lên không gian số Khi F tốn tử ban đầu D tương ứng với nghịch đảo phải R = R1 – FR1, với tùy ý R1 RD Hơn R xác định không phụ thuộc vào cách chọn R1 Tính chất 1.1.4 Nếu D R X , R1 , R2 RD R1 , R2 giao hoán R1 R2 Tính chất 1.1.5 Nếu D R X ; F1 , F2 toán tử ban đầu D F1 , F2 giao hốn F1 F2 Tính chất 1.1.6 Giả sử D R X ; F1 , F2 toán tử ban đầu D tương ứng với R1 , R2 ; R1 R2 F1 F2 ngược lại F1 F2 R2 R1 Định lý 1.1.5 Cho D R(X), F toán tử ban đầu D tương ứng với R RD Khi đó: (i) Tập RD nghịch đảo phải D RD = R + FA : A L0(X) ; (ii) Tập toán tử ban đầu D FD = F( I – AD ) : A L0(X) Định lý 1.1.6 Cho F0, , Fm toán tử ban đầu D R(X) tương m ứng với nghịch đảo phải R0, , Rm Đặt F : = k ak Fk , a0, , am số khơng đồng thời Khi F toán tử ban đầu m D k ak = Nếu điều kiện thỏa mãn tốn tử m ban đầu F tương ứng với nghịch đảo phải R = k ak Rk Tính chất 1.1.7 Giả sử D1 , , Dn R X Fj toán tử ban đầu ứng Dj với Rj RD F Fm Rm Fm 1Dm Rm R2 F1D2 Dm D D1 Dm ứng với nghịch đảo phải R j 1, m tốn tử tốn tử ban đầu Rm R1 D Từ Định lý 1.1.5 Tính chất 1.1.7 suy hệ sau: Hệ 1.1.6 Giả sử giả thiết Tính chất 1.1.7 thỏa mãn F toán tử ban đầu D D1 Dm tương ứng với R R D RD Rm Fm Am R1 F1 A1 : Ai L0 X , FD Fm I Am D Rm Fm Am R2 F2 A2 F1 I A1D1 D2 Dm : Ai L0 X Tính chất 1.1.8 Giả sử F0 , F1 , , Fm toán tử ban đầu D R X p1 , , pm R X tốn tử bảo tồn khơng gian số (tức pk kerD kerD; k 1, m ) Đặt F F0 m pk Fk D k k Khi F tốn tử ban đầu D ứng với nghịch đảo phải m R pk Fk D k R0 k Tính chất 1.1.9 Giả sử A L X Nếu tồn toán tử cho i) và: ; ii) Toán tử xác định domA toán tử chiếu vào kerA; iii) PB=0 tốn tử A khả nghịch phải, P toán tử ban đầu A ứng với nghịch đảo phải B 1.2 Toán tử khả nghịch suy rộng tính chất Mục trình bày khái niệm toán tử khả nghịch suy rộng, toán tử ban đầu phải trái, số tính chất toán tử khả nghịch suy rộng 10 Định nghĩa 1.2.1 (i) Toán tử V suy rộng tồn W L(X) gọi khả nghịch L(X) (gọi nghịch đảo suy rộng V ) cho ImV domW, ImW domV VWV = V domV Ký hiệu W(X) tập hợp tất toán tử khả nghịch suy rộng L(X) WV tập nghịch đảo suy rộng V (ii) Nếu V W(X) WV WVW =W domW W gọi W(X), W hầu nghịch đảo V Tập tất hầu nghịch đảo V ký hiệu Bổ đề 1.2.1 Nếu V domV (1.9) W(X) W = WV(domV) Wv kerV 16 I-BA ( LI-BA , (I –BA) , WBA W I-BA) thỏa mãn: (i) RAB = I + A RBA B, RBA = I + BRABA, (ii) LAB = I + A LBA B, LBA = I + BLABA, (iii) (I –AB) BA) (iv) = I + A(I –BA) = I + B(I –AB) A, WAB = I + A WBA B, WBA = I + BWAB A Chương BÀI TOÁN GIÁ TRỊ BAN ĐẦU B, (I – 17 Chương luận văn trình bày số kết toán giá trị ban đầu đa thức toán tử khả nghịch phải, khả nghịch suy rộng ứng dụng việc giải phương trình vi phân 2.1 Phương trình tốn tử khả nghịch phải bậc 2.1.1 Phương trình bậc dạng Mệnh đề 2.1.1 Giả sử phương trình RD, Mọi nghiệm , có dạng: x=Ry+z, 2.1.2 Phương trình bậc dạng Dx = Ax + y, Mệnh đề 2.1.2 Giả sử ứng với RD i) D – A = D( I – RA ) domD; , , , đó, ta có: FD tương 18 ii) ( D – A )R = I – AR X; iii) D – A = ( I – AR )D – AF domD Định lý 2.1.1 Giả sử có giả thiết Mệnh đề 2.1.2 Khi đó: cho Bây giờ, ta xét phương trình Dx = Ax + y hay ( D – A )x = y, ; , Định nghĩa 2.1.1 Giả sử giả thuyết mệnh đề 2.1.2 thỏa mãn Khi tốn tử I – RA I – AR gọi toán tử giải toán tử D – A Nếu I – RA I – AR khả nghịch ( D – A )x = y, gọi đặt Toán tử được gọi toán tử giải phương trình ( D – A )x = y Nếu khơng khả nghịch phương trình ( D – A )x = y gọi khơng đặt Xét phương trình ( D – A )x = y trường hợp ( I – RA ), ( I – AR ) khả nghịch, có trường hợp sau: 19 - Nếu ( I – RA ) khả nghịch phương trình có nghiệm dạng , - Nếu ( I – AR ) khả nghịch: Từ D – A = ( I – AR ) – AF ta có: ( D – A )x = ( I – AR )Dx – AFx = y Suy ( I – AR )Dx = y + AFx Đặt Suy ta có: ; , nghiệm phụ thuộc số Xét phương trình ( D – A )x = y trường hợp phải khả nghịch phải, xảy ra: khả nghịch 20 - Nếu kí hiệu , nghịch đảo phải I–RA nghiệm phương trình có dạng , - Nếu ngược lại Xét phương trình ( D – A )x = y, trường hợp Gọi nghịch đảo phải I – AR Từ Mệnh đề 2.1.2, ta có: ( D – A )x = y kéo theo I AR Dx AFx y Ax0 y , x0 Fx Suy ra: x R R A y x0 với z1 z2 với z1 ker I AR ; z2 kerD 21 Định lý 2.1.2 Giả sử , Gọi ; tùựy ý đó, tập hợp tập nghiệm phương trình ( D – A )x = y không phụ thuộc vào cách chọn tức với 2.2 Phương trình tốn tử khả nghịch phải bậc cao Mệnh đề 2.2.1 Giả sử , nghiệm phương trình ; dạng: , RD.Khi , , có 22 Định lý 2.2.1 Giả sử , , , RD, xét phương trình Nếu nghiệm phương trình có dạng: Với : 2.3 Bài toán giá trị ban đầu hệ bậc 23 Giả sử (nghĩa D khả nghịch phải , không khả nghịch); với FD toán tử ban đầu D tương ứng RD; toán tử Xét toán giá trị ban đầu hệ bậc dạng Dx = Ax + y, (2.1) Fx = x0, (2.2) Tính giải phương trình khơng xác định đắn trường hợp tốn tử giải khả nghịch phía nghiên cứu A.Pogorzelec, tổng quát N V Mậu giải toán toán tử giải khả nghịch suy rộng Định lý 1.2.6 rằng, toán tử I – RA khả nghịch phải (khả nghịch trái, khả nghịch, khả nghịch suy rộng) tương ứng Do đó, khơng tính tổng qt xét toán với toán tử giải I – RA 24 Định lý 2.3.1 Giả sử , , toán tử , giải I – RA khả nghịch suy rộng Khi tốn giá trị ban đầu (2.1)-(2.2) có nghiệm (2.3) Hơn nữa, điều kiện (2.3) thỏa mãn tập tất nghiệm toán xác định (2.4) Hệ 2.3.1 Giả sử D R X , dim(kerD) , A L0 X điều kiện (2.3) thỏa mãn Khi đó: (i) Nếu I RA R X , RA RI RA tốn giá trị ban đầu (2.1)-(2.2) có nghiệm x RA Ry x0 (ii) Nếu I RA X , LA LI u với u ker I RA RA ; tốn giá trị ban đầu (2.1)- (2.2) có nghiệm dạng x LA Ry x0 ; (iii) Nếu ( I – RA ) khả nghịch tốn giá trị ban đầu (2.1)-(2.2) đặt đắn nghiệm x I RA Ry x0 2.4 Bài toán giá trị ban đầu đa thức tổng quát Định nghĩa 2.4.1 Cho D toán tử khả nghịch phải, F toán tử ban đầu ứng với R RD Bài toán giá trị ban đầu đa thức tổng quát toán tử khả nghịch phải tốn tìm nghiệm phương trình tổng qt dạng: 25 QDx y; y yk , yk kerD , k X thỏa mãn điều kiện ban đầu: FDk x 0, N Nếu tốn có nghiệm ứng với y X tốn gọi đặt đắn (well-posed) ngược lại gọi không đặt đắn (illposed) Định lý 2.4.1 Cho X không gian tuyến tính, D R X ; dim KerD F FD, Khi tốn đầu: DN x y, y FD k x X yk , k 0, N 1, yk kerD có nghiệm x, dạng: N x RN y R k yk k Bổ đề 2.4.1 Q D N m Q I , R DN Qk R m m Với Q t , s k FD m k N tk sN k domD N k Định lý 2.4.2 Đối với toán đầu Q D x FD k x y, y X yk , yk kerD Nếu Q I , R khả nghịch tốn đầu có nghiệm dạng: x RN Q I , R N m N Qk R m y m Nghiệm với y = o; y0 k k y1 R k yk ym k yN x = o 2.5 Bài toán giá trị ban đầu phương trình tốn tử khả nghịch suy rộng Cho V W (X) với dim(kerV) ( nghĩa V khả nghịch suy rộng như- ng không khả nghịch); F ( r ) , F (l ) toán tử ban đầu phải, trái V tương ứng với W Wv1 Giả sử A L0(X ) thỏa mãn A(domV) ImV Xét toán ban đầu 26 Vx=Ax+y, y X (2.11) F (r ) x (2.12) ker V x0 , x0 Định nghĩa 2.5.1 Bài toán (2.11) – (2.12) gọi đặt đắn có nghiệm y X , x0 ker V Trái lại, toán (2.11) – (2.12) gọi không đặt đắn tồn y X x0 ker V cho toán khơng có nghiệm, tốn tương ứng có nghiệm khơng tầm thường Bổ đề 2.5.1 Bài tốn (2.11) – (2.12) có nghiệm Wy= x0 (I-WA)Xy Xy xác định Xy= x domV:F(l ) (Ax=y)=0 , y X (2.13) Định lý 2.5.1 Giả sử y X x0 ker V điều kiện (2.8) thỏa mãn Khi đó, toán (2.11) – (2.12) đặt đắn toán tử giải I-WA khả nghịch Hơn , tốn đặt đắn nghiệm có dạng X=(I – WA) (Wy+ x0 ) 27 KẾT LUẬN Luận văn “Bài toán giá trị ban đầu đa thức toán tử khả nghịch phải, khả nghịch suy rộng ứng dụng” tập trung nghiên cứu số vấn đề sau: Hệ thống hóa kết toán tử khả nghịch phải khả nghịch suy rộng Xét toán giá trị ban đầu đa thức toán tử khả nghịch phải, khả nghịch suy rộng ứng dụng việc giải phương trình vi phân 28 29 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phạm Quang Hưng (1995)– Luận án tiến sỹ, Bài toán nội suy tổng quát toán biên lớp toán tử khả nghịch phải, Đại học tổng hợp Hà Nội [2] Hoàng Văn Thi (1996) – Luận án tiến sỹ, Về tính điều khiển hệ mơ tả tốn tử khả nghịch phải khả nghịch suy rộng [3] Z Binderman (1993), “Application of sequential shifts to an interpolation problem”, Collect Math No 44, P.47- 57 [4] V N Mau (1992), Boundary value problems and controllability 0f linear systems with right invertible operators, Disertationes Math, CCCXVI, Warszawa [5] W Z Karwowski and D Przeworska – Rolewicz (1992), “Linear boundary value problems for polynomials in right invertible operators”, Demonstratio Math , Vol 25, pp 325-340 [6] D Przeworska – Rolewicz (1973), “Algebraic theory of right invertible operators”, Studia Math , Vol 48, pp 129-143 [7] D Przeworska – Rolewiez (1988), Algebraic Analysis, PWN and Reidel, Warszawa – Dordecht [8] D Przeworska – Rolewiez and S Rolewicz (1968), Equations in Linear Spaces, Monografie Mat 47, PWN- Polish Scientific Publishers, Warszawa [9] N D Quyet (1978), “On linear systems described by right invertible operators acting in a linear space”, Control and Cybernetics, Vol 7, pp 33-45 [10] H von Trotha (1977), “Structure properties of D-R spaces”, Preprint No.102, Institute of Mathematics, Polish Acad Sci., Warszawa 30