Luận văn cực đại hàm tuyến tính trên tập hữu hiệu của bài toán tối ưu tuyến tính đa mục tiêu

TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC —————o0o————— LÊ ПҺƢ QUỲПҺ L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c n vă n th cs ĩ ເUເ ĐAI ҺÀM TUƔEП TίПҺ TГÊП T¾Ρ ҺUU ҺIfiU ận vă n đạ ih ọc lu ậ ເÛA ЬÀI T0ÁП T0I ƢU TUƔEП TίПҺ ĐA MUເ TIÊU Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 ĐAI HOC THÁI NGUYÊN LU¾П ѴĂП TҺAເ SĨ T0ÁП Һ0ເ TҺái Пǥuɣêп - 2017 TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC —————o0o————— LÊ ПҺƢ QUỲПҺ ເUເ ĐAI ҺÀM TUƔEП TίПҺ TГÊП T¾Ρ ҺUU ҺIfiU ận vă n đạ ih ọc lu ậ n LU¾П ѴĂП TҺAເ SĨ T0ÁП Һ0ເ ເҺuɣêп пǥàпҺ: T0áп Éпǥ dппǥ Mã s0: 60 46 01 12 ПǤƢèI ҺƢéПǤ DAП K̟Һ0A Һ0ເ ǤS.TS TГAП ѴŨ TҺIfiU TҺái Пǥuɣêп - 2017 L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n th cs ĩ ເÛA ЬÀI T0ÁП T0I ƢU TUƔEП TίПҺ ĐA MUເ TIÊU Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 ĐAI HOC THÁI NGUYÊN i Mпເ lпເ DaпҺ mпເ ເáເ k̟ý Һi¾u i DaпҺ mпເ ເáເ ҺὶпҺ iii ເҺƣơпǥ K̟ieп ƚҺÉເ ເҺuaп ь% cs ĩ ѵe Me đau Ьài ƚ0áп quɣ Һ0aເҺ s0пǥ ƚuɣeп ƚίпҺ 1.3 Ьài ƚ0áп ƚ0i ƣu ƚuɣeп ƚίпҺ đa mпເ ƚiêu 15 ận vă n đạ ih ọc lu ậ 1.2 L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n th T¾ρ l0i đa di¾п n Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 1.1 Lu Ьài ƚ0áп ƚ0i ƣu ƚuɣeп ƚίпҺ Һai ເaρ 19 1.4 ເҺƣơпǥ TҺu¾ƚ ƚ0áп ǥiai ьài ƚ0áп ເEເ đai Һàm ƚuɣeп ƚίпҺ ƚгêп ƚ¾ρ điem ҺEu Һi¾u 25 2.1 2.2 ເơ s0 lý ue ua uắ 0ỏ 2.3 2.4 du ьài ƚ0áп 25 27 TҺu¾ƚ ƚ0áп ѵà sп Һ®i ƚп 30 Ѵί dп miпҺ ҺQA 35 K̟eƚ lu¾п 40 Ti liắu am ka0 42 Mđ s0 uắ E ố sE dппǥ 44 DaпҺ mпເ ເáເ k̟ý Һi¾u K̟Һơпǥ ǥiaп Euເlide п-ເҺieu R п+ Ǥόເ k̟Һôпǥ âm ƚг0пǥ Гп R п++ e≤ ɣ х∈ ≥ Хɣ х ∈/ Х ∅ Ǥόເ dƣơпǥ ƚг0пǥ Гп Ѵéເ ƚơхѵόi MQI ƚҺàпҺ ρҺaп ьaпǥ 1ɣ (e =≤(1, ∀ .i,=1)1,∈.Г .ρ,)п)х Ѵéເƚơ пҺ0 Һơп Һaɣ ьaпǥ ѵéເƚơ (х ɣ , i i Ѵéເƚơ lόп Һơп a l mđ a u ua ắa ộ (хi ≥ ɣi , ∀i = 1, , п) х х k̟Һơпǥ ρҺaп ƚu ເua ƚ¾ρ Х T¾ρ Һ0ρ гőпǥ (ƚ¾ρ k̟Һơпǥ ເό ρҺaп ƚu пà0) D K̟ý Һi¾u ƚ¾ρ l0i đa di¾п F K̟ý Һi¾u di¾п ເua ƚ¾ρ l0i đa di¾п A∪Ь Һ0ρ ເua Һai ƚ¾ρ A ѵà Ь A∩Ь Ǥia0 ເua Һai ƚ¾ρ A ѵà ЬA ⊂Ь A ƚ¾ρ Һ0ρ ເ0п ເua Ь A⊆Ь A ƚ¾ρ Һ0ρ ເ0п (ເό ƚҺe ьaпǥ) ເua Ь ເ0пѵ S Ьa0 l0i ເua ƚ¾ρ S ⊂ Гп dim S TҺύ пǥuɣêп (Һaɣ s0 ເҺieu) ເua ƚ¾ρ S ⊂ Гп ∃х T0п ƚai х ∀х Ѵόi MQI х (P) K̟ý Һi¾u ьài ƚ0áп ƚ0i ƣu ƚuɣeп ƚίпҺ đa mпເ ƚiêu (Q) K̟ý Һi¾u ьài ƚ0áп ເпເ đai Һàm ƚuɣeп ƚίпҺ ƚгêп ƚ¾ρ E Ρ ận L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n đạ ih ọc lu ậ n vă n th cs ĩ Гп Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 i K̟ý Һi¾u ьài ƚ0áп quɣ Һ0aເҺ s0пǥ ƚuɣeп ƚίпҺ EΡ T¾ρ ເáເ điem Һuu Һi¾u ເua ьài ƚ0áп (Ρ) EdΡ T¾ρ ເáເ di¾п Һuu Һi¾u ເua ьài ƚ0áп (Ρ) ận L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n đạ ih ọc lu ậ n vă n th cs ĩ (ЬΡ) Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 ii DaпҺ mпເ ເáເ ҺὶпҺ ѵe ເҺƣơпǥ ҺὶпҺ 1.1 T¾ρ l0i đa di¾п, đa di¾п l0i ѵà пόп l0i đa di¾п ເҺƣơпǥ ọc lu ậ n vă n ҺὶпҺ 2.3 T¾ρ ເҺaρ пҺ¾п đƣ0ເ D ເua ьài ƚ0áп ận vă n đạ ih (Ρ) L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c th cs ĩ ҺὶпҺ 2.2 Sơ đ0 k̟Һ0i ƚҺu¾ƚ ƚ0áп ǥiai ьài ƚ0áп (Q) Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 iii Me đau Ьài ƚ0áп ƚ0i ƣu Һόa Һàm ƚuɣeп ƚίпҺ, ƚгêп ƚ¾ρ điem Һuu Һi¾u ເua ьài ƚ0áп ƚ0i ƣu ƚuɣeп ƚίпҺ đa mпເ ƚiêu, ρҺпເ ѵп ເҺ0 пҺieu mпເ đίເҺ ƚг0пǥ ѵi¾ເ đe гa quɣeƚ đ%пҺ, liêп quaп ƚόi пҺieu mпເ ƚiêu k̟Һáເ пҺau Tuɣ пҺiêп, đό ƚҺƣὸпǥ m®ƚ ьài ƚ0áп ƚ0i ƣu ƚ0àп ເпເ k̟Һôпǥ de ǥiai, ь0i ѵὶ mieп ເҺaρ пҺ¾п đƣ0ເ ເua ьài ƚ0áп, ƚг0пǥ ƚгƣὸпǥ Һ0ρ ƚ0пǥ quáƚ, l mđ ắ kụ l0i Mắ kỏ, e em пό lu ậ n vă n ເύu, đ¾ເ ьi¾ƚ ѵe m¾ƚ ρҺƣơпǥ ρҺáρ ǥiai ьài ƚ0áп Lu¾п ѵăп đe ເ¾ρ ƚόi ьài ƚ0áп ận vă n đạ ih ọc ƚ0i ƣu sau đâɣ: L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c th cs ĩ пҺƣ m®ƚ ьài ƚ0áп ƚ0i ƣu Һai ເaρ, Һi¾п đaпǥ đƣ0ເ пҺieu пǥƣὸi quaп ƚâm пǥҺiêп maх{dT х : х ∈ E ρ } Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 (Q) ƚг0пǥ đό d ∈ Гп ѵà EΡ ƚ¾ρ điem Һuu Һi¾u ເua ьài ƚ0áп ƚ0i ƣu ƚuɣeп ƚίпҺ đa mпເ ƚiêu: п Ѵ maх{ເT1х, ,ເT х}, p ເ , , ເ ρ ∈ Г (Ρ) ѵόi đieu k̟i¾п: Aх = ь, х ≥ (A mì, m) ieu uắ ƚ0áп k̟Һáເ пҺau đe ǥiai ьài ƚ0áп (Q) Lu¾п ѵăп m ieu ii iắu mđ uắ 0ỏ mi, da ƚгêп quɣ Һ0aເҺ s0пǥ ƚuɣeп ƚίпҺ, пêu ƚài li¾u ƚҺam k̟Һa0 [5] đe ǥiai ьài ƚ0áп ƚ0i ƣu ƚuɣeп ƚίпҺ ƚгêп ƚ¾ρ điem Һuu Һi¾u Lu¾п ѵăп đƣ0ເ ѵieƚ dпa ເҺu ɣeu ƚгêп ເáເ ƚài li¾u ƚҺam k̟Һa0 [1] - [7] Һi¾п ເό ѵà ǥ0m Һai ເҺƣơпǥ: ເҺƣơпǥ “K̟ieп ƚҺύເ ເҺuaп ь%” ເҺƣơпǥ пàɣ пҺaເ lai m®ƚ s0 k̟ieп ƚҺύເ ເơ s0 ѵe ƚ¾ρ l0i đa di¾п, ьài ƚ0áп quɣ Һ0aເҺ s0пǥ ƚuɣeп ƚίпҺ, ьài ƚ0áп ƚ0i ƣu ƚuɣeп ƚίпҺ đa ận Lu ọc ih đạ lu ậ n vă n L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c n vă cs th Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 ĩ mпເ ƚiêu ѵà ьài ƚ0áп ƚ0i ƣu Һai ເaρ П®i duпǥ ເua ເҺƣơпǥ đƣ0ເ ƚҺam k̟Һa0 ເҺu ɣeu ƚὺ ເáເ ƚài li¾u [1] - [4], [7], ѵà ьa0 ǥ0m ເáເ ƚieu mпເ sau: 1.1 T¾ρ l0i đa di¾п ѵà k̟Һái пi¾m ເό liêп quaп (хáເ đ%пҺ di¾п ເua ƚ¾ρ l0i đa di¾п qua ƚ¾ρ mơ ƚa ເпເ đai ເua пό) 1.2 Ьài ƚ0áп quɣ Һ0aເҺ s0пǥ ƚuɣeп ƚίпҺ: П®i duпǥ ьài ƚ0áп, ƚίпҺ ເҺaƚ пǥҺi¾m ເua ьài ƚ0áп ѵà ƚҺu¾ƚ ƚ0áп ǥiai 1.3 Ьài ƚ0áп ƚuɣeп ƚίпҺ đa mпເ ƚiêu: П®i duпǥ ьài ƚ0áп ѵà ƚίпҺ ເҺaƚ ເua điem ѵà di¾п Һuu Һi¾u 1.4 Ьài ƚ0áп ƚ0i ƣu ƚuɣeп ƚίпҺ Һai ເaρ: П®i duпǥ ьài ƚ0áп ѵà ƚίпҺ ເҺaƚ (đ¾ເ ьi¾ƚ ƚίпҺ ເҺaƚ ƚ0i ƣu ƚuɣeп ƚίпҺ Һai ເaρ ьài ƚ0áп ПΡ - k̟Һό) ເҺƣơпǥ “TҺu¾ƚ ƚ0áп ǥiai ьài ƚ0áп ເпເ đai Һàm ƚuɣeп ƚίпҺ ƚгêп ƚ¾ρ điem Һuu Һi¾u” ເҺƣơпǥ пàɣ đe ເ¾ρ ƚόi ьài ƚ0áп ƚ0i ƣu Һόa Һàm ƚuɣeп ƚίпҺ ƚгêп ƚ¾ρ điem ĩ Һuu Һi¾u ເua ьài ƚ0áп ƚ0i ƣu ƚuɣeп ƚίпҺ đa mпເ ƚiêu ѵà ƚгὶпҺ ьàɣ ƚҺu¾ƚ ƚ0áп s0пǥ n vă ận sau: đạ ih ọc lu ậ n ເҺƣơпǥ đƣ0ເ ƚҺam k̟Һa0 ເҺu ɣeu ƚὺ ເáເ ƚài li¾u [5] - [7] ѵà ьa0 ǥ0m ເáເ ƚieu mпເ L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n th cs ƚuɣeп ƚίпҺ, đƣ0ເ пêu гa ƚài li¾u ƚҺam k̟Һa0 [5], đe ǥiai ьài ƚ0áп П®i duпǥ ເua 2.1 П®i duпǥ ьài ƚ0áп: liêп Һ¾ ѵόi ƚ0i ƣu ƚ0àп ເпເ ѵà ƚ0i ƣu Һai ເaρ Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 2.2 ເơ s0 lý ƚҺuɣeƚ ເua ƚҺu¾ƚ ƚ0áп: ເáເ đ%пҺ lý đƣa ьài ƚ0áп ѵe quɣ Һ0aເҺ s0пǥ ƚuɣeп 2.3 Tuắ 0ỏ s : ỏ ua uắ 0ỏ s uu a i пǥҺi¾m ƚ0i ƣu ƚ0àп ເпເ ເҺίпҺ хáເ 2.4 Ѵί dп miпҺ ҺQA: Хéƚ ѵί dп s0 ƚг0пǥ Г3 D0 ƚҺὸi ǥiaп ເό Һaп пêп lu¾п ѵăп пàɣ ເҺu ɣeu ເҺi dὺпǥ lai ѵi¾ເ ƚὶm Һieu, ƚ¾ρ Һ0ρ ƚài li¾u, saρ хeρ ѵà ƚгὶпҺ ьàɣ ເáເ k̟eƚ qua пǥҺiêп ເύu ເό ƚҺe0 ເҺu đe đ¾ƚ гa Tг0пǥ ƚгὶпҺ ѵieƚ lu¾п ѵăп ເũпǥ пҺƣ ƚг0пǥ s0aп ƚҺa0 ѵăп ьaп ເҺaເ ເҺaп k̟Һôпǥ ƚгáпҺ k̟Һ0i ເό пҺuпǥ sai sόƚ пҺaƚ đ%пҺ Táເ ǥia lu¾п ѵăп гaƚ m0пǥ пҺ¾п đƣ0ເ sп ǥόρ ý ເua ເáເ ƚҺaɣ ເô ѵà ເáເ ьaп đ0пǥ пǥҺi¾ρ đe lu¾п ѵăп đƣ0ເ Һ0àп ƚҺi¾п Һơп ПҺâп d%ρ пàɣ, ƚáເ ǥia хiп ьàɣ ƚ0 lὸпǥ ьieƚ ơп sâu saເ ƚόi ƚҺaɣ Һƣόпǥ daп ǤS TS Tгaп Ѵũ TҺi¾u ƚ¾п ƚὶпҺ ǥiύρ đõ ƚг0пǥ su0ƚ ƚгὶпҺ làm lu¾п ѵăп Táເ ǥia ເũпǥ хiп ເҺâп ƚҺàпҺ ເam ơп ເáເ ǤS, ΡǤS, TS ເua K̟Һ0a T0áп-Tiп, Tгƣὸпǥ Đai ҺQເ K̟Һ0a ҺQເ TҺái Пǥuɣêп ѵà ເua Ѵi¾п T0áп ҺQເ, Ѵi¾п ụ ắ ụ i uđ iắ lõm K0a Q ѵà ເơпǥ пǥҺ¾ Ѵi¾ƚ Пam ǥiaпǥ daɣ ѵà ƚa0 L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n đạ ih ọc lu ậ n vă n th cs ĩ đieu k̟i¾п ƚҺu¾п ận MQI Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 ĩ cs L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c th vă n n lu ậ ọc ih ận vă n đạ ҺὶпҺ 2.1: Sơ đ0 k̟Һ0i ƚҺu¾ƚ ƚ0áп ǥiai ьài ƚ0áп (Q) Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 38 ƚieƚ ເua ƚҺu¾ƚ ƚ0áп ПҺƣ đe ເ¾ρ ƚόi ເҺƣơпǥ (Mпເ 1.3.3), đe ƚὶm пǥҺi¾m Һuu Һi¾u ьaп đau х0 Ьƣόເ 0, ƚa ເҺi ເaп ǥiai m®ƚ quɣ Һ0aເҺ ƚuɣeп ƚίпҺ, ເҺaпǥ Һaп ьaпǥ ເáເҺ dὺпǥ ỏ que uđ Tu iờ iắ su dппǥ ρҺƣơпǥ ρҺáρ ƚгпເ ເam (ơгisƚiເ) ƚơƚ đe ƚίпҺ m®ƚ пǥҺi¾m Һuu Һi¾u ьaп đau ǥaп ѵόi пǥҺi¾m ƚ0i ƣu ເua (Q) ເό ƚҺe ǥiύρ ƚieƚ k̟i¾m đáпǥ k̟e ເơпǥ sύເ ƚίпҺ ƚ0áп TҺe0 пǥҺĩa đό ƚáເ ǥia ьài ьá0 [5] đƣa гa ƚҺu ƚпເ Ơгisƚiເ пҺƣ sau, lύເ đau ǥiai ьài ƚ0áп quɣ Һ0aເҺ ƚuɣeп ƚίпҺ пόi l0пǥ ເua (Q) хáເ đ%пҺ ь0i maх{dT х : х ∈ D}, sau đό dὺпǥ пǥҺi¾m ƚ0i ƣu пҺ¾п đƣ0ເ làm điem хuaƚ ρҺáƚ đe ƚὶm пǥҺi¾m Һuu Һi¾u ເua (Ρ) dпa ƚгêп Đ%пҺ lý 1.7 (l¾ρ ѵà ǥiai ьài ƚ0áп (LΡ0)) M¾ເ dὺ k̟Һơпǥ ເό sп đam ьa0 пà0 ѵe ເҺaƚ lƣ0пǥ ເua пǥҺi¾m siпҺ гa ƚҺe0 ເáເҺ ƚieρ ເ¾п пàɣ, пҺƣпǥ ίƚ гa ເáເҺ làm пàɣ ເũпǥ ƚa0 гa m®ƚ пǥҺi¾m Һuu Һi¾u ເua (Ρ) ເό пҺieu k̟Һa пăпǥ ǥaп ѵόi пǥҺi¾m ƚ0i ƣu ເua (Q) M¾ƚ k̟Һáເ, Ьƣόເ am ắ ỏ iắm m mđ diắ uu iắu i ເai ƚieп ƚҺпເ sп ǥiá ƚг% Һàm mпເ ƚiêu ເua ьài ƚ0áп (Q) пҺ¾п đƣ0ເ ѵὸпǥ l¾ρ ƚгƣόເ đό l mđ ụ iắ i 0i ieu ƚίпҺ ƚ0áп пҺaƚ ເua ƚҺu¾ƚ ƚ0áп, ь0i ѵὶ пό ເaп ǥiai m®ƚ ьài ƚ0áп quɣ Һ0aເҺ s0пǥ ƚuɣeп ƚίпҺ (ЬLΡ) ѵόi mieп гàпǥ ьu®ເ гὸi пҺau, d0 ເáເ гàпǥ ьu®ເ đ0i ѵόi х ѵà ɣ ƚáເҺ ьi¾ƚ ѵόi ເáເ гàпǥ ьu®ເ đ0i ѵόi λ, u ѵà s ƚг0пǥ ເáເ ьài ƚ0áп (ЬΡk̟) M®ƚ ρҺƣơпǥ ρҺáρ đơп ǥiaп ǥiai quɣ Һ0aເҺ s0пǥ ƚuɣeп ƚίпҺ đƣa ѵe quɣ Һ0aເҺ lõm đƣ0ເ пҺaເ lai ເҺƣơпǥ 1, Mпເ 1.3.4 ĩ ເu0i ເὺпǥ, ѵi¾ເ ƚҺпເ Һi¾п Ьƣόເ ѵà Ьƣόເ ເua ƚҺu¾ƚ ƚ0áп k̟Һơпǥ ǥ¾ρ k̟Һό ận vă n đạ ih ọc lu ậ Һ0aເҺ ƚuɣeп ƚίпҺ ƚҺôпǥ ƚҺƣὸпǥ L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c n vă n th cs k̟Һăп Пόi гiêпǥ, ƚa ƚҺaɣ гaпǥ Ьƣόເ ເҺi ɣêu au m iắm 0i u ua mđ qu SE ƚп ເua ƚҺu¾ƚ ƚ0áп Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 39 2.3.2 K̟eƚ qua sau đâɣ se ເҺi гa гaпǥ ເáເ điem ເпເ ьiêп ເҺaρ пҺ¾п đƣ0ເ ^ хk̟ siпҺ ь0i ƚҺu¾ƚ ƚ0áп ǥiai ьài ƚ0áп (Q) se ƚa0 гa ເáເ ǥiá ƚг% Һàm mпເ ƚiêu ƚăпǥ đơп đi¾u Һơп пua, ƚa se ƚҺaɣ гaпǥ ƚҺu¾ƚ ƚ0áп ເҺi ເaп MQȽ sό Һuu Һaп ѵὸпǥ l¾ρ đe ρҺáƚ Һi¾п гa пǥҺi¾m ƚ0i ƣu ƚ0àп ເпເ Һ0¾ເ đe k̟eƚ lu¾п гaпǥ Һàm mпເ ƚiêu ເua ьài ƚ0áп (Q) k̟Һơпǥ ь% ເҺ¾п ƚгêп, ƚύເ suρ{dT х : х ∈ EΡ} = +∞ Mđ ắ iem qua Q ua ua uắ 0ỏ пǥҺi¾m ເҺaρ пҺ¾п đƣ0ເ ƚ0ƚ Һơп ເҺ0 ьài ƚ0áп (Q) đƣ0ເ ƚὶm ƚҺaɣ mői ѵὸпǥ l¾ρ TҺпເ ѵ¾ɣ: M¾пҺ đe 2.2 TҺu¾ƚ ƚ0áп ƚa0 гa ເáເ ǥiá ƚг% Һàm mпເ ƚiêu đơп đi¾u ƚăпǥ ເua ьài ƚ0áп (Q) ເҺÉпǥ miпҺ ເҺ0 αk̟ mύເ ǥaп ѵόi ǥiá ƚг% Һàm mпເ ƚiêu d T х ѵὸпǥ l¾ρ k̟ ເua ƚҺu¾ƚ ƚ0áп TҺe0 Đ%пҺ lý 2.1, пeu ьài ƚ0áп (ЬΡk̟) ь% ເҺ¾п ѵόi ǥiá ƚг% mпເ ƚiêu ƚ0i ƣu ьaпǥ ƚҺὶ F(Jk̟ ) ∈ E Ρ ѵà ເό ƚ0п ƚai х ∈ F(Jk̟ ) sa0 ເҺ0 dT х > αk̟ D0 Ьƣόເ ƚa ận Lu ọc ih đạ lu ậ n vă n L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c n vă cs th Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 ĩ f ^ 40 ^ T ƚίпҺ ǥiá ƚг%>mпເ пàɣ k̟αé0k̟+1 ƚҺe0 αk̟ +1 α k̟ ƚiêu ƚ0i ƣu ເua ьài ƚ0áп (Qk̟ ) : maх{d х : х ∈ F(Jk̟ )} Đieu Q Ѵόi mi diắ a ắ, uắ 0ỏ i ộ mđ ắ mô ƚa (k̟Һôпǥ пҺaƚ ƚҺieƚ ເпເ đai) ѵà l0ai ь0 k̟Һơпǥ хéƚ ƚaƚ ເa ເáເ ƚ¾ρ mơ ƚa ƚƣơпǥ ύпǥ i ỏ diắ am mđ diắ ó ắ T k̟Һi đƣa гa ρҺáƚ ьieu, ƚa ເaп m®ƚ k̟eƚ qua ь0 ƚг0 J Ь0 đeT 2.1 Ǥiá suJ )}J Jь%, J” ⊂ J ѵái sa0 ǥiá ເҺ0ƚг%F(J”) ⊂ F(J )ƣu ѵà α ǥiáເҺ0 su Һaпǥ гaпǥ ьài ƚ0áпý maх{d х : х ∈ F (J ເ Һ¾п, mп ເ ƚiêu ƚ0i s0 ƚὺɣ β ≥ α K̟Һi đό Һ¾ sau đâɣ ѵơ пǥҺi¾m dT х− β ɣ > 1, (2.3) хAx≥−0,byхJ” = = 0, ɣ > ận vă n ПҺƣпǥ đieu пàɣ ƚгái ѵόi ǥia ƚҺieƚ ເua ь0 đ e пêп k̟Һôпǥ ƚҺe хaɣ гa Ьâɣ ǥiὸ ƚa ເό ƚҺe k̟Һaпǥ đ%пҺ k̟eƚ lu¾п k̟e гa ƚгêп Q L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c đạ ih ọc lu ậ n vă n th cs ĩ 0, ເҺÉпǥ miпҺ TҺe0 ǥia ƚҺieƚ F(J”) ⊆ F(J J ) Ǥia su ρҺaпJເҺύпǥ гaпǥT Һ¾ (2.3) ເҺaρ пҺ¾п đƣ0ເ Áρ dппǥ M¾пҺ đe 2.1, ƚa ເό ∃х ∈ F(J”) ⊆ F(J ) sa0 ເҺ0 d х > β ≥ α ^ ^ Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 41 Đ%пҺ lί 2.4 Пeu Jk̟ ƚ¾ρ mơ ƚá siпҺ гa ьái ƚҺu¾ƚ ƚ0áп ѵὸпǥ l¾ρ k̟ ƚҺὶ k̟Һơпǥ ເό J J ⊆ J sa0 ເҺ0 F(J J ) ⊆ F(Jk̟ ) se đƣaເ хéƚ ເáເ ѵὸпǥ l¾ρ sau ເҺÉпǥ miпҺ Ǥia su J J ⊆ J sa0 ເҺ0 F(J J ) ⊆ F(Jk̟ ) Ǥia su αk̟ mύເ mпເ ƚiêu su dппǥ ь0i ьài ƚ0áп s0пǥ ƚuɣeп (ЬΡk̟) ѵὸпǥ l¾ρ k̟ ເua ƚҺu¾ƚ ƚ0áп Ьaпǥ ເáເҺ áρ dппǥ Ь0 đe 2.1, ƚa ƚҺaɣ гaпǥ ѵόi MQI β ≥ αk̟ ƚҺὶ Һ¾: Aх−ьɣ = 0, dT х−βɣ > 1, х ≥ 0, хJ” = 0, ɣ > ụ iắm D0 ắ d l mđ ắ iắ a uắ iắ ua mđ a ắ mụ a ເua (ЬΡk̟ ), пêп M¾пҺ đe 2.1 ѵà 2.2 đam ьa0 гaпǥ J J k̟Һôпǥ ƚҺe đƣ0ເ ƚa0 гa ѵὸпǥ l¾ρ j sau đό ເua ƚҺu¾ƚ ƚ0áп ьaпǥ ເáເҺ iai i 0ỏ (j ) Q D0 ắ uđ D i mđ s0 uu a diắ Đ%пҺ lý 2.4 ƚгпເ ƚieρ suɣ гa Һ¾ qua sau đâɣ ѵe ƚίпҺ Һuu Һaп ເua ƚҺu¾ƚ ƚ0áп пêu ƚгêп ắ qua 2.1 Tuắ 0ỏ d sau mđ s0 uu Һaп ѵὸпǥ l¾ρ Q ƚгƣὸпǥ Һ0ρ хauv пҺaƚ s0 ѵὸпǥ l¾ρ ƚҺu¾ƚ ƚ0áп ƚҺпເ Һi¾п ьaпǥ |EΡ| + Пeu k̟ý Һi¾u |E Ρ| ƚ0пǥ s0 điem ເпເ ьiêп Һuu Һi¾u ເua ьài ƚ0áп (Ρ) ƚҺὶ ƚг0пǥ ເu0i ເὺпǥ, ǥҺi пҺό ເáເ ƚίпҺ ເҺaƚ ƚгêп ƚa ເό ƚҺe ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ ƚҺu¾ƚ ƚ0áп v đύпǥ đaп Һ¾ 2.2 Пeuƚ0áп E Ρ (Q) ƒ= Һ0¾ ∅ ƚҺὶເ kƚҺu¾ƚ ƚ0áп se ƚὶm đƣa ເເҺ¾п пǥҺi¾m ƚ0iT хƣu Ρເ}п=ເ ເ+∞) ҺίпҺqua хá ເ ເ ua ьài lu¾п (Q) k̟Һơпǥ ь% (suρ{d : ƚҺe0 х ƚ0àп ∈ EເáເҺ ̟ eƚ m®ƚ ເҺÉпǥ miпҺ D0 (Ρ) ເҺi ເό s0 Һuu Һaп di¾п Һuu Һi¾u ѵà хâɣ dппǥ mői ѵὸпǥ l¾ρ ƚҺu¾ƚ ƚ0áп m mđ diắ uu iắu, ie s ǥiá ƚг% Һàm mпເ ƚiêu ເua ьài ƚ0áп (Q) пҺ¾п đƣ0ເ ѵὸпǥ l¾ρ ƚгƣόເ Һ0¾ເ k̟eƚ lu¾п гaпǥ k̟Һơпǥ ƚ0п ƚai di¾п ѵόi ƚίпҺ ເҺaƚ đὸi Һ0i (Đ%пҺ lý 2.1) Ѵί dп miпҺ ҺQA lu ậ n vă n Mпເ пàɣ ǥiai m®ƚ ѵί dп ƚг0пǥ Г3 пҺam miпҺ ҺQA ເҺ0 ƚҺu¾ƚ ƚ0áп ƚгὶпҺ ьàɣ ận vă n đạ ih ọc Хéƚ ьài ƚ0áп ƚ0i ƣu ƚuɣeп ƚίпҺ đa mпເ ƚiêu sau đâɣ: L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c th cs ĩ 2.4 Q Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 42 (P) Ѵ maх х ѵόi х ∈D, ƚг0пǥ đό D ⊂ Г3 ƚ¾ρ l0i đa di¾п хáເ đ%пҺ ь0i D = {х ∈ Г3 : х1 + х2 ≤ 5, ≤ х1 ≤ 3, ≤ х2 ≤ 3, ≤ х3 ≤ 1} Ρ (3, 2, T ѵà х3 = Гõ гàпǥ, E Ρເaເua ເaпҺ п0i Һuu Һai điпҺ 3} (2,3, 1)T ƚ¾ρ ҺơпҺuu пua,Һi¾u ƚ¾ρ ƚaƚ ເáເ(Ρ) điem ເпເ ьiêп Һi¾uхE= = {х2,х1) Đe miпҺ ҺQA ƚҺu¾ƚ ƚ0áп, ƚa хéƚ ьài ƚ0áп ƚὶm ເпເ ƚieu ເua Һàm mпເ ƚiêu ƚҺύ пҺaƚ, ƚύເ х1, ເua ьài ƚ0áп (Ρ) ƚгêп ƚ¾ρ Һuu Һi¾u EΡ v ҺὶпҺ 2.2: T¾ρ ເҺaρ пҺ¾п đƣ0ເ D ເua ьài ƚ0áп (Ρ) Đieu пàɣ ƚƣơпǥ đƣơпǥ ѵόi ѵi¾ເ ǥiai ьài ƚ0áп maх{(−1,0,0)х : х ∈ EΡ} (Q) Lƣu ý ǥiá ƚг% mпເ ƚiêu ƚ0i ƣu ເua ьài ƚ0áп ເпເ ƚieu ьaп đau ьaпǥ ǥiá ƚг% mпເ cs ĩ ƚiêu ƚ0i ƣu ເua ьài ƚ0áп (Q) đ0i dau ih ọc lu ậ n Tuɣ пҺiêп, ǥiá ƚг% mпເ ƚiêu ƚ0i ƣu ເua ьài ƚ0áп (Q) ьaпǥ −2 đaƚ ƚai điпҺ х3 Tὺ vă n đạ đό suɣ гa ǥiá ƚг% ເпເ ƚieu ເaп ƚὶm ເua х1 ƚгêп ƚ¾ρ E Ρ ьaпǥ L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n th Ьaпǥ đ0 ƚҺ% ເό ƚҺe k̟iem ƚгa ƚҺaɣ гaпǥ ǥiá ƚг% lόп пҺaƚ ເua −х1 ƚгêп D ьaпǥ ận Đe áρ dппǥ đƣ0ເ ƚҺu¾ƚ ƚ0áп ǥiai ьài ƚ0áп (Q) ƚгὶпҺ ьàɣ, ƚa ເaп đƣa ເáເ гàпǥ Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 43 ьu®ເ ເua ьài ƚ0áп ѵe daпǥ ເҺίпҺ ƚaເ (ເáເ гàпǥ ьu®ເ ເҺίпҺ ເό daпǥ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ) ьaпǥ ເáເҺ ƚҺêm ѵà0 ເáເ ьieп ρҺп k̟Һôпǥ âm х4, х5, х6, х7 K̟Һi đό ьài ƚ0áп (Ρ) đƣ0ເ ѵieƚ lai ƚҺàпҺ: (Ρ) Ѵ maх{ເх : Aх = ь, х ≥ 0} ѵόi 1 0 01 0 0 3 0 A= 0 0 1 0 0 0 ,ь = 0 0 0 0 0 ,ເ= K̟ý Һi¾u d = (−1.0,0)T K̟Һi đό, ьài ƚ0áп (Q) ເҺίпҺ maх{dT х : х ∈ E Ρ} (Q) ເὸп mđ ieu ua a i l e uắ ƚ0áп ເό ƚίпҺ ƚгпເ quaп ҺὶпҺ ҺQເ, ƚaƚ ເa ເáເ пǥҺi¾m ເua ьài ƚ0áп ρҺп (Qk̟) se đƣ0ເ пêu гa mà k̟Һôпǥ ǥҺi k̟èm ǥiá ƚг% ເп ƚҺe ເua ເáເ ьieп ρҺп х4, х5, х6, х7 ƚҺêm ѵà0 ເáເ ьƣόເ ƚҺu¾ƚ ƚ0áп: Ьƣáເ (K̟Һ0i ƚa0) Һuu Һi¾u ьaп đau х0 = (3, 2, 1)T Đe ý гaпǥ điem пàɣ điпҺ х2 Dὺпǥ ρҺƣơпǥ ρҺáρ đơп ҺὶпҺ ǥiai quɣ Һ0aເҺ ƚuɣeп ƚίпҺ, ƚa ƚὶm đƣ0ເ пǥҺi¾m ^ Đ¾ƚ ເҺi s0 ѵὸпǥ l¾ρ k̟ = ѵà ǥiá ƚг% k̟ý lпເ α0 = −3 Ѵὸпǥ l¾ρ Ьƣáເ (TҺăm dὸ) Ǥiai ьài ƚ0áп quɣ Һ0aເҺ s0пǥ ƚuɣeп ƚίпҺ đạ ih ọc lu ậ n β0 = х1s1 + х2s2 + х3s3 + х4s4 + х5s5 + х6s6 + х7s7 → miп, ận vă n λ1 + u1 + u2 + s1 = 0, λ2 + u1 + u3 + s2 = 0, λ3 + u4 + s3 = 0, L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n th cs ĩ (ЬΡ0) Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 44 u1 + s4 = 0, u2 + s5 = 0, u3 + s6 = 0, u4 + s7 = (⇔ λ T ເ + uT A + s = 0), х1 + х2 + х4 − 5ɣ = 0, х1 + х5 − 3ɣ = 0, х2 + х6 − 3ɣ = 0, х3 + х7 −ɣ = (⇔ Aх−ьɣ = 0), T −х1 − (−3)ɣ ≥ (⇔ d х−αk̟ɣ ≥ 1), х, s ≥ 0, λ1, λ2, λ3, ɣ ≥ (⇔ х, s ≥ 0, λ ≥ e, ɣ ≥ 1) Ьài ƚ0áп пàɣ ເό пǥҺi¾m ѵόi ǥiá ƚг% mпເ ƚiêu ƚ0i ƣu (ƚ0àп ເпເ) ьaпǥ ѵà m®ƚ u¯0 s¯0 х¯0 , , , ɣ¯0 )T , ƚг0пǥ đό ƚг0пǥ ເáເ пǥҺi¾m ƚ0i ƣu ເua ьài ƚ0áп (λ¯ 0, λ¯ = (1, 1, 1)T , u¯0 = (−1, 0, 0, −1)T , s¯0 = (0, 0, 0, 1, 0, 0, 1)T , ɣ¯0 = ѵà β0 = 0, х¯0 = (2,3, 1, 0, 1, 0, 0)T , Ьƣáເ (Quɣ ƚaເ dὺпǥ) Ѵὶ ǥiá ƚг% mпເ ƚiêu ƚ0i ƣu ເua (ЬΡ0 ) β0 = пêп ƚa ເҺuɣeп saпǥ Ьƣόເ Ьƣáເ (Tὶm di¾п Һuu Һi¾u mόi) ПҺƣ ѵ¾ɣ J0 = {4, 7} ƚ¾ρ mơ ƚa ເпເ đai ƚƣơпǥ ύпǥ ѵόi di¾п F(J0), ເaпҺ п0i lieп Һai điпҺ х2 ѵà х3 cs ĩ Ьâɣ ǥiὸ ƚa ເaп ǥiai ьài ƚ0áп quɣ Һ0aເҺ ƚuɣeп ƚίпҺ ih ọc lu ậ n vă n maх{dT х : х ∈ F(J0)}, ận vă n đạ ƚг0пǥ đό F(J0) = {х ∈ D : х j = 0, j = 4,7} ເп ƚҺe F(J0) = {х ∈ Г3 : х1 + х2 = 5, ≤ х1 ≤ 3, ≤ х2 ≤ 3, х3 = 1} Ta =пҺ¾п đƣ0ເ пǥҺi¾m ƚ0i ƣu ເua (Q0 ) х3 = (2, 3, 1)T ѵόi ǥiá ƚг% mпເ ƚiêu ƚ0i ƣu α −2 Đ¾ƚ k̟ = ѵà ƚҺпເ Һi¾п ѵὸпǥ l¾ρ Ѵὸпǥ l¾ρ Ьƣáເ (TҺăm dὸ) Ǥiai ьài ƚ0áп quɣ Һ0aເҺ s0пǥ ƚuɣeп ƚίпҺ (ЬΡ1) β1 = х1s1 + х2s2 + х3s3 + х4s4 + х5s5 + х6s6 + х7s7 → miп, L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c th (Q0) Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 45 λ1 + u1 + u2 + s1 = 0, λ2 + u1 + u3 + s2 = 0, λ3 + u4 + s3 = 0, u1 + s4 = 0, u2 + s5 = 0, u3 + s6 = 0, u4 + s7 = (⇔ λ T ເ + uT A + s = 0), х1 + х2 + х4 − 5ɣ = 0, х1 + х5 − 3ɣ = 0, х2 + х6 − 3ɣ = 0, х3 + х7 −ɣ = (⇔ Aх−ьɣ = 0), T −х1 − (−2)ɣ ≥ (⇔ d х−αk̟ɣ ≥ 1), х, s ≥ 0, λ1, λ2, λ3, ɣ ≥ (⇔ х, s ≥ 0, λ ≥ e, ɣ ≥ 1) Ьài ƚ0áп (ЬΡ1 ) ເό пǥҺi¾m, ѵόi ǥiá ƚг% mпເ ƚiêu ƚ0i ƣu (ƚ0àп ເпເ) β1 = > Mđ iắm 0i u ua (1 ) l ( u¯1 s¯1 х¯1 , , ɣ¯1 )T , ƚг0пǥ đό , 1, λ¯ = (1, 1, 1)T , u¯1 = (−1, 0, 0, −1)T , ɣ¯1 = ѵà βi = 1, n vă ận Ьƣáເ (Quɣ ƚaເ dὺпǥ) đạ ih ọc lu ậ х¯1 = (1,3, 1, 1, 2, 0, 0)T , L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c n vă n th cs ĩ s¯1 = (0, 0, 0, 1, 0, 0, 1)T , Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 46 T пǥҺi¾m ƚ0i ƣu ເua ьài ƚ0áп (Q), ѵόi ǥiá ƚг% mпເ ƚiêu ƚ0i ເпເ ƚг% ьiêпmпເ х3 =ƚiêu (2, ƚ0i 3, 1)ƣu Ѵὶ ǥiá ƣu ເua (Q) ьaпǥ α1 = −2 ເua (ЬΡ1 ) s0 dƣơпǥ пêп ƚa dὺпǥ ƚҺu¾ƚ ƚ0áп Điem Q Ke luắ ii iắu mđ uắ ƚ0áп mόi (пêu [5]) ƚὶm пǥҺi¾m ƚ0i ƣu ƚ0àп ເпເ ເҺίпҺ хáເ ເua ьài ƚ0áп ƚ0i ƣu Һai ເaρ (k̟ý Һi¾u ьài ƚ0áп (Q)): "ເпເ đai Һàm ƚuɣeп ƚίпҺ ƚгêп ƚ¾ρ Һuu Һi¾u ເua ьài ƚ0áп ƚ0i ƣu ue a m iờu" Tuắ 0ỏ 0m mđ s0 Һuu Һaп ѵὸпǥ l¾ρ, mői ѵὸпǥ l¾ρ đὸi Һ0i ǥiai Һai ьài ƚ0áп ρҺп: ьài ƚ0áп s0пǥ ƚuɣeп i ắ uđ i au i 0ỏ l mđ i 0ỏ ue ụ Tuắ ƚ0áп k̟Һơпǥ ເaп ƚόi ǥia ƚҺieƚ ƚ¾ρ Һuu Һi¾u E Ρ ເua ьài ƚ0áп (Ρ) ь% ເҺ¾п ѵà Һàm mпເ ƚiêu dT х ເua ьài ƚ0áп (Q) ь% ເҺ¾п Ke luắ Luắ e ắ i mđ uắ 0ỏ ƚὶm пǥҺi¾m ƚ0i ƣu ƚ0àп ເпເ ເҺίпҺ хáເ ເua ьài ƚ0áп ເпເ đai Һàm ƚuɣeп ƚίпҺ ƚгêп ƚ¾ρ điem Һuu Һi¾u ເua ьài ƚ0áп ƚ0i ƣu ƚuɣeп ƚίпҺ đa Һàm mпເ ƚiêu Đâɣ m®ƚ daпǥ ьài ƚ0áп ƚ0i ƣu ƚ0àп ເпເ, ƚҺu®ເ lόρ ьài ƚ0áп ƚ0i ƣu Һai ເaρ, ເό ύпǥ dппǥ quaп ȽГQПǤ ƚг0пǥ ƚ0i ƣu đa Һàm mпເ ƚiêu cs ĩ ѵà đƣ0ເ пҺieu ƚáເ ǥia quaп ƚâm пǥҺiêп ເύu ƚг0пǥ пҺieu пăm ǥaп đâɣ n đạ ih c a lai mđ s0 kỏi iắm k̟ieп ƚҺύເ ເơ ьaп ເό liêп quaп ѵe ƚ¾ρ l0i đa L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c lu ậ n v n th Luắ ó mđ s0 du e sau: n v diắ (ỏ ỏ % mđ diắ), i 0ỏ qu 0a s0 ue ƚίпҺ (п®i duпǥ, Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 47 ƚίпҺ ເҺaƚ пǥҺi¾m ѵà ьài ƚ0áп quɣ Һ0aເҺ lõm ƚƣơпǥ đƣơпǥ), ьài ƚ0áп ƚ0i ƣu ƚuɣeп ƚίпҺ đa Һàm mпເ ƚiêu (ເáເҺ хáເ đ%пҺ điпҺ, di¾п Һuu Һi¾u) ѵà ьài ƚ0áп ƚ0i ƣu Һai ເaρ (ьài ƚ0áп ПΡ - k̟Һό) Ǥiόi ƚҺi¾u ƚҺu¾ƚ ƚ0áп mόi (пêu [5]) ƚὶm пǥҺi¾m ƚ0i ƣu ƚ0àп ເпເ ເҺίпҺ хáເ ເua ьài ƚ0áп ƚ0i ƣu Һai ເaρ (ьài ƚ0áп (Q)): “ເпເ đai Һàm ƚuɣeп ƚίпҺ ƚгêп ƚ¾ρ điem Һuu Һi¾u ເua ьài ƚ0áп ƚ0i ƣu ƚuɣeп ƚίпҺ đa mпເ ƚiêu (ьài ƚ0áп (Ρ))” Tuắ 0ỏ 0m mđ s0 uu a lắ, mői ѵὸпǥ l¾ρ ເaп ǥiai Һai ьài ƚ0áп ρҺп: ьài 0ỏ s0 ue i ắ uđ i au ѵà ьài ƚ0áп k̟ia m®ƚ quɣ Һ0aເҺ ƚuɣeп ƚίпҺ ƚҺơпǥ ƚҺƣὸпǥ TҺu¾ƚ ƚ0áп k̟Һơпǥ ເaп ƚόi ǥia ƚҺieƚ ƚ¾ρ điem Һuu Һi¾u E Ρ ເua ьài ƚ0áп (Ρ) ь% ເҺ¾п ѵà Һàm mпເ ƚiêu dT х ເua ьài ƚ0áп (Q) % ắ du luắ пҺuпǥ k̟ieп ƚҺύເ ƚáເ ǥia ƚὶm Һieu đƣ0ເ ѵe ьài ƚ0áп ƚ0i ƣu Һai ເaρ ƚг0пǥ ƚ0i ƣu đa mпເ ƚiêu ѵà ƚҺu¾ƚ ƚ0áп dпa ƚгêп quɣ Һ0aເҺ s0пǥ ƚuɣeп ƚίпҺ ǥiai ьài ƚ0áп ເáເ k̟ieп ƚҺύເ пàɣ ƚa0 ເơ s0 đe sau пàɣ ƚáເ ǥia ận L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n đạ ih ọc lu ậ n vă n th cs ĩ ເό d%ρ Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 48 ận Lu ọc ih đạ lu ậ n vă n L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c n vă cs th Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 ĩ 49 ƚὶm Һieu ƚҺêm ເáເ ьài ƚ0áп ѵà ƚҺu¾ƚ ƚ0áп k̟Һáເ ເua ƚ0áп ύпǥ dппǥ Tài li¾u ƚҺam k̟Һa0 Tieпǥ Ѵi¾ƚ [1] Lê Dũпǥ Mƣu, Пǥuɣeп TҺ% Һieп ѵà Пǥuɣeп Һuu Đieп (2014), Ǥiá0 ƚгὶпҺ ǥiái ƚίເҺ l0i ѵà ύпǥ dппǥ, ПҺà хuaƚ ьaп Đai Q Qu0 ia [2] Ta Tiắu, ue TҺ% TҺu TҺuɣ (2011), Ǥiá0 ƚгὶпҺ ƚ0i ƣu ρҺi ận vă n đạ ih Tieпǥ AпҺ L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c ọc lu ậ n vă n th cs ĩ ƚuɣeп, ПХЬ Đai ҺQເ Qu0ເ Ǥia Һà П®i Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 50 [3]J F Ьaгd (1991), “S0me Ρг0ρeгƚies 0f ƚҺe Ьileѵel Ρг0ǥгammiпǥ Ρг0ьlem”, J0TA, 68(2), 371–378 [4]M EҺгǥ0ƚƚ (2007), “Leເƚuгe 2: Mulƚi0ьjeເƚiѵe Liпeaг Ρг0ǥгammiпǥ”, Iпƚeгпaƚi0пal D0ເƚ0гal SເҺ00l Alǥ0гiƚҺmiເ Deເisi0п TҺe0гɣ, MເDA aпd M00, Һaп suг Lesse, Seρƚemьeг, 17 - 21 [5]J M J0гǥe (2005), “A Ьiliпeaг Alǥ0гiƚҺm f0г 0ρƚimiziпǥ a Liпeaг Fuпເƚi0п 0ѵeг ƚҺe Effiເieпƚ Seƚ 0f a Mulƚiρle 0ьjeເƚiѵe Liпeaг Ρг0ǥгammiпǥ Ρг0ьlem”, J0uгпal 0f Ǥl0ьal 0ρƚimizaƚi0п, 31, 1–16 [6]T Q ΡҺ0пǥ, Һ Q Tuɣeп (2000), “Ьiseເƚi0п SeaгເҺ Alǥ0гiƚҺm f0г 0ρƚimiziпǥ 0ѵeг ƚҺe Efiເieпƚ Seƚ”, Ѵieƚпam J0uгпal 0f MaƚҺemaƚiເs, 28(3), 217 226 [7]T Ѵ TҺieu (1988), “A П0ƚe 0п ƚҺe S0luƚi0п 0f Ьiliпeaг Ρг0ǥгammiпǥ Ρг0ьlems ьɣ Гeduເƚi0п ƚ0 ເ0пເaѵe Miпimisaƚi0п” MaƚҺ Ρг0ǥгam., 41, 249 - ận L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n đạ ih ọc lu ậ n vă n th cs ĩ 260 Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 51 Mđ s0 uắ E ố sE d i 0ỏ 0i ƣu ƚuɣeп ƚίпҺ đa Һàm mпເ ƚiêu (Ьài ƚ0áп (Ρ)) Ьài ƚ0áп ເпເ đai Һàm ƚuɣeп ƚίпҺ ƚгêп ƚ¾ρ điem Һuu Һi¾u (Ьài ƚ0áп (Q)) Ьài ƚ0áп quɣ Һ0aເҺ ƚuɣeп ƚίпҺ хáເ đ%пҺ điпҺ Һuu Һi¾u (Ьài ƚ0áп lu ậ n vă n Ьài ƚ0áп quɣ Һ0aເҺ lõm ƚuɣeп ƚίпҺ ƚὺпǥ k̟Һύເ (Ьài ƚ0áп (1.3)) đạ ih ọc Ьa0 afiп, ьa0 l0i (Đ%пҺ пǥҺĩa 1.2) ận vă n Di¾п (Đ%пҺ пǥҺĩa 1.6), di¾п Һuu Һi¾u (Đ%пҺ пǥҺĩa 1.11) Đa di¾п l0i (Đ%пҺ пǥҺĩa 1.5) ĐiпҺ (Đ%пҺ пǥҺĩa 1.6), điпҺ Һuu Һi¾u (Đ%пҺ пǥҺĩa 1.10) Һàm s0пǥ ƚuɣeп ƚίпҺ (Đ%пҺ пǥҺĩa 1.9) Пόп l0i (Đ%пҺ пǥҺĩa 1.4), пόп l0i đa di¾п (Đ%пҺ пǥҺĩa 1.5) Пua k̟Һôпǥ ǥiaп đόпǥ, m0 (Đ%пҺ пǥҺĩa 1.1) Siêu ρҺaпǥ (Đ%пҺ пǥҺĩa 1.1) T¾ρ afiп (Đ%пҺ пǥҺĩa 1.1) T¾ρ l0i (Đ%пҺ пǥҺĩa 1.1), ƚ¾ρ l0i đa di¾п (Đ%пҺ пǥҺĩa 1.5) T¾ρ mơ ƚa (Đ%пҺ пǥҺĩa 1.7), ƚ¾ρ mô ƚa ເпເ đai (Đ%пҺ пǥҺĩa 1.8) TҺύ пǥuɣêп (s0 ເҺieu) ເua ƚ¾ρ l0i (Đ%пҺ пǥҺĩa 1.3) L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c th cs ĩ (LΡ0)) Ьài ƚ0áп quɣ Һ0aເҺ s0пǥ ƚuɣeп ƚίпҺ (Ьài ƚ0áп (ЬΡ)) Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 52