Đề tài Nghiên cứu về hệ mô tả và ứng dụng đã hệ thống lại các kiến thức về tính giải được của phương trình, hệ phương trình vi phân đại số trong các tài liệu tham khảo khác nhau; nghiên cứu về hệ mô tả tuyến tính, hệ mô tả phi tuyến; ứng dụng lý thuyết điều khiển của hệ mô tả.
Trang 1ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM DƯ THỊ THANH
NGHIÊN CỨU VÈ HỆ MƠ TẢ VÀ ỨNG DỤNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC
Đà Nẵng - Năm 2019
Trang 2
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
DƯƠNG THỊ THANH
NGHIÊN CỨU VÈ HỆ MƠ TẢ VÀ ỨNG DỤNG
Trang 3LỜI CAM ĐOAN
Tơi
in cam đoan Luận văn là cơng trình nghiên cứu của riêng tơi dưới sự hướng dẫn trực tiếp của TS Lê Hải Trung
Trong quá trình nghiên cứu, tơi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn
Đà Nẵng, tháng 05 năm 2019 Tác giả
Trang 4TRANG THONG TIN LUAN VAN THAC Si Tên đề tải: Nghiên cứu về hệ mơ tả va tn
2 dung, Nghành: Tốn giải tích
Họ và tên học viên: Dương Thị Thanh,
Người hướng dẫn khoa học: US.Lé Hai Trung
Cơ sở đào tạo: Trường Dai hoe Su Pham- Dai Hoe Da Nan
Tom tit: Trong một thời gian nghiên cứu và tìm hiểu một số t:
nhiệt tỉnh của Tiến Sau: iệu và dưới sự hướng dẫn ï Lê Hải Trung tơi đã hồn thành luận án của mình và đạt được kết quả như
1 Hệ thống hĩa kiến thức vẻ lĩnh vực Dại số tuyển tính và phương trình vi phân dại số 2 Trình bày kiển thức về hệ thơng mơ tả tuyền tính và hệ thống mơ tả phi tuyển
¡ khiển của hệ thống mơ tả để giải quyết các vấn dễ thực tế dược dưa
ra dữ liệu dầu vào
Tuy nhiên vì thời gian và kiến thức hạn chế luận án khơng thể trị
nhất dịnh Tơi trân trọng hy vọng nhận được ÿ kiến và đề xuất từ giáo v
nĩ hồn thiện hơn
Trang 5
ORMATION PAGE OF THE MASTER THESIS Name of the thesis: Research about Descriptor Systems and Applications Major: Analysis Mathematics
Full name of Master student: Duong Thi Thanh Supervisor: Dr Le Hai Trung
Training institution: The University of Da Nang - University of Science and Education,
Abstract: Over a period of time researching and leaning some documents and under the enthusiastic guidance of Dr Le Hai Trung | have completed my thesis and achieved the following resul 1, Systematize the knowledge of the solvability of equations algebraic differential equations scriptive system 2 Present the knowledge of linear deseri systematically 3 Apply the control theory of descriptive system to solve practical problems given input data cannot avoid certain
However, because of limited time and knowledge the the:
shortcomings | respectfully hope to receive comments and suggestions from teachers and readers
to make it more complete
Supervisor's confirmation Student
1= Van —
Trang 6Mục lục MỞ ĐẦU 4 1 Dẫn nhập về hệ mơ tả 6 11 Các khái niệm cơ bản 6 12 Vidu 7
2_ Tính điều khiển được của hệ mơ tả 11
2.1 Hệ phương trình vi phân đại số với hệ số hằng 13 2.2 Hệ phương trình vi phân đại số với hệ số biến thiên 19
23 Hệ phi tuyến Ặ Q2 Q2 32
3 Tính chính quy hĩa của hệ mơ tả 38
3.1 Hệ mơ tả tuyến tính với hệ số hằng số ca na 39
3.2 Hệ mơ tả tuyến tính với hệ số biến thiên 43 33 Hệ mơ tả phi tuyến 47
Trang 7MỞ ĐẦU
1 Lý do lựa chọn đề tị
Lý thuyết điều khiển của hệ mơ tả đĩng vai trị quan trọng trong sự phát triển của khoa học và kỹ thuật Lĩnh vực này hiện hữu khắp nơi từ hệ thống,
phi thuyền khơng gian, hệ thống điều khiển tên lửa, máy bay khơng người lái, người máy, tay máy trong các quy trình sản xuất hiện đại, và ngay cả
Vi vay, việc nghiên
trong đời sống hàng ngày: “
đề cần thiết và
cứu lý thuyết điều khiển của hệ mơ tả là v quan tâm
Lãnh vực Lý thuyết điều khiển đã thu hút được nhiều sự quan tâm của các
nhà tốn học trên thế giới, cĩ thể kể đến như: S.P Zubova, Y.V Pakorni,
E.V Raeskaya, A Ailon, Lena Seholz Trong các cơng trình của các tác giả
nêu trên, các mơ hình điều khiển được nghiên cứu đều được mơ tả dưới dạng
các hệ phương trình vi phân đại số cĩ dạng: #(Ð) = Az(t) + Bu(t) () với điều kiện dau : z(0) = a,z(T) =b @) hoặc hệ mơ tả cĩ dạng: A#(1) = Bz(t) + Du(t), @)
trong đĩ z() được gọi là hàm trang thai, u(t) được gọi là hàm điều khiển Các ma trận 4A, Ư, D và các hàm trạng thái và điều khiển thuộc các khơng gian tương ứng (với hàm ý là thực hiện được các phép nhân giữa các ma
trận với nhau) Với mục đích tìm hiểu sâu hơn vẻ hệ (1) và (2) và đồng thời
nghiên cứu thêm về một dạng hệ điều khiển mơ tả hệ số hằng dạng:
Ex(t) = Az() + ƒ() (4)
Trang 8
và hệ điều khiển mơ tả với hệ số biến thiên dang:
E()#(t) = A()z(Đ) + B()u() + ƒ(®) (5)
y(t) = C()x(Ð) + D(tju(t) + g(t), (to) = Xo,
cùng với sự gợi ý từ TS Lê Hải Trung, tơi quyết định chọn đẻ tài : “Nghien cứu về hệ mơ tả và ứng dụng ° cho luận văn thạc sĩ của mình 2 Mục đích nghiên cứu - Hệ thống lại các kiền thức về tính giải được của phương trình, hệ phương
trình vi phân đại số trong các tài liệu tham khảo khác nhau
- Nghiên cứu về hệ mơ tả tuyến tính, hệ mơ tả phi tuyến
- Ung dụng lý thuyết điều khiển của hệ mơ tả
3 Đối tượng nghiên cứu
Luận văn nghiên cứu về hệ điều khiểi mơ tả hệ số hằng dạng: Ei() = Ar() + f() và hệ điều khiển mơ tả với hệ số biến thiên dạng: #()#( = A()z0) + B(Đu() + ƒ() y(t) = C(t)a(t) + D(t)u(t) + g(t), #(fo) = 4 Phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu hệ Z#(£) = Az(f) + f(t) va
E()#() = A(t)s() + B()u(1) + F(t)
y(t) = C(t)a(t) + D(t)u(t) + g(t), x(to) = x0
trong khơng gian các hàm biến thực
5 Phương pháp nghiên cứu
Các kiến thức liên quan đến việc thực hiện luận văn thuộc các lĩnh vực : a uyến tính, Giải tích, Lý thuyết phương trình vi phân, Lý thuyết về
Trang 9Chương 1
Dẫn nhập về hệ mơ tả
1.1 Các khái niệm cơ bản
Một hệ điều khiển cĩ thể được viết dưới dạng
0=F(t,z,#,u), — #(lb) =zo (1)
y=G(t,2,u), (1.2)
trong d6 F : Ix D, x D; x D, 3 R! va G: 1x D, x D, > RP la cc hàm
liên tục, D,,D; C R" va D, C R™ la tap mé, x € R" val = [to,t;] CR Phương trình (1.1) được gọi là phương trình trạng thái và (1.2) được gọi là phương trình đầu ra Hàm khả vi liên tục z : 1 R" được gọi là ham trang thái của hệ, w : ï —> R”" là hàm đầu vao va y : I + R? la ham dau ra ciia hệ
Trang 10
Hình 1.1: Mơ hình cho Hệ Điều Khiển Mơ Tả
Nếu F'¿ khơng thay đổi, phương trình trạng thái (1.1) cĩ thể được biểu
diễn lại như phương trình vi phân thường (ODE):
# ð(t,+,),
bằng cách sử dụng định lý hàm ẩn Trong trường hợp này, (1.1) được gọi là phương trình vi phân đại số (DAE) Trong thực tiễn, hệ (1.1) và (1.2) được gọi là hệ mơ tả Các hệ thống (1.1) va (1.2) phát sinh trong kỹ thuật cơ khí, điện và hĩa học
1.2 Vídụ
Ví dụ 1.1 (Con lắc xe đẩy hàng) Xét một con lắc cứng cĩ chiều dài / với điểm hội tụ mạ gắn vào xe đẩy hàng cĩ khối lượng zmị chỉ di chuyển theo
phương ngang Tình huống này được mơ tả trong hình 1.2 Chúng ta cĩ
những kí hiệu sau đây:
mmị khối lượng xe đẩy ma khối lượng con lắc 1 chiều dài con lắc g trong luc
x1 vi tri ngang cita gid hang
(x2, x3) vi tri khối lượng rmz
Trang 11e
Hình 1.2: Mơ hình cho Hệ Điều Khiển Mơ Tả
Chuyển động của hệ cĩ thể được mơ tả bởi các phương trình Euler- Lagrange (ELE), với hàm Lagrange được cho bởi: Ne L(x, #,d) = T(2, 4) — U(e) — Yrs, ge(2), k=l trong đĩ 7(z,#) biểu thị cho động năng, U(z) biểu thị cho thế năng và
(2) = Ú, ø,,(£) = 0 biểu thị các liên kết (lý tưởng) hạn chế chuyển +
động của hệ Véc tơ À = [ AI cà Am ] bao gồm các nhân tử Lagrange Kí + hieu w = [: A] §au đĩ, các phương trình Euler-Lagrange được đưa ra bởi: d/(a 4 (816) - đe,
trong đĩ #„ biểu thị (lực) tác động bên ngồi Trong trường hợp con lắc xe
đẩy hàng, chúng ta cĩ động năng 7= $mizi? + ÿma(32Ÿ + ais”), thé ning
Trang 12Đặt z¡ — đi, #y — Z2 và xg = 23, khi đĩ (1.3) được xác định bởi: #ạ=z ip = 25 a3 = 26 my(é4) = 2A(x2 — 21) + 0 (1.4) ma(a5) = —2A(ax2 — 21) 1na(#¿) = —2Ar3 — mg 0 = (x — 2)? +23 =P Vì ta chỉ quan tâm đến vị trí của con lắc, nên phương trình đầu ra cĩ dang 0100000 + y= r= : 0010000 +3 “Tuyến tính hĩa (1.1) và (1.2) ta nhận được hệ mơ tả tuyến tính với các hệ số biến thiên cĩ dạng: E)#() = 4@)z() + BŒ)uŒ) + ƒ) zứo) =za vit) = C0)z()+ D()u()+ g0) 0) với các hàm ma trận liên tục #, A : I — RP*", : ï —› R*”, Ơ ; ï —› RP”
và D : I + RP*™ va céc ham khơng đồng nhất liên tục ƒ : ï —> RẺ,
g:1 —> RP Tương tự, tuyến tính hĩa (1.1) và (1.2) theo quỹ đạo tham chiếu
khơng đổi tạo ra hệ mơ tả tuyến tính:
E()#(Đ) =_ A(Đ)z(t) + B()u(1) + ƒ().- #(a) =zo
vi) =_C()z()+D()4() + g() 8
vai E, AER", BeR™™ CER, DER”
Chú ý 1.1 Trong các hệ khơng gian trạng thái tiêu chuẩn (LTV hoặc LTI)
một trong hai cĩ E(f) = l„ = E và l = n Do đĩ, chúng là những trường hợp đặc biệt của (1.5) và (1.6)
Vi dụ 1.2 (Tuyến tính hĩa con lắc xe đẩy hàng) Ta tiến hành tuyến tính
Trang 13bằng # = [a we Fg x] [o 0 —I 00 0 #2 Ì Sử dụng phép khai triển #¡ = ã¡ + ê; với ¡ 6 và À=Ä+  ta cĩ được: (17) —8(8s + £¿)(Ä + Â) — mạg
0= (ấy + Êy — 8q — Êi) + (Êy + 2)? — PP
Trang 14Chương 2
Tính điều khiển được của
hệ mơ tả
Một câu hỏi đầu tiên trong phân tích các hệ mơ tả là sự tồn tại và tính duy
nhất của các nghiệm của (1.1) và (1.2), được xác định bởi:
0= F(t,z,z,u), (to) = xo, (2.1)
0=y~ G(t,+,u) (2.2)
Đối với ODE, chúng ta cĩ thể sử dụng định lý hàm ẩn để biến đổi (1.1) thành
#= f(t.z,w) (23)
Nếu ƒ là một hàm trơn (hoặc Lipschitz liên tục đối với đối số thứ hai) thì
lý thuyết ODE đảm bảo một nghiệm z(?) duy nhất cho mọi điều kiện ban
đầu x(t) = zo va bất kỳ hàm đầu vào liên tục nhất định nào đĩ u Trong,
Trang 15Dinh nghia 2.1
1 Hàm @ : I+ R" dutgc goi là một nghiệm (theo nghĩa cổ điển) của (1.1) nếu £ € C\(I,R") và £ thỏa mãn mỗi điểm (1.1) cho một số hàm đầu vào đã cho u
2 Ham @ : 1+ R" duoc goi là một nghiệm của bài tốn giá trị ban đầu (IVP) bao gém (1.1) va #(fg) = zụ € RR", nếu ê là một nghiệm của (1.1) và thỏa mãn #(fo) = #0
3 Giá trị ban đầu zọ € R" được gọi là thuần nhất, nếu IVP tương ứng
cĩ ít nhất một nghiệm
Định nghĩa 2.2 Một vấn đề kiểm sốt (1.1 ) được
tại hàm đầu vào œ để cho (1.1) cĩ nghiệm, và được gọi là khơng đổi nếu nĩ
¡ là đồng nhất nếu tồn
cĩ một nghiệm duy nhất cho mọi giá trị ban đầu phù hợp với hệ cĩ đầu vào u
Đối với đầu vào với w đã cho, hệ (1.1) biểu thị là một phương trình vi
phân đại số (DAE) Do đĩ, lý thuyết cho khả năng giải quyết các hệ mơ tả
cĩ liên quan mạnh mẽ đến lý thuyết cho các DAE
2.1 Hệ phương trình vi phân đại số với h .®
số hằng
Xét DAE tuyế:
Ek = Ac + f(t) (2.6)
06 BAER va f 1 Rae: 1 R" Lim g ring he mo ta la trong hợp đặc biét cita (2.6) bing cach dat f(t) = Bu(t) cho dau vao u da cho Trạng thái nghỉ
của hệ phụ thuộc vào các thuộc tính của cặp ma trận (E, A) hoặc tương đương với chùm ma trận À/ — A đối với một số À € C Định nghia 2.3 Chim ma tran AE — A hoặc cặp (E, A) voi E, A € RD được gọi là khong déi néu 1 = n va det(AE— A) # 0 véi A € C Trong trường hợp ngược lại được gọi là kỳ di
Ví dụ 2.4 (Chùm ma trận khơng đổi)
Trang 16Chùm ma trận 010 100 (EB, A) = 00 010 001 là khơng đổi, vi det(AE — 4) = —1 # 0 với mọi À € € Ví dụ 2.5 (Chùm ma trận kỳ di) Chùm ma trận 010 100 (Œ.A)=||ooi|.|oo00 000] 001 là khơng thay đổi, vì det(AE — 4A) = 0 cho tất cả A € C Định nghĩa 2.4 Hai cặp ma trận(Ƒ, 4) và (Ẽ,
mạnh nếu tồn tại ma trận khơng suy biến WỨ € RP“ và T € JR"X" sao cho ) được gọi là tương đương,
E=WET,A=WAT
Bổ đề 2.1 Cặp ma trận (E, 4) là khơng đổi khi và chỉ khi mọi cặp tương,
đương mạnh (E, 4) đều khơng đồi
Ching minh Dé W,T € R"*" sao cho E = WET, A = WAT Sau đĩ,
chúng ta cĩ
det(AZ — A) = det(W(AE — A)T) = det(W') det(7) det(AE — A) với đet(W) det(7) # 0 Từ đây ta cĩ điều phải chứng minh
Định lý 2.1 (dang chính tắc Weierstrass) Để ÀE — A khơng thay đổi, cần tồn tại ma trận khơng suy biến E, 7 € #"*", sao cho N awer-—war= |i °] 0 0 Tne y 0 | (WCF) đ 0, tức là W°" = Ú, mũ của DAE (2.6) và
với J,Ý ở dạng chính tắc Jordan, A lũy linh với số A1 #0 Số được gọi là số mũ của ÀE — A hoặc duoc ki higu v = ind(E, A)
Trang 17
Chứng minh Vì (ƒ, 4) khơng thay đổi, tồn tại Àg € C với det(Ay# —
A) # 0 và do đĩ AE — A khơng suy biến
(E,A) = (E,A~ AE + WE)
~ (—(AE~ A)”!E ~ (AE — A)“!(A — AVE + AyE))
= ((E~= A)T!E,T + Ag(A — AsE)~!E)
Hơn nữa, tồn tại một ma trận khơng suy biến S$ € "*" sao cho S(A —
AoE)~1S~! ở dạng chính tắc Jordan, tức là:
S(A— AE)~18=! = [i vị:
oN
trong d6 J la khơng suy biến (một phần thuộc về giá trị đặc trưng khác
khơng) và ZŸ là lũy linh tam giác trên Khi đĩ, ma trận 7 + ÀgÄÝ là tam giác
trên khơng suy biến và chúng ta cĩ
(E.A)~ J0 I+AsJ 0
ì oN]? 0 [+N
(fF 0 J+ +l 0
0 (I—À¿Đ)! |} 0 I
véi (I + ÀgÄ)~!ÄŸ là lũy linh va tam giác trên Chuyển J~! + Aol va (I + AoiÝ)“!ÄĐ thành dạng chính tắc Jordan mang lại biểu thức (WCF)
Đối với các cặp ma trận thơng thường (E, 4) hệ tuyến tính DAE (2.6)
Trang 18Chúng ta kết luận rằng nếu (E, 4) khơng đổi với zo € 4 và u() là ø lần vi phân liên tục, thì
Ei = Ax + Bu,x(0) = 2
cĩ một nghiệm (cổ điển) duy nhất Để làm rõ sự phụ thuộc của nghiệm x
vào giá trị ban đầu và đầu vào, chúng ta viết #(f; 9, u)
Định lý 2.3 Nếu cặp ma trận (, A) khơng thay đổi, thì bài tốn (1.6) là
thuần nhất và khơng đổi
Chitng minh Lay u(t) =
khơng thay đổi (E, 4) Vì vậy, đối với giá trị ban đầu nhất quán z(0) = z
tồn tại một nghiệm duy nhất Do đĩ, bài tốn kiểm sốt là phù hợp Tính
khơng đổi được xác định theo Định lý 2.2
chúng ta cĩ Bz = Az + ƒ với cặp ma trận
Dinh lý 2.4 Nếu (E, 4) cĩ E, A € R'*" la một cặp ma trận suy biến, thì
bài tốn kiểm sốt (1.6) thay đổi
Chứng minh
“Trường hợp 1 rank(AE — A) < n với mọi À € C
Ta lựa chọn u = 0 va f(t) = 0 va xét DAE thuần nhất Z# = Ar cing
véi (0) = 2 1, A2, Ag -s Angi € C khác nhau từng đơi một Sau đĩ
với mỗi À¡ tồn tại v; € C” \ {0} với
(iE — A)v; = 0
va v; la phu thudc tuyén tinh Do do, tén tai a; € C, (i = 1, ,n+1) khong
đồng thời bằng khơng sao cho Sau, = 0 Xác định 2(t) = Fame
Khi đĩ z(0) = 0 và 1 =
ntl ntl
F(t) = Bade = AY aie = Aa(t)
= i=
Do đĩ, z() là một nghiệm của hệ đồng nhất với z(0) = 0 Vi #(t) =
Trang 19Vì (E, A) là suy biến, cĩ nghĩa là ! > n Với việc đổi biến số z(£) = e*'Z(/)
chúng ta cĩ:
E(e** (8) + \e™ Z(t) = Ae*'Z(t) + Bu(t) + f(t)
Dac biet, E#(t) = (A—AE)#(t) +e Bu(t) +e f(t) Vi (A—AE)c6 hang
(theo) cột đầy đủ 1A n, nén tồn tại một ma trận khơng suy biến 7 € RÍ*!
sao cho T(A — \E) = i hay chính xác hơn: ce [e]+ [4] với | #L| = re,| ® | = reat) Ey = u(t) va fi By fe (Ei, 1,) là khơng thay đổi vì rank(AB, — I,), 46i với A = 0 và = Tf Phần Ey =% + Byit filt)
cĩ một nghiệm duy nhất cho mọi @ dit tron véi f;(t) theo định lý 2.3 Từ
Ext = Byit + fo(t) ching ta cĩ được một điều kiện nhất quán cho By dé duy trì sự tồn tại của một nghiệm Tồn tại tính khơng thuần nhất trơn tùy ý mà trong đĩ tị? # B; + fa(t) và do đĩ hệ thay đổi Chú ý 2.2 Lưu
của (E, A) là thuận lợi nhưng khơng cần thiết (hệ cĩ thể vẫn nhất quá Đối ằng hệ mơ tả tuyến tính cĩ hệ số khơng đổi, tính đều đặn với cặp suy biến (Ƒ, 4) chúng ta cĩ thể xây dựng dạng chính tắc Kronecker (KCE) thay vì dạng chính tắc Weierstrass
7 ` + "he a Vi hà
2.2 Hệ phương trình vi phân đại sơ với hệ sơ biên thiên
Bây giờ chúng ta xét các hệ mơ tả của dạng:
E()#(Ð = A(Đz(!) + B()w(t) + ƒ(t).#(fo) = 20 (210)
Trang 20y(t) = C(t)x(t) + D(t)u(t) + g(t)
Để phân tích các thuộc tinh của hệ, chúng ta thực hiện một cách tiếp cận hành vi (lần đầu tiên được đề xuất bởi Jan Willems 1990) Đặt z =
và viết phương trình trạng thái là 7
[ E0) 0]z=[ A0) B0) ]z+ 70)
Voie == [ E(t) 0 ] và A:= [ A(t) B(t) ]
hoặc tương đương là
()š() =-A(z(9) + ƒ() (2.1)
với ec, A:T > RH"),
Chú ý 2.3 Dạo hàm của đầu vào u c6 trong (2.11) Hon nữa, chúng ta cũng T
cĩ thể bao hàm phương trình đầu ra bằng cách đưa z = [ at yt zƑ ] và E0) 00], _[A@) 80) 0 ], [Z0 0 00 Cụ) Dự) ~1, o(t) | Tuy nhiên, do phương trình đầu ra xác định rõ ràng , phương trình đầu ra xét
sẽ khơng gĩp phần vào việc phân tích và khơng được xem xét
Đối với hệ (2.11) ta cĩ thể áp dụng lý thuyết cho các DAE tuyến tính
khơng vuơng với các hệ số thay đổi Đầu tiên, chúng ta xây dựng hệ giả (hoặc
Trang 21
Điều này ngụ ý rằng khơng mất tính tổng quát Z cĩ thể được phan chia thành Z = [ Ly Zz | với Z cĩ kích thước (đ + 1)! x â và Z cĩ kích thước (đ + 1)! x ơ sao cho Tuym 0 Z2M.|, 0 Tuy “bự Ay đã â + 0 cĩ thứ hạng đầy đủ ê và ZƒA,|, |=0 0
Hơn nữa, tồn tại một hàm cĩ giá trị ma trận trơn 7; cĩ kích thước
(n +m) x (n +m — â) và hạng tối đa theo điểm thỏa mãn ⁄42T› = Chú ý rằng n + rn — â = + đ, trong đĩ đ biểu thị số lượng thành phần khơng được xác định 3 Với mọi t € Ï chúng ta cĩ rank(e(t)Ta(t)) = d sao cho tồn tại một ham cé gid tri ma tran tron Z, c6 kich thuée I x d, trong đĩ d=l-a-y, cĩ =L~ rank ([ Ma Nj |) +rank ([ Mj Nina ]) voi rank ({ Ma Ni }) =0 Hơn nữa Z¡ cĩ hạng tối đa theo điểm thỏa mãn rank(Z†(t)<(t)) = â
Định nghĩa 2.6 ơ cĩ thể nhỏ nhất trong giả thiết 2.1 được gọi là số mũ khơng tầm thường hoặc số mũ s của hệ (2.11) Hệ (2.11) cĩ đ = 0 được gọi
là hệ cĩ số mũ tầm thường
Trang 22Nếu giả thiết 2.1 được thỏa mãn cho đ,ơ, Ỉ và ơ (chúng ta nĩi rằng số mũ s được xác định rõ), chúng ta cĩ thể viết thành một hệ rút gọn:
A(t) Ai(t) fit) d
0 | AH=} Al) | 2O+] AO â — (212) 0 As(t) 0 ơ Tuyn Zls.Âi = ZFAuR = Z1 = ZN, | ° | f= 0 Z2 hia, fg = ZE hp Chú ý 2.4 1 ve nguyên tắc, véctơ trạng thái z cĩ thể được phân vùng trong [# zƑ đ | với z¡ € RẺ các thành phần vi phân, z¿ € R2 các thành phần đại số và z3 € R° các thành phần khơng xác định (đ = œ +rm — Ẳ — â)
Nhưng điều này sẽ trộn lẫn các trạng thái z và ki
3 Đối với DAE tuyến tính khơng cĩ đầu vào, tức là tu,
E()#() = A(9)z() + f(t)
hệ được gọi là khơng thay đổi nếu nĩ thỏa mãn giả thiết 2.1 đối với
n,m = 0 và ji,a,d,6 sao cho n = + â ( tức là ơ = 0 và â =n — â — đ) Nĩ được gọi là khơng thay đổi và khơng kỳ dị nếu nĩ thỏa mãn giả thiết 2.1 với đ = Ú) và đ =
0 Trong phần tiếp theo, chúng ta sẽ nĩi: Hệ mơ tả
(2.10) là khơng thay đổi và khơng kỳ dị nếu nĩ thỏa mãn giả thiết 2.1 đối với u(t) = 0 và ä = 0m =0,Ì=n = Ä+ â
3 Đối với các cặp ma trận khơng đổi (E, 4), số mũ s luơn được xác định rõ Điều kiện về tính đều đặn của chùm ma trận À — A cĩ thể được
thay thế bằng điều kiện ơ = â = Ú,_ 1= n +m Chúng ta cĩ quan hệ
=ind(E,A) = đ + 1
Vi du 2.7 Xét he
[; *][:]-[zz|[:]:{¿|]
Trang 23với n —Ì = 9 Giả thiết 2.1 khơng thỏa mãn đối với â = 0 Đối với â — 1 chúng ta xét ¬ -L£00 1-40 0 0 000 (Mi,M) = 1-40 0 : 0100 0-11 -t 0 000
trong đĩ cĩ các thuộc tính sau:
1 Với mọi £ € Ï chúng ta cĩ rank(M1) = 2 Điều này dẫn đến 2l~â—ơ = 2—>â+6=2, Chọn 2= |} 9Ð Í háng 01-10 tạ cĩ Z7, =0 2 Ta tính được : -1t rank (z™, | || =zan||[19 9.0099 o1-10}/}o01 0 0 = rank {| 7} 0 vdi moi t € I Do dé, chúng ta cĩ ơ = 0, = 0 và đặt Z¿ = Z và Â; = “tt - | - Chọn [] = Ty € R?*U chúng ta cĩ »T; = []
3 Cudi cing, rank (eT) = rank([]) = 0 = đ Tương tự, chúng ta cĩ thể chon Z; = [.] € R?*? và giả thiết 2.1 được thỏa mãn fi = 1,4 = 2,d= 8 =0
Trang 24Chú ý 2.5 1 Trong hệ tối giản (2.12) hàng khối thứ ba cĩ các phương trình ơ Chú ý rằng ê nĩi chung lớn hơn v, trong đĩ
lad+a+y,
2 Hệ tối giản (2.12) là thỏa mãn giả thiết 2.1 d6i voi fa = 0
Định lý 2.5 (Sự tồn tại và tính duy nhất) Đặt số mũ mới của (e,.4) như
trong (2.11) được xác định rõ (tức là (e 4) thỏa mãn giả thiết 2.1 với các
giá trị khơng đổi ji,d, 4,6) va dé ƒ € Œ2*1(1, RẺ) Khi đĩ ta cĩ:
1 Hệ (3.11) là cĩ thể giải được khi và chỉ khi /2(2) = 0 trong (2.12) 2 Một điều kiện ban đầu z(fo) = z¿ phù hợp với hệ khi và chỉ khi -z(/a)zo + falto) = 0 3 IVP tương ứng cĩ thể chỉ giải được khi và chỉ khi @ = 0 Chú ý 2.6 Lưu ý rằng hệ (2.11) cĩ cùng một (khơng cĩ nghiệm mới) (2.12) (vì biến z giữ nguyên) nghiệm như hệ rút gọn Trong tập kiểm sốt ban đầu, cơng thức rút gọn (2.12) cĩ dạng: #i0)#@) = Ai(9z0) + B02) +0) — ( 0 As()x() + Bs()z() +ja() @) (3.13) 0= Js(t) (0) = C(z()+Ð()z#) +ø() — (p) với E1(f) =ê¡ HH [z] với i = 1,2 Chú ý 2.7 1 Ma trận con ¿ đã được lấy ra từ ma trận khối AB AB AP Bh
bằng cách biến đổi từ phía bên trái Do đĩ, chúng ta chỉ cần các đạo hàm
của ma trận hệ số, nhưng khơng cần đạo hàm của hàm đầu vào u (dao ham
Trang 25Định nghĩa 2.7 Hai cặp hàm cĩ giá trị ma trận (E() A(£)) và (EŒ) Ã(#))
với E, A, E, Ã: ï—› R”*" được gọi là tương đương tồn bộ nếu tồn tại hàm
ma trận khơng suy biến theo từng điểm P € C(Z,R™") vaQ € C'(Z,R™") sao cho
(E, A) ~ (E(t), A(t) = (PEQ, PAQ — PEQ)
Chú ý 2.8 Thuật ngữ bổ sung cho ma trận A dựa trên thực tế sau đây
Thay thé x = Q# trong E# = Az + ƒ để kết thúc với
EQz + EQ¿ = AQz + f & EQé = (AQ - EQ)a + ƒ
Định lý 2.6 Theo một số giả định hạng khơng déi (xem (A1),(A2) ben
dưới), cơng thức rút gọn (2.13) của hệ mơ tả tuyến tính (2.10) tương đương tồn bộ với hệ điều khiển của dạng:
#ịì =- Ai(Ð#a + Ai(Ð#š + Ba()uy + ft) ()
0 #a + Bz(t)ua + fo(t) (â~9)
0= Asi(tai + wu + fs(t) (9) (2.14)
0 = +falt) (0)
n= 23 + Di(t)u, + gilt) (w)
yn = Cx(t)x1 + Ca(f)zz + Da¿()ua + go(t) (p=#)
Chứng minh Chúng ta phải xem xét cặp ma trận của DAE trong 2.13 7 với ll ut w'Ì :
E00 |[|Ai Bị 0 d
&2=||Guulla e o|| ở ơ 0 00 ||C Dp -1, Pp
trong d6 EF; c6 hạng hang đầy đủ theo từng điểm d Sau đĩ, tồn tại các
hàm trực giao theo từng điểm U € C(I,R'*? và V € Œ!(I,R?*') sao cho
UTE = Í=: 0] v6i 5, € C(I, R*4 khong suy bién theo ting diém Sau
Trang 261 000] [Au A» Br 0
0000| |4 Ag By 0
000010 0 00
0000) [GQ ΠD -I,
Để tiến hành, chúng ta cần giả thiết hạng như sau
Gia stt ring Ay : 1+ R®™C-4 06 hang khong đổi theo từng điểm â — ở (Al)
Sau đĩ, chúng ta cĩ thể thực hiện nén cột tương tự như trên, tức là tồn
tại các phép biến đổi tương đương tồn bộ sao cho
10000] [An Aø A¿ Bị 0 d
00000] |An Lo 0 Bo 0 d-¢
(4)~||00000|.|Aa 0 0 Bs 0 ĩ
00000 |0 0 000 ơ
00000] |Œ Œ@œ Œ D -I, P
Vi (¢, A) khong kỳ đị khi xây dựng, ma trận khdi [42 Ba] của cặp gốc
cĩ hạng hàng đầy đủ theo từng điểm Do đĩ, Ư; cĩ kích thước ĩ x zn cĩ hang
hàng đầy đủ theo từng điểm ĩ và do đĩ [: 0000 ‘| [an Ay Ais Bu By 0 d 000000! |4n fe 0 Bu By 0 d-6 (A)~]]o000000],J4: 0 0 1 0 0 ĩ 000000 0 0 0 0 0 0 ơ 000000) LQ Œ@œ Œ Dị DĐ; -1, P
“Tiếp theo, chúng ta cần giả thiết hạng thứ hai
Gia sử rằng C¿ cĩ kích thước p x (n — ~— â+ ở) cĩ hạng khơng đổi theo
từng điểm œ (A2)
Trang 27Do đĩ, chúng ta cĩ được = ooo ° coco ccooo coco coco ceecec 00000 00000 0 0 0 0 An Ti-g 0 đa 0 0 J0 0 0 Cu Cr Ie Cy Cy 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -l, 0 0 - Cuối cùng, các khối nhận dạng cĩ thể được sử dụng để loại bỏ hàng và cột Do đĩ, chúng ta giới hạn vi lệ lo trên các cột thuộc cùng một biến 2, y va u 10000 00000 2~|jO00000 00000 00000 00000 ccccecec 0 0 0 0 0 ol 0 0 0 0 0 An 0 Ais Ais 0 ho 0 An 0 0 0 0 0 ook Cn Cy 0 0 Be 0 By I, 0 0 0 0 Dạ 0 Dy» oại bỏ cột đối với những loại chỉ hoạt động 0 0 0 0 0 0 0 0 ~1, 0 0 =1 Trong bước cuối cùng, ta thực hiện chuyển đổi tương đương tồn bộ với P=1 và Q= diag(Q\,, Q0 (.4)~| |0 0 1), sao cho 0 ì AQ
Nếu chúng ta lựa chọn Q\ là nghiệm của IVP
Ơi = AnQ, Qi(to) = Ijtrongl,
[fn9 9: ° Ais ~]
khả năng giải duy nhất của IVP đảm bảo rằng Q; la khong suy bién theo từng điểm và (2,.Â) là tương đương tồn bộ với cặp trong (2.14)
Bây giờ chúng ta cĩ thể mơ tả tính nhất quán và tính đều đặn của hệ mơ
tả (2.10)
Trang 28
Với điều này chúng ta cĩ thể đặt wu =
nghiệm cho #, #a, #3 và #4 ai(#)#i — ƒã(#) và đã tìm ra một
2 Cho hệ thuần nhất với ĩ = 0 Sau đĩ hệ rút gọn thành: đì = Aia()#3 + Aia(Đ#á + Bio(t)u2 + far
0 = x2 + Byo(t)u2 + fo
Đối với mỗi hàm đầu vào cố định up, day la DAE (do Bé dé 2.29) Phuong
trình thứ hai đại diện cho phần đại
nghiệm sẽ khơng phải là duy nhất 3 Giả sử rằng ơ = ĩ = 0 và + â = n Thì (2.14) rút gọn thành: Vì z¿ và z¿ khơng xác định nên #ì = Ba(f)ua + ƒì 0=#¿ + Ba()ua + fo Hệ này cĩ thể giải được duy nhất cho mọi dau vao up va moi tinh khong th đối với uạ = 0 Ngược lại, hãy để hệ khơng thay đổi và khơng kỳ dị đối với u=0 nhất và các điều kiện ban đầu nhất quán Hơn nữa, nĩ khơng kỳ dị a= Ars +Au +h =n th 0= Aner +f () = fh 6)
Phương trình cuối cùng hạn chế tính khơng thuần nhất, do đĩ 6 = 0 Nếu ở > 0 chúng ta cĩ số mũ s lớn hơn 0 (đối với 4ại # 0 ) hoặc điều kiện nhất
quán cho fy(As: = 0) và do đĩ ở = 0 Nếu đ+ â # n cĩ các thành phần
nghiệm tự do, mà mâu thuẫn với giả thiết Do đĩ đ + â = n
Ví dụ 2.9 Xét bài tốn điều khiển
0 0) fe} _f-1 -m ][z|,[
adlel-[o cS JE] +E ss
Cơng thức rút gọn của hệ (2.13) cĩ dang (xem Vi du 1.3)
Trang 29Việc chuyển đổi thành dạng tương đương tồn bộ (2.14) được xác định như sau -j 100] fo -10 (ê.Â) = 00 0}'|-1 0 1 1 —nt 0 với Q= |0 1 0| với Az; = 0 06 kich thude @ x (n—d) = 1x 1 của 0 0 1 hạng 0 = đ— ĩ Điều này ngụ ý ĩ — 1 Hệ ở dạng (2.14) được đưa ra bởi 100 |0 -L0|\ (J1; 00 0 Ay 0 000] 0|-1 0 1JJ (|o 00] |4 0 +, với — 1,â = 1,ĩ = 1 Hệ thuần nhất vì ơ — 0 nhưng thay đổi và kỳ dị như hệ độc lập vì ĩ = 0 2.3 Hệ phi tuyến Xét hệ phi tuyến tính (1.1) và (1.3) dạng: F(t,#,#,u) y—G(t,x,u) =0 Như trong phần 2.2, chúng ta sử dụng cách tiếp cận bằng cách đổi biến, tức © là chúng ta đặt z = | | và xét (2.15) thay vì (1.1) và (1.2) Tương tự như trước, chúng ta giới thiệu một chuỗi đạo hàm phi tuyến tính F(t, 2,2) | Ti(t,z,2, zŒtÐ) = đPŒ,s:3) =0 dụ ; (#)*Fứ.z, 2|
Ngồi ra trong trường hợp phi tuyến tính chúng ta cĩ thể hình thành một giả thiết sau đây:
Trang 30Giả thiết 2.2 Xét hệ phi tuyến tính DAE (2.15 ) Khi đĩ, tồn tại các số nguyén 1,7, a,d va sao cho tập hợp
Ly = {2 € 1x R™™ x x R""|F,(z,) = 0}
là khơng rỗng để cho mọi điểm 2! = (to, 20, £0, , 4") € Ly, trong d6 2”
biểu thị một biến đại số, tồn tại một miền lân cận z} trong đĩ cĩ các thuộc tính sau: 1 Tạp hợp Lụ C RŒ3(®*”)#! tạo thành một đa tạp kích thước (/ + 2)(n+m)+1—r 2 Chúng ta cĩ rank(Z„, 3 Chúng ta cĩ seenj) = trong Lụ corank(;š +0|) — eorank(Z„,—(:¿ |) =v
trên L, trong d6 corank(F_,,.) = 0 theo quy ước
4 Chúng ta cĩ rank(F,,j5,_.m+»)) = r —a trén L, và tồn tại các hàm
cĩ giá trị ma trận trơn đầy đủ Z¿ cĩ kích thước (/ + 1)! x a và T; cĩ kích
thuée (n + m) x (n+ m — a) được xác định trên L„ tương ứng, thỏa mãn ZF, siorn] = 0, rank(Z3 Fz) = 4, 23 FT =0
5 Ching ta c6 rank(F:Ts) = d =1—a—v tren L, va ton tai ham c6
giá trị ma trận hạng đầy đủ trơn Z¡ được xác định trên L,, sao cho Z] F.:T> cĩ hạng đầy đủ Chú ý 2.10 1 So với các thiết lập tuyến tính, chúng ta cĩ M, = N, =F, 2 Đối với ma trận A € R”*" cĩ corank(A) := m — rank(A) là số đối chiếu của ma trận A, mle 3 Tập rỗng L, C R" dé 1a phép đồng phơi cục bộ với một tập mở V'
trong IR", tức là tập hợp cĩ thể được tham số hĩa cục bộ bởi các vơ hướng r,
được gọi là đa tạp của kích thước r Điều này cĩ nghĩa là với mỗi zụ € Lụu
Trang 31+
được phân vùng thành [ot tt ] ,# € RT,ty € R”-" tồn tại một miền lân
can V IRF của zụ và một miền lân cận Ữ của 2 € L,, sao cho U=L,NU = {g(a)|x € V}, trong đĩ g : V —> Ứ là đồng phơi Định nghĩa 2.8 / cĩ thể nhỏ nhất trong giả thiết 2.2 được gọi là số mũ của DAE (2.15) Nếu Ƒ' đủ trơn và thỏa mãn giả thiết 2.2 với /,r,ø, đ,ø, thì chúng ta cĩ thể rút ra một hệ rút gọn cho dạng, Êi(,z,š) =0 f2) =0 (2.16) véi Fy : 1x D, x D: > R4, Fy: 1x D, R® trong d6 Fy = Z7 F(t, z, 2) va Fy = ZEF,(t,2,H(a)) Chú ý 2.11 1 Hệ rút gọn (2.16) cĩ thể được tạo cục bộ bằng cách sử dụng định lý hàm ẩn
2 Hệ rút gọn (2.16) khơng kỳ dị, và mọi nghiệm của hệ thống ban đầu (2.15) cũng cĩ thể giải được (2.16) Tuy nhiên, (2.16) vẫn cĩ thể chứa các
thành phần khơng xác định do m + ø > d + a
21) EL, là cố định Theo giả thiết 2.2, Lụ là
(„+ 2)(n +m) + 1—r cĩ thể được tham số hĩa
3 Để 2 = (to, 20, 20
đa tạp của thứ nguyên đ
cục bộ bởi các tham số đ Chọn đ tham số œ trong số (f, z, 2, ,2*") sau
đĩ tồn tại một miền lan can V C R" cita dg, là phần của 2 tương ứng với
œ, và một miền lân cận Ù C RW+#®+”)+! của z1, sao cho U:=L„n = {g(ư)|ø e V}
trong đĩ g : V —> U là đồng phơi Do đĩ Z„(z„) = 0 chứa cục bộ khi
và chỉ khi 2, = g(w) đối với một số œ € U Đặc biệt, tồn tại một hàm H:V > RUD") sao cho
(3,.,2479) =H), Wwev
Trang 32Điều này nĩi rằng Z„(0,z,?((ø)) = 0 và đặc biệt Z„(f,z,?#(Zu)) = 0 Vì vậy, Py(t,2) = Z3 Flt, z,H(Go)), Fi(t,z,4) = ZT F(t, 2,2) được xác định cục bộ trong mot mién lan can cia 2!) € Ly Chúng ta cĩ thể chia z thành [a 2 2s] với z¡(£) € R“ các thành phần vi phan, 29(t) € R“ các thành phần đại số và z¿(/) € R" các thành phần khơng xác định (w = mm + m — a — đ) Nhưng, điều này cĩ nghĩa là chúng ta
kết hợp các biến đầu vào và biến trạng thái ( và z) làm thành phần của z Vì vậy, chúng ta tiến hành như sau: Từ giả thiết 2.2 chúng ta cĩ được
,:Ty = 2ÿ 7„:T; = 0
rank(T›) = n + m — a
rank(Ê\ :T5) = rank(ZƑF:T›) = d
Chọn Tỷ sao cho [ns 7] khơng suy biến, chúng ta cĩ
=rank(Ê ;T›)+rank(Ê,.T;) = d+a ¬H à Ä sổ, 4 (,] _ số hạng hàng đầy đủ theo từng điểm và do đĩ Đđ¿ 0 Pre Pou cĩ kích thước (d+ a) x (n +m) c6 hang hang day
đủ Lưu ý rằng việc sửa
đổi một điều khiển w nĩi chung khơng đưa ra một bài tồn rút gọn khơng Te thay đổi, vì [ʃ, Ff,] 66 thé suy biến
Kết quả là chúng ta cĩ được kết luận sau đây:
Dinh ly 2.7 Dé F trong 1.1 dii tron và thỏa mãn giả thiết 2.2 với p.,r,a,d,v Nếu œ = 0 và n = a + d và bài tốn rút gọn (2.16) thỏa mãn điều kiện:
rank [As a] =atd,
thì bài tốn kiểm sốt (1.1) là khơng thay đổi
Trang 33Ví dụ 2.10 Chúng ta xét hệ mơ tả 7 &2 E62.) = cto hs) “9, r với n = 2 và m = 1 He déi biến tương ứng với z = [f 2 4] = [at af a] cĩ dạng a Pb2a)= le =8 Chúng ta kiểm tra giả thiết 2.2 đối với „ = 0 Lo = {(t, 21, 22, 23, 41, 22, 23) [22 = 0, 22 = exp(—sin(zs))} C R7
và Lọ là đa tạp của thứ nguyên 5 = ( + 2)(n+m)+1—r=7—r vado
đĩ r = 9 (cĩ thể được tham số hĩa bởi (f, 21, 23, 41, 43) )- 0 0 | |0 0 0 4 cos(zs)| |0 exp(sin(zs)) cos(zs) 010 Fo: = 000
Vì vậy, rank(Foj.33) = 2 = r.corank(7q|.;) = 0 = (2-2) = va
Trang 34Chúng ta kết luận rằng giả thiết 2.2 được thỏa mãn đối với z¿ € [-1, 1] véi
¡„=0¿a=1,d= 1,0 =0 và với ZƑ = [i 0| chúng ta cĩ được Zƒ Z7» =
|0 —eos(s¿)] của hạng 1 = d Với những lựa chọn này đối với Z¡, Z2, bài
Trang 35Chương 3
Tính chính quy hĩa của
hệ mơ tả
Trong cài đặt điều khiển, các thuộc tính hệ thống cĩ thể được sửa đổi bằng
điều khiển phản hồi
Ví dụ người ta cĩ thể sử dụng,
u = K(t,+) với K :1x D, > R” ( phan héi tinh trang)
u = F(t)x + w(t) voi F € C(R,R™"),w : 1 R™ (phan hồi tính trạng
số hạng của tỷ lệ thức)
Fr + w(t) voi F €R™",w:1— R” (phan hai tinh trang s6 hạng
lệ thức)
u= K(t,y) voi K : 1x R? + R™ (phan hoi két xudt)
u= F(t)y + w(t) voi F € C(R,R™?), w : 1+ R™ (phản hồi kết xuất số hạng của tỷ lệ thức)
u= Fy+w(t) v6i F € R™?,w : 1 R™ (phan héi két xudt s6 hang cia
tỷ lệ thức)
u = K(t,#) với K :I x D¿ —> R”" (phản hồi đạo hàm tính trạng)
= K(t,y) voi lx R? > R™ (phản hồi đạo hàm kết xuất)
và sự kết hợp của những điều trên là cĩ thể Vị trí của các hệ thống vịng
của tỷ
kín như vậy được mơ tả trong Hình 3.1 Đặc biệt, cĩ thể đạt được số mũ bằng cách sử dụng điều khiển phản hồi
Trang 36uf ox y_, Ũ fk F F Hình 3.1: Hệ vịng kín
3.1 Hệ mơ tả tuyến tính với hệ số hằng số Xét hệ (1.6), được cho bởi
Ei: = Ar + Bu+t f(t) #(0) = 29
Sau đây, chúng ta cĩ thể giả sử mà khơng mất tính tổng quát rằng D = 0
trong (1.6) (tức là khơng cĩ đường nối xuyên trực tiếp của đầu vào trong
phương trình đầu ra) Nếu D # 0, chúng ta cĩ thể xét một hệ mơ tả mở rộng
Eo], [ao B
[F | é= | | ee H : (a)
w)=|Ø —Pi|€
Trong đĩ D — DạD; là hệ số hĩa của D (ví dụ: Dị = 1, Dạ = D) Hệ ban đầu (1.6) tương đương với (3.1) theo nghĩa, nếu z(f) là một nghiệm của (1.6)
định thì €(¢) = [z(9* ~(D;w(0)J |” Lưu ý
xầng phần — Dạ trong Ê chỉ xảy ra chính thức trong (3.1) Bây giờ, áp dụng
cĩ dạng
đối với mot dau vao u(t)
biéu thtte u = F# + + cho (1.6), chúng ta cĩ được hệ
Bi = Az + B(Fz + 0) + ƒ = (A + BF)+ + Bu + ƒ
“Tương tự, nếu chúng ta áp dụng hệ thức ứ = + œ, chúng ta cĩ được hệ
Ei = Ar+B(Fy+w)+f = Ar+BF(Cr+g)+Bw+f = (A+BFC)r+Bu+f
Trang 37Định lý 3.1 (Chính quy hĩa phản hồi) Xét hệ (B.A, B,C)
1 Ton tại ma tran F € R”" sao cho cp ma tran (E, A + BF) khong
thay đổi và số mũ ø = ind(E, A + BF) < 1 khi và chỉ khi #,.A € R™" va
liều khiển được cho bởi
rank ([E AS B]) =n,
trong dé S 1A một ma trận với range(S ) = ker(E) (tức là các cột của Š+
là khoảng cách hạch của E)
2 Tồn tại ma trận F € R™ sao cho cap ma tran (E, A+ BFC) la khong
thay đổi và số mũ ø = ind(E, A+ BFC) < 1 khi và chỉ khi £, A € R™"
E
rank ([E AS B]) =n,rank TIA] | =n
Trang 38khơng thay đổi với v = 1 Voi Ty, = lo 1| chúng ta cĩ rank ( [er ATT, cr] ) =l#n.Do T r
đĩ khơng tồn tại kết xuất số hạng của tỷ lệ thức chính quy hĩa
Chứng minh Định lý 3.1 Ma trận Z, A phải là ma trận vuơng vì nếu
Trang 39r
trong đĩ ma trận |Aÿ, CF] phai tha man
rank [z] =n-r (3.3)
Chúng ta chỉ cần chứng minh 2 (vì 1 xảy ra từ Œ = 1) Cặp ma trận
(E,A+ BFC) là khơng thay đ
vuơng và 4s; + BzFC; hoặc khơng xảy ra hoặc khơng suy biến (xem Ví dụ
1.2) Tén tai ma tran khong suy bién U,V € R"-""" sao cho và của số mũ < 1 khi và chỉ khi là ma trận U'AnV = ” [ 0 - U~ Khi đĩ “J0 3") 7 10 Chúng ta đặt 4z; := VÝ 00 10 =U 00 Vt = Ay, 2 và - - Ay 0][A» Am + ByFC) = [An Bì (* ‘| 2] (3.4)
Trang 40~ ~T ` ~ vi U1 By = [ar Bs | va QV = [a a) Lam ý rằng do (3.2) va (3.3) ma trận bên trá và bên phải trong đẳng thức cuối cùng cĩ hạng đầy đủ và do đĩ cĩ By va Cy Do dé, tan tại ma trận khơng suy biến 01, 02, V1, V2 sao cho r1, ¡=|1 0| -lÏ' Thì 100 0][T 0 sa 6 ssa)=a|[ 3 mm Ăn ở 00 Fa Ea] |C2 0 Lựa chọn = 1, Hạ = 0, Fạị = 0 va Fx = 0 cho rank ([A»; B,EC¿]) = rank ({' + Baca mà Jann ác thuộc tính của hệ điều khiển (1.6) cũng cĩ thể được thay Chú ý 3.1 C'
đổi bằng cách sử dụng điều khiển phản hồi đạo hàm cĩ dạng ứ = —Gÿ+ 0(£)
với Œ € J""? hoặc phản hồi đạo hàm và phản hồi số hạng tỷ lệ thức kết hợp u= Fy — Gy + u(t) din dén he:
(E+ BGC)% = (A+ BFC)x + Bu+ f
Déi vi C = I ching ta c6 trutng hgp dac biet ciia phn hdi tính trạng Bài tốn chính quy hĩa theo phản hồi cĩ dạng: Đối với E, A, B, đã cho tìm F,G sao cho (E + BGC, A+ BFC) la khong thay déi va cia s6 mii v < 1 3.2 Hệ mơ tả tuyến tính với hệ số biến thiên
'Xết hệ mơ tả (1.6) được cho bởi
E()#= A(t)++ B()u+ ƒ(Đ— #(§)=zo
y = C(t)x + D(1)u + g(t)