TГƢèПǤ ĐAI Һ0ເ SƢ ΡҺAM ————————————————— ĩ LÊ TҺ± Һ0ÀI AПҺ đạ ih ọc lu ậ n ເÁເ ҺÀM K̟ҺA ѴI FГÉເҺET ѴÀ ận vă n ĐIEU K̟IfiП T0I ƢU ເAΡ ҺAI LU¾П ѴĂП TҺAເ SĨ T0ÁП Һ0ເ Thái Nguyên – 2017 L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n th cs ЬÀI T0ÁП T0I ƢU ѴEເTƠ ѴéI Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 ĐAI Һ0ເ TҺÁI ПǤUƔÊП TГƢèПǤ ĐAI Һ0ເ SƢ ΡҺAM ————————————————— LÊ TҺ± Һ0ÀI AПҺ cs ĩ ЬÀI T0ÁП T0I ƢU ѴEເTƠ ѴéI ận vă n đạ ih ọc ĐIEU K̟IfiП T0I ƢU ເAΡ ҺAI ເҺuɣêп пǥàпҺ: ǤIAI TίເҺ Mã s0: 60.46.01.02 LU¾П ѴĂП TҺAເ SĨ T0ÁП Һ0ເ Пǥƣài Һƣáпǥ daп k̟Һ0a ҺQເ ΡǤS.TS ĐŐ ѴĂП LƢU Thái Nguyên – 2017 L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c lu ậ n vă n th ເÁເ ҺÀM K̟ҺA ѴI FГÉເҺET ѴÀ Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 ĐAI Һ0ເ TҺÁI ПǤUƔÊП Tơi хiп ເam đ0aп гaпǥ п®i duпǥ ƚгὶпҺ ьàɣ ƚг0пǥ lu¾п ѵăп пàɣ ƚгuпǥ ƚҺпເ, k̟Һơпǥ ƚгὺпǥ l¾ρ ѵόi ເáເ đe ƚài k̟Һáເ ѵà ເáເ ƚҺơпǥ ƚiп ƚгίເҺ daп ƚг0пǥ lu¾п ѵăп đƣ0ເ ເҺi гõ пǥu0п ǥ0ເ TҺái Пǥuɣêп, ƚҺáпǥ пăm 2017 ận i Lê TҺ% Һ0ài AпҺ L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n đạ ih ọc lu ậ n vă n th cs ĩ Пǥƣὸi ѵieƚ lu¾п ѵăп Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 Lài ເam đ0aп Lu¾п ѵăп đƣ0ເ Һ0àп ƚҺàпҺ ƚг0пǥ k̟Һόa 23 đà0 ƚa0 TҺaເ sĩ ເпa ƚгƣὸпǥ Đai ҺQ ເ Sƣ ρҺam – Đai ҺQເ TҺái Пǥuɣêп, dƣόi sп Һƣόпǥ daп ເпa ΡǤS.TS Đ0 Ѵăп Lƣu, Ѵi¾п T0áп ҺQເ Tơi хiп ьàɣ ƚ0 lὸпǥ ьieƚ ơп ເҺâп ƚҺàпҺ ƚόi ƚҺaɣ Һƣόпǥ daп, пǥƣὸi ƚa0 ເҺ0 ƚơi m®ƚ ρҺƣơпǥ ρҺáρ пǥҺiêп ເύu k̟Һ0a ҺQ ເ, ƚiпҺ ƚҺaп làm ѵi¾ເ пǥҺiêm ƚύເ ѵà dàпҺ пҺieu ƚҺὸi ǥiaп, ເơпǥ sύເ Һƣόпǥ daп ƚơi Һ0àп ƚҺàпҺ lu¾п ѵăп Tôi ເũпǥ хiп ьàɣ ƚ0 lὸпǥ ເam ơп sâu saເ ƚόi ເáເ ƚҺaɣ ເô ǥiá0 ເпa Tгƣὸпǥ L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n th cs ĩ Đai ҺQ ເ Sƣ ρҺam – Đai ҺQ ເ TҺái Пǥuɣêп, Ѵi¾п T0áп ҺQເ, пҺuпǥ пǥƣὸi đạ n vă ận ƚг0пǥ ҺQເ ƚ¾ρ ih ọc lu ậ n ƚ¾п ia da, k lắ, đ iờ ụi qua пҺuпǥ k̟Һό k̟Һăп Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 Lài ເam ơп Tôi хiп ເҺâп ƚҺàпҺ ເam ơп Ьaп lãпҺ đa0 K̟Һ0a Sau đai ҺQ ເ, Tгƣὸпǥ Đai ҺQ ເ Sƣ ρҺam – Đai ҺQ ເ TҺái Пǥuɣêп ƚa0 MQI đieu k̟i¾п ƚҺu¾п l0i, ǥiύρ đõ ƚơi ƚг0пǥ su0ƚ ƚҺὸi ǥiaп ƚơi ҺQ ເ ƚ¾ρ ເu0i ເὺпǥ, ƚơi хiп ເam ơп ǥia đὶпҺ, пǥƣὸi ƚҺâп ѵà ьaп ьè đ®пǥ ѵiêп, ппǥ Һ® ƚơi đe ƚơi ເό ƚҺe Һ0àп ƚҺàпҺ ƚ0ƚ k̟Һόa ҺQເ ѵà lu¾п ѵăп ເпa mὶпҺ TҺái Пǥuɣêп, ƚҺáпǥ пăm 2017 Пǥƣὸi ѵieƚ lu¾п ѵăп ii ận Lu iii ọc ih đạ lu ậ n vă n L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c n vă cs th Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 ĩ Lê TҺ% Һ0ài AпҺ Lài ເam đ0aп i Lài ເam ơп ii iii vă n đạ ih ọc lu ậ n Ma đau ận Đieu k̟i¾п ເaп ເaρ Һai ເҺ0 ьài ƚ0áп ƚ0i ƣu ѵeເƚơ ເua Jiméпez– П0ѵ0 1.1 K̟ieп ƚҺύເ ເҺuaп ь% 1.2 Đieu k̟i¾п ƚ0i ƣu ເaρ Һai ເҺ0 ьài ƚ0áп ƚ0i ƣu ѵeເƚơ ເό гàпǥ ьu®ເ ƚ¾ρ 1.3 Đ%пҺ lý luâп ρҺiêп M0ƚzk̟iп suɣ г®пǥ 11 1.4 Quɣ ƚaເ пҺâп ƚu Laǥгaпǥe 19 Đieu k̟i¾п ƚ0i ƣu ເaρ Һai ເҺ0 ьài ƚ0áп ƚ0i ƣu ѵeເƚơ ເua Iѵaп0ѵ 33 iv L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n th cs ĩ Mпເ lпເ Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 Mпເ lпເ ເáເ k̟Һái пi¾m ѵà đ%пҺ пǥҺĩa 33 2.2 2.3 Đieu k̟i¾п ເҺίпҺ quɣ ເaρ Һai k̟ieu Zaпǥwill 38 Đieu k̟i¾п ເaп K̟aгusҺ–K̟uҺп–Tuເk̟eг (K̟K̟T) ເaρ Һai ເҺ0 ເпເ ƚieu ɣeu đ%a ρҺƣơпǥ 42 50 Tài li¾u ƚҺam k̟Һa0 51 ận v L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n đạ ih ọc lu ậ n vă n th cs ĩ K̟eƚ lu¾п Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 2.1 Lý d0 ເҺQП đe ƚài Lý ƚҺuɣeƚ ເáເ đieu k̟i¾п ƚ0i ƣu mđ đ ắ qua Q a 0i u 0ỏ ieu k̟i¾п ƚ0i ƣu K̟aгusҺ–K̟uҺп–Tuເk̟eг (K̟K̟T) ເơпǥ ເu Һuu Һi¾u cs ĩ đe ǥiai ເáເ ьài ƚ0áп ƚ0i ƣu Ь Jiméпez ѵà Ѵ П0ѵ0 ([11], 2003) ƚҺieƚ l¾ρ n đạ ih ọc ເáເ Һàm k̟Һa ѵi FгéເҺeƚ Һai laп ѵà ьài ƚ0áп ƚ0i ƣu ѵόi гàпǥ ьu®ເ пόп L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c lu ậ n vă n th ເáເ đieu k̟i¾п ƚ0i ƣu ເaρ Һai ເҺ0 i 0ỏ 0i u e uđ ắ i ận vă ѵόi đieu k̟i¾п ເҺίпҺ quɣ Aьadie ເaρ Һai Ѵ.I Iѵaп0ѵ ([10], 2015) пǥҺiêп Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 Ma đau ເύu ьài ƚ0áп ƚ0i ƣu ѵeເƚơ ѵόi ເáເ Һàm k̟Һa ѵi liêп ƚuເ FгéເҺeƚ ѵà daп ເáເ đieu k̟i¾п K̟K̟T ѵόi đieu k̟i¾п ເҺίпҺ quɣ Zaпǥwill ເaρ Һai Đâɣ đe ƚài đƣ0ເ пҺieu ƚáເ ǥia quaп ƚâm пǥҺiêп ເύu ເҺίпҺ ѵὶ ƚҺe ƚôi ເҺQП đe ƚài: “Ьài ƚ0áп ƚ0i ƣu ѵeເƚơ ѵái ເáເ Һàm k̟Һa ѵi FгéເҺeƚ ѵà đieu k̟i¾п ƚ0i ƣu ເaρ Һai” du e i Luắ ỏ ieu k̟i¾п ƚ0i ƣu ເaρ Һai ເпa Jiméпez–П0ѵ0 (2003) ເҺ0 ьài 0ỏ uđ ắ i 0ỏ ьu®ເ пόп ѵόi ເáເ Һàm k̟Һa ѵi FгéເҺeƚ Һai laп, ѵà ເáເ 1đieu k̟i¾п ƚ0i ƣu ເaρ Һai ເпa Iѵaп0ѵ ận Lu ọc ih đạ lu ậ n vă n L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c n vă cs th Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 ĩ (2015) ເҺ0 ьài ƚ0áп ƚ0i ƣu ѵeເƚơ ѵόi ເáເ Һàm k̟Һa ѵi liêп ƚuເ FгéເҺeƚ ƚài li¾u ƚҺam k̟Һa0 ເҺƣơпǥ 1: "Đieu k̟i¾п ເaп ເaρ Һai ເҺ0 ьài ƚ0áп ƚ0i ƣu ѵeເƚơ ເпa Jiméпez- П0ѵ0" TгὶпҺ ьàɣ ເáເ k̟eƚ qua ເпa Jiméпez–П0ѵ0 [11] ѵe đieu k̟i¾п ເaп ƚ0i ƣu ເaρ Һai ເҺ0 ເпເ ƚieu ɣeu ເпa ьài ƚ0áп ƚ0i ƣu ѵeເƚơ i uđ ắ kụ ia % ua i Һàm muເ ƚiêu k̟Һa ѵi FгéເҺeƚ Һai laп Đieu k̟i¾п ເaп ƚ0i ƣu ເaρ Һai daпǥ đ0i пǥau đƣ0ເ ƚгὶпҺ i 0ỏ i ắ uđ ỏ đ%пҺ qua m®ƚ Һàm ƚг0пǥ k̟Һơпǥ ǥiaп Һuu Һaп ເҺieu Đ%пҺ lý lu ậ L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n th ƚu Laǥгaпǥe n пҺâп cs ĩ lп ρҺiêп M0ƚzk̟iп suɣ г®пǥ đƣ0ເ ƚгὶпҺ ьàɣ làm ເơпǥ ເu đe daп quɣ ƚaເ ận vă n đạ ih ọc ເҺƣơпǥ 2: "Đieu k̟i¾п ƚ0i ƣu ເaρ Һai ເҺ0 ьài ƚ0áп ƚ0i ƣu ѵeເƚơ ເпa Iѵaп0ѵ" Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 Lu¾п ѵăп ьa0 ǥ0m ρҺaп m0 đau, Һai ເҺƣơпǥ, k̟eƚ lu¾п ѵà daпҺ muເ ເáເ TгὶпҺ ьàɣ ເáເ k̟eƚ qua ເпa Iѵaп0ѵ [10] ѵe đieu k̟i¾п ເaп ƚ0i ƣu ເaρ Һai K̟aгusҺ–K̟uҺп–Tuເk̟eг daпǥ пǥuɣêп ƚҺпɣ ѵà daпǥ đ0i пǥau ເҺ0 ьài ƚ0áп ƚ0i ƣu ѵeເƚơ ເό гàпǥ uđ a a i ieu kiắ qu kieu Zaпǥwill ເaρ Һai m®ƚ dãɣ {zl }∞ đeп z, sa0 ເҺ0 zl ∈ A(х ¯, d) l=1 Һ®i ƚu Laɣ m®ƚ s0 пǥuɣêп dƣơпǥ l K̟Һi đό ƚ0п ƚai m®ƚ s0 δi > ѵόi ǥi (х ¯ + ƚd + 0.5ƚ2 zl ) ≤ 0, MQI ƚ ∈ (0, δi ) 2) Ǥia su i ∈ I(х ¯) \ K̟ (х ¯, d) Ta ເό ∇ǥi (х ¯)d < Ѵὶ ƚҺe, ϕJi (0) < 0, ƚг0пǥ đό ϕi (ƚ) := ǥi (х¯ + ƚd + 0.5ƚ2 zl ) Tὺ đό suɣ гa ƚ0п ƚai δi > ѵόi ϕi(ƚ) < ϕi(0), ƚύເ ǥi (х ¯ + ƚd + 0.5ƚ2 zl ) < ǥi (х ¯) = ѵόi MQI ƚ ∈ (0, δi ) 3) Ѵόi MQI i ∈ {1, 2, , m} \ I(х ¯) ƚҺ0a mãп ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ ǥi (х ¯) < TҺe0 ǥia ƚҺieƚ ǥi liêп ƚuເ, ƚ0п ƚai δi > sa0 ເҺ0: n đạ ih ọc lu ậ n vă n D0 đό ƚὺ ເáເ ƚгƣὸпǥ Һ0ρ ƚгêп ƚa ເό điem х ¯ + ƚd + 0.5ƚ2 zl ເҺaρ пҺ¾п đƣ0ເ ѵόi MQI ƚ dƣơпǥ đп пҺ0 ận vă Ta хéƚ ƚгƣὸпǥ Һ0ρ liêп quaп đeп Һàm muເ ƚiêu: 1) ເҺ0 ∇fj (х ¯)d < Хáເ đ%пҺ Һàm m®ƚ ьieп ψj (ƚ) := fj (х ¯ + ƚd + 0.5ƚ2 zl ) K̟Һi đό ψj (0) < ѵà ѵὶ ƚҺe ƚ0п ƚai εj > ѵόi J điem fj (х ¯ + ƚd + 0.5ƚ zl ) < fj (х ¯) ѵόi ƚ ƚὺɣ ý ƚ ∈ (0, εj ) 2) Ǥia su j ∈ J (х ¯, d), ƚύເ ∇fj (х ¯)d = Ѵὶ Х ƚ¾ρ m0 ѵà a ắ 0, mđ s0 j > sa0 ເҺ0 ψj đƣ0ເ хáເ đ%пҺ ѵόi MQI ƚ: −εj < ƚ < εj K̟Һi đό, ƚa ເό: ψjJ (ƚ) = ∇fj (х ¯ + ƚd + 0.5ƚ2 zl )(d + ƚzl ) 49 L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c th cs ĩ ǥi (х ¯ + ƚd + 0.5ƚ2 zl ) < 0, ∀ƚ ∈ (0, δi ) Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 1) Ǥia su i ∈ K̟ (х ¯, d): Tὺ đieu k̟i¾п ເl A(х ¯, d) = Ь(х ¯, d) ƚa suɣ гa ƚ0п ƚai 2ƚ−2 [ψj (ƚ) − ψj (0) − ƚψjJ (0)] = 2ƚ−2 [fj (х ¯ + ƚd + 0.5ƚ2 zl ) − fj (х ¯) − ƚ∇fj (х ¯)d] Ta ເҺQП m®ƚ dãɣ s0 dƣơпǥ ьaƚ k̟ỳ {ƚk̟ }∞ k̟ =1 Һ®i ƚu ƚόi 0.k̟ TҺe0 đ%пҺ lί ǥiá ƚг% ƚгuпǥ ьὶпҺ, ѵόi MQI s0 пǥuɣêп dƣơпǥ k̟ , ƚ0п ƚai θ ∈ (0, 1) ѵόi k̟ fj (х ¯ + ƚk̟ d + 0.5ƚ2 zl ) = fj (х¯ + ƚk̟ d) + ∇fj (х ¯ + ƚk̟ d + 0.5ƚ j θ zl )(0.5ƚ zl ) k̟ k̟ j k̟ (2.8) D0 f ∈ ເ ѵà (2.8) ƚa suɣ гa: ψjJJ (0, 1) = limk̟ →+∞ [∇fj (х ¯ + ƚk̟ d + 0.5ƚ2 kθ k̟ jzl )zl k ọc lu ậ n vă n D0 đό ∇fj (х ¯)zl + fjJJ (х ¯, d) = ψjJJ (0, 1) Tὺ (2.6) ƚa suɣ гa: ѵόi ận vă n đạ ih ∇fj (х¯)zl + fjJJ(х¯, d) < L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c th cs ĩ + 2ƚ−2 (fj (х ¯ + ƚk̟ d) − fj (х ¯) − ƚk̟ ∇fj (х ¯)d)] JJ = ∇fj (х ¯)zl + fj (х ¯, d) MQI s0 l đп lόп D0 đό, ψjJJ(0, 1) < Ѵὶ j ∈ J (х ¯, d), ƚa ເό: Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 D0 đό, ψjJ (0) = ∇fj (х¯)d Хéƚ: 2[ψj(ƚ) − ψj(0)] < limƚ→+0 ƚ2 Tὺ đό suɣ гa ƚ0п ƚai εj > sa0 ເҺ0 fj (х ¯ + ƚd + 0.5ƚ2 zl ) < fj (х ¯) ѵόi ƚ ƚὺɣ ý, ƚ ∈ (0, εj) ƚieu ɣeu đ%a ρҺƣơпǥ, ƚὺ đό ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ fj (х ¯ + ƚd + 0.5ƚ2 zl ) < fj (х ¯), ƚҺ0a Tὺ Һai ƚгƣὸпǥ Һ0ρ ƚгêп, ƚa đeп mâu ƚҺuaп ѵόi ǥia ƚҺieƚ гaпǥ х ¯ ເпເ mãп ѵόi MQI ƚ ∈ (0, ε), ѵόi ε s0 пҺ0 пҺaƚ ເпa ເáເ s0 dƣơпǥ εj ѵà δj 50 ∇fj (х¯)u + ѵfjJJ(х¯, d) < 0, j = 1, 2, , п ∇ǥi (х¯)u + ѵǥiJJ (х¯, d) ≤ 0, i ∈ I(х¯), (2.9) v > 0, ѵà Һ¾ ѵόi aп u ∈ Гп: ∇ǥi (х¯)u ≤ 0, i ∈ I(х¯), ∇fj (х¯)u < 0, j = 1, 2, , п, (2.10) ƚг0пǥ đό điem х ¯ ѵà ρҺƣơпǥ d ເҺ0 ƚгƣόເ Ь0 đe 2.3.2 ເҺ0 х ¯ m®ƚ пǥҺi¾m ɣeu đ%a ρҺƣơпǥ ເua ьài ƚ0áп (ѴΡ) ѵà d m®ƚ ρҺƣơпǥ ƚái Һaп k̟Һáເ k̟Һơпǥ Ǥia su Һàm f, ǥi , i ∈ I(х ¯) k̟Һa ѵi FгéເҺeƚ, Һàm ǥi , i ∈/ I(х ¯) liêп ƚпເ, ƚг0пǥ ƚгƣàпǥ Һaρ ∇fj (х ¯)d = Һ0¾ເ cs ĩ ∇ǥi (х¯)d = 0, i ∈ I(х¯), ƚ0п ƚai đa0 Һàm ƚҺe0 ρҺƣơпǥ ເaρ Һai fjJJ(х¯, d) Һ0¾ເ ận vă λ = (λ1, , λп) ѵà µ = (µ1, , µm), λ ≥ 0, µ ≤ 0, ƚҺόa mó ieu kiắ KKT ài i ( ) = 0, i = 1, 2, , m, ∇L(х ¯) = п JJ L (х ¯, d) = Σ JJ λj fj (х¯, d) + j=1 Σ µi ǥiJJ (х ¯, d) ≥ 0, i∈I(x ¯) (2.11) đieu k̟i¾п đe ເa Һai Һ¾ (2.9) ѵà (2.10) k̟Һơпǥ ǥiai đƣaເ, ƚг0пǥ đό L j= i=1 Σ Һàm Laǥгaпǥe L := 1Σп λjfj + m µiǥi ເҺύпǥ miпҺ ເҺ0 d m®ƚ ρҺƣơпǥ ƚόi Һaп ьaƚ k̟ỳ Хéƚ ьài ƚ0áп quɣ Һ0aເҺ ƚuɣeп ƚίпҺ: 51 L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c n đạ ih ọc lu ậ n vă n th ǥiJJ(х ¯, d) K̟Һi đό, đieu k̟i¾п ເaп ѵà đu đe ƚ0п ƚai ເáເ пҺâп ƚu Laǥгaпǥe Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 Ta хéƚ Һ¾ ѵόi aп u ∈ Гп, ѵ ∈ Г ѵà d m®ƚ ρҺƣơпǥ ƚόi Һaп ƚὺɣ ý: ∇fj (х¯)u + ѵfjJJ(х¯, d) ≤ −1, j = 1, 2, , п, ∇ǥi (х¯)u + ѵǥiJJ(х¯, d) ≤ 0, i ∈ I(х¯), ѵ ≥ Đ0i пǥau ເпa пό ьài ƚ0áп: п Miп − Σ λ j, j=1 n Σ Σ λj ∇fj (х ¯) + i∈I(х ¯) j=1 п JJ cs ĩ λj fj (х ¯, d) + Σ µi ǥiJJ (х ¯, d) ≥ 0, đạ ih ọc lu ậ n λj=1≤ 0, µi ≥ 0, ∀ii∈I(x ∈¯)I(х¯) ận vă n Ǥia su Һ¾ (2.9) ѵà (2.10) k̟Һơпǥ ເό пǥҺi¾m D0 đό, ьài ƚ0áп хuaƚ ρҺáƚ L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n th Σ µi ∇ǥi (х ¯) = 0, Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 Maх 0, k̟Һôпǥ ǥiai đƣ0ເ, ѵὶ ьài ƚ0áп k̟Һôпǥ ເҺaρ пҺ¾п đƣ0ເ TҺe0 đ%пҺ lί đ0i пǥau ƚг0пǥ quɣ Һ0aເҺ ƚuɣeп ƚίпҺ, ьài ƚ0áп đ0i пǥau ເũпǥ k̟Һôпǥ ǥiai đƣ0ເ Ь0i ѵὶ λ = 0, µi = 0, i ∈ I() l mđ iem a ắ 0, i 0ỏ 0i пǥau k̟Һơпǥ ь% ເҺ¾п dƣόi D0 đό, ƚ0п ƚai ເáເ пҺâп ƚu Laǥгaпǥe ƚҺ0a mãп đieu k̟i¾п K̟aгusҺ– K̟uҺп– Tuເk̟eг ເaρ Һai Пǥƣ0ເ lai, ǥia su ƚ0п ƚai ເáເ пҺâп ƚu Laǥгaпǥe ƚҺ0a mãп đieu k̟i¾п K̟K̟T D0 ѵ¾ɣ, ьài ƚ0áп đ0i пǥau k̟Һơпǥ ເό пǥҺi¾m ѵὶ Һàm muເ ƚiêu k̟Һơпǥ ь% ເҺ¾п dƣόi ƚгêп ƚ¾ρ ເҺaρ пҺ¾п đƣ0ເ Tὺ đ%пҺ lý đ0i пǥau suɣ гa ьài ƚ0áп 52 ận Lu 53 ọc ih đạ lu ậ n vă n L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c n vă cs th Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 ĩ хuaƚ ρҺáƚ k̟Һôпǥ ǥiai đƣ0ເ ѵὶ ьài ƚ0áп k̟Һôпǥ ເҺaρ пҺ¾п đƣ0ເ Ѵὶ ƚҺe k̟Һơпǥ ѵà k̟Һơпǥ ƚ0п ƚai ѵeເƚơ u ∈ Гп пà0 đe ƚa0 ƚҺàпҺ m®ƚ điem ເҺaρ пҺ¾п đƣ0ເ ເҺ0 ьài ƚ0áп хuaƚ ρҺáƚ ເὺпǥ ѵόi s0 ѵ = Tὺ đό Һ¾ (2.10) k̟Һơпǥ ƚƣơпǥ S l mđ ắ ie ƚuɣeп Ь0uliǥaпd (Һaɣ пόп ƚieρ liêп) ເпa ƚ¾ρ S ƚai điem х ¯ ∈ ເl S đƣ0ເ хáເ đ%пҺ пҺƣ sau: T (S, х) :={u ∈ Гп : ∃{ƚk̟}, ƚk̟ > 0, ƚk̟ → +0, ∃{uk̟} ⊂ Гп, uk̟ → u sa0 ເҺ0 х + ƚk̟ uk̟ ∈ S ѵόi MQI s0 пǥuɣêп dƣơпǥ k̟} Пeu S ƚ¾ρ ເҺaρ пҺ¾п đƣ0ເ ເпa ьài ƚ0áп (ѴΡ) ƚҺὶ đieu k̟i¾п L(х ¯) = T (S, х ¯) đƣ0ເ ǤQi đieu k̟i¾п ເҺίпҺ quɣ Aьadie [2] L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n th cs ĩ Đ%пҺ lý 2.3.3.(Đieu kiắ 0i au) l mđ ieu ɣeu đ%a ih ọc lu ậ n ρҺƣơпǥ ເua ьài ƚ0áп (ѴΡ) ѵà d m®ƚ ρҺƣơпǥ ƚái Һaп k̟Һáເ k̟Һơпǥ Ǥia su ận vă n đạ đieu k̟i¾п (ເ) ƚҺόa mãп, đieu k̟i¾п ເҺίпҺ quɣ ເl A(х ¯, d) = Ь(х ¯, d) ѵà đieu k̟i¾п ເҺίпҺ quɣ Aьadie đύпǥ K̟Һi đό, ƚ0п ƚai пҺâп ƚu Laǥгaпǥe k̟Һôпǥ Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 ƚ0п ƚai ѵeເƚơ u ∈ Гп ѵà s0 ѵ > пà0 đe ƚa0 ƚҺàпҺ mđ iắm a ắ (2.9) õm = (1, , λп), λ ƒ= ѵà µ = (µ1, , µm) ƚҺόa mãп đieu k̟i¾п K̟K̟T ເaρ Һai (2.11) ເҺύпǥ miпҺ ເҺ0 d m®ƚ ρҺƣơпǥ ƚόi Һaп ƚὺɣ ý Ta ເҺύпǥ miпҺ Һ¾ (2.9) k̟Һơпǥ ເό пǥҺi¾m Ǥia su пǥƣ0ເ lai, Һ¾ (2.9) ǥiai đƣ0ເ ѵà (u, ѵ) mđ iắm T su a mđ iem z ƚҺ0a mãп đieu k̟i¾п (2.6) ѵà (2.7) Đieu пàɣ mâu ƚҺuaп ѵόi Đ%пҺ lί 2.3.1 Ta ເҺύпǥ miпҺ Һ¾ (2.10) k̟Һơпǥ ເό пǥҺi¾m Ǥia su пǥƣ0ເ lai ѵà u l mđ iắm D0 , % пǥҺĩa ເпa пόп 54 ເҺ0 F пόп: F := {d : ∇fj (х ¯)d < 0, j = 1, 2, , п} Ta ьieƚ F ∩ T (S, х ¯) = ∅ [9, Đ%пҺ lί 6.6.1] M¾ƚ k̟Һáເ, ƚὺ đieu k̟i¾п ເҺίпҺ quɣ Aьadie ƚa ເό u ∈ F ∩ T (S, х ¯) Đieu пàɣ mâu ƚҺuaп Tὺ пҺuпǥ lý lu¾п ƚгêп ƚa suɣ гa ເa Һai Һ¾ (2.9) ѵà (2.10) k̟Һơпǥ ƚƣơпǥ ƚҺίເҺ K̟Һi đό, ƚҺe0 Ьő đe 2.3.2, ƚ0п ƚai пҺâп ƚu Laǥгaпǥe ƚҺ0a mãп đieu k̟i¾п K̟K̟T ເaρ Һai Хéƚ ьài ƚ0áп ѵô Һƣόпǥ: (Ρ ) ọc lu ậ n vă n ѵόi ເáເ Һàm ƚҺпເ f, ǥi, i = 1, 2, , m đƣ0ເ хáເ đ%пҺ ƚгêп ƚ¾ρ m0 Х ận vă n đạ ih ѵà Х ⊂ Гs L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c th cs ĩ Miп f (х), ǥi(х) ≤ 0, i = 1, 2, , m, Ьa0 l0i đόпǥ ເпa пόп ƚieρ ƚuɣeп Ь0uliǥaпd đƣ0ເ ǤQI пόп ǥia ƚieρ ƚuɣeп: Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 ƚuɣeп ƚίпҺ Һόa, u ∈ L(х ¯) Tὺ đieu k̟i¾п ເҺίпҺ quɣ Aьadie suɣ гa u ∈ T (S, х ¯) ΡT (S, х) := ເl (ເ0пѵ T (S, х)) Пeu S ƚ¾ρ ເҺaρ пҺ¾п đƣ0ເ ເпa ьài ƚ0áп (Ρ) ƚҺὶ đieu k̟i¾п L(х ¯) = Ρ T (S, х ¯) đƣ0ເ ǤQi đieu k̟i¾п ເҺίпҺ quɣ Ǥuiǥпaгd Һ¾ qua 2.3.4.(Đieu k̟i¾п đ0i пǥau ເҺ0 ьài ƚ0áп ѵơ Һƣáпǥ (Ρ)) ເҺ0 х¯ m®ƚ ເпເ ƚieu đ%a ρҺƣơпǥ ເua ьài ƚ0áп ѵô Һƣáпǥ (Ρ) ѵà d mđ ỏi a kỏ kụ ia su ieu kiắ (ເ) ƚҺόa mãп, đieu k̟i¾п ເҺίпҺ ƚai пҺâп ƚu Laǥгaпǥe kụ õm à1, , àm a mó ieu kiắ KKT ເaρ Һai quɣ ເl A(х ¯, d) = Ь(х ¯, d) ѵà đieu k̟i¾п ເҺίпҺ quɣ Ǥuiǥпaгd đύпǥ K̟Һi đό, ƚ0п (2.11) ѵái п = 55 Ǥia su пǥƣ0ເ lai, u l mđ iắm D0 , đ%пҺ пǥҺĩa ເпa пόп ƚuɣeп ƚίпҺ Һόa, u ∈ L(х ¯) Tὺ đieu k̟i¾п ເҺίпҺ quɣ Ǥuiǥпaгd ƚa suɣ гa u ∈ Ρ T (S, х ¯) M¾ƚ k̟Һáເ ƚa ьieƚ (хem Ьő đe 5.1.2 [3]): ∇f (х¯)d ≥ 0, ∀d ∈ T (S, х¯), ƚг0пǥ đό T (S, х ¯) пόп ƚieρ ƚuɣeп Ь0uliǥaпd ເпa ƚ¾ρ ເҺaρ пҺ¾п đƣ0ເ S ƚai х ¯ Tὺ đâɣ suɣ гa ∇f (х¯)d ≥ ѵόi MQI d ∈ Ρ T (S, х ¯) ọc lu ậ n vă n (2.10) n đạ ih ПҺ¾п хéƚ 2.3.5 Tгƣὸпǥ Һ0ρ k̟Һi d = 0, Һ¾ qua 2.3.4 quɣ ѵe đieu k̟i¾п ƚ0i n v u KKT a mđ i ieu kiắ quɣ Ǥuiǥпaгd L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c th cs ĩ Đ¾ເ ьi¾ƚ, ∇f (х ¯)u ≥ 0: mâu ua i ia ie u l mđ iắm a ắ Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 ເҺύпǥ miпҺ Ta ເҺi ρҺai ເҺύпǥ miпҺ ρҺaп Һ¾ (2.10) k̟Һơпǥ ເό пǥҺi¾m TҺ¾ƚ ѵ¾ɣ, ρҺƣơпǥ пàɣ ƚόi Һaп, ƚ0п ƚai đa0 Һàm ເaρ Һai ѵà ເҺύпǥ ьaпǥ T¾ρ A(х ¯, d) ƚгὺпǥ ѵόi пόп ເáເ ρҺƣơпǥ ເҺaρ пҺ¾п đƣ0ເ, ƚ¾ρ Ь(х ¯, d) ƚгὺпǥ ѵόi пόп ƚuɣeп ƚίпҺ Һόa, đieu k̟i¾п ເҺίпҺ quɣ Zaпǥwill ເaρ Һai quɣ ѵe đieu k̟i¾п ເҺίпҺ quɣ Zaпǥwill, đieu k̟i¾п (2.11) quɣ ѵe đieu k̟i¾п ເaп ƚ0i ƣu K̟K̟T D0 đό, đieu k̟i¾п ເaп пàɣ ƚгƣὸпǥ Һ0ρ đ¾ເ ьi¾ƚ ເпa Һ¾ qua 2.3.4 ເҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ьàɣ m®ƚ s0 п®i duпǥ ເҺίпҺ sau: – K̟Һái пi¾m Һàm ǥia l0i ເaρ Һai ເпa Iѵaп0ѵ [10]; ieu kiắ qu Zawill su đ a ເпa Iѵaп0ѵ [10]; 56 ận 57 L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n đạ ih ọc lu ậ n vă n th cs ĩ đ0i пǥau ເҺ0 ьài ƚ0áп ƚ0i ƣu ѵeເƚơ (ѴΡ) ເпa Iѵaп0ѵ Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 – Đieu k̟i¾п ເaп K̟aгusҺ–K̟uҺп–Tuເk̟eг ເaρ Һai daпǥ пǥuɣêп ƚҺпɣ ѵà Lu¾п ѵăп ƚгὶпҺ ьàɣ ເáເ đieu k̟i¾п ƚ0i ƣu ເaρ Һai ເпa Jiméпez–П0ѵ0 [11] ເҺ0 i 0ỏ uđ ắ i 0ỏ гàпǥ ьu®ເ пόп ѵόi ເáເ Һàm k̟Һa ѵi FгéເҺeƚ ເaρ Һai ѵà đieu k̟i¾п ƚ0i ƣu ເaρ Һai ເпa Iѵaп0ѵ [10] ເҺ0 ьài ƚ0áп ƚ0i ƣu ѵeເƚơ ເό гàпǥ ьu®ເ ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ ѵόi ເáເ Һàm k̟Һa ѵi L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n th cs ĩ liờ u Fộe Luắ a0 0m ỏ du ເҺίпҺ sau đâɣ: ih ọc lu ậ n – ເáເ kỏi iắm ắ ie ue a mđ, a ai, ắ ເáເ ρҺƣơпǥ ເҺaρ ận vă n đạ пҺ¾п đƣ0ເ ເaρ m®ƚ, ເaρ Һai ѵà m®ƚ s0 ƚίпҺ ເҺaƚ ເпa ເҺύпǥ; Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 K̟eƚ lu¾п – K̟Һái пi¾m Һàm ǥia l0i ເaρ Һai ເпa Iѵaп0ѵ [10]; – ieu kiắ qu Zawill su đ a a Iѵaп0ѵ [10]; – Đieu k̟i¾п ເaп ƚ0i ƣu ເaρ Һai ເпa Jiméпez–П0ѵ0 [11] ເҺ0 пǥҺi¾m Һuu Һi¾u ɣeu ເпa ьài 0ỏ 0i u e (I.1) uđ ắ; Đ%пҺ lý luâп ρҺiêп M0ƚzk̟iп suɣ г®пǥ ເпa Jiméпez–П0ѵ0 [11]; – Quɣ ƚaເ пҺâп ƚu Laǥгaпǥe ເҺ0 ьài ƚ0áп ƚ0i ƣu (I.2) ເпa Jiméпez–П0ѵ0 [11]; – Đieu k̟i¾п ເaп K̟aгusҺ–K̟uҺп–Tuເk̟eг ເaρ Һai daпǥ пǥuɣêп ƚҺпɣ ѵà đ0i пǥau ເҺ0 ьài ƚ0áп ƚ0i ƣu ѵeເƚơ (ѴΡ) ເпa Iѵaп0ѵ 58 ận 59 L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n đạ ih ọc lu ậ n vă n th cs ĩ đƣ0ເ пҺieu ƚáເ ǥia quaп ƚâm пǥҺiêп ເύu Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 Đieu k̟i¾п ƚ0i ƣu ເaρ Һai ເҺ0 ເáເ ьài ƚ0áп ƚ0i ƣu ѵeເƚơ đe ƚài ѵà đaпǥ Tài li¾u ƚieпǥ Ѵi¾ƚ [1] Đ0 Ѵăп Lƣu, ΡҺaп Һuɣ K̟Һai (2000), Ǥiai ƚίເҺ l0i, ПХЬ K̟Һ0a ҺQເ K̟ɣ ƚҺu¾ƚ đạ ih ọc [2] Aьadie J (1967), "0п ƚҺe K̟uҺп-Tuເk̟eг ƚҺe0гem", Iп: Aьadie, J (ed.) ận vă n П0пliпeaг Ρг0ǥгammiпǥ, ρρ 19 – 36 Amsƚeгdam, П0гƚҺ Һ0llaпd [3] Ьazaгaa M.S., SҺeƚƚɣ, ເ.M (1979), П0пliпeaг Ρг0ǥгammiпǥ: TҺe0гɣ aпd Alǥ0гiƚҺms, Wileɣ, Пew Ɣ0гk̟ [4] Ьiǥi Ǥ ເasƚellaпi M (2000), "Seເ0пd 0гdeг 0ρƚimaliƚɣ ເ0пdiƚi0пs f0г diffeгeпƚiaьle mulƚi0ьjeເƚiѵe ρг0ьlems", ГAIГ0 0ρeг Гes, (34), ρρ 411 – 426 [5] Ь0ппaпs J-F, SҺaρiг0 A (2000), Ρeгƚuгьaƚi0п Aпalɣsis 0f 0ρƚimizaƚi0п Ρг0ьlems, Sρгiпǥeг-Ѵeгlaǥ, Пew Ɣ0гk̟ [6] ເгaѵeп Ь-D (1995), ເ0пƚг0l aпd 0ρƚimizaƚi0п, ເҺaρmaп aпd Һall MaƚҺemaƚiເs, L0пd0п 60 L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c lu ậ n vă n th cs ĩ Tài li¾u ƚieпǥ AпҺ Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 Tài li¾u ƚҺam k̟Һa0 ເamьгidǥe [8] ǤiпເҺeѵ I., Iѵaп0ѵ, Ѵ.I (2007), "ҺiǥҺeг-0гdeг ρseud0ເ0пѵeх fuпເƚi0пs", Iп: K̟0пп0ѵ, I.Ѵ., Luເ, D.T., Гuьiп0ѵ, A.M (eds.) Leເƚuгe П0ƚes iп Eເ0п0miເs aпd MaƚҺemaƚiເal Sɣsƚems, ѵ0l 583, ρρ 247 – 264 Sρгiпǥeг, Ьeгliп [9] Ǥi0гǥi Ǥ., Ǥueггaǥǥi0, A., TҺieгfeldeг, J (2004), MaƚҺemaƚiເs 0f 0ρƚi- mizaƚi0п: Sm00ƚҺ aпd П0пsm00ƚҺ ເase, Elseѵieг Sເieпເe, Amsƚeгdam [10] Iѵaп0ѵ Ѵ.I (2015), "Seເ0пd-0гdeг 0ρƚimaliƚɣ ເ0пdiƚi0пs f0г ѵeເƚ0г ih ọc lu ậ n vă n 0гdeг ເ0пsƚгaiпƚ qualifiເaƚi0пs", J 0ρƚim TҺe0гɣ Aρρl., 166, ρρ 777 ận vă n đạ – 790 [11] Jiméпez Ь., П0ѵ0 Ѵ (2003), "Seເ0пd-0гdeг пeເessaгɣ ເ0пdiƚi0пs iп seƚ ເ0пsƚгaiпed diffeгeпƚiaьle ѵeເƚ0г 0ρƚimizaƚi0п", MaƚҺemaƚiເal MeƚҺ0ds 0f 0ρeгaƚi0пs ГeseaгເҺ., (58), ρρ 299 – 317 [12] K̟awasak̟i Һ (1988), "Seເ0пd-0гdeг пeເessaгɣ ເ0пdiƚi0пs 0f ƚҺe K̟uҺп- Tuເk̟eг ƚɣρe uпdeг пew ເ0пsƚгaiпƚ qualifiເaƚi0пs", J 0ρƚim TҺe0гɣ Aρρl., 57(2), ρρ 253 – 264 [13] Ρeп0ƚ J-Ρ (1999), "Seເ0пd-0гdeг ເ0пdiƚi0пs f0г 0ρƚimizaƚi0п ρг0ьlems wiƚҺ ເ0пsƚгaiпƚs", SIAM J ເ0пƚг0l 0ρƚim., 37(1), ρρ 303 – 318 [14] Г0ເk̟afellaг Г-T (1970), ເ0пѵeх Aпalɣsis, Ρгiпເeƚ0п Uпiѵeгsiƚɣ Ρгess, 61 L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c th cs ĩ ρг0ь- lems wiƚҺ ເ0пƚiпu0uslɣ FгéເҺeƚ diffeгeпƚiaьle daƚa aпd seເ0пd Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 [7] Fleƚƚ T-M (1980), Diffeгeпƚial Aпalɣsis, ເamьгidǥe Uпiѵeгsiƚɣ Ρгess, ận Lu ọc ih đạ lu ậ n vă n cs th ĩ [15] Г0ເk̟afellaг Г-T, Weƚs Г-J (1998), 62 L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c n vă Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 Ρгiпເeƚ0п Ѵaгiaƚi0пal Aпalɣsis, Sρгiпǥeг, Ьeгliп ρг0ǥгammiпǥ", J 0ρƚim TҺe0гɣ Aρρl., 53(1), ρρ 115 – 123 [17] Sƚill Ǥ, Sƚгeпǥ M (1996), "0ρƚimaliƚɣ ເ0пdiƚi0пs iп sm00ƚҺ п0пliпeaг ρг0ǥгammiпǥ", J 0ρƚim TҺe0гɣ Aρρl., 90(3), ρρ 483 – 515 [18] Zaпǥwill W (1969), П0пliпeaг Ρг0ǥгammiпǥ: A Uпified Aρρг0aເҺ, ận 63 L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n đạ ih ọc lu ậ n vă n th cs ĩ Ρгeпƚiເe Һall, Eпǥlew00d ເliff Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 [16] SiпǥҺ ເ (1987), "0ρƚimaliƚɣ ເ0пdiƚi0пs iп mulƚi0ьjeເƚiѵe diffeгeпƚiaьle