Bài toán tối ưu với hàm thuần nhất dương

Bài toán tối ưu với hàm thuần nhất dương

đại học Thái Nguyên

Tr-ờng đại học khoa học

- 0 -

Nguyễn Xuân Huy

Bài toán tối -u

với hàm thuần nhất d-ơng

Luận văn thạc sĩ toán học

Thái Nguyên - 2009

đại học Thái Nguyên

Tr-ờng đại học khoa học

- 0 -

Nguyễn Xuân Huy

Bài toán tối -u

với hàm thuần nhất d-ơng

Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60.46.36

Luận văn thạc sĩ toán học

Ng-ời h-ớng dẫn khoa học

GS-TS Trần Vũ Thiệu

Thái Nguyên - 2009

Lời nóiđầu 2

1 Những kiến về giải lồi 51.1 Tập affin và tập lồi 5

1.2 Hàm lồi 14

2 bài toán tối ưu 182.1 khái niệm bản 18

2.2 Bài toán tối ưu không ràng 23

2.3 Bài toán tối ưu ràng 25

3 Bài toán tối ưu với hàm thuần nhất dương 323.1 Hàm thuần nhất 32

3.2 Bài toán tối ưu với hàm thuần nhất dương 38

3.3 kết quả đốingẫu 38

3.4 Tối ưu toàn 44

Kết luận 53

Tài liệu tham khảo 54

Lời nói đầu

nó (Định lý Euler).

affine,tậplồivàbaolồi,nónlồivàtậplồiđadiện, với khái niệmđỉnh,

một số tính bản Nội dung trình bày trong này sẽ

và bài toán tối ưu với hàm thuần nhất dương nóiriêng.

về bài toán tốiưuphi tuyến, phânbiệt tối ưuđịa phương và tốiưu toàn tối

khái niệm và kết quả trình bày.

đương với bài toán tối ưu lồi.

GS-TS Trần Vũ Thiệu đã tận tình giúp đỡ trong suốt quá trìnhlàm luận văn.

trường.

giả xin thành ơn Ban lãnh đạo Sở Giáo và Đào tạo

và viếtluận văn này.

giả

Chương 1

biểu diễn bởi

E Đó là tập affine nhỏ nhất E, kí hiệu là aff E.

gọilàđiểmtrongtươngđối(relativeinteriorpoint) M nếutồntại hình

Cho hai ®iÓm x1, x2∈ Rn

H×nh1.1.(a), (b)-TËp låi; (d)-TËp kh«nglåi

H×nh1.3.(a)-H×nh vu«ng 4®iÓm biªn;

(b)- H×nhtrßn v« sè®iÓm biªn

xa< a, x >= α

lµ siªu ph¼ng tùa (supporting hyperplane) M t¹i x0∈ M nÕu x0∈ H vµ

H×nh1.5 Siªuph¼ngtùa M t¹ix0

gäi lµ nãn låi nÕu

M võa lµ nãn võa lµ låi, nghÜa lµ víi bÊt kú x1, x2∈ M vµ λ1, λ2≥ 0 ta

H×nh1.6.(a)-Nãnlåi (b)-Nãnkh«nglåi

t¬ 0 t¹o thµnh

Ta nói hai phương d1 và d2 biệt nếu d16= αd2

lý thuyết tối ưu.

1.1.8 Tập lồi đa diện

Tập lồi đa diện P⊆ Rn

trình tuyến tính

là một tập lồi đa diện.

Dễ thấyrằng tậplồiđa diệnlà một tậplồi, đóng.Mộttậplồi đadiện bị

gọi là đa diện lồi hay gọi tắt là đadiện.

Hình1.8.Đa diệnnàylàgiao 5nửakhông gian

I(x0) :=

nghÜa lµ

Mệnh đề 1.6 Cho hàm f1 là lồi trên D1, f2 lồi trên D2 và hai số

Ta

thì f liên

trên D.

1.2.4 Tiêu nhận biết hàm lồi khả vi

Định lý 1.7 Cho f là hàm khả vi trên tập lồi mở D⊆ Rn

Khi đó hàm f là

Định lý 1.8 Cho f là hàm khả vi hai lần trên tập lồi mở D⊆ Rn

▽f(x) =

3 8

trên R2.

Tóm lại, này đã lại khái niệm vềtập lồi (tập affine vàbao

bài toán tối ưu với hàm thuần nhất dương nói riêng.

Chương 2

yếu dựa trên tài liệu [1℄, [2℄ và [3℄.

án).

bài toán (P1) Người ta gọi một nghiệm tối ưu là một phương án tối

Nếu bài toán (P1) nghiệm tối ưu là x∗ thì

(P1) Nếu x∗ là một nghiệm tối ưu bài toán thì thể viết

điểm x∗∈ D sao

đơn giản là nghiệm bài toán (P2).

bài toán đó C thể, ta

Xt bài

tối ưu toàn

Nhận xt2.3 Nếu bài toán (P1) không nghiệmtối ưu thì giá trị tối ưu

Tương tự, nếu bài toán (P2) không nghiệm tối ưu thì giá trị tối ưu

lim

tương ứng, tất những điểm nằm trong đoạn thẳng nối x = (−1,√3)T

trong đóf : Rn→ R là một hàm phi tuyến.

trên Rn Khi đó:a) Nếux∗∈ Rn

▽f(x∗) = 0 và ▽2f (x∗) định dương

▽f(x) =

Giải: Ta

▽f(x) =



là ma trận đối xứng, định dương nên f (x) là hàm lồi và điểm dừng

Định nghĩa2.1 Cho dãy {xk} ⊂ Rn

Ví d 2.5 Xt bài toán min

phương bài toán đang xt vì f (0,±ǫ) = −ǫ2< 0,∀ǫ > 0.

2.3.2 §iÒu kiÖn tèi ­u Karush - Kuhn - (®iÒu kiÖn KKT)

Xt bµi to¸n tèi­u phi tuyÕn

®iÒu kiÖn sau:

t¬ ▽gi(x0), i∈ I(x0) vµ ▽hj(x0), j = 1,· · · , p lµ lËptuyÕn tÝnh.

VÝ d 2.7 Xt bµi to¸n min−x21− x2

2 víi ®iÒu kiÖn x1≤ 1

1− x2

▽f(x) =



Điều kiện KKT tương ứng bài toán này là

Kí hiệu ▽xL,▽λL,▽àL là gradient hàmL theo x, λ, àtươngứng Khi

b) λ∗igi(x∗) = 0,∀i = 1, ã ã ã , m (điều kiện bù)

Lagrange tại (x∗, λ, à) là

trong đó x∗≤ ξ ≤ x∗+ d, λ = (λ1,ã ã ã , λm)T, à = (à1,ã ã ã , àp)T Như đã

2.3.4 Bài toán tối ưu lồi

Xt bài toán tối ưulồi sau đây

trong đó D ={x ∈ Rn| gi(x)≤ 0, i = 1, 2, ã ã ã , m, hj(x) = 0, j =

Tóm lại, này đã trình bày vắn tắt khái niệm và kết quả bản

bài toán tối ưu phi tuyến, phân biệt tối ưu địa phương và tối ưu toàn

khái niệm và kết quả đã trình bày.

Chương 3

1+ x22

Từ định nghĩa hàm thuần nhất dễ dàng suy ra:

lµ mét nãn låi VËy f lµ hµm låi.

Hệ quả 3.2 Giả sử f là hàm lồi thường, thuần nhất tuyến tính Khi

Nhiều ứng dng thường gặp khi hàm là thuần nhất 1 Ta ghilại kết quả

Hệ quảnói rằngnếu hàmlà thuầnnhất tuyếntính thì khităng mọi biến theo

quan trọng đối với hàm tuyến tính thuần nhất.

Định lý 3.3 Định lý Euler (Euler's Theorem)

Chứng minh Giả thiết f (x) là hàm thuần nhất k Theo định nghĩa

3.2 Bài toán tối ưu với hàm thuần nhất dương

Bài toán (P ) đối với biến x∈ Rn

nh©n tö Lagrange λ∗:= λ∈ Rm+.

nh©n töLagrange (λ, µ)∈ Rm+1+ Dogi¶ thiÕt u > 0nªn ta ph¶i µ = 0 §Æt

nh©n tö Lagrange λ∗ ThËt vËy,

gi¶ thiÕt (H) nh­ sau:

Chứng minh Giả sử (y∗, u)∈ K ì R+ là nghiệm tiểu toàn ( bP ).

vì thế từ (3.12) suy ra inf P = f (x∗) = inf bP.

lại, giả sử x∗ là nghiệm tối ưu toàn (P ) Nếu như inf bP <

Như vậy, bài toán "min-max" tương ứng với bài toán (P ) là

Chẳnghạn, khip = q và nếu bi≥ 0 vớimọi i = 1, 2,ã ã ã , mthì inf P < 0, bởi

Vì thế, ta quan tâm đến những x∈ K thoả mãn f (x) < 0 và với

(D)min{x∈K,f(x)<0}max{i:gi(x)>0}f (x)bi

Bài toán "min-max" (D) tương ứng dạng

• Xt bài toán (P ), trong đó f (gi, i = 1, 2,ã ã ã , m) là hàm thuần nhất

(P ) trong trường hợp p = q, nhờ dùng bài toán (D) Để đơn giảntrình bày, ta giả thiết bi≥ 0 với mọi i = 1, 2,ã ã ã , m.

• maxi:gi(y)>0−−f(y)

lµ do ta quan t©m tíi nh÷ng y∈ K mµ f (y) < 0.

nghiệm tiểutoàn hàmLagrangetrên K Trườnghợpmọihàmtham

gia trong bài toán đều là hai, bài toán (P ) là bài toán lồi LMI (bất đẳng

nhân tử Lagrange λ∗∈ Rm

hàm L(ã, λ∗) trên K Khi đó:a)

+ Nói riêng,(x∗, λ∗) thoảmãn (3.7), (3.8).Do đóáp

lồi(3.14)trong định lý3.6là bài toántối ưuLMI(bất đẳng ma trận

tuyến tính):

Ví d 3.5 Xt bài toán tối ưu không lồi trong R2(p = 1, q = 2):

với K = R2 Xtđiểm KKT x∗= (−2, ±√3)tương ứng với nhân tửLagrange

Lagrange L(x, λ∗) = x1+x42− 1 trên K Vì thế, giá trị tối ưu (P ) nhận

nhân tử Lagrange λ∗∈ Rm

+ và giả sử rằng

n−

Chứng minh Theo Định lý 3.6 tỏ x∗ là nghệm tiểu

sử x∗ là điểmKKT bàitoán(P ) tương ứngvới nhân tửLagrangeλ∗∈ Rm+.

Khi đó, x∗ là nghiệm tiểu toàn (P ) và giá trị tối ưu (P ) là

tập K∗x∗ Sau đó, nhờ tính thuần nhất sẽ suy ra rằng x∗ là nghiệmtiểu toàn L1(ã, λ∗) (dođó L(ã, λ∗) trên K) Từ đó theo Định lý3.6

vì thế L1(y, λ∗)≥ L1(x∗, λ∗) = 0 với mọi y∈ K∗.

thuần nhất,

toán lồi LMI

Qi nửa định dương với mọi i = 1, 2,ã ã ã , m, ta

trị riêng σ2(Q0),ã ã ã , σr+1(Q0) sao đạo hàm theo hướng

Vì thế, do x∗ là điểm KKT (P ) tương ứng với nhân tử Lagrange λ∗∈ Rm+

lồi.

KÕt luËn

nhÊt

Tµi liÖu tham kh¶o

[3℄ E D Andersen (1998), Linear Optimization: Theory, Methods and

3rd Edition, Springer.