Luận văn bài toán tối ưu với hàm thuần nhất dương

đại ọ Tái uê Tãờ đại ọ k0a ọ uễ uâ u ài 0á ối ãu i àm uầ ấ dãơ n yờ s c hc cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu LuËп ă sĩ 0á ọ Tái uê - 2009 đại ọ Tái uê Tãờ đại ọ k0a ọ uễ uâ u ài 0á ối ãu i àm uầ ấ dãơ n yờ s c hc cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v un lu n n vl lu lu uê à: T0á ứ dụ Mà số: 60.46.36 Luậ ă sĩ 0á ọ ãời ã dẫ k0a ọ S-TS Tầ Tiệu Tái uê - 2009 S a i Tu õm Һọເ liệu – Đa͎i Һọເ TҺái Пǥuɣêп Һƚƚρ://www.Lгເ-ƚпu.edu.ѵп M l Lời ói đầu ПҺ÷пǥ k̟iÕп ƚҺø ѵὸ iải í lồi 1.1 Tậ affi ậ låi 1.2 Һµm låi 14 ài 0á ối -u 18 n ê sỹ c uy 2.1 ເ¸ k̟Һ¸i iệm ả 18 ạc họ cng h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n vl lu lu 2.2 ài 0á ối -u kô uộ 23 2.3 ài 0á ối -u ó uộ 25 ài 0á ối -u i àm uầ ấ d-ơ 32 3.1 àm uầ ấ 32 3.2 ài 0á ối -u i àm uầ ấ d-ơ 38 3.3 kế đối пǥÉu ҺÝпҺ 38 3.4 Tèi -u ƚ0µп 44 K̟Õƚ luËп 53 Tµi liƯu ƚҺam k̟Һ¶0 54 Lời ói đầu àm uầ ấ d-ơ ( ò ọi iả àm uầ ấ) ấ que uộ a ặ iu ứ d , đặ iệ iê ứu ki ế i mô àm uế í, àm ậ ai, àm 0-D0ulas, àm đa ứ uầ ấ í d àm uầ ấ d-ơ àm uầ ấ iu lộ i ấ đu đặ, ki iế ă e0 ù mộ ỉ lệ ẳ ạ, i àm uầ ấ ậ 0, ki iế a đổi e0 ù mộ ỉ lệ ì iá ị àm kô a đổi; i àm uầ ấ ậ 1, ki ă ấ đôi (ấ a) iế ì iá ị àm ă ấ đôi (ấ a) Mộ đặ - qua ọ àm uầ ấ đạ0 àm iê mộ àm uầ ấ mộ àm uầ ấ àm uầ ấ ó iu diễ đ-ợ qua đạ0 àm iê ó (Đị lý Eule) Đ ài luậ ă đ ậ i l ài 0á ối -u i àm uầ ấ d-ơ, n uộ ài 0á đu àm ĩa àm m iêu àm yờ s c u ạc họ cng ĩs th ao háọi n c ih vạăc n cạt nth vă ăhnọđ ậ n u n i văl ălunậ nđạv n ậ v unậ lu ận n văl lu ậ lu ƚҺuÇп пҺÊƚ (ậ ó ká au) Qui 0ạ uế í qui 0ạ ậ ữ -ờ ợ iê l ài 0á iệ ìm iu ài 0á ối -u i àm uầ ấ d-ơ 0à 0à ầ iế ữu í , i a iu sâu ài 0á, -ơ ối -u i uế mở ộ ạm i ứ d M iêu luậ ă ìm iu ì mộ số kế ả liê qua i ài 0á ối -u i àm uầ ấ d-ơ ấ đ đ ậ luậ ă đ-ợ ì mộ ặ ẽ mặ 0á ọ , mộ số kái iệm s kiệ luậ ă ó km e0 í d ì ẽ đ mi 0ạ ội du luậ ă đ-ợ ia a -ơ: -ơ ữ kiế ứ iải í lồi ii iệu ắ ắ mộ số kiế ứ ả, ầ iế iải í lồi - kái iệm ậ affie ьa0 affiпe, ƚËρ låi ѵµ ьa0 låi, пãп låi ѵµ ậ lồi đa diệ, ù i kái iệm đỉ, ạ, diệ ậ lồi đa diệ kái iệm àm lồi, àm lồi ặ ù n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu méƚ sè ƚÝпҺ ấ ả ội du ì -ơ ầ đế -ơ sau, ki iê ứu ài 0á ối -u i uế ói u ài 0á ối -u i àm uầ ấ d-ơ ói iê -ơ ài 0á ối -u ì ắ ắ kái iệm k ế ài 0á ối -u i uế, â iệ ối -u địa -ơ ối -u 0à , ối -u kô uộ ối -u ó uộ , điu kiệ ầ điu kiệ đủ ối -u, đặ iệ điu kiệ KKT ối -u ó uộ kái iệm ó iế , kái iệm í qu, àm Laae â Laae đ-ợ ii iệu iu í d đà đ-ợ đ-a a đ mi 0ạ kái iệm kế ì -ơ ài 0á ối -u i àm uầ ấ d-ơ đ ậ i l ài 0á ối -u i uế i àm uầ ấ d-ơ ài 0á đ-ợ ó ờn s c uy cng c hđơ diễ đạ - mộ ài 0á mi-ma iả, i ma ài 0á uế ĩth ao háọi s n c ạtih c ă vạ ăn ọđc nth vьué hn ƚÝпҺ ƚҺ«пǥ ƚҺ-êпǥ ã méƚ du ấ Từ diễ đạ unậ ận ạviă l ă v ălun nđ ậ n v n u ậ lu ận n văl mίi lu u l qui 0ạ uế í qui 0ạ 0à -ơ uộ uế í i ữ iả iế ấ đị, ó ỉ a ài 0á ối -u kô lồi ậ -ơ đ-ơ i ài 0á ối -u lồi D0 ời ia ó ê luậ ă mi ỉ dừ lại iệ ìm iu ài liệu, sắ ế ì k ế iê ứu đà ó e0 ủ đ đặ a T0 ì iế luậ ă - lý ă ả ắ ắ kô kỏi ó ữ sai só ấ đị Tá iả luậ ă ấ m0 ậ đ-ợ s ó ý ầ ô đồ iệ đ luậ ă đ-ợ 0à iệ â dị à, iả i ỏ lò iế sâu sắ đế ầ - dẫ S-TS Tầ Tiệu đà ậ ì i đ suố ì làm luậ ă Tá iả i â ảm ầ, ô iệ ô ệ ô i, iệ T0á ọ ội, K0a ô ệ ô i, K0a T0á ò Đà0 ạ0 sau đại ọ -ờ Đại ọ K0a ọ - Đại ọ Tái uê đà ậ ì iả ạ0 điu kiệ uậ lợi iả ì Һä ƚËρ ƚ¹i ƚг-êпǥ n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu Tá iả i â ảm a là đạ0 Sở iá0 d Đà0 ạ0 Quả i, a iám iệu ầ ô iá0 T-ờ TT 0à Quố iệ, iả ô đà ạ0 ữ điu kiệ uậ lợi ấ đ iả 0à iệm ọ ậ Tá iả i ỏ s quý mế lò iế sâu sắ i ố mẹ, ia đì -ời â đà luô k uế k í , độ iê iả suố ì ọ a0 ọ iế luậ ă à ội, 9/2009 Tá iả n yờ sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n vl lu lu -ơ ữ kiế ứ iải í lồi -ơ ắ lại ắ ắ mộ số kiế ứ ả, ầ iế iải í lồi (ậ lồi, àm lồi í ấ) ìm iu iê ứu ài 0á ối -u ội du ì -ơ ủ ếu da ê ài liệu [1℄, [2℄ n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu 1.1 TËρ affiп ѵµ ƚËρ låi 1.1.1 TËρ affiпe ເҺ0 х1, đim Đ-ờ ẳ qua 1, ậ đim = + (1 − λ)х2 = х2 + λ(х1 − х2) , λ M đ-ợ ọi ậ affie ếu qua M ứa ọ ả1đ-ờ ẳ ҺaiTËρ ®iόm ьÊƚ k ύ ƚҺué M , ƚø lµ ∀х , х ∈ M , λ ∈ Г ⇒ λх + (1 − λ)х ∈ M Пãi ká , M ậ affie ếu ó ứa ổ ợ uế í đim ấ ̟ k̟ύ ƚҺ M ѵίi ƚỉпǥ ¸ ҺƯ sè ь»пǥ Ta ọi mộ đim ó k̟ х = Σ λ i хi i=1 ѵίi λ1, λ2, · · · , λk̟ ∈ Г ѵµ k̟ i = i=1 ổ ợ affie đim 1, 2, à à à , k ∈ ΣГп ПÕu M ⊆ Гп lµ méƚ ƚËρ affiпe M ì ậ L = M х0 = х − х0 | х ∈ M lµ mộ k ô ia 0, ứ ếu a, L ì đim = a + i , uộ L (L i ộ â ô -) Ѵ× ѵËɣ, méƚ ƚËρ affiпe ã ƚҺό ьiόu diƠп ьëi Σ M = х0 + L = х0 + ѵ | ѵ ∈ L , ƚг0пǥ ®ã хM M L kô ia Kô L ƚ-¬пǥ ѵίi ƚËρ affiпe Һäп х0duɣ , ƚø ǥiaп đim ấ kứ kô uộ M ữa, kk ô ô iauộ Là0 ááđị пҺÊƚ Ta ǥäi L lµ ǥiaп 0п s0пǥ s0пǥ ѵίi M Tứ uê (dimesi0) a ò ọi số iu ậ affie M ứ uê kô ǥiaп 0п s0пǥ s0пǥ ѵίi пã Ьa0 affiпe (affiпe Һull) ña méƚ ƚËρ E ⊆ Гп lµ ǥia0 ña ƚÊƚ ả ậ affie ứa E Đó ậ affie пҺá пҺÊƚ Һøa E, k̟Ý ҺiƯu lµ aff E ѴÝ d 1.1 Tậ iệm M ệ -ơ ì uế í A = , A ma ậ ấ m ì m, lµ méƚ ƚËρ affiпe TҺËƚ ѵËɣ, ѵίi х1, х2 ∈ M, ∀λ ∈ Г, ƚa ã Σ A λх1 + (1 − λ)х2 = λAх1 +sỹ (1 −ênλ)Aх2 = λь + (1 − λ)ь = ь c uy ạc họ cng ĩth ao háọi s 1vạăcn n c cạtih nth vă ăhnọđ ậ n u n i văl ălunậ nđạv n ậ v unậ lu ận n văl lu ậ u l ⇒ λх + (1 − λ)х2 ∈ M Σ ѴÝ d 1.2 Ьa0 affiпe ña ƚËρ E = х ∈ Г | ≤ х1 ≤ 1, ≤ х2 ≤ 1, х3 = mặ ẳ ứa ì uô E, affE = х ∈ Г3 | х3 = 1.1.2 Số iu đim -ơ đối Số iu (a ứ uê) mộ ậ M sè Һiὸu đa ьa0 affiпe đa пã, k̟ý ҺiƯu lµ dim M ເҺ0 ƚËρ M ⊆ Гп ã dim M < Mộ đim a M đ-ợ ọi đim -ơ đối (elaie iei0 0i) M ếu ại ì ầu mở (a, ) sa0 Һ0: Ь(a, ǫ)∩ aff M ⊂ M ΡҺÇп -ơ đối ậ M , ký iệu i M , ậ ứa ấ ả đim -ơ đối M Mộ ậ M đ-ợ ọi ó ứ uê đầ đủ ếu dim M = п DÔ ƚҺÊɣ г»пǥ ƚËρ M ã ầ ká ỗ (i M = ) ki ỉ ki ó ó ứ uê đầ đủ ã Từ (3.2) u = a ậ đ-ợ (3.7) (3.9) ậ đ-ợ d đồ ấ ứ Eule à0 (3.7) ã ữa sử d (3.9) ƚг0пǥ (3.3) Һ0 ƚa m (ρ − q) Σ λ∗i [ǥi (х∗) − ьi] = (3.11) i=1 Sö d đẳ ứ à0 (3.4) ò a m (1 − u) qΣ ρ λ∗i ьi = 0, i=1 điu k e0 u = 1, ì ƚõ (3.9) ѵµ (3.11) Һ0 ƚҺÊɣ q Σ λ∗ ьi = −f (х∗) ƒ= i ρ m i=1 • D0 u = пªп ƚõ (3.1) suɣ гa ǥi(х∗) ≤ ьi, ∀i = 1, 2, · · · , m (3.4) ờn lý đ-ợ su a i [ǥi (х∗) − ьi ], ∀i = 1, 2, · à à , m às cđị ứ mi uy ạc họ cng ĩth ao háọi s n c ih vạăc n cạt nth vă ăhnọđ ậ n u n i văl ălunậ nđạv n ậ v unậ lu ận n văl lu ậ lu ПҺËп х ƚ 3.1 Tг-êпǥ ợ u = ấ đặ iệ, ó kắ đ-a à0 iả iế () - sau: i < ѵίi Ýƚ пҺÊƚ méƚ i ∈ {1, 2, · · · , m} Һ0Ỉ ьi ≥ 0, ∀i = 1, 2, · · · , m ѵµ iпf Ρ < ПҺËп х ƚ 3.2 ПÕu х ҺÊρ ậ đ-ợ đối i ( ) ì (, 1) ấ ậ đ-ợ đối i (^ ) ì ế if ≥ iпf Ρ^ Tг-êпǥ Һỵρ ρ = q > 0, ài 0á (^ ) ó ấu iả: Σ miп u.f (х) : х ∈ K̟ ; ǥi(х).u ≤ ьi , i = 1, 2, · · · , m; u ≥ K̟Õƚ qu¶ sau đâ ổ su đị lý3.4 Đị lý 3.5 iả sử = q Ki K пǥҺiƯm ὺ ƚiόu ƚ0µп đa (Ρ ) k̟Һi ѵµ ҺØ k̟Һi (х∗ , 1) lµ пǥҺiƯm ὺ ƚiόu ƚ0µп đa (Ρ^ ) 47 (3.12) ເҺøпǥ miпҺ Ǥi¶ sư (ɣ ∗, u) K ì + iệm iu 0à ña (Ρ^ ) D0 f, ǥi, i = 1, 2, à à à , m, àm uầ ấ ậ q K mộ ó ê = u K iệm ấ ậ đ-ợ ( ) ữa, if f () = uf (ɣ ∗) = iпf Ρ^ , v× thÕ tõ (3.12) suy inf P = f (x∗) = inf P^ -ợ lại, iả sử пǥҺiƯm ƚèi -u ƚ0µп đa (Ρ ) ПÕu пҺ- iпf Ρ^ < п iпf Ρ =Ρf (хѴ× ) ƚҺ× ƚ×m ®-ỵ d·ɣ пǥҺiƯm ὺ ƚiόu {(ɣ , u )} ⊂ K̟ × Г sa0 Һ0 u f (ɣ∗п) п ↓ПҺ-пǥ if ế, i đủ l, ẳ i пп ≥ п0 ƚҺ×+uпf (ɣ ) ≤ fп (х ) ki = (u) K iệm ấ ậ đ-ợ ( ) lại ó f () < ^f (), điu ô lý - ậ, ải ó if ^ = f (), ĩa (х∗, 1) lµ пǥҺiƯm ὺ ƚiόu ƚ0µп đa (Ρ^) 3.3.2 Dạng t-ơng đ-ơng toán (P^) (^ ) ó ài 0á ối -u liê iế (e0 , q , q ·.· x∈K u.f (x) : g (x) bi (1 )u bi , i = 1, 2, , m; u ∈ Г0+): i p p Σ · n i K ố đị, ài 0á ê 0á qu 0ạ uế íe0 yê s clµuьµi c ọ g h i cn o háọ méƚ ьiÕп u ≥ 0, k̟ý ҺiƯu lµ (L v)cnstn.h caĐối ẫu (L ) ài 0á tih cạ nth vă ăhnọđ ậ n i ạv m , Σ m λậniьvăluivălu:nậunfnậnđ(х)+ , Σ Σ q Σ l ă qρ n u l ậ nv λi ǥi(х)−ьi(1− ) (D)х maх − ≥0 lu ậ lu ρ i=1 i=1 Đâ ài 0á qu 0ạ uế í i uộ í đối i iế - ậ, ài 0á "mi-ma" -ơ ứ i ài 0á (Ρ ) lµ Σq , −ρ (D) miпх∈K̟ maхλ≥0 m Σ λ ibi : f (x)+ i=1 m , Σ q Σ λi ǥi(х)−ьi(1− ) ≥0 ρ i=1 ѵίi ù iá ị ối -u - ( )^ ì ế, iệ ìm đim KKT ( ) qu ìm đim KKT (D) T-ờ ợ iê Đôi ki ó iả 0á ài 0á (D) ê ẳ ạ, ki = q ếu i ≥ ѵίi mäi i = 1, 2, · · · , m ƚҺ× iпf Ρ < 0, ьëi ѵ× f (0) = ѵµ ∈ S ѵίi S ậ iệm ấ ậ đ-ợ ( ) 48 ì ế, a ỉ ầ qua âm đế ữ K 0ả mà f () < i ữ - ế ì iu ứ ma0 m q , − ρ λiьi : f (х) + m Σ λi ǥi (х) ≥ , i=1 i=1 ƚгë ƚҺµпҺ (ѵίi k̟ý ҺiÖu [a] = maх{0, a}) + maх {i:gi(x)>0} iΣ Σ+ −fg(х) i(x) −ь = maх {i:gi(x)>0} ьi f () gi(x) D0 đó, (D) iả ỉ ài 0á f () (D) mi{K,f ()0} i ǥi(х) TҺËƚ ѵËɣ, пÕu ã х ∈ K̟ sa0 Һ0 f (х) < ѵµ ǥi(х) < ѵίi mäi i = 1, 2, · · · , m, ƚҺ× d0 í uầ ấ ê if = í d 3.4 mộ số ài 0á ối -u ó ài 0á đối ẫu (D) i: ã Qu Һ0¹ Һ ƚuɣÕп ƚÝпҺ (ρ = q = 1) n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu miп{< ເ, х > : Aх ≥ ь, х ≥ 0} ѵίi K̟ = + ài 0á "mi-ma" (D) ó miK ma0 {< λ, ь > : < ເ − AT λ, > 0}, (D) ù i ài 0á đối пǥÉu ƚҺ«пǥ ƚҺ-êпǥ maх{< λ, ь > : AT λ , 0}, ã Tuế í-0à -ơ (àm m iêu ậ,ai, uộ uế í) miK , < х, Qх >: Aх ≤ ь ѵίi K̟ = Гп ài 0á "mi-ma" (D) -ơ ứ ó , , mΣ ь − λiьi : < х, Qх > + < λ, Aх − > ≥ 2 (D) miпх∈K̟ maхλ≥0 i=1 • Quɣ Һ0¹ Һ ьË Һai miпх∈K̟ Σ < х, Q0х > : < х, Qiх > ≤ ьi, i = 1, 2, · · · , m ѵίi K̟ = 49 ài 0á "mi-ma" (D) -ơ ứ ó d¹пǥ m λiьi : < х, Σ , (D) m λi Q i , Σ Σ х>≥0 miпх∈K̟ maхλ≥0 − i=1 Q0 + i=1 3.4 Tèi -u ƚ0µп 3.4.1 T-ờ ợ ổ ã ài 0á (Ρ ), ƚг0пǥ ®ã f (ǥi, i = 1, 2, à à à , m) àm uầ ấ ậ (ậ q) T- ế a đặ - đim KKT iệm ối -u 0à ( ) -ờ ợ = q, dù ài 0á (D) Đ iả ì à, a ǥi¶ ƚҺiÕƚ ьi ≥ ѵίi mäi i = 1, 2, à à à , m ổ đ 3.1 iả sử = q đim KKT (Ρ ) øпǥ ѵίi пҺ©п ƚư Laǥгaпǥe λ∗ ∈ Гm Ki đó, đim iu 0à ( ) k̟Һi ѵµ ҺØ + k̟Һ i m −ьi Σ ∗ n f (ɣ), (3.13) λ iьi ≥ miп sỹ c uyê c họi(y)>0} g {i:g n c h i i=1 gi(y) sĩt o háọ cn ca tih vạă n cạ nth vă ăhnọđ ậ n u n i văl ălunậ nđạv n ậ v unậ lu ận n văl lu ậ ∗ lu ®èi ѵίi mäi ɣ ∈ K mà f () < ứ mi Điu kiệ ầ D0 đim KKT ( ) ứ i â Laae +m d0 f, i àm uầ ấ ậ ê a ã iпf Ρ = f (х∗) = − m Σ λ∗i ьi i=1 ^ Tõ iпf Ρ = iпf (Đị lý 3.5) s -ơ đ-ơ iữa (D) (^) su a i K a ã m λiьi : f (ɣ) + Σ m Σ i=1 i=1 , f(х ) ≤ maхλ≥0 − ∗ , λi ǥi (ɣ) ≥ ПǥҺiƯm ƚèi -u đa qu 0ạ uế í ế ải đẳ ứ ê ằ ã ếu f () < ǥi(ɣ) < ѵίi mäi i = 1, 2, · · · , m • пÕu f (ɣ) ≥ ѵµ ǥi(ɣ) < ѵίi mäi i = 1, 2, · · · , m 50 • maхi:ǥi(ɣ)>0 (ɣ) f i() + i ếu lại (ký iệu [a]+ = ma{0, a}) ^ -ờ ợ đầu kô ả a kế luậ ổ đ D0 if = if ê ó đ-ợ d0 a qua âm i ữ K mà f () < Điu kiệ đủ đ-ợ ứ mi ằ ả ứ iả sử 0ả mà (3.13) - kô ải iệm iu 0à ( ), ì ế (, 1) kô iệm iu 0à (^ ) D0 ìm đ-ợ K sa0 iпf Ρ ≤ f (ɣ) < f (х∗) = − Sự t-ơng đ-ơng (D) (P^) ho thấy m λiьi : f (ɣ) + Σ m Σ i=1 i=1 , maхλ≥0 − m ∗ Σ λi ьi i=1 , λi ǥi (ɣ) ≥ < f (х∗) n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu Quɣ Һ0¹ Һ ƚuɣÕп í ó iệm ối -u ì ó ị ặ ê luô ó iệm ấ ậ đ-ợ п÷a, ã ɣ ∈ K̟ ѵίi f (ɣ) < Ѵ× ƚҺÕ, f (х ) = − ∗ Σm λiьi > maх Σ−f (ɣ)Σ+ ьi = maх − ǥi(ɣ) {i:ǥi(ɣ)>0} i=1 i f () {i:i()>0} ổ đ đ-ợ ứ mi i() ó dù ổ đ ê đ ứ ỏ k ô iệm iu 0à ( ), ì ki ỉ ầ ỉ õ ó K i f () < kô 0ả mà (3.13) K̟ý ҺiÖu S = {х | ǥi(х) ≤ ьi} ậ iệm ấ ậ đ-ợ ( ) àm (đối ẫu) Laae -ơ ứ i ( ) L(, λ) = f (х) + m Σ λ [ǥi (х) i − ь ] i i=1 Ta sÏ Һøпǥ ƚá ằ iệ ìm iệm ối -u 0à ( ) qu iải mộ ài 0á qu 0ạ lồi i àm m iêu uế í, ki đim KKT 51 iệm iu 0à àm Laae ê K T-ờ ợ àm am ia ài 0á đu ậ ai, ài 0á ( ) ài 0á lồi LMI (ấ đẳ ứ ma ậ uế í), mộ ài 0á ó iải kô kó Đị lý 3.6 iả sử K đim KKT ài 0á ( ) -ơ ứ i â Laae m iả sử iệm iu 0à àm + L(Ã, ) ê K̟ K̟Һi ®ã: a) f (х) + m Σ Σ Σ λ∗i ǥi(х) − ьi (1 − ) q ≥ ƚгªп K̟ ρ i=1 b) (Ρ ) -ơ đ-ơ i ài 0á qu 0ạ lồi ,q m Σ λiьi : f (х) + λi ρ miпλ≥0 Σ ǥi(х) − ьi(1 − ) ρ q Σ ≥ ∀х ∈ K̟ , (3.14) i=1 ເҺøпǥ miпҺ a) iả sử K đim KKT ài 0á ( ) -ơ ứ i â Laae m+ ói iê, (, ) 0ả mà (3.7), (3.8) D0 d đồ ấ ứ Eule à0 (3.7)s dù (3.8) a ậ đ-ợ ờn c uy f (х∗) + ѵ× ƚҺÕ ạc họ cng ĩth ao háọi s ∗ vạăcn n c ∗cạtih ntih viă ăhnọđ ậ n u n i văl ălunậ nđạv n ậ v unậ lu ận n văl lu ậ lu Σ λ ǥ (х ) = m m ∗ ρ−q Σ λi ьi , ρ i=1 f (х∗) = f (х∗) + Σ i=1 m λ∗i [ǥi (х∗ − ьi]) = − i=1 Σ ρ q ∗ λ i ьi , m (3.15) i=1 D0 х lµ пǥҺiƯm ὺ ƚiόu 0à àm Laae L(Ã, ) ê K ê m Σ f (x) + m Σ q ∗ ∗ λi [gi (x) − bi] ≥ f (x ) = − λ∗i bi , ∀xεK, p пǥҺÜa lµ ã i=1 a) ь) Tõ (3.15), (3.16) suɣ гa m ,q Σ ρ λiьi : f (х) + f (х∗) ≤ maхλ≥0 i=1 (3.16) i=1 m Σ i=1 52 λi Σ ǥi(х) − ьi(1 − ) ρ , qΣ ≥ 0, х K (3.17) ữa, i, K Һ0 ƚг-ί Σ ƚҺ× ƚËρ Г : f (х) + m Σ ǥ (х) − ь (1 − λm i qΣ ≥0 ) ρ i i λ∈ Һøa ƚËρ Sх = i=1 m Σ , \ х∈K̟ + Rm : f (x) + λ∈ = + i D0 ®ã ѵίi mäi х ∈ K̟ ƚҺ× ,Σ q maх − ρ Σ λ g (x) − b (1 − i i , qΣ ) ≥ 0, ∀x ∈ K , ρ i=1 m , Σ \ Sх q ≤ maх − ρ , λ i ьi : λ ∈ х∈K̟ i=1 m , λi ьi : λ ∈ Sх i=1 Ѵ× ƚҺÕ, ƚõ (3.17) suɣ гa , m Σq − ρ f (х ) ≤ miпх∈K̟ maх ∗ , λi ьi : λ ∈ Sх i=1 = iпf Ρ^ T Kế ợ i (3.12) a ậ đ-ợ f () = iпf Ρ ^ເuèi ïпǥ, гâ гµпǥ ên c guy ậ lồi ê điu ấ hóc sỹь) h ọi cn х∈K̟ Sх sĩt ao há ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu ПҺËп х ƚ 3.3 a) K̟Һi = q ậ ấ ậ đ-ợ S ( ) ó ầ ká ỗ iS ì Đị lý 3.6 ỉ ầ iả iế đim K̟K̟T х∗ lµ пǥҺiƯm ὺ ƚiόu ƚ0µп đa L(·, λ∗) ê S K ) Mộ điu k iệ ®đ ®ό х∗ lµ méƚ пǥҺiƯm ὺ ƚiόu ƚ0µп đa L(Ã, ) ê S K f Һµm ǥi låi f (х) =< Q0х, х > ѵµ ǥ (х) =< Q х, х >, i = 1, 2, à à à , m, ì ài 0á qu) Đ ằ k0 i K =đị ( )i ài 0ái qu 0ạ ậ ai, ĩa ki 0ạ lồiý (3.14) lý 3.6 ài 0á ối -u LMI (ấ đẳ ứ ma ậ uế í): , maxλ≥0 − m Σ m Σ λibi : (Q0 + i=1 , iQi 0(ma trận nửa xá định d-ơng) , i=1 ài 0á ó iải mộ ¸ Һ k̟Һ«пǥ qu¸ k̟Һã ѴÝ d 3.5 Х ƚ ài 0á ối -u kô lồi 2( = 1, q = 2): (Ρ ) 2 miпх=(х1,х2)∈K̟ {х1 : х1 − х2 ≤ 1; х1 : х1 + х2 ≤ 7}, 53 √ ѵίi K̟ = Г2 đim KKT = (2, 3) -ơ øпǥ ѵίi пҺ©п ƚư Laǥгaпǥe λ∗ = ( , 1) Ta ì uố iệm ὺ ƚiόu ƚ0µп đa Һµm 88 Laǥгaпǥe L(х, λ ) = + 14 ê K ì ế, iá ị ối -u ( ) ậ đ-ợ ằ ìm iu + 72 ê ậ lồi A đị ьëi х21 + λ1(х2 −1 х2) +2 λ2(х2 + х12) ≥ 0,2 ∀(х1, х2) ∈ Г2; λ1, λ2 ≥ 3.4.2 Tг-êпǥ Һỵρ ьË Һai Tг-êпǥ Һỵρ ρ = q = ó ầm qua ọ đặ iệ, ả lý ƚҺuɣÕƚ lÉп øпǥ d пǥ Ѵίi Һai ma ƚгËп uô, đối ứ ấ k , ký iệu ĩa ửa đị d-ơ Mọi iệ đ-ợ iả ki f ¸ Һµm ǥi(х) lµ Һµm ьË Һai Tг0пǥ m пµɣ a ài 0á ( ) i ế K ó lồi, f 0à -ơ i() àm 0à -ơ ửa đị d-ơ i : f () =< Q0х, х > ѵµ ǥi(х) =< Q iх, х >, i = 1, 2, · · · , m, ên s c uy i Qi ma ậ ®èi хøпǥ, ạc họ cngi = 0, 1, · · · , m ѵµ Qi ≤ 0, i = ĩth ao háọi s n c ạtih vạăcƚa n sÏ c ҺØ гa г»пǥ пÕu ®iόm K 1, 2, · · à , m T0 -ờ ợ KT ∈ K̟ nth vă ăhnọđ ậ n i u n văl ălunậ nđạv đa (Ρ ) ὸпǥ lµ пǥҺiƯm ὺ iu v un -ơ àm Laae ê S K ì nđịa n u l n vl lu Đị lý 3.6 đ, ì ế iệlu ìm пǥҺiƯm ƚèi -u ƚ0µп đa (Ρ ) quɣ ѵὸ ьµi 0á qu 0ạ lồi dễ iải ổ đ 3.2 iả sử K đim KKT ài 0á ( ) -ơ ứ i â Laae m iả sử ằ + a) S ó ầ ká ỗ, i S ) iệm iu địa -ơ L(Ã, ) ê S K Ki đó, iu ƚ0µп đa (Ρ ) ѵµ (Ρ ) ⇔ ѵίi ьµi ƚ0¸п låi: m , maхλ≥0 − Σ λiьi : < , λi Q i Σ х, х > ≥ 0, ∀х ∈ K̟ Σ m Q0 + (3.18) i=1 i=1 ki K = ì ( ) -ơ đ-ơ i ài 0á lồi LMI m m , Σ , Σ Σ − λi b i : Q + iQi (nửa xá định d-ơng) (3.19) max ≥ λ i=1 i=1 54 ເҺøпǥ mi Te0 Đị lý 3.6 ỉ ầ ứ ỏ ệm iu 0à L(Ã, ) ê K a iệm iu 0à ê K m L1 (·, λ ) ∗ Σ = f (х) + i=1 m λi ǥi (х) = L(·, λ ) + ∗ ∗ Σ ∗ λi=1 i ьi Tг-ί ҺÕƚ a ầ ứ mi iệm iu 0à ña L(·, λ∗) ƚгªп S ∩ K̟ Х ƚ ®iόm ьÊƚ k̟ύ ɣ ∈ S ∩ K̟ D0 Qi ửa đị d-ơ i i = 1, 2, · · · , m, S ѵµ K̟ låi ê u = - ấ ậ đ-ợ ì iệm iu địa -ơ L(Ã, ) (d0 L1(Ã, )) ê S ∩ K̟ ѵµ L1 (х∗, λ∗ ) = ὸпǥ пҺ- ▽х L1 (х∗, λ∗ ) = пªп ƚa ã < ▽2хх L1(х∗, λ∗)(ɣ − х∗), ɣ − х∗ > ≥ Tõ ®ã, ƚa suɣ гa L1(х∗, λ∗) ≥ = L1(х∗, λ∗) ьëi ѵ× < ▽хх Σ L1 (х , λ )ɣ, ɣ > = < Q0 + ∗ ∗ m Σ λ∗i Qi ɣ, ɣ > = 2L1 (ɣ, λ∗ ) ên sỹ c uy c ọ g h cn i=1 ĩth o ọi ns ca ạtihhá c ă v n c đ nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ∗ ận v unậ lu ận n văl lu lu ì ế, iệm iu 0à L ( , ) (d0 L(Ã, λ∗)) ƚгªп S ∩ K̟ D0 ∈ iпƚS K mộ ó ê d0 í uầ ấ ƚa ã = L1(х∗, λ∗) ≤ L1(ɣ, λ∗) ѵίi mäi ɣ ∈ K̟, Һøпǥ ƚá Σ ≥ ƚгªп K̟ i=1 ầ ò lại ệ Đị lý 3.6 â iờ a a điu kiệ đủ đ ®iόm K̟K̟T х∗ đa (Ρ ) lµ пǥҺiƯm ὺ ƚiόu 0à ( ) mà kô ầ iả iế i lồi ệ 3.4 f i, i = 1, 2, à à à , m, 0à -ơ iả sử đim KKT ài 0á ( ) -ơ ứ i â Laǥгaпǥe λ∗ ∈ Гm + Ǥi¶ sư ьi > ѵίi mäi i = 1, 2, · · · , m ѵµ (ѵίi I(х∗) = {i : ǥi (х∗) = ьi }) < L(х∗ , λ∗ )u, u > ki < i ( ), u > ≤ 0, i ∈ I(х∗ ) ▽хх 55 (3.20) K̟Һi ®ã, х∗ lµ пǥҺiƯm ὺ ƚiόu ƚ0µп đa (Ρ ) iá ị ối -u ( ) iá ị ối -u ài 0á lồi LMI m λiьi : , maхλ≥0 − Σ m i=1 Q0 + iQi , (ửa đị d-ơ) i=1 ເҺøпǥ miпҺ K̟ý ҺiÖu m Σ L1 (х, λ∗) = f (х) + λ∗i ǥi (х) i=1 Tг-ί ҺÕƚ ƚa đa Һøпǥ miпҺ г»пǥ х∗ lµ пǥҺiƯm ὺ iu 0à L1(Ã,lý) ê iu 0à L1(Ã, ) (d0 L(Ã, ) ê K ) Từ e0Đị 3.6 ∗ ∗ ƚËρ ∗ K̟ Һøa х Sau ®ã, пҺê ƚÝпҺ ƚҺuÇп пҺÊƚ sÏ suɣ гa г»пǥ х lµ пǥҺiƯm ὺ х lµ пǥҺiƯm ὺ ƚiόu ƚ0µп đa (Ρ ) Х ƚ ƚËρ K̟ ∗ = {ɣ ∈ K̟ :< ▽ǥi (х∗ ), ɣ > ≤ 2ьi , i ∈ I(х∗ )} Гâ гµпǥ lµ ∈ K̟ ∗ (d0 ьi > ∀ɣ) ѵµ х∗ ∈ K̟ ∗ (d0 ®åпǥ пҺÊƚ ƚҺø Euleг) n yê sỹ c học cngu∗ ∗ h i sĩt ao hiáọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu < ▽ǥi (х∗ ), х >= 2ǥ (х ) = 2ьi ѵίi i ∈ I(х∗ ) Х ƚ ®iόm ьÊƚ k̟ύ ɣ ∈ K̟∗ Ta ã < ▽ǥi (х∗ ), ɣ − х∗ >=< ▽ǥi (х∗ ), ɣ > −2ьi ≤ 0, i ∈ I(х∗ ) ѵ× ƚҺÕ ƚõ (3.20) ƚa ã < ▽ xx2 L1(х∗, λ∗)(ɣ − х∗), ɣ − х∗ > ≥ Ѵ× đim KKT ( ) -ơ ứ i â Laae m+, ê L1(, ) = L1(х∗ + (ɣ − х∗), λ∗) (х∗, λ∗) + (х∗, λ∗)(ɣ − х∗), ɣ − х∗ > L < = L1 ▽ хх ≥ L1(х∗, λ∗) = 0, 56 ѵ× ƚҺÕ L1(ɣ, λ∗) ≥ L1(х∗, λ∗) = ѵίi mäi ɣ ∈ K̟∗ Ь©ɣ ǥiê ƚa х ƚ méƚ ®iόm ьÊƚ k̟ύ ɣ ∈ K̟ D0 K mộ ó ê ìm đ-ợ số i = 1, 2, · · · , m, х ∈ K̟ ì ế L1(, ) - ki ®ã, ƚҺe0 ƚÝпҺ ƚҺὺ α пµ0 ®ã ѵίi < α < sa0 Һ0 х = αɣ ∈ K̟ d0 i > i uầ ấ, L1(, λ∗) = α−2L1(х, λ∗) ≥ L1(х∗, λ∗) = D0 ѵËɣ, х∗ lµ пǥҺiƯm ὺ ƚiόu ƚ0µп đa L(·, λ∗) ê K Kế luậ ệ đ-ợ su a Đị lý 3.6 a k ế m i k ế đặ iệ sau đâ, ó lợi k i ìm iu àm lõm ậ i mộ số ữu uộ lồi ậ ai, ĩa -ờ ợ f () = < Q0х, х > ѵµ ǥi(х) = < Qiх, х > ѵίi Q0 ≤ ѵµ Qi ≤ ѵίi mäi i = 1, 2, · · · , m (Q0 ửa đị âm, Qi ửa đị d-ơ i i) Đị lý 3.7 iả sử = đim KKT ( ) -ơ ứ ѵίi пҺ©п ƚư n sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v m nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ l0u ận n văl lu ậ lu Laǥгaпǥe λ∗ ∈ Гm+ Ǥi¶ sư Q ã mộ iá ị iê âm Ke(Q ) ∩ K̟eг λ∗i Qi = {0} Σ i=1 K̟Һi ®ã, х lµ пǥҺiƯm ὺ ƚiόu ƚ0µп đa (Ρ ) ( ) -ơ đ-ơ i ài 0á lồi LMI ∗ ເҺøпǥ miпҺ ເҺØ Çп ҺØ гa г»пǥ Q0 + m i Qi i=1 ma ậ ửa đị d-ơ, L(Ã, ) lồi iệm iu 0à L(Ã, ) Đị lý 3.6 sÏ Һ0 ƚa k̟Õƚ qu¶ m0пǥ muèп Ѵίi ấ k ma ậ uô đối ứ ấ × п, k̟ý ҺiÖu σj(A), j = 1, 2, · à à , iá ị iê ma ậ ế e0 ứ ă dầ ý Qi ửa đị d-ơ i i = 1, 2, · · · , m, ƚa ã m σ.j Q0 + Σ λ∗i QΣi ≥ σj (Q0 ), j = 1, 2, · · · , п i=1 57 Đặ m = i Qi i=1 Гâ гµпǥ lµ Q0 + Һ ≤ Q0 + αҺ ѵίi mäi ≤ α ≤ Ь©ɣ ǥiêđa ƚa sÏ Һøпǥ ƚá г»пǥ đa σj(Q0 +ເҺ) > ƚ¹i0 ѵίi j = 2, 3,¸· · ǥi¸ · , m Х iê 0-óm ị ó sắ 2(Q0), à à Ãiá , +1 (Q0iê ) sa0 Qá0 đạ0 àm e0 -ế ị k (Q0 ; Һ), k̟ = 2, · · · , г , e0 - iá ị iê ma ậ T ấ ì , ¸ éƚ ρi, i = 1, 2, · · · , iê ội Q0 D0 iá ị iê kô âm ê ỉ ầ ỉ a ằ ấ ả đu d-ơ iả sử ằ T u = i u = à0 , ĩa lµ Σ Ti p H jρj u Σ = 0, i = 1, 2, · · · , г j=1 â i ui ộ lại a ậ đ-ợ г Σ г Σ Σ Σ ui ρiT Һ uj ρ j = 0, n yê sỹ c học cngu h ọi j=1 sĩt ao háj=1 ăcn n c đcạtih v г nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv j ận v unậ j lu ận n văl lu ậ u l ƚõ ®ã ҺΣ u Tõ ǥi¶ ƚҺiÕƚ ρ Σ = j=1 m Σ ∗ K̟eг(Q0 ) ∩ K̟eг λi Qi = {0} Σ suɣ гa г»пǥ Σ г i=1 uiρi = ѵµ u = j=1 suɣ гa ƚõ sὺ độ lậ uế í i Ta ®· ѵõa Һøпǥ miпҺ ®-ỵ г»пǥ m σj Q + Σ λ∗i Qi Σ > 0, ∀j = 2, 3, · · · , п i=1 58 Ѵ× ế, d0 đim KKT ( ) -ơ øпǥ ѵίi пҺ©п ƚư Laǥгaпǥe λ∗ ∈ Гm + m пªп ƚõ Σ Q + suɣ гa λ∗iΣQi х∗ = i=1 Q0 + Điu k̟ ƚҺe0 m Σ λ∗i Qi = i=1 Σ Q0 + m Σ λ∗i Qi i=1 пöa đị d-ơ, điu ầ ứ mi Tóm lại, -ơ iê ứu l ài 0á ối -u i uế i àm uầ ấ d-ơ, ài 0á đ-ợ ó diễ đạ - mộ ài 0á mi-ma iả, i ma ài 0á qu 0ạ ô -ờ mộ uộ du ấ Từ diễ đạ mi qu Һ0¹ Һ ƚuɣƠп ƚÝпҺ ên sỹ c uy c ọ g h i cn qu 0ạ 0à -ơ cuộ í i ữ iả iế ấ ĩth o ƚuɣÕп ns ca ạtihhá ă v n c nth v hn un n i đị, vl ălunậ nđạv n v nậ uậ n vălu uậ ận ó ỉ a ài 0á ối -u kl lô lồi ậ -ơ đ-ơ i ài 0á ối -u lu lồi 59 Kế luậ àm uầ ấ d-ơ s mở ộ àm uế í àm ậ ó iu àm uầ ấ i uế -: àm 0-D0ulas (0 ki ế), àm lồi uầ ấ (àm uẩ, àm a), àm đa ứ uầ ấ àm uầ ấ ó iu í ấ đẹ đá đ-ợ ý Luậ ă ủ ếu ậ u à0 ìm iu ài 0á ối -u i àm m iêu àm uộ đu àm uầ ấ, đă iệ l-u ý đế điu kiệ ầ KKT đặ - đim ối -u 0à ài 0á -ơ ǥiίi ƚҺiƯu ƚãm ƚ¾ƚ méƚ sè k̟ iÕп ƚҺø ả iải í lồi, ầ iế iê ứu ài 0á ối -u Đó kái iệm ậ lồi, ó lồi ậ lồi ®a diƯп (®ØпҺ, ¹пҺ, diƯп đa ƚËρ låi ®a diƯп) kái iệm àm lồi, àm lồi ặ ù mộ số í ấ ả ậ lồi ѵµ Һµm låi n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu -ơ đ ậ i ài 0á ối -u i uế, â iệ ối -u địa -ơ ối -u 0à , ối -u kô uộ ối -u ó uộ , điu kiệ ầ đủ ối -u kô uộ điu kiệ ầ KKT ối -u ó uộ -ơ ì mộ số kế iê ứu ài 0á ối -u i àm uầ ấ d-ơ Đá ý điu kiệ ầ KKT ài 0á đ-ợ í ấ đặ - ®iόm K̟K̟T mµ пã lµ ®iόm ƚèi -u ƚ0µп đa ài 0á, -ờ ợ àm m iêu àm uộ àm uầ ấ ù ậ Tá iả đà ố ắ sắ ế ì ấ đ e0 iu õ à qua ấ ó , đ-a a í d ì ẽ đ mi 0ạ mộ số kái iệm s kiệ đ-ợ đ ậ i luậ ă ọ iả luậ ă ó dị làm que i ữ l ài 0á ối -u ká ѵµ пҺiὸu øпǥ d пǥ ρҺ0пǥ ρҺό đa Һόпǥ ƚг0пǥ lý uế ế 60 Tài liệu am kả0 Tiế iệ [1 T Kim (2008), iá0 ì -ơ ối -u (Lý uế uậ 0á), k0a - ội [2 T Tiệu (2004), iá0 ì ối -u uế í, Đại Һä Què ǥia Һµ Пéi TiÕпǥ AпҺ [3℄ E D Aпdeгseп (1998), Liпeaг 0ρƚimizaƚi0п: TҺe0гɣ, MeƚҺ0ds aпd Eх- ƚeпsi0пs, Deρƚ 0f Maпaǥemeпƚ, 0deпse Uпiѵeгsiƚɣ, Deпmaгk̟ [4℄ J Ь Lasseггe aпd J Ь Һiгiaгƚ - nUггuƚɣ (2004), S0me MaƚҺemaƚi al yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu Ρг0ρ- eгƚies 0f 0ρƚimizaƚi0п Ρг0ьlems Defiпed ьɣ Ρ0siƚiѵelɣ Һ0m0ǥeпe0us Fuп - ƚi0пs, Ρгeρгiпƚ, LAAS – ເПГS, T0ul0use, Fгaп e [5℄ D Ǥ Lueпьeгǥeг aпd Ɣ Ɣe (2008), Liпeaг aпd П0пliпeaг Ρг0ǥгammiпǥ, 3гd Ediƚi0п, Sρгiпǥeг 61