Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 34 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
34
Dung lượng
420,69 KB
Nội dung
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC NGUYỄN HỮU CÁC BÀI TOÁN GIÁ TRỊ BAN ĐẦU VÀ GIÁ TRỊ BIÊN CHO PHƯƠNG TRÌNH TỐN TỬ KHẢ NHỊCH PHẢI LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THANH HĨA, NĂM 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC NGUYỄN HỮU CÁC BÀI TOÁN GIÁ TRỊ BAN ĐẦU VÀ GIÁ TRỊ BIÊN CHO PHƯƠNG TRÌNH TỐN TỬ KHẢ NHỊCH PHẢI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành : Tốn Giải tích Mã số : 60.46.01.02 Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Nguyễn Đình Quyết THANH HĨA, NĂM 2014 Danh sách Hội đồng chấm luận văn Thạc sĩ khoa học theo Quyết định số……… ngày tháng……năm… Hiệu trưởng Trường Đại học Hồng Đức Học hàm, học vị, Họ tên Cơ quan Công tác Chức danh Hội đồng PGS TS Nguyễn Minh Tuấn ĐHQG Hà Nội Chủ tịch TS Trần Đình Kế Trường ĐHSP Hà Nội Phản biện PGS TS Cung Thế Anh Trường ĐHSP Hà Nội Phản biện GS TSKH Lê Dũng Mưu Viện Tốn Học Ủy viên TS Hồng Văn Thi Trường ĐH Hồng Đức Thư ký Xác nhận Người hướng dẫn Học viên chỉnh sửa theo ý kiến Hội đồng Ngày 28 tháng 10 năm 2014 PGS TS Nguyễn Đình Quyết -i- LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan luận văn không trùng lặp với khóa luận, luận văn, luận án cơng trình nghiên cứu công bố Tác giả luận văn Nguyễn Hữu Các - ii - LỜI CẢM ƠN Luận văn thực hoàn thành Khoa Khoa học Tự nhiên, Trường đại học Hồng Đức, hướng dẫn nhiệt tình PGS - TS Nguyễn Đình Quyết Tác giả xin bày tỏ kính trọng, lịng biết ơn chân thành đến PGS - TS Nguyễn Đình Quyết, người thầy dẫn tận tình truyền đạt cho tác giả kinh nghiệm quý báu công tác nghiên cứu khoa học từ ngày tác giả bắt đầu học cao học trường Đại học Hồng Đức Tấm lòng nhân thầy để lại cho tác giả ấn tượng tốt đẹp tình thầy trò Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường Đại học Hồng Đức Thanh Hóa, Lãnh đạo phòng ban, Ban chủ nhiệm khoa Tự nhiên, Bộ mơn Giải tích, thầy giáo trường Đại học Hồng Đức Cảm ơn thầy cô tham gia giảng dạy Trường Đại học Hồng Đức bạn đồng khóa giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả làm việc suốt trình học tập trường Tác giả xin trân trọng gửi lời cảm ơn tới Ban Giám Hiệu Trường THPT Hoằng Hóa quan tâm tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả hoàn thành nhiệm vụ học tập nghiên cứu Qua tác giả xin chân thành cảm ơn tới bạn bè người thân gia đình ln động viên, chia sẽ, giúp đỡ tác giả trình học tập Thanh Hóa, tháng …… năm 2014 Tác giả luận văn Nguyễn Hữu Các - iii - MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU Chương TOÁN TỬ KHẢ NGHỊCH PHẢI VÀ TOÁN TỬ BAN ĐẦU 1.1 Tốn tử khả nghịch phải khơng gian tuyến tính 1.1.1 Khơng gian tuyến tính tốn tử tuyến tính .3 1.1.2 Định nghĩa tính chất toán tử khả nghịch phải 1.2 Một số ví dụ 1.3 Định nghĩa tính chất tốn tử ban đầu Chương CÁC BÀI TOÁN GIÁ TRỊ BIÊN, GIÁ TRỊ BAN ĐẦU CHO PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ KHẢ NGHỊCH PHẢI 14 2.1 Các toán giá trị biên, giá trị ban đầu cho phương trình tốn tử khả nghịch phải 14 2.2 Một số định lý, tính chất tồn tính nghiệm toán giá trị biên, giá trị ban đầu cho phương trình tốn tử khả nghịch phải 15 2.3 Một số ví dụ tốn giá trị biên, giá trị ban đầu cho phương trình tốn tử khả nghịch phải 22 KẾT LUẬN 26 TÀI LIỆU THAM KHẢO 27 - iv - BẢNG KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN : Tập số thực : Tập số phức M : Bao đóng tập M L(X→Y): Tập tốn tử tuyến tính có miền xác định X nhận giá trị Y L0(X→Y): Tập tốn tử tuyến tính có miền xác định tồn khơng gian X L(X): L(X→X) V(X): Tập toán tử Volterra domA: Miền xác định toán tử A ImA: Tập giá trị toán tử A kerD: Nhân tốn tử D (Cịn gọi khơng gian phần tử hằng) dim(kerD): Số chiều không gian kerD I: Toán tử đồng D: Toán tử khả nghịch phải R: Toán tử nghịch đảo phải R(X): Tập toán tử khả nghịch phải RD: Tập toán tử nghịch đảo phải D F: Toán tử ban đầu D FD: Tập toán tử ban đầu D MỞ ĐẦU Lý thuyết toán tử khả nghịch phải nghiên cứu phát triển nhiều nhà toán học giới, lĩnh vực tốn học có nhiều ứng dụng quan trọng, xuất phát triển vài thập kỷ gần Lý thuyết toán tử khả nghịch phải kết nghiên cứu D Przeworska – Rolewicz báo “Algebraic theory of right invertible operators” đăng tạp chí Studia Mathematica, Vol 48 (1973), sau phát triển H Vontrotha, Z.Binderman, M Tasche, N V Mậu, W Z Karwowski nhiều nhà toán học khác Lý thuyết toán tử khả nghịch phải tổng quát hóa phương trình vi phân, vi tích phân, tích phân, đạo hàm riêng, sai phân,… thành phương trình tốn tử khả nghịch phải, khả nghịch suy rộng Cùng với xuất lý thuyết toán tử khả nghịch phải, toán giá trị biên, giá trị ban đầu toán giá trị biên hỗn hợp,…đã nhiều nhà toán học nghiên cứu phát triển Áp dụng lý thuyết toán tử khả nghịch phải nhà toán học thuật toán xây dựng nghiệm toán dạng hiển cách hữu hiệu Theo hướng này, nước ta từ cuối năm 80 kỷ XX có số nhà tốn học thuộc Trường Đại học Tổng hợp Hà nội (nay Trường Đại học Khoa học Tự nhiên – Đại học Quốc Gia Hà Nội), Đại học Sư phạm Hà Nội nghiên cứu nhận số kết đáng kể Như biết lý thuyết phương trình, tìm nghiệm chúng người ta thường quan tâm đến việc tìm nghiệm riêng, tức tìm nghiệm phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước Các điều kiện đặt giải trình phương trình vi phân, vi tích phân, tích phân, đạo hàm riêng, sai phân…, điều kiện ban đầu điều kiện biên Nghiệm cần tìm phải thỏa mãn điều kiện nêu có nhất, có nhiều nghiệm khơng có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho -2- Bằng ngơn ngữ tốn tử khả nghịch phải, luận văn trình bày lớp phương trình tốn tử dạng Q (D) y khơng gian tuyến tính X, Q (D) đa thức bậc N toán tử N khả nghịch phải D, Q(D) Qk D k , Qk L(X), Q N I Tính chất k 0 tốn thay đổi theo điều kiện đặt lên nghiệm cần tìm Trong khuôn khổ nghiên cứu đề tài luận văn thạc sĩ tập trung số vấn đề sau : - Trình bày dạng tổng quát lớp phương trình tốn tử khả nghịch phải với giá trị biên giá trị ban đầu - Trình bày tính chất, định lý tồn tính nghiệm số phương trình tốn tử khả nghịch phải Luận văn gồm: Phần mở đầu, chương, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương : Trình bày khái niệm, tính chất tốn tử khả nghịch phải, tốn tử ban đầu ví dụ Một số kết giải tích hàm làm sở cho việc nghiên cứu chương sau Chương : Trình bày toán giá trị biên, giá trị ban đầu, giá trị biên hỗn hợp cho phương trình tốn tử khả nghịch phải Một số tính chất, định lý nghiệm toán giá trị biên, giá trị ban đầu, giá trị biên hỗn hợp cho phương trình tốn tử khả nghịch phải số ví dụ -3- Chương TOÁN TỬ KHẢ NGHỊCH PHẢI VÀ TỐN TỬ BAN ĐẦU Chương chúng tơi nhắc lại số kết dùng nhiều chương sau, số kết Giải tích hàm, khái niệm số tính chất toán tử khả nghịch phải, toán tử ban đầu 1.1 Tốn tử khả nghịch phải khơng gian tuyến tính 1.1.1 Khơng gian tuyến tính tốn tử tuyến tính Giả sử X Y khơng gian tuyến tính trường vơ hướng Kí hiệu L(X Y ) tập tất toán tử tuyến tính có miền xác định X nhận giá trị Y Kí hiệu domA , ImA miền xác định tập giá trị toán tử A Đặt L X : L X X , Lo X Y : A L X Y : domA X Lo : Lo X X 1.1.2 Định nghĩa tính chất tốn tử khả nghịch phải Giả sử X khơng gian tuyến tính trường vô hướng F ( F F ) Sau số khái niệm tính chất tốn tử khả nghịch phải Định nghĩa 1.1.1 Toán tử D L X gọi toán tử khả nghịch phải tồn toán tử R L0 X cho ImR domD DR I domR (1.1) Với I toán tử đồng Khi R gọi nghịch đảo phải D Ký hiệu R(X) tập hợp toán tử khả nghịch phải L(X) RD tập tất nghịch đảo phải D R(X), ta sử dụng cách viết RD R R L0 ( X ) : DR I , Cho x phần tử cố định X D R X Khi tập RD x R x gọi tích phân không xác định x Mỗi phần tử R x gọi nguyên hàm x - 13 - Chứng minh 10 Ta có, x X Dx x F x I R D x x R x I R x từ giả thiết suy x có dạng (1.12) 20 Từ R V (X) toán tử I R tương ứng với số , với (1.1.2) ta suy (1.13) Chú ý 1.3.1 Giả sử giả thiết định lý 1.3.6 thỏa mãn Khi (F F ) x F R x với x X , Thật F R x F R ( x ) F R ( Dx ) F ( I F ) x (F F F x) (F F ) x (1.14) - 14 - Chương CÁC BÀI TOÁN GIÁ TRỊ BIÊN, GIÁ TRỊ BAN ĐẦU CHO PHƯƠNG TRÌNH TỐN TỬ KHẢ NGHỊCH PHẢI Chương dành cho việc nghiên cứu lớp tốn cho phương trình tốn tử khả nghịch phải dạng Q (D) y khơng gian tuyến tính X, Q (D) đa thức bậc N toán tử N khả nghịch phải D, Q(D) Qk D k , Qk L(X), Q N I k 0 2.1 Các toán giá trị biên, giá trị ban đầu cho phương trình tốn tử khả nghịch phải Giả sử X khơng gian tuyến tính trường F, D R(X) với ker D {0} F0 , , FN 1 toán tử ban đầu D tương ứng với R0 , , RN 1 R (D) Xét phương trình N Q (D) x y, y X, Q ( D ) Qk D k , Qk L (X), Q N I (2.1) k 0 2.1.1 Bài tốn giá trị ban đầu (IVP) Tìm nghiệm phương trình (2.1) thỏa mãn điều kiện ban đầu FD k x yk , yk ker D (k 0, , N 1) (2.2) 2.1.2 Bài tốn giá trị biên (BVP) Tìm nghiệm phương trình (2.1) thỏa mãn điều kiện biên Fk x yk , yk ker D (k 0, , N 1) (2.3) 2.1.3 Bài toán giá trị biên hỗn hợp thứ (FMBVP) Tìm nghiệm phương trình (2.1) thỏa mãn điều kiện biên hỗn hợp Fk D k x yk , yk ker D (k 0, , N 1) (2.4) 2.1.3 Bài toán giá trị biên hỗn hợp thứ hai (SMBVP) Tìm nghiệm phương trình (2.1) thỏa mãn điều kiện biên hỗn hợp Fk x yk , yk ker D (k 0, ,M N 1) k F D x y , y ker D (k M 1, , N 1) k k k (2.5) - 15 - 2.1.4 Bài toán giá trị biên hỗn hợp thứ ba (TMBVP) Tìm nghiệm phương trình (2.1) thỏa mãn điều kiện biên hỗn hợp N 1 (F0 k Pik F jk D j ) x y K , yk ker D (k 0, , N 1) (2.6) j 1 với Pjk (j,k 1, , N 1) ánh xạ từ ker D vào 2.2 Một số tính chất định lý nghiệm toán giá trị biên, giá trị ban đầu cho phương trình tốn tử khả nghịch phải Giả sử X khơng gian tuyến tính trường F R0 , , RN 1 nghịch đảo phải toán tử D R (X) Gọi F0 , ,FN 1 toán tử ban đầu sinh R0 , , RN 1 Định nghĩa 2.2.1 Hệ toán tử ban đầu F0 , , FN 1 toán tử D R(X) gọi chấp nhận tồn khả nghịch phải R D cho với y0 , , yN 1 ker D tồn z0 , , z N 1 ker D thỏa mãn điều kiện sau N 1 k F R z j k yj (j 0,1, , N 1) , (2.7) k 0 Với y0 y1 y N 1 kéo theo z0 z1 z N 1 (2.8) Nói cách khác, hệ F0 , , FN 1 chấp nhận z0 , , z N 1 thỏa mãn (2.7) Ánh xạ N {y0 , , y N 1} {z0 , , z N 1} tuyến tính một, viết N {y0 , , y N 1} {z0 , , z N 1} Ánh xạ N nói chung phụ thuộc vào tính chất mơ hình xét Ví dụ 2.2.1 Giả sử X C 0,1 , D d , t0 t1 t N 1 dt t Đặt (Fj x)(t) x(t j ) (j 0,1, , N 1), (Rx)(t) x(s)ds Ta chứng minh hệ F0 , , FN 1 chấp nhận Thật vậy, ta có với k 1, , N - 16 t (t s) k 1 tk k R z0 z0 R zk zk ds (1) z k (k 1)! k! k k k Fj R zk (1) zk t kj k! , (j,k 0,1, , N 1) Do vậy, ta có hệ N phương trình đại số N ẩn N 1 (1) k k 0 t kj zk y j , (j 0,1, , N 1) k! (2.9) t k N 1 (1) k k j có định thức det (1) V (t , , t N 1 ) , suy hệ j , k 0, , N 1 k ! k 1 k ! (2.9) có nghiệm với y0 , , y N 1 ker D Điều chứng tỏ dãy F0 , , FN 1 chấp nhận Định lý 2.2.1 Giả sử hệ F0 , , FN 1 toán tử ban đầu tốn tử D R Khi điều kiện sau tương đương (a) hệ F0 , , FN 1 chấp nhận (b) Bài toán giá trị biên DN x Fj x y j , (2.10) y j ker D (j 0,1, , N 1) (2.11) có nghiệm với y0 , , y N 1 ker D (c) Với hệ y0 , , yN 1 ker D tồn hệ 0 , , N 1 ker D N 1 cho 0 Fj R0 Rk 1 k y j ( j 0,1, , N 1) (2.12) k 1 với R0 , ,R N 1 nghịch đảo phải D tương ứng F0 , , FN 1 Chứng minh ( a ) (b ) Giả sử {F0 , , FN 1} hệ toán tử ban đầu Đặt N 1 z R k zk với N {y0 , , y N 1} {z0 , , z N 1} , ta chứng minh D N z k 0 N 1 Theo định nghĩa Fj z Fj R k zk y j k 0 (j 0,1, , N 1) - 17 - Từ suy điều kiện (b) N 1 (b) (a) Mọi nghiệm phương trình (2.10) có dạng x R k zk , với k 0 z0 , ,z N 1 ker D theo giả thiết hệ (2.10), (2.11) có nghiệm với y0 , , y N 1 điều kiện (2.11) có dạng N 1 F j x F j R k zk y j (j 0,1, , N 1) k 0 Suy tồn z0 , ,z N 1 ker D thỏa mãn điều kiện Do hai điều kiện (2.7), (2.8) thỏa mãn Suy hệ {F0 , , FN 1} chấp nhận (b) (c) Cách chứng minh tương tự (b) (a) ta cần viết N 1 x z0 R0 RN 1 zk k 1 N 1 (c) (b) Giả sử (c) thỏa mãn Đặt 0 R0 RN 1 k Khi D N k 1 nữa, từ (2.12) ta N 1 N 1 Fj Fj0 Fj R0 Rk 1k 0 Fj R0 Rk 1 k y j k 1 k 1 với j 0,1, , N { , , N 1} Với y0 , , y N 1 ker D cố định ta có (a) (b) (c) suy (a) (c) Chú ý 2.2.1 Ánh xạ N {y0 , , yN 1} {0 , , N 1} tuyến tính một Tiếp theo ta viết N {y0 , , y N 1} {0 , , N 1} Định nghĩa 2.2.2 Hệ R , nghịch đảo phải D R (X) có tính chất (c) với z ker D , , có d cho F R z d z d với , với F 0 (2.13) hệ toán tử ban đầu cảm sinh Từ định nghĩa tính chất tích phân xác định toán tử khả nghịch phải ta suy - 18 - d (2.14) d d (2.15) d d d , ( , , ) (2.16) Định lý 2.2.2 Nếu cặp {R ,R }, ( , , ) khả nghịch phải D R(X) có tính chất (c) cặp {F ,F } tương ứng hệ chấp nhận Ta có 2{y ,y }={y , (y -y )}, y ,y ker D d Chứng minh Từ giả thiết ta có z F R z y , z F R z y , ( , ) Được viết lại z y , z d z y , suy z y , z (y -y ) d Điều chứng tỏ cặp {F ,F } tương ứng hệ chấp nhận Định lý 2.2.3 Cho R nghịch đảo phải D R (X) tương ứng với toán tử N 1 Q R N m Nếu toán tử I Q khả nghịch tốn ban đầu F đặt Q m m 0 IVP đặt đắn nghiệm có dạng N 1 N 1 N 1 k k m ) 1 y Q x R N (I Q R y m k R yk m 0 k m k 0 Hệ 2.2.1 Giả sử R V - nghịch đảo phải D VR (X) tương ứng với toán tử ban đầu F giả sử Qk qk I với qk (k 0,1, , N 1) vơ hướng khả nghịch, toán IVP đặt đắn nghiệm Khi tốn tử I Q có dạng N 1 ) 1 ( R N y R k y ) x (I Q k k 0 - 19 - Định lý 2.2.4 Giả sử R0 , ,R N 1 nghịch đảo phải D R (X) tương N 1 Q R R Nếu toán tử ứng với toán tử ban đầu F0 , , FN 1 giả sử Q m m N 1 m khả nghịch tốn FMBVP đặt đắn nghiệm có I Q N 1 ) 1 y y R R y ) dạng x R0 RN 1 ( I Q k k k 1 với N 2 N 1 y y Q m Rm Rk 1 yk ym QN 1 y N 1 m 0 k m1 Định lý 2.2.5 Nếu toán tử Pkj , (k, j 0,1, , N 1) ánh xạ biến ker D vào toán TMBVP trở thành toán BVP Thật định lý 1.3.5 toán tử N 1 F P F Dj F jk jk k 0k (k 0,1, , N 1) j 1 toán tử ban đầu D, điều kiện (2.6) viết lại thành y F k k (k 0,1, , N 1) Chú ý 2.2.3 Nếu dãy F0 , , FN 1 toán tử ban đầu D R(X) chấp nhận được, tốn BVP toán tử Q( D) D N đặt đắn nghiệm có dạng N 1 x R0 RN 1 y z0 R0 Rk zk k 1 với {z0 , ,z N 1 } N {y0 , y1 F1R R N 1 y, , y N 1 FN 1R R N 1 y} Chứng minh Đặt u x R R N 1 y Khi D N u D N x D N R R N 1 y y y Fju Fj x Fj R R N 1 y y j Fj R R N 1 y (j 0,1, , N 1) N 1 Giả thiết (b) (c) định lý 2.2.1 đồng u z0 R0 Rk z k ) , với k 1 z0 , ,z N 1 xác định u phần tử có tính chất cần đến - 20 - Do tốn BVP với tốn tử Q( D) D N đặt đắn nghiệm có dạng x u R0 RN 1 y Định lý 2.2.6 Giả sử N cặp {R ,R 1} nghịch đảo phải D R (X) , tương ứng với tốn tử ban đầu F0 ,F1 có tính chất (c) Q R Q R R (Q Q R ) F R Đặt R 1 0 1 0 d01 (2.17) khả nghịch phải tốn BVP với tốn tử Nếu tốn tử I R Q( D) D Q1D Q0 đặt đắn nghiệm có dạng ) 1 y y R (y y ) x R0 1 F0 F1 R1 (I R 0 d 01 d 01 (2.18) y y Q y (Q Q R )(y y ) 0 0 d01 (2.19) Q R Q R R , u D x, Chứng minh Đặt Q 1 0 z F1 Dx ker D , từ cơng thức Taylo ta có x R0 R1 D x R0 F1 Dx F0 x R0 R1u R0 z y0 Từ việc tìm nghiệm phương trình (2.1) ta có y Q (D) x ( D Q1D Q0 )( R0 R1u R0 z y0 ) ( I Q1R1 Q0 R0 R1 )u Dz Q1 z Q0 R0 z ( D Q1D) y0 Q0 y0 (I Q) u (Q1 Q0 R0 z ) Q0 y0 )u y Q y (Q Q R ) z (I Q 0 0 2.20) Mặt khác, từ F1R0 F0 R1 tính chất (c) suy y1 F1 x F1 ( R0 R1u R0 z y0 ) F0 R12u d10 z y0 F0 R12u d01 z y0 z (y0 y1 F0 R12 u) d01 Kết hợp (2.20) (2.21) ta )u y Q y (Q Q R )(y y F R u) (I Q 0 0 1 d01 (2.21) - 21 - phương trình cuối viết lại 1 2 I Q ( Q Q R ) F R (Q1 Q0 R0 )(y y1 ) 0 u y Q0 y0 d 01 d 01 QR Q R R Từ định nghĩa Q 1 0 (2.24) ta )u y Q y (Q Q R )(y y ) (I R 0 0 d01 nghịch đảo phải, ta có Từ tốn tử I R ) 1 y Q y ( Q Q R )(y y ) u (I R 0 0 d 01 từ (2.21) x R0 R1u R0 z y0 ) 1 y Q y (Q Q R )(y y ) R (y y F R u) y R0 R1 (I R 0 0 0 1 d 01 d01 ) 1 y Q y ( Q Q R )(y y ) R (y y ) y R0 R1 (I R 0 0 0 d 01 d01 ) 1 y Q y ( Q Q R )(y y ) R0 F0 R12 (I R 0 0 d01 d01 ) 1 y R (y y ) y R0 I F0 F1 R1 (I R 0 d 01 d 01 Định lý 2.2.7 Giả sử hệ F0 , , FN 1 toán tử ban đầu toán tử D R (X) chấp nhận được, tốn SMBVP tốn tử Q( D) D N đặt đắn nghiệm có dạng N 1 M x y0 R0 Rk zk k 1 R0 Rk 1 yk R0 RN 1 y {z0 , , z M }= M 1{ y0 , , y M }, y y y j (2.22) k M 1 y0 y0 (2.23) N Fj R0 Rk 1 yk FR0 RN 1 y , (j 1, ,M) k M 1 Chứng minh Đặt zk Fk D k x (k 1, ,M) Từ cơng thức Taylo ta có (2.24) - 22 N 1 x F0 x R0 Rk 1Fk D k x R0 RN 1D N x k 1 (2.25) N 1 M y0 R0 Rk 1 zk k 1 R0 Rk 1 yk R0 RN 1 y k M 1 từ giả thiết D N x y , F0 x y0 , F j D j x y j , với j M 1, , N Tác động vào hai vế (2.25) toán tử Fj , (j 1, ,M) ta có M y j Fj x Fj y0 Fj R0 Rk 1 zk k 1 N 1 Fj R0 Rk 1 yk Fj R0 RN 1 y k M 1 Vì từ (2.24) ta có M +1 phương trình M z0 Fj R0 Rk 1 zk y, (j 0,1, ,M) (2.26) k 1 Từ giả thiết hệ F0 , , FM chấp nhận được, hệ (2.26) có nghiệm có cơng thức (2.23), cho ta cơng thức (2.22) F0 x y0 2.3 Một số ví dụ toán giá trị biên, giá trị ban đầu cho phương trình tốn tử khả nghịch phải Ví dụ 2.3.1 Xét phương trình x '' x y b với điều kiện x (s) ds y , x (b) x(a) y1 y , y0 , y1 , cho a Đây toán IVP Ở b ( Fx )(t) x(s)ds y0 a b ( FDx)(t) x '(s)ds y1 a F tương ứng với nghịch đảo phải R xác định R R0 FR0 t Với ( R0 x )(t) x (s)ds Ta có a ( Rx)(t) ( R0 x)(t) ( FR0 x)(t) - 23 t b x(s)ds F x(s)ds a a t b s x(s)ds x(u)du ds a a a t b x(s)ds ( s b) x(s) ds a a Suy D VR (X) Áp dụng hệ 2.2.1 tốn đặt đắn có ) 1 ( R y y Ry ) nghiệm có dạng x ( I Q Q R Q R Q 0, Q I suy Q R2 Trong Q 1 Như x ( I R ) 1 ( R y y0 Ry1 ) Ví dụ 2.3.2 Xét phương trình x '' et với điều kiện x(s) ds x , x(1) x(0) x , x0 , x1 R Đây toán IVP Ở ( Fx )(t) x(s)ds x0 ( FDx )(t) x '(s)ds x1 F tương ứng với nghịch đảo phải t (Rx)(t) x (s)ds (s 1) x(s)ds 0 Suy nghiệm x có dạng x(t) R (et ) x Rx1 tức t 1 s u s u u x(t) e du (u 1)e du ds (s 1) e du (u 1)eu du ds 0 0 t x0 x1ds (s 1) x1ds et (x1 e) t x 0 x1 e 2 - 24 - d2 Ví dụ 2.3.3 Xét phương trình I y với điều kiện x(0) 0, x( ) dt Đây toán BVP Ở Q(D) D I , (D d ), N dt Q1 0, Q0 I Điều kiện F0 x x (0) F1 x x ( ) Q R Q R R (Q Q R ) F R R R R F R Đặt R 1 0 1 0 1 0 d01 d01 t t Trong (R x)(t) x (s)ds, (R1x)(t) x(s)ds R0 , R1 có tính chất (c) F0 R1 z F0 zds F0 z( ) z , d 01 4 Khi R R R F R R R R (F R ) R R R R (F R ) R R R 0 1 1 d01 0 1 0 khả nghịch Áp dụng định lý 2.2.6 tốn đặt Như toán tử I R ) 1 y đắn nghiệm có dạng x R0 1 F0 F1 R1 (I R Ví dụ 2.3.4 Xét phương trình x(N) y với điều kiện x(t k ) a k , (k 0,1, , N 1), a t0 t1 t N 1 b, Đây toán BVP Ở y C a, b x(t k ) a k (F k x)(t) x(t k ), (k 0,1, , N 1) Theo kết ví dụ 2.2.1 ta có dãy F0 , , FN 1 chấp nhận Khi Fk tương ứng với nghịch đảo phải t (R k x)(t) x(s)ds, (k 0,1, , N 1) tk - 25 - Theo ý 2.2.3 thì tốn đặt đắn nghiệm có N 1 dạng x R0 RN 1 y z0 R0 Rk zk , k 1 với {z0 , ,z N 1 } N {y0 , y1 F1R R N 1 y, , y N 1 FN 1R R N 1 y} b Ví dụ 2.3.5 Xét phương trình x '' x y với điều kiện x(s)ds y0 , x '(c) y1 a Đây toán FMBVP Ở Q(D) D I , (D d ), N dt Q1 0, Q0 I b Điều kiện ( F0 x )(t) x(s)ds y0 a ( F1Dx )(t) x '(c) y1 t Do F1 x x(c) suy ( R1 x)(t) x (s)ds a Ta có F0 tương ứng với R0 xác định R0 R1 F0 R1 Suy ( R0 x )(t) ( R1 x)(t) F0 ( R1 x )(t) t b s x(s)ds x (u)du ds a a a t b x(s)ds ( s b) x (s) ds a a Khi R0 , R1 R (D) tương ứng với F0 ,F1 Q R R Q R R Q 0, Q I suy Q 2R R Đặt Q 0 1 1 0 khả nghịch Như toán tử I Q Áp dụng định lý 2.2.4 tốn đặt đắn nghiệm có ) 1 y y R y ) dạng x R0 R1 ( I Q 0 với y y Q0 (R y1 y ) Q1 y1 y (R y1 y0 ) - 26 - KẾT LUẬN Luận văn nghiên cứu toán giá trị biên, giá trị ban đầu, toán giá trị biên hỗn hợp cho phương trình tốn tử khả nghịch phải ứng dụng Những kết luận văn là: Trình bày tốn giá trị biên, giá trị ban đầu, toán giá trị biên hỗn hợp cho phương trình tốn tử khả nghịch phải Trình bày số định lý tồn tại, tính nghiệm toán giá trị biên, giá trị ban đầu, toán giá trị biên hỗn hợp cho phương trình tốn tử khả nghịch phải số ví dụ - 27 - TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phạm Quang Hưng (1994), “Toán tử Green toán giá trị biên với toán tử khả nghịch phải DN”, Tạp chí Khoa học –Khoa học tự nhiên, Đại học Tổng hợp Hà Nội, Vol 7/1974 Tr 11-18 [2] Phạm Quang Hưng (1995), Bài toán nội suy tổng quát toán biên lớp toán tử khả nghịch phải, Luận án tiến sĩ toán học, Trường đại học tổng hợp Hà Nội [3] Hoàng Văn Thi (2005), Về tính điều khiển hệ mơ tả tốn tử khả nghịch phải khả nghịch suy rộng, Luận án tiến sĩ toán học, Trường đại học tổng hợp Hà Nội [4] V N Mau (1992), Boundary value problems and controllability of linear systems with right invertible operators, Disertationes Math, CCCXVI, Warszawa [5] D.Danuta przeworska – Rolewiez (1988), Algebraic Analysis, PWN and Reidel, Warszawa – Dordecht