tiểu luận tìm hiểu về phép toán đối đạo hàm liên quan đến bất đẳng thức biến phân afin chứa tham số và ứng dụng của nó

MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chương I BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRONG R n 1.1 Điểm bất động 1.2 Bất đẳng thức biến phân Chương II CÁC PHÉP TÍNH CƠ BẢN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỐI ĐẠO HÀM CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ 2.1 Các khái niệm tính chất sở 2.2 Các phép tính liên quan đến đối đạo hàm ánh xạ đa trị………… Chương III TÍNH CHẤT AUBIN CỦA ÁNH XẠ NGHIỆM 20 3.1 Các khái niệm tính chất sở 20 3.2 Tính chất Aubin ánh xạ nghiệm .22 KẾT LUẬN 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO 35 MỞ ĐẦU Bất đẳng thức biến phân ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực khác kinh tế, kỹ thuật, vật lý toán… Một hướng nghiên cứu quan trọng bất đẳng thức biến phân việc xây dựng phương pháp giải Có nhiều phương pháp giải bất đẳng thức biến phân nghiên cứu như: phương pháp dựa kỹ thuật hàm chắn, phương pháp dựa cách tiếp cận điểm bất động, phương pháp dựa tính ổn định nghiệm tốn Gần đây, tốn tính ổn định nghiệm bất đẳng thức biến phân afin chứa tham số đề tài nhiều người quan tâm nghiên cứu Năm 1979 S M Robinson (xem [7]) xét đến tính chất liên tục Lipschitz ánh xạ nghiệm toán bất đẳng thức biến phân afin chứa tham số Trong khoảng năm 1993-1996 B S Mordukhovich (xem [5], [6]) công bố loạt báo quan trọng ơng đưa nhiều ý tưởng kỹ thuật mới, phát triển phiên vô hạn chiều sâu sắc đẹp đẽ cho lý thuyết vi phân ông, đồng thời số tính chất ánh xạ đa trị (như tính giả-Lipschitz theo nghĩa Aubin, tính quy mêtric, tính mở địa phương) đặc trưng cách sử dụng công cụ đối đạo hàm qua giới hạn Dưới hướng dẫn tận tình giáo Nguyễn Thị Tồn chúng tơi chọn đề tài: “Tìm hiểu phép tốn đối đạo hàm liên quan đến bất đẳng thức biến phân afin chứa tham số ứng dụng nó”, dựa báo GS TSKH Nguyễn Đông Yên (xem [9], [10]) Mục đích luận văn tập trung nghiên cứu tính chất Aubin tính quy mêtric địa phương ánh xạ nghiệm bất đẳng thức biến phân afin chứa tham số Với mục đích luận văn chia làm ba chương: Chương I Bất đẳng thức biến phân R n Chương II Các phép tính liên quan đến đối đạo hàm ánh xạ đa trị Chương III Tính chất Aubin ánh xạ nghiệm Phần lớn kết trình bày luận văn thu số tác giả tài liệu [1], [2], [3], [8], [9], [10] trích dẫn luận văn Một số kết khác tác giả chứng minh chi tiết dạng nhận xét, bổ đề mệnh đề Tuy có nhiều cố gắng lực thời gian có hạn nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót nội dung lẫn hình thức Vì vậy, tác giả mong nhận lời bảo quý báu Thầy giáo, Cơ giáo góp ý bạn đọc Nhân dịp này, cho phép tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc Cơ giáo Nguyễn Thị Tồn người hướng dẫn nhiệt tình tác giả trình nghiên cứu Tác giả xin chân thành cảm ơn Thầy giáo, Cô giáo tổ Giải tích khoa Tốn tận tình giảng dạy, động viên tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả học tập hoàn thành khóa luận Vinh, tháng năm 2011 Tác giả Chương I BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRONG R n 1.1 ĐIỂM BẤT ĐỘNG 1.1.1 Định nghĩa Cho A tập hợp ánh xạ F : A → A Một điểm x ∈ A gọi điểm bất động F F ( x ) = x Hay nói cách khác, điểm bất động F nghiệm phương trình F ( x) = x 1.1.2 Định nghĩa Cho S không gian mêtric Một ánh xạ F : S → S gọi ánh xạ corút d ( F ( x ) , F ( y ) ) ≤ α d ( x, y ) , ∀ x, y ∈ S (1) α : ≤ α ≤ Khi cho α = , ánh xạ F gọi không giãn 1.1.3 Định lý[`1] Cho S không gian mêtric đầy đủ F : S → S ánh xạ corút Khi tồn điểm bất động F 1.1.4 Định lý (brower)[1] Cho F ánh xạ liên tục từ hình cầu đóng B ⊂ R n vào Khi F tồn điểm bất động 1.2 BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN 1.2.1 Định nghĩa Không gian đối ngẫu ( R n ) ′ R n không gian tất dạng tuyến tính a : Rn → R x a < a, x >, xác định R n 1.2.2 Định lý[1] Cho K ⊂ R n tập compact, lồi ánh xạ F : K → ( R n ) ′ liên tục Khi đó, có điểm x ∈ K cho: < F ( x ) , y − x > ≤ 0, ∀ y ∈ K (2) 1.2.3 Hệ quả[1] Cho x nghiệm bất đẳng thức biến phân (2) giả sử x ∈ int K , phần K Khi đó, F ( x ) = 1.2.4 Bài toán Cho K tập đóng, lồi R n ánh xạ F : K → ( R n ) ′ liên tục Tìm x ∈ K cho < F ( x ) , y − x > ≥ 0, ∀ y ∈ K (3) Định lý sau đây, đưa điều kiện cần đủ cho tồn nghiệm Bài toán 1.2.4 1.2.5 Định lý[1] Cho K ⊂ R n tập đóng, lồi ánh xạ F : K → ( R n ) ′ liên tục Điều kiện cần đủ để Bài tốn 1.2.4 có nghiệm tồn R > cho có nghiệm xR ∈ K R điều kiện (3) thỏa mãn : xR < R Trong K R = K ∩ B( 0, R ) với B( 0, R ) hình cầu đóng tâm ∈ R n , bán kính R 1.2.6 Hệ quả[1] Cho F : K → ( R n ) ′ thỏa mãn < F ( x ) − F ( x0 ) , x − x0 > x − x0 →+ ∞ x →+ ∞, x ∈ K , (4) với x0 ∈ K Khi đó, tồn nghiệm Bài toán 1.2.4 1.2.7 Định nghĩa Điều kiện (4) Hệ 1.2.6 gọi điều kiện cưỡng 1.2.8 Định nghĩa Ánh xạ F : K → ( R n ) ′ gọi đơn điệu < F ( x ) − F ( x′) , x − x′ > ≥ 0, ∀ x, x′ ∈ K (5) Ánh xạ F gọi đơn điệu ngặt dấu " = " (5) xảy x = x′ Chương II CÁC PHÉP TÍNH CƠ BẢN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỐI ĐẠO HÀM CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ 2.1 CÁC KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT CƠ SỞ 2.1.1 Định nghĩa Cho X, Y hai tập hợp bất kỳ, F: X Y ánh xạ từ X vào tập hợp gồm toàn tập Y ( ký hiệu Y) Ta nói F ánh xạ đa trị từ X vào Y Như vậy, với x ∈ X, F(x) tập hợp Y Ta sử dụng ký hiệu F: X Y để F ánh xạ đa trị từ X vào Y 2.1.2 Định nghĩa Cho X Y không gian định chuẩn Đồ thị gph F , miền hữu hiệu dom F miền ảnh rge F ánh xạ đa trị F: X Y tương ứng xác định công thức gph F = { ( x, y ) ∈ X ×Y : y∈ F ( x ) } , dom F = { x ∈ X : F ( x ) ≠ 0} , rge F = { y∈Y : ∃ x∈ X saocho y ∈ F ( x ) } Ánh xạ đa trị F gọi có đồ thị đóng địa phương lân cận điểm ( x0 , y0 ) ∈ gph F tồn hình cầu đóng B tâm ( x0 , y0 ) X × Y, có bán kính dương mà B ∩ gph F tập đóng X × Y 2.1.3 Định nghĩa Tập M ⊂ Rk gọi tập lồi đa diện M biểu diễn dạng giao số hữu hạn nửa khơng gian đóng Rk 2.1.4 Định nghĩa Cho Ω tập Rk Khi ký hiệu Ω , int Ω cone Ω tương ứng biểu thị bao đóng Ω , phần Ω , hình nón sinh Ω , nghĩa cone Ω = { t z : z ∈Ω, t ≥ 0} 2.1.5 Định nghĩa Cho X, Y không gian Euclide, Φ: X Y hàm đa trị Khi đó, giới hạn theo dãy theo nghĩa Painlevé-Kuratowski Φ(x) x sup Φ ( x ) = { ξ ∈ Y: ∃ dãy x →x , ξ → ξ , với →x ký hiệu xLim k k →x ξk ∈ Φ ( xk ) , ∀ k =1,2 } ∧ 2.1.6 Định nghĩa Cho X không gian Euclide, Ω ⊂ X Tập N ε ( x; Ω ) tập véctơ ε - pháp tuyến Fréchet Ω x∈Ω cho công thức: ∧  N ε ( x; Ω ) = v∈ X :   lim Ω→x u  sup < v, u − x > ≤ε Pu − x P  ,    (1.1) Ω x nghĩa u → x u∈ Ω ký hiệu u → Nếu ε = tập (1.1) hình nón lồi đóng gọi nón pháp tuyến ∧ Fréchet Ω x ký hiệu N ( x ; Ω ) 2.1.7 Định nghĩa Cho X không gian Euclide, Ω ⊂ X Hình nón N ( x; Ω ) = lim x→ x , ε ↓ ∧ sup N ε ( x ; Ω ) (1.2) gọi nón pháp tuyến theo nghĩa Mordukhovich Ω x 2.1.8 Định nghĩa Cho X Y không gian Euclide Khi ánh xạ D∗Φ( x , y ) : Y X xác định D∗Φ( x , y ) ( y∗ ) ={x∗ ∈ X : ( x∗, − y∗ ) ∈N ( ( x , y ) ; gph Φ) } công thức (1.3) gọi đối đạo hàm chuẩn tắc (hay đối đạo hàm qua giới hạn, đối đạo hàm Mordukhovich) Φ ( x , y ) 2.2 CÁC PHÉP TÍNH CƠ BẢN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỐI ĐẠO HÀM CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ 2.2.1 Bài toán Xét bất đẳng thức biến phân afin chứa tham số ∈ M x + q + N ( x; ∆( A, b ) ) (1.4) ký hiệu AVI(M, q, A, b), với (q, b) ∈ Rn × Rm mơ tả nhiễu tuyến tính; M ∈ n R n × n , A ∈ R m × n ; ∆( A, b ) ={ x ∈R : Ax ≤b} tập lồi đa diện; N ( x; ∆ ( A, b ) ) = {v ∈ R n : < v, u − x > ≤ 0, ∀ u ∈∆ ( A, b ) } nón pháp tuyến lồi ∆(A, b) x ∈∆ ( A, b ) < v, u > biểu thị tích vơ hướng v u Quy ước N ( x; ∆ ( A, b ) ) = ∅ x ∉ ∆ ( A, b ) Tập nghiệm (1.4) ký hiệu S(q, b) Như vậy, x ∈ S(q, b) nghĩa x ∈ ∆ ( A, b ) < M x + q, u − x > ≥ 0, ∀ u ∈ ∆ ( A, b ) (1.5) Trong chương ta đặt C = ∆ ( A, b ) , X không gian Euclide 2.2.2 Nhận xét Cho A = - E, với E ma trận đơn vị R n × n b = ∈ R n Khi x thỏa mãn (1.4) M x + q ≥ 0, x ≥ 0, < M x + q , x > = Chứng minh Cần Giả sử x thỏa mãn (1.4) Ta có ∆(A, b) = { x ∈ Rn : A x ≤ b} Mà theo giả thiết A = - E, b = 0, ∆(-E, 0) = { x ∈ Rn : -E x ≤ 0} = { x ∈ Rn : x ≥ 0} Ta chọn u = x thay vào (1.5) ta < M x + q, x > ≥ 0, mà x ≥ nên M x + q ≥ Chọn u = x thay vào (1.5) ta < M x + q, x > ≤ Do < M x + q, x > = Đủ Giả sử M x + q ≥ 0, x ≥ 0, < M x + q , x > = Ta dễ dàng chứng minh x thỏa mãn (1.4) 2.2.3 Chú ý[9] Nếu Ω ⊂ X tập lồi X khơng gian Euclide ∧ N ( x ; Ω) = N ( x ; Ω) = { v ∈ X : < v, u − x > ≤ 0, ∀u ∈Ω} 2.2.4 Định nghĩa Cho J = {1, 2, , m} Với x ∈ C , tập số hoạt ứng với điểm x cho I ( x ) = { i ∈ J : Ai x = bi } , (1.6) Ai biểu thị hàng thứ i A , b i thành phần thứ i b Tập I ⊂ J, I = J \ I, AI ma trận hợp thành hàng A i , i ∈ I (định nghĩa AI tương tự) Khi giả mặt FI C = ∆ ( A, b ) tương ứng tập số I định nghĩa công thức { } FI = x ∈ R n : AI x = bI , AI x < bI T T Pos { Ai : i ∈ I } nón lồi tạo véctơ cột { Ai : i ∈ I } 2.2.5 Chú ý Nón pháp tuyến N ( x; C ) C x ∈ C nón đối ngẫu nón tiếp tuyến T ( x; C ) , nghĩa ∗ N ( x; C ) = ( T ( x; C ) ) = { x∗ ∈ X ∗ : < x∗ , v > ≤ 0, ∀ v ∈T ( x; C ) } , (1.7) C ⊂ X, với X không gian Euclide, X ∗ không gian đối ngẫu X 2.2.6 Định lý[3] (bổ đề Farkas không gian véctơ tùy ý) Cho W không gian véctơ chiều tùy ý Giả sử kéo theo sau với u ∈ W < xi∗ , u > ≤ 0, ∀ i ∈ I  ⇒ < x∗ , u > ≤  , ∗ I ⊂ N tập số hữu hạn, với xi x∗ phần tử X ∗ , ∀ i ∈ I Khi tồn λi ≥ 0, i ∈ I cho x∗ = ∑ λi xi∗ i∈I 2.2.7 Mệnh đề Giả sử x ∈ C , x ∈ FI I = I ( x ) xác định (1.6) Khi ta có T (i) N ( x; C ) = pos { Ai : i ∈ I } , (1.8)   i ∈ I  T T với pos { Ai : i ∈ I } =  ∑ λi Ai : λi ≥ 0 ; n (ii) T ( x ; C ) = { u ∈ R : AI u ≤ 0} , ∗ với T ( x ; C ) = ( N ( x ; C ) ) (1.9) 10 ∗ Chứng minh (i) Giả sử x ∈ N ( x ; C ) cho tùy ý Từ định nghĩa nón pháp tuyến lồi, ta có < x∗ , x′ − x > ≤ 0, ∀ x′ ∈ C (1.10) Do x ∈ FI nên Ai x < bi , ∀ i ∈ I , tồn lân cận V x cho Ai x′ ≤ bi , ∀ x′ ∈ V i ∈I Bây ta chứng minh kéo theo sau  Ai u ≤ 0, ∀ i ∈ I  ⇒ < x∗ , u > ≤  (1.11) Thật vậy, lấy u ∈ R n với Ai u ≤ 0, ∀ i ∈ I Do V lân cận x nên x+ u u  ∈ V, với n đủ lớn Với i ∈I , ta có Ai  x + ÷ ≤ bi i ∈I ta có n n  u u u Ai x = bi , Ai  x + ÷ = Ai x + Ai = bi + Ai ≤ bi Do A  x + u ÷ ≤ b Suy n n n n   x+ u ∈ C , với n đủ lớn Bởi theo (1.10) ta có < x∗ , u > ≤ Khi theo bổ đề n Farkas ta có N ( x ; C ) ⊂ pos { AiT : i ∈ I } T T Ta chứng minh N ( x ; C ) ⊃ pos { Ai : i ∈ I } Lấy v ∈ pos { Ai : i ∈ I } , ta cần chứng { } T λi ATi , λi ≥ 0, ∀ i ∈ I minh v ∈ N ( x ; C ) Do v ∈ pos Ai : i ∈ I nên suy v = i ∑ ∈I Chứng minh v ∈ N ( x; C ) tức cần chứng minh < v, x′ − x > ≤ 0, ∀ x′ ∈ C Với x′ ∈ C ta có < v, x′ − x > = < ∑ λi AiT , x′ − x > = ∑ λi (Ai x′ − Ai x) = ∑ λi (Ai x′ − bi ) ≤ Từ i∈I i∈I i∈I suy v ∈ N ( x; C ) { } T Vậy N ( x ; C ) = pos Ai : i ∈ I 25 3.2.1.1 Định lý[10] Nếu với q∗ ∈ R n , ta có q∗ =  T ∗ ∗ ∗  M q , q ÷ ∈ Q × Q,   (2.4) với tập số I ′ ⊂ I = I ( x0 ) = { i ∈ J : Ai x0 = bi } mặt đóng Q nón lồi đa diện T ( FI ′ ; C ) ∩ ( M x0 + q0 ) (i) Ánh xạ ⊥ có tính chất sau: q → S ( q, b ) có tính chất Aubin lân cận điểm ( q0 , x0 ) ∈ gph S ( , b ) ; (ii) Ánh xạ q → S ( q, b ) quy mêtric địa phương theo nghĩa Robinson lân cận điểm ( x0 , q0 , Rn ) Chứng minh Dễ thấy F1 khả vi chặt ( x0 , q0 ) Ta chứng minh F3 ánh xạ đa trị có đồ thị đóng, tức chứng minh gph F3 tập đóng Thật vậy, giả sử ( xn , qn , ) ∈ gph F3 mà ( xn , qn , ) → ( x, q, v ) , ta cần chứng minh ( x, q, v ) ∈ gph F3 Từ ( xn , qn , ) ∈ gph F3 suy ∈ N ( xn ; C ) Do < , x′ − xn > ≤ 0, ∀ x′ ∈ C Cho n→∞ ta có < v, x′ − x > ≤ 0, ∀ x′ ∈ C Từ suy v ∈ N ( x ; C ) Do ( x, q, v ) ∈ gph F3 Khi áp dụng Định lý 3.1.5 cho tổng F = F1 + F3 điểm ( x0 , q0 , 0Rn ) ∈ gph F , với q∗ ∈ R n ta có D∗ F ( x0 , q0 , Rn ) ( q∗ ) = ( M T q∗ + D∗F3 ( x0 , − M x0 − q0 ) ( q∗ ) ) × { q∗} (2.5) ∗ Với ω0 = ( x0 , y0 , Rn ) = ( x0 , q0 , Rn ) , từ (2.5) suy ker D F ( ω ) = { 0} Điều kiện (2.3) viết sau: M T q∗ ∈ D∗ F3 ( x0 , − M x0 − q0 ) ( −q∗ ) ⇒ q∗ = 26 Giả sử M T q∗ ∈ D∗ F3 ( x0 , − M x0 − q0 ) ( −q∗ ) Khi theo Định lý 2.2.13 ta có ( M T q∗, q∗ ) ∈ Q∗ × Q, với tập số I ′ ⊂ I = I ( x0 ) mặt đóng Q nón lồi đa ⊥ diện T ( FI ′ ; C ) ∩ ( M x0 + q0 ) Từ giả thiết định lý suy q∗ = Do theo Định lý 3.1.8 tính chất (i) chứng minh Để chứng minh tính chất (ii) ta cần chứng minh F có đồ thị đóng, tức chứng minh gph F tập đóng Thật vậy, giả sử ( xk , qk , zk ) ∈ gph F mà ( xk , qk , zk ) → ( x, q, z ) , ta cần chứng minh ( x, q, z ) ∈ gph F Từ ( xk , qk , zk ) ∈ gph F suy zk ∈ M xk + qk + N ( xk ; C ) Do zk − M xk − qk ∈ N ( xk ; C ) Từ ta suy < zk − M xk − qk , x′ − xk > ≤ 0, ∀ x′ ∈ C Cho k →∞ ta có < z − M x − q, x′ − x > ≤ 0, ∀ x′ ∈ C Có nghĩa z − M x − q ∈ N ( x; C ) Suy z ∈ M x + q + N ( x ; C ) Hay ( x, q, z ) ∈ gph F Do gph F tập đóng Vậy F có đồ thị đóng địa phương lân cận điểm ( x0 , q0 , 0Rn ) Từ chứng minh trên, theo Định lý 3.1.9 tính chất (ii) chứng minh Vậy định lý chứng minh Sau ta xét ánh xạ nghiệm w →S ( w, b ) toán ∈ f ( x, w ) + N ( x; ∆( A, b ) ) Giả sử b ∈ R m , w ∈ R s , x ∈ S ( w , b ) Khi 0 0 ∈F ( x0 , y0 ) , F ( x, y ) = F1 ( x, y ) + F3 ( x, y ) , với y = w, y0 = w F1 ( x, y ) = f ( x, w ) , F3 ( x, y ) =N ( x; ∆( A, b ) ) Từ ∇f ( x0 , w ) = ∇ x f ( x0 , w ) , ∇ w f ( x0 , w )  , sử dụng Định lý 3.1.8, 3.1.9 ta 27 có Định lý 3.2.1.4 sau Trước hết ta đưa kết sử dụng chứng minh Định lý 3.2.1.4 3.2.1.2 Mệnh đề[8] Cho V , V ′ không gian véctơ, f : V →V ′ ánh xạ tuyến tính Khi f đơn ánh ker f không gian véctơ không 3.2.1.3 Nhận xét Nếu ánh xạ f : R s → R n tồn ánh ánh xạ đối ngẫu ∗ ∗ f ∗ : ( R n ) → ( R s ) đơn ánh Chứng minh Thật vậy, giả sử f toàn ánh, ta cần chứng minh f ∗ đơn ∗ ánh, tức chứng minh ker ( f ) = { 0} Điều tương đương với chứng minh ∗ ∗ ( f ) ( y∗ ) = y∗ = Từ ( f ) ( y∗ ) = , ta suy < f ∗ y∗ , x > = 0, ∀ x ∈ R s Từ ∗ s suy < y , f ( x ) > = 0, ∀ x ∈ R Ta chứng minh y∗ = 0, tức chứng minh < y∗ , y > = 0, ∀ y ∈ R n Do f toàn ánh nên với y ∈ R n ∃ x ∈ R s : y = f ( x ) Từ suy < y∗ , y > = < y∗ , f ( x ) > = s n 3.2.1.4 Định lý Giả sử ∇ w f ( x0 , w ) : R → R ánh xạ toàn ánh Nếu T ∗ ∗  ∗ với q∗ ∈R n , ta có q∗ =  ( ∇x f ( x0 , w ) ) q , q ữ Q ì Q, vi tập   số I ′ ⊂ I = I ( x0 ) = { i ∈ J : Ai x0 = bi } mặt đóng Q nón lồi đa diện ⊥ T ( FI ′ ; C ) ∩ ( f ( x0 , w ) ) có tính chất sau: (i) Ánh xạ w →S ( w, b ) có tính chất Aubin lân cận điểm ( w , x0 ) ∈ gph S ( , b ) ; (ii) Ánh xạ w → S ( w, b ) quy mêtric địa phương theo nghĩa Robinson lân cận điểm ( x0 , w , Rn ) Chứng minh Theo chứng minh Định lý 3.2.1.1 ánh xạ F3 có đồ thị đóng 28 Khi áp dụng Định lý 3.1.5 cho tổng F = F1 + F3 điểm ( x0 , w , 0Rn ) ∈ gph F , với q∗ ∈ R n ta có: ( ) D∗ F ( x0 , w , Rn ) ( q∗ ) = ( ∇ x f ( x0 , w ) ) q∗ + D∗ F3 x0 , − f ( x0 , w ) ( q∗ )    T × ( ∇ w f ( x0 , w ) ) q∗  T  T  ∗ Ta chứng minh ker D F ( ω0 ) = với ω0 = ( x0 , w , Rn ) , tức cần chứng minh D∗ F ( ω0 ) ( q∗ ) = ⇒ q∗ = s n Vì ánh xạ ∇ w f ( x0 , w ) : R → R toàn ánh nên theo Nhận xét 3.2.1.3 ta có ∗ ∗ ∗ ( ∇w f ( x0 , w ) ) : ( Rn ) → ( R s ) đơn ánh ∗ ∗ Mà ( ∇ w f ( x0 , w ) ) = ( ∇ w f ( x0 , w ) ) Do ker D F ( ω0 ) = T Ta có điều kiện (2.3) tương đương với điều kéo theo sau: ( ∇ x f ( x0 , w ) ) q ∈ D∗ F3 ( x0 , − f ( x0 , w ) ) ( −q∗ ) ⇒ q∗ = T ∗ Giả sử ( ∇ x f ( x0 , w ) ) q∗ ∈ D∗ F3 ( x0 , − f ( x0 , w ) ) ( −q∗ ) Khi theo Định lý T  2.2.13 ta có  ( ∇ x f ( x0 , w  )) T ∗ q , q ữ Q ì Q, vi ch s I ′ ⊂ I = I ( x0 )  ⊥ mặt đóng Q nón lồi đa diện T ( FI ′ ; C ) ∩ ( f ( x0 , w ) ) Theo giả thiết định lý suy q∗ = Từ theo Định lý 3.1.8 tính chất (i) chứng minh Để chứng minh tính chất (ii) ta cần chứng minh F có đồ thị đóng, tức chứng minh gph F tập đóng Giả sử ( xk , w k , zk ) ∈ gph F mà ( xk , w k , zk ) → ( x, w, z ) , ta cần chứng minh ( x, w, z ) ∈ gph F Từ ( xk , w k , zk ) ∈gph F ta có zk ∈ f ( xk , w k ) + N ( xk ; C ) Suy zk − f ( xk , w k ) ∈ N ( xk ; C ) Từ ta có < zk − f ( xk , w k ) , x′ − xk > ≤ 0, ∀ 29 x′ ∈ C Cho k →∞ ta < z − f ( x, w ) , x′ − x >≤ 0, ∀ x′∈C Từ suy z − f ( x, w ) ∈ N ( x; C ) Hay z ∈ f ( x, w ) + N ( x; C ) Do ( x, w, z ) ∈ gph F Vậy gph F tập đóng Từ chứng minh trên, theo Định lý 3.1.9 tính chất (ii) chứng minh Vậy định lý chứng minh 3.2.2 Các tính chất ánh xạ nghiệm ( q, b ) → S ( q, b ) ( w, b ) → S ( w, b ) Giả sử b0 ∈ R m x0 ∈ S ( q0 , b0 ) , S ( q, b ) biểu thị tập nghiệm (1.4), ∈F ( x0 , y0 ) mà F ( x, y ) = F1 ( x, y ) + F2 ( x, y ) , với y = ( q, b ) , y0 = ( q0 , b0 ) , F1 ( x, y ) = M x + q F2 ( x, y ) = N ( x; ∆ ( A, b ) ) Sau ta nghiên cứu điều kiện để ánh xạ nghiệm có tính chất Aubin tính quy mêtric địa phương, với b tùy ý Trước hết nêu bổ đề hỗ trợ cho việc chứng minh kết 3.2.2.1 Bổ đề[2] Cho tập lồi đa diện khác rỗng ∆ ⊂ R n ma trận C ∈ R s × n Lúc ánh xạ ∆ ( C , d ) xác định ∆ ( C, d ) = { x ∈ Rn : C x = d } Lipschitz miền hữu hiệu Nghĩa tồn số l > cho ∆ ( C , d ′) ⊂ ∆ ( C , d ) + l Pd ′ − d PBRn , với ∆ ( C , d ) ∆ ( C , d ′ ) tập khác rỗng Từ bổ đề ta có kết sau n 3.2.2.2 Bổ đề[2] Cho ∆ ( A, b ) = ∆ ( b ) = { x ∈ R : Ax ≤ b} Khi ∆ ( A, b ) lipschitz miền hữu hiệu Chứng minh Đặt A′ =  A E  , E ma trận đơn vị R n × n Giả n×n : x ∈ X , w ≥ 0} Lúc sử X ′ = { ( x, w ) ∈ X × R ∆ ( A′, b ) = { ( x, w ) ∈ X ′ : Ax + Ew = b} 30   x  = ( x, w ) ∈ X ′ : A′   w   Theo Bổ đề 3.2.2.1 tồn số l > cho ∆( A′, b ) ⊂ ∆( A′, b′) + l Pb′ − b PBRn , với ∆ ( A′, b ) , ∆ ( A′, b′ ) tập khác rỗng n×n , w ≥ 0, Ax + w = b} , ta suy ∆ ( A, b ) lipschitz Từ ∆ ( A, b ) = { x ∈ X : ∃ w ∈ R miền hữu hiệu 3.2.2.3 Nhận xét Giả sử F ánh xạ xác định phần đầu mục 3.2.2 Khi F có đồ thị đóng Chứng minh Ta chứng minh gph F tập đóng Giả sử ( xk , qk , bk , zk ) ∈ gph F mà ( xk , qk , bk , zk ) → ( x, q, b, z ) , ta cần chứng minh ( xk , qk , bk , zk ) ( x, q, b, z ) ∈ gph F Từ ∈ gph F ta có zk ∈ M xk + qk + N ( xk ; ∆( A, bk ) ) Suy zk − M xk − qk ∈ N ( xk ; ∆ ( A, bk ) ) Từ ta có < zk − M xk − qk , x′ − xk > ≤ 0, ∀ x′ ∈ ∆ ( A, bk ) Lấy x′′ ∈∆ ( A, b ) Theo Bổ đề 3.2.2.2, ∆ ( A, b ) lipschitz miền hữu hiệu nên tồn số l > cho ∆ ( A, bk ) ⊂ ∆ ( A, b ) + l Pb − bk PBRn Do với k tồn xk′′ ∈∆ ( A, bk ) cho Pxk′′ − x′′ P≤ l Pb − bk P Điều kéo theo xk′′ → x′′ ∈∆ ( A, b ) Từ ta có < zk − M xk − qk , xk′′ − xk > ≤ Cho k →∞ ta < z − M x − q, x′′ − x > ≤ Do x′′∈∆( A, b ) tùy ý nên z −M x −q ∈N ( x; ∆( A, b ) ) Ta suy z ∈ M x + q + N ( x; ∆ ( A, b ) ) Hay ( x, q, b, z ) ∈gph F Vậy ta có điều phải chứng minh 31 ∗ ∗ ∗ ∗ n m 3.2.2.4 Định lý[10] Nếu với cặp ( q , b ) ∈ R × R , có ( q , b ) = ( 0,0 ) ( ) { } tồn tập số I ′ ⊂ I = I x0 = i ∈ J : Ai x0 = ( b0 ) i mặt đóng Q nón lồi đa diện T ( FI ′ ; C ) ∩ ( M x0 + q0 ) cho T ( M T q∗, q∗ ) ∈ Q∗ × Q, (2.6) M T q∗ = − AIT′ bI∗′ (2.7) bI∗′ = 0, (2.8) C = ∆ ( A, b ) có tính chất sau: ( q, b ) → S ( q , b ) (i) Ánh xạ có tính chất Aubin lân cận điểm ( q0 , b0 , x0 ) ∈ gph S ; (ii) Ánh xạ ( q, b ) → S ( q, b ) quy mêtric địa phương theo nghĩa Robinson lân cận điểm ( x0 , q0 , b0 ,0 Rn ) Chứng minh Ta thấy F2 có đồ thị đóng Khi áp dụng Định lý 3.1.5 cho tổng F = F1 + F2 điểm ( x0 , q0 , b0 , 0Rn ) , với q∗ ∈R n bất kỳ, ta có D∗ F ( x0 , q0 , b0 , Rn ) ( q∗ ) = { M T q∗} × { Rm } + D∗F2 ( x0 , b0 , − M x0 − q0 ) ( q∗ )  × { q∗}   ∗ Từ điều suy ker D F ( ω0 ) = { 0} với ω0 = ( x0 , q0 , b0 , Rn ) Ta có điều kiện (2.3) tương đương với điều kéo theo sau: ( M T q∗, b∗ ) ∈ D∗F2 ( x0 , b0 , − M x0 − q0 ) ( −q∗ ) ⇒ ( q∗ , b∗ ) = ( 0, ) T ∗ ∗ ∗ ∗ Giả sử ( M q , b ) ∈ D F2 ( x0 , b0 , − M x0 − q0 ) ( −q ) Khi theo Định lý 2.2.18 ta có ( M T q∗, q∗) ∈ Q∗×Q, M T q∗ = − AIT′bI∗′, bI∗′ = 0, với tập số 32 { I ′ ⊂ I = I ( x0 ) = i ∈J : Ai x0 = ( b0 ) i } mặt đóng Q nón lồi đa diện T ( FI ′ ; C ) ∩ ( M x0 + q0 ) Theo giả thiết định lý suy ( q∗ , b∗ ) = ( 0,0 ) ⊥ Do theo Định lý 3.1.8 tính chất (i) chứng minh Theo Nhận xét 3.2.2.3 F có đồ thị đóng Do từ chứng minh Định lý 3.1.9 tính chất (ii) chứng minh Vậy định lý chứng minh Sau ta xét ánh xạ nghiệm ( w, b ) → S ( w, b ) toán ∈ f ( x, w ) + N ( x; ∆ ( A, b ) ) Giả sử b0 ∈R m , w ∈R s , x0 ∈S ( w , b ) Khi ∈F ( x0 , y0 ) F ( x, y ) = F1 ( x, y ) + F2 ( x, y ) , với y =( w, b ) , y0 = ( w , b0 ) F1 ( x, y ) = f ( x, w ) , F2 ( x, y ) = N ( x; ∆ ( A, b ) ) Sử dụng Định lý 2.2.18, Định lý 3.1.5, Định lý 3.1.8, Định lý 3.1.9 ta thu kết sau s n 3.2.2.5 Định lý Giả sử ∇ w f ( x0 , w ) : R → R ánh xạ toàn ánh Nếu với ∗ ∗ n m ∗ ∗ cặp ( q , b ) ∈ R × R , ta có ( q , b ) = ( 0,0 ) tồn tập số { I ′ ⊂ I = I ( x0 ) = i ∈ J : Ai x0 = ( b0 ) i } mặt đóng Q nón lồi đa diện ⊥ T ( FI ′ ; C ) ∩ ( f ( x0 , w ) ) cho ( )) T q , q ữ Q ì Q ,  ∇ x f x0 , w   ( ( ∇ x f ( x0 , w ) ) T ∗ q = − AIT′ bI∗′ , bI∗′ = , C = ∆ ( A, b0 ) có tính chất sau: (i) Ánh xạ ( w, b ) → S ( w, b ) ( w , b0 , x0 ) ∈ gph S ; có tính chất Aubin lân cận điểm 33 (ii) ( w, b ) → S ( w, b ) quy mêtric địa phương theo nghĩa Ánh xạ Robinson lân cận điểm ( x0 , w , b0 ,0 Rn ) Chứng minh Ta thấy F2 ánh xạ có đồ thị đóng Khi áp dụng Định lý 3.1.5 cho tổng F = F1 + F2 điểm ( x0 , w , b0 ,0 Rn ) , với q∗ ∈ R n bất kỳ, ta có D∗ F ( x0 , w , b0 ,0 Rn ) ( q∗ ) =  ( ∇ x f ( x0 , w ) ) q∗  ×{ Rm } + D∗F2 ( x0 , b0 , − f ( x0 , w ) ) ( q∗ )     T × ( ∇ w f ( x0 , w ) ) q∗  T   ∗ Ta chứng minh ker D F ( ω0 ) = với ω0 = ( x0 , w , b0 , 0Rn ) , tức cần chứng minh D∗ F ( ω0 ) ( q∗ ) = ⇒ q∗ = s n Vì ánh xạ ∇ w f ( x0 , w ) : R → R toàn ánh nên theo Nhận xét 3.2.1.3 ta có ∗ ∗ ∗ ( ∇w f ( x0 , w ) ) : ( Rn ) → ( R s ) đơn ánh ∗ ∗ Mà ( ∇ w f ( x0 , w ) ) = ( ∇ w f ( x0 , w ) ) Do ker D F ( ω0 ) = T Ta có điều kiện (2.3) tương đương với điều kéo theo sau: ( )) ( T ∗ ∗  q , b ÷∈ D∗ F2 x0 , b0 , − f x0 , w  ∇ x f x0 , w   ( ( ) ) ( −q∗ ) ⇒ ( q∗ , b∗ ) = ( 0, )  ∗ ∗ ∗ ∗ Giả sử  ( ∇ x f ( x0 , w ) ) q , b ÷∈ D F3 ( x0 , b0 , − f ( x0 , w ) ) ( −q ) Khi theo T  Định  lý ( ∇ x f ( x0 , w ) ) 2.2.18 ta có (   ∇ x f x0 , w  ( )) T ∗ q , q ữ Q ì Q, q = − AIT′ bI∗′ , bI ′ = , với tập số I ′ ⊂ I = I ( x0 ) mặt đóng T ∗ Q nón lồi đa diện T ( FI ′ ; C ) ∩ ( ⊥ f ( x0 , w ) ) Theo giả thiết định lý suy ∗ ∗ ( q , b ) = ( 0,0 ) Do theo Định lý 3.1.8 tính chất (i) chứng minh 34 Theo Nhận xét 3.2.2.3 F có đồ thị đóng Do từ chứng minh Định lý 3.1.9 tính chất (ii) chứng minh Vậy định lý chứng minh Để thấy rõ ứng dụng định lý ta tìm hiểu ví dụ sau 3.2.3 Ví dụ Phần nêu hai ví dụ đơn giản để chứng tỏ Định lý 3.2.1.1 Định lý 3.2.2.4 sử dụng cho nhiều toán cụ thể Cho f ( x,w ) = α x + w , với α ∈ R số không đổi w = q ∈ R tham số thực, ví dụ minh họa ứng dụng Định lý 3.2.1.4 Định lý 3.2.2.5 thực tiễn 3.2.3.1 Ví dụ[10] (Ứng dụng Định lý 3.2.1.1 bất đẳng thức biến phân afin chứa tham số) Cho n = 1, m = 2,  −1  0 A = R 2ì1, b = ữ R , M = [ α ] ∈ R1×1 1  1  Xét bất đẳng thức biến phân afin chứa tham số ∈ α x + q + N ( x ; ∆ ( A, b ) ) (2.9) mà xác định toán tử afin M x + q = α x + q ( q ∈ R ) tập lồi đa diện ∆ ( A, b ) = { x ∈ R : Ax ≤ b} Ta nghiên cứu dáng điệu địa phương ánh xạ nghiệm q → S ( q, b ) (2.9) lân cận điểm ( q0 , x0 ) = ( 1,0 ) ( q0 , x0 ) = ( 0,0 ) thuộc gph S ( , b ) Ta thấy dấu số α ảnh hưởng đến kết toán xét ⊥ Xét trường hợp ( q0 , x0 ) = ( 1,0 ) , ta có ( M x0 + q0 ) = { 0} Khi đó, với tập số I ′ ⊂ I ( x0 ) = { 1} ta có T ( FI ′ ; C ) ∩ ( M x0 + q0 ) = { 0} Do Q = { 0} , bao hàm thức ⊥ ∗ ∗ (2.4) viết ( α q , q ) ∈ R ×{ 0} kéo theo q∗ = Do giả thiết Định lý 35 3.2.1.1 thỏa mãn Do ánh xạ q → S ( q, b ) có tính chất Aubin lân cận điểm ( q0 , x0 ) ∈ gph S ( , b ) quy mêtric địa phương theo nghĩa Robinson lân cận điểm ( x0 , q0 ,0 ) Trường hợp ( q0 , x0 ) = ( 0,0 ) I ′ ⊂ I ( x0 ) = { 1} Lấy I ′ = ∅ , ta có ( M x0 + q0 ) ⊥ ⊥ = R T ( FI ′ ; C ) ∩ ( M x0 + q0 ) = R Khi với Q = R , bao hàm thức ∗ ∗ (2.4) viết ( α q , q ) ∈ { 0} × R , kéo theo q∗ = α ≠ Lấy I ′ = I ( x0 ) = {1} , ta có T ( FI ′ ; C ) ∩ ( M x0 + q0 ) = R+ Khi với Q = R+ , bao hàm ⊥ ∗ ∗ thức (2.4) viết ( α q , q ) ∈ ( − R+ ) × R+ Nếu α ≠ q∗ = α > Như giả thiết Định lý 3.2.1.1 thỏa mãn α > Dựa vào Định lý 3.2.1.1, ta có kết luận α > ánh xạ q → S ( q, b ) có tính chất Aubin lân cận điểm ( q0 , x0 ) ∈ gph S ( , b ) quy mêtric địa phương theo nghĩa Robinson lân cận điểm ( x0 , q0 ,0 ) 3.2.3.2 Ví dụ[10] (Ứng dụng Định lý 3.2.2.4 bất đẳng thức biến phân afin chứa tham số) Giả sử n, m, A M cho Ví dụ 3.2.3.1 Xét 0 bất đẳng thức biến phân afin chứa tham số (2.9) đặt b0 =  ÷ Ta nghiên cứu 1  dáng điệu địa phương ánh xạ nghiệm ( q, b ) → S ( q, b ) (2.9) lân cận điểm ( q0 , b0 , x0 ) ∈ gph S , với ( q0 , x0 ) = ( 1,0 ) ( q0 , x0 ) = ( 0,0 ) Ta thấy dấu số α ảnh hưởng đến kết toán ⊥ Xét trường hợp ( q0 , x0 ) = ( 1, ) , ta có ( M x0 + q0 ) = { 0} Khi đó, với tập ⊥ số I ′ ⊂ I ( x0 ) = { 1} ta có T ( FI ′ ; C ) ∩ ( M x0 + q0 ) = { 0} Do Q = { 0} , bao hàm ∗ ∗ thức (2.6) viết ( α q , q ) ∈ R ×{ 0} kéo theo q∗ = Nếu I ′ = ∅ (2.8) cho 36 ( ) b∗ = ta có ( q∗ , b∗ ) = 0,0 R2 Nếu I ′ = I = I ( x0 ) = { 1} (2.7) kéo theo b1∗ = ( ) ∗ ∗ ∗ Khi I ′ = { 2} , (2.8) cho b2 = Do ( q , b ) = 0,0 R2 Ta thấy giả thiết Định lý 3.2.2.4 thỏa mãn Như với α ∈ R , ánh xạ ( q, b ) → S ( q, b ) có tính chất Aubin lân cận điểm ( q0 , b0 , x0 ) ∈ gph S quy mêtric địa phương theo nghĩa Robinson lân cận điểm ( x0 , q0 , b0 ,0 ) Trường hợp ( q0 , x0 ) = ( 0,0 ) I ′ ⊂ I ( x0 ) = { 1} Lấy I ′ = ∅ , ta có ⊥ T ( FI ′ ; C ) ∩ ( M x0 + q0 ) = R Khi với Q = R , bao hàm thức (2.6) viết ( α q∗ , q∗ ) ∈{ 0} × R , điều kéo theo q∗ = α ≠ Từ I ′ = J = { 1,2} , (2.8) cho b∗ = Lấy I ′ = I ( x0 ) = { 1} , ta có T ( FI ′ ; C ) ∩ ( M x0 + q0 ) = R+ Khi đó, ⊥ ta xét hai trường hợp với Q = R+ Q = { 0} Trường hợp Q = R+ , (2.6) viết ∗ ∗ sau ( α q , q ) ∈ ( − R+ ) × R+ , điều cho q∗ = α > Từ (2.7) ( ) ∗ ∗ ∗ ∗ suy b1 = , từ (2.8) suy b2 = Do ( q , b ) = 0,0 R2 α > ∗ ∗ Trường hợp Q = { 0} , (2.6) viết sau ( α q , q ) ∈ R ×{ 0} , kéo theo q∗ = ( ) ∗ ∗ ∗ ∗ Từ I ′ = I ( x0 ) = { 1} , (2.7) cho b1 = (2.8) cho b2 = Do ( q , b ) = 0,0 R2 Như giả thiết Định lý 3.2.2.4 thỏa mãn α > Dựa vào Định lý 3.2.2.4, ta có kết luận α > ánh xạ ( q, b ) → S ( q, b ) có tính chất Aubin lân cận điểm ( q0 , b0 , x0 ) ∈ gph S quy mêtric địa phương theo nghĩa Robinson lân cận điểm ( x0 , q0 , b0 ,0 ) KẾT LUẬN Một số vấn đề mà luận văn đạt được: 37 Chứng minh chi tiết lại số kết Định lý 3.2.1.1, Định lý 3.2.2.4 Bổ đề 2.2.14 tài liệu [9], [10] Tác giả đưa chứng minh ba Nhận xét 2.2.2, 3.2.1.3, 3.2.2.3 Mệnh đề 2.2.7 Đưa cách chứng minh khác với lược đồ chứng minh N D Yen J-C Yao cho bổ đề 2.2.11 Chứng minh hai Định lý 3.2.1.4, Định lý 3.2.2.5 N D Yen J-C Yao đưa chưa chứng minh Sau hồn thành luận văn chúng tơi đưa số Bài toán mở sau: Nêu giảm bớt điều kiện Định lý 3.2.1.4, Định lý 3.2.2.5 kết luận Định lý cịn khơng? s n Điều kiện để ánh xạ ∇ w f ( x0 , w ) : R → R tồn ánh có phải điều kiện cần cho kết luận Định lý 3.2.1.4 Định lý 3.2.2.5 khơng? Trong tốn ta xét X, Y không gian hữu hạn chiều, thay X, Y khơng gian vơ hạn chiều kết luận tốn cịn khơng? TÀI LIỆU THAM KHẢO 38 [1] David Kinderlerer, An Introduction to Variationl Inequations and Their Applications, New York, A Press, 1980 [2] G M Lee, N N Tam and N D Yen, Quadratic Programming and Affine Variational Inequalities: A Qualitative Study, Series: “Nonconvex Optimization and its Applications”, Vol 78, Springer Verlag, 2005 [3] N M Nam, Coderivatives of normal cone mappings and lipschitzian stability of parametric variational inequalities, Nonlinear Analysis 73, 2271-2282, 2010 [4] Ngơ Thị Miên, Tính nửa liên tục ánh xạ nghiệm bất đẳng thức biến phân suy rộng chứa tham số không gian Banach phản xạ, Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vinh, 2009 [5] B S Mordukhovich, Complete characterization of openness metric regularity, and Lipschitzian properties of multifunctions, Trans Amer Math Soc 340, 1-35, 1993 [6] B S Mordukhovich, Generalized differential calculus for nonsmooth and setvalued mappings, J Math Anal Appl 183, 250-288, 1994 [7] S M Robinson, Generalized equations and their solution Part I: Basic theory, Math Program Study 10, 128-141, 1979 [8] Nguyễn Sum – Nguyễn Văn Giám – Mai Quý Năm, Toán cao cấp Tập 1: Đại số tuyến tính, Nhà xuất GD, 2000 [9] J-C Yao and N D Yen, Coderivative calculation related to a parametric affine variational inequality Part 1: Basic calculations, Acta Math Vietnam, 34, 157-172, 2009 [10] J-C Yao and N D Yen, Coderivative calculation related to a parametric affine variational inequality Part 2: Applications, Pacific J Optimi, 5, 493-506, 2009 [11] Nguyễn Đông n, Giải tích đa trị, Bộ sách tốn cao cấp-viện toán học, Nhà xuất khoa học Tự Nhiên Công Nghệ, 2007 39 ... tơi chọn đề tài: ? ?Tìm hiểu phép toán đối đạo hàm liên quan đến bất đẳng thức biến phân afin chứa tham số ứng dụng nó? ??, dựa báo GS TSKH Nguyễn Đơng n (xem [9], [10]) Mục đích luận văn tập trung... ánh xạ nghiệm bất đẳng thức biến phân afin chứa tham số Với mục đích luận văn chia làm ba chương: Chương I Bất đẳng thức biến phân R n Chương II Các phép tính liên quan đến đối đạo hàm ánh xạ đa... 3.2.3.2 Ví dụ[10] (Ứng dụng Định lý 3.2.2.4 bất đẳng thức biến phân afin chứa tham số) Giả sử n, m, A M cho Ví dụ 3.2.3.1 Xét 0 bất đẳng thức biến phân afin chứa tham số (2.9) đặt b0 =  ÷