đại học Thái Nguyên Tr-ờng đại học khoa học - - Ngun Xu©n Huy Bài toán tối -u với hàm d-ơng Luận văn thạc sĩ toán học Thái Nguyên - 2009 đại học Thái Nguyên Tr-ờng đại học khoa học - - Nguyễn Xuân Huy Bài toán tối -u với hàm d-ơng Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mà số: 60.46.36 Luận văn thạc sĩ toán häc Ng-êi h-íng dÉn khoa häc GS-TS TrÇn Vị ThiƯu Thái Nguyên - 2009 S húa bi Trung tõm Hc liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn Å Ð Ä ½ Ị Ỉ Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ị Ị Ø ½º½ Ì Ơ ¿ ị Ø Ị Úđ Ø Ơ é ẵắ ủẹ é ắ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ù ơ Ị Đ ¾º¾ đ ØĨơỊ Ø Ù ¾º¿ đ ØĨơỊ Ø Ù ƯđỊ đ ØĨơỊ Ø ¿º¾ đ ØĨơỊ Ø ¿º¿ Ì Ã Ø ÐÙ Ị Ìđ Ð Ù Ø ịỊ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ò ƯđỊ Ù Ú Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º đĐ Ø Ù Ị Ị ¿º½ ÀđĐ Ø Ù Ị Ị Ø Ø Ị Ị đĐ Ø ề ề ề ỉ ẵ ắ ắ ắ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÙÚ Ø ÕÙị ½ ½ ¾º½ ¿º Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º đ ØĨơỊ Ø ¾ Ị ¿¾ º º º º º º º º º º º º º ¿ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿ Ù ØĨđỊ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ñ òÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¿ Ä Ị ÀđĐ Ø Ø Ù ỊỊ Ø Ù Úđ Ơ ØƯĨỊ Ị ´ Ị Ị Ù Đ º ÀđĐ ØÙÝ Ị Ø Ị ¸ đĐ Ị Ý Ø Ø ººº Ðđ Ú Ư Ø Ù Ị Ø Ị¸ Ú ØƯ ¸ đĐ ỊØ đĐ Ị Ø Ị ´ Ø Úđ đĐ Ø Ù Ị Ị Ị Ð Ø Ị Ø ´ Ị Ị ØƯ Ờ Ø Ị Ị Đ Ø Ø ỉ ề ặ ừề é ủề ủẹ Ø Ù Ị Ơ đĐ Ị µĐ Ị Ø Ị ỊØ đĐ Ðđ Đ Ø đĐ ÕÙ õĨ đĐ Ư Ị ÙÚ Ù đĐ Ø Ù Ị Ị đ ØĨơỊ ØÙÝ Ị Ø Ị Ị ĨđỊ ØĨđỊ Ị Ø Úđ ÕÙ Ơ ơƠ Ø Ø Úđ Ù Ơ Ø Ị ¸ Ù Ðđ đĐ Ø Ù Ị Ð Ơ đ ØĨơỊ Ịđݺ Ỵ Ø Đ Ĩõ Ðđ Ù đ ØĨơỊ Ø Ù ¸ ØÙÝ Ị Úđ Đ ÙÚ Ù Úđ ØƯ Ị ÙÚ Ờ Ư Ị đÝ Đ Ø ÙỊ ÐÙ Ị Ú Ị Ị ịỊ¸ Ị Ø Úđ ỊØ Ø Ú Ø ĐØ Ø đỊ Ú ị Ø ĨÐ ¸Ị ỊÐ Ø ƠÐ đÝ Đ Ø × đĐ Ø Ù Ị Ị Ị Ị Ù ØƯĨỊ ÐÙ Ị Ú Ị Ò Ø Ù Ò ØÖ Ò ÕÙ Ò ØÖ Ò Ù Ĩõ ÐÙ Ị Ú Ị Ðđ Ø Đ ØƯ Ị Ị ¸Ø ƠÐ Ø ØƯ ´ Ø Ú ì ễ ừẹ ề ề ề ẵ óặ ẫ ề éủ ủ ỉểụề ỉ é ề ề ủ ì ỉ ủ ỉểụềá ễ Ø Ù ÕÙ Ị Ø Ø Ị õỊ¸ Ú đĐ Ø Ù Ị Ị Ð Ơ đ ØĨơỊ Ø ƠƯ Ị đĐ Ø Ù Ị Ị Ị Ú øỊ Ơ µº Å Ø Ðđ đĐ Đ Ø Ù Úđ đĐ ƯđỊ Ị Ø Ị º ÀđĐ Ø Ù Ị Ị Ơ Ị Ù ÙÐ Ưµº Øđ ÐÙ Ị Ú Ị Ị đĐ Ư Ị Ị ص Ư ỉ ế ề ể é ìá ụ ủẹ ẵá Ơ Ø Ù ỊỊ Ị ´ õĨ Ĩ Ø ØƯĨỊ Ĩ Ị Đ ØØ Ð Ø Ø Ø Ðđ Ø Ø đĐ Ø Ù Ị Ị ịỊ Ðđ đĐ Ø Ù Ị Ị Ĩ Ị Đ ØØ Ð º Ý Ø Ù Ị Ị Ị ¸ ỊØ Ị Ø Ý Ị Ị đĐ Ø Ù Ị ề ẹ ẳá ỉ ề ủ ỉ ễ Ð Ị Úđ Ị º ĨÚ Úđ ề é ọ ụ ẹ ỉ ì ề Ø Ị¸ Ị Ú ịỊ Ð Ị Ơ ØƯĨỊ Ị Đ ĐỊ Ĩõº Ù ÚúỊ ØúØ Đ Ø × Ị Đ Ú Ø Ơ Ị ĐÚ ¾ Ú Ị Ú Đ Ø ØĨơỊ ị Ø Ð Ø Ø ÕÙị ơ Ị Ị Úđ Ị Đ đĐ Ð ¸ đĐ Ð Ĩ Ị ¸ Ø Ị Đ Ø × Ị ØỊ Ị Ø ũề ề ì ủ ủ ỉểụề ỉ ủ ỉểụề Ø Ù Ø Ù¸ Ä ØÙÝ Ị¸ Ơ Ị Ù Ị Đ Úđ Ị ØỊ ÙƠ Ø õØ Ị Ø Ị Ĩ ÕÙ Ị Ị ịØ ØỊ đ ØĨơỊ Ø ĨØ Ị ØƯơỊ Ơ ó đĐ Ø Ù Ị Ị ØÙÝ Ị Ị ÙỊ Ị Đ Úđ Ø ÕÙị Ù ØĨđỊ ¸ Ø Ị Ị Úđ Ù Ị Ù º Ư Ị Ư Ù Ị ịỊ¸ Ú ÙÝ Ị Ư Ị Ị º Úđ Ị ỊØ ĐỊ Ĩõ Ĩ ä Ờ Ð Ơ đ đ ØĨơỊ Ü Ø Ø ãmaxä Ðđ đ ØĨơỊ ØÙÝ Ị غ Ì Ĩõ ØĨđỊ Ơ Ø Ø Ị Ù Ị ƯđỊ đ ØĨơỊ Ø Ị õØ Đ Ù ØÙÝ Ị Ø Ị º Ỵ Ù Ị Ð Ø Ò ÙÐ º õÒ Ò Ò ÐÙ Ị Ú Ị ỊđÝ Đ đÝ Ị Ø Ù Ù ƯđỊ ỊđÝ × Ị Úđ Ø Ù ¸ Ø ÕÙị Ị Ú Ø ÐÙ Ị Ú Ị Ị Ị Ị Ơ đĐ Ø Ù Ị Ị ề ỉ é ìỳễ ĩ ễ ủ ỉệ Ị × ÙÚ Đ Ø ƯđỊ Ø Ị Ú ÌƯĨỊ ÕÙơ ØƯ Ị Ù ÙÚ Ị đݺ Ĩõ ØÙÝ Ị Ø Ị Úđ ÕÙ Ị ØØ đ ØĨơỊ ãmin-maxä Đ Ø Ø đÝ ÚúỊ ØúØ Ùº Ỉ ÙƠ Ị Đ Ị ÕÙݸ đĐ Ä Ø ÕÙị ØƯ Ị ØÙÝ Ị Ú đÝ ØƯĨỊ Ư Ị º Ị ÃÃÌ Ĩ Ø Ị ¿ ã đ ØĨơỊ Ø ØĨơỊ Ø Ị Ị Ù ƯđỊ Ø Ðđ ØƯ Ị ØƯ Ị Ị Ị Đ Ị Ị Ø Ơ Ü ¸ Ư Ị Ø Ùä đ ØĨơỊ Ø Ù Úđ Ø ÙỊ Ị Ù đ ØĨơỊ Ø đĐ Ø Ù Ị Ị ÙƠ Ị ƯđỊ Ị º ặ ề ề ắ ó ụ ì × Ø Ị Ø Ị Ù ØƯĨỊ Ü Ị º Ìơ Ý Úđ õỊ Ị Ð Ðõ ó Ø Ú ØĐ Ù Øđ Ĩ Ø Ư º Ú Ị ịỊ ú úỊ ị ÐÙ Ị Ú Ị Ư Ø ĐĨỊ Ị Ị Ơ ÐÙ Ị Ú Ị Ị Ị Ị ĨđỊ Ø Ị Ý Ị Ịº Ỉ Ị ễ ềủíá ỉụ ậạèậ èệ ề ẻ è èụ ũ ĩề ẻ ề èểụề ỉừể ì ũề ỉệ ị ÜỊ Ù óØ ỊØỊ Ị Ø đỊ ịĐ Àđ Ỉ ¸ à Ĩ ØƯ õÝ Úđ ØõĨ Đ đÝ Ø Ị õ Ù Ð Ị Ơ Ø Ị × Ù ×ú Ị Ø Ị ØƯĨỊ ×Ù Ø ÕÙơ ØƯ Ị ÐđĐ ÐÙ Ị Ú Ịº Ị Ø Ị ề íá ỉ ể ềỉ ềé ề ẻ ề ề ề ề ỉ ềá Ĩ ÌĨơỊ Úđ È Ø Ị Ị Ø Ị¸ đĨ õ Ì Ỉ ÙÝ Ị ó Ø Ị ØỊ Ĩ Øơ ị ØƯĨỊ ÕÙơ ØƯ Ị Ø Ơ Øõ èụ ẫũề ũ ề ĩề ặề ẻ ỉá ề Ø đỊ Ị Ìơ Ị Úđ Ị Ĩ Ị Øơ Ị Ø đỊ ịĐ Ị ơĐ Ù Úđ Ø ị Ị Øơ ó ØõĨ Ị Đ Ú Ị ÐóỊ Ý Ị ơĨ ÌƯ Ù Ị ỊØ Ù ỊÐ ơĨ Úđ đĨ ØõĨ ÌÀÈÌ ÀĨđỊ ÉÙ Ị Ø Øơ ị ĨđỊ Ø Ơº ị Ị Ü Ị đÝ Ø × ÕÙ Đ Ị Úđ Ð Ị Ø õĨ Ë ề ú é ề í ề ỉ ề ì ìỳ ỉ ề ề ỉụ ẹ ũ ØƯĨỊ ×Ù Ø ÕÙơ ØƯ Ị Úđ Ú Ø ÐÙ ề ề ềủí ủ ặ ỉ ụề èụ ằắẳẳ ũ ề ẵ ặ ề ềỉ ũ ỉ Ð Ị ỊđÝ Ị ú Ðõ ÚúỊ ØúØ Đ Ø × ´Ø Ơ Ð ¸ đĐ Ð ØĨơỊ Ø Úđ Ø Ị Ùº Ỉ ÙỊ ØƯ Ị ỊØ ũềá ề ỉ ỉà ễ ể ỉ ẹ ñÝ Ò ÒñÝ ØÚ Ù Úñ Ò Ý Ù ị Ø Ð Ị Ù đ ØƯ Ị ỉủ é ẵá ắ ẵẵ è ễ ề ủ ỉ ẵẵẵ è ễ ể ễ é ề x1á x2 Ðđ Đ ØƯĨỊ Rn º Ị Ø øỊ ÕÙ x1¸ x2 Ðđ Ø Ơ Đ x = λx1 + (1 − λ)x2 = x2 + λ(x1 − x2 ) ¸ λ ∈ R Ì ƠM Đ Ỉ Ø Ù ⊆ Rn Ðđ Ø Ị Ị ÙM Ø Ù ơ ¸ M Ðđ Ø Ơ Ø Ị Ị ề ề ì ữề ỉ è ề ũ ề Ø øÒ λi xi x= i=1 λ1 , λ2, · · · , λk ∈ R Úñ k λi = i=1 Ơ ØÙÝ Ị Ø Ị Đ Ø k Ú ÕÙ M ¸ Ø Ðđ ∀x1, x2 ∈ M ¸ λ ∈ R ⇒ λx1 + (1 − λ)x2 ∈ M º Ø MÚ Ơ Đ x∈R Đ õỊ Ø Ðđ Ø Ơ Ị x0 ∈ M Ø Ị Úđ ĨỊ¸ Ø Ðđ Ị Ù ´L Ị Ú Ù Ø Ơ Đ λ1 , λ2 , · · · , λk ∈ Rn º Ỉ Ù M ⊆ Rn Ðđ Đ Ø Ø Ơ L = M − x0 = x − x0 | x ∈ M Ðđ Đ Ø a, b ∈ L Ø Đ Đ Ơ Ơ Ị Úđ Ơ Ơ Ị c = λa + µb Ú ỊÚ Ị Ị λ, µ ∈ R ề ỉ L ề ẻ íá Đ Ø Ø Ơ Ị Ø Ị M = x0 + L = x0 + v | v ∈ L ¸ ØƯĨỊ Ø Ơ Ị x0 ∈ M Úđ L Ðđ Ị ½º½º Ị Đ ØØ Ơ Ị Ị Ì Ơ Ị Đ Ị Ị Ị LØ Ị x0¸ Ø x0 Ðđ Đ Ø ÙÝ Ị L Ðđ Ị í ề ẹ ềì ểềà ééà éủ ỉ ễ L ỊđÝ Üơ Ị ÙÝ Ị Ị ´ Eº ề ểề M è ìểề ể ẻ ề M Ðđ Ø Ị Ị ĨỊº à Ị Ơ Ø Ù ÚđĨ M Mº À Ị Ị ¸ ĨỊ ×ĨỊ Ị Ị Ø M Ị ĨỊ غ Ì Ý Ị Ðđ × Ị Ø Ù Ù Ị Ị Ø Ơ Ị ĨỊ ×ĨỊ ×ĨỊ Ú Ị º E ⊆ Rn Ðđ Ø Ø ị Ø Ơ Ơ E¸ Ù Ðđ Ị ØƯ Ị Ĩ Ú Ò aff E º ØÙÝ Ò Ø Ò Ax = bá ỉệểề A éủ ẹ ỉệ ề ễ m ì n Úđ Ú Ø b ∈ Rm ¸ Ðđ Đ Ø Ø Ơ Ị º Ì Ø Ú Ý¸ Ú x1, x2 ∈ M ¸ ∀λ ∈ R¸ Ø A λx1 + (1 − λ)x2 = λAx1 + (1 − λ)Ax2 = λb + (1 − λ)b = b ⇒ λx1 + (1 − λ)x2 ∈ M Ỵ Ĩ ½º¾º Ị Ðđ Đ Ø Ơ øỊ ½º½º¾º Ë Ë Ị ¸ È ØƯĨỊ Ị Ù Úđ Ø dim M º Đ ØƯĨỊ Ị Ø Ø dim M = nº Ò Ø Ø Ò aff E = x ∈ R3 | x3 = º Đ ØØ Ơ ĨØ Ơ M ⊆ Rn Ðđ × ỊØ Ư ĨƯ ễể ềỉà ỉ ễ Má í ệữề ỉ ễ ề ÙÝ Ị Ý Ĩ Ù Ðđ ri M ¸ Ðđ Ø Ơ M Ơ Ị ØƯĨỊ º Ðđ Đ Ò a∈M M Ò Ù Ø Ò Øõ B(a, ǫ) ∩ aff M ⊂ M º M º Å Ø Ø Ô M ⊆ Rn Ø Ù M ⊆ Rn dim M < nº Å Ø ´Ö Ð Ø Ú Ò Ò E ¸ Ø Ò ÙÝ ềà B(a, ) ì ể ể ề ỉệểề E = x ∈ R3 | ≤ x1 ≤ 1, ≤ x2 ≤ 1, x3 = Đ ØƯĨỊ ÝØ Ù Ðđ Ðđ ÙĐ Ị ÚÙ Ị Ù Úđ Ù´ Ø Ơ Ị Ø Ø ị Ø Ị ÙÝ Ư Ị ´int M Ị Đ Ý = ∅µ Î E = x ∈ R3 | ≤ x1 ≤ 1, ≤ x2 ≤ 1, x3 = ¸ Ø Ĩ ½º¿º int E = ∅¸ ri E = x ∈ R3 | < x1 < 1, < x2 < 1, x3 = ¸ Úđ dim E = 2º ½º½º¿º Ì Ơ Ð Úđ Ĩ Đ Đ Ị x1, x2 ∈ Rn º Ì Ơ Ø Ø ị Đ õỊ x = λx1 + (1 − λ)x2 = x2 + λ(x1 − x2)¸ ≤ λ ≤ 1¸ Ðđ Ì Ơ Ị ĨõỊ Ø M ⊆ Rn Đ x1 ¸ x2 ¸ Ị øỊ Ø Ðđ Ø Ơ Ð ´ ĨỊÚ Ü × Øµ Ị Ù Ị λx1 + (1 − λ)x2 ∈ M º ´ µ À Ị Ì Ị Ị Ø Ơ Ý Ư÷Ị Ø Ơ Ð Ì Đ x Rn àá è ễ ể ề ểừề ỉ ứề à ẵẵ àá è ễ é ề ề ∀x1 , x2 ∈ M ¸ ≤ λ ≤ ỉ ỉ ề ỉ éủ x1 , x2 º Ù Ðđ Đ Ø Ø Ị Ð Ø Ơ Ð Ðđ Ø Ơ Ð º ÌÙÝ ú Ðđ Ø Ơ Ð º õỊ k λi xi x= i=1 Ú λ1 , λ2, · · · , λk ≥ Úñ k λi = i=1 Ðđ Ø Ø Ơ Ð Ø Ị x Ðđ Å Ị Ð ½º½º Ị Ị Đ x1 , x2 , · · · Ø Å Ơ Ơ Ð Ø Ø Ị Ø Ơ Ø M ⊂ Rn Ø Ù Ò º , xk ∈ Rn º Æ Ù λi ≥ Ú ∀i = 1, 2, · · · , k x1, x2, · · · , xk ∈ Rn º Ðđ Ð Úđ Ị ỉ ỉ ũ ụ ỉ ễ ề ẵắ Ỉ Ị M ⊂ Rn Ðđ Ø Ù Ðđ Ø µ Ỉ Ơ Ð Ơ Ð Ø α ∈ Rn Ø αM = {y | y = αx, x ∈ M} º M1 , M2 ⊂ Rn Ù Úñ × Ðđ Ø Ơ Ð Ø M1 + M2 = x | x = x1 + x2, x1 ∈ M1 , x2 ∈ M2 ĨÐ Úđ ´ ĨỊÚ Ü ÙÐе Ù Ðđ Ø Ơ conv E º E ⊂ Rn Ðđ Ðđ Ø Ơ Ð Ĩ Ị Ị Ị Ðđ Ø Ơ Ð º Ø Ø ị Ø Ô Ð Ø E Eº convE convE À Ò Å Ị Ø Ø ½º¿º Ù Ĩ Ð Ø ẵắ ẻ ểỉ ễé ễể ềỉà ẹễ M Rn º Å Ø M Ị Ùx Ị Ø Ø ỊđĨ Ị Ø Ĩ Ð E ⊂ Rn Ơ Eº Ú Đ Ù Ø x∈M Ị Ø ị Ø Ơ Ð Ðđ Đ õỊ Ø Ơ Ị ƠÐ Ị ´ ÜØƯ Đ Ø M ¸ Ø Ðđ ∃y, z ∈ M, y = z × Ĩ Ĩ x = λy + (1 − λ)z, < λ < 1º Ì Ĩ Ị Ị ¸Đ Ø Ú Ý Ø Ø ị ỊØ Ị Å Ị Ị Đ Ị ½º º Đ Å Ò Ø Ø Ò Ò Ø Ù Ðđ Đ Ơ Ð Ị Đ ØƯĨỊ Ịº Ỉ Ù Ø Ơ Ơ Ø ƠÐ ºỴ Ị Ịº Ị Ị Đ Đ Ðđ Ư Ø Ị Ị Ø M ⊂ Rn øỊ ỊđĨº Đ Ị ủ ề ã è ắà ủ u = ỉ Ị Ị ØØ ´¿º µ Úđ ´¿º µ Ị Ị Ị ơƠ Ị Ị ÙÐ Ư ÚđĨ ´¿º µº ã ềề ì ề ỉệểề ể ỉ m (p − q) Ë Ò øÒ Ø λ∗i [gi (x∗) − bi] = i=1 ỊđÝ ÚđĨ ´¿º µ Ị Ĩ Ø q (1 − u) p Ù ỊđÝ Ĩ Ø Ĩ ×ÙÝ Ư Ĩ m λ∗i bi = 0, i=1 u = 1á ỉ ủ ẵẵà ể ỉ í q p ã m i bi = −f (x∗) = i=1 u = Ò ề ỉ ẵà ìí ệ gi (x) bi, i = 1, 2, · · · , m Úñ Ø ´¿º µ λ∗i [gi(x∗) − bi], ∀i = 1, 2, à à à , m ủ ặ ề ĩ ỉ ẵ ũỉ ỉ ẵẵà èệ ề ễ u=0ệ ỉ ề é ظ Ø Ị Đ Ị ÜĨỊ º ú Ơ Ị ÚđĨ (H) Ị × Ù bi < Ú Ø Ị Ø Đ Ø i ∈ {1, 2, · · · , m} Ó b ≥ 0, ∀i = 1, 2, · · · , m Úđ inf P < i Ỉ Ị ĩ ỉ ắ (P ) ẻ ỉ ặ x ÔÒ Ò Ú (P ) Ø (x, 1) Ô ề ề ẵắà inf P inf P èệ Ị Ơ p = q > 0¸ đ ØĨơỊ (P ) Ù ØƯ Ị ịỊ u.f (x) : x ∈ K; gi(x).u ≤ bi , i = 1, 2, · · · , m; u ≥ Ã Ø ÕÙị × Ù Ị (P ) Ð ¿º º Úđ Ý ị × ×ÙỊ Ĩ p = qº (x∗, 1) Ðđ Ị Ị Ð ¿º º x∗ ∈ K Ã Đ Ø ½ Ðđ Ị Đ Ù ØĨđỊ Ø (P )º Ù ØĨđỊ Ị Đ Ị (y ∗ , u) ∈ K × R+ Ðđ Ị ị × º Đ Ø Ù ØĨđỊ f, gi, i = 1, 2, · · · , m¸ Ðđ đĐ Ø Ù Ò Ò Ø Ó p x∗ = u y ∗ ∈ K Ðđ Ị Đ ƠỊ Ị (P )º q Úđ K Ðđ Đ Ø Ị Ị Ò Ò (P )º À Ò Ò ¸ inf P ≤ f (x∗) = uf (y ∗) = inf P , Ú Ø inf P = f (x∗) = inf P ỉ ẵắà ìí ệ ặ éừ x Ðđ Ị ị × inf P = f (x∗) Ø ØĐ óÝ Ị un f (y n) ↓ inf P ẻ ỉ f (x) ặ (x, 1) Ðđ Ị ¿º¿º¾º Đ Ø Ù xn = (un) p y n ∈ K Ðđ Ị Đ Ðđ ÙÚ Ð ºỈ Ø Ị Ị Øơ Ø đỊ (P )º Ỉ Ù Ị inf P < {(y n , un)} ⊂ K × R+ × Ĩ Ĩ õỊ Ú n n ≥ n0 Ø ƠỊ Ú Ý¸ Ơ ị Đ Ø Ù ØĨđỊ õỊ (P ) Ø Ù ØĨđỊ Ð Ị¸ øỊ f (xn) < f (x∗)¸ Ðõ Ðđ Ị ĐØ Ị un f (y n) ≤ (P ) Úñ inf P = f (x∗)¸ Ị (P )º (P ) đ ØĨơỊ đ ØĨơỊ Ø Ù Ð Ị Ø Ơ ´Ø Ĩ x ∈ Rn Úđ u ∈ R+ µ q q minx∈K u.f (x) : gi (x) − bi(1 − ) u ≤ bi , i = 1, 2, · · · , m; u ≥ p p Ỵ x∈K Đ Ø Ị Ị ¸ đ ØĨơỊ u ≥ 0¸ Ù Ðđ q max − p (D)x Ị ØƯĨỊ Ðđ đ ØĨơỊ ÕÙÝ Ĩõ ØÙÝ Ị Ø Ị Ø (LP )xº Ò m m λi bi : f (x)+ i=1 i=1 Ý Ðđ đ ØĨơỊ ÕÙÝ Ĩõ ØÙÝ Ị ỉ ề ặ íá ủ ỉểụề (D) Ị ØĐ Ú min-max Ø minx∈K maxλ≥0 ØƯ Ø Đ ÃÃÌ ÌƯ Ị øỊ õỊ¸ x∗ Ơ Ư ÙỊ Ù q − p Ị (LP )x Ðđ đ ØĨơỊ q λi gi (x)−bi(1− ) ≥ p ƯđỊ Ị Ú Ù Ị đ ØĨơỊ m m λi bi : f (x)+ i=1 Ĩ i=1 (P )º Ỵ Ø ¸ Ú Ø Đ Ú Ịλ (P ) Ðđ ≥ 0º q λi gi (x)−bi(1− ) ≥ p Đ ÃÃÌ x∗ (P ) ÕÙÝ Ú (D)º Ị º Ø p = q Úđ Ị Ù bi ≥ Ú f (0) = Úñ ∈ S Ú S Ðđ Ø Ơ Ị Ị Đ Đ ¾ ịỊ Ĩơ đ ØĨơỊ i = 1, 2, · · · , m Ø ƠỊ Ị (D) Ị Ù ỉệ ề inf P < 0á (P ) ẻ ỉ Ò Ò ¸ Ø xÒ Ø Ò ÕÙ Ò Ø Đ Ø ÙØ ØƯ Ø đỊ ´Ú Ù ¸ (D) Ò m λi bi : f (x) + i=1 i=1 λi gi (x) ≥ [a]+ = max{0, a}µ ịỊ (D) x ∈ K Ø Ĩị ĐóỊ f (x) < Úñ Ú m −f (x) max{i:gi(x)>0} −bi gi (x) Ó Ò q − p maxλ≥0 Ò Ò + = max{i:gi(x)>0} f (x) Ðđ đ ØĨơỊ min{x∈K,f (x)0} f (x) Ì Ø Ú Ý¸ Ị Ù 1, 2, à à à , má ỉ ẻ • ÉÙÝ Ĩõ bi gi(x) x ∈ K × Ó Ó f (x) < Úñ gi (x) < Ú ĨØỊ Ø Ù ỊỊ Ø Đ Ø × ØỊ Ị đ ØĨơỊ Ø ´p ØÙÝ Ị Ø Ị inf P = −∞º Ù đ ØĨơỊ min-max (D) Ị Ñ (D) õÒ Ù i = Ò = q = 1µ min{< c, x > : Ax ≥ b, x ≥ 0} Ú đ ØĨơỊ bi gi(x) K = Rn+ õÒ minx∈K maxλ≥0 {< λ, b > : < c − AT λ, x > ≥ 0}, (D) ØƯ Ị Ú đ ØĨơỊ Ị ÙØ Ị Ø Ị max{< λ, b > : AT λ ≤ c, λ 0}, ã èí ề ỉ ề ạỉểủề ễ minxK đ ØĨơỊ (D) minx∈K ´ đĐ Đ Ø Ù Ị − m Óõ < x, Qx >: Ax ≤ b Ú min-max (D) Ø minx∈K max0 ã ẫí ề ề i bi : i=1 ƯđỊ Ù ØÙÝ Ị Ø Ị µ K = Rn õÒ b < x, Qx > + < λ, Ax− > ≥ 2 < x, Q0x > : < x, Qix > ≤ bi , i = 1, 2, · · · , m Ú ¿ K = Rn đ ØĨơỊ min-max (D) Ø Ò Ò õÒ m (D) ¿º − minx∈K maxλ≥0 Ì Ị Ơ Ø Ị p ´ q µº ÌƯ đݸ Ø Ư i=1 ịØ Ị Ơ Ø bi ≥0Ú ØƯ Ị à ¸ Đ ÃÃÌ Ðđ Ị p = qá ề ẹ p = q ũ ì Rm +º Ò f (gi , i = 1, 2, · · · , m) Ðđ đĐ Ø Ù Ị Ị Ø ØØ × Ị Ù (P ) ØƯĨỊ ØƯ ¿º½º Ä i=1 Úđ x∗ x∗ Ị đ ØĨơỊ Ðđ Ðđ i=1 Ị Ä y∈K Đ Đ Ị Ư Ị Ù º Đđ (P ) Đ ÃÃÌ Đ Ø ÑØ (D)º i = 1, 2, · · · , mº m Ú λi Qi x > ≥ ếụỉ ã ỉ ủ ỉểụề (P )á ỉệểề ỉệ ề λi bi : < x, Q0 + Ù ØĨđỊ ¿º º½º ÌƯ m Ù ØĨđỊ Ị Ị Ú Ù ØĨđỊ ịỊ Ị (P ) Ò Ø Úñ −bi f (y), gi(y) λ∗i bi ≥ min{i:gi(y)>0} ẵà f (y) < ề ề ể x∗ Ðđ Đ ÃÃÌ λ∗ ∈ Rm + Úđ Ĩ f, gi Ðđ đĐ Ø Ù Ị Ị Ø (P ) Ò Ú Ò Ò Ø pÒ ÒØ m ∗ inf P = f (x ) = − Ì Ú Đ inf P = inf P ´ Ị Ð ủ ì ỉ i bi i=1 ề Ò y∈K Ø m ∗ f (x ) ≤ maxλ≥0 Ỉ (D) Úđ (P ) ×ÙÝ Ư ĐØ Ù − m λi bi : f (y) + i=1 i=1 ÕÙÝ Ĩõ ØÙÝ Ị Ø Ị • −∞ Ị Ù f (y) < Úđ gi (y) < Ú • Ị Ù f (y) ≥ Úđ gi (y) < Ú Đ Ú Ơ ị Đ λi gi (y) ≥ øÒ Ø i = 1, 2, · · · , mº i = 1, 2, · · · , mº ØƯ Ị ÷Ị −f (y) gi (y) • maxi:gi(y)>0 − Ĩ Ị Ðđ Ĩ Ø ÕÙ Ò Ø Ñ Ø Ò Ò Ò Ò bi Ò Ù ØƯơ Ðõ ´ inf P = inf P Ị Ị ØƯ Ù Ị + Ơ Ị Ơ ị Ðđ Ị Ị ÜịÝ Ư Úđ ÷Ị Ơ ịỊ Ị º (P )º Ĩ Ø ÐÙ Ị x∗ Ø Ĩị ẹúề ẵà ũì (P )á ỉ ẹ ỉ Ù ØĨđỊ Đ Ø Ù ØĨđỊ [a]+ = max{0, a}) y ∈ K Đđ f (y) < 0º Ị Ị ĐỊ Ù Ù ØĐ (x∗, 1) Ị Ðđ y∈K × Ĩ Ĩ m ∗ inf P ≤ f (y) < f (x ) = − Ë Ø Ị Ị ÉÙÝ Ị Ĩõ Đ − Ò m λi bi : f (y) + i=1 ØÙÝ Ị Ø Ị ƠỊ i=1 ỊđÝ Ị º À Ị Ò f (x ) = − i=1 Ø Ò ØÖ ề ề ề ệ ẵà Ò −f (y) gi (y) x∗ Ø Ò ØÖ Ò ủ é ề f (y) < ẻ ỉ + Ư Ị Ø Ị Ị y ∈ K Ú S = {x | gi (x) ≤ bi } Ðñ Ø Ơ Ị Ùµ Ä bi = max{i:gi(y)>0} bi f (y) gi (y) Ị ĐỊ º (P )¸ Ú Ù Ú Ị y∈K Ú ¸ λi bi > max{i:gi(y)>0} − λi gi (y) ≥ < f (x∗) Đ Ø m ∗ i=1 (D) Úđ (P ) Ĩ Ø Ý m maxλ≥0 λ∗i bi Đ Ðđ Ị Đ Ø Ù ØĨđỊ Ị f (y) < ƠỊ Ị Ø Ĩị ĐóỊ (P )º ÀđĐ (P ) Ðđ Ị Ú m L(x, λ) = f (x) + i=1 Ì × Đ Ø Ị Ø Ư÷Ị Ú ØĐ Ị đ ØĨơỊ ÕÙÝ Ĩõ Ð Ú Đ Ø λi [gi (x) − bi ] Ù ØĨđỊ đĐ Đ Ø Ù ØÙÝ Ị Ø Ị ¸ (P ) ÕÙÝ Ú Đ ÃÃÌ ị x∗ Ðđ Ị Đ Ø Ù ØĨđỊ ØƯĨỊ Ø đ ØĨơỊ Ù Ðđ đĐ Ä Ư Ị ¸ đ ØĨơỊ ØƯ Ị K º ÌƯ Ị Ị Ø Ð Ä ¿º º Ư λ∗ ∈ Rm +º Ị L(·, λ∗) ØƯ đĐ x∗ ∈ K ị × Ðđ ị x∗ Ị đ Ðđ Ị Đ Ø Ø Đ øỊ º (P ) ØĨơỊ đĐ Ø ÄÅÁ ´ Ị ÕÙơ Đ ÃÃÌ ị × ƠĐ (P ) Ðđ đ ØĨơỊ Ð Đ ØƯ Ị ØÙÝ Ị Ø Ị µ¸ Đ Ø đ ØĨơỊ Ø Ị Ị Ø Ị Ị Ú Ù ØĨđỊ Kº à Ị µ m q λ∗i gi(x) − bi (1 − ) ≥ ØƯ p f (x) + i=1 µ (P ) Ø Ị q p minλ≥0 Ị Ị Đ Ị ỊØ Ä Ị Ị m i=1 ØĨơỊ ÕÙÝ x∗ ∈ K éủ ũì Rm + ặ ệ ề ề Ị đ Ĩõ K Ð q λi bi : f (x) + λi gi (x) − bi (1 − ) ≥ ∀x ∈ K p µ º Ú Ị ØØ Đ ÃÃÌ Ư Ị ¸ Ị ´¿º µ Ø Ò m λ∗i gi (x∗) f (x ) + (P ) Ø Ò Ò Ú (x∗, λ∗) Ø ểũ ẹúề àá ể é ệ ủể ủ ủ ỉểụề ẵ i=1 pq = p Ị ơƠ m λ∗i bi , i=1 Ú Ø m ∗ ∗ λ∗i [gi(x∗ f (x ) = f (x ) + i=1 Ĩ x∗ Ðđ Ị Đ Ø Ù ØĨđỊ m λ∗i [gi(x) f (x) + i=1 Ị Ðđ q − bi]) = − p đĐ Ä q − bi] ≥ f (x ) = p ệ ề m i bi, ẵ i=1 L(·, λ∗) ØƯ Ị K Ị Ị m ∗ i=1 i bi , xK, ẵ à è ẵ àá ẵ ìí ệ f (x ) ≤ maxλ≥0 q p m m λi bi : f (x) + i=1 i=1 q λi gi (x) − bi (1 − ) ≥ 0, x ∈ K p ẵ ềề x K ể ỉệ Sx = λ ∈ Rm + Ø Ø Ô m : f (x) + i=1 q λi gi (x) − bi(1 − ) ≥ p Ø Ô m x∈K = λ∈ Rm + Ú x∈K Ø Ó q − p max Ỵ Ø Đ : f (x) + i=1 q λi gi (x) − bi (1 − ) ≥ 0, ∀x ∈ K p m λi bi : λ ∈ i=1 x∈K Sx ≤ max q − p m i=1 λi bi : λ ∈ Sx ¸ Ø ẵ ìí ệ q p f (x ) ≤ minx∈K max Ã Ø ƠÚ Ðđ Ø Ơ é ề ề ặ í = inf P º Ù Ị ¸ Ư ƯđỊ ØƯĨỊ Ị Ð ¿º Ù x∗ Ðđ Đ Ø Ị Ị S ịØ Ø Đ ÃÃÌ ¸Ị f (x) =< Q0x, x > Úñ gi(x) =< Qix, x >, i = 1, 2, · · · , m, Ø Ĩõ Ð ´¿º½ µ ØƯĨỊ Ị Ð ¿º Ðđ đ ØĨơỊ Ø Ù ÄÅÁ ´ x∗ Ðđ L(·, λ∗) ØƯ Ị Đ Ø Ù ØĨđỊ K = Rn Úđ (P ) Ðđ đ ØĨơỊ ÕÙÝ Ĩõ Ư÷Ị Sx (P ) Ơ Ị ØƯĨỊ L(·, λ∗) ØƯ Ị S ∩ K º S ∩ K Ðđ f Úđ đĐ gi Ð º µ x∈K µº ∈ int S Ø Ò λi bi : λ ∈ Sx = inf P p=qØ Ơ ƠỊ Ị Đ Ø Ù ØĨđỊ µÅ Ø i=1 f (x∗) Ị Ù ỊđÝ Ĩ ỉ ề ĩ ỉ ụ ệ ề ủ ề ẵắà Ø Ị m Ðđ đ ØĨơỊ ÕÙÝ Ø øỊ Ø Đ ØƯ Ị ØÙÝ Ị Ø Ị µ m maxλ≥0 − λi bi : (Q0 + i=1 đ ØĨơỊ ỊđÝ Ø Ỵ (P ) ¿º º m λi Qi ´Đ ØƯ Ị Ị Üơ Ị i=1 ị Đ Ø Ø đ ØĨơỊ Ø Ù Ị ÕÙơ Ị Ð ØƯĨỊ º R2 (p = 1, q = 2) minx=(x1 ,x2 )∈K {x1 : x21 − x22 ≤ 1; x1 : x21 + x22 ≤ 7}, Ị µ , K = R2 º Ø Ú Đ ÃÃÌ λ∗ = ( 18 , 81 )º Ì Ä ØỊ x∗ Ị Ðđ Ị Ù Ị x21 L(x, λ∗) = x1 + Ö Ò √ x∗ = (−2, ± 3) Ø ÷Ị Ø Đ Ø Ù Ị Ị Ú Ị ỊØ Ä Ư Ị Đ Ø Ù ØĨđỊ − ØƯ Ị K º Ỵ Ø ¸ ØƯ Ø Ù (P ) Ị Ị A ⊂ R2 Üơ λ1 + 7λ2 ØƯ Ị Ø Ơ Ð đĐ Ị x21 + λ1 (x21 − x22) + λ2 (x21 + x22) ≥ 0, ∀(x1, x2) ∈ R2 ; λ1, λ2 ≥ ¿º º¾º ÌƯ ÌƯ Ị Ị Đ ØƯ Ị Ø X −Y Ị Ðđ Å p = q = Ø Đ ÕÙ Ị ØƯ Ị Ơ Ị º Ỵ Ơ Üơ Ị Ị Ú ỊđÝ Ø Ü Ø đ ØĨơỊ ÚÙ Ị ¸ Ü Ị ظ ị Ú Ð Ø ÙÝ Ø Ð Ò Ò Ø Ù X, Y Y Ò X Ị º ịỊ (P ) Ú f Úđ đĐ gi (x) Ðđ đĐ õỊ gi (x) Ðđ đĐ ØĨđỊ Ơ Ị Ị º ÌƯĨỊ Đ K Ðđ Ị Ị Ð ¸ f Ðđ õỊ ØĨđỊ Ơ Üơ Ị Ị º Ø Ðđ Ú Đ Ị Úđ x f (x) =< Q0x, x > Úñ gi (x) =< Qi x, x >, i = 1, 2, · · · , m, Ú Qi Ðđ Đ ØƯ Ị Ø 1, 2, · · · , mº ÌƯĨỊ ØƯ (P ) Ị Ðđ Ị Ị Ð ¿º ề ề ỉ S x Ị ØƯĨỊ Ðđ Ị à ¸ Đ x∗ Ơ Ðđ Ø Úđ Ư Ø Ðđ − Úđ n K=R ị × Ị Ù − 0, i = Đ ÃÃÌ Ư Ị Ù ØĨđỊ ØƯ Ị x∗ ∈ K S ∩K Ø (P ) ÕÙÝ Ú đ ∈ int S ¸ Ơ Ị m Ø (P ) Ø i=1 Ò Ò (P ) Ø Ị Ị Ú Úđ L(·, λ∗) ØƯ Ị Ú S K ủ ỉểụề é ẵ i Qi x, x > ≥ 0, ∀x ∈ K đ ØĨơỊ Ð ÄÅÁ m λi Qi λi bi : Q0 + i=1 ØĨơỊ (P ) Úđ (P ) ⇔ Ú λi bi : < Q0 + i=1 đ Ư÷Ị Ù ØĨđỊ m maxλ≥0 ĐØ Ị Ù đĐ Ä Đ ÃÃÌ m maxλ≥0 Ư Ư÷Ị Ị Ú ØĐ Ị λ∗ ∈ Rm + Ị Ơ Ơ ỊđÝ Ø × x∗ ∈ K ị × Ư i = 0, 1, · · · , m Úđ Qi ịº ¿º¾º Ị Ø Ü Ị ¸ Đ Ø Ù ØĨơỊ ÕÙÝ Ĩõ Ð Ị i=1 ề ĩụ ề ề ẵ µ Ị Đ Ị º Ì Ĩ Ị Ð ¿º L(·, λ∗) ØƯ Ị K ØĨđỊ Ị ÝỊ Ị Ø x∗ Ị Ðđ Ị Đ Ø Ù ØĨđỊ ØƯ Ị m λ∗i gi (x) L1(·, λ ) = f (x) + ∗ ØƯ Ị Ø Ø Ị S ∩ Kº Ø Ị Đ Ø i = 1, 2, · · · , m¸ S Úđ K Ð Ðđ Ị Đ Ø Ù Ơ L1 (x∗, λ∗ ) = Ị Ị i=1 x∗ Ðđ Ị ĐỊ Ĩ Qi Ị u = y − x∗ Ðđ L(·, λ∗) ´ Ĩ Ị L(·, λ∗) Đ Ø Ù ØĨđỊ y ∈ S ∩ Kº Ị Ò λ∗i bi = L(·, λ ) + i=1 K m ∗ ÌƯ Đ Ø Ù Üơ Ị Ị Ị Ú ƠỊ Ị Đ º Ỵ x∗ L1 (·, λ∗)µ ØƯ Ị S ∩ K Úđ ▽xL1 (x∗, λ∗ ) = Ò Ò Ø < ▽2xx L1(x∗, λ∗)(y − x∗), y − x∗ > ≥ Ì L1 (x∗, λ∗ ) ≥ = L1(x∗, ) ỉ ìí ệ m 2xx L1 (x, )y, y < ẻ ỉ ỉệ ề x Ðđ Ị λ∗i Qi y, y > = 2L1(y, λ∗) > = < Q0 + i=1 L1(x∗, λ∗) ´ Ĩ Đ Ø Ù ØĨđỊ Ị Ø i=1 Ị Ị Ðõ Ðđ Ý × ÕÙị ¿º º x∗ Ðđ ị × ÕÙị Ø Ị ÙƯ Ø Ù ØĨđỊ À Đ y ∈ K, m < Q0 + È L(·, λ∗)µ S ∩ K º Ĩ ∈ int S Úđ K Ðđ Đ Ø Ị Ị Ò Ò Ó Ø Ò Ø Ù Ò Ò Ø Ø = L1 (x∗, λ∗ ) ≤ L1(y, λ∗) Ú (P ) Đđ Đ ÃÃÌ bi > Ú Ị Ð ¿º º Ù Ĩ Đ f λ∗i Qi x, x > ≥ ØƯ Ị K Úđ đ Ị Ĩ Ị Ị ịØ Đ ÃÃÌ (P ) Ø Ò i = 1, 2, · · · , m Úñ ´Ú < ▽2xx L(x∗, λ∗)u, u > ≥ Đ (P ) Ðđ Ị Đ Ø gi Ð º gi , i = 1, 2, · · · , m¸ ØĨơỊ x∗ Ị Ðđ Ú Ị õỊ ØĨđỊ Ơ Ị Ị Ø Ä λ∗ ∈ Rm +º Ư Ị Úđ ị I(x∗) = {i : gi (x∗) = bi }µ < ▽gi (x∗), u > 0, i I(x) ắẳà ụ ỉệ Ø x∗ Ðđ Ị Ù Đ đ Ø ØĨơỊ Ð − Ị Đ Ị Ø (P ) Ðđ Ù m λi bi : Q0 + i=1 à º ØƯ ÄÅÁ m maxλ≥0 (P ) Úđ Ù ØĨđỊ ´Ị λi Qi Üơ Ị Ị µ i=1 Ù m ∗ λ∗i gi (x) L1(x, λ ) = f (x) + i=1 ÌƯ ØØ K∗ Ø Ơ Ị Đ Ị Ư÷Ị x∗ º Ë Ù ØỊ L1(·, λ∗) ´ Ĩ Ø Ù ØĨđỊ x∗ Ðđ Ị ¸Ị x∗ Ðđ Ị Ø Ù ỊỊ Đ Ø Ù ØĨđỊ L1 (·, λ∗) ØƯ Ị Đ Ø Ù ØĨđỊ Ø × ×ÙÝ Ư ệữề L(Ã, ) ỉệ ề K è x éủ Ị Ø Ĩ Đ Ị Ð ¿º (P )º Ø Ø Ô K ∗ = {y ∈ K :< ▽gi (x∗), y > ≤ 2bi, i ∈ I(x∗)} Ê ƯđỊ Ðđ ∈ K ∗ ´ Ĩ bi > ∀y µ Úđ x∗ ∈ K ∗ ´ Ĩ < ▽gi (x∗), x∗ >= 2gi(x∗) = 2bi Ú Ø Ñ Ị Ị ØØ ÙÐ Ưµº i ∈ I(x∗) y ∈ K ∗º Ì Ø < ▽gi (x∗), y − x∗ >=< ▽gi (x∗), y > −2bi ≤ 0, i I(x) ỉ ỉ ắẳà ỉ < 2xx L1(x, λ∗)(y − x∗), y − x∗ > ≥ Ỵ x∗ Ðđ Đ ÃÃÌ (P ) Ø Ị Ị Ú Ò ÒØ Ä Ö Ò L1 (y, λ∗) = L1(x∗ + (y − x∗), λ∗) = L1(x∗, λ∗) + λ∗ ∈ Rm +¸ Ị Ị < ▽2xx L1 (x∗, λ∗ )(y − x∗), y − x∗ > ≥ L1 (x∗, λ∗ ) = 0, ¼ L1(y, λ∗ ) ≥ L1 (x∗, λ∗ ) = Ú Ú Ø Ý Ø Ø Ü Ø Đ Ø α ỊđĨ Ú Đ y ∈ Kº Ø Ĩ K Ðđ Đ Ø Ị Ị Ị Ị Ø Đ × < α < × Ĩ Ĩ x = αy ∈ K Úđ Ĩ bi > Ú i = 1, 2, · · · , m, x ∈ K ∗ Úñ Ú Ø Ø Ù ỊỊ y ∈ K ∗º Đ L1(x, ) ặ ỉá ề ỉ ẹ Ó ØÒ L1 (y, λ∗) = α−2L1 (x, λ∗) ≥ L1(x∗, λ∗ ) = x∗ Ðđ Ị Ĩ Ú íá ỉệểề ếũ ìí ệ ỉ ề ỉ ỉỉ Ø Ù đĐ Ð Đ ØƯ Ị Ơ Ú Đ Ị Ä Ư Ị Ð ¿º º Đ ỊđÝ Ú Ú Ị Ø ÕÙị Đ Ø× Ð ¿º º Üơ x∗ = ị × λ∗ ∈ Rm +º ØĨơỊ é ề ỉì ừề ệủề ũ ì Q0 x∗ Ðđ Ị Ị Ðđ ݸ Ð Ù Ð Đ¸ Qi Ị Đ Ø ØƯ Ư Ị Ø ¸Ị Ðđ Ü Ø Úđ Qi Ị Ị Ú Ị Đ ØĐ Q0 Üơ (P ) Đ ÃÃÌ Ị Ú Ị Đ Ị Ø Ị Úđ m Ker(Q0) ∩ Ker à f (x) = < Q0x, x > Úñ gi (x) = < Qi x, x > Ú i = 1, 2, · · · , m ´Q0 Ị iµº L(·, λ∗) ØƯ Ị K º Ã Ø ÐÙ Ị Ị Ù Đ Ø Ù ØĨđỊ Đ Ø i=1 λ∗i Qi = {0} (P ) Úđ (P ) Ø Ù ØĨđỊ Ị Ị Ú đ ÄÅÁ Đ Ị Ị º Ư Ư÷Ị m λ∗i Qi Q0 + i=1 Ðđ Đ ØƯ Ị Ị ØĨđỊ Ỵ Üơ L(·, λ∗) Úđ Ø Đ ØƯ Ị Ø 1, 2, · · · , n Ðđ Qi Ị Üơ Ị Ị ề áỉ L(Ã, ) éủ é ề é ì Ĩ Ø ÚÙ Ị ØƯ Ư Ị Ị Ú Đ m σ j Q0 + i=1 Ü Ị Úđ x∗ Ðđ Ị Ø ÕÙị ĐĨỊ ĐÙ Ịº Ơ ẹ ỉệ ề ĩ ễ ỉ n ì ná ểỉ Ø Ø Ò i = 1, 2, · · · , m¸ Ø λ∗i Qi ≥ σj (Q0), j = 1, 2, · · · , n ½ Đ Ø Ù Ù σj (A), j = Ịº Ðđ Ø m λ∗i Qi H= i=1 Ê ƯđỊ Ðđ Ø Ý Ø 0¹Ị Đ ØƯ Ư Ị Q0 + αH Ú Q0 + H ì ề ỉ ệữề r × r¸ ØƯĨỊ Q0º Ĩ Ù Q0 º Đ Ø Ị Øõ σ2(Q0), · · · , σr+1(Q0) × Ĩ Ĩ õĨ đĐ Ø Ĩ σk′ (Q0; H), k = 2, · · · , r¸ Ø Ó Ô ≤ α ≤ σj (Q0 + H) > Ú ØƯ Ư Ị r Đ Ị º Ị Ø pi , i ØƯ Ö Ò = 1, 2, · · · , r ụ ỉệ ệ ề ũ ì ệữề H éủ ụ ề ặ ề u = ềủể Rr Ò r H uj pj = 0, j=1 Ø r H uj pj = j=1 Ì ịØ Ø m Ker(Q0) Ker ìí ệ ệữề i=1 i Qi = {0} r ui pi = Úñ u = j=1 ×ÙÝ Ư Ø × Ì óÚ Ð Ơ ØÙÝ Ị Ø Ị Ị ĐỊ Ú Ø pi º Ư÷Ị m σ j Q0 + i=1 λ∗i Qi > 0, ∀j = 2, 3, · · · , n ¾ Ị Đ ØƯ Ị P T HP Ú Ø j=1 Ư Ư÷Ị Ø Ø ị r uipTi Ò uj pj = 0, i = 1, 2, · · · , r ui Úđ Ị Ðõ Ø Ị Ị Ị P Ðđ Ú Ø Ư Ị r j=1 ×úƠ Ü Ơ ĐỊ Ị P T Hpu = Ú pTi H j = 2, 3, · · · , mº Ị Ðđ Ỵ Ø ¸ Ĩ x∗ Ðđ Đ ÃÃÌ (P ) Ø Ò ÒØ Ò Ò Ú Ò ÒØ Ä λ∗ ∈ Rm + Ư Ị m λ∗i Qi x∗ = Q0 + i=1 ×ÙÝ Ư m λ∗i Qi = σ Q0 + i=1 Ù ỊđÝ Ĩ Ø Ĩ m λ∗i Qi Q0 + i=1 Ị Üơ Ị Ị ¸ Ðđ Ị ỊđÝ Ị ¸ Ì Đ Ðõ đĐ Ø Ù Ị Ị ”min-max” Ị ĐỊ º Ị Ù Ð Ơ Ị ịỊ¸ Ú ”max” Ðđ đ ØĨơỊ ÕÙÝ Ĩõ Ø Øº Ì Ị Ù ÕÙÝ Ĩõ Ø ØĨđỊ Ơ Ị ƯđỊ đ ØĨơỊ Ø Ù Ü Ø Ø Ù Ơ Ị ¸ Ù ÙÝ Ị đ ØĨơỊ đ ØĨơỊ Ø Ø ƯđỊ Ư Ù Ị Ò õØ Ñ Ò Ð º ¿ Ø õØ Ị Ị Đ Ø Ø đ ØĨơỊ Ị Ĩ Đ Ø Ĩ ÕÙÝ Ĩõ ØÙÝ Ị Ø Ị Úđ Ù ØÙÝ Ị Ø Ị º Ỵ Ị Ð ØÙÝ Ò Ú Ò Ò Ò ò Ø Ò Ú Ø Ị Ø đ ØĨơỊ Ø Ị ¸ Ù Ã Ø ÐÙ Ị ÀđĐ Ø Ù Ị Ị º Ị Ø µ¸ đĐ Ð Ø Ù ỊỊ Ù Ø Ị đĐ Ø Ù Ò Ò Ø Ù Ò Ò Ø Ò ÙØỊ Ø Ø Ĩ Ị Ð Úđ Ø Ơ Ð Ị Úđ Ø Ù ƯđỊ ¿ Ù Ùº Ị đ ỉểụề ỉ ỉá ề ệủề ủí ẹ ỉ ì Ø ÕÙị Ị Ị غ ÀđĐ đĐ Đ Ị Ù Ị đ ØĨơỊº ịỊ Ú ị Ø Ø Ð ¸ Ị Ị ĐÚ Ø Ơ Ð ¸ Ị Ị Ịµ Úđ ịỊ Ù Ơ Ù ÙÚ ØÐ Ù Ø ƠÐ Ị ƯđỊ Ø Ù Ị Ị º Ðđ đ ØĨơỊ Ø Ù Ø đĐ ¹ ĨÙ Ð × ´ØƯĨỊ đĐ Ị Ø Ø Ị Đ Ø× ØỊ ĨØ ØƯ Ị đĐ Ø Ù Ị Ị Ø Ü Ø Úđ Ø Ị Ø ØĨơỊ¸ ØƯĨỊ Ø Ị Ìơ đ ØĨơỊ Ø Ĩ Úđ Ø ƠÐ ØÙÝ Ị¸ Ơ Ù Úđ Ø Ù Úđ Ị ĐÚ Úđ đĐ Ð º Ị Ø Ø Ù ƯđỊ Ù Ù Ù ¸ Ị Ị ÃÃÌ Ĩ Ø ề ề àá ỉểủề ØĨđỊ ¸ Ø Ị Ị Úđ đĐ Ø Ù Ø Đ ØúØ Đ Ø × đĐ ØÙÝ Ị Ø Ị đĐ Ơ Úđ ơỊ ĐØ Ơ Ø ¾ ØÙÝ Ị Ị Ị ´ Ị ¸ õỊ ¸ Ù Ðđ đĐ Ø Ù Ị Ị Ị Ù Ị Ù Ù Ø đĐ Ð ¸ đĐ Ð Ơ Ø ØƯ Ị Ĩ ½ Ø Ơ Ư Ị Ý Ù Ø Ơ ØỨỊ ÚđĨ Ø Đ Ø Ù Úđ đĐ ƯđỊ Ị Đ Ø ´ đĐ Ù Ị¸ ÄÙ Ị Ú Ị ỊđÝ Ị ÃÃÌ Ðđ × ØƯ Ị º ơỊ Ðđ ØƯ Ị Ị Ị Ù Ú Ù Ị Ị ÃÃÌ Ĩ Đ ÃÃÌ Đđ Ị Ðđ Ơ đĐ Đ Ø Ù Úđ đ ØĨơỊ Ø ĐØ đĐ ƯđỊ ÙÚ đ ØĨơỊ Ù ØĨđỊ Ù Ðđ đ đĐ Ø Ù Ị º ị ØƯ ÕÙ Ị Ị Ị Đ Úđ × ó Ø Ø Ị ÀÝ Ú Ị Øơ ủ ề ỳề ề ìỳễ ĩ ễ ủ ØƯ Ị đÝ Ú Ị Ư Ú Ị Ú Ờ Úđ Ø Ĩ ĐỊ Ù Ư ƯđỊ Ĩõ Ĩ Đ Ø × Úđ ØƯĨỊ ÐÙ Ị Ú Ịº ị ÐÙ Ị Ú Ị × Ị Ơ ĨỊ Ơ Ơ ÐđĐ ÕÙ Ị Ú Ị Ị Ð Ơ đ ØĨơỊ Ø Ị ØƯĨỊ Ð Ø ÙÝ Ø Úđ Ø Ø º Ù Ìđ Ð Ù Ø è ề ẻ ỉ ỉểụềà ũể ỉ ẵ ặ è ỉ ẹ ẹ ắẳẳ àá ặĩ ¾℄ ̺ Ỵº Ì ơĨ ØƯ Ị Ơ Ị Ơ ơƠ Ø Ù ´Ä Ø ÙÝ Ø Úđ ể ủ ặ ắẳẳ àá ụể ỉệ ề ỉ ỉí ặĩ ề ỉ ề ÉÙ Àđ Ỉ º Ì Ø Ị Ị ¿℄ º ềì ểềì ề ệì ề ẵ ễỉ ể Å Ị ℄ º º Ä ×× ƯƯ Ừ × ể ỉ ểềì ề ỉ ểềá ậễệ ề ề ẹ ềỉá ầ ệ ầễỉ ẹ ị ỉ ểề è ềì ề ệì ỉíá ểệíá Ø ĨỊ ÈƯĨ Ëỉ Ư Ưº Ư Ị Ð Đ× ề ặấậá èểéểì ắẳẳ àá ỉ ể × Ị ܹ ỊĐ Ư º Ị º º À ệ ệỉ ệệỉí ắẳẳ àá ậểẹ ẩệ ễệ ềỉá ệ ầễỉ ẹ ị àá í ẩểì Ø Ú ÐÝ Å Ø Đ ÀĨĐĨ Ø Ị Ð ẩệểễạ ểì ề ạ ệ ề ề ệ ề ặểềé Ị Ư ÈƯĨ Ư ĐĐ Ị ¸ ... đại học khoa học - - Nguyễn Xuân Huy Bài toán tối -u với hàm d-ơng Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mà số: 60.46.36 Luận văn thạc sĩ toán học Ng-ời h-ớng dẫn khoa học GS-TS Trần Vũ Thiệu