Hàm bessel, các hàm liên quan và ứng dụng

81.1.4 Chuỗi lũy thừa và ứng dụng trong giải phương trình vi phân.. 162 Một số vấn đề về hàm Bessel và ứng dụng 202.1 Áp dụng phương pháp Frobenius để giải phương trình Bessel.. Trong đó

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN ĐỖ THỊ NA NA HÀM BESSEL, CÁC HÀM LIÊN QUAN VÀ ỨNG DỤNG ĐỀ ÁN THẠC SĨ PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Bình Định - Năm 2023 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN ĐỖ THỊ NA NA HÀM BESSEL, CÁC HÀM LIÊN QUAN VÀ ỨNG DỤNG ĐỀ ÁN THẠC SĨ PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Ngành : Phương pháp Toán sơ cấp Mã số : 8460113 Người hướng dẫn : PGS TS Đinh Thanh Đức Bình Định - Năm 2023 i Lời cam đoan Tôi xin cam đoan nội dung trong luận văn "Hàm Bessel, các hàm liên quan và ứng dụng" là do bản thân thực hiện theo logic riêng dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Đinh Thanh Đức Các nội dung và kết quả sử dụng trong đề án đều có trích dẫn và chú thích nguồn gốc rõ ràng Bình Định, ngày tháng 10 năm 2023 Tác giả Đỗ Thị Na Na ii Mục lục Lời cam đoan i Mở đầu iii 1 Một số kiến thức chuẩn bị 4 1.1 Một số kiến thức cơ bản 4 1.1.1 Hàm Gamma 4 1.1.2 Phương trình vi phân 6 1.1.3 Bài toán Sturm-Liouville 8 1.1.4 Chuỗi lũy thừa và ứng dụng trong giải phương trình vi phân 10 1.2 Phương pháp Frobenius 16 2 Một số vấn đề về hàm Bessel và ứng dụng 20 2.1 Áp dụng phương pháp Frobenius để giải phương trình Bessel 20 2.2 Các loại hàm Bessel 26 2.3 Một số tính chất của hàm Bessel 29 2.3.1 Quan hệ truy hồi 30 2.3.2 Biểu diễn tích phân của hàm Bessel 32 2.3.3 Mối quan hệ giữa phép biến đổi Fourier và hàm Bessel 35 2.3.4 Tích phân của hàm Bessel 38 2.3.5 Hàm Bessel được hiệu chỉnh 42 2.3.6 Tích phân Nicholson 44 iii 2.3.7 0-điểm của hàm Bessel 46 2.3.8 Tính đơn điệu của hàm Bessel 48 2.4 Một số ứng dụng của hàm Bessel 51 2.4.1 Tích phân Airy 52 2.4.2 Tích phân Bessel và khai triển Jacobi 54 2.4.3 Phương trình nhiệt trong tọa độ cực 56 2.4.4 Bài toán Dirichlet trong hình trụ 59 Tài liệu tham khảo 63 1 Mở đầu Lý thuyết hàm đặc biệt đóng một vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu và phát triển các công trình toán học, ứng dụng nhiều trong các lĩnh vực toán học lý thuyết và giải các bài toán thực tế Bên cạnh đó, mối liên quan của chúng với các hàm số sơ cấp là một vấn đề cần được nghiên cứu Vì vậy, tôi lựa chọn nghiên cứu một số vấn đề về hàm Bessel và mối liên quan với các hàm sơ cấp hay hàm đặc biệt khác Trong đó, hàm Bessel là một lớp các hàm đặc biệt được đặt tên theo nhà khoa học người Đức Friedrich Bessel Các hàm này được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực toán học, vật lý và kỹ thuật, đặc biệt là trong các bài toán liên quan đến truyền sóng, xử lý tín hiệu và truyền nhiệt Các hàm Bessel được định nghĩa đầu tiên bởi nhà toán học Daniel Bernoulli và sau đó được Friedrich Bessel tổng quát hóa, là nghiệm chính tắc y(x) của phương trình vi phân Bessel 2 d2y dy 2 2 x 2 + x + x − α y = 0 dx dx Hàm Bessel là một dạng tổng quát của hàm sin Nó có thể được hiểu là sự dao động của một sợi dây có độ dày thay đổi, lực căng thay đổi (hoặc đồng thời cả hai điều kiện); rung động trong môi trường có đặc tính thay đổi; rung động của màng đĩa, Phương trình Bessel phát sinh khi tìm nghiệm riêng cho phương trình Laplace và phương trình Helmholtz trong tọa độ trụ hoặc cầu Do đó, hàm Bessel đặc biệt quan trọng đối với nhiều bài toán về truyền sóng và điện thế tĩnh Khi giải các bài toán trong hệ tọa độ trụ, người ta thu được các hàm Bessel cấp số nguyên (α = n); trong bài toán hình cầu, người ta thu 1 được các cấp bán nguyên α = n + 2 Quá trình giải các bài toán tìm phương trình truyền sóng và phương trình truyền nhiệt 2 bằng phương pháp tách biến đều đưa ta đến bài toán giải các phương trình vi phân Trong đó ta thường gặp phương trình vi phân dạng d dy L(y) = p(x) + q(x)y = −λr(x)y với x ∈ [a; b] (1) dx dx Điều kiện biên ở mỗi điểm có dạng  dy(a)  β1y(a) + β2 dx = 0,  β3y(b) + β4 dy(b) = 0, dx trong đó β1, β2, β3, β4 là các hằng số độc lập của λ thoả mãn điều kiện: β21 + β22̸ = 0 và β23 + β24̸ = 0 Phương trình (1) có chứa tham số λ Quá trình đi tìm tham số λ để phương trình (1) có nghiệm không tầm thường gọi là bài toán tìm giá trị riêng hay bài toán Stum- Liouville Quá trình giải bài toán Stum-Liouville đưa ta đến các hàm đặc biệt, trong đó có hàm Bessel Trong giới hạn của đề án này, chúng tôi chỉ xét các tính chất và ứng dụng của hàm Bessel Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung chính của đề án thạc sĩ gồm có 2 Chương Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Trong Chương này, chúng tôi hệ thống hóa lại các kiến thức cơ sở về hàm Gamma, phương trình vi phân, bài toán Sturm-Liouville, chuỗi lũy thừa và ứng dụng trong giải phương trình vi phân, phương pháp Frobenius để triển khai trong đề án này Chương 2: Một số vấn đề về hàm Bessel và ứng dụng Trong Chương này, tác giả tập trung nghiên cứu và làm rõ định nghĩa và tính chất cơ bản của hàm Bessel, các khái niệm liên quan, mối quan hệ hàm Bessel và các hàm khác Từ đó ứng dụng hàm Bessel vào các bài toán liên quan Đề án được thực hiện và hoàn thành tại Trường Đại học Quy Nhơn dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Đinh Thanh Đức Tác giả muốn bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến Thầy, 3 người đã định hướng, tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất và cho tôi những nhận xét quý báu để tôi có thể hoàn thành đề án với hiệu quả cao nhất Tôi cũng xin phép gửi lời cảm ơn chân thành đến quý Thầy, Cô đã giảng dạy lớp Phương pháp toán sơ cấp trường Đại học Quy Nhơn cũng như toàn thể quý Thầy Cô Khoa Toán và Thống kê, trường Đại học Quy Nhơn, những người đã cho tôi kiến thức, quan tâm, động viên, nhiệt tình giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập cũng như trong thời gian thực hiện đề tài Cuối cùng, tôi xin phép gửi lời cảm ơn đến gia đình và những người bạn luôn quan tâm, giúp đỡ và động viên tôi trong suốt quãng đường học tập vừa qua Mặc dù tác giả đã rất cố gắng học hỏi, tìm tòi và nghiên cứu trong quá trình hoàn thành đề án, nhưng do hạn chế về thời gian và trình độ nên trong đề án vẫn không tránh khỏi những thiếu sót Rất mong nhận được sự góp ý của quý Thầy, Cô và bạn đọc để đề án được hoàn thiện hơn Bình Định, ngày tháng 10 năm 2023 Tác giả Đỗ Thị Na Na 4 Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị Để nghiên cứu lý thuyết về hàm Bessel, trong Chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản về một số tính chất của hàm Gamma, phương trình vi phân, chuỗi lũy thừa, một số tính chất của chuỗi lũy thừa, đặc biệt là cách giải các phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗi lũy thừa và phương pháp Frobenius Những nội dung này được tác giả tham khảo trong các tài liệu ([1], [2], [3]) 1.1 Một số kiến thức cơ bản 1.1.1 Hàm Gamma Hàm Gamma đóng vai trò quan trọng khi định nghĩa hầu hết các hàm Bessel Trong đề án này, chúng tôi chỉ nêu định nghĩa và sử dụng một số tính chất của hàm Gamma liên quan đến hàm Bessel [2] Định nghĩa 1.1.1 ([2]) Giả sử z là một số phức sao cho Re(z) > 0 Hàm Gamma Γ được định nghĩa như sau ∞ Γ(z) = e−ttz−1dt 0 Sử dụng tích phân từng phần, ta có được hệ thức truy hồi sau Γ(z + 1) = zΓ(z) 5 Trên thực tế, với mọi n ∈ N ∪ {0}, Γ(n + 1) = n! Ngoài ra, Euler và Weiestrass đưa ra định nghĩa hàm Gamma cho tất cả các giá trị phức của z ngoại trừ số nguyên âm bằng cách sử dụng tích vô hạn ˆ Định nghĩa bởi Euler: Γ(z) = lim n!nz n→∞ z(z + 1)(z + 2) (z + n) ˆ Định nghĩa của Weierstrass: 1 ∞ 1 + z e−z/n , n = ze γz Γ(z) n=1 trong đó 11 1 γ = lim 1 + + + · · · + − log n ≈ 0.5772 n→∞ 23 n là hằng số Euler Từ các định nghĩa trên, chúng ta có được một số tính chất của hàm Gamma Tính chất 1.1.2 Nếu n ∈ N thì Γ′(n + 1) 11 1 = −γ + 1 + + + · · · + , Γ(n + 1) 23 n trong đó γ là hằng số Euler Tính chất 1.1.3 Giả sử z ∈ C Khi đó, 22z−1 1 Γ(2z) = √ Γ(z)Γ z + π 2 Tính chất 1.1.4 Cho z ∈ C\Z Khi đó, Γ(z)Γ(1 − z) = π (1.1) sin πz Đặc biệt, trong trường hợp z = 1/2 thì √ Γ(1/2) = π Chứng minh của các tính chất này và tài liệu chi tiết liên quan đến hàm Gamma có thể được tìm thấy trong [4]