Luận văn bài toán tán xạ thế của hạt năng lượng planck và phương pháp sóng riêng phần trong lý thuyết lượng tử (tt)

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC CHU THỊ THANH LONG BÀI TOÁN TÁN XẠ THẾ CỦA HẠT NĂNG LƢỢNG PLANCK VÀ PHƢƠNG PHÁP SÓNG RIÊNG PHẦN TRONG LÝ THUYẾT LƢỢNG TỬ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết vật lý tốn Mã số : 60.44.01.03 TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC S Ĩ VẬT LÝ Thanh Hóa - 2016 Luận văn hoàn thành Trường Đại học Hồng Đức Người hướng dẫn: GS.TSKH Nguyễn Xuân Hãn Phản biện 1: PGS.TS Phạm Thúc Tuyền Phản biện 2: TS Đào Thị Lệ Thủy Luận văn bảo vệ Hội đồng chấm luận văn Thạc sĩ khoa học Tại: …………………………… Vào hồi: ….giờ… ngày …tháng… năm… * Có thể tham khảo tài liệu thư viên Trường Bộ môn MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong năm gần có tiến quan trọng hiểu biết tán xạ thang lượng Planck lý thuyết trường lượng tử /1-10/ Nghiên cứu trình lý thuyết hấp dẫn lượng tử cung cấp sở khoa học để nhận thức rõ tượng vật lý sinh kỳ dị tạo thành lỗ đen, việc thông tin cải biến sợi dây lý thuyết hấp dẫn Các kết thu khẳng định: biên độ tán xạ Planck hạt vùng lượng cao cỡ s  M Pl (trong s lượng hat, M Pl  G 1/2 khối lượng Planck, G - số hấp dẫn) t- bình phương xung lượng truyền nhỏ, giới hạn  t / s    có dạng biểu diễn eikonal – biểu diễn Glauber (leading term ) với pha phụ thuộc vào lượng Số hạng bổ (non-leading terms) cho biểu diễn Glauber toán tán xạ quan trọng nên nhiều nhà khoa học nước quan tâm nghiên cứu gần 30 năm nay, có Bộ mơn Vật lý lý thuyết ĐHQG Hà Nội Kết bước đầu Bộ mơn Vật lý lý thuyết tìm số hạng bổ bậc cho số hạng biên độ biên độ tán xạ eikonal lý thuyết hấp dẫn lượng tử, hai phương pháp khác phương pháp tích phân phiếm hàm phương trình chuẩn [8-9] Việc tìm phương pháp khác cho việc tính số hạng bổ kể toán vấn đề thời Mục tiêu Luận văn Bản Luận văn nghiên cứu toán tán xạ hạt lượng Planck qua việc giải phương trình Schrodinger học lượng tử việc giải phương trình Klein – Gordon lý thuyết hấp dẫn lượng tử phương pháp sóng riêng phần, số hiệu ứng lượng tử hấp dẫn thảo luận Phƣơng pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp sóng riêng phần để tìm biên độ tán xạ qua hàm sóng phương trình học lượng tử học lượng tử tương đối tính Các hiệu ứng lượng tử nghiên cứu quac cực điểm rút từ biên độ tán xạ Đối tƣợng nghiên cứu Các hạt tán xạ trường lý thuyết lượng tử qua tương tác điện từ tương tác hấp đãn vùng lượng Planck Ý nghĩa khoa học thực tiễn Luận văn Những kết nghiên cứu trình rán xạ lượng Planck lý thuyết hấp dẫn lượng tử cung cấp sở khoa học để nhận thức rõ tượng vật lý sinh kỳ dị tạo thành lỗ đen, việc thông tin cải biến sợi dây lý thuyết hấp Bố cục Luận văn Bản Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận, phụ lục tài liệu tham khảo Chương 1: Phương trình Schrodinger cho tốn tán xạ Giới thiệu ba cách giải phương trình Schrodinger vùng lượng cao : i/ phương pháp sóng riêng phần; ii/ phương pháp hàm Green; iii/ phương pháp chuẩn cổ điển giải phương trình Schrodinger giới thiệu đây, Trong mục 1.1, xuất phát từ phương trình Schrodinger học lượng tử, biên độ tán xạ biểu diễn qua sóng riêng phần Mục 1.2 dành cho việc tìm biên độ tán xạ dựa phương trình Schrodinger thơng qua hàm Green hạt trường Trong mục 1.3, ta quay sử dụng phương pháp chuẩn cổ điển để giải phương trình Schrodinger, từ thu biên độ tán xạ eikonal Việc so sánh ba phương pháp giúp ta có cách nhìn khác tốn tán xạ học lượng tử phần 1.4 Chương 2: Xuất phát từ phương trình Klein-Gordon trường hấp dẫn tìm biên độ qua sóng riêng phần, theo phương pháp tương tự dược sử dụng học lượng tử mục 2.1 Trong mục 2.2 số hạng số hạng bổ bậc biên độ tán xạ hạt vô hướng trường hấp dẫn xác định, từ suy kì dị cực điểm biên độ tán xạ eikonal xuất trục ảo s -mặt phẳng phức Mục 2.3 dành cho việc xem xét đồng thời hai loại tương tác hấp dẫn tương tác điện từ cho toán tán xạ Ở vùng xung lượng truyền lớn, kết thu có nhiều hiệu ứng vật lý lý thú Cuối kết luận chung, phụ lục, tài liệu tham khảo liên quan tới luận văn Phụ Lục A, Phụ Lục B, Phụ lục C Phụ lục D Trong luận văn sử dụng hệ đơn vị nguyên tử  c  Chƣơng PHƢƠNG TRÌNH SCHRODINGER CHO BÀI TỐN TÁN XẠ Xét chuyển động hạt trường xuyên tâm U (r ) Giả thiết U (r ) trường đối xứng khơng phụ thuộc vào góc  Khi học lượng tử, q trình tán xạ hạt mơ tả nghiệm phương trình Schrodinger dừng đây:  2    2m   U (r )  (r )  E (r )   E l lượng hạt (1.1) Phương trình Schrodinger phương trình đạo hàm riêng, để giải tốn tán xạ cần phải có điều kiện biên Hàm sóng tồn phần mơ tả chuyển động hạt tới hạt tán xạ khoảng cách lớn  r  a  tâm tán xạ tổng sóng tới  in sóng tán xạ  out :  (r )  eikz  f ( ,  ) eikr r (1.2) Số hạng đầu vế phải (1.2) diễn tả sóng tới dọc theo trục z, cịn hệ sơ sóng phân kì f(,) – số hạng thứ hai gọi biên độ tán xạ Ta biểu diễn cơng thức (1.2) hình vẽ sau: Các sóng phẳng tới Các sóng cầu tán xạ Phương trình Schrodinger cho hạt trường ngồi cho tốn tán xạ xa tâm tán xạ có ba cách giải khác : i/ phương pháp sóng riêng phần mục 1.1; ii/ Phương pháp hàm Green mục 1.2; iii/ Phương pháp chuẩn cổ điển mục 1.3 Sự chuyển đổi biên độ sóng riêng phần biên độ eikomal giới thiệu mục 1.4 Kết thúc chương giới thiệu lien hệ phương pháp kể tổng kết 1.1 Phƣơng pháp khai triển theo sóng riêng phần Nghiệm phương trình Schrodinger (1.2) trường hợp U (r ) đối xứng trục(đối với z) không phụ thuộc góc  viết dạng:   (r , )   bl Rl (r ) P(cos ) , l 0 (1.3) đây, bl hệ số không đổi xác định điều kiện biên điều kiện chuẩn hoá Pl (cos ) đa thức Legendre Thay (1.3) vào phương trình Schrodinger (1.1) để tìm phương trình xuyên tâm Rl (r ) phương pháp tách biến kết ta thu  sin(kr  l ) cos(kr  l )  2  Rl (r )  Al jl (kr )  Bl yl (kr )   Al  Bl kr kr     Al Bl số thỏa mãn : Al  Cl cos  l ; Bl  Cl sin  l ; (1.4) Ở  l độ dịch chuyển pha Kết quả, nghiệm phương trình schrodinger (1.2) viết lại: sin(kr   l  l )  (r  )   Cl Pl (cos ) Rl (r )   Cl Pl (cos ) kr l 0 l 0   Sử dụng đa thức Legendre ta viết  e ikz   i l (2l  1) Pl (cos ) l 0 sin(kr  l / 2) kr (1.5) (1.6) hệ số f ( ) :  f ( )   gl Pl (cos  ) (1.7) l 0 Cuối cùng, thay (1.7) vào biểu thức (1.2) ta nhận biên độ tán xạ theo sóng riêng phần  f ( )  (2l  1)(e2il  1) Pl (cos  )  2ik l 0 (1.8) lệch pha  l sóng riêng phần đặc trưng bắng số lượng tử quỹ đạo cố định với l  1.2 Phƣơng pháp hàm Green Sử dụng ký hiệu k  2mE U (r )  2mU (r ) viết lại phương trình Schrodinger (1.1): 2  k  (r )  U (r ) (r ) , (1.9) hay dạng phương trình tích phân:  (r )   (r )   d 3r ' G0 (r , r ')U (r ') (r ') , (1.10) hàm  (r ) thoả mãn phương trình Schrodinger cho hạt tự do, hàm Green G0 (r , r ') tương ứng thỏa mãn phương trình: 2  k  G0 (r , r ')   (3) (r  r ') (1.11) Các điều kiện biên hàm  (r ) G0 (r , r ') xác định từ điều kiện biên hàm  (r ) Phương trình tích phân (1.10) cịn gọi phương trình Lippman-Schwinger 5 Với điều kiện cần thiết U E U/E ka (U / E ) , biên độ tán xạ hạt trường ngồi ta tìm k d 2b ' ei k '.b ' ei (b ')  1    2  (b ') hàm pha eikonal f ( , )  b thơng số ngắm, cịn (1.12)  2m  (b ')    dz 'U (b ', z ') 2k  (1.13) Thông thường, thực tế coi f ( , ) hàm k , k ' ta viết f ( , )  f (k , k ') Tiếp theo ta đặt:  (r )  ei k r (r ) chọn k dọc theo hướng trục z , phương trình cho phần phụ thuộc có dạng     2ik z  U (b, z )   (b, z )    (b, z ) sử dụng ký hiệu r  (b, z) Chúng ta (1.14) Ở giải phương trình (1.14) phương pháp xâp xỉ dần,cuối ta viết lại biểu thức biên độ tán xạ (1,12) dạng: (1.15) f ( , )  f (0) ( , )  f (1) ( , )  f (2) ( , )  : f (0) ( , )    d 2b '  dz ' ei ( k k ').r 'U (b ', z ) (b ', z ')  4   f (1) (1.16) z' ( , )   d 2b '  dz ' ei ( k k ').r 'U (b ', z ') (b ', z ')  dz '' K (b ', z ")  4   (1.17) Do vậy, biên độ tán xạ bậc không sử dụng phương pháp hàm Green viết lại dạng: k  b ' db ' J (kb ' ) ei (b ')  1  i 2 đồng thức: J (t )  0 d eit cos  2 f (0) ( )  sử dụng (1.18) 1.3 Phƣơng pháp chuẩn cổ điển Xuất phát từ phương trình Schrodinger (1.1) cho tốn chiều, ta tìm biên độ tán xạ hạt trường ngồi,việc tổng qt hóa lên ba chiều khơng khó khăn Trong trường hợp toán chiều, nghiệm phương trình tương ứng biểu diễn dạng: (1.19)   eiS(x)/ Thế vào phương trình Schrodinger chiều tương ứng (1.1) giới hạn cổ điển  thay E  k2 2m kết ta tìm hàm sóng dạng: z  r   eikz e 3/2 (2 )  im U ( b  z '2 ) dz ' k L  (1.20) Và biên độ tán xạ viết:  im z '  2m ik ' x ' 2 ikx ' 2 f (k ', k )   d x ' e v ( b  z ) e exp  U ( b  z ' ) dz '   4  k L   (1.21) Vậy biểu thức f(k’.k) sau đơn giản hóa là: 2  2m f (k ', k )   bdb  dbe  ikb cosb  4 0  im z    dzV exp    U ( b  z '2 )dz ' k L     Sử dụng tính chất hàm Bessel 2  d e  ikb cosb b (1.21a)  2 J (kb ) ,  f (k ', k )  ik  bdb.J (kb ) exp 2i (b )  1 (1.22)  Với (b)   m U ( b  z )dz  2k  Biên độ tán xạ tính theo chuẩn cổ điển là: f (0) ( )  k  bdbJ (kb ) ei ( b )  1  i 1.4 Mối liên hệ biên độ tán xạ theo sóng riêng phần biên độ tán xạ eikonal Trong mục này, biểu thức tán xạ phép gần eikonal có quan hệ với biên độ tán xạ sóng riêng phần giới hạn tán xạ lượng cao ngược lại Chuyển đổi từ biên độ sóng riêng phần sang biên độ sóng eikonal ta thực phép thay đổi theo chiều ngược lại ta lại thu biên độ sóng riêng phần 7 1.5 Sơ đồ mối liên hệ phƣơng pháp tốn tán xạ Phƣơng trình Schrodinger f ( )   (2l  1)(e 2il  1)Pl (cos  )  2ik l0 Phương pháp Phương pháp Phương pháp Sóng riêng phần Hàm Green Chuẩn cổ điển Hàm sóng Hai sóng dạng: phẳng tới: in (r )  eikz cầu phân kỳ  out (r )  f ( ,  ) Hàm sóng Hai sóng dạng: phẳng tới 2ik   (2l  1)(e l 0 2il  1) Pl (cos )   eiS(x)/ in (r )  A0eik r ik r r '  out (r )   e d 3r ' U (r ) (r ') 4  r r' Biên độ tán xạ Biên độ tán xạ f ( )  Một sóng dạng: cầu phân kỳ ikr e r Hàm sóng f (0) ( )  k i   bdbJ (kb ) ei (b)  1 Biên độ tán xạ f (0) ( )  k i   b ' db ' J (kb ' ) ei (b ')  1 Chƣơng CÁC HIỆU ỨNG HẤP DẪN VÀ ĐIỆN TỪ TRONG BÀI TOÁN TÁN XẠ Ở NĂNG LƢỢNG PLANCK Biên độ tán xạ Planck hạt lượng lớn vào cỡ s  M Pl (ở M Pl  G 1/2 gọi khối lượng Planck), giới hạn  t / s    có dạng Glauber với pha phụ thuộc vào lượng cho tương tác hấp dẫn1 Biểu thức tương tự nhận cho tương tác điện từ Mặt khác, phép xấp xỉ eikonal mô tả đặc điểm trình tán xạ s- cao t-cố định, nhỏ Về mặt vật lý, đóng góp cho biên độ tán xạ chủ yếu quỹ đạo thẳng, hạt bị lệch q trình tán xạ Bài tốn tán xạ hấp dẫn toán tiêu chuẩn, cần xem xét, tán xạ hai hạt đưa tốn tán xạ với trường ngoai Bài toán hai hạt nghiên cứu hệ quy chiếu quán tính, hạt chuyển động với vận tốc lớn gần vận tốc ánh sáng, hạt khác chuyển động với vận tốc tương đối nhỏ Các hạt mơ tả metric thích hợp lý thuyết tương đối tổng quát Chẳng hạn với hạt trung hồ mơ tả Schwarzchild metric cịn hạt mang điện tích (hoặc mang từ tích) mơ tả Reissner-Nordstom metric Hàm sóng mơ tả trạng thái hạt trường không-thời gian, phân tích để rút biên độ tán xạ Các hiệu ứng điện từ trường nghiên cứu xem xét hạt mang điện tích (hoặc từ tích) Việc tính tốn bổ bậc cao cho số hạng chủ yếu eikonal xem xét đồng thời hai loại tương tác hấp dẫn tương tác điện từ vùng xung lượng truyền lớn nghiên cứu nhiều trường hấp dẫn kết hợp với tương tác có nhiều hiệu ứng vật lý lý thú 2.1 Tán xạ hoàn toàn hấp dẫn Xuất phát từ phương trình hiệp biến tổng quát Klein-Gordon cho hạt không khối lượng - hạt "thử" trường hấp dẫn trường điện từ: D  (  g g  D  )  , g D     ieA (2.1) Các Yukawa tương ứng với pha eikonal đẫ tác giả / 8-9/ chứng minh hạt tương tác với nhau, tùy thuộc spin trường trao đổi: i/ trường hợp vô hướng Yukawa tương ứng giảm theo lượng độc lập với lương mơ hình véc tơ, cịn trường hợp trao đổi graviton Yukawa tương ứng tăng theo lượng g  det g  ( x)   g g  , g   x  ten xơ metric, đặc trưng cho trường hấp dẫn, A ( x) trường điện từ Trước tiên ta xem xét tán xạ hoàn toàn hấp dẫn, nghĩa xem xét tán xạ hạt trung hoà Vậy ta đặt A ( x) =0 phương trình (2.1) Trường Schwarzschild cổ điển hạt bia chuyển động chậm (khối lượng hạt bia M coi nhỏ so với s ) thu nghiệm phương trình Einstein, có dạng:  2GM ds   1  r  1   2GM  2 2  dt  1   dr  r (d  sin  d ) r    (2.2) Từ đây, thành phần đường chéo metric Schwarschild xác định dạng: g  Và   2GM  1 0   1   r      2GM   1   r     0 r 2  0          r 2 sin 2   (2.3)  g   det( g  )  r sin  Nghiệm hàm sóng hạt "thử" dựa vào phương trình Klein-Gordon cho tương tác hấp dẫn giả thiết có dạng: (r , t )   (r )eiEt  f (r ) iEt e Ylm ( ,  ) r (2.4) E lượng hạt "thử", đo khoảng cách xa Thay (2.4) vào phương trình (2.1), kết ta tìm phương trình xuyên tâm:  d f (r )  pl ( s)  pl ( s)  1 2GsE    E  f (r )  2 d r r r   pl (s)  pl (s)  1  l (l  1)  G s (2.5) (2.6) Các số hạng với số mũ nghịch đảo lớn phương trình (2.5) ta bỏ Điều cho phép ta nhận lời giải cuối phương trình (2.5) khơng cần sử dụng phép gần bổ sung Ghi nhớ rằng: kích thước thơng số tán xạ bé (kích thước Planck cỡ 1032 cm ) tán xạ khơng thể xảy Phương trình xuyên tâm thu giải phương pháp thông thường qua hàm số siêu bội với tính chất tiệm cận quen thuộc nhận biên độ tán xạ theo sóng riêng phần 10 f ( )   (2l  1)(e2il  1) Pl (cos  )  2i s l 0 (2.7) lệch pha  l sóng riêng phần đặc trưng bắng số lượng tử quỹ đạo cố định với l  Sự lệch pha là:  l  arg   pl ( s)   iGs     pl ( s)   G    pl ( s)   G  (2.8) Từ phương trình (2.8) (2,6) số lượng tử quỹ đạo cố định ( l  fixed ) vùng lượng khối tâm lêch pha có kỳ dị Gs  i [l (l  1)  N ( N  1)] 2N  (2.9) N nguyên dương Mặc dù kỳ dị cực định sứ phần ảo s- mặt phẳng phức, định sứ cực vị trí khác hồn tồn vị trí cực mà thấy phép gần eikonal Gs  iN Các cực mà ghi nhận kỳ dị lệch pha ( l  fixed ) mặt vật lý chúng lý thú (có nghĩa cực giống cộng hưởng thực sự) cực điểm eikonal (tồn l lơn) chúng khơng phải kỳ dị lệch pha Lưu ý tán xạ eikonal  l  log l Có thể khơng xác giả thiết rằng: biên độ có cực s -sóng vùng số lượng tử quỹ đạo l nhỏ sóng này, khơng thể xuất phép gần eikonal Ngược lại, khảo sát biên độ vùng giá trị l nhỏ, cực điểm xuất khoảng thơng số tán xạ lệch pha Công thức cho phép rút số hạng thuộc bậc bổ chủ yếu, sử dụng giới hạn eikonal l   việc khai triển tiệm cận biến số hàm Gamma theo tăng số mũ nghịch đảo l Kết ta nhận được:   Gs   1  l  Gs log l     O  2l  2l  l  (2.10) Số hạng đầu phương trình (2.10) rõ ràng tương ứng với kết eikonal Các số hạng bổ dự đốn từ giản đồ sợi dây qua trao đổi Regge Bổ chủ yếu lý thuyết sợi dây tỉ lệ với Gs 2 / l  log s Sử dụng phương pháp học lượng tử khơng mong đợi nhận bổ dạng logs, hình thức luận lý thuyết trường lượng tử cần sử dụng cho mục tiêu Dạng bổ  1l  khơng nhận phương pháp điều khơng có 11 đáng ngạc nhiên Sự lý giải lý thuyết sợi dây đựơc lượng tử hoá quanh mặt phẳng, quanh trường Schwarzschild Như hiệu ứng bị bỏ qua Kết luận giả sử đúng, hình học khơng thời gian tương ứng hạt biên ngồi giới hạn eikonal khơng dễ dàng xác định 2.2 Cực điểm biên độ tán xạ Dáng điệu tiệm cận nhận từ phương trình (2.7) dễ dàng sử dụng để tính tốn biên độ tán xạ kết hợp với bậc bổ chủ yếu Trước tiên, ta dẫn lại biểu thức biên độ tán xạ eikonal thu chương I cho trường hợp ta: f ( s, t )  i s 2   d 2beikb e2il  1 (2.11) Thay độ dịch chuyển pha (2.10) vào biểu thức (2.11) sử dụng phép khai triển cho l đủ lớn, l ,chú ý l b s , kết biểu thức biên độ tán xạ biểu diễn dạng chuỗi f (s, t )  f   (s, t )  f   (s, t )  (2.12) f (s, t ) số hạng chính, f (s, t ) số hạng bổ bậc … (0) (1) i s iGs iGs  ikb iGs s  d be  b  2 Gs iGs iGs  ikb iGs  12  f (1) ( s, t )   s  d be  b  f (0) ( s, t )   (2.13) (2.14) Sử dụng cơng thức tích phân sau:   d be ikb b   (  1)       (  )  k   1 ý tới biến Mandelstam t  k Chúng ta viết lại biểu thức dươi dạng f (0) f (1) 2Gs ( s, t )  t (1  iGs)  t    (1  iGs)  s  iGs 2Gs   12  iGs   t  ( s, t )     t   12  iGs   s  (2.15) iGs (2.16) (2.16) cần ý ta sử dụng tính chất hàm Gamma: (1  iGs)  iGs(iGs) Các cực điểm eikonal lại lần xuất giá trị nguyên (trong đơn vị Planck) trục ảo s-truc mặt phẳng phức Ngoài người ta nhận thấy cực điểm lại xuất giới hạn thấp điểm lấy tích phân ( b  ) nửa giá nguyên nằm phần ảo s-trục mặt phẳng phức Như nhận xét kỹ sảo 12 thực minh hoạ chế độ thông số tán xạ nhỏ Như cực điểm không hy vọng cộng hưởng lệch pha vùng xấp xỉ mà l lớn, đồng thời khơng có kỳ dị Vậy làm sáng tỏ thêm nguồn gốc kỳ dị biên độ tán xạ eikonal 2.3 Tán xạ hấp dẫn có kể thêm tƣơng tác điện từ Sự xáo trộn hiệu ứng hấp dẫn hiệu ứng điện từ phép gần eikonal kết quan trọng tán xạ Planck, lại chưa ý nghiên cứu mức Trong tài liệu dẫn [1-8] có giả thiết cho rằng: giới hạn eikonal sóng xung kích hấp dẫn sóng xung kích điện từ tác động hồn tồn độc lập với nhau, sinh mạng lưới nhân tử pha hàm sóng hạt "thử " mà tổng nhân tử pha phần Trường hấp dẫn có khả kết hợp với tất trường kể trường điện từ, giả thiết độc lập hai loại tương tác vùng động lực học đặc biệt giới hạn eikonal giá trị thực tế giả thiết quan trọng Người ta xem xét tán xạ hạt thử trung hoà metric Reissner-Nordstom nhờ điểm điện tích tĩnh Phương trình Klein Gordon cho hạt chuyển động nhanh nhận việc thay đạo hàm khơng thời gian đạo hàm hiệp biến thích hợp với metric Reissner-Nordstom: 1  2GM GQ   2GM GQ  ds   1    dt  1    dr  r d 2 r r  r r    d 2  d  sin  d metric hình cầu hai (2.17) chiều Một lần giới hạn thông số tán xạ lớn so với thang độ dài 2GM điện tích, cho điện tích phương trình xun tâm có dạng:  d f (r )  l (l  1)  2GQ E  G s 2GsE    E  f (r )  2 dr r r   (2.18) Tìm nghiệm phương trình trên, cách hoàn toàn tương tự trên, thu biên độ tán xạ dạng (2.11) Sự lệch pha cho sóng riêng phần cho l (2.8) Tuy nhiên đây: pl ( s)  pl ( s)  1  l (l  1)   Gs  , (2.19) với    (Q2 / 2GM ) Rõ ràng   thu nhỏ cho trường hợp Schwarzchild Khơng khó khăn kỳ dị lệch pha xẩy không trục ảo s- mặt phẳng phức, phần lại mặt phẳng này:    2   1  i  2N    Gs   1  1  4i   (Gs)0        N         (2.20) 13  Gs  có ý nghĩa định sứ cực điểm trường hợp Schwarzchild xác định phương trình (2.18) Khi   giới hạn đưa đến trường hợp Schwarzchild xác định Từ thông tin tồn cực điểm lệch pha (đối với vùng nằm thông số tán xạ), phát triển sâu nguồn gốc thật hay phận hồn tồn phức tạp Sử dụng khai triển tiệm cận hàm Gamma người ta rút giới hạn eikonal bậc bổ chủ yếu:  Gs   O   1   l ( s)  Gs log l      3 2l  2l  l  (2.21) Rõ ràng, số hạng eikonal bậc bổ chủ yếu (hai số hạng ngoặc vng) hồn tồn độc lập với điện tích Q hạt "bia" tĩnh mà trường hấp dẫn ta mơ hình hố metric ReissnerNordstrom Ngược lại bậc bổ phụ trợ (các số hạng bậc O  l 3  hay nhỏ hơn) lại phụ thuộc vào điện tích Q Nói cách khác hiệu ứng hấp dẫn hoàn toàn tách khỏi hiệu ứng điện từ để đóng góp hai số hạng cho lệch pha Sự sáo trộn mà người ta hy vọng chung thực chất thông số tán xạ bé (l -nhỏ ) Ghi nhớ rằng: hệ số số hạng hỗn hợp tính khơng phải hệ số tổng quát, người ta chờ đợi trao đổi graviton ngang [2] Song, hai số hạng đầu kết thu có giá trị thực tiễn Sự tách bạch hấp dẫn điện từ cho số hạng eikonal bổ chủ yếu xuất phát từ hạt tích điện (ví dụ điện tích Q') ngồi trường hấp dẫn hay điện từ bia Kết nhận tổng qt hố đạo hàm hiệp biến phương trình Klein-Gordon cho hạt hạt ánh sáng Phương trình xun tâm nhận việc cải biến phương trình (2.18) 2  d f  l (l  1)    Gs    ' 2 ' E    E   f 0 dr  r2 r   '  Gs  QQ ' ,  xác định     (2.22) Sự khai triển tiệm cận lệch pha tương ứng dễ dàng nhận được: 2    Gs    '    l ( s)   ' log l    O   2l 2l  l    dụng phép thay G s  G s Q Q ' để tính Sử giới hạn eikonal f (0) s  Gs  QQ '  1  i(Gs  QQ ')   t  ( s, t )    t  1  i(Gs  QQ ')   s  (2.23) hiệu ứng điện từ i ( Gs QQ ') (2.37) 14 f (1) 2(Gs  QQ ')  1  i(Gs  QQ ')   t  ( s, t )     1  i(Gs  QQ ')   s  t i ( Gs QQ ') (2.24) Cách làm chấp nhận phương pháp Ngoài phép thay dùng việc tìm bổ chủ yếu số hạng eikonal Sự hỗn hợp hiệu ứng số hạng O  l 2  khơng phải phổ biến Điều đặc biệt có ý nghĩa nghiên cứu kỳ dị vòng hấp dẫn lý thuyết hấp dẫn lượng tử 15 KẾT LUẬN Mục đích luận văn nghiên cứu toán tán xạ lượng cao lý thuyết trường lượng tử hấp dẫn lượng tử phương pháp sóng riêng phần Các kết luận văn bao gồm: Đã đưa ba phương pháp giải phương trình Schrodinger để tìm biên độ tán xạ có phương pháp sóng riêng phần Việc so sánh ba phương pháp giúp ta có hướng khác cho toán tán xạ học lượng tử Phương pháp sóng riêng phần sử dụng học lượng tử tổng qt hố, sau sử dụng để nghiên cứu toán tán xạ lượng Planck lý thuyết trường hấp dẫn lượng tử Đã hạt trung hồ cực điểm biên độ tán xạ phương pháp sóng riêng phần nằm phần ảo trục năng- xung lượng khối Các cực điểm phân bố vị trí khác với vị trí mà chúng xuất vùng gần eikonal Đối với hạt có điện tích, hiệu ứng điện từ trường hấp dẫn tồn riêng rẽ sử dụng phép gần eikonal, thu số hạng bổ theo xung lượng truyền Các hiệu ứng điện từ hấp dẫn bị xáo trộn với nghiên cứu bổ bậc cao Các số hạng bổ thu cho biên độ tán xạ hấp dẫn lượng tử cần phải tiếp tục nghiên cứu Cốt lõi việc tính tốn biên độ tán xạ eikonal số hạng bổ cho giúp thấu hiểu hiệu ứng vật lý khoảng cách Planck 1032 cm Kết thu Bản luận văn thạc sĩ khoa học coi sở để nghiên cứu cho toán tán xạ cho hạt phức tạp Đó mục tiêu mà tác giả luận văn hướng tới 16 TÀI LIỆU THAM KHẢO I TIẾNG VIỆT Nguyên Mậu Chung (2015), Hạt bản, NXB ĐHQG Hà Nội, Hà Nội Nguyễn Ngọc Giao (1999), Lý thuyết trường hấp dẫn, NXB Đại học Quốc gia TPHCM, TPHCM Nguyễn Ngọc Giao (1999), Hạt bản, Trường ĐHKH Tự Nhiên, ĐHQG TP Hồ Chí Minh Nguyễn Xuân Hãn (1998), Cơ học lượng tử, ĐHQG Hà Nội, Hà nội Nguyễn Xuân Hãn (1998), Cơ sở lý thuyết trường lượng tử, ĐHQG Hà Nội, Hà nội II TIẾNG ANH t Hoof (1988), “On the Factorization of Universal Poles in a Theory of Gravitating Point Particles”, Nucl Phys B304, pp 867-876 D.Amati, M.Ciafaloni and G.Veneziano (1988), “Classical and Quantum Gravity Effects from Planckian Energy Superstring”, Int J Mod Phys A3, pp1615-1561 H Verlinde and E Verlinde (1992), “Scattering at Planckian Energies”, Nucl.Phys.B371, pp 246-252 D.Kabat and M Ortiz (1992), “Eikonal Gravity and Planckian Scattering”, Nucl.Phys.B388, pp.570-592 Nguyen Suan Han and Eap Ponna (1997), “Straight-Line Path Approximation for the Studying Planckian-Scattering in Quantum Gravity”, Nuo Cim A, N110A pp 459-473 Nguyen Suan Han (2000), “Straight-Line Path Approximation for the High-Energy Elastic and Inelastic Scattering in Quantum Gravity” Euro Phys J C, vol.16, N3 p.547-553 Proceedings of the 4th International Workshop on Graviton and Astrophysics heid in Beijing, from October 10-15, 1999 at the Beijing Normal University, China, Ed Liao Liu, et al World Scientific Singapore (2000)pp.319333 S Das and P Majumdar (1998), “Aspects of Planckian Scattering Beyon the Eikonal ”, Journal Pramana, India, 51, pp 413-418 Nguyen Suan Han and Nguyen Nhu Xuan (2002), “Planckian Scattering Beyon the Eikonal Approximation in the Functional Approach”, E-print arxiv, gr-qc/0203054, 15 mar 2002, 15p; European physical journal c, Vol 24, pp.643-651 Nguyen Suan Han, Le Hai Yen and Nguyen Nhu Xuan (2012), High Energy Scattering in the Quasi-potential Approach, e-Print: 17 arXiv:1201.0322 [hep-th] International Journal of Modern Physics A, vol.27,N1 (2012) 1250004(19) 19p “ Planckian Scattering Beyon the Eikonal Approximation in the Quasi-Potential Approach”, E-print arxiv, 0804.3432 v2 [quant-ph] (2008) 10 Rosenfelder R (2008), “Path Integrals for Potential Scattering”, E-print arxiv, 0806.3217v2[nucl-th] 11 Robert A Leacock and Michael J Padgett “Hamilton-Jacobi Theory and the Quantum Action Variable”, Physical Review Letters, 50(1):3– 6, 1983 12 Robert A Leacock and Michael J Padgett “Hamilton-Jacobi/actionangle quantum mechanics”, Physical Review D, 28(10):2491–2502, 1983 13 Marco Roncadelli and L.S Schulman “Quantum Hamilton-Jacobi Theory”, Physical Review Letters, 99(17), 2007 14 t Hoof (1988), “On the Factorization of Universal Poles in a Theory of Gravitating Point Particles”, Nucl Phys B304, pp 867-876 15 A.K Kapoor R.S Bhalla and P.K Panigrahi (1996), “Quantum Hamilton-Jacobi formalism and the bound state spectra”, arXiv, quant-ph/9512018v2 16 J.J Sakurai (2007), Modern Quantum Mechanics, Pearson Education 18 19