Phương trình vi phân cơ bản với bài toán giá trị biên (Tập 1) - Đại học Thủy lợi

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦY LỢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẢN VỚI BÀI TOÁN GIÁ TRỊ BIÊN (Lưu hành nội bộ) TẬP MỘT Hà Nội 2008 BIÊN DỊCH: PGS TS PHÓ ĐỨC ANH (Mục 1.1 - 1.6), TS NGUYỀN HỮU THỌ (Mục 1.7 - 2.3), ThS (NCS) TRỊNH TUÂN (Mục 2.4 - 3.1), ThS NGUYỄN THỊ LÝ (Mục 3.2 - 4.2), ThS NGUYỄN ĐỨC HẬU (Mục 4.3 - 5.2), CN (HVCH) THIỀU QUANG TÙNG (Mục 5.3 - 5.8), ThS PHAN THANH LƯƠNG (Mục 6.1 - 7.2), ThS PHAN THỊ THANH HUYỀN (Mục 7.3 - 8.2), ThS NGUYỄN QUÝ LĂNG (Mục 8.3 - 9.2), ThS ĐÀO TẤN QUY (Mục 9.3 Đáp số 2.7), CN ĐỎ HỮU THANH (Đáp số 2.8 - trang 603) HIỆU ĐÍNH: GS TSKH vủ NGQC PHÁT PGS TS NGUYỄN XUÂN THÀO -2- LỜI GIỚI THIỆU Ngay sau sách Giải tích biến Giải tích nhiều biến số biên dịch tiếng Việt, Trường Đại học Thủy lợi bắt tay vào biên dịch tiếp sách “Elementary diferential equations with boundary value problems” tập thê tác giả C.Hendry Edwards David E.Penney thuộc trường Đại học Georgia Đây cấm nang cung cấp kiến thức ứng dụng phương trình vi phân, toán Cauchy toán giá trị biên khác Cuốn sách mô tả nhiều kiến thức lý thuyết thơng qua ví dụ ứng dụng cụ thê phong phú dạng phương trình vi phân thơng dụng Cuốn sách có số lượng đồ sộ tập (khoảng gằn 2000 bài) gắn với nhiều vấn đề đời sống hoạt động kinh tế xã hội vấn đề dân số, phát triên bền vững, mơi trường, tính tốn sức bền vật liệu, tính quỹ đạo vệ tinh, tên lửa, phân tích mơ hình, hệ sinh thái, sơ đồ pichfork, hấp dẫn kỳ dị Laurenz, thiên văn học, âm nhạc, Cuốn sách dành nhiều thời lượng cho phép biến đơi tích phân, hàm đặc biệt, số tượng phi tuyến điên hình, phân tích rối loạn phân nhánh hệ động lực Cuốn sách viết công phu dễ đọc, bạn đọc sinh viên tự đọc, tự tập dượt nghiên cứu giải số tình thực tế Cuốn sách có đóng góp tích cực cho giai đoạn đôi giáo dục đại học theo phương thức đào tạo tín chỉ, sinh viên có thếm nhiều chuyên đề, nhiều nội dung đê đọc hiêu, thực hành làm việc theo nhóm, hoạt động semina ngoại khóa phong phú Xin trân trọng giới thiệu sách “Các phương trình vi phân với toán giá trị biên” tới bạn đọc Chắc chắn sách tài liệu tham khảo quý cho giảng viên, sinh viên khối trường kỹ thuật quan tâm đến Tốn giải tích ứng dụng chúng Hà Nội ngày 19 tháng năm 2008 GS TSKH Nguyễn Văn Mậu -3- LỜI TựA CỦA BAN BIÊN DỊCH Để phục vụ cho q trình dạy học theo phương thức tín chỉ, đáp ứng trình hội nhập quốc tế, khao khát hiêu biết tốn học ứng dụng, mơn Giải tích, Trường Đại học Thuỷ Lợi trân trọng giới thiệu với bạn đọc sách “Phương trình vi phân với toán giá trị biên” tác giả c Henry Edwards and David E Penney Quyển sách cung cấp đầy đủ kiến thức phương trình vi phân với tốn giá trị biên, ứng dụng phong phú gắn liền với sống phương pháp giải toán này: phương pháp chuỗi lũy thừa, phương pháp toán tử Laplace, phương pháp số, phương pháp chuỗi Fourier, ứng dụng hàm đặc biệt Quyến sách trình bày dễ hiêu, lơi cuốn, phù hợp cho q trình tự học có số lượng tập phong phú, đa dạng Quyến sách “Phương trình vi phân với tốn giá trị biên” giáo trình giảng dạy trường Massachusetts Institute of Technology (USA) nhiều trường đại học kỹ thuật khác Chắc chắn quyến sách người bạn tốt, không thiếu bạn sinh viên, bạn đọc yêu toán tài liệu tham khảo quý cho giảng viên Đê hiêu quyến sách này, bạn đọc cần nắm vững kiến thức sách “Giải tích biến số” “Giải tích nhiều biến số” George F Simmons Quyến sách bao gồm chương, phụ lục phần trả lời tốn Do có khối lượng lớn, để tiện cho bạn đọc sử dụng, chúng tơi in sách thành hai tập, đó: - Tập 1: gồm chương 1, 2, 3, 4, 5, phụ lục lời giải Tập 2: gồm chương 6, 7, 8, 9, phụ lục lời giải Đe sách sớm đến tay bạn đọc, chúng tơi cảm ơn giúp đỡ có hiệu ban giám hiệu trường Đại học Thuỳ Lợi, cảm ơn gópý hữu ích GS TSKH Nguyễn Văn Mậu, cảm ơn giúp đờ đầy nhiệt huyết trách nhiệm GS TSKH Vũ Ngọc Phát việc hiệu đính dịch Cuốn sách “Phương trình vi phân với toán giá trị biên” biên dịch khoảng thời gian ngắn nên khó tránh khỏi sơ xuất, mong nhận ý kiến đóng góp bạn đọc đồng nghiệp Các ý kiến đóng góp xin gửi địa chỉ: Bộ mơn Giải tích, Trường Đại học Thuỷ Lợi, 175 Tây Sơn, Đống Đa, Hà Nội, qua hộp thư: thaonxbmai @ yahoo.com thaonx @ wru.edu Hè2008 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo -4- LỜI NĨI ĐẦU Chúng tơi viết sách để cung cấp văn cụ thể dễ đọc, dành cho môn học truyên thông vê phương trình vi phân mà sinh viên ngành khoa học, kỹ thuật toán học cân học sau mơn Giải tích Cn sách biên soạn với mục đích trình bày nhẹ nhàng, un chun đê bạn sinh viên quan tâm, thích thú dê tiêp cận Những ứng dụng phương trình vi phân đóng vai trị đặc biệt phát triên mang tính lịch sử mơn học tồn lĩnh vực nghiến cứu vê chúng tơn chủ yêu ứng dụng Vì thê, mong sinh viên trước học cách giải phương trình thường xuyên quan tâm tới ứng dụng thú vị chúng Do đó, chúng tơi đưa vào ứng dụng cân thiêt đê khởi động miêu tả kỹ thuật chuân sơ câp nhăm giải phương trình vi phân Giáo trình phương trình vi phân cịn cửa sổ nhìn giới tốn học Trong việc chứng minh định lý vê tôn yà nhât nghiệm giáo trình sở khồng khả thi khồng cân lăm, sinh viên cân thây rõ trình bày xác định lý hiêu vai trị chúng với mơn học Trong phân phụ lục, chúng tồi đưa vào chứng minh sơ lược vê tôn nhât nghiệm, đông thời thường xuyên nhăc tới chúng suôt cuôn sách Mục lục chủ đề phương trình vi phân đưa vào sách chuân, nhìn vào tên chương mục, bạn đọc thây ngạc nhiên, thêm vào nhiêu đê cho câu trúc cn sách hồn hảo Trong phân lớn chương, giới thiệu ý tưởng chủ điếm vài mục chương phát triến nêu ứng dụng mục cịn lại Vì vậy, giáo viên có nhiêu khả chọn lựa nội dung sâu săc đê dạy Sự tiếp cận nhiều vấn đề phản ánh việc sử dụng rộng rãi chương trình máy tính đế giải số phương trình vi phân Tuy nhiên, chúng tơi tin phương pháp giải tích vân rât quan trọng cho sinh viên Một lý việc ứng dụng hiệu phượng pháp sơ tin cậy thường địi hỏi phân tích ban đầu kỹ thuật bản; cấu trúc mô hình số tin cậy thường phải dựa việc nghiên cứu mơ hình giải tích đơn giản Đặc • điểm sách xuất lần thứ năm Cuốn sách biên soạn lại nâng cao thêm từ Các phương trình vi phân với toán giá trị biên (Eỉementaiy Differential Equations with Boundary Value Problems), Xuât lân thứ tư Sau diêm nâng cao: Gần 20% 1900 tập sách xuất lần viêt lại đê thêm nội dung đô hoạ -5- Các phần phụ lục, thảo luận chừng 15% ví dụ trình bày sách viêt lại Gần 700 hình đồ họa máy tính, tức q nửa số hình vẽ lằn xuất phần lớn vẽ phần mềm Mathematica hay Matlab, cung cấp cho sinh viên hình vẽ sinh động hướng trường, đường cong tích phân mặt phang pha nhằm đưa cách giải phương trình vi phân vào thực tê Chăng hạn, hình vẽ ngồi bìa phiên có màu Hình vẽ 4.3.5 sách, miêu tả dao động cưỡng tăt dân hệ khơi lượng-lị xo Có khoảng 15 mơ đun ứng dụng sau phân tương ứng tài liệu duyệt lại, nhằm mục đích đưa thêm ứng dụng cụ thể đế sinh viên nghiên cứu sâu thơng qua tốn ví dụ điên hình Chương phương pháp số tập trung vào thuật tốn giải số tơng qt đáng tin cậy với số minh họa đồ thị vẽ máy tính theo BASIC MATLAB Với khả trợ giúp máy tính, viễn cảnh cho phép vào chủ đề kinh điên (mặc dù hoàn thiện) phương trình vi phân tồn phần biến phân tham số, trình bầy Chương 1, Đồng thời, vài chủ đề truyền thống phương trình cấp hai giảm cấp Mục 1.6 phương trình Euler loạt toán Mục 3.2 3.3 viêt lại lân xuât Cấu trúc nội dung sách Cấu trúc truyền thống sách bổ sung thêm tư liệu chủ đê Chăng hạn: Hai mục cuối Chương (về dân số học sơ cấp) cung cấp giới thiệu ban đầu mô hình tốn học với ứng dụng có ý nghĩa Mục cuối Chương dành đế trình bày sớm toán điểm cuối giá trị riêng ứng dụng thú vị vào dây rung dầm uốn Chương trình bày cách xử lý đầy đủ tin cậy phương pháp chuỗi vô hạn với áp dụng thú vị hàm Bessel mục cuối chương Chương viết đầy đủ xác phương pháp biến đổi Laplace với nội dung hàm delta ứng dụng chúng mục cuôi Chương cung cấp cách xử lý mềm dẻo khác thường hệ tuyến tính Các Mục 5.1 5.2 đưa giới thiệu ban đầu, mang tính trực giác hệ mơ hình cấp Chương tiếp tục với nội dung vừa phải kiên thức Đại sơ tun tính cân thiêt Mục 5.3, sau giới thiệu cách tiêp cận theo giá trị riêng với hệ tun tính Chương cịn có nhiêu ứng dụng (từ bế chứa nước đến xe điện) trường hợp khác phương pháp giá trị riêng Trong Mục 5.7, vấn đề ma trận mũ mở rộng so với lân xuât trước Chương phương pháp số Mục 6.1 với phương pháp Euler cho phương trình kêt thúc Mục 6.4 với phương pháp Runge-Kutta đôi với hệ phương trình ứng dụng vào việc tìm quỹ đạo tên lửa vệ tinh Chương nói hệ phi tuyến tượng xếp từ việc phân tích mặt phăng pha đến hệ học, hệ sinh thái mục cuối rối loạn hay phân nhánh hệ động lực Mục 7.6 giới thiệu sơ lược vê chủ đê đương thời tượng nhân đôi chu kỳ sinh học hệ học, -6- sơ đồ pitchfork, hấp dẫn kì dị Lorenz (tất mô tả đồ họa máy tính sinh động) Chương trình bày chuỗi Fourier ứng dụng đế giải phương trình trun nhiệt, trun sóng phương trình Laplace Chương bắt đầu với toán Sturm-Liouville kết thúc mục 9.5 với ví dụ chọn lọc tượng PDE số chiều cao Quyến sách bao gồm nội dung vừa đủ cho giáo trình mang tính chất nhập mơn đề dạy khoảng thời gian từ quý đến hai học kỳ Phiên ngắn gọn Các phương trình vi phân sơ cấp, kết thúc Chương hệ tượng phi tuyến (vì bỏ nội dung chuỗi Fourier, tách biên phương trình vi phân đạo hàm riêng) Các úng dụng Đe hiểu rõ ứng dụng sách này, tập trung vào câu hỏi sau đây: • Có thê giải thích tượng thời gian trễ quan sát biến thiên nhiệt độ hàng ngày nhà ngồi nhà? (Mục ì.5) • Điều tạo nên khác biệt ngày tận diệt chủng quân thê cá sâu? (Mục 1.7) • Xe xích xe hai xích phản ứng khác bị xóc đường? (Mục 2.6 Mục 5.5) • Vì cột cờ phải chôn vào nơi đất cứng? (Mục 3.6) • Neu người ta dùng búa đập vào khối lượng lị xo cách tn hồn, hình dáng khôi phụ thuộc thê vào tân sơ đập búa? (Mục 4.6) • Nếu tầu hỏa chuyển động chạm vào đuôi dãy tơ ray đứng n, liệu ô tô ray bị bật khỏi đầu dãy hay khơng? (Mục 5.5) • Bạn dự đoán thời gian xuất lần sau chối vừa quan sát thể nào? (Mục 6.4) • Điều định đế cho hai lồi cộng sinh sống hài hịa với tranh đấu với đế dẫn tới lồi sống sót cịn lồi bị diệt vong? (Mục 7.4) • Vì tính phi tuyến dẫn tới rối loạn hệ học hệ sinh học? (Mục 7.6) • Giải thích khác biệt tiếng đàn guitar, đàn phiến tiếng trống? (Mục 8.6, 9.2 9.4) Các tập ứng dụng Lời giải tập Trong lần in này, mục trả lời tăng thêm cách đáng kể để nhằm tăng thêm kiến thức bô trợ có giá trị Mục bao gồm hầu hết đáp số tập lẻ với nhiêu tập chăn Cuôn tài liệu 600 trang Bài giải cho giáo viên (0-13-145777-2) kèm với sách cung cấp đầy đủ lời giải hằu hết tập sách Cuốn Bài giải cho sinh viên có 340 trang (0-13-145778-0) bao gồm lời giải cho phần lớn tập lẻ -7- Khoảng gần 15 mô đun ứng dụng sách gồm tập bố sung tài liệu nâng cao nhằm đê sinh viên khai thác ứng dụng công nghệ tin học Mục đích thực sách 320 trang: sỏ tay ứng dụng (0-13047577-7) giới thiệu thêm khoảng 30 mô đun ứng dụng, tài liệu này, mục có kèm thêm mục “Dùng Maple”, “Dùng Mathematica” “Dùng MATLAB” nhằm hướng dẫn chi tiết phương pháp kỹ thuật cần áp dụng cho hệ tạo hội cho bạn sinh viên đánh giá so sánh hệ thống tin học khác Các tài liệu kỹ thuật trang Web Các sách tập mô tả tác giả viết với tài liệu kế tên tìm kiếm dễ dàng với số ISBN • Bài giải cho sinh viên (0-13-109564-1) • Bài tập ứng dụng (0-13-124703-4) • Tốn học phương trình vi phân David Calvis: Các dự án, Bản chât, Cú pháp Sinh động (0-13-109560-9) • số tay Tốn học Phương trình vi phân Selwyn Hollis (013-109559-5) ’ • • • Maple với Phương trình vi phân Robert Gilbert George Hsiao (0-13-109562-5) Phương trình vi phân thường với việc sử dụng MATLAB John Polking & David Arnold, xuất lần thứ ba (0-13-150480-0) Hướng dân sử dụng cơng nghệ máy tính đê giải Phương trĩnh vi phân Alexandra Skidmore & Margie Hale (0-13-109563-3) Các tài liệu trợ giúp cho sách lấy xuống từ trang web DE: www.prenhall.com/Edwards sách chuyên sâu Toán David Calvis bảng tính theo Maple John Maloney Nhiêu hình vẽ sách đồ họa theo chương trình MATLAB Polking dfield ppỉane, chúng có đường dẫn trang web Một số tài liệu phương trình vi phân thường giải băng MATLAB khác tham khảo sách lode (xem www.math.uiuc.edu/iode), chúng có khả đồ họa ấn tượng -8- LỜI CẢM ƠN Khi chuấn bị cho ấn phâm này, nhận lời khuyên giúp đờ nhà phê bình rât uyên thâm sau đây: David Calvis, Juan Lopez, Baldwin-Wallace College Arizona State University Mila Cenkl, James Moseley, Northeastern University West Virginia University Christopher French, Peter Musa, University of Illinois at Urbana-Champaign Georgia Institude of Technology Moses Glasner, Arthur Wasserman Penn State University University of Michigan Richard Laugesen, University of Illinois at Urbana-Champaign Chúng tơi cám on Bay ani DeLeon ơng thường xuyên theo dõi hiệu trình xuât Chúng hêt sức biêt on biên tập viên George Lobell lời khuyên động viên nhiệt tình nhiều lĩnh vực liên quan đến in ấn cuôn sách Và thật đáng ca ngợi Dennis Kletzing chê tuyệt vời ông làm cho sách trình bày cách hấp dẫn c H E hedwards@math.uga.edu Athens, Georgia, U.S.A D.E.P dpenney@math.uga.edu Athens, Georgia, U.S.A -9- - 10- 2t I ’ + C3 1 43 x(i) = cx -1 e -2/ '2 e3t e 6t -3 Ì 2 44 x(i) = Cj -2 e -3/ e -3t 2 -1 -1 1 ■ Ì -1 e 2 e3t -1 1 ■ '3 -1 eỉ6' -1 e32t eSt -3 e6t '3 -2 e.4i -1 2' -1 e2t 1 e6t 2 ■ -1 '2 -1 e3t -1 e~3t J2/ 1 48 x(i) = Cj e4' + c3 46 x(i) = q -3 e5t -1 '4 e< 91 -1 -1 1 e,48/ - 582- -3 eMt Mục 5.5 Các tần số tự nhiên ứ?() = Cờx = Trong dao động tự nhiên suy biến với tằn số coữ = 0, hai khối lượng chuyển động tuyến tính với Xi(t) = x2(t) = a0 + bot Tại tần số cox = chúng dao động theo hướng ngược với biên độ Các tần số tự nhiên a\ = ũ)2 = Trong dao động tự nhiên với tần số cox, có hai khối lượng ni] m2 chuyển động theo hướng với biên độ dao động Tại tần số Cờ2, chúng chuyến động theo hướng ngược với biên độ Các tần số tự nhiên ú)x = (ờ2 - Trong dao động tự nhiên với tần số (ứx, có hai khối lượng mi m2 chuyển động theo hướng với biên độ dao động Tại tần số ú)2, chúng chuyển động theo hướng ngược với biên độ Các tần số tự nhiên cox = Ci)2=4s ■ Trong dao động tự nhiên với tần số cox, có hai khối lượng ni! m2 chuyến động theo hướng với biên độ dao động Tại tần số Cở2, chúng chuyển động theo hướng ngược với biên độ Các tần số tự nhiên Cờx = 4Ĩ Cờ2 - Trong dao động tự nhiên với tần số cox, có hai khối lượng mi m2 chuyển động theo hướng với biên độ dao động Tại tần số (ờ2, chúng chuyến động theo hướng ngược với biên độ Các tần số tự nhiên Cởx = V2 ứẠ) = a/8 Trong dao động tự nhiên với tần số cox, có hai khối lượng mi m2 chuyển động theo hướng với biên độ dao động Tại tần số co2, chúng chuyên động theo hướng ngược với biên độ Các tần số tự nhiên = Cở2 = Trong dao động tự nhiên với tần số Cờx, có hai khối lượng ni! m2 chuyển động theo hướng với biên độ dao động Tại tần số Cở2, chúng chuyến động theo hướng ngược với biên độ Xj(t) = 2cost + 3cos3t - 5cos5t x2(t) = 2cost - 3cos3t + cos5t Chúng ta có chồng chất dao động, hai chuyển động hướng (1) với tần số a\ = biên độ dao động nhau; ngược hướng (2) với tần số (ứ2 = biên độ nhau; ngược hướng (3) với tần số riêng ứ?3 =5 biên độ chuyển động mJ lần biên độ chuyển động cúa m2 Xi(t) = 5cost - 8cos2t + 3cos3t x2(t) = 5cost + 4cos2t - 9cos3t Chúng ta có chồng chất dao động, hai chuyển động hướng (1) với tần số riêng (ờx = biên độ nhau; ngược hướng (2) với tần số riêng (ờ2 - biên độ chuyển động ni] lần biên độ chuyển động m2; ngược hướng (3) với tần số ứ?3 = biên độ chuyển động m2 lần biên độ chuyến động mj 10 Xj(t) = cos2t - 15cos4t + 14cost x2(t) = cos2t + 15cos4t + lócost - 583 - Chúng ta có chồng chất chuyên động, hai khối lượng chuyên động hướng (1) với tần số ứ] =1 biên độ chuyển động mj 8/7 biên độ chuyến động m2; hướng (2) với tần số Cờ2 = biên độ nhau; ngược hướng (3) với tần số (ữ3 = biên độ 11 (a) Các tần số tự nhiên a\ =6 ú)2 = Trong dao động 1, hai khối lượng dao động hướng với tần số a\ = biên độ chuyển động ni| lần biên độ chuyền động m2 Trong dao động 2, hai khối lượng chuyển động ngược chiều với tằn số Cờ2 = biên độ chuyến động m2 lằn biên độ chuyến động Híp (b) x(t) = 2sin6t + 19cos7t, y(t) = sin 6t + 3cos7t Chúng ta có chồng chất hai dao động, hai khối lượng chuyển động hướng (1) với tần số a\ = biên độ chuyên động nil lần biên độ chuyến động m2; hướng (2) với tần số (ứ3 = biên độ chuyên động nil 19/7 biên độ chuyển động m2 12 Hệ dạng dao động tự nhiên dao động có (1) tần số tự nhiên a\ = 5/2 với tỉ số biên độ l:0:-l; (2) tần số tự nhiên ũ)2 =72 + V2 với tỉ số biên độ 1: -5/2 :1; (3) tần số tự nhiên Cờ3 = V2 - 5/2 với tỉ số biên độ 1: V2 :1 13 Hệ dạng dao động tự nhiên dao động có (1) tần số tự nhiên ữ\ = với tỉ số biên độ l:0:-l; (2) tần số tự nhiên ũ)2 = V4 + 2V2 với tỉ số biên độ 1: -V2 :1; (3) tần số tự nhiên ữ)3 = 74-2^2 với tỉ số biên độ 1: V2 :1 15 Xị (í) = ị cos 5t - cos 5\/3í 4- cos Ot 3 X, (í) =—cos5r+ 4cos5a/3í+—coslOr 2V 3 Chúng ta có chồng chất dao động với tần số tự nhiên 69, = ứ)2 = 5V3 dao động cưỡng với tằn số 69 = 10 Mỗi dao động dao động tự nhiên, biên độ chuyến động m2 lần biên độ chuyến động mb dao động cường biên, độ chuyến động m2 lần biên độ chuyến động mb 21 (a) ũ\ «1,0293Hz; ứ?2 «1,7971Hz (b) Vj « 28mi / h; v2 « 49mz / h 23 ốjị=2ạ/ĨÕ; «40,26/í/ố (khoảng 27mi/h) ứ?2=5ự5; v2«71, 18/í/s (khoảng 49mi/h) 24 ứ} «6,1311; «39,03ft / s (khoảng 27mi/h) (ờ2 «10,3155; v2 « 65,67/í/s (khoảng 45mi/h) 25 ứ?! «5,0424; v1«32,10/í/ố (khoảng 22mi/h) Cờ2 « 9,9158; v2 « 63,13/í/ s (khoảng 43mi/h) -584- Mục 5.6 Giá trị riêng kép = -3, véc tơ riêng V = [1 -1]T; Xi(t) = (C| + c2 + c2t)e’3t, x2(t) = (-C1 - c2t)e3t -5 -4 -3 -2 -1 *1 Giá trị riêng kép = 2, véc tơ riêng đơn V = [1 l]7 Giá trị riêng kép = 3, véc tơ riêng V = [-2 2]7 x2 (í) = (2q + 2c2t)e3t x1(í) = (-2c1 + c2 -2c2t)e3t Giá trị riêng kép = 4, véc tơ riêng V = [-1 ự Xj (í) = (-q + c2-c2í)e4í •X2(Í) = (C1+c2í)e4í ; Giá trị riêng kép = 5, véc tơ riêng V = [2 -4]1 Xị (í) = (2cj +c2 + 2c2í)e5t x2 (0 = (~^C1 -4c2t)e5r Giá trị riêng kép = 5, véc tơ riêng V = [-4 4]r %! (r) = (-4q+c2-4c2r)ứ5' ; x2 (í) = (4cj +4c2r)ứ5/ - 585 - SI 'X ■ \ A \ Xs Y z // A 7^ lị 1U A1V i ni ị A :A\A 'V V- V i Ẳ I*ĩ \ "tp Tj T J- il -5 -4 -3 -2 -1 *1 I Các giá trị riêng = 2,2, với véc tơ riêng độc lập tuyến tính x1(?) = c1e2í+c2e2í ; x2 (?) = cỵe2t + c3e9z ; x3(?) = c2e2z Các giá trị riêng = 7,13,13 với véc tơ riêng độc lập tuyến tính Xj (?) = 2c1e7'— c3e13í ; x2 (?) = -3c1e7z+c3e13í ; x3 (?) = qe7z + c2e13z Các giá trị riêng = 5,5,9 với véc tơ riêng độc lậptuyến tính Xị (í) -cỵe5t + 7c2e5t +3c3£9í ; x2(?) = 2cjứ5z ; x3 (í) = 2c2e5t + c3e9t 10 Các giá trị riêng = 3,3,7 với véc tơ riêng độc lập tuyến tính x1(?) = 5c1e3' -3c2e3t +2c3ơ7z ; x2 (í) = 2qe3' + c3ẽìt ; x3(t) = c2e3t II Giá trị riêng bội ba = -1 với số khuyết ‘2 + c2t~c3t, + —1 c3t xỉ (0 = (~^c2 +c3~ 2c3t)e~' x3 (?) = (c2 + c3t)e r 12 Giá trị riêng bội ba = -1 với số khuyết xl(?) = e~'^c1 + c3 + c2t + ^c3t2 J ; x2 (?) = e-í +c2í+ -^C3Í2 x3 (í) = e~' (c2 + c3t) 13 Giá trị riêng bội ba = -1 với số khuyết Xị (?) = + c2? + ^c3?2 e1 ; x2 (?) = (2c2 + c3 + 2c3?)e ^ơ) = (C2+í?2í)ể’í 14 Giá trị riêng bội ba = -1 với số khuyết 15 Giá trị riêng bội ba = với số khuyết x{ (?) = (3c, +c3-3c3?)e' ; + c3t)e' 16 Giá trị riêng bội ba = với số khuyết ^ơ) = (c2 - 586- x2 (?) = (-