Ứng dụng hàm bessel giải các bài toán truyền sóng và truyền nhiệt

LỜI NĨI ĐẦU Trong Vật lý-Tốn sinh viên làm quen với số phương pháp như: phương pháp tách biến, phương pháp đặt biến phụ…để giải toán truyền sóng truyền nhiệt việc chọn hệ toạ độ tách biến phụ thuộc vào hình dạng vật, vật có hình dạng trụ trịn ta giải tốn hệ toạ độ trụ dẫn đến phương pháp giải đơn giản Khi giải phương trình truyền sóng phương trình truyền nhiệt có dạng hình trịn hình trụ phương pháp tách biến dẫn đến phương trình vi phân Bessel Q trình học mơn Vật lý-Tốn sinh viên làm quen với số hàm đặc biệt như: hàm Lagrăng, hàm Bessel… việc tìm hiểu sâu vào tính chất, đặc điểm hàm cịn hạn chế thời gian ngắn Q trình giải toán bên cạnh tư vật lý cịn địi hỏi sinh viên kỹ giải tích tốn học đặc biệt việc giải phương trình vi phân, việc cố nâng cao kỹ toán học sinh viên quan trọng Vì lí tơi trọn đề tài: “ỨNG DỤNG HÀM BESSEL GIẢI CÁC BÀI TOÁN TRUYỀN SĨNG VÀ TRUYỀN NHIỆT”, hi vọng khố luận giúp đỡ sinh viên ngành Vật lý việc giải tập phương trình truyền sóng phương trình truyền nhiệt Chúng ta gặp tốn phương trình truyền sóng truyền nhiệt khơng gian nhiều chiều, nội dung khóa luận chúng tơi xin giới thiệu số tốn xét không gian hai chiều ba chiều Bằng kiến thức Vật lí-tốn, Giải tích…bằng cách tìm tịi thu thập tài liệu tơi hồn thành khóa luận với nội dung sau: Chương I: Tổng quan hàm Bessel Chương II: Ứng dụng hàm Bessel giải phương trình truyền sóng màng trịn (trụ) Chương III: Ứng dụng hàm Bessel giải phương trình truyền nhiệt màng tròn (trụ) Kết luận chung Đây giai đoạn đầu người tập làm nghiên cứu khoa học với kiến thức chưa nhiều, vốn kinh nghiệm cịn quỹ thời gian có hạn nên chắn khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót, mong quan tâm, đóng góp ý kiến chủa thầy giáo bạn sinh viên để khóa luận hồn chỉnh Cuối cùng, tơi xin tỏ lịng cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo Nguyễn Tiến Dũng giúp đỡ nhiều kiến thức, phương pháp tài liệu Xin chân thành cảm ơn Thầy giáo, Cô giáo khoa Vật lý bạn bè giúp đỡ tơi hồn thành tốt khóa luận Vinh, tháng năm 2009 Tác giả HOÀNG VĂN THY Ch-ơng I Tổng quan Hàm Bessel I- Ph-ơng trình Bessel Quá trình giải toán tìm ph-ơng trình truyền sóng ph-ơng trình truyền nhiệt ph-ơng pháp tách biến đ-a ta đến toán giải ph-ơng trình vi phân Trong ta th-ờng gặp ph-ơng trình vi phân dạng: d dy Ly    px    qx y  r x y (1.1) dx  dx  víi x a, b Điều kiện biên điểm cã d¹ng: dy (a)   y ( a)   0   dx   y (b)   dy (b)   dx  (1.2) ®ã 1 ,  , , số độc lập thoả nÃm điều kiện: 12 22  vµ  32   42  Ph-ơng trình (1.1) có chứa tham số Quá trình tìm tham số để ph-ơng trình (1.1) có nghiệm không tầm th-ờng gọi toán trị riêng hay toàn Stum-Liouville Quá trình giải toán Stum-Liouville đ-a ta đến hàm đặc biệt Trong có hàm Bessel Trong giới hạn khoá luận xét tính chất ứng dụng hàm Bessel Xét toán Stum-Liouville    (1.3) víi p(x) = 1, q(x)= 0, r(x) =1 điều kiện biên toán : Trong hệ toạ độ cầu:          2    r   sin  r r  r  r sin     r sin   ký hiÖu:     2  ,   sin  Sin      sin   thay vµo biĨu thức (1.3) ta đ-ợc:   r    , r r  r  r Hµm  r, , đ-ợc tìm d-ới dạng tích hàm: (1.4)  r, ,    Rr Y ( ,  ) thay vµo biĨu thøc (1.4) ta ®-ỵc: 1   (r R ' )' Y  R , Y r r Ph-¬ng trình (1.3) đ-ợc viết lại: 1 (r R ' ) ' Y  R , Y  RY  r r  ((r R' )'  r R )Y   R , Y  Y ( r R ' ) '  r R     , R Y (1.5) VÕ tr¸i cđa (1.5) chØ phơ thuộc r, vế phải phụ thuộc vào , Do để (1.5) xảy hai vÕ cđa (1.5) ®Ịu b»ng h»ng sè   , Y  Y   Do ®ã:  r R ' '       R  (1.6)  r 2 r R Đặt x r y ph-ơng trình (1.7) đ-a ph-ơng tr×nh: x   ' 2 y  y  (1  ) y  x x '' víi     (1.7) Ph-ơng trình (1.7) gọi ph-ơng trình Bessel cấp II Hàm Bessel Giải ph-ơng trình Bessel: ' y  y  (1  ) y  x x '' '  x y  xy  ( x   ) y '' (1.8) Giải ph-ơng trình (1.8) ta dùng ph-ơng pháp chuỗi luỹ thừa, nghiệm đ-ợc tìm d-ới dạng chuỗi luỹ thừa vô hạn: y( x ) x (a0  a1 x  a2 x   ak x k  ) víi a0≠ Thay chuỗi vô hạn (1.9) vào ph-ơng trình (1.8) ta ®-ỵc: (1.9)    x  a0 x     1  a1 x  1         k   ak  ak 2 k 2 k (1.10) Chuỗi (1.10) chØ b»ng  x khi: a0 (   )   2    1   a1     2     k   ak  ak 2         (1.11) Víi k = 2,3… V× a0  nên từ ph-ơng trình đầu hệ ph-ơng trình (1.11) suy     NÕu  từ ph-ơng trình sau (1.11) ta đ-ợc: a1 ak ak k k Do hệ số có số lẻ có giái trị Ta tìm hệ số chẵn ak với k =2n k  (n  1)  a2   k  (n  2)  a4   (n=1,2,3 ) a0 2 (  1)1! a2 a a0  2  4(2  4)   22!   1  22! k  ( n  3)  a   a4 a4 a0   6(2  6) 2  3!   1  2  3!  tỉng qu¸t víi sè h¹ng k =2n : a0  1 a2 n  n   1  2     n n! n NÕu chän: a2 n  a0     1  với hàm Gama, ta đ-ợc: 1n 2 n   1  2     n n!    1 Theo tÝnh chÊt cđa hµm Gamma:   1  2  3   nn!    1   (  n  1) n   1 a2 n  n n!  n đó: Thay giá trị a2n a2n+1 vào chuỗi (1.9) ta nhận đ-ợc nghiệm riêng ph-ơng trình (1.8): n 1  x   2 J ( x )   n  n!  n    1 n J ( x ) gäi lµ hµm Bessel lo¹i cÊp  NÕu    nghiệm thứ ph-ơng trình (1.8) đ-ợc tìm c¸ch thay  b»ng - n  n  x  1    2 J  ( x )   n  n!  n Các giá trị nguyên không nguyên Giá trị cho ta mèi quan hƯ cđa J ( x ) vµ J ( x ) Nếu nhận giá trị không nguyên, ta thấy rằng: Khi x thì: J x   vµ J  x  J ( x ) J ( x ) độc lập tuyến tính Vì nghiệm ph-ơng trình Bessel (1.8) là: y( x )  C1 J ( x)  C2 J ( x) với C1, C2 số tuỳ ý Nếu số nguyên, tính chất t-ơng tự cđa J ( x ) vµ J  ( x ) nên ta xét với số nguyên d-ơng Khi (- +n+1) nhận giá trị âm víi n    , v× vËy:   n  1   víi n = 0,1,2,…-1 n số hạng khai triển cđa hµm J  ( x ) b»ng n   1  x   2 J  ( x )   n  n!  n    1 n suy ra: (1.12) NÕu đặt l = n- ta có: l  1  x   2 J  ( x )   l  (l   )!  l  1  l l   1  x   2  (1) J ( x) hay J  ( x)   l    1l! l 0 nh- vËy J ( x ) vµ J  ( x ) phơ thuéc tuyÕn tÝnh J x cos   J  ( x ) Ta đ-a vào hàm: x gọi hàm Bessel loại sin Khi số nguyên d-ơng k thì: J x  cos   J  ( x )  x  = lim k  sin  x nghiệm riêng ph-ơng trình (1.8) độc lập tuyến tính với J ( x ) Do ®ã nghiƯm cđa (1.8) tr-êng hợp nguyên d-ơng là: l y(x)=C1 J (x)+C2 x với C1, C2 số tuỳ ý III Các tính chất hàm Bessel TÝnh chÊt truy håi  J '  x   J 1  x   J  x  ; x J '  x    J 1  x    x J  x  ;  x     x    1  '  x    x (1.13.a)  x     x  (1.13.b)   1  '  x    x 2 2 (1.13.c) x     x    J  x   J 1  x  ;    1  1  x  x x Chóng ta dễ dàng chứng minh tính chất Ví dụ công thức (1.13.a) ta có: n  d  d   1 x 2 2 n  x J x    = dx dx  n0 n!  n    1 2 2 n  J 1  x      1n (2  2n) x 2 2n1 = 2  n n 0 n!n    1    n 1    1   x =x  = x J 1 x    n  n!n         d  x J x   x 1 J x   x J ' x  dx  x J 1 x   x 1 J x   x J ' x    J 1  x   J  x   J ' x x Mặt khác: nên ta có:    J'  x   J 1  x   J  x  x Theo chứng minh thay - thì:  ' J   x   J    x   nh©n J  x  x (*) (**) cos( ) vµo hai vÕ ph-ơng trình (*) nhân vào hai vế sin( ) sin( ) ph-ơng trình (**), tiến hành trừ vế hai ph-ơng trình trên, ta đ-ợc: cos   J '  x  J '   x    sin   sin    cos   J 1  x  J  1  x     cos   J   x  J   x         sin  sin  x sin  sin                '  x    1  x     x  x Tõ (*) (***) ta suy điều phải chứng minh (***) Các tính chất lại đ-ợc chứng minh t-ơng tự Tính trực giao hàm Bessel Nếu  ,  ,  n  lµ nghiệm d-ơng (thực) ph-ơng trình x J x Thì hàm J  i  lËp thµnh mét hä trùc giao víi trọng số x L đoạn [0,L], tức là: 0 nÕu i  j x x      xJ  J  dx       i  j 0  L   L   L J' ( I )  L2 J21 ( I ) nÕu i  j  2 L ThËt vËy: Do J x nghiệm ph-ơng trình Bessel (1.8) nên J kx nghiệm ph-ơng trình Bessel (1.8) với k số thực d dJ  kx      x  k x   J  kx   dx  dx   x V× vËy ta có: Do với giá trị k1, k2 bất k× th×: d  dJ  k1 x      x  k2 x   J  k1 x   dx  dx   x (1.14) d  dJ  k2 x      x  k2 x   J  k2 x   dx  dx   x (1.15) Nh©n J k2 x vào (1.14), nhân J k1 x vào (1.15) trừ hai vế hai ph-ơng trình, ta đ-ợc: k k22 xJ k1 x J k2 x dx  dJ k1 x  dJ k2 x  d      xJ k x  xJ k x   dx  dx dx  lÊy tÝch ph©n tõ L ph-ơng trình trên: k12 k22  0 xJ  k1x  J  k2x  dx  L k1J k2L .J' k1L   k2J k1L  J' k2L  L (1.16) Gäi  , j hai nghiệm d-ơng ph-ơng trình J x   , (1.16) lÊy k1 = i k2= j ta đ-ợc: L L   i   J  k1 L   J   L   J   i    L     J k L   J   j L   J      j     L   nªn vế phải ph-ơng trình (1.16) NÕu i ≠ j tøc lµ  i ≠  j k k2 L Từ ph-ơng trình (1.16) suy ra:  xJ k x .J k x .dx Nếu i=j.Trong ph-ơng trình (1.16) ta xem k1 lµ h»ng sè (cho tr-íc) vµ k2 biến số Ph-ơng trình (1.16) đ-ợc viết lại: Lk1 J  k1L  J'  k1L  0 xJ  k1 x  J  k2 x .dx  k22  k12 L (1.17) k2  k1 ta đ-ợc: lim k2 k1 Lk1 J k2 L J' k1 L  L2 k1 J' k2 L J' k1 L  L2 '  lim k2 k1  J k1 L  k22  k12 2k 2 (vì biểu thức tính giới hạn có dạng , nên giới hạn đ-ợc tìm theo quy tắc L’Hospital) L Do ®ã:  xJ k1 x J k2 x dx  L2 ' J k1 L  L2 '   xJ  k1 x  J  k2 x  dx  J  i  0 nÕu i  j L   x  x 0 xJ  i L  J   j L dx  L2 J' ( I )  L2 J21 ( I ) nÕu i  j  2 L nh- vËy: (v× theo tÝnh chÊt truy håi J'  i    J 1  i  Một số tr-ờng hợp riêng hàm Bessel Các hàm Bessel th-ờng gặp Vật lí toán hµm J x , J1 x , x hàm bán nguyên J x   n  Hµm Bessel cÊp cấp đ-ợc khai triển d-ới dạng chuỗi vô h¹n: 2k x2 x4 x6 x k J x     2  2    1    2 4 k!2   2k x x2 x4 x6 k  x J1  x   (1       1    2 2 2.4 2.4 2.4 k !(k  1)!   Tõ c«ng thøc truy håi J 1 x   2 J x   J x , hàm J x , J x có x thể đ-ợc tìm tõ J x , J1 x  10 Ch-ơng ứng dụng hàm Bessel giải toán truyền nhiệt màng (trụ) tròn 1.Bài toán Một khối chất hình trụ có nhiệt độ ban đầu đó, đ-ợc đặt tiếp xúc với nguồn nhiệt Khi có trao đổi nhiệt khối chất ngn nhiƯt z y x H×nh 6: BiĨu diƠn khối chất Ph-ơng trình truyền nhiệt: u u    u    u  (3.1) c           F( x, y, z, t ) t x  x  y  y  z  z  ph-ơng trình (3.1) ph-ơng trình truyền nhiệt vật đẳng h-ớng không đồng chất, đó: C: nhiệt dung (x,y,z): Mật độ khối l-ợng k(x,y,z): Hệ số dẫn nhiệt vật rắn F(x,y,z): mật độ nguồn nhiệt u(x,y,z): Nhiệt độ vật rắn Nếu vật đồng chất c, , k số thì(3.1) có dạng u  2u  2u  u  a (   )  f ( x, y, z, t ) (3.2) t x y z ®ã: k gäi lµ hƯ sè trun nhiƯt c F ( x , y , z) f(x,y,z)= c a2 Nếu vật nguồn nhiệt F(x,y,z)0 ph-ơng trình (3.2) trở thành: u 2u 2u  u a (   2) t x y z 31 Để giải toán truyền nhiệt ta cần phải xác định điều kiện biên điều kiện ban đầu: diều kiện biện: Cho biết nhiệt độ đ-ợc xác định biên miÒn: u( x , y , z ,t ) ( x ,y ,z )S  f ( x , y , z ,t )  Cho biÕt dßng nhiƯt qua biên đ-ợc xác định rõ biên miÒn: u ( x, y, z, t ) n   gradu.n ( x , y , z )S ( x , y , z )S  f ( x, y, z ) ( x, y , z )S biên bảo vệ, tức biên cách nhiệt th×: u ( x, y, z, t ) n ( x , y , z )S   gradu.n ( x , y , z )S   §iỊu kiện biên hỗn hợp: u ( x, y, z, t )  hu ( x, y, z, t ) ( x , y , z )S  f ( x, y, z, t ) ( x , y , z )S n đó: h số không âm (h0) f3 dòng nhiệt đà đ-ợc xác định II- Ph-ơng pháp giải: Tìm nhiệt độ ống trụ tròn, dài hữu hạn, có bán kính r0 (0rr0; 02; z L) Nếu nhiệt độ ban đầu có d¹ng u t 0  f (r ,  , z ) , biết mặt trụ trì nhiệt độ không Trong toạ độ trụ ph-ơng trình truyền nhiƯt cã d¹ng: u  u  u  2u  a2[ (r )   ] (3.3) t r r r r  z Các điều biên: u(r0,,z,t)=0; u(r,,0,t)=0; u(r,,L,t)=0 Điều kiện ban đầu: u t f (r , , z ) Chọn nghiệm d-ới dạng tách biến: u(r,,z,t)=R(r)()Z(z)T(t) thay vào ph-ơng trình (3.3) ta đ-ợc: T '(t ) [rR '(r )]'  '' ( ) Z '' ( z )    a 2T (t ) R(r ) r r ( ) Z ( z ) (3.4) vế trái (3.4) hàm phụ thuộc vào thời gian, vế phải hàm phụ thuộc vào toạ độ Nh- để (3.4) xảy hai phải số- 32 Ph-ơng trình (3.4) dẫn đến hai ph-ơng trình t-ơng đ-ơng: [rR '(r )]' '' ( ) Z '' ( z )      r r ( ) Z ( z ) (3.5)  R(r ) T'(t)+ a 2T(t)=0  Tõ ®iỊu kiƯn biªn ta thÊy r»ng: Z(0)= Z(L) = R(r0) = Ta xét ph-ơng trình thứ hệ ph-ơng trình (3.5): [rR '(r )]'  '' ( ) Z '' ( z )     (3.6) R(r ) r r ( ) Z ( z) hai vÕ cđa (3.6) phơ thc vào biến số độc lập, đó: Z '' ( z)  Z ( z)   Víi  lµ h» ng sè  (3.7)  ' '' [ rR '( r )]  (  )        R (r ) r r ( ) Biến đổi ph-ơg trình thứ hai hệ ph-ơng trình (3.7) ta đ-ợc: '' ( ) ' (3.8) [rR '(r )] r   r   R (r ) ( ) hai vế (3.8) phụ thuộc vào biến số ®éc lËp, ®ã:   '' ( )  ( )    Víi  lµ h» ng sè  (3.9)  ' [ rR '( r )]       R (r ) r r Xét ph-ơng trình thứ hệ ph-ơng trình (3.9): '' ( ) ( ) (3.10) hàm () hàm tuần hoàn với chu kì 2, lí luận t-ơng tự nh- phần giải ph-ơng trình truyền sóng ta suy đ-ợc phải số tự nhiên: = n = 0,1,2,3,4,5, Nghiệm ph-ơng trình (3.10) là: ()=Acos(n)+Bsin(n) Xét ph-ơng trình thứ hai hệ ph-ơng trình hệ (3.9): [ rR' (r )]'     R (r ) r r  r2R’’(r)+rR’(r)+(r2-n2)R(r)=0 thay x= r vào ph-ơng trình ta đ-ợc ph-ơng trình Bessel: x2R(x)+x.R(x)+(x2-n2)R(x)=0 33 (3.11) ph-ơng trình (3.11) ph-ơng trình Bessel cấp n, ph-ơng trình có nghiệm: R(x)=nJn(x)+nn(x) Kết hợp víi ®iỊu kiƯn: R     n  (Vì hàm n(0) ) nên R(x)=nJn(x) Theo ®iỊu kiƯn ban ®Çu: R(r0)=nJn(  r0)=     nk   k( n )    r0   , nh vËy nghiƯm cđa ph-ơng trình thứ hai hệ (3.9) là:  k( n )  r   r0  R(r)=Rnk(r)=nJn Xét ph-ơng trình thứ hệ ph-ơng tr×nh (3.7): Z '' ( z )   hay Z '' (z)  Z (z)  Z ( z) Giải ph-ơng trình ta đ-ợc: Z(z)=Ccos( z)+Dsin( z) theo điều kiện biên: Z(0)= C= m m ) Z(L)=0      ( L L ®ã: m = 0, 1, 2, 3… VËy nghiƯm cđa thø nhÊt cđa hƯ ph-¬ng trình (3.7)là: Z(z) = Dsin( m k( n )   ( ) +  Ta cã: =+   = r L   m z) L ph-ơng trình T'(t)+ a 2T(t)=0 có nghiệm: T (t )  Tnk (t )  e  (n)  m    k      L   r0      2  a 2t   NghiÖm tổng quát ph-ơng trình (3.3) có dạng: u(r, , z, t )  2   (n)    m   k   a2 t  L   r0       k( n ) m z       Jn ( r )( Amnk cos(n )  Bmnk sin(n )  sin( )e r0 L m 1 n , k     ¸p dơng tính trực giao hàm l-ợng giác: 34 (3.12) 0 NÕu n  n' 2  ' , cos( n  ) cos( n  ) d   2 NÕu n  n  0  ,  NÕu n  n  0 NÕu m  m , 2 ' m m  0 sin( L z) sin( L z).dz   L NÕu m  m ,  2 Do tÝnh chÊt trùc giao hàm Bessel, lí luận t-ơng tự theo phần ph-ơng trình sóng màng, ta tính đ-ợc hệ số khai triển: Nhân cos(n) vào (3.12) với t = 0, lấy tích phân ta đ-ợc: r L 2 n k( n ) m z Amnk  rf ( r ,  , z )cos( n  )sin( ) J ( r )drd dz (3.13)    n ( n) L r  Lr0  Jn1  k  0 0 (víi n=n) Nhân sin(n) vào (3.12) với t = 0, lấy tích phân ta đ-ợc: Bmnk k( n ) m z  ) Jn ( r )drd dz (3.14)    rf ( r,  , z)sin( n )sin( ( n) L r 0  Lr0  Jn1  k  r0  L (víi n=n’) 1 NÕu n  víi  n   2 NÕu n  III Các tập áp dụng Bài tập 1: Tìm nhiệt độ ống trụ dài vô hạn với tiết diện hình tròn, biết nhiệt độ điểm cách trục ống khoảng nh- Bề mặt ống trụ trì nhiệt độ không nhiệt độ ban đầu: u(r,0)=f(r) Giải: Vì điểm cách trục ống khoảng nh- có nhiệt độ nhau, ống dài vô hạn nên hàm nhiệt độ phụ thuộc vào bán kín r thời gian t u=u(r,t) Ph-ơng trình truyền nhiệt toạ độ trụ hàm u(r,t) là: u  2u u (3.15)  a2 ( ) t r r r hàm nhiệt độ ống trụ nghiệm ph-ơng trình (3.15) thoả mÃn điều kiện: Điều kiện biên: u(r0,t)=0 (với r0 bán kính ống trụ) 35 Điều kiện ban đầu: u(r,0)=f(r) Phân tích hàm u(r,t) thành tích hai hµm R(r) vµ thêi gian T(t) u (r,t)=R(r)T(t) (3.16) nhiệt độ không phụ thuộc vào z, góc  nªn:  Z '' ( z)  Z ( z)      ''   ( )      ( ) Thay (3.16) vào ph-ơng trình (3.15) ta đ-ợc hệ ph-ơng tr×nh: T' (t ) [ rR' (r )]'    Víi  lµ h» ng sè r a T (t ) R ( r ) T ' a2 T ph-ơng trình cđa hƯ:   rR ' (r ) ' (3.17)      r  R (r ) Xét ph-ơng trình thứ hai hệ ph-ơng trình (3.17), ph-ơng trình Bessel cấp không: x2R(x)+xR(x)+x2R(x)=0 Với x= r nghiệm ph-ơng trình: R(r)=J0( r )+0( r ) tính chất hữu hạn nghiệm nên = Vậy hàm R(r) đ-ợc xác định: R(r)=J0( r ) kết hợp (3.16) điều kiện biên, suy ra: u(r0,t)= R(r0)T(t)=0 R(r0)=0 Khi đặt    R(r)=J0( r )   k( )   k( )   R ( r )   J (  r )  áp dụng điều kiện biên: 0 k  r  nªn R(r)=J0( r r ) Ph-ơng trình T ' a2 T  cã nghiÖm: T(t)=Tk(t)= e VËy nghiÖm riêng ph-ơng trình (3.15) là: k2 a 2t với k=1,2,3 uk (r, t )  J (k r )ek a t 2 NghiƯm tỉng qu¸t:  u(r, t )   Ak J0 (k r )e a t 2 k k 1 ¸p dơng ®iỊu kiƯn ban ®Çu: 36 (3.18)  u(r,0)   Ak J (k r )  f (r ) k theo tính trực giao hàm Bessel, hệ số khai triển đ-ợc tính theo công thức: r (3.19) Ak  2  rf (r ) J0 (0 r )dr r0 J1 (k ro ) NhiƯt ®é cđa mét ®iĨm bÊt kú cđa èng trụ đ-ợc xác định theo (3.18) với hệ số khai triển đ-ợc xác định theo (3.19) Bài tập 2: Tìm nhiệt độ ống trụ dài vô hạn có bán kín r0 (0rr0; 02), nhiệt độ ban đầu có dạng u t f (r , ) biết nhiệt độ bề mặt hình trụ đ-ợc trì nhiệt độ không Giải: Vì ống trụ dài vô hạn nên nhiệt độ không phụ thuộc vào z Ph-ơng trình xác định nhiệt độ: u u  2u  a [ (r )  ] (3.20) t r r r r nhiệt độ ống trụ đ-ợc xác định giải ph-ơng trình (3.20) với điều kiện biên: u(r0,,t)= Và điều kiện ban đầu: u t  f (r ,  ) hµm u(r,,t) d-íi dạng tích hàm R(r), (), T(t) u(r,,t) =R(r)()T(t) (3.21) '' Z ( z)    V× nhiệt độ không phụ thuộc vào z nên: Z ( z) Thay (3.21) vào (3.20) ta đ-ợc: T ' (t ) [rR' (r )]'  '' ( )     r a 2T (t ) R(r ) r ( ) Do  = ¸p dơng c«ng thøc nghiƯm (3.12) Ta cã nghiƯm cđa ph-ơng trình (3.20) là: u(r, , t )   J n ( k 0 n0 k( n ) r0 r )( Ank cos(n )  Bnk sin(n ))e Điều kiện ban đầu: 37 ( n )   k  a2 t  r    (3.22) u t 0  f ( r,  )  f ( r,  )      Jn ( k( n ) r0 Nhân cos(n) vào (3.23) lấy tích phân ta đ-ợc: k 0 n0 Ank  (3.23) r )( Ank cos(n )  Bnk sin(n ) n  r02  Jn1  k( n )  r0    rf (r, )cos(n ) J ( n 0 k( n ) r0 r )drd (3.24) Nhân sin(n) vào (3.23) lấy tích phân ta đ-ợc: r k( n ) Bnk  r )drd (3.25)   rf ( r,  )sin( n ) J n ( r0  r02  Jn1  k( n ) 0 Vậy nhiệt độ ống trụ dài vô hạn đ-ợc cho toán biểu diễn (3.22) với hệ số khai triển đ-ợc tính theo (3.23) (3.25) Bài tập 3: Tìm nhiệt độ ống quạt trụ dài vô hạn có mặt cắt hình quạt vơi bán kín r0(0