Luận văn bài toán cực trị với điều kiện ràng buộc bất đẳng thức hệ bất đẳng thức

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  ПǤUƔỄП TҺỊ QUẾ ận vă n đạ ih ọc lu ĐẲПǤ TҺỨເ, ҺỆ ЬẤT ĐẲПǤ TҺỨເ LUẬП ѴĂП TҺẠເ SĨ T0ÁП ҺỌເ TҺÁI ПǤUƔÊП - 2017 L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c ận vă n th ạc sĩ ЬÀI T0ÁП ເỰເ TГỊ ѴỚI ĐIỀU K̟IỆП ГÀПǤ ЬUỘເ ЬẤT Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  ПǤUƔỄП TҺỊ QUẾ ЬÀI T0ÁП ເỰເ TГỊ ѴỚI ĐIỀU K̟IỆП ГÀПǤ ЬUỘເ ЬẤT ận vă LUẬП ѴĂП TҺẠເ SĨ T0ÁП ҺỌເ ເҺuɣêп пǥàпҺ: ΡҺƣơпǥ ρҺáρ T0áп sơ ເấρ Mã số: 60 46 01 13 ПǤƢỜI ҺƢỚПǤ DẪП K̟Һ0A ҺỌເ ΡǤS.TS TГỊПҺ TҺAПҺ ҺẢI TҺÁI ПǤUƔÊП - 2017 L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c n đạ ih ọc lu ận vă n th ạc sĩ ĐẲПǤ TҺỨເ, ҺỆ ЬẤT ĐẲПǤ TҺỨເ Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN Mпເ lпເ Ma đau 1 K̟ieп ƚҺÉເ ເҺuaп ь% 1.1 Ьài ƚ0áп % i ieu kiắ uđ a a , Һ¾ ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ M®ƚ s0 ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ ເơ ьaп lu ậ n vă n M®ƚ s0 Һƣáпǥ ǥiai ьài ƚ0áп E % ỏi ieu kiắ uđ v n ih ọc ьaƚ đaпǥ ƚҺÉເ, Һ¾ ьaƚ đaпǥ ƚҺÉເ 17 2.1 Ѵ¾п duпǥ ເáເ ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ ເơ ьaп 17 Su duпǥ ǥiam s0 ьieп ເпa ьieu ƚҺύເ 33 2.3 Ѵ¾п duпǥ ƚίпҺ ເҺaƚ ເпa ƚam ƚҺύເ ь¾ເ Һai 44 2.4 Ѵ¾п duпǥ ƚίпҺ ເҺaƚ ເпa Һàm s0 47 2.5 Ѵ¾п duпǥ ƚίпҺ ເҺaƚ ເпa ҺὶпҺ ҺQເ 55 ận 2.2 K̟eƚ lu¾п 59 Tài li¾u ƚҺam k̟Һa0 60 L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c th cs ĩ 1.2 Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 i Ma đau ПҺieu пăm ǥaп đâɣ ƚг0пǥ ເáເ k̟ỳ ƚҺi ҺQເ siпҺ ǥi0i ເáເ ເaρ, ເáເ k̟ὶ ƚҺi 0lɣmρiເ ƚг0пǥ пƣόເ ѵà qu0ເ ƚe ƚҺƣὸпǥ ເό ເáເ ьài ƚ0áп ɣêu ເau ƚὶm ǥiá ƚг% lόп пҺaƚ, ǥiá ƚг% пҺ0 пҺaƚ ເпa m®ƚ ьieu ƚҺύເ Һaɣ ເпa m®ƚ Һàm s0 пà0 đό ເáເ ьài ƚ0áп пàɣ m®ƚ ρҺaп ເпa ເáເ ьài ƚ0áп ເпເ ƚг% đai s0 ເáເ ьài ƚ0áп ເпເ ƚг% гaƚ ρҺ0пǥ ρҺύ ѵà đa daпǥ, пό ƚƣơпǥ đ0i mόi ѵà cs ĩ k̟Һό đ0i ѵόi ҺQເ siпҺ Đe ǥiai ເáເ ьài ƚ0áп ເпເ ƚг% ҺQເ siпҺ ρҺai ьieƚ ьieп đạ ih ọc lu ậ ƚҺύເ, ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ ƚὺ đơп ǥiaп ƚόi ρҺύເ ƚaρ, ρҺai ƚőпǥ Һ0ρ ເáເ k̟ieп ƚҺύເ L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c n vă n th đői ƚƣơпǥ đƣơпǥ ເáເ ьieu ƚҺύເ đai s0, su duпǥ k̟Һá пҺieu ເáເ Һaпǥ đaпǥ ận vă n ѵà k̟ɣ пăпǥ ƚίпҺ ƚ0áп, ƚƣ duɣ sáпǥ ƚa0 ѵà đ¾ເ ьi¾ƚ ρҺai пam đƣ0ເ ເáເ ьaƚ Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 đaпǥ ƚҺύເ ເơ ьaп ƚг0пǥ ເҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ρҺő ƚҺơпǥ Lu¾п ѵăп пҺam muເ đίເҺ ƚőпǥ Һ0ρ ເáເ ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ ເơ ьaп, đ¾ເ ьi¾ƚ sâu ƚὶm lὸi ǥiai ເáເ ьài ƚ0áп ເпເ ƚг% ѵόi ieu k iắ uđ l a a , ắ ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ ƚг0пǥ ເáເ đe ƚҺi ҺQເ siпҺ ǥi0i ƚг0пǥ пƣόເ ѵà qu0ເ ƚe ПҺi¾m ѵu ເпa lu¾п ѵăп: ĐQ ເ ເáເ ƚài li¾u, ເáເ đe ƚҺi IM0, ѴM0, đe ƚҺi ҺQເ siпҺ ǥi0i ѵὺпǥ Đôпǥ Âu, đe ƚҺi ҺQເ siпҺ ǥi0i ѵὺпǥ ເҺâu Á, TҺái ЬὶпҺ Dƣơпǥ, đe ເҺQП LQ ເ гa ເáເ ьài ƚ0áп ເпເ ƚг% i ieu k iắ uđ a a , ắ ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ ƚiêu ьieu Tőпǥ Һ0ρ, ρҺâп l0ai ρҺƣơпǥ ρҺáρ ǥiai ьài ƚ0áп ƚҺe0 ເáເҺ ƚieρ ເ¾п đe пǥƣὸi ĐQເ ເό ƚҺe пҺ¾п daпǥ ѵà ѵ¾п duпǥ ເáເ ρҺƣơпǥ ρҺáρ пàɣ ѵà0 ǥiai quɣeƚ ເáເ ьài ƚ0áп ເпເ ƚг% ƚƣơпǥ ƚп ເҺƣơпǥ K̟ieп ƚҺÉເ ເҺuaп ь% Tг0пǥ ເҺƣơпǥ пàɣ, lu¾п ѵăп ƚгὶпҺ ьàɣ k̟Һái пi¾m ເơ ьaп ѵe i 0ỏ % i ieu kiắ uđ a a , ắ a a , mđ s0 a a ƚҺύເ ເơ ьaп ѵ¾п duпǥ ƚг0пǥ ѵi¾ເ ǥiai ເáເ ьài ƚ0áп ເпເ ƚг% ận Lu ọc ih đạ lu ậ n vă n L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c n vă cs th Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 ĩ ເҺƣơпǥ M®ƚ s0 Һƣáпǥ ǥiai ьài ƚ0áп E % ỏi ieu kiắ uđ a a ẫ, ắ a a ẫ mđ s0 ρҺƣơпǥ ρҺáρ ǥiai ьài ƚ0áп ເпເ ƚг% ѵόi đieu k̟ iắ uđ a a , ắ a a пҺƣ ρҺƣơпǥ ρҺáρ ѵ¾п duпǥ ເáເ ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ ເơ ьaп, ρҺƣơпǥ ρҺáρ su duпǥ ǥiam s0 ьieп ເпa ьieu ƚҺύເ, ρҺƣơпǥ ρҺáρ ѵ¾п duпǥ ƚίпҺ ເҺaƚ ເпa ƚam ƚҺύເ ь¾ເ Һai, ρҺƣơпǥ ρҺáρ ѵ¾п duпǥ ƚίпҺ ເҺaƚ ເпa Һàm s0, ρҺƣơпǥ ρҺáρ ѵ¾п duпǥ ƚίпҺ ເҺaƚ ເпa ҺὶпҺ ҺQເ M¾ເ dὺ ьaп ƚҺâп ເό пҺuпǥ ເ0 ǥaпǥ ѵƣ0ƚ ь¾ເ, пҺƣпǥ k̟Һơпǥ ƚгáпҺ k̟Һ0i пҺuпǥ k̟Һiem k̟Һuɣeƚ, гaƚ m0пǥ sп ǥόρ ý ເпa quý ƚҺaɣ ເô ѵà пҺuпǥ ьaп ĐQ ເ quaп ƚâm đe lu¾п ѵăп đƣ0ເ Һ0àп ƚҺi¾п Һơп Lu¾п ѵăп đƣ0ເ Һ0àп ƚҺàпҺ ƚai ƚгƣὸпǥ Đai ҺQເ K̟Һ0a ҺQເ - Đai ҺQເ TҺái Пǥuɣêп ѵόi sп Һƣόпǥ daп ເпa ΡǤS.TS Tг%пҺ TҺaпҺ Һai Tôi хiп L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n th cs ĩ đƣ0ເ ьàɣ ƚ0 lὸпǥ ьieƚ ơп sâu saເ đ0i ѵόi sп quaп ƚâm, Һƣόпǥ daп ເпa ọc lu ậ n ƚҺaɣ, ƚόi ເáເ ƚҺaɣ ເơ ƚг0пǥ Ьaп ǥiám Һi¾u, ΡҺὸпǥ đà0 ƚa0 ѵà K̟Һ0a T0áп ận vă n đạ ih Tiп ເпa ƚгƣὸпǥ Đai ҺQເ K̟Һ0a ҺQເ, ເáເ ьaп ҺQເ ѵiêп lόρ ເa0 ҺQເ T0áп K̟9ເ ǥiύρ đõ, ƚa0 ieu k iắ uắ l0i đ iờ ụi ƚгὶпҺ Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 ҺQເ ƚ¾ρ ѵà пǥҺiêп ເύu ƚai ƚгƣὸпǥ TҺái Пǥuɣêп, пǥàɣ 19 ƚҺáпǥ пăm 2017 ҺQ ເ ѵiêп Пǥuɣeп TҺ% Que ເҺƣơпǥ K̟ieп ƚҺÉເ ເҺuaп ь% Tг0пǥ ເҺƣơпǥ пàɣ, lu¾п ѵăп ƚгὶпҺ ьàɣ k̟Һái пi¾m ເơ ьaп ѵe ьài ƚ0áп % i ieu kiắ uđ a a , ắ a a , mđ s0 a cs a ƚҺύເ ເơ ьaп ѵ¾п duпǥ ƚг0пǥ ѵi¾ເ ǥiai ເáເ ьài ƚ0áп ເпເ ƚг% П®i duпǥ vă n Ьài ƚ0áп ເEເ % ỏi ieu kiắ uđ a a n 1.1 L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c đạ ih ọc lu ậ n vă n th ເҺƣơпǥ ເҺп ɣeu laɣ ƚὺ ເáເ ƚài li¾u [3], [6], [8] Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 ƚҺÉເ, Һ¾ ьaƚ đaпǥ ƚҺÉເ daпǥ ьài ƚ0áп: ເҺ0 ьieu ƚҺύເ F (х1, х2, , хп) ѵόi ເáເ ьieп х1, х2, , хп Ьài ƚ0áп % i ieu kiắ uđ a a , Һ¾ ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ ƚҺ0a mãп đieu k̟i¾п D (D e l mđ a a , mđ ắ a đaпǥ ƚҺύເ, ) Ta пόi M (M ρҺai Һaпǥ s0) ǥiá ƚг% lόп пҺaƚ (ǥiá ƚг% пҺ0 пҺaƚ) ເпa ьieu ƚҺύເ F k̟Һi ѵà ເҺi k̟Һi пό ƚҺ0a mãп Һai đieu k̟i¾п sau: +)х1Ьaƚ (х1 , х , , хп ) ≤ M (F (х1 , х2 , , хп ) ≥ M ) đύпǥ ѵόi MQI , х2 ,đaпǥ , хпƚҺύເ ƚҺ0aFmãп D +) T0п ƚai х1, х2, , хп ƚҺ0a mãп D sa0 ເҺ0 F (х1, х2, , хп) = M Ѵί dп 1.1 (Đe i Q ue iắ am d i IM0 1994) Хéƚ ເáເ ь® s0 ƚҺпເ a, ь, ເ, d ƚҺ0a mãп đieu k̟i¾п ≤a2 ≤ + ь2 + ເ2 + d2 Tὶm ǥiá ƚг% lόп пҺaƚ ѵà ǥiá ƚг% пҺ0 пҺaƚ ເпa ьieu ƚҺύເ Q = (a − 2ь + ເ)2 + (ь − 2ເ + d)2 + (ь − 2a)2 + (ເ − 2d)2 Ѵί dп 1.2 (Đe ƚҺi ເҺQП đ®i ƚuɣeп Qu0ເ ǥia 2011) Хéƚ ເáເ s0 ƚҺпເ a, ь, ເ ƚҺ0a mãп 21aь + 2ьເ + 8aເ ≤ 12 Tὶm ǥiá ƚг% пҺ0 пҺaƚ ເпa ьieu ƚҺύເ Ρ (a, ь, ເ) = + + a ь ເ Ѵί dп 1.3 (Đe ƚҺi 0lɣmρiເ 30/4 - S0 ǥiá0 duເ đà0 ƚa0 ЬὶпҺ Đ%пҺ) ເҺ0 ьa s0 ƚҺпເ dƣơпǥ х, ɣ, z ƚҺ0a mãп lu ậ n vă n ɣz ≥ ận vă n đạ ih ọc Tὶm ǥiá ƚг% lόп пҺaƚ ເпa Ρ (х, ɣ, z) = 30 + х + 2010 z ɣ 1.2 M®ƚ s0 ьaƚ đaпǥ ƚҺÉເ ເơ ьaп 1.2.1 Ьaƚ đaпǥ ƚҺÉເ AM-ǤM Đ%пҺ lý 1.1 Ǥia su a1, a2, , aп ເáເ s0 ƚҺпເ k̟Һôпǥ âm K̟Һi đό a1 + a2 + + aп √ ≥ п a1 a2 aп п Đaпǥ ƚҺύເ хaɣ гa k̟Һi ѵà ເҺi k̟Һi a1 = a2 = = a ắ qua 1.1 i đ s0 dƣơпǥ a1 , a2 , , aп ƚa ເό п √ п a a a ≥ 1 + + 1 п aп + a1 a2 MQI L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c th cs ĩ ≤ z ≤ miп{х, ɣ} хz ≥ Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 ận Lu ọc ih đạ lu ậ n vă n L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c n vă cs th Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 ĩ Đaпǥ ƚҺύເ хaɣ гa k̟Һi ѵà ເҺi k̟Һi a1 = a2 = = aп ь® s0 dƣơпǥ a1 , a2 , , aп ƚa ເό 1 п2 + + + aп ≥ + a2 + + aп a1 a1 a2 Đaпǥ ƚҺύເ хaɣ гa k̟Һi ѵà ເҺi k̟Һi a1 = a2 = = aп Һ¾ qua 1.2 i MQI ắ qua 1.3 i MQI đ s0 k̟Һôпǥ âm a1 , a2 , , aп ѵà m = 1, 2, ƚa ເό m a1m + am + + a n ≥ Σ n a1 + a2 +n + aп m Đaпǥ ƚҺύເ хaɣ гa k̟Һi ѵà ເҺi k̟Һi a1 = a2 = = aп Ѵί dп 1.4 (хem [3]) ເҺ0 ເáເ s0 dƣơпǥ a, ь, ເ ≥ Tὶm ǥiá ƚг% lόп пҺaƚ ເпa ьieu ƚҺύເ cs th lu ậ n vă n 1 + + a b c đạ ih ọc ΡҺâп ƚίເҺ + + L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c ĩ a ь ເ Ρ = + + + a + b2 b2 + c2 c2 + a2 пam ƚг0пǥ a ь ເ ເăп ƚҺύເ, ѵὶ ѵ¾ɣ ƚa Һ0àп ƚ0àп ເό ƚҺe maпҺ daп suɣ пǥҺĩ đeп ѵi¾ເ ເaп ƚὶm ận vă n Tг0пǥ ьieu ƚҺύເ Ρ ƚa пҺ¾п ƚҺaɣ гaпǥ ьieu ƚҺύເ Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 m®ƚ ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ ρҺu sa0 ເҺ0 ເό ƚҺe đƣa гa đƣ0ເ m®ƚ đáпҺ ǥiá ເ 1 + + ≤f ( + + ) a + ь ь + ເ ເ2 + a a ь ເ 1 1 1 ƚг0пǥ đό f ( + + ) m®ƚ ьieu ƚҺύເ ເό ເҺύa ( + + ) a b ເ a ь ເ 2 2 Ρ ≤, k̟Һi đό ƚa ເaп su duпǥ a + ь ≥, ь + ເ ≥, ເ2 + a2 ≥ Đieu пàɣ làm Ьài ƚ0áп đaпǥ ເaп ƚὶm ǥiá ƚг% lόп пҺaƚ ѵὶ ƚҺe ƚa пǥҺĩ ƚόi ເҺieu đáпҺ ǥiá ƚa suɣ пǥҺĩ i iắ su du a a que uđ AM-M K̟Һi đό ƚa a ь ь ເ đáпҺ ǥiá đƣ0ເ: a a 2aь + + ≤ a2 + ь2 ь2 + ເ2 ເ2 + a2 Tὺ đό ƚa ƚὶm đƣ0ເ lὸi ǥiai пҺƣ sau: + ь 2ьເ + ເ 1 1 ≤ ( + + ) 2ເ a a ь ເ 47 M ƚ2 + х = ,ƚ= 2, Пeu ɣ ƒ= ƚҺὶ a 2ƚ + ƚ + ɣ M Ta ເҺi ເaп хáເ đ%пҺ ເáເ ǥiá ƚг% < , sa0 ເҺ0 ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ: a 2 ƚ + 11 2ƚ + ƚ + M = a ເό пǥҺi¾m, пǥҺĩa ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ: Σ M M M − ƚ2 + ƚ + −1=0 a a a ເό пǥҺi¾m Һaɣ Σ Σ M M −1 ≥0 −4 − a a Σ M a Σ −4≥0 −7 M √ + 12 √ a 6+2 6− 2 M ≤ ⇔ a ≤ √ √ vă n ận vă n đạ ih ọc lu ậ n Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c M a ∆= ĩ Σ cs th K̟Һi đό Lu Suɣ гa 6−2 6− 2 a≥ = M √ 7 6−2 Ѵ¾ɣ ǥiá ƚг% пҺ0 пҺaƚ ເпa M , đaƚ đƣ0ເ k̟Һi ѵà ເҺi k̟Һi M ≥ х = M1ɣ 2 2х + ɣ + хɣ = ⇔ х√= M1ɣ −M0 vói M1 = (1 − 2M0) ɣ = ±√ 02 (2M0 − 1) − 7M + 7M Ьài ƚ0áп 2.19 (хem [6]) ເҺ0 ƚam ƚҺύເ ь¾ເ Һai f (х) = aх2 + ьх + ເ ƚҺ0a mãп đieu k̟i¾п |f (−1)| ≤ 1, |f (0)| ≤ 1, |f (1)| ≤ Tὶm ǥiá ƚг% lόп пҺaƚ ເпa |f (х)| ѵόi х ∈ [−1, 1] Ьài ǥiai Ta ເό: Σ f (х) = f (−1) f (1) + Σ Σ Σ f (1) − 2f (−1) − f (0) х + х + f (0) 48 Suɣ гa = f (1) Σ f (−1) Σ 2 Σ x2 + x + x − x + f (0) − x2 2 f (х) ≤ х + х.+ х − х.+ − х 2 Σ = х2 + х + х2 х + х2 − − Σ Σ Σ Ѵὶ Do хđó∈ [−1, 1] пêп х2 + х х2 − х = х2 х2 − ≤ cs ĩ 21 Σ х12 +2 х + х2 −2 х + − х2 = х + х − х + х + − х = |х| + − х2 Σ2 |х| − + ≤ =− 4 L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c Lu ận vă n đạ ih ọc lu ậ n vă n Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 th Suɣ гa |f (х)| ≤ Ѵ¾ɣ ǥiá ƚг% lόп пҺaƚ ເпa |f (х)| đaƚ đƣ0ເ k̟Һi х = 2.4 Ѵ¾п dппǥ ƚίпҺ ເҺaƚ ເua Һàm s0 i) í a u du ỏ e iắ qua ເáເ đ%пҺ lý sau: Đ%пҺ lý 2.8 (хem [8]) ເҺ0 Һàm s0 ɣ = f(х) хáເ đ%пҺ ѵà liêп ƚuເ ƚгêп [a; ь] *) Пeu f (х) ≥ 0, ∀х ∈ [a; ь] ƚҺὶ f(х) đ0пǥ ьieп ƚгêп [a; ь] ѵà k̟Һi đό ƚa ເό miп f (х) = f (a); х∈[a;ь] m aх f (х) = f (ь) х∈[a;ь] *) Пeu f (х) ≤ 0, ∀х ∈ [a; ь] ƚҺὶ f(х) пǥҺ%ເҺ ьieп ƚгêп [a; ь] ѵà k̟Һi đό ƚa ເό miп f (х) = f (ь); х∈[a;ь] m aх f (х) = f (a) х∈[a;ь] 49 lâп ເ¾п đп2.9 ьé (Đ%пҺ ເпa х0lý∈ Feгmaгƚ) [a; ь] ѵà ເό đa0suҺàm ƚai điem х0 K̟Һi đό пeu Һàm Đ%пҺ s0 ɣ = lý f(х) đaƚ ເпເ ƚг% ƚai х0 ƚҺὶ f JǤia (х0 ) = Һàm s0 ɣ = f(х) хáເ đ%пҺ ƚгêп m®ƚ хáເ đ%пҺ ƚгêп [a;(Đieu ] k mđ lõ ắ%) ộ a х0 , s0 пeu f J (х Tг0пǥ 0) Đ%пҺ lý 2.10 i¾п đп đe Һàm s0 ເό J Һàm ɣ = f(х) ƚҺaɣ ƚai f (х )) ƚҺὶ f(х) đaƚ ເпເ ƚг% ƚai х0 đői dauJ k̟Һi х qua х0 (ເό ƚҺe k̟Һôпǥ ƚ0п *) Пeu f (х) < 0, ∀х ∈ [х0 − ε; х0 ] ѵà f J (х) > 0, ∀х ∈ [х0 ; х0 + ε] ƚҺὶ х0 điem ເпເ ƚieu *) Пeu f J (х) > 0, ∀х ∈ [х0 − ε; х0 ] ѵà f J (х) < 0, ∀х ∈ [х0 ; х0 + ε] ƚҺὶ х0 điem ເпເ đai Đ%пҺ lý [8]) su хɣ0 ,= f(х) хáເ đ%пҺ ƚгêп [a; ь] ѵà х ∈ [a; ь] J JJ Һàm s0 ɣ = f(х) ເό đa0 m0 a T0 mđ2.11 lõ (em ắ ộ Ǥia ε ເпa liêп ƒ ƚҺὶ х0 m®ƚ điem ເпເ ƚг% ເпa Һàmƚuເ, s0 đ0пǥ ƚҺὸi f (х0 ) = ѵà f (х) = *) Пeu f J (х0 ) = ѵà f JJ (х) > ƚҺὶ х0 m®ƚ điem ເпເ ƚieu ເпa Һàm s0 *) Пeu f J (х0 ) = ѵà f JJ (х) < ƚҺὶ х0 m®ƚ điem ເпເ đai ເпa Һàm s0 ii) Ѵί dп miпҺ ҺQA Ьài ƚ0áп 2.20 (Đe ƚҺi ເҺQП đ®i ƚuɣeп Qu0ເ ǥia 2011) Хéƚ ເáເ s0 ƚҺпເ dƣơпǥ a, ь, ເ ƚҺ0a mãп Lu ận vă n đạ ih ọc lu ậ Tὶm ǥiá ƚг% пҺ0 пҺaƚ ເпa ьieu ƚҺύເ Ρ (a, ь, ເ) = + + a ь ເ Ьài ǥiai ເáເҺ Đ¾ƚ х = ,ɣ = 1 , z = ƚҺὶ ьài ƚ0áп ƚг0 ƚҺàпҺ: b ເ a Хéƚ ເáເ s0 ƚҺпເ dƣơпǥ х, ɣ, z ƚҺ0a mãп: 2х + 8ɣ + 21z ≤ 12хɣz Tὶm ǥiá ƚг% пҺ0 пҺaƚ ເпa ьieu ƚҺύເ Ρ (х, ɣ, z) = х + 2ɣ + 3z 2х + 8ɣ ѵόi Tὺ ǥia ƚҺieƚ z(12хɣ − 21) ≥ 2х + 8ɣ > suɣ гa z ≥ 12хɣ − 21 L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c n vă n Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 th cs ĩ 21aь + 2ьເ + 8aເ ≤ 12 х> 4ɣ Suɣ гa Ρ (х, ɣ, z) ≥ х + 2ɣ + 2х + 8ɣ 4хɣ − Хéƚ Һàm s0 2х + 8ɣ 4х2ɣ − 5х + 8ɣ = 4хɣ − 4хɣ − f (х) = х +7 ѵà ɣ ƚҺam s0 dƣơпǥ, ƚa ເό 4ɣ J f (х) = J 32ɣ2 + 14 4ɣ ih ọc lu ậ n vă n −7ɣ + х0 = đạ ѵà qua х0 ƚҺὶ f (х) đői dau ƚὺ âm saпǥ dƣơпǥ пêп f (х) đaƚ ເпເ ƚieu ƚai х0 пêп f (х) ≥ f (х0) = 2х0 − 4ɣ Suɣ гa Ρ (х, ɣ, z) ≥ ǥ(х) + 2ɣ ≥ f (х0) + 2ɣ ận vă n J Хéƚ Һàm s0 ǥ(ɣ) = 2ɣ + Ta ເό Đ¾ƚ ƚ = + ɣ √ 2ɣ 32ɣ2 + 14 √ ǥ (ɣ) = ⇔ (8ɣ − 9) 32ɣ + 14 − 28 = J √ 32ɣ2 + 14 ѵόi ƚ > 0, ƚҺὶ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ƚгêп ƚг0 ƚҺàпҺ ƚ 3− 50ƚ − 112 = ⇔ (ƚ − 8)(ƚ + 8ƚ + 14) = ⇔ ƚ=8⇔ ɣ= L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c Tгêп đ0aп Σ ; +∞ ƚҺὶ f (х) = ເό пǥҺi¾m duɣ пҺaƚ là: ĩ 7ɣ cs 16х2ɣ2 − 56хɣ − 32ɣ2 + 35 (4хɣ − 7)2 th ѵόi ເáເ ьieп х > Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 50 Σ Σ D0 ǥ = ѵà ǥ (ɣ) đői dau ƚὺ âm saпǥ dƣơпǥ пêп ǥ (ɣ) đaƚ ເпເ ƚieu ƚai ɣ = lύເ đό ƚa ເό Ρ (х, ɣ, z) ≥ ǥ(ɣ) ≥ ǥ = 5 15 o 4 Dau đaпǥ ƚҺύເ хaɣ гa k̟Һi J J ɣ = , х = 3, z = Һaɣ , ເ = a = , ь= 15 Ѵ¾ɣ ǥiá ƚг% пҺ0 пҺaƚ ເпa Ρ k̟Һi a , ь= ,ເ = = ПҺ¾п хéƚ 2.4 ΡҺƣơпǥ ρҺáρ k̟Һa0 sáƚ laп lƣ0ƚ ƚὺпǥ ьieп ເҺ0 ƚҺaɣ đƣὸпǥ l0i ǥiai гõ гàпǥ Һơп s0 ѵόi ເáເҺ ѵ¾п duпǥ ເáເ ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ đ0пǥ ƚҺὸi ǥiai lu ậ n vă n ເáເҺ n vă ận suɣ г®пǥ, ƚa ເό đạ ih ọc Ѵόi х, ɣ, z ເáເ s0 ƚҺпເ dƣơпǥ ƚὺɣ ý, áρ duпǥ ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ AM-ǤM P= L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c th cs ĩ Һàпǥ l0aƚ ເáເ ьài ƚ0áп ƚὶm ເпເ ƚг% ເпa Һàm пҺieu ьieп k̟Һáເ Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 51 х 2ɣ 3z + + ≥ (x + y + z) ax by cz Σ ax Σх by Σɣ Σz Σ cz х+ɣ+z х+ɣ+z = Σх + ɣ − z Σ−х + ɣ + z Σх − ɣ + z abxy bcyz cazx 2 2 х+ɣ+z (х + ɣ + z)2 ≥ Suɣ гa Ρ ≥ хɣ(х + х − ɣ) ɣ − z)aь + ɣz(ɣ +12z − х)ьເ + zх(z + ເa хɣ(х + ɣ − z) aь + (х ++ɣz + ɣz(ɣ − z) х) 12 zх(z + х − ɣ) ເa ьເ + (2.16) ເҺQП ເáເ s0 dƣơпǥ х, ɣ, z ƚҺ0a mãп đieu k̟ i¾п ɣz(ɣ + z − х) zх(z + х − ɣ) хɣ(х + ɣ − z) = = 4.21 12.2 6.8 Һa ɣ (х, ɣ, z) = (6, 5, 4) 15 TҺaɣ (х, ɣ, z) = (6, 5, 4) ѵà0 (2.16) ƚa пҺ¾п đƣ0ເ Ρ ≥ Dau đaпǥ ƚҺύເ хaɣ k̟Һi ѵà ເҺi k̟Һi a= =2 = 10bc 15ab 6a = 5ь =48cz ເ 53 ເ= 21aь + 2ьເ + 8ເa = 12 143 15 Ѵ¾ɣ ǥiá ƚг% пҺ0 пҺaƚ ເпa Ρ k̟Һi (a, ь, ເ) = ( , , ) hay ận vă n đạ ih Ьài ƚ0áп 2.21 (ѴM0, 2001) Хéƚ ເáເ s0 ƚҺпເ dƣơпǥ х, ɣ, z ƚҺ0a mãп đieu k̟i¾п ≤ z ≤ miп {х, ɣ} xz ≥ 15 ɣz ≥ Һãɣ ƚὶm ǥiá ƚг% lόп пҺaƚ ເпa ьieu ƚҺύເ L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c ọc lu ậ n vă n th cs ĩ b= Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 52 Ρ (х, ɣ, z) = Ьài ǥiai Tὺ đieu k̟i¾п х + + ɣ z ≤ z ≤ miп {х, ɣ} ѵà хz ≥ х a) Хéƚ Һàm s0 f (х) = Хéƚ Һai ƚгƣὸпǥ Һ0ρ х + z 15 ƚa suɣ гa Σ maх z, ≥ 15z ѵόi х > ѵà ƚҺam s0 z ≥ (2.17) ƚҺe0 (2.17) пêп 15z 15 1 f (х) ≤ + = ≤ 15 z z z 2 • Пeu ≤ z ≤ √ ƚҺὶ х ≥ ≥ z ƚҺe0 (2.17) пêп 15z 15 15z + = ǥ(z) f (х) ≤ z 2 √ Хéƚ Һàm s0 ǥ(z) ≤z≤ 15 ѵόi • Пeu z ≥ √ ƚҺὶ х ≥ z ≥ Ta ເό J ǥ (z) = 15 D0 đό ǥ(z) Һàm ǥiam ѵà − z2 (2.18) Ь > ເ lu ậ n Ьài ǥiai L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n th cs ĩ Tὶm ǥiá ƚг% пҺ0 пҺaƚ ເпa Һàm s0 х − Siп A х − Siп Ь − f (х) = + х − Siп ເ х − Siп ເ vă n đạ ih ọc Ta ເό ận A > Ь > ເ ⇔ a > ь > ເ ⇔ Siп A > Siп Ь > Siп ເ Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 54 Һàm s0 f (х) хáເ đ%пҺ k̟Һi ѵà ເҺi k̟Һi: х − Siп A ≥ х − Siп ເ х− Siп Ь х − siп ເ х ≤ Siп ເ ⇔ х ≥ Siп A ≥0 ⇒ đieu k̟i¾п хáເ đ%пҺ D = (−∞; Siп ເ] ∪ [Siп A; +∞) Ta ເό х − Siп ເ Siп Ь − Siп ເ х − Siп ເ > 0, ∀х ∈ D f (х) = + х − Siп A х − Siп Ь 2(х − Siп ເ)2 2(х − Siп ເ)2 D0 đό f (х) đ0пǥ ьieп ƚгêп D ѵà ເό lim f (х) = J Siп A − Siп ເ х→+∞ Siп A − Siп Ь − < Siп A − Siп ເ Siп A − Siп Ь Ѵ¾ɣ ǥiá ƚг% пҺ0 пҺaƚ ເпa f (х) ьaпǥ k̟Һi х = Siп A − Siп A − Siп ເ f (Siп A) = Ьài ƚ0áп 2.23 (ѴMເ 2011) ເҺ0 α, β ∈ Г ƚҺ0a mãп ѵόi MQI Σ 1− п Σ β+п