Giợi thiằu b i toĂn nghiản cựu v mởt số kián thực giÊi tẵch h m cụng nhữ mởt số khĂi niằm vã cĂc têp tiáp xúc cĐp mởt v cĐp hai
Cho X, Z, W l cĂc khổng gian Banach, Y l khổng gian ành chuân, C ⊂ Y l nõn lỗi õng, v K ⊂ Z l têp lỗi Cho f :X → Y, g :X → Z, v h :X → W l cĂc Ănh xÔ Chúng tổi x²t b i toĂn tối ữu vectỡ sau Ơy:
Chúng tôi định nghĩa không gian chuẩn X với tập hợp N = {1, 2, , n, } và R là tập hợp các số thực Trong không gian chuẩn này, X* là không gian topo của X, trong đó d(y, S) biểu thị khoảng cách từ điểm y đến tập S Bán kính B_n(x, r) được xác định bởi B_n(x, r) = {y ∈ R^n : ||x - y|| < r}; trong khi S_n = {y ∈ R^n : ||y|| = 1} là tập hợp các điểm có độ dài bằng 1.
BX(x, r) = {y ∈ X : kx−yk < r}, SX = {y ∈ X : kyk = 1} v ối vợi BX(0,1) ta viát ỡn giÊn l B X L(X, Y) l kỵ hiằu khổng gian cĂc Ănh xÔ tuyán tẵnh bà ch°n tứ
X v o Y v B(X, X, Y) l khổng gian cĂc Ănh xÔ song tuyán tẵnh bà ch°n tứ X ìX v oY, trong õX v Y l cĂc khổng gian ành chuân VợiP n ,P trong L(X, Y), ta viát
P n −→ p P hay P =p-limP n náu P n hởi tử iºm ánP Kỵ hiằu tữỡng tỹ ữủc dũng cho
M n, M ∈ B(X, X, Y) Với một tập con C ⊂ X, kỵ hiếu C ∗ được định nghĩa là {c ∗ ∈ X ∗ : hc ∗, ci ≥ 0, ∀c ∈ C}, thể hiện tính chất của C Đối với A ⊂ X, các khái niệm như kỵ hiếu riA, intA, clA, bdA, coneA, coA đều là những phần quan trọng trong cấu trúc của A, bao gồm các khía cạnh như phần trong, bao bọc, biên, và sự kết hợp của A.
Av bao nõn cừa phƯn dàch chuyºn A+x Vợit >0v r ∈N, o(t r ) l kỵ hiằu cừa mởt iºm phử thuởc v o t sao cho o(t r )/t r → 0 khi t → 0 + C 1,1 l khổng gian cĂc Ănh xÔ kh£ vi Fr²chet sao cho ¤o h m Fr²chet l Lipschitz àa ph÷ìng.
Trong phƯn n y ta x²t X, Y l cĂc khổng gian ành chuân v h :X →Y l Ănh xÔ.
Ta có một điểm \( x_0 \) trong không gian \( U \) với \( \kappa > 0 \) sao cho với mọi \( x \in U \), ta có bất đẳng thức \( \| kh(x) - h(x_0) \| \leq \kappa \| x - x_0 \| \) Nếu \( h \) là khả vi tại \( x_0 \) và tồn tại đạo hàm Fréchet \( h_0(x_0) \), thì giới hạn \( \lim_{y \to x_0, y_0 \to x_0} \frac{\| kh(y) - h(y_0) - h_0(x_0)(y - y_0) \|}{\| y - y_0 \|} = 0 \) Điều này cho thấy rằng \( h \) là Lipschitz tại \( x_0 \) Kết quả này được chứng minh theo cách tương tự như trong Bài 3.
Mằnh ã 1.1 Cho h l Ănh xÔ khÊ vi Fr²chet quanh x 0 ∈X vợi h 0 l ờn ành tÔi x 0 , v u, w ∈X Náu(t n , r n )→(0 + ,0 + ), t n /r n →0 + , v w n := (x n −x 0 −t n u)/ 1 2 t n r n →w, thẳ y n := h(xn)−h(x0)−tnh 0 (x0)u t n r n /2 →h 0 (x 0 )w.
Ta nhợ lÔi cĂc khĂi niằm vã cĂc nõn tiáp xúc v têp tiáp xúc cĐp hai sau Ơy. ành nghắa 1.2 Chox0, u∈X v S ⊂X. (a) Nân contingent (hay Bouligand) cõa S t¤i x 0 l
T(S, x 0 ) ={v ∈X | ∃t n →0 + ,∃v n →v,∀n∈N, x 0 +t n v n ∈S}. (b) Nõn tiáp xúc trong (nõn tiáp xúc trong Clarke, tữỡng ựng) cừa S tÔi x0 l
(c) Têp contingent (têp kã, tữỡng ựng) cĐp hai cừa S tÔi (x 0 , u) l
(d) Nõn tiáp xúc (nõn kã, tữỡng ựng) cĐp hai tiằm cên cừa S tÔi (x0, u) l
(e) Têp tiáp xúc trong cĐp hai cừa S tÔi (x 0 , u) l
IT 2 (S, x 0 , u) = {w∈X | ∀t n →0 + ,∀w n →w,∀n ừ lợn, x 0 +t n u+ 1 2 t 2 n w n ∈S}. (f) Nõn tiáp xúc trong cĐp hai tiằm cên cừa S tÔi (x 0 , u) l
Trong bài viết này, chúng tôi nghiên cứu các khái niệm liên quan đến tập hợp S và các yếu tố như IT(S, x₀) và A₂(S, x₀, u) Các khái niệm này được phát triển dựa trên các nghiên cứu trước đó của Penot Chúng tôi cũng đề cập đến các điều kiện cần thiết để xác định các tập hợp tiếp xúc và mối quan hệ giữa chúng Đặc biệt, nếu x₀ không thuộc vào phần bù của S, chúng tôi sẽ xem xét cách thức các tập hợp tiếp xúc tương tác với nhau trong không gian rộng hơn.
Chúng tổi ữa ra mởt số tẵnh chĐt cỡ bÊn cừa cĂc têp tiáp xúc cĐp mởt v cĐp hai ð trản trong ba mằnh ã sau Ơy.
Mằnh ã 1.3 Cho S ⊂X v x 0 , u∈X Khi õ, cĂc tẵnh chĐt sau ữủc biát ró (i) IT 2 (S, x 0 , u)⊂A 2 (S, x 0 , u)⊂T 2 (S, x 0 , u)⊂clcone[cone(S−x 0 )−u]; (ii)IT 2 (S, x 0 , u) =IT 2 (intS, x 0 , u)v náuu∈bd[cone(S−x 0 )], thẳ06∈IT 2 (S, x 0 , u); (iii) náu u6∈T(S, x 0 ), thẳ T 2 (S, x 0 , u) = ∅.
GiÊ sỷ, thảm nỳa, S l lỗi, intS 6=∅ v u∈T(S, x 0 ) Ta cõ iãu sau ([11, 23, 29]):
(iv) intcone(S−x 0 ) =IT(intS, x 0 ) =IT C (intS, x 0 ) v do õ 06∈intcone(S−x 0 ) vợi x 0 6∈intS;(v) náu A 2 (S, x 0 , u)6=∅, thẳ
(vi) náu u∈cone(S−x 0 ), thẳ (a) IT 2 (S, x 0 , u) = intcone[cone(S−x 0 )−u]; (b) A 2 (S, x 0 , u) = clcone[cone(S−x 0 )−u]. Mằnh ã 1.4 Cho S ⊂X v x 0 , u∈X.
(i) IT 00 (S, x 0 , u)⊂A 00 (S, x 0 , u)⊂T 00 (S, x 0 , u)⊂clcone[cone(S−x 0 )−u]. (ii)IT 00 (S, x 0 , u) = IT 00 (intS, x 0 , u)v náuu∈bd[cone(S−x 0 )], thẳ06∈IT 00 (S, x 0 , u). (iii) Náu u6∈T(S, x 0 ), thẳ T 00 (S, x 0 , u) =∅.
(iv) A 00 (S, x0, u) +ITC(S, x0)⊂IT 00 (S, x0, u), v do õ, náu IT C (S, x 0 )6=∅ v A 00 (S, x 0 , u)6=∅, thẳ
Chựng minh CĂc phƯn (i)-(iii) ữủc suy ra tứ cĂc ành nghắa Vợi phƯn (v), xem
Bờ ã 4.1 cừa [28] Giới Ơy, ta xét phần (iv) Cho w ∈ A 00 (S, x0, u) và v ∈ IT C (S, x0), với z := w + v Xét (tn, rn) → (0+, 0+): tn/rn → 0, vz n → z Khi đó, tồn tại wn → w sao cho xn := x0 + tnu + 1/2 tnrnwn ∈ S Đặt vn := zn − wn → v, ta có z ∈ IT 00 (S, x0, u), và với n lớn, x0 + tnu + 1/2 tnrnzn = xn + 1/2 tnrnvn ∈ S.
Mằnh ã 1.5 GiÊ sỷ rơng X =R m v x0 ∈S ⊂X Náu xn∈S\ {x0} hởi tử án x0, thẳ tỗn tÔiu∈T(S, x 0 )\ {0} cõ chuân bơng mởt v mởt dÂy con, kỵ hiằu lÔi bði x n , sao cho
(i) (cê iºn) (xn−x0)/tn →u, trong â tn =kxn−x0k; (ii) ([11]) ho°c z ∈T 2 (S, x 0 , u)∩u ⊥ tỗn tÔi sao cho(x n −x 0 −t n u)/ 1 2 t 2 n →z ho°cz ∈
T 00 (S, x 0 , u)∩u ⊥ \ {0}v r n →0 + tỗn tÔi sao cho r t n n →0 + v (x n −x 0 −t n u)/ 1 2 t n r n →z,trong â u ⊥ l ph¦n bò trüc giao cõa u∈R m
Ôo h m suy rởng kiºu xĐp x¿ cĐp mởt v cĐp hai
ành nghắa 2.1 ([1, 13]) X²th:X →Y l Ănh xÔ.
Têp A h (x 0 ) ⊂ L(X, Y) được định nghĩa khi x gần x 0, với x trong một lân cận lớn của x 0, tồn tại r→0 sao cho rkx−x0k −1 →0 khi x→x0, và h(x)−h(x 0 ) thuộc A h (x 0 )(x−x 0 ) + rB Y Cặp (A h (x 0 ), B h (x 0 )) cũng được xác định, với A h (x 0 ) ⊂ L(X, Y) và B h (x 0 ) ⊂ B(X, X, Y), khi x gần x 0, tồn tại r→0 sao cho rkx−x 0 k −1 →0 khi x→x 0, và h(x)−h(x 0 ) thuộc A h (x 0 )(x−x 0 ) + B h (x 0 )(x−x 0 , x−x 0 ) + r 2 B Y.
Nhên x²t 2.2 (i) Náuh :X →Y cõ Ôo h m Fr²chet cĐp haih 00 (x 0 ), thẳ(h 0 (x 0 ), 1 2 h 00 (x 0 )) l x§p x¿ c§p hai cõah t¤i x 0 (ii) ([1, 13]) Náu h : R n → R m l Lipschitz àa phữỡng tÔi x0, thẳ Jacobian Clarke
Nếu \( h: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m \) là một hàm liên tục tại \( x_0 \), thì tồn tại một điểm mở \( C_1 \) quanh \( x_0 \) sao cho \( h(x_0) \) là điểm trong \( C_2 \) và \( \nabla h(x_0) \) là ma trận Jacobian tại \( x_0 \) Nếu \( h \) là hàm liên tục Fréchet trong một lân cận lớn hơn của \( x_0 \), thì \( \nabla^2 h(x_0) \) là ma trận Hessian tại \( x_0 \).
Các ô hình suy rỗng rất đa dạng và phong phú Hơn nữa, mọi ảnh số học đều mở ra một ô hình suy rỗng tiềm ẩn, lớn hơn trong không gian L(X, Y) Các ô hình kiểu suy rỗng tiềm ẩn khi so với các ô hình suy rỗng khác là các xấp xỉ có thể tồn tại trong không gian tiềm ẩn ngay cả khi ảnh số không liên tục.
Khi õh l khổng liản tửc tÔi 0 v ta cõ thº lĐyA h (0) = (α,+∞) vợi bĐt ký α >0 v
Tuy nhiản, ta khổng cõ tẵnh duy nhĐt cho cĂc xĐp x¿ °c biằt, bĐt ký têp n o chựa mởt xĐp x¿ thẳ nõ cụng l mởt xĐp x¿.
CĂc vẵ dử dữợi Ơy chựng tọ rơng cĂc Ôo h m suy rởng cĐp mởt ð trản cõ thº bơng nhau hay kh¡c nhau [15].
Vẵ dử 2.1 Choh :R 2 →R xĂc ành bði h(x, y) x 2 sin(1/x) +|y| náu x6= 0,
Khi â,h l Lipschitz àa ph÷ìng t¤i (0, 0) v ta câ tüa Jacobian
∂h(0,0) =Ah(0,0) ={(0, β) :β ∈ {−1,1}}, cụng l tỹa Jacobian Fr²chet [9] Tuy nhiản,
Vẵ dử 2.2 Choh:R 2 →R 2 ữủc ành nghắa bðih(x, y) = (|x| − |y|,|y| − |x|) Khi õ, hl Lipschitz àa ph÷ìng t¤i (0,0) v
1 −1 l tỹa Jacobian những khổng l tỹa Jacobian Fr²chet Hỡn nỳa, xĐp x¿ cĐp mởt l
1 1 công l tüa Jacobian Fr²chet Ta công câ ∂ C h(0,0) = coA h (0,0).
Vẵ dử 2.3 Cho h : R 2 → R 2 nhữ sau h(x, y) = (|x| 1/2 sign(x), y 1/3 +|x|) Khi õ, h l liản tửc những khổng Lipschitz àa phữỡng tÔi (0,0) v xĐp x¿ cĐp mởt
:α >0, β=±1, γ >0 thẳ khĂc tỹa Jacobian Fr²chet
Hai vẵ dử sau Ơy chựng tọ cĂc Ôo h m suy rởng cĐp hai ð trản cụng xÊy ra tẳnh huèng t÷ìng tü [15].
Vẵ dử 2.4 Choh :R 2 → R ành nghắa bði h(x, y) = 1 2 x 2 sign(x) + 1 2 y 2 sign(y) Khi õ, h∈C 1,1 t¤i (0,0) Ta câ h 0 (x, y) = (|x|,|y|)v ba ¤o h m c§p hai kh¡c nhau:
Vẵ dử 2.5 nh xÔ h : R 2 → R cho bði h(x, y) = 2 3 |x| 3/2 + 1 2 y 2 thuởc lợp C 1 những khổng thuởc lợp C 1,1 Do õ ∂ C 2 h khổng tỗn tÔi v hai Ôo h m cĐp hai xĂc ành bði
ành nghắa 2.3 ([15, 17]) Têp A ⊂ L(X, Y) (B ⊂ B(X, X, Y)) ữủc gồi l compact iºm tiằm cên (theo dÂy) (viát tưt p-compact) náu hai iãu kiằn sau Ơy thọa:
(i) mội dÂy bà ch°n theo chuân (Mn) ⊂ A (⊂ B, tữỡng ựng) ãu cõ dÂy con hởi tử iºm;
(ii) náu (Mn)⊂A (⊂B, tữỡng ựng) vợi limkMnk =∞, thẳ (Mn/kMnk) cõ dÂy con hởi tử iºm án mởt giợi hÔn khĂc khổng.
Náu hởi tử iºm trong ành nghắa trản ữủc thay bði hởi tử, thẳ ta nõi rơng A (hay B) là compact tiằm cên (theo dÂy) Lữu ỵ rơng náu Y = R, thẳ hởi tử iºm trũng vợi hởi tử sao-yáu KhĂi niằm compact theo dÂy nõi trản khĂc khĂi niằm p-compact.
Tuy nhiản, trong ã t i n y chúng tổi ch¿ sỷ dửng khĂi niằm p-compact theo dÂy v bọ i thuêt ngỳ theo dÂy Lữu ỵ rơng náuX v Y l hỳu hÔn chiãu, thẳ bĐt ký têpA hay
B nõi trản l p-compact tiằm cên.
Vợi A⊂L(X, Y)v B ⊂B(X, X, Y) ta dũng cĂc kỵ hiằu: p-clA ={P ∈L(X, Y)| ∃(P n )⊂A, P = p-limP n }, p-clB ={M ∈B(X, X, Y)| ∃(M n )⊂B, M = p-limM n },
CĂc iãu kiằn tối ữu cƯn cĐp hai
Chúng ta hÂy nhợ lÔi cĂc khĂi niằm vã nghiằm tối ữu cừa b i toĂn (P) Kỵ hiằu
G=g −1 (−K) v H =h −1 (0) Khi õ, têp chĐp nhên ữủc cừa (P) l
S =G∩H ={x∈X |g(x)∈ −K, h(x) = 0}. iºm x 0 ∈S ữủc gồi l nghiằm yáu àa phữỡng (nghiằm àa phữỡng, tữỡng ựng) cừa (P) náu tỗn tÔi mởt lƠn cênU cừa x0 sao cho, ∀x∈U∩S, f(x)−f(x 0 )6∈ −intC (f(x)−f(x 0 )6∈(−C)\C, t÷ìng ùng).
Têp hủp tĐt cÊ cĂc nghiằm yáu àa phữỡng liên quan đến LWE(f, S) và LE(f, S) sẽ được xem xét Với m ∈ N, x 0 ∈ S được gọi là nghiằm chưc chưn àa phữỡng cấp m, và x 0 ∈ LFE(m, f, S) nếu tồn tại γ > 0 và một lƠn cênU của x 0 sao cho, với mọi x ∈ U ∩ S \ {x 0}, điều kiện tương ứng được thỏa mãn.
(f(x) +C)∩B Y (f(x 0 ), γkx−x 0 k m ) = ∅, hay, t÷ìng ÷ìng, d(f(x)−f(x 0 ),−C)≥γkx−x 0 k m Lữu ỵ rơng, vợip≥m,
Để xây dựng các điều kiện cần thiết cho những nghiệm yếu của bài toán, chúng ta cần thiết lập các điều kiện tối ưu cho bài toán (P) Điều này liên quan đến việc khai niệm dữ liệu chẵn quy metric, theo định nghĩa 3.1 Cho x₀, u ∈ X với u ≠ 0, T ⊂ Y và h: X → Y, ta có thể nói rằng dữ liệu chẵn quy metric theo hướng (x₀, u) đối với T tồn tại một hằng số > 0, ρ > 0 sao cho, với mọi t ∈ (0, ρ) và v ∈ B_X(u, ρ), ta có thể thiết lập các điều kiện cần thiết cho bài toán.
Ta nõi rơng h l dữợi chẵnh quy metric tÔi x 0 ối vợi T náu tỗn tÔi à >0, ρ >0 sao cho, vợi mồi x∈BX(x0, ρ), ta cõ
Lữu ỵ rơng nhiãu khĂi niằm liản hằ án dữợi chẵnh quy metric  ữủc nghiản cựu v sỷ dửng dữợi nhiãu thuêt ngỳ khĂc nhau Trong bài viết này, chúng tôi nghiên cứu các điều kiện (MSR) và (DMSRu) liên quan đến dữ liệu chẵnh quy metric Đặc biệt, khi u khác 0, điều kiện (DMSRu) là một mở rộng của (MSR) Chúng tôi cũng sẽ phân tích trường hợp khi u bằng 0, nơi (DMSR0) tương đương với (MSR) Hơn nữa, khi T là một lỗi, điều kiện (MSR) sẽ là một quỹ cừa của điều kiện chẵnh quy Mangasarian-Fromovitz.
(MF) h 0 (x 0 )X− cone(T −h(x 0 )) =Y Trước hết, chúng tôi thiết lập điều kiện tối ưu cần thiết cho (P) trong các không gian gèc Hình 3.2 Cho các phần trong của C và K là khác trên v x 0 ∈ LWE(f, S) Khi đó, với mọi u∈X, các không gian sau đây thỏa mãn.
Cho (f, g, h) là không gian Fréchet tại x₀, với h là đường chẵn quy metric theo hướng t₀ (x₀, u) đối với T = {0} khi u ≠ 0 Khi đó, (f, g, h)₀(x₀) u ∉ −int[CìK(g(x₀))] {0} Nếu (f, g, h) là chất tại x₀, h là đường chẵn quy metric theo hướng t₀ (x₀, u) đối với T = {0}, và ((f, g, h)₀(x₀), B(f, g, h)(x₀)) là đáp ứng các điều kiện cần thiết cho sự tồn tại của (f, g, h) tại x₀.
B (f,g,h) (x 0 ) l p-compact tiằm cên Náu (f, g, h) 0 (x 0 )u ∈ −[C ìclK(g(x 0 ))\int(C ì K(g(x0)))]ì {0}, thẳ
(a) ho°c tỗn tÔi (M, N, P)∈ p-clB (f,g,h) (x 0 ) sao cho, vợi mồi w∈X, (f, g, h) 0 (x0)w+ 2(M, N, P)(u, u)6∈ −intcone[C+f 0 (x0)u]×IT 2 (−K, g(x0), g 0 (x0)u)× {0}; (b) ho°c tỗn tÔi (M, N, P)∈ p-B (f,g,h) (x 0 )∞\ {0} sao cho
(M, N, P)(u, u)6∈ −intcone[C+f 0 (x0)u]×IT 00 (−K, g(x0), g 0 (x0)u)× {0}. (iii) Chof l khÊ vi Fr²chet tÔi x 0 , (f 0 (x 0 ), B f (x 0 )) l xĐp x¿ cĐp hai cừaf tÔi x 0 vợi
B f (x 0 ) l p-compact tiằm cên, v f 0 (x 0 )u ∈ −bdC (v intK khổng cƯn khĂc rộng), thẳ vợi mồi w∈T 00 (S, x 0 , u) ho°c tỗn tÔi M ∈ p-B f (x 0 ) ∞ sao cho f 0 (x 0 )w+M(u, u)6∈ −intcone[C+f 0 (x 0 )u], ho°c tỗn tÔi M ∈ p-B f (x 0 ) ∞ \ {0} sao cho
Chựng minh (i) Náuu= 0, thẳ kát quÊ l ró r ng GiÊ sỷ phÊn chựng rơng, vợiu∈X khĂc khổng,
Khi xem xét hàm số h(x) tại điểm x0, chúng ta có thể xác định rằng với mỗi u thuộc vào miền nội của tập hợp C×K(g(x0)), tồn tại một khoảng cách nhỏ ε → 0 Đối với mọi n lớn, tồn tại một chuỗi y_n sao cho (x0 + t_n u - y_n)/t_n → 0, đồng nghĩa với việc u_n = (y_n - x0)/t_n → u Điều này cho thấy rằng khi n tăng, x0 + t_n u_n sẽ thuộc vào tập H Hơn nữa, với điều kiện tồn tại ρ > 0, cho mọi ε ∈ (0, ρ) và v ∈ B_X(u, ρ), ta có d(x0 + tv, H) ≤ k * ||h(x0 + tv)||.
Vẳ f(x 0 +t n u n )−f(x 0 ) t n →f 0 (x0)u∈ −intC, g(x 0 +t n u n )−g(x 0 ) t n →g 0 (x0)u∈ −intK(g(x0)), vợi n ừ lợn, ta cõ f(x 0 +t n u n )−f(x 0 )∈ −intC,g(x 0 +t n u n )∈ −intK ⊂ −K,tực l , ta ữủc iãu mƠu thuăn.
(f, g, h) 0 (x 0 )u∈ −[C×clK(g(x 0 ))\int(C×K(g(x 0 )))]× {0}. Vợi t n →0 + , tỗn tÔi (M n , N n , P n )∈B (f,g,h) (x 0 )sao cho, vợi n lợn,
(a) Náu {(M n , N n , P n )} bà ch°n, ta cõ thº giÊ sỷ rơng (M n , N n , P n ) −→ p (M, N, P) ∈ p-clB (f,g,h) (x 0 ) Do â,
(f, g, h)(x 0 +t n u)−(f, g, h)(x 0 )−t n (f, g, h) 0 (x 0 )u t 2 n /2 →2(M, N, P)(u, u). Vợi bĐt ký w∈X, bði giÊ thiát khÊ vi ch°t cừa f, ta cõ f(x 0 +t n u+ 1 2 t 2 n w)−f(x 0 )−t n f 0 (x 0 )u t 2 n /2 = f(x 0 +t n u+ 1 2 t 2 n w)−f(x 0 +t n u) t 2 n /2
+f(x 0 +t n u)−f(x 0 )−t n f 0 (x 0 )u t 2 n /2 →f 0 (x0)w+ 2M(u, u). Tữỡng tỹ, ta Ôt ữủc g(x 0 +t n u+ 1 2 t 2 n w)−g(x 0 )−t n g 0 (x 0 )u t 2 n /2 →g 0 (x0)w+ 2N(u, u), h(x0+tnu+ 1 2 t 2 n w)−h(x0)−tnh 0 (x0)u t 2 n /2 →h 0 (x 0 )w+ 2P(u, u). Gi£ sû
Vẳh(x 0 ) = 0v h 0 (x 0 )u= 0, iãu n y suy ra rơngh(x 0 +t n u+ 1 2 t 2 n w)/ 1 2 t 2 n →0 Bði tẵnh dữợi chẵnh quy metric cừah, vợinlợn tỗn tÔiy n ∈Hsao cho(x 0 +t n u+ 1 2 t 2 n w−y n )/ 1 2 t 2 n →
0 Do â, wn:= (yn−x0−tnu)/ 1 2 t 2 n →wv x0+tnu+ 1 2 t 2 n wn∈H. M°t khĂc, tẵnh liản tửc Lipschitz cừaf gƯn x0 v (1) suy ra rơng f(x 0 +t n u+ 1 2 t 2 n w n )−f(x 0 )−t n f 0 (x 0 )u t 2 n /2 = f(x 0 +t n u+ 1 2 t 2 n w n )−f(x 0 +t n u+ 1 2 t 2 n w) t 2 n /2
∈ −intcone[C+f 0 (x0)u] (2) T÷ìng tü, ta câ g(x 0 +t n u+ 1 2 t 2 n w n )−g(x 0 )−t n g 0 (x 0 )u t 2 n /2 →g 0 (x0)w+ 2N(u, u)
VẳIT(−intC, f 0 (x0)u) =−intcone(C+f 0 (x0)u), (2) suy ra rơng, vợin lợn, f 0 (x 0 )u+1
2t n f(x 0 +t n u+ 1 2 t 2 n w n )−f(x 0 )−t n f 0 (x 0 )u t 2 n /2 ∈ −intC, v vẳ thá f(x 0 +t n u+ 1 2 t 2 n w n )−f(x 0 )∈ −intC (4) Tữỡng tỹ, bði (3) v ành nghắa cừaIT 2 , ta cõ, vợi n ừ lợn, g(x 0 ) +t n g 0 (x 0 )u+1
2t 2 n g(x0+tnu+ 1 2 t 2 n wn)−g(x0)−tng 0 (x0)u t 2 n /2 ∈ −K, v vẳ vêy g(x 0 +t n u n + 1 2 t 2 n w n )∈ −K (5) CĂc cổng thực (4) v (5) mƠu thuăn vợi giÊ thiát x 0 l nghiằm yáu àa phữỡng.
(b) Náu{(M n , N n , P n )} khổng bà ch°n, ta giÊ sỷ rơngα n :=k(M n , N n , P n )k → ∞v 1 α n (Mn, Nn, Pn)−→ p (M, N, P)∈ p-B (f,g,h) (x0)∞\ {0} Do â,
(M, N, P)(u, u)∈ −intcone[C+f 0 (x 0 )u]×IT 00 (−K, g(x 0 ), g 0 (x 0 )u)× {0} (6) Vẳ(f, g) 0 (x 0 )u∈ −[CìclK(g(x 0 ))\int(CìK(g(x 0 )))], ta cõ ho°cf 0 (x 0 )u∈ −bdC ho°c g 0 (x 0 )u∈ −bdK(g(x 0 )) Vẳ thá, bði Mằnh ã 1.3 (iv) v 1.4 (ii), ho°cM(u, u)6= 0 ho°c N(u, u)6= 0, v do â α n t n →0 +
Vẳ h(x0) = 0 v h 0 (x0)u = 0, ta cõ h(x0 +tnu)/αnt 2 n → 0 Bði giÊ thiát dữợi chẵnh quy metric cừah, vợi n lợn, tỗn tÔi y n ∈H sao cho (x 0 +t n u−y n )/α n t 2 n →0. °tu n := (y n −x 0 )/t n , ta câ(u n −u)/α n t n →0 v x 0 +t n u n ∈H. M°t khĂc, vẳ f l Lipschitz gƯn x 0 , (6) dăn án f(x 0 +t n u n )−f(x 0 )−t n f 0 (x 0 )u α n t 2 n = f(x 0 +t n u n )−f(x 0 +t n u) α n t 2 n
+f(x 0 +t n u)−f(x 0 )−t n f 0 (x 0 )u α n t 2 n →M(u, u)∈ −intcone[C+f 0 (x 0 )u] (7) T÷ìng tü, ta câ g(x 0 +t n u n )−g(x 0 )−t n g 0 (x 0 )u αnt 2 n →N(u, u)∈IT 00 (−K, g(x 0 ), g 0 (x 0 )u) (8) VẳIT(−intC, f 0 (x 0 )u) =−intcone(C+f 0 (x 0 )u), tứ (7) ta ữủc, vợin lợn, f 0 (x 0 )u+α n t n f(x 0 +t n u n )−f(x 0 )−t n f 0 (x 0 )u α n t 2 n ∈ −intC, v vẳ thá f(x 0 +t n u n )−f(x 0 )∈ −intC (9)
Tữỡng tỹ, bði (8) v ành nghắa cừaIT 00 , ta cõ, vợi n lợn, g(x 0 ) +t n g 0 (x 0 )u+1
Cổng thực là một khái niệm quan trọng trong lý thuyết mầu thuẫn Kết quả nghiên cứu cho thấy rằng, thông qua các nhân tỷ Lagrange, chúng ta có thể suy ra được những mối liên hệ giữa các thành phần trong hệ thống Việc áp dụng các lý thuyết này giúp chúng ta hiểu rõ hơn về cấu trúc và tính chất của các mối quan hệ trong không gian.
Bờ ã 3.3 Cho E là không gian Banach, F là không gian chuẩn, với (y₀, z₀) ∈ F × G, và B là tập con lồi của F với intB ≠ ∅ Cho ϕ: E → F và ψ: E → G là các ánh xạ liên tục Giả sử ràng, với mọi x ∈ E,
(ϕ, ψ)(x) + (y 0 , z 0 )6∈ −intB× {0}. Náuψ(E) = G, thẳ tỗn tÔi (y ∗ , z ∗ )∈F ∗ ìG ∗ vợi y ∗ 6= 0 sao cho, vợi mồi b ∈B, y ∗ ◦ϕ+z ∗ ◦ψ = 0, hy ∗ , y 0 i+hz ∗ , z 0 i+hy ∗ , bi ≥0.
Thảm nỳa náuBl nõn, thẳ bĐt ¯ng thực trản trð th nhy ∗ ∈B ∗ v hy ∗ , y0i+hz ∗ , z0i ≥0. Chựng minh Ró r ng têp hủp
A = {(y, z) ∈ F × G | ∃x ∈ E : y − ϕ(x) ∈ y₀ + intB, z − ψ(x) = z₀} Với b₀ ∈ intB, ta có (b₀ + y₀, z₀) ∈ intA Tồn tại một lân cận U của b₀ trong F sao cho b₀ + U + U ⊂ intB, và tồn tại r > 0 sao cho −ϕ(x) ∈ U với mọi x ∈ B_E(0, r) Về ψ, tồn tại một lân cận V của z₀ trong G sao cho V ⊂ ψ(B_E(0, r)) Chứng minh rằng (b₀ + y₀ + U) × (z₀ + V) ⊂ A, với y ∈ U và z ∈ V Khi đó, tồn tại x ∈ B_E(0, r) sao cho z = ψ(x) Do đó, b₀ + y₀ + y − ϕ(x) ∈ b₀ + y₀ + U + U ⊆ y₀ + intB, dẫn đến (b₀ + y₀ + y, z₀ + z) ∈ A và (b₀ + y₀, z₀) ∈ intA.
Bði ành lỵ tĂch thổng thữớng, tỗn tÔi(y ∗ , z ∗ ) ∈F ∗ ìG ∗ \ {(0,0)} sao cho, vợi mồi (y, z)∈A, hy ∗ , yi+hz ∗ , zi ≥0 (11)
Vợi moi x∈E v b ∈ intB, ta cõ(y, z) := (ϕ(x) +b+y 0 , ψ(x) +z 0 )∈A Tứ (11) ta suy ra hy ∗ , ϕ(x)i+hz ∗ , ψ(x)i+hy ∗ , y 0 i+hz ∗ , z 0 i+hy ∗ , bi ≥0.
Do õ, vẳ ϕ v ψ l tuyán tẵnh, y ∗ ◦ϕ+z ∗ ◦ψ = 0, hy ∗ , y 0 i+hz ∗ , z 0 i+hy ∗ , bi ≥0,∀b ∈B. Náuy ∗ = 0, thẳ ¯ng thực trản dăn án z ∗ = 0, mởt iãu mƠu thuăn.
NáuB l nõn, tứ bĐt ¯ng thực trản ta suy ra y ∗ ∈B ∗ , v do õ hy ∗ , y0i+hz ∗ , z0i ≥
Ta dũng kỵ hiằu sau Ơy cho têp cĂc nhƠn tỷ Fritz John Λ(x 0 ) :={(c ∗ , k ∗ , h ∗ )∈X ∗ ×Y ∗ ×Z ∗ : (c ∗ , k ∗ , h ∗ )6= (0,0,0), c ∗ ◦f 0 (x 0 ) +k ∗ ◦g 0 (x 0 )
+ h ∗ ◦h 0 (x 0 ) = 0, c ∗ ∈C ∗ , k ∗ ∈N(−K, g(x 0 ))}. ành lỵ 3.4 Vợi b i toĂn (P), cho intC v intK l khĂc rộng v x0 ∈ LWE(f, S) Khi õ, vợi mồi u∈X, cĂc kh¯ng ành sau Ơy thọa.
(i) Chof, g, hl khÊ vi Fr²chet tÔix 0 , v h 0 (x 0 )(X) =W Khi õ, tỗn tÔi(c ∗ , k ∗ , h ∗ )∈ Λ(x0) vợi (c ∗ , k ∗ )6= (0,0);
(ii) Chof, g, h l kh£ vi ch°t t¤ix 0 ,h 0 (x 0 )(X) =W, ((f, g, h) 0 (x 0 ), B (f,g,h) (x 0 ))l x§p x¿ cĐp hai cừa(f, g, h)tÔix 0 vợiB (f,g,h) (x 0 )l p-compact tiằm cên, v A 00 (−K, g(x 0 ), g 0 (x 0 )u) khĂc rộng Náu (f, g, h) 0 (x0)u∈ −[CìclK(g(x0))\int(CìK(g(x0)))]ì {0}, thẳ
Trong bài viết này, chúng ta xem xét các điều kiện tồn tại cho các yếu tố (M, N, P) thuộc p-clB (f,g,h) tại điểm x₀, cùng với các tham số (c∗, k∗, h∗) thuộc Λ(x₀) với điều kiện c∗ và k∗ không đồng thời bằng 0 Cụ thể, chúng ta yêu cầu rằng hàm hc∗, M(u, u)i + hk∗, N(u, u)i + hh∗, P(u, u)i lớn hơn hoặc bằng 1/2 sup k∈A² (−K, g(x₀), g'(x₀)u)hk∗, ki Hơn nữa, chúng ta cũng thảo luận về sự tồn tại của các yếu tố (M, N, P) thuộc p-B (f,g,h) tại điểm x₀ không bằng 0 và các tham số (c∗, k∗, h∗) thuộc C∗ với điều kiện K(g(x₀))∗.
W ∗ \ {(0,0,0)} vợi hc ∗ , f 0 (x 0 )ui=hk ∗ , g 0 (x 0 )ui= 0 sao cho hc ∗ , M(u, u)i+hk ∗ , N(u, u)i+hh ∗ , P(u, u)i ≥0, v (c ∗ , k ∗ )6= (0,0) náu h = 0. (iii) Cho f l kh£ vi Fr²chet t¤i x 0 , (f 0 (x 0 ), B f (x 0 )) l x§p x¿ c§p hai cõa f t¤i x 0 vợi B f (x 0 ) l p-compact tiằm cên, v f 0 (x 0 )u∈ −bdC (v intK khổng cƯn khĂc rộng).
Khi õ, vợi mồi w ∈ T 00 (S, x 0 , u), ho°c tỗn tÔi M ∈ p-B f (x 0 )∞ v c ∗ ∈ C ∗ \ {0} vợi hc ∗ , f 0 (x 0 )ui= 0 sao cho hc ∗ , f 0 (x 0 )w+M(u, u)i ≥0, ho°c tỗn tÔi M ∈ p-B f (x 0 )∞\ {0} v c ∗ ∈C ∗ \ {0} vợi hc ∗ , f 0 (x 0 )ui= 0 sao cho hc ∗ , M(u, u)i ≥0.
Chựng minh (i) Bði ành lỵ 3.2 (i), Ăp dửng Bờ ã 3.3 vợiE =X, G=W, F =Y ìZ, ϕ = (f 0 (x 0 ), g 0 (x 0 )), ψ = h 0 (x 0 ), (y 0 , z 0 ) = (0,0), v B = CìK(g(x 0 )), ta cõ thº tẳm ữủc (c ∗ , k ∗ ) ∈ [C ìK(g(x 0 ))] ∗ =C ∗ ìN(−K, g(x 0 )) vợi (c ∗ , k ∗ ) 6= (0,0) v h ∗ ∈ W ∗ sao cho c ∗ ◦f 0 (x 0 ) +k ∗ ◦g 0 (x 0 ) +h ∗ ◦h 0 (x 0 ) = 0.
(ii) (a) GiÊ sỷ A 2 (−K, g(x 0 ), g 0 (x 0 )u) 6= ∅ (náu khổng, kh¯ng ành l tƯm thữớng).
Theo điều 3.2 (ii) (a), tồn tại (M, N, P) ∈ p-clB (f,g,h) (x₀) sao cho, với mỗi w ∈ X, (f, g, h)₀ (x₀)w + 2(M, N, P)(u, u) không thuộc −intcone[C + f₀(x₀)u] × IT₂(−K, g(x₀), g₀(x₀)u) × {0} Theo điều 3.3 với E = X, G = W, F = Y, Z, ϕ = (f₀(x₀), g₀(x₀)), ψ = h₀(x₀), y₀ = 2(M, N)(u, u), z₀ = 2P(u, u), B = cone[C + f₀(x₀)u] × [−IT₂(−K, g(x₀), g₀(x₀)u)], cho (c*, k*, h*) ∈ X* × Y* × Z* với c* ◦ f₀(x₀) + k* ◦ g₀(x₀) + h* ◦ h₀(x₀) = 0 và (c*, k*) ≠ (0, 0) sao cho, với mỗi c ∈ cone[C + f₀(x₀)u] và k ∈ −IT₂(−K, g(x₀), g₀(x₀)u), có hc*, 2M(u, u)i + hk*, 2N(u, u)i + hh*, 2P(u, u)i + hc*, ci + hk*, ki ≥ 0 Với cone[C + f₀(x₀)u] là nón, (12) chỉ ra rằng c*, ci ≥ 0, với mỗi c ∈ cone[C + f₀(x₀)u] và có thác* ∈ C* với hc*, f₀(x₀)ui = 0 Đặt α := hc*, 2M(u, u)i + hk*, 2N(u, u)i + hh*, 2P(u, u)i, từ (12) ta có hk*, ki ≤ α với mỗi k ∈ IT₂(−K, g(x₀), g₀(x₀)u).
A 2 (−K, g(x 0 ), g 0 (x 0 )u) (xem Mằnh ã 1.3 (v)) iãu n y cũng vợi (12) suy ra rơng hc ∗ , M(u, u)i+hk ∗ , N(u, u)i+hh ∗ , P(u, u)i ≥ 1 2 sup k∈A 2 (−K,g(x 0 ),g 0 (x 0 )u)hk ∗ , ki. º thĐy rơng (c ∗ , k ∗ , h ∗ )∈Λ(x 0 ), ta quan sĂt Mằnh ã 3.1 trong [5]
Đối với mọi k ∈ A 2 (−K, g(x 0), g 0 (x 0)u) và k 1 ∈ T(T(−K, g(x 0)), g 0 (x 0)u), điều kiện hk ∗ , k+k 1 i ≤α được thỏa mãn Nếu VẳT(T(−K, g(x 0)), g 0 (x 0)u)l nõn, suy ra rằng k ∗ ∈ −[T(T(−K, g(x 0)), g 0 (x 0)u)] ∗ Với giả thiết c ∗ = 0, tồn tại (y, z) ∈ Y × Z và x ∈ X cùng với k ∈ T(T(−K, g(x 0)), g 0 (x 0)u) sao cho (g, h) 0 (x 0)x−(k,0) = (y, z) Điều này dẫn đến h(k ∗ , h ∗ ),(y, z)i ≥ 0, với (c ∗ , k ∗ , h ∗ ) ∈ Λ(x 0).
(b) Bði ành lỵ 3.2 (ii) (b), tỗn tÔi (M, N, P)∈ p-B (f,g,h) (x 0 )∞\ {0}sao cho, (M, N, P)(u, u)6∈ −intcone[C+f 0 (x 0 )u]×IT 00 (−K, g(x 0 ), g 0 (x 0 )u)× {0}.
Ta cõ hai trữớng hủp sau.
NáuP(u, u) = 0, thỏa mãn điều kiện tồn tại (c ∗ , k ∗)∈Y ∗ ìZ ∗ \{0,0} sao cho với mọi w∈ intcone[C+f 0 (x 0 )u] và k ∈ −IT 00 (−K, g(x 0 ), g 0 (x 0 )u), có hc ∗ , M(u, u)i+hk ∗ , N(u, u)i+hc ∗ , wi+hk ∗ , ki ≥0 Đặc biệt, intcone[C+f 0 (x 0 )u] v −IT 00 (−K, g(x 0 ), g 0 (x 0 )u) là các điều kiện cần thiết, và c ∗ ∈C ∗ với hc ∗ , f 0 (x0)ui = 0, cũng như hk ∗ , ki ≤ 0 cho mọi k ∈ IT 00 (−K, g(x0), g 0 (x0)u) Hơn nữa, nếu k ∗ ∈K(g(x 0 )) ∗ và hk ∗ , g 0 (x 0 )ui= 0, thì từ (13) ta có hc ∗ , M(u, u)i+hk ∗ , N(u, u)i ≥0 Cuối cùng, Chồnh ∗ ∈W ∗ tùy thuộc vào các điều kiện đã nêu, ta đạt được kết quả mong muốn.
•NáuP(u, u)6= 0, thẳ ró r ng rơng tỗn tÔih ∗ ∈W ∗ khĂc khổng sao chohh ∗ , P(u, u)i ≥
0 Vợi (c ∗ , k ∗ ) = (0,0), ta cõ kát luên.
(iii) Kát quÊ ữủc suy ra tứ ành lỵ 3.2 (iii) v ành lỵ tĂch thổng thữớng
Kát quÊ sau Ơy l mởt hằ quÊ trỹc tiáp cừa ành lỵ 3.4.
Hằ quÊ 3.5 Vợi b i toĂn (P), cho f, g v h l khÊ vi Fr²chet cĐp hai tÔi x 0 v h 0 (x0)(X) =W Náu intC v intK l khĂc rộng v x0 ∈LWE(f, S), thẳ (i) tỗn tÔi (c ∗ , k ∗ , h ∗ )∈Λ(x0) sao cho (c ∗ , k ∗ )6= (0,0);
Trong bài viết này, chúng ta xem xét các điều kiện cần thiết cho sự tồn tại của các giá trị tối ưu trong một bài toán tối ưu hóa Cụ thể, tồn tại các tham số (c*, k*, h*) thuộc tập hợp Λ(x0) với điều kiện (c*, k*) khác (0,0), sao cho các biểu thức liên quan đến đạo hàm bậc hai của các hàm f, g và h đạt được giá trị lớn hơn hoặc bằng supremum của một hàm khác Nếu f' (x0)u nằm trong miền giới hạn và tồn tại v trong không gian T00(S, x0, u), thì cũng tồn tại c* thuộc C* mà không bằng 0, thỏa mãn điều kiện liên quan đến đạo hàm bậc nhất của f Cuối cùng, nếu các điều kiện Slater được thỏa mãn, thì các điều kiện này sẽ dẫn đến kết quả rõ ràng trong ngữ cảnh của lý thuyết tối ưu.
Bài viết đề cập đến việc nghiên cứu không gian metric x²t 3.6 và các khía cạnh liên quan đến bề mặt thảm v o ành lỵ 3.4 Nó nhấn mạnh sự tồn tại của Fréchet quanh điểm x₀ và mối quan hệ giữa các hàm (f, g) tại điểm này Ngoài ra, bài viết cũng chỉ ra rằng nếu g₀(x₀)w thuộc vào một tập hợp nhất định, thì các điều kiện liên quan đến metric và các yếu tố khác sẽ được xem xét kỹ lưỡng để đảm bảo tính chính xác trong nghiên cứu.
T 00 (−K, g(x 0 ), g 0 (x 0 )u) v h 0 (x 0 )w = 0, thẳ tỗn tÔi c ∗ ∈ C ∗ \ {0} vợi hc ∗ , f 0 (x 0 )ui = 0 sao cho hc ∗ , f 0 (x 0 )wi ≥ 0 Thêt vêy, Ăp dửng Mằnh ã 3.7 dữợi Ơy vợi (g, h) thay bði g, v −Kì {0} thay bði −K, ta cõ, vợi S= (g, h) −1 (−K ì {0}) = G∩H,
={w∈X |g 0 (x 0 )w∈T 00 (−K, g(x 0 ), g 0 (x 0 )u), h 0 (x 0 )w= 0}. (ii) M°c dũ biºu thựcsup k∈A 2 (−K,g(x 0 ),g 0 (x 0 )u)hk ∗ , ki l khổng dữỡng, ta ữa ra lới cưt nghắa ỡn giÊn vẳ tƯm quan trồng cừa nõ Bði Mằnh ã 1.3 (i), ta cõ
CĂc iãu kiằn tối ữu ừ cĐp hai
Trong phần này, chúng ta xem xét bài toán (P) với h = 0 và các điều kiện liên quan đến C, K, cũng như tính chất của hàm số f và g Đối với bài toán (P) với h = 0, giá trị riêng X là hữu hạn và f, g là các hàm số liên tục Fréchet tại 0 ∈ S Giá trị riêng của hàm số f tại x₀ và biên độ B f (x₀) cùng với giá trị riêng của g tại x₀ và biên độ B g (x₀) là các yếu tố quan trọng để xác định sự tương ứng giữa f và g, trong đó x₀ là điểm tham chiếu và các phần thuộc về p-compact được xem xét.
Khi õ, mởt trong cĂc iãu kiằn sau l ừ cho x 0 ∈ LFE(2, f, S). (i) ∀u∈S X , ∃(c ∗ , k ∗ )∈C ∗ ×K(g(x 0 )) ∗ , hc ∗ , f 0 (x 0 )ui+hk ∗ , g 0 (x 0 )ui>0. (ii) Vợi mồi u∈S X ∩T(S, x 0 ) thọa f 0 (x 0 )u∈ −C, ta cõ (a)∀w∈T 2 (S, x 0 , u)∩u ⊥ ,∀(M, N)∈p-clB (f,g) (x 0 ):g 0 (x 0 )w+2N(u, u)∈T 2 (−K, g(x 0 ), g 0 (x 0 )u),
∃(c ∗ , k ∗ )∈Λ 1 (x 0 ), hc ∗ ,2M(u, u)i+hk ∗ ,2N(u, u)i>hk ∗ , g 0 (x 0 )w+ 2N(u, u)i, v ∀(M, N) ∈ p-B (f,g) (x 0 )∞ \ {0}: N(u, u) ∈ T 00 (−K, g(x 0 ), g 0 (x 0 )u), ∃c ∗ ∈ C ∗ \ {0}: hc ∗ , f 0 (x0)ui= 0, hc ∗ , M(u, u)i>0; (b) ∀w∈T 00 (S, x 0 , u)∩u ⊥ \ {0}, ∀M ∈ p-B f (x 0 )∞, ∃c ∗ ∈C ∗ \ {0}, hc ∗ , f 0 (x0)ui= 0, hc ∗ , f 0 (x0)w+M(u, u)i>0, v ∀M ∈ p-B f (x 0 )∞\ {0}, ∃c ∗ ∈C ∗ \ {0}, hc ∗ , f 0 (x 0 )ui= 0, hc ∗ , M(u, u)i>0.
Chựng minh (i) Kát quÊ ữủc suy ra tứ ành lỵ 3.3 cừa [18].
Giá trị sỉ phân chứng rỗng tồn tại trong tập hợp \( S \cap B_X(x_0, \frac{1}{n}) \setminus \{x_0\} \) và có \( c_n \in C \) sao cho \( f(x_n) - f(x_0) + c_n \in B_Y(0, \frac{1}{n^{1/t^2_n}}) \) Khi \( n = k x_n - x_0 k \to 0 \), ta có thể chứng minh rằng giá trị sỉ rỗng \( (x_n - x_0)/t_n \to u \in T(S, x_0) \cap S_X \) Chia (21) bởi \( t_n \) và chuyển qua giới hạn, ta có \( f'(x_0)u \in -C \) Một khía cạnh khác, từ định nghĩa tại Mành 1.5, chỉ cần xác định hai trường hợp hợp sau đây.
Trữớng hủp mởt: Tỗn tÔi w∈T 2 (S, x0, u)∩u ⊥ vợi wn := (xn−x0−tnu)/ 1 2 t 2 n →w. Vợi n lợn, tỗn tÔi (Mn, Nn)∈B (f,g) (x0)sao cho
(f, g)(x n )−(f, g)(x 0 ) = (f, g) 0 (x 0 )(x n −x 0 ) + (M n , N n )(x n −x 0 , x n −x 0 ) +o(t 2 n ). Náu{(M n , N n )}bà ch°n, giÊ sỷ rơng (M n , N n )−→ p (M, N)∈p-clB (f,g) (x 0 ) Khi õ,
(f, g)(x n )−(f, g)(x 0 )−t n (f, g) 0 (x 0 )u t 2 n /2 →(f, g) 0 (x 0 )w+ 2(M, N)(u, u), Vẳ g(x n ) ∈ −K, iãu n y dăn án g 0 (x 0 )w+ 2N(u, u) ∈ T 2 (−K, g(x 0 ), g 0 (x 0 )u) v do õ, g 0 (x0)u∈T(−K, g(x0)) Bði giÊ thiát (ii) (a), tỗn tÔi (c ∗ , k ∗ )∈Λ1(x0) thọa hc ∗ ,2M(u, u)i+hk ∗ ,2N(u, u)i>hk ∗ , g 0 (x 0 )w+ 2N(u, u)i, v vẳ thá hc ∗ , yi>0. M°t khĂc, tứ (21) suy ra rơng f(x n )−f(x 0 )−t n f 0 (x 0 )u t 2 n /2 +c n +t n f 0 (x 0 )u t 2 n /2 →0.
Do õ, y ∈ − clcone(C +f 0 (x 0 )u) Vẳ f 0 (x 0 )u ∈ −C, g 0 (x 0 )u ∈ T(−K, g(x 0 )) v c ∗ ◦ f 0 (x 0 ) +k ∗ ◦g 0 (x 0 ) = 0, ta suy rahc ∗ , f 0 (x 0 )ui= 0, v vẳ vêy c ∗ ∈[clcone(C+f 0 (x 0 )u)] ∗ Nhử thá, hc ∗ , yi ≤0, mởt iãu mƠu thuăn.
Náu{(M n , N n )}khổng bà ch°n, giÊ sỷ rơngα n :=k(M n , N n )k → ∞v 1 α n (M n , N n )−→ p (M, N)∈ p-B (f,g) (x 0 )∞\ {0} Do â,
Náu M(u, u) = 0 v N(u, u) = 0 ∈ T 00 (−K, g(x 0 ), g 0 (x 0 )u), bði giÊ thiát (ii) (a), tỗn tÔi c ∗ ∈ C ∗ \ {0} vợi hc ∗ , f 0 (x 0 )ui = 0 thọa hc ∗ , M(u, u)i > 0, mởt iãu mƠu thuăn.
Náu(M, N)(u, u)6= 0, thẳα n t n →0 + Bði (22), ta cõ N(u, u)∈T 00 (−K, g(x 0 ), g 0 (x 0 )u). Bði giÊ thiát (ii) (a) lƯn nỳa, tỗn tÔi c ∗ ∈ C ∗ \ {0} vợi hc ∗ , f 0 (x 0 )ui = 0, tực l , c ∗ ∈ [clcone(C+f 0 (x 0 )u)] ∗ , thọa hc ∗ , M(u, u)i>0.
M°t khĂc, (21) dăn án f(x n )−f(x 0 )−t n f 0 (x 0 )u αnt 2 n +c n +t n f 0 (x 0 )u αnt 2 n →0, v vẳ thá M(u, u) ∈ −clcone(C +f 0 (x 0 )u) Do õ, hc ∗ , M(u, u)i ≤ 0, mởt iãu mƠu thu¨n.
Trong trường hợp hủp hai, tồn tại một chuỗi \( t_n \) sao cho \( t_n/r_n \to 0 \) và \( w_n := x_n - x_0 - t_n u t_n r_n/2 \to w \in T_{00}(S, x_0, u) \cap u^\perp \setminus \{0\} \) Đối với ánh nghĩa của \( B_f(x_0) \), với \( n \) lớn, tồn tại \( M_n \in B_f(x_0) \) thỏa mãn \( f(x_n) - f(x_0) - t_n f'(x_0) u t_n r_n/2 = f'(x_0) w_n + (2t_n r_n) M_n(u + \frac{1}{2} r_n w_n, u + \frac{1}{2} r_n w_n) + o(t_n^2) t_n r_n/2 \) Bằng cách sử dụng các điều kiện cần thiết, ta có thể xem xét ba trường hợp hủp sau đây.
• ( 2t r n n)Mn →0 Khi õ, (23) suy ra rơng f(x n )−f(x 0 )−t n f 0 (x 0 )u t n r n /2 →f 0 (x0)w.
Tứ (21) ta cõ f(x n )−f(x 0 )−t n f 0 (x 0 )u t n r n +c n +t n f 0 (x 0 )u t n r n →0, v do õf 0 (x 0 )w∈ −clcone(C+f 0 (x 0 )u), mƠu thuăn vợi giÊ thiát (ii) (b) vợi M = 0.
• k( 2t r n n)M n k →a >0 Khi â, kM n k → ∞v t n kM n k →0 Do â, M n /kM n k
→M ∈ p-B f (x 0 )∞\ {0}, v ta câ a(f(x n )−f(x 0 )−t n f 0 (x 0 )u) t 2 n kM n k →f 0 (x 0 )w+aM(u, u). Tữỡng tỹ nhữ trản, (21) dăn án iãu mƠu thuăn f 0 (x0)w+aM(u, u) ∈ −clcone(C+ f 0 (x 0 )u).
→M ∈ p-B f (x 0 )∞\ {0}, v ta ữủc f(x n )−f(x 0 )−t n f 0 (x 0 )u t 2 n kM n k →M(u, u). Tữỡng tỹ nhữ trữợc, ta i án iãu khổng thº ữủcM(u, u)∈ −clcone(C+f 0 (x 0 )u)
Nhên x²t 4.2 (i) iãu kiằn (ii)(a) trong ành lỵ 4.1 ró r ng ữủc suy ra bði iãu kiằn sau
Trong bài viết này, chúng ta xem xét điều kiện tồn tại cho các cặp (M, N) thuộc p-clB (f, g) tại điểm x₀ Cụ thể, có tồn tại các cặp (c*, k*) thuộc Λ₁ (x₀) sao cho tổng hợp của các yếu tố hc*, M(u, u)i và hk*, N(u, u)i lớn hơn 1/2 sup k∈T₂ (−K, g(x₀), g'(x₀)u)hk*, ki Hơn nữa, với mọi (M, N) thuộc p-B (f, g) tại x₀, tồn tại c* thuộc C* \ {0} sao cho hc*, f'(x₀)ui = 0 và hc*, M(u, u)i > 0 Ngoài ra, điều kiện GiÊ sỷ rơnggl khÊ vi Fr²chet quanh x₀ với g' lớn hơn 0 cũng được đề cập, cho thấy rằng nếu tồn tại một yếu tố trong T₀₀ (S, x₀, u)∩u⊥ \{0}, thì điều kiện này sẽ dẫn đến một mối quan hệ với các yếu tố khác trong không gian.
Thêt vêy, náu w∈T 00 (S, x 0 , u), thẳ bði Mằnh ã 1.1, g 0 (x 0 )w∈T 00 (−K, g(x 0 ), g 0 (x 0 )u)⊂ clcone[cone(−K−g(x 0 ))−g 0 (x 0 )u]. Hằ quÊ sau Ơy ữủc suy ra trỹc tiáp tứ ành lỵ 4.1 vợi (f, g) l khÊ vi Fr²chet cĐp hai t¤ix 0
Hằ quÊ 4.3 Vợi b i toĂn (P) vợi h = 0, giÊ sỷ rơng X l hỳu hÔn chiãu v f v g l khÊ vi Fr²chet cĐp hai tÔi x 0 ∈ S Khi õ, mởt trong cĂc iãu kiằn sau l ừ cho x 0 ∈ LFE(2, f, S).
Trong bài viết này, chúng ta xem xét một số điều kiện liên quan đến các yếu tố trong không gian S Đối với một điểm u thuộc S X, tồn tại các giá trị (c ∗, k ∗) thuộc C ∗ sao cho điều kiện hc ∗, f 0 (x 0)ui + hk ∗, g 0 (x 0)ui > 0 được thỏa mãn Khi u thuộc giao của S X và T(S, x 0), với f 0 (x 0)u nằm trong -C, chúng ta có các kết quả sau: (a) Đối với mọi w thuộc T 2(S, x 0, u) và u ⊥, điều kiện g 0 (x 0)w + g 00 (x 0)(u, u) thuộc T 2(-K, g(x 0), g 0 (x 0)u) và tồn tại (c ∗, k ∗) thuộc Λ 1(x 0) sao cho hc ∗, f 0 (x 0)w + f 00 (x 0)(u, u)i > 0 (b) Đối với mọi w thuộc T 00(S, x 0, u) và u ⊥ \ {0}, tồn tại c ∗ thuộc C ∗ \ {0} sao cho hc ∗, f 0 (x 0)ui = 0 và hc ∗, f 0 (x 0)wi > 0 Hệ quả 4.3 (ii) liên quan đến các điều kiện trong [25] và [7] cho các không gian Y và Z.
CĂc Hằ quÊ 4.4 v 4.5 dữợi Ơy ữủc suy ra ngay tực khưc tứ ành lỵ 4.1 dũng Hessian suy rởng Clarke v tỹa Hessian Jeyakumar-Luc, tữỡng ựng.
Hằ quÊ 4.4 Vợi b i toĂn (P) vợi h = 0, giÊ sỷ rơng X, Y, Z l hỳu hÔn chiãu v (f, g) thuởc lợp C 1,1 tÔi x 0 ∈ S Khi õ, mởt trong cĂc iãu kiằn sau l ừ cho x 0 ∈
LFE(2, f, S). (i) Vợi mồi u∈S X , tỗn tÔi (c ∗ , k ∗ )∈C ∗ ìK(g(x 0 )) ∗ sao cho hc ∗ , f 0 (x 0 )ui+hk ∗ , g 0 (x 0 )ui>0. (ii) Vợi mồi u∈S X ∩T(S, x 0 ) vợi f 0 (x 0 )u∈ −C, ta cõ
(b) ∀w∈T 00 (S, x0, u)∩u ⊥ \ {0}, ∃c ∗ ∈C ∗ \ {0}: hc ∗ , f 0 (x0)ui= 0, hc ∗ , f 0 (x 0 )wi>0. Hằ quÊ 4.4 (ii) mð rởng Hằ quÊ 8 cừa [7].
Hằ quÊ 4.5 Vợi b i toĂn (P) vợi h= 0, giÊ sỷ rơng X, Y, Z l hỳu hÔn chiãu v (f, g) thuởc lợp C 1 tÔi x 0 ∈ S GiÊ sỷ hỡn nỳa f v g cõ cĂc Ănh xÔ tỹa Hessian ∂ 2 f(.) v
Khi xem xét x0 thuộc LFE(2, f, S), có hai điều kiện quan trọng cần lưu ý Thứ nhất, với mọi u ∈ S_X, tồn tại cặp (c*, k*) ∈ C* sao cho (K(g(x0)))* và kết quả của hc*, f0(x0)ui + hk*, g0(x0)ui > 0 Thứ hai, đối với mọi u ∈ S_X ∩ T(S, x0) với f0(x0)u ∈ -C, ta có những kết luận quan trọng.
∃(c ∗ , k ∗ )∈Λ 1 (x 0 ), hc ∗ , M(u, u)i+hk ∗ , N(u, u)i>hk ∗ , g 0 (x 0 )w+N(u, u)i, v ∀(M, N) ∈ co∂ 2 (f, g)(x 0 )∞\ {0}: N(u, u)∈T 00 (−K, g(x 0 ), g 0 (x 0 )u), ∃c ∗ ∈C ∗ \ {0}: hc ∗ , f 0 (x 0 )ui= 0, hc ∗ , M(u, u)i>0; (b) ∀w∈T 00 (S, x 0 , u)∩u ⊥ \ {0}, ∀M ∈co∂ 2 f(x 0 )∞, ∃c ∗ ∈C ∗ \ {0}: hc ∗ , f 0 (x 0 )ui= 0, hc ∗ , f 0 (x0)w+M(u, u)i>0 v ∀M ∈ co∂ 2 f(x0)∞\ {0}, ∃c ∗ ∈C ∗ \ {0}: hc ∗ , f 0 (x0)ui= 0, hc ∗ , M(u, u)i>0.
Trong vẵ dử sau Ơy, ành lỵ 4.1 tẳm ra ữủc nghiằm chưc chưn, trong khi õ cĂc kát quÊ gƯn Ơy thẳ khổng.
Vẵ dử 4.1 ChoC =R+, K ={(k 1 , k 2 , k 3 )∈ R 3 |k 2 k 3 ≥ 2k 2 1 , k 2 ≤0, k 3 ≤0}, (x 0 , y 0 ) (0,0), v f :R 2 →Rv g :R 2 →R 3 ữủc ành nghắa bði f(x, y)
−x 2 +y if x≥0, y 0 Hơn nữa, với w = (w 1 , w 2 ) ∈ v ⊥ \ {(0,0)}, nếu w 1 = 0 và w 2 6= 0, thì g 0 (0,0)w = (0,0, w 2 ) ∈ clcone[cone(−K−g(0,0))−g 0 (0,0)u] và w 2 >0 Cuối cùng, với mồi Mβ ∈Bf(0,0)∞, tồn tại c ∗ = 1 ∈C ∗ \ {0} thỏa mãn hc ∗ , f 0 (0,0)ui= 0 và M β (u, u)i=w 2 +β >0, dẫn đến kết luận rằng (0,0)∈ LFE(2, f, S).
Vẳ f 6∈ C 1 tÔi (0,0), cĂc Hằ quÊ 7, 8 cừa [7], ành lỵ 4.5 cừa [25] v cĂc hằ quÊ 4.4 v 4.5 ð trản khổng Ăp dửng ữủc Hỡn nỳa, vẳd2(f, g)((0,0), u) =∅, ành lỵ 3 cừa [7] cụng khổng Ăp dửng ữủc.
Kát luên v hữợng nghiản cựu mð rởng ã t i
Trong nghiên cứu này, chúng tôi giới thiệu khái niệm và các tiếp xúc cấp một và cấp hai, cùng với một số tính chất của chúng Tiếp theo, chúng tôi đã xuất khái niệm ô hình suy giảm kiểu xếp xó cấp một và cấp hai và các tính chất của chúng Cuối cùng, với các ô hình suy giảm kiểu xếp xó này, chúng tôi thiết lập các điều kiện tối ưu cấp hai mới cho các nghiệm yếu và các nghiệm chức năng yếu, với tính chất envelope-like được làm rõ hơn, của bài toán tối ưu vectơ không trơn trong các không gian vỏ hình chiếu (P).
Trong kế hoạch nghiên cứu tương lai, chúng tôi sẽ tập trung vào việc phát triển các phương pháp tối ưu hóa vectơ khổng lồ nhằm cải thiện hiệu suất và khả năng thực thi của các thuật toán.
(P1) minCf(x), sao chox∈S, 0∈F(x), trong â f :X → Y l ¡nh x¤ ìn trà v F : X → 2 Z l ¡nh x¤ a trà, X v Z l c¡c khổng gian Banach,Y l khổng gian ành chuân, S ⊂X, v C ⊂Y l nõn lỗi õng.
Chúng tôi đã thiết lập các điều kiện tối ưu cho cấp một và cấp hai cho các nghiệm yếu và nghiệm chức của bài toán (P1) bằng các quy tắc nhân tỷ Fritz-John-Lagrange Chúng tôi sử dụng các ô hình suy giảm kiểu xếp chồng, ô hình theo hướng a trà cho F, và các nối tiếp xúc và tiếp xúc cấp một và cấp hai dưới các giới hạn được giảm nhà.
[1] Allali, K., Amahroq, T.: Second-order approximations and primal and dual necessary optimality conditions, Optimization 40 (1997) 229-246.
[2] Bednarẵk, D., Pastor, K.: On second-order optimality conditions in constrained mul- tiobjective optimization, Nonlinear Anal 74 (2011) 1372-1382.
[3] Bonnans, J F., Shapiro, A.: Perturbation Analysis of Optimization Problems, Springer, New York (2000).
[4] Clarke, F H.: Optimization and Nonsmooth Analysis, Wiley Interscience, New York (1983).
[5] Cominetti, R.: Metric regularity, tangent sets and second order optimality conditions, Appl Math Optim 21 (1990) 265-287.
[6] Dontchev, A L., Rockafellar, R T.: Regularity and conditioning of solution mappings in variational analysis, Set-valued Anal 12 (2004) 79-109.
[7] Guti²rrez, C., Jim²nez, B., Novo, V.: On second order Fritz John type optimality con- ditions in nonsmooth multiobjective programming, Math Program (Ser B) 123 (2010) 199-223.
[8] Hiriart-Urruty, J B., Strodiot, J J., Nguyen, V H.: Generalized Hessian matrix and second-order optimality conditions for problems withC 1,1 data, Appl Math Optim 11
[9] Jeyakumar, V., Luc, D T.: Nonsmooth Vector Functions and Continuous Optimiza- tion, Springer, Berlin (2008).
[10] Jim²nez, B., Novo, V.: Second order necessary conditions in set constrained differ- entiable vector optimization, Math Meth Oper Res 58 (2003) 299-317.
[11] Jim²nez, B., Novo, V.: Optimality conditions in differentiable vector optimization via second-order tangent sets, Appl Math Optim 49 (2004) 123-144.
[12] Jourani, A.: Metric regularity and second-order necessary optimality conditions for minimization problems under inclusion constraints, J Optim Theory Appl 81 (1994) 97-120.
[13] Jourani, A., Thibault, L.: Approximations and metric regularity in mathematical programming in Banach spaces, Math Oper Res 18 (1992) 390-400.
[14] Kawasaki, H.: An envelope-like effect of infinitely many inequality constraints on second order necessary conditions for minimization problems, Math Program 41 (1988) 73-96.
[15] Khanh, P Q., Tuan, N D.: First and second-order optimality conditions using ap- proximations for nonsmooth vector optimization in Banach spaces, J Optim Theory Appl 130 (2006) 289-308.
[16] Khanh, P Q., Tuan, N D.: Optimality conditions for nonsmooth multiobjective op- timization using Hadamard directional derivatives, J Optim Theory Appl 133 (2007) 341-357.
[17] Khanh, P Q., Tuan, N D.: First and second-order approximations as derivatives of mappings in optimality conditions for nonsmooth vector optimization, Appl Math.