Luận văn hàm véctơ lồi và ứng dụng (tt)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC NGUYỄN VĂN SƠN HÀM VÉCTƠ LỒI VÀ ỨNG DỤNG Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60 46 01 02 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THANH HĨA, NĂM 2016 Luận văn hoàn thành trường Đại học Hồng Đức Người hướng dẫn: GS.TSKH Nguyễn Xuân Tấn Phản biện 1: PGS TS Nguyễn Minh Tuấn Phản biện 2: TS Mai Xuân Thảo Luận văn bảo vệ Hội đồng chấm luận văn Thạc sĩ khoa học Tại: Vào hồi: ngày tháng năm 2016 Có thể tìm hiểu luận văn Thư viện trường, Bộ mơn Giải tích Trường Đại học Hồng Đức MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong thực tế sống nhiều vấn đề đưa việc xét tốn dạng: Tìm x0 ∈ D cho f (x0 ) ≤ f (x), ∀x ∈ D Trong đó, D tập tập f : D → R hàm số thực Ta kí hiệu toán f (x0 ) = f (x) x∈D (1) gọi tốn tối ưu Bài tốn đóng vai trị trọng tâm lý thuyết tối ưu có tốn liên quan toán bất đẳng thức biến phân, toán cân bằng, toán minimax, toán điểm yên ngựa, Trong trường hợp f hàm số khả vi tốn (1) gọi tối ưu khả vi hay tối ưu trơn Trong trường hợp ngược lại, toán (1) gọi tối ưu khơng trơn Đối với tối ưu trơn ta có điều kiện cần đủ cấp cấp 2, có phương pháp giải phương pháp Newton nhiều phương pháp khác Trong chục năm qua nhiều nhà toán học giới quan tâm nghiên cứu, tìm phương pháp giải tốn tối ưu khơng trơn Năm 1947, nhà tốn học người Mỹ, Danzig, tìm phương pháp đơn hình để giải tốn quy hoạch tuyến tính: f hàm tuyến tính, D đa diện lồi Năm 1960 đến 1970, nhà toán học Mỹ, Rockafellar, đưa khái niệm vi phân hàm lồi từ hình thành mơn Giải tích lồi để giải quy hoạch nói Những năm 1980 nhà tốn học Mỹ, Clarke, đưa khái niệm vi phân hàm Lipschitz địa phương xây dựng nên mơn Giải tích Lipschitz Nhiều nhà toán học khác J P Penot, Urruty, Mordukhovich, Nguyễn Văn Hiền, Strodiot, đưa khái niệm vi phân để giải toán (1) trường hợp khác Đặc biệt Đinh Thế Lục Jeykumar, năm 1990 - 2010, đưa khái niệm Jacobian xấp xỉ để giải toán trường hợp tổng quát: f hàm liên tục D tập đóng Tiếp theo người ta cần phát triển toán (1) trường hợp f từ tập D vào không gian véctơ khác Để phát triển toán tối ưu, người ta cần quan hệ thứ tự, tương đương với điều kiện có nón khơng gian Từ thứ tự người ta phát biểu toán tối ưu khác tối ưu lý tưởng, tối ưu Pareto, tối ưu thực sự, tối ưu yếu Từ hình thành nên môn học mới: Tối ưu véctơ, cơng cụ để giải tốn tối ưu véctơ Hơn thế, người ta cịn nghiên cứu tốn trường hợp f ánh xạ đa trị Nội dung mơn lý thuyết giải tốn phong phú, hấp dẫn có nhiều ứng dụng thực tế Chính vậy, tơi chọn đề tài cho luận văn thạc sĩ là: "Hàm véctơ lồi ứng dụng" Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu đề tài hàm véctơ lồi, tính chất hàm véctơ lồi ứng dụng việc giải tốn tối ưu đa mục tiêu xây dựng từ thực tiễn Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu hàm véctơ lồi Phạm vi nghiên cứu ứng dụng hàm véctơ lồi việc giải tốn tối ưu khơng trơn Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu qua giáo trình giải tích lồi để tổng hợp nội dung giải tích lồi ứng dụng giải tích lồi vơ hương Tổng hợp từ báo ngồi nước kết tìm ứng dụng hàm véctơ lồi Sau tổng hợp với phát thân hồn thành luận văn Dự kiến đóng góp luận văn Trong thực tế ta thường gặp tốn qui dạng tìm cực tiểu hàm số hàm véctơ lồi Sử dụng kiến thức trình bày luận văn tìm thuật tốn để giải nghiệm Bố cục luận văn Ngoài phần mở đầu, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo, luận văn gồm hai chương: Chương Cơ sở giải tích lồi trình bày số khái niệm kết tài liệu [2] tính chất giải tích lồi tập lồi, hàm lồi, tính chất liên tục, tính Lipschitz, hàm liên hợp, tính khả vi phân hàm lồi ứng dụng tốn tối ưu lồi vơ hướng Chương Hàm véctơ lồi ứng dụng nội dung luận văn, trình bày mở rộng cho tính chất, kết hàm lồi vơ hướng cho hàm véctơ lồi theo nón khái niệm nón, điểm hữu hiệu, tính liên tục theo nón, tính lồi, vi phân, hàm liên hợp, đặc trưng số ứng dụng vi phân vào toán tối ưu véctơ lồi Chương CƠ SỞ GIẢI TÍCH LỒI 1.1 Tập lồi Mục trình bày định nghĩa bản: Đường thẳng nối hai điểm a, b Rn , tập lồi, siêu phẳng, nửa không gian trên, nửa không gian dưới, bao lồi, bao lồi đóng, nón quan hệ thứ tự nón, định lý tách Định nghĩa 1.1.1 Cho tập A, B ⊂ Rn Ta nói phiếm hàm tuyến tính liên tục f 6= tách A B, tồn số α cho hf, yi ≤ α ≤ hf, xi , ∀x ∈ A, ∀y ∈ B (1.1) Nếu bất đẳng thức (1.1) thực sự, tức là, hf, yi < α < hf, xi , ∀x ∈ A, ∀y ∈ B, ta nói f tách chặt A B Siêu phẳng H = {x ∈ Rn : hf, xi = α} gọi siêu phẳng tách A B Các tập A, B gọi tách Phần chứng minh kết sau tìm thấy [2] Định lí 1.1.2 (Định lí tách thứ nhất) Cho A B tập lồi Rn , A∩ B = ∅ Khi đó, tồn phiếm hàm tuyến tính liên tục f 6= 0, f ∈ Rn tách A B Hệ 1.1.3 Cho A, B tập lồi Rn Khi đó, A, B tách (intA) ∩ B = ∅ Định lí 1.1.4 (Định lí tách thứ hai) Cho A, B hai tập lồi đóng khác rỗng cho A ∩ B = ∅ Giả sử có hai tập compact Khi đó, hai tập tách mạnh siêu phẳng 1.2 Hàm lồi Trong mục ta đưa số tính chất hàm số liên quan tới cấu trúc đại số cấu trúc tơpơ Trình bày định nghĩa hàm lồi khái niệm liên quan như: miền hữu hiệu, đồ thị, tập mức, hành thường, 1.2.1 Tính liên tục Định nghĩa 1.2.1 i) Bao đóng hàm f hàm, kí hiệu clf, có đồ thị epi cl f = epif ; ii) Bao lồi đóng hàm f hàm, kí hiệu cof, có đồ thị epi(cof ) = coepif ; iii) Hàm f gọi đóng epif tập đóng Rn × R Chú ý 1.2.2 Định lí sau cho ta điều kiện để hàm lồi liên tục Định lí 1.2.3 ([2]) Cho f hàm lồi thường Rn khẳng định sau tương đương i) f bị chặn lân cận x0 ∈ Rn ; ii) f liên tục x0 ; iii) int(epif ) 6= ∅; vi) int(domf ) 6= ∅ f liên tục int(domf ) đồng thời int(epif ) = {(x, a) ∈ Rn × R : x ∈ int(domf ), f (x) < α} 1.2.2 Tính Lipschitz Tính Lipschitz hàm đóng vai trị quan trọng việc nghiên cứu tốn tối ưu Trước tiên, ta đưa số khái niệm sau Định nghĩa 1.2.4 Hàm f : D ⊂ Rn → R gọi Lipschitz D tồn số L ≥ cho kf (x) − f (y)k ≤ Lkx − yk, ∀x, y ∈ D L gọi số Lipschitz Hàm f gọi Lipschitz địa phương điểm x ¯ ∈ D tồn lân cận U x ¯ để f Lipschitz U ∩ D Hàm f gọi Lipschitz địa phương tập D ⊂ Rn Lipschitz địa phương điểm thuộc D Định lí 1.2.5 Giả sử f hàm lồi thường Rn bị chặn lân cận điểm thuộc tập mở D ⊂ domf Khi đó, f Lipschitz địa phương tập D Hệ 1.2.6 Giả sử f : D → R hàm lồi liên tục x0 thuộc tập lồi mở D Khi đó, f Lipschitz địa phương D 1.3 Hàm liên hợp Hàm liên hợp có vai trị quan trọng lý thuyết tối ưu, đặc biệt lý thuyết đối ngẫu Trong phần này, trước hết giới thiệu định nghĩa đưa ví dụ minh họa cho hàm liên hợp Tiếp đến khảo sát số tính chất quy tắc cho việc tính tốn với hàm liên hợp 1.3.1 Phép biến đổi Young - Fenchel Ta cho tương ứng hàm cho trước với hàm lồi sau: Định nghĩa 1.3.1 Phép biến đổi Young - Fenchel hàm f hay hàm liên hợp với f xác định Rn f ∗ (x∗ ) = sup {hx∗ , xi − f (x)} (1.2) x∈X Mệnh đề 1.3.2 f ∗ hàm lồi đóng Nhận xét Từ Định nghĩa 1.3.1 ta có f (x) + f ∗ (x∗ ) ≥ hx∗ , xi , ∀x, x∗ ∈ Rn (1.3) Bất đẳng thức (1.3) gọi bất đẳng thức Young - Fenchel 1.3.2 Tính chất hàm liên hợp Mệnh đề 1.3.3 Với hàm ta có f ∗∗ ≤ f Định lí 1.3.4 Giả sử f hàm đóng, lồi, thường Rn Khi đó, f ∗ hàm lồi thường Định lí 1.3.5 (Định lí Frenchel - Moreau) [2] Giả sử Rn không gian lồi địa phương Hausdorff, f : Rn → (−∞, +∞] Khi đó, f = f ∗∗ ⇔ f lồi đóng Hệ 1.3.6 Giả sử f hàm lồi thường đóng Rn Khi đó, f (x) = sup {h (x) : h − affine liên tục, h ≤ f} Hệ 1.3.7 Giả sử cof hàm thường Khi đó, f ∗∗ = cof Hệ 1.3.8 Giả sử cof hàm thường Khi đó, f ∗ = (cof )∗ 1.4 Dưới vi phân Tính khả vi phân hàm lồi đóng vai trị quan trọng toán tối ¯ , |f (x)| < +∞ ưu, phương pháp tối ưu Cho D ⊂ Rn , f : D → R Ta biết trường hợp f khả vi x0 ∈ domf, lân cận x0 , f xấp xỉ cách tốt đạo hàm Hàm lồi, nói chung khơng khả vi, ta phải tìm cách tiếp cận khác Định nghĩa 1.4.1 Đạo hàm f theo phương d x0 ∈ Rn , kí hiệu f (x0 , d), định nghĩa f (x0 + λd) − f (x0 ) , λ→0 λ f (x0 , d) = lim giới hạn tồn (có thể hữu hạn ±∞) Định nghĩa 1.4.2 Cho f : Rn → R hàm lồi ξ ∈ Rn gradient f x ∈ Rn f (x + δ) ≥ f (x) + δ T ξ, ∀x, δ ∈ Rn Định nghĩa 1.4.3 Tập tất gradient f x gọi vi phân hàm f x, kí hiệu ∂f (x), tức là, ∂f (x) = {ξ : f (x + δ) ≥ f (x) + δ T ξ, ∀x, δ ∈ Rn } Định nghĩa 1.4.4 Cho D tập lồi không rỗng Rn x0 ∈ D Hướng d gọi hướng chấp nhận D x0 tồn số λ > cho x0 + λd ∈ D Tập hợp tất hướng chấp nhận D x0 kí hiệu T (D, x0 ) Định nghĩa 1.4.5 i) Tập K ⊂ Rn gọi nón có đỉnh ∀x ∈ K, ∀λ > λx ∈ K ; ii) Tập K gọi nón có đỉnh x0 K − x0 nón có đỉnh 0; iii) Nón K có đỉnh gọi nón lồi ∀x, y ∈ K, ∀α, β > : αx + βy ∈ K ; iv) Nếu K lồi đóng gọi nón lồi đóng; v) Giao tất nón lồi có đỉnh chứa tập A điểm nón lồi gọi nón lồi sinh A kí hiệu KA Mệnh đề 1.4.6 Tại x ∈ D ta có T (D, x) nón lồi Định lí 1.4.7 1) Cho f1 , f2 hàm lồi thường Rn Khi đó, ∂f1 (x) + ∂f2 (x) ⊆ ∂f (f1 + f2 ) (x) , ∀x ∈ Rn ; 2) Nếu x0 ∈ domf1 ∩ domf2 hai hàm liên tục ∂f1 (x) + ∂f2 (x) = ∂f (f1 + f2 ) (x) , ∀x ∈ Rn Chú ý 1.4.8 Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh Định lí 1.4.7 trường hợp tổng quát Cho f1 , f2 , , fm hàm lồi thường Rn Khi đó, i) Với x ∈ Rn , ∂f1 (x) + ∂f2 (x) + + ∂fm (x) ⊆ ∂f (f1 + f2 + + fm ) (x) ; ii) Nếu x ∈ m T domfi tất hàm fi
i = 1, m liên tục (có thể i=1 trừ hàm) ∂f1 (x) + ∂f2 (x) + + ∂fm (x) = ∂f (f1 + f2 + + fm ) (x) Định lí 1.4.9 (Định lí giá trị trung bình) Cho [x, y] đoạn thẳng tập mở mà hàm f hàm lồi Khi đó, tồn u ∈ (x, y) cho f (y) − f (x) ∈ {ξ(y − x) | ξ ∈ ∂f (u)} 12 Mối quan hệ hàm lồi vô hướng hàm véctơ lồi trình bày bổ đề sau Bổ đề 2.3.1 ([5], lemma 2.1) Giả sử nón thứ tự C ⊂ Rm đóng lồi Cho f hàm véctơ từ tập lồi khác rỗng D ⊂ Rn vào Rm Khi đó: i) f hàm lồi nón C ξf lồi với ξ ∈ C \{0}; ii) Giả sử intC 6= ∅, f lồi ngặt nón C ξf lồi ngặt, với ξ ∈ C \{0} Tập mức hàm véctơ f : D ⊂ Rn −→ Rm a ∈ Rm nón C , kí hiệu leva f xác định sau leva f := {x ∈ D| f (x)≺ a} Định lí 2.3.2 Cho f hàm véctơ lồi đóng từ tập lồi khơng rỗng D ⊂ Rn vào Rm Khi đó, f liên tục liên tục theo đoạn thẳng đóng chứa D Ta lưu ý rằng, định lí mở rộng cho trường hợp véctơ 2.4 Dưới vi phân hàm véctơ lồi Trong mục giả sử nón thứ tự C ⊆ Rm lồi, đóng nhọn Chúng ta khảo sát tính chất đạo hàm theo hướng hàm véctơ lồi, đặc biệt mối quan hệ với vi phân Để trình bày lại cách xác định nghĩa khái niệm đạo hàm theo hướng cho trường hợp hàm véctơ lồi Trong mục ta giả thiết C ⊆ Rm nón lồi, đóng, nhọn Hàm f hàm lồi từ tập lồi không rỗng D ⊆ Rn Định nghĩa 2.4.1 Dưới vi phân f x0 ∈ D tập ∂f (x0 ) := {A ∈ L(Rn , Rm ) : f (x) − f (x0 )A(x − x0 ), ∀x ∈ D} L(Rn , Rm ) không gian hàm tuyến tính liên tục từ Rn vào Rm coi khơng gian ma trận (m × n) Tiếp theo, ta khảo sát mối quan hệ vi phân Jacobian suy rộng hàm véctơ lồi Cho f hàm véctơ lồi từ tập D ⊆ Rn vào Rm lồi với phần khác rỗng cho x ∈ Rm Ta có f Lipschitz x Khi đó, theo Định lí Rademacher, f khả vi hầu khắp nơi 13 lân cận x Jacobian suy rộng Jf (x) f x theo nghĩa Clarke định nghĩa bao lồi ma trận (m × n) giới hạn dãy có dạng {Df (xi )}i Trong đó, {xi }i hội tụ tới x ma trận Jacobian cổ điển Df (xi ) f xi tồn Hiển nhiên rằng, m = ta ln có đẳng thức ∂f (x) = Jf (x), với x ∈ intD Với m > điều nói chung khơng Tuy nhiên trường hợp này, bao hàm thức Jf (x) ⊆ ∂f (x), (∀x ∈ intD) Bổ đề 2.4.2 Với ∀x ∈ D,∂f (x) tập lồi, đóng Bổ đề 2.4.3 Với x ∈ intD Nếu f khả vi x Df (x) ∈ ∂f (x) Cho F ánh xạ đa trị từ tập không rỗng D ⊆ Rn vào L(Rn , Rm ) Ta nhắc lại rằng, đồ thị F kí hiệu graphF , định nghĩa tập graphF := {(x, A) ∈ D × L(Rn , Rm ) : A ∈ F (x)} Ánh xạ đa trị F gọi đóng điểm x ∈ D với dãy {(xi , Ai )}i ⊆ graphF cho xi → x, Ai → A, với A ∈ L(Rn , Rm ) đó, A ∈ F (x) Bổ đề 2.4.4 Ánh xạ đa trị vi phân ∂f (x)là đóng điểm mà f liên tục Định lí 2.4.5 Cho f hàm véctơ lồi từ tập lồi không rỗng D ⊆ Rn vào Rm với intD 6= ∅ cho x ∈ intD tuỳ ý Khi đó, Jf (x ) ⊆ ∂f (x), x ∈ intD Ta ý rằng, không giống trường hợp vô hướng, bao hàm thức Định lí 2.4.5 nói chung chặt Chẳng hạn, cho f1 (x) = f2 (x) := |x| , x ∈ R Khi đó, hàm véctơ f = (f1 , f2 ) lồi nón thứ tự R2+ Bằng tính tốn đơn giản, ta có ∂f (0) = ∂f1 (0) × ∂f2 (0) = [−1, 1] × [−1, 1] đó, Jf (0 ) = [(−1, −1) , (1, 1)] Ở đây, [(−1, −1) , (1, 1)] đoạn thẳng với hai điểm mút (−1, −1) , (1, 1) 14 Hệ 2.4.6 Cho f hàm véctơ lồi từ tập lồi không rỗng D ⊆ Rn vào Rm với intD 6= ∅ cho x ∈ intD Khi đó, ξ∂f (x ) = ξJf (x), (∀ξ ∈ C ) (Tức là, hình chiếu ∂f (x ) Jf (x ) lên hướng ξ ∈ C trùng nhau) Cho f hàm véctơ lồi từ tập lồi không rỗng D ⊆ Rn vào Rm Từ định nghĩa vi phân ta có λ (∂f ) (x) = λ∂f (x), (λ > 0, x ∈ D) Trường hợp λ = 0, đẳng thức x ∈ intD f khả vi phân x Bây giờ, ta lấy hình chiếu f (∂f ) (x) theo hướng ξ ∈ C Khi đó, câu hỏi đặt vi phân hình chiếu f có trùng với hình chiếu vi phân f hay không? Định lí trả lời câu hỏi theo hướng khẳng định đóng vai trị quan trọng phát triển sau lý thuyết vi phân hàm véctơ lồi Định lí 2.4.7 Cho f hàm véctơ lồi từ tập lồi không rỗng D ⊆ Rn vào Rm cho x ∈ D, ξ ∈ C Nếu điều kiện sau thoả mãn 1) intD 6= ∅, x ∈ intD; 2) intD = ∅, x ∈ riD, ξ 6= ∂ (ξ ◦ f ) (x ) = ξ∂f (x) Có thể thấy intD 6= ∅ x ∈ / intD, (2.4.7) nói chung không Chẳng hạn, cho f hàm lồi tuỳ ý từ [0, 1] ⊆ R vào R Lấy ξ = 0, x = Khi đó, ∂(ξ ◦ f )(x) = (−∞, 0] khi, ξ∂f (x) ⊆ {0} Ở đây, x = ∈ / int[0, 1] Nếu intD = ∅, x ∈ riD ξ = 0, (2.4.7) nói chung khơng Ví dụ, cho D = [(−1, 0), (1, 0)] ⊆ R2 Xét hàm f : x ∈ D ⊆ R2 → ∈ R Cho ξ = 0, ta ξ∂f (0) = {0} Trong khi, ∂(ξ ◦ f )(0) = {(0, t) : t ∈ R} Ý nghĩa quan trọng cơng thức (2.4.7) chỗ nhờ mà ta khảo sát tính chất hình chiếu ∂f hướng ξ ∈ C 15 (như vi phân hàm lồi vô hướng), thông tin thu phản ánh tính chất định ∂f , phản ánh tính chất hàm véctơ f 2.5 Hàm liên hợp hàm véctơ lồi Giả sử F ánh xạ đa trị từ không gian định chuẩn hữu hạn chiều Rn vào Rm F gọi lồi (tương ứng đóng) nón C epiF lồi (tương ứng đóng) Rn × Rm Đơi hàm véctơ f : D ⊆ Rn → Rm đồng với ánh xạ đa trị n F (x) = {f (x)} , x ∈ D, ∅, x∈ / D Phần ta mở rộng Định lí Fenchel- Moreau cho trường hợp véctơ Định nghĩa 2.5.1 Giả sử domF 6= ∅ Ánh xạ liên hợp F , ký hiệu F ∗ , ánh xạ đa trị từ L(Rn , Rm ) tới Rm , xác định F ∗ (A) = Sup ∪ n [A (x) − F (x)] , ∀A ∈ L (Rn , Rm ) x∈R Trong đó, L(Rn , Rm ) khơng gian ánh xạ tuyến tính liên tục từ Rn vào Rm Định nghĩa 2.5.2 Giả sử F ánh xạ đa trị từ Rn đến Rm , domF ∗ 6= ∅ Ánh xạ liên hợp cấp hai F , ký hiệu F ∗∗ , ánh xạ đa trị từ Rn vào Rm , xác định F ∗∗ (x) = Sup ∪ A∈L(Rn ,Rm ) [A (x) − F ∗ (A)] , ∀x ∈ Rn Định lí 2.5.3 (Định lí Fenchel-Moreau mở rộng) Nếu f hàm véctơ từ tập lồi khác rỗng D ⊆ Rn tới Rm Thì f lồi, đóng f = f ∗∗ Khi m = C = R+ , định lí Định lí Fenchel – Moreau tiếng giải tích lồi 2.6 Các đặc trưng hàm véctơ lồi Cũng trường hợp hàm lồi vô hướng, ta số đặc trưng hàm lồi véctơ 16 2.6.1 Đặc trưng cấp hàm véctơ lồi Đặc trưng tính lồi hàm vơ hướng qua tính đơn điệu đạo hàm theo hướng kết sau Bổ đề 2.6.1 ([4]) Cho ∅ hàm nửa liên tục từ tập lồi khác rỗng D ⊆ Rn đến R Giả sử φ0 (x, v) tồn với x ∈ D, v ∈ T0 (D, x) Khi đó, φ lồi (lồi ngặt) φ0 (., ) đơn điệu (đơn điệu ngặt) theo nghĩa cổ điển Bổ đề 2.6.2 Nếu hàm véctơ f : D ⊂ Rn → Rm nửa liên tục nón C , ξf nửa liên tục với ξ ∈ C Định lí 2.6.3 Giả sử nón thứ tự C ⊆ Rm đóng lồi Cho f hàm véctơ nửa liên tục từ tập lồi khác rỗng D ⊆ Rn đến Rm Giả sử f (x, v) tồn với x ∈ D, v ∈ T0 (D, x) Khi đó, f lồi (lồi ngặt) f (., ) đơn điệu (đơn điệu ngặt) Từ Định lí 2.6.3 định nghĩa ta có kết sau đây, tổng qt hố cho kết tiếng giải tích lồi Hệ 2.6.4 Giả sử nón thứ tự C ⊂ Rm đóng lồi Cho f hàm véctơ từ tập lồi mở khác rỗng D ⊂ Rn đến Rm Giả sử f nửa liên tục khả vi Gâteaux D Khi đó, f lồi (lồi ngặt) DG f đơn điệu (đơn điệu ngặt) 2.6.2 Đặc trưng cấp hàm véctơ lồi Cho Rn , Rm không gian định chuẩn L(Rn , Rm ) khơng gian ánh xạ tuyến tính liên tục từ Rn vào Rm Chuẩn L(Rn , Rm ) định nghĩa sau: A ∈ L(Rn , Rm ), kAk := sup{kA(x)k | x ∈ Rn , kxk 1} Lấy A ∈ L(Rn , L(Rn , Rm )) Với x, y ∈ Rn , ta kí hiệu A(x, y) := [A(x)](y) Định nghĩa 2.6.5 Ta nói ánh xạ A ∈ L(Rn , L(Rn , Rm )) C− xác định không âm, A(x, x) ∈ C, ∀x ∈ Rn 17 Cho D ⊂ Rn tập khác rỗng Một toán tử F : D → L(Rn , L(Rn , Rm ) gọi C− xác định không âm F (x) C− xác định không âm với x ∈ D Ta thấy m = C = R+ , A C− xác định ma trận biểu diễn A xác định khơng âm theo nghĩa thơng thường Định lí 2.6.6 Giả sử nón thứ tự C ⊂ Rm đóng lồi Giả sử D ⊂ Rn tập mở, lồi khác rỗng Cho F : D → L(Rn , Rm ) ánh xạ khả vi liên tục Khi đó, F đơn điệu nón C toán tử đạo hàm DF (x) C− xác định khơng âm Định lí 2.6.7 Giả sử nón thứ tự C ⊂ Rm đóng lồi Giả sử D ⊂ Rn tập mở, lồi khác rỗng Cho f : D → Rm hàm véctơ khả vi liên tục hai lần Khi đó, f lồi D2 f C− xác định khơng âm (trong đó, D2 f kí hiệu ánh xạ đạo hàm bậc hai f D) Chứng minh Theo Hệ 2.6.4 Định lí 2.6.6, ta có f lồi ⇔ Df đơn điệu ⇔ D2 f C-xác định Từ Định lí 2.6.7 từ ý sau Định nghĩa 2.6.5 ta có kết cổ điển tiếng sau Hệ 2.6.8 Giả sử nón thứ tự C ⊂ Rm đóng lồi Giả sử D ⊂ Rn tập mở, lồi khác rỗng Cho f : D → Rm hàm khả vi liên tục hai lần Khi đó, f lồi ma trận Hessian Hf (x) f x ∈ D nửa xác định dương 2.7 Ánh xạ lùi xa Tiếp theo ta khảo sát hướng theo hàm véctơ lồi cho trước khơng tăng Trong phần cịn lại ta giả thiết nón thứ tự C ⊆ Rm lồi, đóng nhọn, với intC 6= ∅ Định nghĩa 2.7.1 Nón lùi xa tập lồi A không gian véctơ thực Rn xác định tập A∞ := {u ∈ Rn |x + tu ∈ A, ∀x ∈ A, t ≥ 0} 18 Định nghĩa 2.7.2 Ánh xạ lùi xa f , xác định n M inSx , Sx 6= ∅, f∞ (x) := ∅ , S = ∅ x Mệnh đề 2.7.3 Giả sử nón C đóng, lồi nhọn Cho f hàm véctơ từ tập lồi khác rỗng D ⊆ Rn vào Rm Khi đó, dom f∞ = { x ∈ Rn | Sx 6= ∅} f∞ (x) = Sup { f (y + x) − f (y)| y ∈ D} , ∀x ∈ dom f∞ Ví dụ 2.7.4 Cho R2 thứ tự nón Octhant dương R2+ cho f : (0, +∞) → R2 , x 7−→ f (x) = (x, x + 21 ) Khi đó, f lồi R2 hàm thành phần lồi vô hướng (trên (0, +∞)) Từ tính tốn ta có (epif )∞ = {(x, u1 , u2 ) ∈ R3 |x ≥ 0, u1 ≥ x, u2 ≥ x} Từ ta có Sx = {u = (u1 , u2 ) ∈ R2 |(x, u) ∈ (epif )∞ } n {(u1 , u2 )|u1 ≥ x, u2 ≥ x}, x ≥ 0, = ∅ , x < Do đó, theo định nghĩa ánh xạ lùi xa n n M inSx , x ≥ 0, = {(x, x)}, f∞ (x) = ∅ , x < ∅, x ≥ 0, x < Ta ý theo công thức Mệnh đề 2.7.3, ta có f∞ (0) = {0} Từ Định nghĩa 2.7.2 ta thấy ánh xạ lùi xa hàm véctơ lồi có cấu trúc tập giá trị Để nghiên cứu nhiều cần thêm số khái niệm ánh xạ tập giá trị Cho F ánh xạ tập giá trị từ Rn vào Rm Ta định nghĩa đồ thị F nón C tập epi F := { (x, u) ∈ Rn × Rm | u ∈ F (x) + C} F gọi lồi (đóng) epiF lồi (đóng) F gọi dương F (λx) = λF (x) , ∀x ∈ dom F, λ ≥ 19 Trong phần cịn lại phần này, nón thứ tự C ln giả thiết lồi, đóng nhọn Mệnh đề 2.7.5 Cho f hàm véctơ lồi từ tập D ⊆ Rn vào D ⊆ Rm Khi đó, epi(f∞ ) = (epif )∞ 2.8 2.8.1 Một số ứng dụng vào toán tối ưu véctơ lồi Bài tốn tối ưu hóa véctơ khơng ràng buộc Giả sử f hàm véctơ lồi từ tập lồi khác rỗng D ⊆ Rn vào Rm , Rm thứ tự nón lồi C Bài toán tối ưu véctơ f D phát biểu n M inf (x), (VP) S.t.x ∈ D Điều có nghĩa ta cần tìm điểm x∗ ∈ D, gọi nghiệm tối ưu (VP), cho f (x∗ ) ∈ M in(f (D)|C) Trong phần lại ta giả sử nón thứ tự C ⊆ Rm lồi, đóng nhọn với intC 6= ∅ Định lí 2.8.1 Giả sử f lồi đóng Nếu f có phương lùi xa khác không, tức Rec (f ) = {0} , tốn tối ưu hố véctơ (VP) có phương án tối ưu Ví dụ 2.8.2 Cho R2 thứ tự nón Orthant dương R2+ Xét toán véctơ n M inf (x), s.t.x ∈ (0, +∞) Trong đó, f : (0, +∞) → R2 xác định Ví dụ 2.7.4 Vì n {(x, x)}, x ≥ 0, f∞ (x) = ∅ , x < nên ta có Rec (f ) = {0} Khi đó, từ Định lí 2.8.1 tốn có phương án tối ưu Ta thấy x = nghiệm tối ưu toán 20 2.8.2 Bài toán tối ưu hóa véctơ với tập ràng buộc tổng quát  M inf (x), s.t.x ∈ D, x ∈ E (SVP) Trong đó, E tập Rn , S tập khả thi (SVP), tức S = {x ∈ D | x ∈ E} Ta cần lưu ý f E đóng fD∩E đóng Trong đó, fD∩E hạn chế f D ∩ E Hệ 2.8.3 Giả sử f E lồi, đóng tập khả thi S khác rỗng Nếu (f ) ∩ E∞ = {0} tốn tối ưu hố véctơ (SVP) có phương án tối ưu 2.8.3 Bài tốn tối hưu hóa véctơ với tất bất đẳng thức ràng buộc ( M inf (x), s.t.x ∈ D, x ∈ Di , fi (x)≺ Ci 0, i ∈ I (IVP) Trong đó, f : d ⊂ Rn → Rm , fi : Di ⊂ Rn → Rmi , i ∈ I, hàm véctơ với I tập số tuỳ ý với i ∈ I, Rmi thứ tự nón Ci đóng, nhọn, lồi với intCi 6= ∅ Tập Ei := {x ∈ Di | fi (x)≺Ci 0}, ∀i ∈ I, E := ∩ Ei i∈I Kí hiệu T tập khả thi (IVP), tức T = {x ∈ D | x ∈ Di , fi (x)≺C i 0, ∀i ∈ I} Hệ 2.8.4 Nếu tập khả thi T khác rỗng hàm f, fi , (i ∈ I), lồi đóng, f, fi , (i ∈ I) khơng có phương lùi xa chung khác khơng, tức Rec(f ) ∩ ( ∩ Rec(fi )) = {0} i∈I Thì tốn (IVP) có phương án tối ưu Ví dụ 2.8.5 Cho X = R2 thứ tự nón Orthant dương C = R2+ lấy X−1 = R2 thứ tự nón C1 = {α(1, 1) + β(−1, 1)|α, β ≥ 0} 21 Xét toán véctơ bất đẳng thức với ràng buộc sau    M in(x), s.t., x ∈ R ,   f1 (x)≺ C1 0, f2 (x)≺ C Trong đó, f, f2 : R2 → X, f1 : R2 → X1 , xác định f (x, y) = (x+y, ex −y), f1 (x, y) = (−x, −2y), f2 (x, y) = (y−x, e−x −1−y) Theo tính tốn ta Rec(f ) = {α(−1, 0) + β(−1, 1) | α, β ≥ 0}, Rec(f1 ) = {α(−1, 21 ) + β(1, 12 ) | α, β ≥ 0}, Rec(f2 ) = {α(1, 0) + β(1, 1) | α, β ≥ 0} Do đó, Rec(f ) ∩ Rec(f1 ) ∩ Rec(f2 ) = {0} Từ Hệ 2.8.4, ta thấy tốn có phương án tối ưu KẾT LUẬN Bài tốn tối ưu có vai trò quan trọng thực tiễn, đặc biệt ứng dụng vào lĩnh vực liên quan tới ngân hàng, giao thông, công nghệ thông tin, Đạo hàm, vi phân hàm lồi, cho phép ta xây dựng thuật tốn để tìm nghiệm tốn Vì thế, việc nghiên cứu vi phân hàm lồi vô hướng, hàm véctơ lồi ứng dụng chúng cần thiết Mục đích luận văn tổng kết kết quan trọng Giải tích lồi Giải tích lồi véctơ để thấy khả ứng dụng chúng lý thuyết tối ưu Cụ thể luận văn đề cập đến vấn đề sau: Nhắc lại số kiến thức giải tích lồi Giới thiệu vi phân đặc trưng hàm lồi trường hợp vô hướng Nghiên cứu vi phân hàm véctơ lồi số tính chất tính liên tục, hàm liên hợp hàm véctơ lồi đặc trưng hàm véctơ lồi Trên sở lý thuyết vi phân đưa số ứng dụng vi phân vào toán tối ưu véctơ lồi 22 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt Lê Dũng Mưu, Nguyễn Văn Hiền, Nguyễn Hữu Điển (2012), Giáo trình giải tích lồi ứng dụng, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Nguyễn Xuân Tấn, Nguyễn Bá Minh (2007), Lý thuyết tối ưu không trơn, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Tiếng Anh D T Luc, N.X.Tan and P.N.Tinh (1998), “Convex vector functions and their subdifferential”, Acta Mathematica VietNamMica, 23(1), pp 107-127 D T Luc (1998) “Generalized convexity and some applications to vector optimization”, Viet J Math, 26, pp 95-110 D T Luc (1989), “Theory of vector optimization”, Lecture notes in Economics and Mathematical Systems,(319), Springer, Berlin, pp 1-175 N Papageorgiou (1987), “Nonsmooth analysis on partially ordered vector spaces : Part 1- convex case”, Pacific Journ of Math, 107(2), pp 403-458 R T Rockafellar (1970), “Convex Analysis”, Princeton Univ Press, Princeton, New Jersey T Tanino (1992), “Conjugate duality in vector optimization”, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 167, pp 84-67 P N Tinh and D S Kim (2013), “On generalized Fenchel- Moreau theorem and second-order characterization for convex vector functions”, Fixed Point Theory and Applications, 328, pp 1-12 10 P N Tinh and N X Tan (2000), “On conjugate maps and directional derivatives os convex vector functions”, Acta Math Viet.,25, pp 315-345 23 11 J Benoist and N Popovici (2003) “Characterizations of convex and quasiconvex set – valued maps”, Math Meth Oper Res 57, pp 427–435 12 D T Luc (2005) “Generalized convexity in vector Optimization Handbook of generalized convexity and generalizes monotonicity”, Nonconvex optim Appl 76, pp 195–236 13 C Cu sano, M Fini and D Torre (2004) “Characterizations of convex functions and Optimization”, Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics 5, pp 1–10 25 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Lê Dũng Mưu, Nguyễn Văn Hiền, Nguyễn Hữu Điển (2012), Giáo trình giải tích lồi ứng dụng, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Xuân Tấn, Nguyễn Bá Minh (2007), Lý thuyết tối ưu không trơn, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [B] Tài liệu tiếng Anh [3] D T Luc, N.X.Tan and P.N.Tinh (1998), “Convex vector functions and their subdifferential”, Acta Mathematica VietNamMica, 23(1), pp 107127 [4] D T Luc (1998) “Generalized convexity and some applications to vector optimization”, Viet J Math, 26, pp 95-110 [5] D T Luc (1989), “Theory of vector optimization”, Lecture notes in Economics and Mathematical Systems,(319), Springer, Berlin, pp 1175 [6] N Papageorgiou (1987), “Nonsmooth analysis on partially ordered vector spaces : Part 1- convex case”, Pacific Journ of Math, 107(2), pp 403 - 458 [7] R T Rockafellar (1970), “Convex Analysis”, Princeton Univ Press, Princeton, New Jersey [8] T Tanino (1992), “Conjugate duality in vector optimization”, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 167, pp 84-67 [9] P N Tinh and D S Kim (2013), “On generalized Fenchel- Moreau theorem and second-order characterization for convex vector functions”, Fixed Point Theory and Applications, 328, pp 1-12 [10] P N Tinh and N X Tan (2000), “On conjugate maps and directional derivatives os convex vector functions”, Acta Math Viet.,25, pp 315345 [11] J Benoist and N Popovici (2003) “Characterizations of convex and quasiconvex set – valued maps”, Math Meth Oper Res 57, pp 427 – 435 [12] D T Luc (2005) “Generalized convexity in vector Optimization Handbook of generalized convexity and generalizes monotonicity”, Nonconvex optim Appl 76, pp 195 – 236 [13] C Cu sano, M Fini and D Torre (2004) “Characterizations of convex functions and Optimization”, Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics 5, pp – 10