ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC —————o0o————— LÊ NHƯ QUỲNH CỰC ĐẠI HÀM TUYẾN TÍNH TRÊN TẬP HỮU HIỆU CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU TUYẾN TÍNH ĐA MỤC TIÊU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên 2017 ĐẠ[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC —————o0o————— LÊ NHƯ QUỲNH CỰC ĐẠI HÀM TUYẾN TÍNH TRÊN TẬP HỮU HIỆU CỦA BÀI TỐN TỐI ƯU TUYẾN TÍNH ĐA MỤC TIÊU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC —————o0o————— LÊ NHƯ QUỲNH CỰC ĐẠI HÀM TUYẾN TÍNH TRÊN TẬP HỮU HIỆU CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU TUYẾN TÍNH ĐA MỤC TIÊU LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TS TRẦN VŨ THIỆU Thái Nguyên - 2017 i Mục lục Danh mục ký hiệu i Danh mục hình vẽ iii Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Tập lồi đa diện 1.2 Bài tốn quy hoạch song tuyến tính 1.3 Bài tốn tối ưu tuyến tính đa mục tiêu 15 1.4 Bài toán tối ưu tuyến tính hai cấp 19 Chương Thuật toán giải toán cực đại hàm tuyến tính tập điểm hữu hiệu 25 2.1 Nội dung toán 25 2.2 Cơ sở lý thuyết thuật toán 27 2.3 Thuật toán hội tụ 30 2.4 Ví dụ minh họa 35 Kết luận 40 Tài liệu tham khảo 42 Một số thuật ngữ thường sử dụng 44 i Danh mục ký hiệu Rn Không gian Euclide n-chiều Rn+ Góc khơng âm Rn Rn++ Góc dương Rn e Véc tơ với thành phần (e = (1, , 1) ∈ R p ) x≤y Véctơ x nhỏ hay véctơ y (xi ≤ yi , ∀i = 1, , n) x≥y Véctơ x lớn hay véctơ y (xi ≥ yi , ∀i = 1, , n) x∈X phần tử tập X x∈ /X x không phần tử tập X ∅ Tập hợp rỗng (tập khơng có phần tử nào) D Ký hiệu tập lồi đa diện F Ký hiệu diện tập lồi đa diện A∪B Hợp hai tập A B A∩B Giao hai tập A B A⊂B A tập hợp B A⊆B A tập hợp (có thể bằng) B conv S Bao lồi tập S ⊂ Rn dim S Thứ nguyên (hay số chiều) tập S ⊂ Rn ∃x Tồn x ∀x Với x (P) Ký hiệu toán tối ưu tuyến tính đa mục tiêu (Q) Ký hiệu tốn cực đại hàm tuyến tính tập E P ii (BP) Ký hiệu tốn quy hoạch song tuyến tính EP Tập điểm hữu hiệu toán (P) EdP Tập diện hữu hiệu toán (P) iii Danh mục hình vẽ Chương Hình 1.1 Tập lồi đa diện, đa diện lồi nón lồi đa diện Chương Hình 2.2 Sơ đồ khối thuật tốn giải tốn (Q) Hình 2.3 Tập chấp nhận D toán (P) Mở đầu Bài tốn tối ưu hóa hàm tuyến tính, tập điểm hữu hiệu tốn tối ưu tuyến tính đa mục tiêu, phục vụ cho nhiều mục đích việc đề định, liên quan tới nhiều mục tiêu khác Tuy nhiên, thường tốn tối ưu tồn cục khơng dễ giải, miền chấp nhận toán, trường hợp tổng qt, tập khơng lồi Mặt khác, xem tốn tối ưu hai cấp, nhiều người quan tâm nghiên cứu, đặc biệt mặt phương pháp giải toán Luận văn đề cập tới toán tối ưu sau đây: max{d T x : x ∈ E p } (Q) d ∈ Rn E P tập điểm hữu hiệu tốn tối ưu tuyến tính đa mục tiêu: V max{cT1 x, , cTp x}, c1 , , c p ∈ Rn (P) với điều kiện: Ax = b, x ≥ (A ∈ Rm×n , b ∈ Rm ) Có nhiều thuật toán khác để giải toán (Q) Luận văn tìm hiểu giới thiệu thuật tốn mới, dựa quy hoạch song tuyến tính, nêu tài liệu tham khảo [5] để giải toán tối ưu tuyến tính tập điểm hữu hiệu Luận văn viết dựa chủ yếu tài liệu tham khảo [1] - [7] có gồm hai chương: Chương “Kiến thức chuẩn bị” Chương nhắc lại số kiến thức sở tập lồi đa diện, tốn quy hoạch song tuyến tính, tốn tối ưu tuyến tính đa mục tiêu tốn tối ưu hai cấp Nội dung chương tham khảo chủ yếu từ tài liệu [1] - [4], [7], bao gồm tiểu mục sau: 1.1 Tập lồi đa diện khái niệm có liên quan (xác định diện tập lồi đa diện qua tập mơ tả cực đại nó) 1.2 Bài tốn quy hoạch song tuyến tính: Nội dung tốn, tính chất nghiệm toán thuật toán giải 1.3 Bài tốn tuyến tính đa mục tiêu: Nội dung tốn tính chất điểm diện hữu hiệu 1.4 Bài tốn tối ưu tuyến tính hai cấp: Nội dung tốn tính chất (đặc biệt tính chất tối ưu tuyến tính hai cấp tốn NP - khó) Chương “Thuật tốn giải tốn cực đại hàm tuyến tính tập điểm hữu hiệu” Chương đề cập tới tốn tối ưu hóa hàm tuyến tính tập điểm hữu hiệu tốn tối ưu tuyến tính đa mục tiêu trình bày thuật tốn song tuyến tính, nêu tài liệu tham khảo [5], để giải toán Nội dung chương tham khảo chủ yếu từ tài liệu [5] - [7] bao gồm tiểu mục sau: 2.1 Nội dung toán: liên hệ với tối ưu toàn cục tối ưu hai cấp 2.2 Cơ sở lý thuyết thuật toán: định lý đưa tốn quy hoạch song tuyến tính 2.3 Thuật toán hội tụ: bước thuật toán hội tụ hữu hạn tới nghiệm tối ưu tồn cục xác 2.4 Ví dụ minh họa: Xét ví dụ số R3 Do thời gian có hạn nên luận văn chủ yếu dừng lại việc tìm hiểu, tập hợp tài liệu, xếp trình bày kết nghiên cứu có theo chủ đề đặt Trong trình viết luận văn soạn thảo văn chắn khơng tránh khỏi có sai sót định Tác giả luận văn mong nhận góp ý thầy cô bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy hướng dẫn GS TS Trần Vũ Thiệu tận tình giúp đỡ suốt trình làm luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn GS, PGS, TS Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Khoa học Thái Ngun Viện Tốn học, Viện Cơng nghệ thông tin thuộc Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi trình tác giả học tập nghiên cứu Thái Nguyên, tháng năm 2017 Tác giả luận văn Lê Như Quỳnh Chương Kiến thức chuẩn bị Chương nhắc lại số kiến thức tập lồi đa diện, tốn quy hoạch song tuyến tính, tốn tối ưu tuyến tính đa mục tiêu tốn tối ưu hai cấp Các kiến thức cần đến cho thuật tốn trình bày chương sau Nội dung chương tham khảo chủ yếu từ tài liệu [1] - [4], [7] 1.1 Tập lồi đa diện Tập lồi khái niệm lý thuyết tối ưu tập lồi đa diện dạng tập lồi đơn giản hay gặp lý thuyết tối ưu tuyến tính Ta nhắc lại khái niệm kiến thức liên quan Định nghĩa 1.1 Tập C ⊆ Rn gọi tập lồi (convex set) với x, y ∈ C số thực λ ∈ [0, 1] phải có λ x + (1 − λ )y ∈ C Theo định nghĩa này, tập ∅, tập có phần tử Rn tập lồi • Ta để ý tới số dạng tập lồi đặc biệt sau đây: a) Tập afin tập chứa trọn đường thẳng qua hai điểm thuộc b) Siêu phẳng tập lồi dạng H = {x ∈ Rn : aT x = α}, a ∈ Rn \ {0}, α ∈ R c) Các nửa khơng gian đóng H + = {x ∈ Rn : aT x ≥ α}, H − = {x ∈ Rn : aT x ≤ α} ...ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC —————o0o————— LÊ NHƯ QUỲNH CỰC ĐẠI HÀM TUYẾN TÍNH TRÊN TẬP HỮU HIỆU CỦA BÀI TỐN TỐI ƯU TUYẾN TÍNH ĐA MỤC TIÊU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên... “Thuật toán giải toán cực đại hàm tuyến tính tập điểm hữu hiệu? ?? Chương đề cập tới tốn tối ưu hóa hàm tuyến tính tập điểm hữu hiệu toán tối ưu tuyến tính đa mục tiêu trình bày thuật tốn song tuyến tính, ... giải 1.3 Bài toán tuyến tính đa mục tiêu: Nội dung tốn tính chất điểm diện hữu hiệu 1.4 Bài toán tối ưu tuyến tính hai cấp: Nội dung tốn tính chất (đặc biệt tính chất tối ưu tuyến tính hai cấp tốn