Hàm bessel và một số ứng dụng trong vật lí

Khóa luận tốt nghiệp Khoa Vật lí ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA VẬT LÝ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGÀNH SƯ PHẠM VẬT LÝ Đề tài: HÀM BESSEL VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG VẬT LÝ Người hướng dẫn: ThS Đặng Văn Hậu Người thực hiện: Phan Thế Hiếu Đà Nẵng, tháng 5/2013 GVHD: Ths Đặng Văn Hậu Trang Khóa luận tốt nghiệp Khoa Vật lí MỤC LỤC MỤC LỤC A MỞ ĐẦU .3 Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu 3 Đối tượng phạm vi nghiên cứu .3 Nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu .4 Những đóng góp khóa luận Cấu trúc nội dung khóa luận B NỘI DUNG CHƯƠNG 1: HÀM BESSEL 1.1 Hàm Gamma 1.2 Phương trình hàm Bessel 1.3 Các tính chất truy hồi hàm Bessel 10 1.4 Nghiệm hàm Bessel 12 1.5 Tính trực giao hàm Bessel 13 1.6 Khai triển hàm thành hàm Bessel 15 1.7 Một số trường hợp riêng hàm Bessel 16 CHƯƠNG 2: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA HÀM BESSEL TRONG VẬT LÍ 21 2.1 Bài tốn dao động nhỏ sợi dây treo thẳng đứng đầu 21 2.2 Bài toán dao động màng tròn tự do, biên gắn chặt 25 2.3 Bài toán truyền nhiệt 35 2.4 Điện tử dây lượng tử hình trụ 41 2.5 Truyền sóng sợi quang .43 C KẾT LUẬN 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO 51 GVHD: Ths Đặng Văn Hậu Trang Khóa luận tốt nghiệp Khoa Vật lí A MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Mối liên hệ đại lượng vật lí tự nhiên phức tạp có quy luật, mối quan hệ thể phương trình tốn học việc giải phương trình giúp ta tìm quy luật tự nhiên Những phương pháp toán học dùng vật lí học phong phú, đa dạng mà số phương trình đạo hàm riêng Trong trình tìm nghiệm phương trình vi phân đạo hàm riêng phương pháp tách biến hệ tọa độ cong (tọa độ cực, tọa độ trụ, tọa độ cầu), ta thường gặp phương trình đặc biệt mang tên nhà toán học thiên văn học người Đức Friedrich Wilhelm Bessel Giải phương trình cần dùng phương pháp chuỗi kết xuất hàm Bessel Phương trình Bessel nghiên cứu trước (thế kỉ 18) Bernoulli tốn dao động sợi dây có khối lượng sau Euler với toán dao động màng mỏng Sang kỉ 19, Bessel nghiên cứu cách sâu rộng, hệ thống, tổng qt hóa phương trình, kể từ tên ơng đặt cho phương trình (phương trình Bessel) nghiệm (hàm Bessel) Hàm Bessel cơng cụ toán học ứng dụng nhiều lĩnh vực vật lí từ học, nhiệt học, điện từ học, thiên văn học đến học lượng tử Do việc nghiên cứu tìm hiểu ứng dụng hàm Bessel quan trọng Để hiểu rõ nội dung ứng dụng hữu ích hàm Bessel tốn vật lí, em chọn đề tài: “HÀM BESSEL VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG VẬT LÍ” Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu lí thuyết hàm Bessel, tính chất hàm Bessel - Áp dụng hàm Bessel để giải tốn Vật lí Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Lí thuyết phương trình hàm Bessel - Các tốn vật lí Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu lí thuyết hàm Bessel GVHD: Ths Đặng Văn Hậu Trang Khóa luận tốt nghiệp Khoa Vật lí - Phân tích tốn Vật lí đưa tới việc giải phương trình vi phân sử dụng hàm Bessel Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lí thuyết - Lựa chọn, phân tích giải cụ thể tốn vật lí Những đóng góp khóa luận - Trình bày tổng qt hàm Bessel - Đưa giải tốn dao động, truyền nhiệt, truyền sóng lượng tử Cấu trúc nội dung khóa luận Khóa luận gồm có ba phần A Mở đầu B Nội dung, gồm có chương: Chương 1: Hàm Bessel Chương 2: Một số ứng dụng Hàm Bessel Vật lí C Kết luận GVHD: Ths Đặng Văn Hậu Trang Khóa luận tốt nghiệp Khoa Vật lí B NỘI DUNG CHƯƠNG 1: HÀM BESSEL 1.1 Hàm Gamma Hàm Gamma định nghĩa sau  (s)   et t s 1dt (1.1) Mà ta có 1 s t s t (1.2)  d s t s  s(s)   e t dt  e t   et t s dt = ( s  1) dt 0 (1.3) t s 1  Thay (1.2) vào (1.1) ta  t   0 Ta có (1)   et t11dt   e  t dt =1 Suy (2)  1(1)  Áp dụng công thức (1.3) ta ( s  1)  s(s)  s(s  1)( s  1)  s( s  1)( s  2)( s  2)   s( s  1)( s  2) 2.(1)  s ! Từ (1.3)  (s)  (s  1) s lim (s)  lim   s 0 s 0 s Vậy hàm  ( s ) tiến dần tới vô s dần tới Với s nguyên dương (s  1)  s (s  2) (s  3) (0)     s.(s  1) s(s  1)(s  2) s(s  1)(s  2) (1) (s)  Khi s gần tới khơng tới số ngun âm hàm  ( s ) tiến tới dần tới vô Xét trường hợp s bán nguyên GVHD: Ths Đặng Văn Hậu Trang Khóa luận tốt nghiệp Khoa Vật lí Ta có ( )   Với n>0 (2n  1)! 1 1.3.5 (2n  1)  (n  )  (n   )(n   )    = 2n n (n  1)! 2 2 (1.4) (1)n 2n (  n  )   (2n  1)!! 1.2 Phương trình hàm Bessel 1.2.1 Hàm Bessel loại Phương trình vi phân Bessel phương trình có dạng y '' v2 y ' (1  ) y  x x (1.5) Viết lại x2 y '' xy ' ( x2  ) y  (1.6) Với  số dương Để giải phương trình này, ta cần có hàm mới, gọi hàm Bessel Nghiệm phương trình biểu diễn dạng chuỗi    n 0 n1 n2 y   cn x n , y '   ncn xn1 , y ''   n(n  1)cn xn2 Thay vào phương trình ta    n2 n 1 n 0  n(n 1)cn xn   ncn xn  ( x2  ) xncn  (1.7) Với   n(n 1)c x n n2   nc x n 1 n n n  2.1.c1.x2  3.2.c2 x3   n.(n  1)cn x n  1.c1 x  2c2 x2   ncn x n  ( x2  ) xncn = ( x2  )(c0  c1x  c2 x2   cn xn ) n 0   2c0  2c1x  (c0  2c2 ) x2   (cn2  2cn ) xn Thay vào (1.7) ta  2c0  (1  )c1x  [c0  (4  )c2 ]x2   [cn2  (n2  )cn ]xn   GVHD: Ths Đặng Văn Hậu Trang Khóa luận tốt nghiệp Khoa Vật lí Ta có phương trình (1.7) với x nên tất hệ số đứng trước lũy thừa x phải Từ ta rút  2c0 =0; (1  )c1  ; cn2  (n2  )cn  với n=2,3,4… (1.8) Nếu   c0 số bất kì, c1=0 cn2  n2cn  Hay c2   c c0 c , c3=0, c4   22  2 24 Vậy tổng quát ta có c2 m (1)m c0 c  2  (1)m m ; c2m1  2 (2m) (m!) Vậy ta có nghiệm phương trình Bessel ứng với    y  c0  (1)m m 0 x2m  c0 J ( x) 22 m (m!)2 Trong 2m  x 2m     x m 2  (  1) J ( x) =  (1)m m  (m!)2 m0 (m!)2 m 0 J0(x) Được gọi hàm Bessel loại cấp không Nếu   , từ (1.8), ta rút c0=0, c1 tùy ý cn2  (n2 1)cn  Tổng quát c2m  c2 m1  (1)m c1 c  (1)m m 2.4.4.6 2m.(2m  2) m!(m  1)! Ta có nghiệm phương trình Bessel với    y  c1  (1)m m 0 x m1  2c1 J1 ( x) 22 m m!(m  1)! m 1  x m 1     x   (1)m   Với J1 ( x)   (1)m m1 m!(m  1)! m0 m!(m  1)! m 0 J1(x) gọi hàm Bessel loại cấp Tổng quát GVHD: Ths Đặng Văn Hậu Trang Khóa luận tốt nghiệp cv2 m  (1)m Khoa Vật lí  !cv m!(m  v)! 2m Nghiệm phương trình Bessel với  x m y   !c  (1) m = 2  !c J ( x) x m!(m  )! m 0  m m   x    m 2 Trong J ( x)   (1) m!(m  )! m 0 J ( x) gọi hàm Bessel loại cấp  Biểu diễn J ( x) qua hàm Gamma m   x    2 J ( x)   (1)m (m  1)(m   1) m 0 (1.9) Nếu ta lấy    ta nghiệm riêng phương trình (1.5), suy từ công thức (1.9) cách thay   Đó nghiệm m   x    m 2 J  ( x)   (1) (m  1)(m   1) m 0 (1.10) Nếu  khơng ngun nghiệm riêng J ( x) J  ( x) độc lập tuyến tính, nghiệm phương trình (1.6) viết lại y  C1J (x)  C2 J (x) (1.11) Trong C1, C2 số tùy ý suy từ điều kiện biên 1.2.2 Hàm Bessel loại hai Nếu  nguyên hàm J ( x) J  ( x) phụ thuộc tuyến tính Thật vậy,  nguyên,   n với m chạy từ tới n-1 m- +1 mang giá trị âm 0, nghĩa với n số hạng đầu khai triển (1.9) Lúc m  x    2 J  ( x)   (1)m (m  1)(m   1) m  GVHD: Ths Đặng Văn Hậu Trang Khóa luận tốt nghiệp Khoa Vật lí Đặt m    l , ta l   x    n l 2 J  ( x)  (1)  (1)  (1)n J ( x) (v  l  1)(l  1) l 0 Người ta đưa vào hàm N ( x)  J ( x)cos  J  ( x) sin x Khi   n nguyên Nn ( x)  lim  n J ( x)cos  J  ( x) sin x Hàm gọi Hàm Bessel loại hai hàm Neumann Ta có giới hạn có dạng , áp dụng quy tắc L’Hospital người ta tính dạng tường minh hàm Neumann n m 1 n  x  x  (1) (hm  hmn ) m x n1 (n  m  1)! m x N n ( x)  J n ( x)  ln      mn x    m0 22 mn m!     m0 m!(m  n)! 1 Với   0,57721566490 số Euler, hm     m Ta có lim Nn ( x)   (1.12) x0 Ta có J ( x) N ( x) hai hàm độc lập tuyến tính nên nghiệm phương trình (1.6)  nguyên viết lại y  C1J ( x)  C2 N ( x) (1.13) Với  nguyên dương 1.2.3 Hàm Bessel cải tiến Xét phương trình Bessel x2 y '' xy ' ( x2  ) y  Thay x ix ta   d2 y dy (ix)  ix  (ix)2  y  d(ix) d(ix) x2   d2 y dy  x  x2  y  dx dx GVHD: Ths Đặng Văn Hậu (1.14) Trang Khóa luận tốt nghiệp Khoa Vật lí (1.14) gọi phương trình Bessel cải tiến Ta có m m  ix   x i i m   2      2 J (ix)   (1)m  (1)m (m  1)(m   1) m0 (m  1)(m   1) m 0 m m  x  x (1) (1)   2   2       (i)  (i)  (i) I ( x) m 0 (m  1)( m    1) m 0 ( m  1)( m    1) m m I ( x) gọi hàm Bessel cải tiến loại cấp  Hàm I ( x) nghiệm phương trình (1.14),  khơng số ngun I ( x) I  hai hàm độc lập tuyến tính nên nghiệm (1.14) y  C1I ( x)  C2 J (x) Nếu   n số nguyên hai hàm I ( x) I  phụ thuộc tuyến tính, ta có hàm K ( x)   I  ( x)  I ( x) sin K ( x) gọi hàm Bessel cải tiến loại Lúc nghiệm (1.14) viết lại y  C1I ( x)  C2 K ( x) Ta có lim I ( x)   lim K ( x)  x  x  1.3 Các tính chất truy hồi hàm Bessel    , N, ( x)  N 1 ( x)  N ( x)  J ( x)  J 1 ( x)  x J ( x); x     , ,  J ( x)   J 1 ( x)  J ( x); N ( x)   N 1 ( x)  N ( x) x x  2 2   J 1 ( x)  x J ( x)  J 1 ( x); N 1 ( x)  x N ( x)  N 1 ( x)     , K, ( x)   K 1 ( x)  K ( x)  I ( x)  I 1 ( x)  x I ( x); x     , K, ( x)   K 1 ( x)  K ( x)  I ( x)  I 1 ( x)  I ( x); x x  2 2   I 1 ( x)   x I ( x)  I 1 ( x); K 1 ( x)  x K ( x)  K 1 ( x)  GVHD: Ths Đặng Văn Hậu (a) (b) (1.15) (c) ( a) (b) (1.16) ( c) Trang 10 Khóa luận tốt nghiệp  Khoa Vật lí Z"  C' Z Nếu C’=0Z”=0  Z  C1z  C2 mà theo điều kiên (2.23) ta có Z(0)=0C2 =0, Z(L)=0C1=0: nghiệm tầm thường Nếu C '   có Z"    Z  C1a z  C2a  z mà theo điều kiện (2.23) Z phải có C1=C2=0: nghiệm tầm thường Vậy  Z"    Z "  Z   Z  B cos  z  C sin  z Z Theo điều kiện biên Z(0)=0B=0 Z(L)=0 Csin L    L  m    Vậy Z  C sin m , m=1,2,…(2.27) L m z , m=1,2,3…(2.28) L Vậy có  R r R 2 "   r (   )   (2.26)  r (2.29) R r R r  Tương tự toàn 2, để thỏa mãn tính hữu hạn tuần hồn hàm theo  ta phải có "  n2 với n=0,1,2,3,…    Acos(n )  Bsin(n ) (2.30) Vậy ta có (2.29)  r  r2  R r R 2   r (   )  n2 R r R r  R r R 2   r (   )  n2  R r R r    r R" rR ' r 2  n2 R  (2.31) với      (2.31) có dạng phương trình Bessel R  n Jn ( r)  n Nn ( r) Để đảm bảo tính hữu hạn nhiệt độ r0 ta có n  lim Nn ( x)   x0 GVHD: Ths Đặng Văn Hậu Trang 37 Khóa luận tốt nghiệp Khoa Vật lí Vậy R  n Jn ( r) Áp dụng điều kiện biên R(R0 )   Jn ( R0 )  Vậy  R0  l( n)    Vậy R  n J n ( l( n) R0 l( n) R0 với l( n ) nghiệm hàm Bessel loại cấp n r ) (2.32) Vậy nghiệm (2.23) u  RZT  n J n ( l( n) R0 r )  Acos(n )  Bsin(n )C sin m z a2 2t De L   ( n)   m  Ta có              l      R0   L  2 2 2 Vậy nghiệm tổng quát (2.23)  ( n )  2   m     l   at  R0   L      u   l( n)   Jn ( R m,l 1 n0 r )  Am,n,l cos n  Bm,n,l sin n  sin m z e L (2.33) Tìm hệ số Amnl , Bmnl từ điều kiện ban đầu Ta có u (r , , z,0)  f (r ,  , z )    l( n)   Jn ( R m,l 1 n0 r )  Am,n,l cos n  Bm,n,l sin n  sin m z f L (2.34) Theo tính chất trực giao hàm lượng giác Với n,n’ số nguyên khác 0 n  n '   0 cos(n )cos(n ' ) d   n  n '  2 n  n '   2 2  n  n ', n  n '  n  n'   sin(n )sin(n ' ) d    0, m  m ' m z m ' z  0 sin( L )sin( L ) dz   L , m  m '  L GVHD: Ths Đặng Văn Hậu Trang 38 Khóa luận tốt nghiệp Khoa Vật lí 2  sin(n )cos(n ' ) d  0 Nhân (2.34) cho lấy tích phân từ 0L ta   L    Jn ( l( n) R0 m,l 1 n0 r )  Am,n,l cos n  Bm,n,l sin n  sin L m z m ' z m z sin dz   f sin dz L L L l( n) 2L m z   J n ( r )  Am,n,l cos n  Bm,n,l sin n    f sin dz R0 L0 L l 1 n0   (2.35) Nhân hai vế (2.35) cho cosn ' lấy tích phân từ 02π ta  2   l 1 L 2 m z Jn ( r ) Bm,n,l sin n sin n d    f sin sin n d dz R0 L0 L l( n)  l( n) l 1 R0   Jn ( r ) Bm,n,l L 2 m z  f sin sin n d dz   L 0 L Dựa khai triển hàm thành hàm Bessel ta tính Bm,n,l  R  ( n) r  L 21 m z rJ  d r f sin sin n d dz   n l   R0 J n21 ( l( n ) ) L  R L 0   2 L R  ( n ) r  m z  rJ sin n f d dzdr   sin  LR0 J n21 (l( n ) ) 0 0 0 n  l R0  L Bm,n,l Nhân hai vế (2.35) cho cosn' lấy tích phân từ 02π ta  2  2 L m z Jn ( r ) Am,n,l cos ncosn'd    f sin dzd    R0 L00 L l 1 n0 l( n) Tương tự ta tính Am,l ,0 2  2 (0) R0 J1 ( l ) L 2  2 (0) R0 J1 ( l ) L R0 L 2  0 0 0 rJ  l (0) r  m z f d dzdr  sin R0  L  (0) r  m z rJ 0 0  l R0  sin L f dzdr R0 L Với n  GVHD: Ths Đặng Văn Hậu Trang 39 Khóa luận tốt nghiệp Am,l ,n Khoa Vật lí 21  2 ( n) R0 J n1 (l ) L  R0 L 2  0 0 0 rJ0  l ( n) r  m z cosn f d dzdr  sin R0  L 2.3.2 Bài tốn 2: Tìm nhiệt độ đĩa trịn đồng chất có bán kính R0, nhiệt độ ban đầu có dạng u t 0  f (r, ) nhiệt độ biên trì nhiệt độ u0 Ta có phương trình truyền nhiệt hệ tọa độ cực    u   2u  u u  2u u  2u r     2  2   r  2  t r  r  t r  r r   a  r r      Điều kiện biên u(R0 , )  u0 Đặt u(r, )  w(r, )  uo Vậy ta cần giải phương trình (w  u0 )  (w  u0 ) (w  u0 )  (w  u0 )    t r r a2 r r  (w  u0 )  w w  w     t r r r  a r (2.36) Với điều kiện w(R0 , )  điều kiện đầu w t 0  f (r, )  u0 Phương trình (2.36) giải tương tự tốn với Z=const, lúc   Ta có nghiệm   w   J n ( l 1 n 0  ( n) l R0 r )  An,l cos n  Bm,n,l sin n  e  (n)   l  a 2t  R0    Với hệ số tính theo công thức 2 R  (n) r  Bn,l  rJ   sin n  LR0 J n21 (l( n ) ) 0 0 n  l R0   f  u0 .d dr R0  r  Al ,0  2 (0)  rJ  l(0)   f  u0  dr R0  R0 J1 (l ) L  GVHD: Ths Đặng Văn Hậu Trang 40 Khóa luận tốt nghiệp Khoa Vật lí Với n>0 21 Al ,n  2 ( n) R0 J n1 (l ) L  R0 2 0  (n) r  rJ 0  l R0  cosn f d dr 2.4 Điện tử dây lượng tử hình trụ Trong trường tinh thể vơ hạn với điều kiện biên tuần hồn khơng có tượng lệch mạng khuyết mạng hạt mang điện chuyển động tự hàm sóng mơ tả trạng thái chúng hàm sóng phẳng Bloch Khi giới hạn khơng gian rào lúc sóng Bloch bị phản xạ tạo thành sóng dừng, vecto sóng bị gián đoạn, lượng bị gián đoạn Khi hạt mang điện bị giam nhốt lượng tự theo phương lượng theo phương bị gián đoạn Dây lượng tử thuộc hệ cấu trúc bán dẫn chiều Trong dây lượng tử, chuyển động hạt tải bị giới hạn theo hai chiều giới hạn dây chuyển động tự theo chiều lại, phổ lượng trở nên gián đoạn lượng tử theo hai chiều Hàm sóng có dạng   (r,, z)  eikz z f (r, ) Xét dây lượng tử hình trụ với hố cao vô hạn, chiều dài L0, bán kính R0 r  V (r )  r  R0 Thế dây  r  V (r )   r  R0 (2.37) (2.38) Ta có phương trình Schrodinger áp dụng cho điện tử Hˆ  E (2.39) Trong hệ tọa độ trụ ta có h2 h2       2  ˆ H   V   r     V 2m 2m  r r  r  r  z  h2     2        V 2m  r r r r  z  (2.40) Xét miền r