81.1.4 Chuỗi lũy thừa và ứng dụng trong giải phương trình vi phân.. 162 Một số vấn đề về hàm Bessel và ứng dụng 202.1 Áp dụng phương pháp Frobenius để giải phương trình Bessel.. Trong đó
Một số kiến thức cơ bản
Hàm Gamma
Hàm Gamma đóng vai trò quan trọng khi định nghĩa hầu hết các hàm Bessel Trong đề án này, chúng tôi chỉ nêu định nghĩa và sử dụng một số tính chất của hàm Gamma liên quan đến hàm Bessel [2]. Định nghĩa 1.1.1 ([2]) Giả sửz là một số phức sao choRe(z)>0 Hàm GammaΓđược định nghĩa như sau Γ(z) Z ∞ 0 e −t t z−1 dt.
Sử dụng tích phân từng phần, ta có được hệ thức truy hồi sau Γ(z+ 1) =zΓ(z).
Trên thực tế, với mọi n∈N∪ {0}, Γ(n+ 1) =n!.
Ngoài ra, Euler và Weiestrass đưa ra định nghĩa hàm Gamma cho tất cả các giá trị phức của z ngoại trừ số nguyên âm bằng cách sử dụng tích vô hạn. Định nghĩa bởi Euler: Γ(z) = lim n→∞ n!n z z(z+ 1)(z+ 2) .(z+n). Định nghĩa của Weierstrass:
Từ các định nghĩa trên, chúng ta có được một số tính chất của hàm Gamma.
3 +ã ã ã+ 1 n, trong đó γ là hằng số Euler.
Tính chất 1.1.3 Giả sử z ∈C Khi đó, Γ(2z) = 2 2z−1
Tính chất 1.1.4 Cho z ∈C\Z Khi đó, Γ(z)Γ(1−z) = π sinπz (1.1) Đặc biệt, trong trường hợp z = 1/2thì Γ(1/2) =√ π.
Chứng minh của các tính chất này và tài liệu chi tiết liên quan đến hàm Gamma có thể được tìm thấy trong [4].
Phương trình vi phân
Trong mục này, chúng tôi tổng hợp một số khái niệm về phương trình vi phân trước khi thảo luận về nghiệm chuỗi lũy thừa và phương pháp Frobenius cho nghiệm chuỗi lũy thừa của phương trình vi phân [4].
Nhiều vấn dề được đặt ra trong khoa học kỹ thuật cần thiết phải tìm mối liên hệ giữa hai đại lượng x và y, nhưng thường không thể có được ngay mối liên hệ giữa chúng mà liên hệ đó còn thông qua đạo hàm các cấp của đại lượng này với đại lượng khác Mối liên hệ như vậy được gọi là phương trình vi phân Phương trình này xuất hiện trên cơ sở phát triển của khoa học, kỹ thuật và những yêu cầu đòi hỏi của thực tế Nó là một bộ môn toán học cơ bản vừa mang tính lý thuyết cao vừa mang tính ứng dụng rộng Nhiều bài toán cơ học, vật lý dẫn đến sự nghiên cứu các phương trình vi phân tương ứng Ngành toán học này đã góp phần xây dựng lý thuyết chung cho các ngành toán học và khoa học khác [1] Nó có mặt và góp phần nâng cao tính hấp dẫn lý thú, tính đầy đủ sâu sắc, tính hiệu quả giá trị của nhiều ngành như tối ưu, điều khiển tối ưu, giải tích số, khoa học tính toán, Định nghĩa 1.1.5 Phương trình vi phân là phương trình (đẳng thức) liên hệ giữa biến độc lập x, hàm cần tìm y và các đạo hàm y ′ , y ′′ , , y (n) của nó Cấp của phương trình vi phân là cấp cao nhất của đạo hàm có trong phương trình.
Như vậy phương trình vi phân cấp n có dạng
F(x, y, y ′ , y ′′ , , y (n) ) = 0, (1.2) hoặc dưới dạng giải được theo đạo hàmy (n) như sau y (n) =F(x, y, y ′ , y ′′ , , y (n−1) ) (1.3)
Nghiệm của phương trình vi phân là mọi hàm số y=ϕ(x)mà khi thay vào phương trình đã cho ta được đồng nhất thức Nói chung, phương trình vi phân có vô số nghiệm Để có được nghiệm duy nhất, chúng ta cần xác định một hoặc nhiều điều kiện ban đầu (hoặc điều kiện biên) Phương trình vi phân cấpn phải có n điều kiện ban đầu (hoặc điều kiện biên) để có một nghiệm duy nhất Trong lý thuyết về phương trình vi phân, người ta có thể tìm nghiệm bằng nhiều cách tiếp cận khác nhau Với bất kể cách tiếp cận nào được sử dụng, chúng ta đều có thể kiểm tra xem nghiệm có đúng hay không bằng cách thế nghiệm vừa tìm được vào phương trình vi phân ban đầu và xác định xem nghiệm đó có thỏa mãn các điều kiện ban đầu hoặc điều kiện biên hay không.
Phương trình vi phân có thể được chia thành nhiều loại, cụ thể như phương trình vi phân thường (Ordinary Differential Equations), phương trình vi phân từng phần (Partial Differential Equations - PDEs), phương trình vi phân tuyến tính (Linear Differential Equations), phương trình vi phân phi tuyến tính (Nonlinear differential equations), phương trình vi phân đồng nhất (Homogeneous Differential Equations), phương trình vi phân không đồng nhất (Nonhomogeneous Differential Equations) Trong phạm vi của đề án này, chúng tôi giới thiệu sơ lược về phương trình vi phân từng phần và phương trình vi phân thường có liên hàm đến hàm Bessel.
Phương trình vi phân thường là một phương trình trong đó có chứa hàm phải tìm là hàm một biến, biến số độc lập và đạo hàm (hoặc vi phân) các cấp của ẩn hàm Trong một phương trình vi phân thường, có thể vắng mặt ẩn hàm và biến số độc lập nhưng phải có mặt đạo hàm (hoặc vi phân) của ẩn hàm Nếu ẩn hàm là hàm nhiều biến (từ hai biến trở lên), phương trình được gọi là phương trình đạo hàm riêng Trong toán học, một phương trình vi phân riêng phần (còn gọi là phương trình vi phân đạo hàm riêng, phương trình đạo hàm riêng, phương trình vi phân từng phần, hay phương trình vi phân riêng) là một phương trình vi phân bao gồm liên hệ giữa một hàm đa biến chưa biết và các đạo hàm riêng của hàm theo các biến này Đây là một loại phương trình vi phân có những đóng góp quan trọng và rộng lớn trong toán học, khoa học tự nhiên và kỹ thuật, có ứng dụng mạnh mẽ trong việc mô hình hóa và giải quyết các vấn đề phức tạp và đa dạng Phương trình vi phân riêng phần thường được sử dụng để mô tả các hiện tượng biến đổi theo thời gian và không gian, chẳng hạn như dòng chất lỏng trong lĩnh vực động lực học, truyền tải nhiệt độ trong vật lý, hay sự lan truyền của sóng âm và sóng ánh sáng trong quang học Sự hiểu biết và khả năng giải quyết PDEs là rất quan trọng trong việc nghiên cứu và phát triển các ứng dụng thực tế như thiết kế máy bay, dự đoán thời tiết, phân tích tài chính, và nhiều lĩnh vực khác Đối với dạng này, phương pháp Frobenius đóng một vai trò quan trọng bởi khả năng giải quyết PDEs phức tạp, chẳng hạn như phương trình Bessel mà chúng tôi đã đề cập trước đó Phương pháp này cung cấp một cách tiếp cận mạnh mẽ để tìm ra các nghiệm cho các PDEs thông qua sự biểu diễn chuỗi và tính toán các hệ số, từ đó giúp chúng ta giải được nhiều bài toán vật lý trong lĩnh vực cơ học chất lưu [4].
Bài toán Sturm-Liouville
Bài toán Sturm-Liouville là một trong những bài toán cơ bản trong lý thuyết phương trình vi phân và phương trình tích phân [5] Nó có nhiều ứng dụng trong vật lý, toán học, và các lĩnh vực khoa học khác Bài toán này được đặt tên theo hai nhà toán học Augustin-Louis Cauchy và Joseph Liouville, nhưng nó đã được phát triển và nghiên cứu sõu rộng bởi Jacques Charles Franácois Sturm, một nhà toỏn học người Phỏp [4] Trong đề án này, chúng tôi sử dụng lý thuyết bài toán Sturm-Liouville để trình bày các tính chất của hàm Bessel
(p(t)u ′ ) ′ + [q(t) +λ]u= 0, (1.4) với p(t)> 0, q(t) có giá trị thực và liên tục trên [a, b], λ ∈ C Cho α, β là các số thực và xét bài toán tìm nghiệm không tầm thường của (1.4) thỏa mãn điều kiện biên dưới đây
Dễ chứng minh được nếu λ không phải số thực thì (1.4) và (1.5) không có nghiệm không tầm thường Đồng thời với một trường hợp đặc biệt của (1.4) và (1.5), ta xét phương trình u ′′ +λu= 0, u(0) =u(π) = 0 (1.6)
Phương trình (1.6) chỉ tồn tại nghiệm nếu λ = (n + 1) 2 với n = 0,1, và các nghiệm tương ứng ở đây là u= sin(n+ 1)t.
Kết quả trên là một trường hợp đặc biệt cho định lý tổng quát dưới đây. Định lý 1.1.6 [5] Cho p(t)>0, q(t)có giá trị thực và liên tục trên [a, b] Khi đó, tồn tại một dãy vô hạn các số thực λ 0 < λ 1 < sao cho
(1.4), (1.5) có một nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi λ=λ n , với mọi n;
Nếuλ =λ n và u=u n (t)̸≡0 là một nghiệm của (1.4) thì u n (t) là nghiệm duy nhất sai khác một hằng số nhân;
Nếu λ là số phức và λ ̸= λ n với mọi n = 0,1, thì tồn tại một hàm liên tục G(t, s;λ) =G(s, t; ¯λ)với a≤s, t≤b có tính chất sau: nếu h(t) là một hàm khả tích trên a≤t ≤b thì
(p(t)w ′ ) ′ + [q(t) +λ]w=h(t) (1.8) có một nghiệm duy nhất w=w(t) thỏa mãn
G(t, s;λ)h(s)ds, (1.10) trong đó G(t, s;λ) là số thực khi λ là số thực;
Nếu λ = λ n và h(t) là một hàm khả tích trên a ≤ t ≤ b, thì (1.8),(1.9) có một nghiệm khi và chỉ khi
Trong trường hợp này, nếu w(t) là nghiệm của (1.8),(1.9) thì w(t) +cu n (t) cũng là nghiệm;
Nếu các hàm số u n (t)được chọn là giá trị thực (sai khác nhau hằng số ±1) sao cho
Z b a u 2 n (t)dt= 1 (1.12) thì u 0 (t), u 1 (t), tạo thành một chuỗi trực giao hoàn chỉnh cho L 2 (a, b), tức là nếu h(t)∈L 2 (a, b) thì h(t) có khai triển Fourier như sau h(t)∼
Chuỗi lũy thừa và ứng dụng trong giải phương trình vi phân
Trong phần này, chúng tôi trình bày về chuỗi lũy thừa và một số tính chất của nó, đồng thời ứng dụng chuỗi lũy thừa vào việc giải phương trình vi phân [3].
Trong toán học, chuỗi lũy thừa (một biến) là một chuỗi vô hạn có dạng f(x) ∞
Nếu (1.15) hội tụ với mọi x thuộc (−R, R), với R > 0 (R có thể là +∞), ta nói rằng f được khai triển thành chuỗi lũy thừa tạix= 0 Tương tự, nếu (1.16) hội tụ với|x−a|< R thì ta nóif mở rộng thành chuỗi lũy thừa tạix=a Không mất tính tổng quát ta thường lấy a= 0.
Một số tính chất của chuỗi lũy thừa Định lý 1.1.7 ([6]) Giả sử chuỗi f(x) ∞
X n=0 c n x n (|x|< R) (1.17) hội tụ tại |x|< R Khi đó (1.17) hội tụ đều trên [−R+ε, R−ε], với mọi ε > 0, hàm f liên tục, khả vi trong (−R, R) và f ′ (x) ∞
X n=1 nc n x n−1 (|x|< R). Định lý 1.1.8 ([6]) Giả sử P cn hội tụ Đặt f(x) ∞
X n=0 c n Định lý 1.1.9 ([6]) Giả sử chuỗi f(x) ∞
X n=0 c n x n , hội tụ tại |x|< R Nếu −R < a < R thì f có thể được khai triển thành chuỗi lũy thừa tại x=a hội tụ về |x−a|< R− |a| và f(x) ∞
X n=0 f (n) (a) n! (x−a) n , (|x−a|< R− |a|). Định lý 1.1.10 (Đạo hàm của chuỗi lũy thừa, [6]) Giả sử f(x) ∞
X n=0 an(x−c) n , trong đó chuỗi lũy thừa có bán kính hội tụ là R > 0 Khi đó f có đạo hàm mọi cấp trên miền {x:|x−c|< R}, và với m∈N cố định, f (m) (x) ∞
Hơn nữa, hệ số a n được xác định bởi a n = f (n) (c) n!
Tiếp theo, chúng tôi trình bày một ví dụ áp dụng của chuỗi lũy thừa để giải phương trình vi phân.
Xét phương trình vi phân d 2 y dx 2 =−k 2 y (1.18)
Ta có nghiệm của (1.18) là y=Asin(kx) +Bcos(kx).
Nghiệm phương trình trên có thể được viết dưới dạng chuỗi lũy thừa như sau y=A x− x 3 3! +x 5 5! − x 7 7! +ã ã ã
Chúng ta quan tâm đến việc liệu có thể thu được một nghiệm như vậy trực tiếp từ phương trình vi phân hay không Một ví dụ cho việc này là phương trình dạng d 2 y(x) dx 2 +p(x)dy(x) dx +q(x)y =r(x) có nghiệm dưới dạng chuỗi lũy thừa, trong đó p(x), q(x) và r(x) có thể được biểu diễn dưới dạng chuỗi lũy thừa trong một lân cậnx=a Các hàm số có thể biểu diễn được dưới dạng chuỗi lũy thừa được gọi là các hàm giải tích.
Nghiệm dạng chuỗi lũy thừa của d 2 y dx 2 +p(x)dy dx +q(x)y=r(x) yêu cầu ba hàm p(x), q(x) và r(x) có thể được biểu diễn dưới dạng chuỗi lũy thừa Giả sử nghiệm có dạng sau y(x) ∞
X n=0 a n (x−x 0 ) n (1.19) Ở đâya n là các hệ số chưa biết Lấy vi phân hai lần ta được dy dx ∞
Khi đó thế (1.19), (1.20) và (1.21) vào phương trình ban đầu, ta được
Sau đó ta đồng nhất các hệ số lũy thừa củaxở hai vế của phương trình Điều này dẫn tới một phương trình mà ta có thể sử dụng để giải được các hệ sốa n chưa biết theo một hoặc nhiều hệ số nhưa 0 và a 1 được sử dụng như để xác định điều kiện ban đầu Phương trình (1.18) là một ví dụ rất rõ ràng cho phương pháp này Ở đây ta có p(x) = 0,q(x) =k 2 và r(x) = 0 Áp dụng (1.22) vào trong (1.18) ta được
X n=0 a n (x−x 0 ) n = 0 (1.23) Để đảm bảo rằng phương trình (1.23) được thỏa mãn, ta cần làm cho hệ số lũy thừa của(x −x 0 ) Ta có được nghiệm chuỗi lũy thừa bằng cách đặt các hệ số của mỗi lũy thừa của(x−x 0 ) bằng 0 Việc này được đơn giản hóa nếu chúng ta tập hợp tất cả các số hạng trong phương trình (1.23) thành một tổng duy nhất Để làm điều này, chúng ta lưu ý rằng hai số hạng đầu tiên (n= 0 và n = 1) trong tổng đầu tiên của phương trình (1.23) bằng
0 Do đó ta có thể bắt đầu tính tổng ởn = 2 Tiếp theo ta có thể thay đổi chỉ số của tổng này từ n sang chỉ số mới, m =n−2 Cuối cùng, chúng ta có thể kết hợp hai tổng, mặc dù chúng có các chỉ số tổng khác nhau, vì các chỉ số này là các chỉ số giả và cả hai giới hạn trên mỗi tổng đều giống nhau.
Thực hiện các bước trên, ta được kết quả sau
Tổng trong phương trình (1.28) bằng không chỉ khi hệ số của (x−x 0 ) n biến mất đối với mỗi n Điều này dẫn đến mối quan hệ giữa các hệ số không xác định như sau
Ta không thể sử dụng phương trình này để tìma 0 hoặca 1 , vì vậy chúng ta giả định rằng các hệ số này sẽ được xác định bởi các điều kiện ban đầu Tuy nhiên, khi chúng ta biết a 0 , chúng ta có thể tìm tất cả các hệ số có chỉ số chẵn như sau a 2 =− k 2 a 0
Tiếp tục theo cách trên, ta được a n = (−1) n/2 k n a0
Ta có thể xác minh kết quả tổng quát này bằng cách thu được một đẳng thức cho a n+2
Ta thực hiện việc này bằng cách thay thế n trong đẳng thức bằng n+ 2 để được a n+2 (−1) (n+2)/2 k n+2 a0
(n+ 2)! Tiếp theo, ta thay đẳng thức ở trên và (1.33) vào (1.30), ta được a n+2 a n =− k 2
Ta thấy tỷ lệ an+2/an mà chúng ta tính toán bằng cách sử dụng phương trình tổng quát choa n từ đẳng thức (1.33) giống với giá trị của tỷ lệ này mà chúng ta bắt đầu từ phương trình (1.30) Do đó, chúng ta kết luận rằng đẳng thức (1.33) cung cấp cho chúng ta một nghiệm chính xác choa n khin chẵn Một cách tương tự, ta có thể đưa ra tổng quát trong trường hợp hệ sốn lẻ Ta bắt đầu bằng cách tìm a3 và a5 dưới dạng của a1. a 3 =− k 2 a 1
Dễ thấy với n lẻ bất kỳ, ta có an= (−1) (n−1)/2 k n−1 a 1
Từ các hệ sốa 0 ,a 1 và công thức tổng quát cho a n với n là số tự nhiên tùy ý, ta có y(x) ∞
Dễ thấy các thừa số đi kèm với a 0 , a 1 lần lượt làcos (k(x−x 0 ))và sin (k(x−x 0 )) Đây là các nghiệm riêng của phương trình (1.18).
Phương pháp Frobenius
Trong phần này, chúng tôi trình bày phương pháp Frobenius được sử dụng để giải phương trình vi phân [5] Một số lợi ích của phương pháp Frobenius như sau
- Phương pháp Frobenius sử dụng được cho lũy thừa âm và lũy thừa hữu tỉ.
- Tạo ra các hàm đặc biệt như hàm Bessel, hàm Legendre và hàm Hermite, có ứng dụng rộng trong nhiều lĩnh vực, từ vật lý lý thuyết đến toán ứng dụng.
- Trong một số trường hợp, phương pháp Frobenius có thể áp dụng cho các phương trình phi tuyến.
Giả sử phương trình vi phân y ′′ +p(x)y ′ +q(x)y= 0, (1.38) có điểm kỳ dị chính quy Chúng ta muốn tìm nghiệm của phương trình (1.38) được xác định tùy ý gần điểm kỳ dị chính quy đó Ta có x 0 là điểm kỳ dị chính quy của phương trình (1.38) nếu(x−x 0 )pvà(x−x 0 ) 2 q là các hàm giải tích tạix 0 Một hàm có tính giải tích tại một điểm nếu nó có khai triển chuỗi lũy thừa hội tụ trong lân cận của điểm đó. Trong trường hợp của chúng ta, điều này có nghĩa là gần một điểm kỳ dị chính quy
X n=0 qn(x−x0) n =q0+q1(x−x0) +q2(x−x0) 2 +ã ã ã Điều này có nghĩa là gần x 0 thì hàm p phân kỳ tại (x−x 0 ) −1 và hàm q phân kỳ tại (x−x 0 ) −2 , được biễu diễn như sau p(x) = p0
Do đó, khi p0 ̸= 0, q0 ̸= 0 và khi x gần x0, chúng ta có các mối quan hệ sau p(x)≃ p 0
(x−x 0 ) 2 , x≃x 0 , trong đóa ≃b được ký hiệu cho |a−b| tiến tới 0, với a, b∈R Nói cách khác, với x gần với một điểm kỳ dị chính quy x 0 thì các hệ số của phương trình (1.38) gần với các hệ số của phương trình đẳng chiều Euler
(x−x0) 2 y e ′′ +p0(x−x0)y e ′ +q0ye = 0, trong đóp 0 và q 0 là các số hạng có thứ tự 0 trong khai triển chuỗi lũy thừa của (x−x 0 )p và (x−x 0 ) 2 q nêu trên Nguời ta kì vọng rằng nghiệm y của phương trình (1.38) gần với nghiệm y e của phương trình Euler này Chúng ta biểu có thể diễn đạt mối quan hệ này một cách chính xác hơn như sau y(x) = ye(x)
Ta có ít nhất một nghiệm của phương trình Euler có dạng y e (x) = (x−x 0 ) r , trong đó r là nghiệm của đa thức r(r−1) +p 0 r+q 0 = 0, sau đó ta kỳ vọng rằng với xgần với x0 thì nghiệm của phương trình (1.38) ở gần y(x) = (x−x 0 ) r
X n=0 an(x−x0) (r+n) (1.40) Đây là ý tưởng chính của phương pháp Frobenius để tìm nghiệm của phương trình có điểm kỳ dị chính quy Tiếp theo, chúng ta phát biểu hai định lý tóm tắt một số công thức nghiệm của phương trình vi phân có điểm kỳ dị chính quy. Định lý 1.2.1 (Frobenius, [5]) Giả sử phương trình vi phân y ′′ +p(x)y ′ +q(x)y= 0 (1.41) có điểm kỳ dị chính quy x0 ∈R và ký hiệu là p0, q0 là các số hạng bậc 0 trong
X n=0 q n (x−x 0 ) n Đặt r + , r− là các nghiệm của phương trình r(r−1) +p 0 r+q 0 = 0.
(a) Nếu(r + −r−) không phải là số nguyên thì phương trình vi phân trong (1.41) có hai nghiệm phân biệt y + , y− y + (x) =|x−x 0 | r +
(b) Nếu(r + −r−) =N là một số nguyên không âm thì phương trình vi phân trong (1.41) có hai nghiệm phân biệt y + , y− y+(x) = |x−x0| r+
KhiN = 0 thì hằng sốckhác 0 NếuN >0, hằng số ccó thể bằng không hoặc khác không.Trong cả hai trường hợp trên, chuỗi hội tụ trong khoảng |x−x 0 | < ρ và phương trình vi phân được thỏa mãn với 00,bằng phương pháp Frobenius có tâm ở x 0 = 0 với α≥0.
Ta cần kiểm tra x 0 = 0có phải là điểm kỳ dị chính quy của phương trình hay không Ta viết lại phương trình ở dạng chuẩn y ′′ + 1 xy ′ + (x 2 −α 2 ) x 2 y = 0.
Khi đó p(x) = 1/x,q(x) = (x 2 −α 2 )/x 2 Rõ ràngx 0 = 0 là điểm kỳ dị của phương trình.
Do đó ˜ p(x) = xp(x) = 1, q(x) =˜ x 2 q(x) = x 2 −α 2 là các hàm giải tích Chúng ta kết luận rằng x 0 = 0 là điểm kỳ dị chính quy Khi đó, nghiệmy(x) có dạng y(x) ∞
Bây giờ ta cần tính các hệ số a n trong công thức nghiệm của y(x) Nhân x 2 vào hai vế của công thức nghiệm, ta được x 2 y(x) ∞
X n=2 a(n−2)x (n+r) Dặt n+ 2 =m và gán m →n Khi đó xy ′ (x) ∞
Do đó, phương trình vi phân có dạng
Nhóm các tổng lại với nhau, bắt đầu từn = 0, ta được
Lượt bỏ một số số hạng đầu tiên trong tổng, ta được
Chia tổng bắt đầu từ n= 0 thành hai số hạng đầu tiên cộng với phần còn lại, ta được r 2 −α 2 a0x r +
Viết lại hai tổng thành một, được r 2 −α 2 a0x r +
Sau đó ta kết luận rằng mỗi số hạng sau được triệt tiêu
(2.1) Đây là mối quan hệ truy hồi của phương trình Bessel Trên đây là cách ta tìm nghiệm nghiệm với a 0 ̸= 0 Trong ví dụ này, chúng tôi không tìm nghiệm vớia 1 ̸= 0 Từ hai điều kiện trên, ta có r 2 −α 2 = 0 ⇒ r± =±α,với r=r + ta được nghiệm y α và r=r− ta được nghiệm y−α Các nghiệm này có thể độc lập tuyến tính hoặc không Điều này xảy ra phụ thuộc vào α vì r + −r− = 2α
Nhận xét 2.1.2 ([8]) Giả sử hai phương trình dưới đây đều đúng r 2 −α 2
Phương trình này là kết quả của a 0 ̸= 0 và a 1 ̸= 0 Các phương trình trên cho thấy r 2 = (r+ 1) 2 ⇒2r+ 1 = 0⇒r=−1
2. Nhưng r =±α và α ⩾0, do đó trường hợp a 0 ̸= 0 và a 1 ̸= 0 chỉ xảy ra khi α = 1/2 Ta chọnr− =−α =−1/2 Khi đó y −1/2 (x) =a 0 cos(x)
√x Giả sử α̸= 1/2 Khi đó r 2 −α 2 = 0 và
Vì vậy phương trình thứ hai trong hệ thức truy hồi trong (2.1) cho thấy a 1 = 0 Tóm lại, hai phương trình đầu tiên trong hệ thức truy hồi trong (2.1) đều thỏa mãn vì r±=±α, a 1 = 0.
Ta cần tìm các hệ sốan, n⩾2 sao cho phương trình thứ ba trong hệ thức truy hồi trong (2.1) được thỏa mãn Ta cần xem xét hai trường hợp là r=r + =α và r− =−α.
Bắt đầu với trường hợp r=r+=α, ta có n 2 + 2nα a n +a(n−2) = 0 ⇒ n(n+ 2α)a n =−a(n−2).
Vì n⩾2 và α⩾0, hệ số(n+ 2α) không tiêu biến và do đó chúng ta nhận được a n =− a (n−2) n(n+ 2α).
Từ đẳng thức trên và a 1 = 0 cho thấy tất cả các hệ số lẻ a 2k+1 = 0với k ⩾0 Mặt khác, hệ số chẵn là khác 0 Thật vậy, hệ số a 2 là a 2 =− a 0
Do đó, ta có được nghiệm y α yα(x) =a0x α
Ta thấy chuỗi trên hội tụ với mọi x≥ 0 Khi α= 0 ta được hàm Bessel J α được cho bởi công thức
Bây giờ ta tìm nghiệm cho phương trình Bessel từ r =r − =−α, với a 1 = 0 và α̸= 1/2. Phương trình thứ ba trong hệ thức truy hồi trong (2.1) cho thấy n 2 −2nα an+a(n−2) = 0 ⇒ n(n−2α)an =−a (n−2)
Nếu 2α =N là số nguyên không âm thì phương trình thứ hai ở trên cho thấy mối quan hệ truy hồi không thể giải được cho an bằng n ⩾N Giả sử 2α không phải là số nguyên không âm Khi đó hệ số (n−2α) không bị tiêu biến và a n =− a(n−2) n(n−2α).
Từ phương trình này và a 1 = 0cho thấy tất cả các hệ số a 2k+1 = 0 với k ⩾0 Mặt khác, hệ số chẵn là khác không Hệ số a2 là a 2 =− a 0
2 2k (k!)(1−α)(2−α)ã ã ã(k−α). Khi đó ta có được nghiệm y−α y −α (x) = a 0 x α
# , α⩾0 (2.3) Chuỗi trên hội tụ với x≥0 Khi a 0 = 1 nghiệm tương ứng thường là hàm J−α
Tóm lại, nghiệm của hàm phương trình Bessel yα xác định cho mọi số thực không âm α và y−α xác định cho mọi số thực không âm α ngoại trừ số nguyên không âm Đối với α cho trước sao choyα và y−α đều được xác định, các hàm này độc lập tuyến tính Dễ thấy rằng các hàm này không thể tỷ lệ với nhau vì vớiα >0, hàm y α chính quy tại gốc x= 0 trong khiy−α phân kỳ.
Trường hợp cuối cùng cần nghiên cứu là làm thế nào để tìm nghiệmy−α khiαlà số nguyên không âm Với trường hợp này, dễ dàng tính được y−α(x) =y α (x) ln(x) +x −α
Nếu đặt biểu thức trên vào phương trình Bessel, ta có thể tìm thấy mối quan hệ truy hồi cho các hệ số c n y−α(x) = y α (x) ln(x)
2 +ã ã ã+ 1 n khin ⩾1và α là số nguyên không âm.
Các loại hàm Bessel
Trong đề án này, chúng tôi sử dụng ký hiệu p F q để biểu diễn hàm siêu hình học [1], được viết dưới dạng như sau y=pFq
là công thức nghiệm của phương trình vi phân nên chúng tôi ký hiệu như sau
{δ(δ+b 1 −1)ã ã ã(δ+b q −1)−x(δ+a 1 )ã ã ã(δ+a p )}y= 0, trong đó δ =x d dx. Khi p >2 hoặc q > 1, phương trình này có bậc max(p, q+ 1) > 2, và phương trình thu được không hữu ích bằng phương trình siêu hình học Khi q = 1 và p = 0 hoặc p = 1, phương trình vẫn ở bậc hai với điểm kỳ dị chính quy tại x= 0, nhưng điểm kỳ dị còn lại là tạix=∞ và là một điểm kỳ dị không chính quy Trường hợp p=q = 1, phương trình có dạng x d dx x d dx +c−1
Phương trình này có thể thu được từ phương trình siêu hình học x(1−x)y ′′ +{c−(a+b+ 1)x}y ′ −aby = 0 bằng cách thay thếxthànhx/b sao cho phương trình mới có các điểm kỳ dị tại0, b và∞. Phương trình Bessel có thể được tạo ra từ phương trình Whittaker và có thể được giải để thu được các hàm Bessel Hàm Bessel rất quan trọng trong vật lý toán vì chúng là nghiệm của phương trình Bessel, thu được từ phương trình Laplace trong trường hợp đối xứng trụ Sau đây, chúng tôi trình bày một số tính chất cơ bản của hàm Bessel Xét phương trình Whittaker như sau
Khi k = 0 và m=α trong phương trình Whittaker (2.4), ta được d 2 W dξ 2 +
Nếu đặt y(x) =√ xW(2ix)thì y thỏa mãn phương trình d 2 y dx 2 + 1 x dy dx+ 1−α 2 /x 2 y = 0 (2.5)
Phương trình này được gọi là phương trình Bessel cấp α Dễ thấy
(2.6) là nghiệm của (2.5) J α (x) làhàm Bessel của loại một bậc α Sử dụng đẳng thức
đã được chứng minh trong [1], ta có một cách biểu diễn khác của J α (x) là
Phương trình (2.5) không đổi khiα được thay thế bằng −α Điều này có nghĩa làJ−α(x) cũng là nghiệm của (2.5) Dễ kiểm tra được rằng khiα không phải là số nguyên thì J α (x) và J−α(x) là các nghiệm độc lập tuyến tính Khi α là số nguyên, giả sử α=n, khi đó
Do đóJ−n(x)phụ thuộc tuyến tính vớiJ n (x) Một nghiệm độc lập tuyến tính thứ hai có thể được tìm thấy như theo cách sau đây: vì (−1) n = cosnπ, nên ta thấy rằngJ α (x) cosπα−
J−α(x) là nghiệm của (2.5) được tiêu biến khiα là số nguyên Ta định nghĩa
Khi α=n là số nguyên, lấy giới hạn Y α (x) theo quy tắc L’Hopital, ta được
(−1) k (x/2) 2k+α k!Γ(k+α+ 1). Điều này cho thấy rằng J α (x) là một hàm theo α Do đó, các hàm ∂J α
∂α trong (2.10) có ý nghĩa Hơn nữa, J α (x) là các hàm giải tích trong một mặt phẳng cắt Vì vậy chúng ta có thể chứng minh rằng Y n (x)là một nghiệm của phương trình Bessel (2.5) khi α = n là số nguyên Chúng ta có thể kết luận rằng (2.9) là một nghiệm của (2.5) trong với mọi trường hợp Khi đóY α (x) được gọi là một hàm Bessel loại hai.
Trong đón là số nguyên không âm,|argx|< πvàψ(x) = Γ ′ (x)/Γ(x) Lưu ý rằng phương trình Bessel có thể được viết lại như sau d dx xdy dx
Giả sử α không là số nguyên Từ (2.12) suy ra
. trong đó C là hằng số. Để tìm C, chox→0, sử dụng chuỗi (2.6) và công thức phản chiếu Euler, ta được
Khi đó, hàmW(J α (x), J−α(x)) = J α (x)J −α ′ (x)−J−α(x)J α ′ (x)được cho bởi
W(J α (x), J−α(x)) =−2 sinαπ/πx (2.13) Với α không là số nguyên, ta có
Nhiều phương trình vi phân có thể rút gọn thành phương trình Bessel (2.5), ví dụ u=x a J α (bx c ) thỏa u ′′ +(1−2a) x u ′ + bcx c−1 2
Khi x= 1/2, b= 2/3, c = 3/2và α 2 = 1/a, phương trình này viết lại thành u ′′ +xu= 0 (2.15)
Một số tính chất của hàm Bessel
Quan hệ truy hồi
Có hai công thức vi phân quan trọng cho hàm Bessel như sau d dxx α Jα(x) ∞
Tương tự, ta có d dxx −α J α (x) = −x −α J α+1 (x) (2.17)
Từ các chuỗi cos vàsin, ta có
Viết lại (2.16) và (2.17), ta được αJ α (x) +xJ α ′ (x) =xJα−1(x) và
Khử đạo hàm J α ′ ở hai phương trình trên, ta được
Thế vào (2.16) và (2.17) ta được
= (−1) n x −α−n Jα+n(x) (2.23) Áp dụng những đẳng thức này cho (2.18) và (2.19), ta thu được
Viết lại J n+1/2 (x)và J−n−1/2(x) ta được
Biểu diễn tích phân của hàm Bessel
Đặt y=x α u trong phương trình Bessel y ′′ + 1 xy ′ + 1−α 2 /x 2 y = 0.
Khi đóu thỏa mãn phương trình xu ′′ + (2α+ 1)u ′ +xu= 0 (2.28) Đặt u=A Z
C e xt f(t)dt, (2.29) trong đó A là hằng số Thế (2.29) vào (2.28), ta được
Phương trình trên xảy ra khi thỏa mãn các điều kiện sau e xt t 2 + 1 f(t)
Phương trình (2.31) đúng khi f(t) = (t 2 + 1) α−1/2 Thế t bằng √
−1t sao cho (2.30) giữ nguyên khi C là đường nối -1 và 1 vàReα >−1/2, ta được y=Ax α
−1 e ixt 1−t 2 α−1/2 dt (2.32) là một nghiệm của phương trình Bessel Ta giả sử rằng arg (1−t 2 ) = 0 Để thấy rằng (2.32) đưa ra biểu diễn tích phân củaJ α (x) choReα >−1/2, ta mở rộng hàm mũ trong số nguyên dưới dạng chuỗi và tích phân nó Khi đó ta được y(x) = Ax α Γ(α+ 1/2)
(2.33) khi Reα >−1/2 Đặt t= cosθ, ta thu được biểu diễn tích phân Poisson như sau
Z π 0 cos(xcosθ) sin 2α θdθ, (2.34) với Reα > −1/2 Biến đổi (2.33) theo công thức Gegenbauer [1], ta được hàm Bessel có dạng
Z π 0 e ix cos θ sin 2v θC n ν (cosθ)dθ, (2.35) với Rev > −1/2 Khi v → 0, ta có được tích phân Bessel cho J n (x) Để đạt được điều này, ta cho α=v +n trong (2.33) và lấy tích phân từng phần n lần Khi đó
Theo công thức Rodrigues, ta có d n (1−t 2 ) v+n−1/2 dt n = (−2) n n!Γ(v+n+ 1/2)Γ(2v) Γ(v+ 1/2)Γ(2v+n) 1−t 2 v−1/2
Sử dụng (2.36), ta có được công thức Gegenbauer như trong phương trình (2.35).
Ngoài ra, chúng tôi trình bày hai biểu diễn của công thức Hankel như sau
Z (−1+,1+) i∞ e ixt t 2 −1α−1/2 dt, (2.38) khi Rex > 0,−3π 0 trong (2.35) và (2.37) Khi đó ta có
Trong phương trình (2.39), arg(r 2 −1)bằng 0 tạiA và bằngπ tại B; trong phương trình (2.40),arg(r 2 −1)là 0 tạiA và−π tạiB Trong (2.40), chúng ta nhân(t 2 −1) α−1/2 trong tích phân thứ hai theo hệ số e−2(α−1/2)πi Khi đó, công thức (2.40) có thể được viết lại dưới dạng
Từ phương trình (2.39) và (2.41), ta có được biểu diễn của hàm Bessel loại ba hoặc hàm Hankel như sau
Ta viết lại các hàm Hankel dưới dạng dạng Jα(x) và Yα(x), khi đó ta được
Công thức tích phân của Hα (1) (x) và Hα (2) (x) giữ nguyên khi Rex > 0, α+1
2 ̸= 1,2, Hơn nữa,arg (t 2 −1) =−π tại 1 +i∞và arg (t 2 −1) =π tại −1 +i∞.
H −1/2 (1) (x) r 2 πx(cosx+isinx) r 2 πxe ix =H 1/2 (2) (x) (2.48) và
Mối quan hệ giữa phép biến đổi Fourier và hàm Bessel
Nhiều hàm đặc biệt được nảy sinh khi nghiên cứu các phép biến đổi Fourier [1] Trong phần này, chúng ta nghiên cứu về biến đổi Fourier và mối liên hệ của nó với hàm Bessel. Xét một biến đổi Fourier hai chiều, ta có
−∞ f(x, y)e i(xu+yv) dxdy (2.50) Xét trong hệ tọa độ cực, đặt x=rcosθ, y=rsinθ; u=Rcosϕ, v =Rsinϕ.
Z 2π 0 f(rcosθ, rsinθ)e irR cos(θ−ϕ) rdθdr.
Khai triển f dưới dạng chuỗi Fourier theo θ f(rcosθ, rsinθ) ∞
Mối quan hệ giữa biến đổi Fourier với các hàm Bessel xuất phát từ tích phân bên trong dấu ngoặc Vì hàm dưới dấu tích phân là tuần hoàn (chu kì 2π ) nên chỉ cần tính
Z 2π 0 e ix cos θ e inθ dθ (2.52) Khai triển lũy thừa và lấy tích phân từng số hạng, ta được
Vì vậy, khi k=n+ 2m ta được
Mối quan hệ này mang lại sự mở rộng Fourier củae ix cos θ như sau e ix cos θ ∞
Phương trình (2.55) được suy ra từJ−n(x) = (−1) n J n (x) Đồng nhất hệ số phần thực và phần ảo, ta được cos(xcosθ) =J 0 (x) + 2
(−1) n J 2n+1 (x) cos(2n+ 1)θ (2.57) Đối với trường hợp đặc biệt θ =π/2, ta có
Xấp xỉ (2.58) theo thuật toán Miller [1], ta được
J 2k (x 0 )≈1. Đây là giá trị gần đúng của hàm BesselJ 2k (x 0 ) Có một cách khác để xem xét (2.55) Đặt t=ie iθ , khi đó exp(x(t−1/t)/2) ∞
Do đó, exp(x(t−1/t)/2) là hàm sinh cho các hàm Bessel với các chỉ số nguyên.
2−θ trong (2.52), sau đó sử dụng (2.54) và tính tuần hoàn của tích phân, ta có được công thức hàm Bessel như sau
Từ (2.60), sử dụng công thức Jacobi, ta được d n−1 sin 2n−1 θ dy n−1 = (−1) n−1 n 2 n (1/2)nsinnθ, y= cosθ.
Trong (2.61), n là số nguyên không âm Tuy nhiên, hạn chế này có thể được gỡ bỏ Đầu tiên ta nhân cả hai vế của (2.61) với(2/x) n Γ(n+ 1) Khi đó cả hai vế đều là các hàm giải tích bị chặn của n cho Ren >−1/2 Theo định lý Carlson, ta có thể kết luận rằng (2.61) đúng với các giá trị này củan.
Tích phân của hàm Bessel
Trong phần này, chúng tôi trình bày một số tính chất của tích phân hàm Bessel [1]. Khai triển hàm F(u, v) trong (2.51) dưới dạng chuỗi Fourier, ta được
(−i) n F n (R) Z ∞ 0 f n (r)J n (Rr)rdr (2.63) Biến đổi Fourier nghịch đảo của (2.50) là f(x, y) = 1
Thực hiện phép tính tương tự như (2.62), ta thu được f n (r) = (−i) n
Tích phân trong (2.63) được gọi là biến đổi Hankel bậc n của hàm f n (r) Khi đó (2.64) được gọi là phép biến đổi Hankel nghịch đảo Đối với một hàm f(x) đủ trơn và tiêu biến nhanh khix→ ∞, ta có cặp Hankel cấp α tổng quát như sau:
Sử dụng quan hệ trực giao, ta được
J α+n (a)J α+n (b) a α b α , (2.67) trong đó a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác Đổi tỷ lệ a, b, cvà cho n= 0 ta được
J α (ax)J α (bx) x α (ab) α Viết lại tích phân trên, ta được
Khi đó, theo công thức nghịch đảo Hankel với Rea >−1/2, ta có
2 3α−1 √ πΓ(α+ 1/2)(abc) α , (2.69) với |a−b|< c < a+b Giá trị của tích phân bằng 0 trong các trường hợp còn lại Nếu sử dụng công thức tính diện tích của một tam giác (ký hiệu là ∆) tính theo các cạnh của nó thì vế phải của (2.69) có thể được viết lại thành
Sau đây chúng tôi trình bày một số tính chất của tích phân Bessel. Định lý 2.3.1 ([1]) Với Reà >−1 và Rev >−1, ta cú
Jà(xsinθ)Jv(ycosθ) sin à+1 θcos ν+1 θdθ (2.72)
Tích phân (2.71) và (2.72) được gọi là tích phân Sonine loại một và tích phân Sonine loại hai.
Hệ quả 2.3.2 ([1]) Với Reα >−1/2, ta có
Tiếp theo, chúng ta chuyển sang tính toán biến đổi Laplace của hàm Bessel Hankel đó đỏnh giỏ phộp biến đổi của t à−1 J α (yt)theo hàm 2 F 1 Đối với cỏc giỏ trị đặc biệt của α vàà,2F1 giảm xuống cỏc hàm cơ bản hơn Chỳng ta xem xột lớp tớch phõn này Lipschitz đã tìm ra kết quả sau. Định lý 2.3.3 ([1]) Với mọi Re(x±iy)>0, khi đó
Từ việc khai triển tiệm cận cho các hàm Bessel , dễ thấy với miền Re(x±iy)>0 thì tích phân hội tụ Để làm rõ điều này, ta sử dụng (2.60)
(x 2 +y 2 ) 1/2 Kết quả tổng quỏt hơn, cho biến đổi Laplace củat à−1 J α (yt), là do Hankel đó chứng minh. Tiếp theo, chúng tôi trình bày một số kết quả định lí và hệ quả quan trọng được rút ra từ phép biến đổi Laplace. Định lý 2.3.4 ([1]) Với Re(α+à)>0 và Re(x±iy)>0 thỡ
Hệ quả 2.3.5 ([1]) Với Re(x±iy)>0, ta có
Hệ quả 2.3.6 ([1]) Với Re(x±iy)>0, ta có
Z ∞ 0 e −xt J α (yt)t −1 dt h (x 2 +y 2 ) 1/2 −xiα αy α , khi Reα >0, (2.78) và
Z ∞ 0 e −xt J α (yt)dt h (x 2 +y 2 ) 1/2 −xiα y α (x 2 +y 2 ) 1/2 , when Reα >−1 (2.79)
Hệ quả 2.3.7 ([1]) Cho α và β là các số thực Khi đó n→∞lim n −α P n (α,β) cosx n
= (x/2) −α Jα(x) (2.80) Định lý 2.3.8 ([1]) Với Re(à+v)>0, ta cú
Hệ quả 2.3.9 ([1]) Với Re(à+v)>0, ta cú
(2.82)Chi tiết chứng minh của các định lí và hệ quả được trình bày chi tiết trong tài liệu [1].
Hàm Bessel được hiệu chỉnh
Xét phương trình d 2 y dx 2 + 1 x dy dx −
1 + α 2 x 2 y = 0, (2.83) trong đóxlà số thực Phương trình này thường xuất hiện trong vật lý toán Dễ thấy rằng
J α (ix) là nghiệm của phương trình trên Hơn nữa, với x là số thực thì e −απi/2 J α xe πi/2 là hàm thực Khi đó, chúng tôi định nghĩa hàm Bessel được hiệu chỉnh loại một là
Khi α không phải là số nguyên, I α (x) và I−α(x) là hai nghiệm độc lập của (2.83) Khi α=n là số nguyên thì
I n (x) =I−n(x). Để giải quyết trường hợp này, ta xác định hàm Bessel được hiệu chỉnh loại hai như sau
Thật vậy, sử dụng tính chất 1.1, ta có k!Γ(k+ 3/2) = Γ(k+ 1)Γ(k+ 3/2) =√ π2 −2k−1 Γ(2k+ 2) =√ π2 −2k−1 (2k+ 1)!.
Một cách tương tự, ta có
Ta thấy rằngJα(x) tương ứng với các hàmsinvà cos, trong khiIα(x)tương ứng với hàm mũ Khai triển tiệm cận củaI α (x)vàK α (x)có thể thu được theo cách tương tự như khai triển tiệm cận của Jα(x)và Yα(x) Do đó
Tích phân Nicholson
Biểu diễn tích phân cho các hàm Bessel được hiệu chỉnh có thể thu được từ các biểu diễn dành cho hàm Bessel [1] Để chứng tỏ nhận định trên, ta lấy y=i vàRex >1trong (2.79), ta được
Z ∞ 0 e −xt I α (t)dt h x−p (x 2 −1)iα p(x 2 −1) (2.92) Đặt x= coshβ, khi đó (2.92) có thể được viết lại thành
2te −t khit → ∞, ta thay α bằng −α trong 2.93, được
Z ∞ 0 e −t cosh β Kα(t)dt = π sinαπ sinhαβ sinhβ , khi Re(coshβ)>−1 (2.94) Cho α→0 ta được
Ta có công thức Nicholson như sau
Công thức trên là một tổng quát hóa của đẳng thức lượng giác sin 2 x+ cos 2 x= 1 khi α = 1/2 Việc này được thực hiện bằng cách chỉ ra rằng cả hai vế của (2.97) đều thỏa mãn cùng một phương trình vi phân và phân tích dáng điệu tiệm cận của chúng. Đầu tiên chúng tôi chứng minh rằng
N(x)∼ 2 πx khi x→ ∞ (2.98) trong đó N(x)biểu thị vế trái của (2.97) Ta cần chứng minh x→∞lim xN(x) = lim x→∞
Phương trình thứ hai suy ra từ (2.96) Đối với phương trình đầu tiên, chúng tôi chỉ ra rằng
F(x, t) =xK 0 (2xsinht)(cosh 2αt−cosht) hội tụ về 0 Từ K α (t)∼ rπ 2te −t khi t→ ∞, ta có
Bất đẳng thức thứ hai xảy ra dựa trên việc áp dụng định lý giá trị trung bình cho cosh 2αt−cosht Đặt x≥1 Vì sinht≥t và (xt) 1/2 e −xt bị chặn nên ta có
≤A(sinh 2|α|t+ sinht)e − sinh t Điều này đã chứng minh (2.99).
Bước tiếp theo, ta cần kiểm tra xem tích của hai nghiệm bất kỳ của y ′′ +py ′ +qy= 0 có thỏa mãn phương trình y ′′′ + 3py ′′ + (2p 2 +p ′ + 4q)y ′ + (4pq+ 2q ′ )y = 0 hay không Áp dụng vào phương trình Bessel, ta thấy rằng n
Hv (2) (x) o2 và J v 2 (x) +Y v 2 (x)là các nghiệm phân biệt của y ′′′ + 3 xy ′′ +
Bằng cách sử dụng vi phân dưới dấu tích phân, ta sẽ xác minh được rằngN(x)thỏa mãn phương trình vi phân này Phương trình vi phân xK 0 ′′ (x) +K 0 ′ (x)−xK 0 (x) = 0 được thỏa mãn bởi K 0 (x) cũng được yêu cầu trong tính toán Do đó ta có
Do đó với B =C = 0, A= 1, công thức Nicholson đã được chứng minh.
Dễ dàng thấy rằng tất cả các nghiệm không trùng lặp của phương trình Bessel (2.5) đều có các 0-điểm trùng lặp, ngoại trừ 0-điểm tại 0 Đạo hàm cấp một của các nghiệm như vậy cũng có không điểm trùng lặp, ngoại trừ 0-điểm tại 0 và±α.
Từ khai triển tiệm cận cho hàm Bessel ta có thể kết luận rằng đối với α là số thực,J α (x) thay đổi dấu vô hạn lần khi x → ∞ Điều này nói rằng J α (x) và J α ′ (x) có vô số 0-điểm dương Kết luận của J α ′ (x) rút ra từ định lý giá trị trung bình Giả sử j α,1 , j α,2 , là các số 0-điểm dương của J α (x) theo thứ tự tăng dần Khi đó, với α >−1 ta có
Từ (2.16) và định lý giá trị trung bình, suy ra rằng giữa hai 0-điểm của x α+1 J α+1 (x) có một 0-điểm của x α+1 Jα(x) Tương tự, (2.17) nói rằng giữa hai 0-điểm của x −α Jα(x) có một 0-điểm của x −α J α+1 (x) Điều này chứng minh cho (2.101).
Khi α ≤ −1, các 0-điểm của Jα(x) và Jα+1(x) vẫn được xen kẽ bởi đối số trên, nhưng 0-điểm nhỏ nhất của J α+1 (x) gần bằng 0 hơn J α (x) Người ta cũng chứng minh rằng với
−2s < α < −(2s+ 1), s là số nguyên dương thì Jα(x) có 4s 0-điểm phức, tất cả đều có phần thực khác 0 Ngược lại, khi −(2s+ 1)< α < −2(s+ 1), s là số nguyên không âm,
Jα(x) có4s+ 2 0-điểm phức, hai trong số đó là thuần ảo.
Ta có một số tính chất về 0-điểm của các hàm Bessel. Định lý 2.3.10 ([1]) Đặt x1n > x2n > ã ã ã là cỏc 0-điểm của Pn (α,β) (x) trờn [−1,1] và x kn = cosθ kn , 0< θ kn < π Khi đó với k cố định, ta có n→∞lim nθ kn =j α,k Nói riêng, J α (x) có vô số 0-điểm dương.
Một phương pháp để có thể tính các 0-điểm của J α (x) cho α > −1 là thiết lập công thức b 2 −a 2
Z x 0 tJ α (at)J α (bt)dt=x[J α (bx)J α ′ (ax)−J α (ax)J α ′ (bx)] (2.102) Để chứng minh điều này, cần lưu ý rằng J α (ax)thỏa mãn phương trình vi phân
Nhân phương trình này vớiJ α (bx)và nhân phương trình tương ứng củaJ α (bx)vớiJ α (ax) sau đó trừ theo vế, ta được
J α (bx) d dx xdJ α (ax) dx
−J α (ax) d dx xdJ α (bx) dx
= b 2 −a 2 xJ α (ax)J α (bx) (2.103) hoặc d dx[xJ α (bx)J α ′ (ax)−xJ α (ax)J α ′ (bx)] = b 2 −a 2 xJ α (ax)J α (bx) (2.104)
Công thức (2.102) đơn giản là dạng tích phân của công thức này Nếu a là 0-điểm phức của J α (x) thì a¯ cũng vậy Cho x = 1, b = ¯a trong (2.102) và lưu ý tích phân tJα(at)Jα(¯at)>0 Do đó vế trái của (2.102) khác 0 nhưng vế phải bằng 0 Mâu thuẫn này cho ta thấy J α (x) không có 0-điểm phức. Định lý 2.3.11 ([1]) Đặt u 1 (x) và u 2 (x) là nghiệm của phương trình d 2 u 1 dx 2 +ϕ 1 (x)u 1 = 0, d 2 u 2 dx 2 +ϕ 2 (x)u 2 = 0 (2.105) sao cho khi x=a thì u1(a) =u2(a), u ′ 1 (a) =u ′ 2 (a) (2.106)
Cho ϕ 1 (x) và ϕ 2 (x) liên tục trong khoảng a ≤ x≤ b, và u ′ 1 (x), u ′ 2 (x) liên tục trong cùng một khoảng Khi đó, nếu ϕ 1 (x) ≥ ϕ 2 (x) trên toàn bộ khoảng thì |u 2 (x)| vượt quá |u 1 (x)| miễn là xnằm giữa a và 0-điểm đầu tiên của u 1 (x) trong khoảng Do đó, 0-điểm đầu tiên của u 1 (x) trong khoảng nằm ở bên trái 0-điểm đầu tiên của u 2 (x).
2, α∈Rvà lấyϕ 1 (x) = 1−(α 2 −1/4)/x 2 ,ϕ 2 (x) = 1−(α 2 −1/4)/c 2 Khi đó vớix≥c, ta cóϕ 1 (x)≥ϕ 2 (x) Lưu ý rằngu 1 =x 1/2 J α (x)là nghiệm củau ′′ 1 +ϕ 1 (x)u 1 0 Biểu thị nghiệm tổng quát bằngx 1/2 C α (x) Rõ ràng u 2 osωx+Bsinωxtrong đó ω 2 = 1−(α 2 −1/4)/c 2 Theo 2.3.11, nếu c là 0-điểm của C α (x) thì 0-điểm lớn hơn tiếp theo nhiều nhất là c+π/ω Khi |α| ≤ 1/2, lấy ϕ 2 (x) = ω 2 < 1 Do đó, đối với α thực,
J α (x) có vô số số 0-điểm thực Về cơ bản, định lý Sturm nói rằng giá trị của ϕ càng lớn thì dao động của nghiệm của phương trình càng nhanh khi xtăng. Định lý (2.3.11) có thể được sử dụng để chứng minh rằng hiệu của các 0-điểm dương của J α (x) giảm đối với |α| > 1/2 và tăng đối với |α| < 1/2 Giả sử |α| > 1/2, đặt jα,n−1 < j αn < j α,n+1 là ba 0-điểm dương liên tiếp củaJ α (x) Đặtϕ 1 (x) = 1−(α 2 −1/4)/x 2 và ϕ 2 (x) = ϕ 1 (x− k), trong đó k = j αn − jα,n−1 Khi đó ϕ 1 (x) là hàm tăng, vì vậy ϕ 1 (x)≥ϕ 2 (x) Xét khoảng[j αn , j α,n+1 ] Tạix=j αn , u 1 =J α (x) = 0vàu 2 =J α (x−k) = 0.Theo định lý Sturm,u 1 dao động nhanh hơn và do đój α,n+1 −j α,n < j α,n < jα,n−1 Trường hợp |α|−1 và y(x) là nghiệm tùy ý của (2.108) với các 0-điểm tại x 1 , x 2 , theo thứ tự tăng dần Đặt
Dễ thấy khiλ= 0, Mk= ∆xk là sai phân của các 0-điểm liên tiếp củay(x) Khiλ = 1 thì
M k tính diện tích bên dưới vòm được hình thành bởi y(x)từ x k đến x k+1
Ký hiệu ∆ n àk là sai phõn cấp n của dóy {àk} Dễ thấy
∆ n à k = ∆ n−1 à k+1 −∆ n−1 à k và ∆ 0 à k =à k Khi đó ta có các tính chất sau. Định lý 2.3.12 ([1]) Gọiy 1 vày 2 là hai nghiệm độc lập của phương trình vi phân (2.108) trong một khoảng đóng I Giả sử rằng¯
[y 1 (x)] 2 + [y 2 (x)] 2 >0 với n = 0,1, , N, trong đó đạo hàm cấp N tồn tại trong khoảng mở I và các đạo hàm các cấp liên tục trong
Hơn nữa, nếu y(x)¯ là một nghiệm khác của (2.108) với các 0-điểm tại x¯ 1 ,x¯ 2 , và nếu x 1 >x¯ 1 thì
(−1) n ∆ n (x k −x¯ k )>0 for n= 0, , N;k= 1,2, Định lý này mang lại kết quả về hàm Bessel khi áp dụng vào phương trình (2.107). Hai nghiệm độc lập của phương trình này là√ xJ v (x) và√ xY v (x) Gọi √ xC v (x) biểu thị nghiệm tổng quát Để áp dụng Định lý (2.107), ta nghiên cứu biểu thức p(x) =x[J v (x)] 2 +x[Y v (x)] 2 , (2.110) có thể được biểu diễn bằng tích phân Nicholson (2.97).
Chúng ta cần công thức sau đây:
[K 0 (2xsinht) + 2xsinhtK 0 ′ (2xsinht)] cosh 2vtdt.
Tích phân từng phần vế phải, ta được p ′ (x) = 8 π 2 [K 0 (2xsinht) tanhtcosh 2vt] ∞ 0
K 0 (2xsinht) cosh 2vt− d dt(tanhtcosh 2vt) dt.
Số hạng đầu tiên vế phải bằng 0 vì theo định nghĩa (2.85), K 0 (x) hoạt động giống như logx khi x→0, trong khi (2.88) đưa ra hành vi củaK 0 (x) dưới dạng x→ ∞ Do đó p ′ (x) = 8 π 2
K 0 (2xãsinht) tanhtcosh 2vt[tanht−2νtanh 2vt]dt (2.112)
Dễ dàng kiểm tra biểu thức trong ngoặc âm với |v| >1/2 và phần còn lại là dương Vậy p ′ (x)0 với x >0, n = 0,1,2, Do đó, các điều kiện của Định lý (2.107) đúng cho phương trình (2.107) khi |v|> 1/2 Vì vậy, chúng ta có hệ quả tất yếu sau.
Hệ quả 2.3.13 ([1]) Gọi c νk ,c¯ νk là 0-điểm dương thứ k theo thứ tự tăng dần của bất kỳ cặp nghiệm không tầm thường nào trong phương trình Bessel (2.107), |ν| > 1/2 Giả sử λ >−1, đặt
Khi đó, với k = 1,2, , ta có
(−1) n ∆ n M k >0 với n= 0,1, , (−1) n−1 ∆ n c νk >0 với n= 1,2, , (−1) n ∆ n (c v,m+k −c¯ νk )>0 với n= 0,1, với m là một số nguyên không âm cố định, c v,m+1 >c¯ v1 Đặc biệt,
(−1) n ∆ n (j νk −y vk )>0 for n= 0,1, ,trong đó j vk , y vk lần lượt là các 0-điểm dương thứ k của J v (x) và Y v (x).
Một số ứng dụng của hàm Bessel
Tích phân Airy
Hàm chỉ số bán nguyên thường xuất hiện trong các ứng dụng, đặc biệt là trong các bài vật lý toán giải trong hệ tọa độ cầu Phương pháp tách biến trong các bài toán này cho ra các nghiệm có chứa thành phần là tích của hàm trụ và hàm mũ có cùng đối số Liên quan đến vấn đề này, các tác giả khác nhau đã đặt tên khác nhau cho các tích khác nhau thuộc loại này Chúng tôi đưa ra ký hiệu của Sommerfeld ψ n (z) 1
Trong nhiều tài liệu, hàm r π 2zJ n+1/2 (z), rπ 2zY n+1/2 (z), rπ 2zH n+1/2 (1) (z) được gọi là các hàm cầu Bessel loại một, loại hai và loại ba [1].
Ta xét phương trình vi phân
Nghiệm của phương trình (2.113) có thể được biểu diễn dưới dạng các hàm Airy tổng quát
Các hàm này và đạo hàm của chúng với đối số s được liên kết với các hàm Bessel bằng các quan hệ sau:
Với α= 1 chúng ta thu được các hàm gọi là hàm Airy
Tên của các hàm U 1 và U 2 được quy ước bởi thực tế chúng liên hệ chặt chẽ với tích phân Airy
Viết cụ thể (2.117), ta được
(2.119) Để chứng minh tính đúng đắn của các công thức này, ta cần vi phân hai lần (2.117) đối với tham sốx và nhận xét rằng tích phân này thỏa mãn phương trình vi phân sau d 2 v dx 2 ± 1
3xv = 0. Đây là trường hợp đặc biệt của phương trình (2.113).
Ta ký hiệu tích phân Airy bởi
3t 3 dt (2.120) và hàm tự liên hợp
Tích phân Bessel và khai triển Jacobi
Ta xét khai triển chuỗi lũy thừa của các hàm exp(zt/2)và exp
(−1) s z r+s t r−s r!s!2 r+s (2.122) Đặt s =m, r =m+n Vì 1 Γ(m+n+ 1) = 0 với n