Mục tiêu của đề tài Nghiên cứu về tính điều khiển được và quan sát được của hệ mô tả là hệ thống lại các kiến thức về hệ mô tả, nghiên cứu về tính điều khiển được và quan sát được của hệ mô tả. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
Trang 1ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUỲNH THỊ BÍCH THU
NGHIÊN CỨU VÈ TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC VÀ
QUAN SÁT ĐƯỢC CỦA HỆ MÔ TẢ
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Đà Nẵng - Năm 2019
Trang 2
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
HUỲNH THỊ BÍCH THU
NGHIÊN CỨU VỀ TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC VÀ
QUAN SÁT ĐƯỢC CỦA HỆ MƠ TẢ
Chun ngành: Tốn giải tích
Mã số: 84.6.01.02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học
TS LE HAI TRUNG
Trang 3LỜI CAM ĐOAN
Tôi
in cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn trực tiếp của TS Lê Hải Trung
Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn
Đà Nẵng, tháng 05 năm 2019 Tác giả
Trang 4‘TRANG THONG TIN LUAN VAN THAC SĨ Tên đề tài: Nghiên cứu về tính điều khiển được và quan sát được của hệ mơ tả
Nghành: Tốn giải tích
Ho va tên học viên: Huỳnh Thị Bích Thu
Người hướng dẫn khoa học: TS.LêHải Trung
Cơ sở đào tạo: Trường Đại học Sư Phạm- Đại Học Đà Nẵng
Tóm tắt: Lý thuyết điều khiển được ứng dụng nhiều trong các nghành khoa học khác nhau, |
chẳng hạn như Giải tích số, Lý thuyết điều khiển mạch điện tử, Vật lý, Bài toán truyền nhiệt Các đối tượng nghiên cứu trong các đối tượng trên thường được mô phỏng bằng một hệ phương trình
vi phân đại số, vì thế việc nghiên cứu về tính điều khiển được là một vấn đề cần thiết và đã được
nhiều nhà toán học quan tâm Các kết quả nghiên cứu về hệ điều khiển được ứng dụng ngày càng, nhiều ở các lĩnh vực khác nhau, nhất là trong Vật lý Vì vậy, vấn đề nghiên cứu về tính điều khiển
của hệ mô tả được phát triển mạnh mẽ theo cả lý thuyết và ứng dụng Qua một thời gian nghiên
cứu, học hỏi một số tài liệu và dưới sự hướng dẫn nhiệt tình của TS Lê Hải Trung, tơi đã hồn
thành luận văn "Nghiên cứu về tính điều khiển được và quan sát được của hệ mô tả" đã đạt được |
kết quả như sau: |
~_ Hệ thống lại một số kiến thức thuộc lĩnh vực Đại số tuyến tính như: Ma trận, Định thức,
'Hạt nhân, ảnh nhằm tạo sự liên kết và cơ sở trong luận văn
- _ Trình bày các khái niệm cơ bản của tính điều khiển được của một hệ mô tả Chứng minh
chỉ tiết các định lý liên quan đến tính chất điều khiển được của hệ mô tả và đưa ra các ví
dụ minh hoạ
~ _ Trình bày các khái niệm cơ bản của tính quan sát được của một hệ mô tả Chứng minh chỉ tiết các định lý liên quan đến tính chất quan sát được của hệ mô tả và đưa ra các ví dụ
minh hoa
Mặc dù đã cố gắng và nỗ lực hết sức nhưng trong luận văn có thể không tránh khỏi những thiếu sót Tác giả rất mong nhận được những ý kiến đóng góp từ phía quý thầy cô và quý độc giả để luận văn được hoàn thiện hơn
Xác nhận của người hướng dẫn Người thực hiện đề tài
A bul
Trang 5INFORMATION PAGE OF THE MASTER 1
IESIS
Name of the thesis: Research about Controllability and Observability of Descriptor Systems
Major: Analysis Mathematics,
Full name of Master student: Huynh Thi Bich Thu Supervisor: Dr Le Hai Trung
Fraining institution: The University of Da Nang - University of Science and Education
Abstract: Control theory is widely applied in various scientific disciplines such as Numerical Analysis, Electronic Circuit Control Theory Res Physies Heat Transfer Problem ch objects in the above ones are often simulated by a system of algebraic differential equations, so the research of controllability is a necessary issue and has been concerned by many mathematici fields
The research results of the control s
tem are applied more and more in different specially in Phy ‘s Therefore the research of controllability of the des riptive system is
strongly developed according to both theory and application, Over a period of time researching
and learning some documents and under the enthusiastic guidance of Dr Le Hai Trung | have completed the thesis "Rescarch of controllability and observability of the descriptive system" and achieved the following results: - R stematize some knowledge in the field of Linear Algebra such as: Matrix Determinat Nuclear, image to create the link and basis in the th
- Present the basic concepts of controllability of a descriptive system, Prove in detail the
theorems related to the controllable properties of the descriptive system and give cxampl + Pres
nt the basic concepts of the observability ofa descriptive system, Prove in detail the
theorems related to the obs vable properties of the descriptive system and give examples,
Despite the best efforts the thesis cannot avoid some shortcomings The author hopes to receive comments from the teachers and readers to make it more complete
Supervisor's confirmation Student
co —
Le Hai Trung juynh Thi Bich Thu
Trang 6Mục lục
MỞ ĐẦU
1 Kiến thức cơ sở
1.1 Ma trận và định thức
1.2 Hạt nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính
2 Tính điều khiển được của hệ mô tả
21 Khái niệm lý thuyết điều khiển
2.22 Tính điều khiển được của hệ mô tả
3 Tinh quan sat được của hệ mô tả 3.1 Khái niệm
3.2 Tính quan sát được của hệ mô tả
Trang 7MỞ ĐẦU
1 Lý do lựa chọn đề tài
Lý thuyết điều khiển được ứng dụng nhiều trong các nghành khoa học
khác nhau, chẳng hạn như Giải tích số, Lý thuyết điều khiển mạch điện tử, Vật lý, Bài toán truyền nhiệt Các đối tượng nghiên cứu trong các đối tượng,
trên thường được mỏ phỏng bằng một hệ phương trình vi phân đại số, vì thế
đã được
nhiều nhà toán học quan tâm Các kết quả nghiên cứu về hệ điều khiển được
việc nghiên cứu về tính điều khiển được là một vấn đề cần thiết v;
ứng dụng ngày càng nhiều ở các lĩnh vực khác nhau, nhất là trong Vật lý
Vì vậy vấn đề nghiên cứu về tính điều khiển của hệ mô tả được phát triển
mạnh mẽ theo cả lý thuyết và ứng dụng
Bài toán điều khiển được của một hệ thống được nhiều nhà khoa học trên thế giới quan tâm nghiên cứu, có thể kế đến như : S.P Zubova, Y.V.Pakornui,
E.V Raeskaya, A.Ailon, Lena Scholz và đến nay đã trở thành một hướng
nghiên cứu không thể thiếu trong Lý thuyết điều khiển Trong các công trình
của các tác giả nêu trên, các mô hình điều khiển được nghiên cứu dưới dạng một hệ phương trình vi phân đại s F(t,+,#,u) = 0, x(to) = x0, ụ~ Gít,z) =0
Hệ mô tả trên được gọi là điều khiển được toàn phần (C- điều khiển được) nếu với bất kỳ trạng thái ban đầu zọ € R" và trạng thái cuối cùng z/ € JR“ thì hàm điều khiển u() là biến đổi từ trạng thái zụ đến trạng thái z/ trong ) Với mong muốn nghiên cứu về lý thuyết điều khiển của hệ mô tả và các ứng
thời gian hữu hạn £/ > fo (tức là 3w,f/ < so sao cho #(f/,w,Zo)
dụng của nó cùng với sự gợi ý và hướng dẫn khoa học từ TS Lê Hải Trung,
Trang 8tôi quyết định chọn đề tài :“Nghiên cứu về tính điều khiển được nà quan sát được của hệ mô tả" cho luận văn thạc sĩ của mình
2 Mục đích nghiên cứu
- Hệ thống lại các kiến thức về hệ mô tả
- Nghiên cứu về tính điều khiển được và quan sát được của hệ mô tả
3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 3.1, Đối tượng nghiên cứu
Luận văn nghiên cứu về tính điều khiển được và quan sát được của hệ mô tả có dạng:
F(t,+.#,u) =0, z(fo) = zo, y~ G(,x) =0
3.2 Phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu về hệ mô tả với các biến thực
4 Phương pháp nghiên cứu
Các kiến thức liên quan đến việc thực hiện luận văn thuộc các lĩnh vực:
Dại số tuyến tính, Giải tích, Lý thuyết phương trình vi phân, Lý thuyết
phương trình sai phân, Lý thuyết hệ phương trình sai phân, Lý thuyết ổn
đỉnh hệ phương trình sai phân
5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
Đề tài có giá trị về mặt lý thuyết và thực tiễn Có thể sử dụng luận văn
như là tài liệu tham khảo dành cho sinh viên nghành toán và các đối tượng, quan tâm đến tính điều khiển và quan sát được của hệ mô tả
Trang 9Chương 1
Kiến thức cơ sở
1.1 Ma trận và định thức
Định nghĩa 1.1 Một ma trận A loại (cấp) m x n trên trường K (K — là trường thực R, hoặc phức C) là mot bang chit nhat gdm m x n phan tit
trong được viết thành m dòng và n cột như sau:
ay 42 43 - Ain
đại đạy 23 In
A=] agi dạy dạy đặn
đảm mg đmg đmn
Trong d6 aj; € K là phần tử ở vị trí dòng ‡, cột j của A Đôi khi A được viết ngắn gọn là A = a¡; Các ma trận thường được ký hiệu bởi A, B,
Trang 10AT= § —6
wns
Tính chất 1.1 Phép cộng hai ma trận cùng cỡ Tổng A + B cita hai
ma trận cùng kích thước m x n A va Ö được một ma trận cùng kích thước
với phần tử trong vị trí tương ứng bằng tổng của hai phần tử tương ứng của mỗi ma trận: (A+ B)¡j = A¿j + Bịj,1<?<m,1<j<n Tính chất 1.2 Nhân (vô hướng) một số với ma trận Tích e4 của số € (cũng được gọi mỗi phần tử c hướng) với ma trận 4 được thực hiện bằng cách nhân A với œ (c4)¿j c.Ajj Phép toán này được gọi là nhân vô hướng
Tính chất 1.3 Nhân ma trận Phép nhân hai ma trận được xác định khi
và chỉ khi số cột của ma trận bên trái bằng số hàng của ma trận bên phải Nếu 4 là một ma trận mm x ø và Ö là một ma trận ? x ?, thì ma trận tích
AB là ma trận rn x p với các phần tử được xác định theo tích vô hướng của hàng tương ứng trong 4 với cột tương ứng trong Ö'
(AB)j = Ain Bij + AigBoy +o + AinBnjy lL <i < mA <j <n Định nghĩa 1.3 Dịnh thức của ma trận vuông 4, được kí hiệu là det A, là một giá trị chứa đựng những tính chất nhất định của ma trận này A Và được xác định bởi:
ay địa
an ( đại đa
Trong trường hợp tổng quát, định thức của A được xác định bởi: det A= Yr a;j det C5 = Ya, det C,,;
ja iat
với det C,j = (—1)#? đet M,;, A,; là ma trận nhận được từ 4 bằng cách
Trang 111.2 Hạt nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính
Định nghĩa 1.4 Nếu V và W là các không gian vectơ trên cùng một trường, chúng ta nói rằng ánh xạ f: V —> IW là một (phép) biến đổi tuyến tính nếu cho bất kỳ hai vectơ z và trong V và bất kỳ vô hướng ø trong K, chúng ta có:
f(x + y) = f(x) + f(y) f(z + y) = F(x) +f(w) (tính kết hợp) f(az) — af(z) f(az) — af(z) (tính thuần nhất)
Điều này có ý nghĩa tương đương với khẳng định ƒ "bảo toàn tổ hợp tuyến
tính", có nghĩa là, cho bất kỳ vector #, #„ và các vô hướng đị, , đạn,
chúng ta có:
(ai + - + đm#m) = đIŸ(#1) + - - - + amŸ(#m)-
“Thông thường, V và W có thể xem như là các không gian vectơ trên các
trường khác nhau, và khi đó điều quan trọng là xác định trường nào được
dùng cho định nghĩa tuyến tính Nếu V và W thuộc không gian trên trường K như xác định ở trên, chúng ta nói về K-ánh xạ tuyến tính Ví dụ, liên hợp của một số phức là một R-ánh xạ tuyến tính C, nhưng nó không phải là C-tuyén tinh
Dinh nghia 1.5 Néu f : V > W 1a tuyén tinh, ta định nghĩa hạt nhân của f ky hiệu ker (f), ảnh của f và hạng của f như sau
ker(f) = {2 EV: f(x) =0};im(f) = { f(e): 2 EV},
ker(f) 18 mot khong gian con cita V va im(f) 18 khong gian con cia W Công thức sau đây được xem định lý về số chiều
dim(ker(f)) + dim(im(f)) = dim(V)
Số dim(im(ƒ)) cũng được gọi 1a hang ciia f ky hiéu 1a rank(f),hoac r(f), còn số dim(ker(ƒ)) được gọi là số vô khuyết (nullity) của ƒ và ký hiệu là 0(ƒ) Nếu V và VW là hữu hạn chiều, và ƒ được biể
hạng và số vô hiệu của ƒ tương ứng bằng hạng và số vô hiệu của ma trận A
Trang 12
Chương 2
Tính điều khiển được của
hệ mô tả
Nội dung của chương này nhằm mục đích trình bày về các khái niệm cơ bản về tính điều khiển được của hệ mô tả.Tài liệu chính được tham khảo trong
chương này là tài liệu |6|
2.1 Khái niệm lý thuyêt điều khiên
Ta tiến hành xem xét hệ mô tả có dạng
F(t,
= 29, y — G(t,x) =0, (2.1)
trong dé t € [to, ty]
hoàn toàn có thể điều khiển
Định nghĩa 2.1 Hệ mô tả (2.1) được gọi (có thể điều khiển - Ở) nêu với bất k
và trạng thái cuối cùng #/ € R" tồn tại một hàm điều khiển đầu vào w biến trạng thái ban đầu đã cho zụ € R"
đổi hệ từ zo thành z/ trong thời gian hữu hạn f € [fo,f/Ì
D6 dat dude tity néu véi tat
ca xy € R,, ton tai mot ham đầu vào kiểm soát được w biến đổi hé tit ao 6 Hi
¡ (3.1) một tập hợp được gọi Ì
Trang 13#(tr,u,#ạ) = 15 € Rio.) O đây
Rey = {ay € R"|Bu, ty < 00: 2(ty : ua) = ay} CR"
® = U,„cx/67„„ biểu thị tập hợp có thể đạt được (trong đó 7! CR" la
tập hợp tất cả các giá trị ban đầu zọ tại thời điểm to) Hệ (2.1) được gọi là có thể điều khiển trong tập hợp có thể đạt được (có thể điều khiển - R), nếu bất kỳ trạng thái nao trong R" c6 thé đạt được từ bất kỳ trạng thái
ban đầu xp € R" trong khoảng thời gian hữu hạn (tức là đối với bất kỳ
#ọ €R”", ay ER", ty < 00 sao cho a(ty;u, x9) = ty)
Chú ý Khả năng điều khiển # đôi khi cũng được gọi là khả năng điều
khiển động hữu hạn Nói chung, các hệ mô tả sẽ không nhất thiết là điều
được Ớ, vì các điều kiện ràng buộc sẽ xác định nghiệm trên một đa tạp nghiệm nhất định Trong trường hợp £ = J,, kha năng điều khiển # trùng với khả năng điều khiển € Ví dụ 2.1, Xét he mo ta 0 0Ì (ai = 01\(2\, (9 u 10 ay 10 x 1 Khi đó tập hợp có đạt được cho bởi ? = {(zi,za) € R?|xr2 = 0} và hệ có thể điều khiển R Ví dụ 2.2 Xét hệ mơ tả 0 1Ì (ái = 1 0À (z: + -1 uw 00) \ ae 01) \ a -1 với hàm dau vao u ditge cho bdi 0,0<t<1, u(t) = 1,1<t<t1
tức là u chỉ là liên tục từng phần Nghiệm được xác định bởi
a(t) =u+t, 22(t) =u
Do đó, đối với w đã cho, không có nghiệm nào theo nghĩa cổ điển tồn tại Tuy nhiên, phản ứng trạng thái của hệ có thể được mô tả như trong Hình 1.1 và z¡, #s là một nghiệm theo nghĩa phân phối
Trang 14
Hình 2.1: Trạng thái xung lực của nghiệm (Xung trong z¡ là do trạng thái
đầu vào.)
Định nghĩa 2.2 Hệ mô tả (2.1) được gọi là điều khiển rung (điều khiến 1) nếu với bất kỳ trạng thái ban đầu zọ € R" tồn tại một hàm đầu vào điều khiển chấp nhận được œ, biến đổi hệ sang trạng thái xung trong thời gian hữu hạn
Có thể chỉ ra rằng khả năng điều khiển 7 tương đương với khả năng hủy
bỏ tất cả các trạng thái xung bằng cách chọn một œ phù hợp Điều này có
thể được thực hiện bằng điều khiển phản hồi trạng thái (nghĩa là đối với mọi
trạng thái ban đầu zọ đều tồn tại một điều khiển phản hồi trạng thái sao
cho hệ mô tả không có các nghiệm xung) Đối với các hệ mô tả có thời gian
bất biến (LTI) dang
Bi = Ax + Bu, y = Cr, 2(0) = 20, (2.2)
Trang 15
CT=(C; G), WB= ( Đ ) T= ( x ) By an
và đặt ø = ind(E, 4) Chúng ta gọi (2.3) là hệ thống con chậm thứ nguyên ng va (3.4) là hệ thống con nhanh của thứ nguyên n„ Tiếp theo ta biết rằng
nghiệm (hàm trạng thái) của (2.3) lài
t
x(t) =£zi(0)+ [ eX Biu(s)ds, t > 0 0
vl
xa() ==3) N!B„ut),
Do đó, hàm điều khiển được chấp nhận (đối với nghiệm cổ điển) phải thỏa
mãn € Œ?1(1,R'") (tức là u(t), (v — 1) - lần vi phân liên tục theo từng
Trang 16và do đó Bƒe*Ï*p(s)z = 0 với 0 < s <† Đa thức p(s) có số nghiệm hữu
hạn trong [0,f], vì vậy chúng ta có
BTc“ *z=0,0< s<t
Vis la tity ý, chúng ta có z € fự"g ker(Bƒ(Aƒ)') (theo định lý Cayley — Hamilton) và vì ker(W(p,£)) C ker(B†(4ƒ)') Đối với z € ker(Bƒ(4†)')
ngược lại quá trình này mang lại x € ker(W(p,t)),véi
ker(Bf (AT)') C ker(W (p,£))
B6 dé 2.2 Dé x; € R",i = ,ø—T và f¡ >0 Khi đó tồn tại một đa thức p(t) € R" bac v— 1 sao cho p)(ty) = xy véi i
Chứng minh Bằng cách xây dymg p(t) duéi dang: _= P(t) =o + mi(E— h) + + (@—1 (t= th)" và sử dụng các điều kiện ban đầu ta chứng mỉnh được sự tồn tại của các hệ SỐ đụ, #Ị, 2_1
Định ly 2.1 Dat Ro 1a tap hgp có thể đạt được của (3.2) từ điều kiện ban đầu bằng không z¡(0) = 0 thi
Ro =Im[By JB, .J"" By] @ Im|By NBy .N"*"'B)) Chú ý @ có nghĩa là tích Đề các Chứng mình Đối với z;(0) — 0 và £ > 0 hàm trạng thái của (2.2) được xác định bởi a(t) = [ e!-9) Byu(s)ds,aa(t) = — vB) =0
Rõ rang, x2(t) € Im[{By NB2 .N"~~'Bp] (vi v < nx) Hơn nữa, tồn tại
các hàm 6,(t) € R,i = 0,0 —1 sao cho
Trang 17€ Im[B, JB, .J"'By] d6i véi t > 0 Do a6 t a(t) = (2° ) € Im[B, JB, .J"!"By] © Im|By NBy .N"~~'By) + Trái lại, đặt B= (2 ) € Im[B, JB, ôJB, đ Im[By NBy .N"~!By], +
với € Im[By JB, 'BỊ] và £y € Im[B, NBy .N"=~!By].Do đó, tồn tai w; € R"~,i = T,0—1 sao cho
Từ Bổ đề 2.2 cho bất ky ¢ > 0 c6 dinh, khi dé ton tai mot da thitc p(s) bac
v—1 sao cho p(t) = w; Do d6, sit dung ham dau vao u(t) = uy(t) + p(t)
chúng ta nhận được hàm trạng thái của hệ là:
t ‘
axi(t) = [ eM) Byui(s)ds + ƒ el) Bip(s)ds lọ lọ
và a
# =a-[ el) Bip(s)ds € Im[By JB, .J" By} 0
với £ > 0 cố định Với mọi £ > 0 cố định, đặt q(s) = s°(s — #)° # 0 Từ Bổ
đề 2.1 chúng ta suy ra sự tỒn tại ctia z € R" sao cho W(q,t)z = 2) Dat
Trang 18vol ei +a(t) == DN‘ Bru (t) = — SO N'By(uy(t) + p(t) mĩ = et =- SN Bw; = i=0 Ví dụ 2.3 1 Xét hệ a(t ae (2) mn ast 0= 22+ [-1 Ou,
v6i n = Ang = 2,noo = 2 có dang chính tắc Tập hợp có thé đạt được từ
#¡(0) = 0 được đưa ra bởi
® = Im[Bi JBì] @[By NB¿] = RP © (R@ {0}) = RẺ @ {0}
2 Xét hệ
Tập hợp có thể đạt được được cho béi Ry = R? và hàm trạng thái của hệ
này được cho bởi
ol
a3(t) = — 0 N'Byu(t) = ( ue ) - i=0 “
Do đó, đối véi bit ky w = [wr wy]? € R?
chon u(t) sao cho u(ty) = we, (f4) = #a(h) = (2) 2.2 Tính điều khiển được của hệ mô tả t¡ > 0 chúng ta có thể lựa — œ» và chúng ta có
Trang 192 rank(K) =rank[B AB .A"'B] =n 3 Nếu z là véctơ đặc trưng của Af thì z7 4 0 4 rank[AI — A BỊ=n, VÀ €C
Định lý 2.2 1 Hệ thống con chậm (2.3) là có thể điều khiển khi và chỉ
khi rank|AE — AB] =n, VÀ €C 2 Các mệnh đề sau là tương đương:
a) Hệ thống con nhanh (2.4) là có thể điều khiển Ơ
b) rank[By NBy .Nđ!By] = nx â) rank{N Bs] = no d) rank|E B) =n I e) Đối với mọi ma trận không suy biến Q\, Pị thỏa man BE = Qi ( 0 ) P, 00 win =(F) 3 Các mệnh đề sau là tương đương: a) Hệ (2.2) là có thể điều khiển ,
b) Các hệ thống con chậm và nhanh (2.3) và (2.4) đều có thể điều khiển
c) rank{By JB, .J"~!By] = ng va rank[By NBp .N°'Ba] = noo d) rank{\E — AB) =n hitu han VA € C và rank[E B) =n
e) rank[aE — BA B] =n véi V(a, 8) € C*\{(0,0)} Chứng minh
1 Hệ thống con chậm là một hệ phương trình vi phân thường (ODE), do đó, các điều kiện có khả năng điều khiển đối với các hệ bắt biến theo thời gian (LTI ) tiêu chuẩn được áp dụng và (2.3) có thể điều khiển Ở khi và chỉ khi hạng [AI — J_ Bị] = ng cho tat cd A € C hữu hạn Hơn thế nữa, chúng
ta có:
rank[\E—A B]=rank[\WET-WAT WB] =rank(“~J 0 AN-I B 0 Bi)
Ma tran AN —/ 1a khong suy biến đối với mọi \ € C hitu han và do đó:
rank[ME — AB) = nạ + ranR[M — J By] =n
Trang 20
2 Theo định nghĩa, hệ thống con nhanh (2.4) là có thể điều khiển được
€ nếu tập hợp có thể đạt được là
Im(B, NB; N°"'B;] = R"* rank[By NB; .N""'B;] = nạ Hệ (N) có thể điều khiển Ở (theo hệ LTI tiêu chuẩn) khi và chỉ khi hạng [AI —N , Bo] = no cho mọi À € C, Vì vậy, đây là điều kiện chứa tất cả d € o(N) = {0} vi N lay tỉnh và do đó rank[M — N , Bo] = nạ với mọi A€C<€Crank[—N By] =rank[N By] = nx Chiing ta có
rank{E B) =rank|WET WB\=rank( 0 NB 9 2 ) = ny-+rank[N Bp]
Do đó, rank{N By] =n <=> rank[E BỊ = n
Tuong tit nhu ménh dé trudc
3 Để hé c6 thé didu khién C va dé z¡(0) = 0 Sau đó với bất kỳ ty > 0 và œ € IR", tồn tại đầu vào điều khiển chấp nhận được u € Cio! sao cho
#(h) = Như vậy
Ro = Im|[B, JBì .J"'B]@ Im[By NB N°-' By] = R"
<> rank{By JB, .J"-'By] = ny va rank[By NBy .N°-!By] = no Mặt khác, để giữ các điều kiện thứ hạng Chúng ta biết rằng
Rayo =Ro+ (7 ) | x, = e%2,(0) ERY, 22 =0 € R=} =R"
và do vậy hệ (2.3) có thể điều khiển C
©—ranR[AE— AB] = rank[ —A BỊ =ranklaE — 8A BỊ
Trang 21Chúng ta có rank[B, JB¡] = rank (: ') = 2va rank[By BN3] =
-10
ran ( 0 0 ) = 1 <2 Do dé, he khong thé diéu khién C, trong khi hệ thống con chậm 06 thé diéu khién C
Ghi chú 2.1 Đối với các hệ thứ nguyên trạng thái lớn các tiêu chi được
đưa ra trong định lý trước không phù hợp với các tính toán số, vì phân tách
hệ thống thành (WCF) hoặc các giá trị riêng là cần thiết Một hệ mô tả
tuyến tinh theo bất biến thời gian thông thường có thể điều khiển ?? (nghĩa là có thể điều khiển trong tập hợp có thể đạt được) nếu với bất ky ty > 0
nào và #i(0) € ?,iø € 7, tồn tại một đầu vào điều khiển chấp nhận được
uw € CE sao cho #(fy)
Dinh ly 2.3 Cac ménh dé sau đây là tương đương:
1 Hé (2.2) 06 thé diéu khién R
3 Hệ thống con chậm có thể điều khiển Ơ
3 rank[AE — AB] =n với mọi À € C hữu hạn 4 rank{By JB, .J" By) = ng Chứng minh 1+2 Theo định nghĩa hệ có thể điều khiển / nếu Ro = Im|B\ JBỊ J"'Bh]@ Im[By NB» .N*-1Bo] =R" ® Im[B, NB» N’" By) Do, Im[By JB, .J"/~!B,] = R" <=> hé thống con chậm (2.3) có thể điều khiển C
2©3 được suy ra trực tiếp
34 Hiển nhiên, vì khả năng điều khiển Œ bao hàm khả năng điều
khiển Ö
Ví dụ 2.5 1 Xét hệ trong Ví dụ 2.4 được cho bởi
Trang 22-1 0=zz+ u
, (2)
Hệ thống con chậm có thể điều khiển Ở như chúng ta đã nhìn thấy và do đó hệ thống có thể điều khiển được #,
2.Ta có ma trận AV là lũy linh và xét hệ Vẻ = # + u Hệ này chỉ bao gồm hệ thống con nhanh và điều này luôn có thể điều khiển được ñ
Hệ quả 2.1 Xét hệ (3.3) với ma trận ÀZ — A, thì hệ có thể điều khiển C khi và khi hệ có thể điều khiển # và rank|E_ B] = n
Chứng minh Hàm tổng quất và các nghiệm phân phối cho phép nghiệm
#(f) gián đoạn tại một số điểm khác trong Ï Kí hiệu ?" — Œ?*(E, R") là tập hợp các ham kha vi vo han véi cdc gid tri trong R” va gid trong R Các phần
tử của D" được gọi là các hàm kiểm tra
Định nghĩa 2.3 Một hàm tuyến tính ƒ : Ð" —› R" với
ƒ(aiói + (262) = œ1 ƒ(6i) + a2ƒ(2) với mọi $1,492 € D",a1,02 ER
được gọi là hàm tổng quát hoặc phân phối nếu nó liên tục, đó là ƒ(ó) > 0 trong R“ cho tất cả các chuỗi (Ó;)¡en với ó; +0 € D"
Chuỗi (ó,(2));ew hội tụ về không nếu tất cả các hàm , tiến tới và (6{°())¡en hội tụ đều đến 0 cho tất cả ạ € Ñọ Chúng ta biểu thị không gian của tất cả các hầm suy rộng trên 7" theo Œ", Để sử dụng các hầm suy rộng trong khuôn khổ của các hệ mô tả, chúng ta cần khái niệm các đạo hàm và nguyên hàm của các hàm suy rộng Dạo hàm cấp q của ƒ được viết là
ƒ),q€ Ñọ của hàm suy rộng ƒ € C" được xác định bởi
£9 () = (—1)%ƒ(ở9)) với mọi ó € D",
Ham f 1A tuyén tinh va lien tục, vì vậy mọi hàm suy rộng đều có đạo
hàm theo thứ tự tùy ý trong C" Với một hàm suy rộng ƒ € C" và với một ham X € C" và thỏa mẫn:
Ä(6) = ƒ(6),ó Ð"
được gọi là gốc của ƒ, hay nói cách khác X là nghiệm của phương trình X = f Cho A € C*(R,R™") va z € C" khi đó phép nhân ma trận được định nghĩa bởi:
Trang 23Az(ð) = z(A*2)
với mọi ó € Ð",
Ví dụ 2.6 Hàm phân bố Delta-dirac ð¿ € C" được xác định bởi d4(¢) = ó(a) với mọi ó € Ð",a € l8 Và được xác định bởi ã;(ø)= { Na Ghi chú 2.2 Vì với ó € Ð” đã cho và Ÿ?>0 đủ lớn, ta có: 7 ¬ oo 200) = -(@@ - 0) = -0 b= - f dar =— f° dteae b , = ~ {Hú)ó(04t =: H(¿) H(t) = 0, <0, 1,£>0 trong đó
là hàm bước Heaviside, Chúng ta thấy mối quan hệ ổy = #! Chúng ta cũng
có thể xác định sự dịch chuyển của H theo H„() := H(t — œ) va da = Ho
Hai hàm suy rộng ƒ¡, ƒy € C" bằng nhau nếu ƒ¡(Ó) = fo(d) với mọi ó € Ð" Trong phần sau đây,một hàm z : Ï => R",ï C R được coi là một hàm được xác định trên R bằng cách dat x(t) = 0 với £ ý I Hơn nữa, trạng thái không trơn của nghiệm bị hạn chế xảy ra ở mức có thể đếm được số điểm r;€TCR
Định nghĩa 2.4 Giả sử tập hợp T = {7 € R | 7) < 7)41,€ Z} khOng co điểm gián đoạn Hàm phân phối z € C" được gọi là trơn xung nếu nó có thể
Trang 24Tập hợp của tất cả các hàm suy rộng trơn xung được biểu thị bởi C?„„(T) Bồ đề 2.4 1 Một hàm phân phối z € Œ?„„
tích (2.6)
3 Đối với z € Œ?„(T) chúng ta có thể gần giá trị hàm z(1) cho mỗi t € R\T bdi z(1) = Êj(Ê) với t € (7), 7)41) va giới hạn x(7;~) = lim,,,,- #)-1(t) và #(zj*) = lim, „+ Êj(£) với moi 7; € T
3 Tắt cả các đạo hàm và nguyên hàm của # € C?„„(T) có trong Cj„„(T) 4 Tập hợp C7„„(T) là một không gian vectơ và được đóng theo phép nhân với các hàm 4 € Œ*(R, Rm"), (T) duy nhất xác định phân Định nghĩa 2.5 Thứ tự xung của z € Cÿ„(T) tại z; € 7 được xác định là iord(z) |, [r;-i.7;+i] và q, với 0 < ạ < S là số nguyên lớn nhất sao cho —q—2 néu x có thể được liên kết với các hàm liên tục trong 2 [bryan € CM (75-1, T+], R")- —1 nếu # có thể liên kết với hàm liên tục trong Như định nghĩa ¿ord(2) |;,
[r;-i.z;x] trừ £ — z; và được định nghĩa là
iord(2) |„:= max{i € Ny |0 <i < qj, 4 0}
Mặt khác, thứ tự xung của z được xác định là iordz := maz;,exiord(z) |;,
Bồ đề 2.5 Dễ z € Œ/„„(T) và A € ŒX(R,R"""), Thì iordAz < iordr có
đẳng thức với m = m và A(z;) không thể đảo ngược cho mỗi 7; € T
Trang 25Cy ta yl từ Đa tô tận Hà Arb ih yn ab te ig ti af 1
Hinh 2.2: M6 hinh vi mach
Do sự chuyển lệnh ở điện áp đầu vào, ứ không vi phân được Dối với u = H và 4 — oo các phương trình mô hình có dạng, mị =4 = H, ¬ C8 — 2) + (#3 — z;) = 0, „=0, „=0,
với nghiệm # = H,x = Ú,z¿ = —RŒH = —RCầy và z¡ — 0 Hệ là một DAE của số mũ œ = 2 (hoặc jz = 1) va iord f = —1 Đồi với một giá trị
ban đầu đồng nhất, ví dụ z(—
véi iord x = 0
= 0 chúng ta có một nghiệm duy nhất z
Đối với trường hợp đặc biệt của các DAE bat biến thời gian thông thường
có dạng E# = Az + ƒ với ƒ € Œj„„(T) của thứ tự xung iord ƒ = qạ €
ZU {oo} ching ta có thể tiến hành như sau Dầu tiên, chúng ta có thể
Trang 26¡ ODE hệ thức (2.8) chúng ta có thể xét trong đó (: ) =T-!z Đối a ma trận nghiệm cơ bản X(£) sao cho thỏa mãn X(t) = JX(t), X(to) =1,
tite la X(t) =e) € C*(R,R"/"), Do đó, hàm suy rộng Z € C„(T) (2.8) giải được trong phương trình khi và chỉ khi z = X~Z € Cÿ„„(T) giải
được từ phương trình
=m=X 1ñ,
tức là z là nguyên hàm của ø¡ Vì ƒ € Cj„„(T) chúng ta có /¡ € Ởj„(T) và
do øị € CR„(T) có iord gị = iord ƒị theo Bổ đề 2.5 Sitdung g = 9+ Grip
với ôi = 3 jezÐtj VÀ đáng = 33jcz 3 hocuðt) với quy ước là giángj = So euðf) = 0 nếu qy < 0, khi đó nguyên hàm của øị có dang z= e+ [ Davoyds+ Sea 0 jez to jez i=0 =e+ Đ26s+ quổ, + 3 )e,ð0) “ to jez jez “fo + at
act [ Daods+ Det, +L Days? 0 jez j€Z jez ¡=0
với c€ R" Do vậy, mỗi nguyên hàm z của ø¡ đều có thứ tự xung q— 1 và mỗi nghiệm của (3.8) Dối với các giá trị ban đầu, có
2(to) = ¢+ Djex CojH, (to) voi ty € R\T va z()=c+ 3 2a; fm H,(t)=e+ SO dụ, jez j€Z,>Ti z(m*) =e+ Dey lim, H,, () = e+ Say, Gz JLT
Do vậy, tồn tại một nghiệm duy nhất của (2.8) trong C?,,,(T) thoa man mot imp! trong các điều kiện ban đầu
#I(o) =®to; #7) = #t; #((fỶ) = #to
Trang 27với 7; € T Dối với phần (2.9) chúng ta sử dụng
fo = fat frimp € Chis (T)
Nghiệm duy nhất của (2.9) được xác định bởi
+; == ON + Buy) € (my (T)
với iord(z;) < q+ø — 1 Tương tự như trước, tính nhất quán của một giá trị ban đầu ngụ ý rằng #z(fọ) = #¿ø cho fạ € R\T,
Dinh ly 2.4 Dé (E,A) không thay đổi với ò = ind(E,A) Để zj € €S((r;~,7;].R") và đặt ƒ = f+ fimp, Ê = 32;e; Ê trong đó fj = Bi)— Any Khi đó ta có các mệnh đề sau: 1 Phương trình vi phân đại số Bi =Art+f (2.10) với #1 = xỈ
có nghiệm duy nhất z € C?„„ với iord z < iord ƒ +— 1 ap
2Nbu œ = Ê + Limp, = Diez @ 1 nghiem duy nhất của (2.10), thì # j_¡ là nghiệm duy nhất của Et = AE + f + Ez;oồ,,„ ãj_¡ =0, trong d6 rj9 = #)4(7)) va f = f — fy
Ghi cha 2.3, Dat f; = Ei) — Av} voi x) 1a nghiém ciia
Bi = Art fi, t€ ([7j, 741), 7 EZ (2.11)
Do tính không đồng nhất f; được điều chỉnh theo cách được cho theo điều kiện ban đầu z(z;~) = #;ø(z;) được thực hiện phù hợp với (3.11) Vì ¿ =
 + #ảng + 3(Ê((¡) — Êi—1(G;))Š,, chúng ta có
E(@ + ?img + 3 Ư(Êi(n) — #í-l(n))ơz) = ACE + Limp) + f+ fimp
Trang 28=A(@+2imp) + SO fi + fmng + E24 — Ai jet ~¡ và f =f — fj duge biéu dién bằng Et = Ak + f + Exjod,,, tj =0, trong d6 xj9 = ¥)-4(7)) Chúng ta xem xét hệ mô tả sau day: Ei = Ar+ Bu (2.12) với hàm đầu vào w € Œ*(R,R") (có thể vi phân liên tục theo từng điểm vô cùng) Do đó, w € Œj,„(T) với iord(u) = q < —1 và chúng ta có thể xét
(2.12) trong khung phân phối
Ghi chú 2.4 Nếu chúng ta xét các hàm suy rộng liên tục theo từng điểm,
thì chỉ cần w € Œ~” Hệ tương ứng trong (WCF) có dạng
ay = Jay + Buu (2.13)
Néy = 2) + Bou (2.14)
Vi iord(u) = q < —1 chúng ta có iord(z¡) = q— 1< —1 và rằng (ít nhất) z¡ € C9(R,R"), nghĩa là không có thuật ngữ xung trong phản ứng hệ z¡ Phản ứng hệ của phần đại số (hệ thống con nhanh) có dạng
et
t= — > N'Byul
i=0
với iord(z;) < q+u—1 < v—2 Tit Dinh ly 24 chiing ta 06 # = 22-4951 là nghiệm duy nhất của
9 = By + Bolt + Naajgỗ„,, Ãaj—¡ = 0,
trong đồ #s¡o = #25-1(7)) và i = u— ti; Do đó, el
"Brit! — S> N x95 050)
Trang 29
Ton tai các số hạng xung trong phản ứng trạng thái zz do điều kiện ban đầu
(P;) hoặc do các trạng thái chuyển lệnh có thể có trong ñ và ñ((P›)
Định lý 2.5 Xét (3.12) với các cặp thông thường (E, 4) Tồn tại u € Œ* sao cho A„ # := #(zj*) — #(z;_) = œ (chuyển lệnh trong z tại 7; ) đối với một số 7 €T khi và chỉ khi ø €0@ Jm[B;y NÖ; .\*~!7)] Chứng minh: t>”As£= ( An ) vì Az,mi = 0 với ứ € C*,zj €T Do đó, 4, = 2(7)*) — 22(7)7) = — D2 N'Ba(u(7;*) — u9(, `) Do,A,,2 € Im[By NBp * <=” Chon uy, wy1 sao cho w = — OY tN‘ Bow Do đó, chúng ta có thể lựa chọn 1 24, u(t) = wo + (t= Ty)wr + F(t — Tj)? + + 0 £<7; và Azzs N'Byw; = 0, Chúng ta xác định phép ánh xạ 7„ : R"* + CP, béi 0 #6) = ( 7z„ (6) ) Đố Do với ry €T, (za(0)) biểu diễn trạng thái xung trong #(/) tại điểm thời với 7›„ (0) Lưu ý rằng 7, gian ban dau to
tất cả các số hạng xung có thể xảy ra trong x(t) tai 7)
tạo ra bởi điều kiện ban đầu za(0), và Z„ (ø) bao gồm
Định lý 2.6 Xét (2.12) với cặp thông thường (7, 4) Với mọi ø € ?ề"> tồn tại w € C sao cho phần xung của x tai 7; được biểu thị inp ¡ được cho bởi imp = Zr, (w) khi va chi khi
7ạ„(ø) €[NB; N?B; .N""'B],
Trang 30tức là(7„(ø))(ó) €[NB;¿ N?B; .N*~!ạ] trong đó ó € D"
®2imp
Chứng minh Vì zi,„ — 0 chúng ta có #„„y ( ụ ) VA imp =
0 Tương tự như trước sử dụng Định lý 2.4 #2mpj et vt By = — SO N'Bew!) — SP Ning; 05 =o it và iord(a) < ø — 2 và do wl Faimpj = — > N*x2; 068") iat
Hon nifa, ching ta c6 Z2,7,(w) = Dio} 6 Niw Do d6, ñs¡mpj = 7az,(9)
khi và chi khi —Narajq = Nw Gia sit ring tén tai mot đầu vào phii hgp u sao cho —Nr2j9 = Nw chúng ta có bằng cách sử dụng #ajø = Êzj~i(7/) và
faja(t)) = — DIG N' Boil? (r,) rằng
w € Im[By NBp .N*~'Bp] + ker(N)
Chúng ta c6 sit khai trién w = & + & voi & = Im[Bz NB» .N°-'By],@ € ker(N) va & = Ti} N' Bod, déi với một số ðj € "* Do 7a„ (0) = Đức DN‘ +ô) et et = ys aN ys Ni Bx; 0 v-1 v-1 >> jm
Điều này có thể hiểu Zp,,,(w) € Im[N By N2B) .N°"B] Trai lại, nếu Ty,,(w) € Im|N By N2By .N*-'Bp] , thi
N'w € Im[NBy N?By .N°-'Bo] = NIm|By NH; N°°B;]
Trang 31với ¡ = T,ø—1 và đặc biệt
Nw € NIm|By N By .N°-?Bo] <=> w € Im|By NBp .N°~'By]+ker(N) Ching ta c6 thé tim thay w phii hgp bing cach sit dung Dinh lý 2.5
Định nghĩa 2.6 Hệ (2.12) được gọi là có thể điều khiển zung (có thể điều
khiển 7) nếu điều kiện ban đầu z(0),7; € T và œ € R" tồn tại một hàm
Trang 32trong đó đẳng thức cuối cùng theo sau từ (3)
(5) — (3) Nó bao gồm Im(N'*!) + Im(N!Bạ) = Im(N') cho i = TrSSĐ=T, Từ đây ta xác định được
®"> — ker(N) + Im(B;) + Im(N Bp) + + Im(N*-!By) + Im(NẺ) = ker(N) + Im[B, NB» .N°-' By)
Trang 344.rank[N Kx Bo] = nạ trong đó Im(K„) — ker(N)
N
5 rank ( là 6 ») =nx + rank(N)
Chứng minh
(1) © (2) Như trong chứng mình Dịnh lý về chính quy hóa phản hồi tồn tại các ma trận không suy biến ? và Q sao cho I, 0 Au Ap ñị PEQ= , PAQ= , PQ= — 9 (5°) 9 ( 2) ° (2) và rank(E) = r,Q = [Q¡ Qa} Đặc biệt, Q¿ = S„ Do đó, chúng ta có I, 0 Ap By 5 | =r +rank|A 2 Tươ 00 An Be [42 By] Tuong I 0 00 0 E00 0 0000 tự, rank = rank - AEB Au Ap I 0 By Ay An 0 0 By rank|E ASs, B)= rank =#r + rank[As» Bà] Do đó, chúng ta có rank[E A8 BỊ =n khi và chỉ khi - E00 rank[As» B›] =n — r nếu rank ( AER ) =n+*+r (2) © (3) Hiển nhiên
(2) © (4) Dé S sao cho ES„ = 0 thì
WETT"'S, = ( „ 4 )ris =0 với T19 = (= ) Cụ thể,
chúng ta có S¡ = 0 và 'Š; = 0, ngụ ý rằng Sy = Kx Phan cdn lai duge chứng mỉnh như trước,
(1) <=> (5) Theo như định lý đã nêu ở trên
Định lý 2.9 Một hệ (2.12) được gọi là có thể điều khiển mạnh (có thể điều
khiển S) nếu nó có thể điều khiển #‡ và có thể điều khiển 7, nghĩa là nếu hạng rank[AE — A_ BỊ = n với tắt cả À € C hữu hạn và rank[E AS B] =n trong đó Im(S.) = ker(E) Môi quan hệ giữa các khái niệm khả năng điều khiển khác nhau có thể được trình bày như có thể điều khiển Œ =>Có thể điều khiển # => Có thể điều khiển S =>Có thể điều khiển ï và ¡ =>Có thể điều khiển 7
Trang 35
Ghi chú 2.5
1 Khả năng hủy bỏ tất cả các xung trong phản hồi hệ thống bằng cách
lựa chọn điều khiển phản hồi trạng thái phù hợp sao cho hệ mô tả kết quả
à số mũ ø < 1 thường được sử dụng làm định nghĩa cho
khả năng điều khiển 7 Về vấn đề này
đổi thời gian tuyến tính có thể được giải quyết như trong chương 2
2 Khả năng điều khiển Œ và # đối với các hệ mô tả thay đổi thời gian
tuyến tính có thể được xử lý thông qua các dạng bậc phù hợp
3 Hệ mô tả phi tuyến thường được xử lý bằng tuyến tính hóa cục bộ,
các hệ mô tả phi tuyến tính và thay
Trang 36Chương 3
Tính quan sát được của
hệ mô tả
31 Khái niệm
Định nghĩa 3.1 Hệ mô tả (2.1) được gọi là có thể quan sát hoàn toàn (có thể quan sát C) nếu điều kiện ban đầu z(0)có thể được xác định duy nhất
bởi (0) và y(Ê) với 0 < # <
Điều này có nghĩa là đối với hệ có thể điều khiển Œ, tr;
ng thái z(f)có thể được xác định duy nhất từ u và bằng cách quan sát các điều kiện ban đầu và xây dựng phản hồi hệ thống bắt cứ lúc nào với £ > 0
Định nghĩa 3.2 Hệ (3.1) có thể quan sát Œ nếu đầu ra bằng không /(£) = 0 với u(f) = Ú ngụ ý rằng hệ chỉ có nghiệm thường z(£) = 0
Định nghĩa 3.3 Hệ (2.1) được gọi là có thể quan sát được trong tập hợp
có thể tiếp cận (có thể quan sát được #‡) nếu bất kỳ trạng thái nào trong
tập hợp có thể được xác định duy nhất bởi y(£) và u(t) voi t > 0
Vì vậy, chúng ta cần một phép chiếu thích hợp cho các biến được liên kết
với phần động của hệ Đối với các hệ phi tuyến tính nói chung, điều này rất
khó đạt được
Trang 37Ghi chú 3.1
1 Có thể quan sát # đôi khi còn được gọi là khả năng quan sát động lực
hữu hạn,
2 Trong khi khả năng quan sát Ở phản ánh khả năng tái tạo của toàn
bộ trạng thái z(2) từ đầu ra được đo cùng với đầu vào điều khiển, thì khả năng quan sát Ở‡ đặc trưng cho khả năng chỉ tái tạo lại các trạng thái có thể
tiếp cận Do đó, khả năng quan sát Œ bao hàm khả năng quan sát
Định nghĩa 3.4 Một hệ mô tả (3.1) được gọi là có thể quan sát xung (có
thể quan sát 7) nếu trạng thái xung trong phản hồi trạng thái z(£) có thể được xác định duy nhất từ trạng thái xung của đầu ra và trạng thái chuyển
lệnh tại đầu vào
3.2 Tính quan sát được của hệ mô tả
Định lý 3.1 Xét một hệ mô tả tuyến tính không thay của đạng (2.2)
1 Dé u(t) = 0 Thi y(t) = 0 voi moi t > 0 khi va chi khi Œ
€
ig € ker Qs 1) ker CNet
3 Hệ thống con chậm (3.3) có thể quan sát Ở khi và chỉ khi
rank[P= 4< c
với mọi À € C hữu han
3 Các mệnh đề sau là tương đương:
Trang 38N te( 2) = a) rank ( N ) =n C2 e) mm () =n £) Đối với bất kỳ hai ma trận không suy bién Pi, Qi, thoa man 10 xa
P,EQì = ( 3) sao cho CP; = (C C4, Thi Ở; có hạng theo cột đầy đủ,
rank(Õ›) =n — rank(E)
4 Các mệnh đề sau tương đương:
a) Hệ (2.2) có thể quan sat C
b) Hệ thống con chậm và nhanh (2.3) và (2.4) đều có thể quan sát C
c) rank BAY oi moi A € C va rank PY Cc Cc aE-BA d) rank ( Cc ) =n với mọi (a, 8) € C?\{(0,0)} Chứng mỉnh
1 Déi véi u(t) = 0 phan hoi trang thai (3.3) được cho bởi #i(0) = e”'zi(0)
và #a() = — Dip N'x2(0)6p? và y(t) = i(t) + walt) = Crai(t) + Caza(t)
Do d6 y(t) = 0 => Cyay(t) + Cora(t) = 0 véi moi t > 0 <= Cixi (t) = 0 va Cxr2(t) = 0 véi moi t > 0
Néu y(t) = Cixi(t) = Cre!'x(0) = 0 với moi t > 0, thi y\"(t) = 0 voi
Trang 39vol u(t) = Crr2(t) = — > CN'x2(0) 3) = 0 i=l = Ca C2 Theo đó,(0) = #40) \ cer} CC Jayy| GÀ , (0) : curt GN! 2 Hé thng con cham la hé LTI tiéu chuan Vi thé (2.3) có thể quan sát Œ M—
khi và chỉ khi (J, C) có thể quan sát Ở khi và chỉ khi rank ( c J ) =n; 1
với mọi À € C Hơn nữa:
ÀE-A AWET —WAT rank = rank Cc CT M-J 0 = rank 0 AN-T =n rank (NG) CG CO ‘
Trang 40<=> rank{CE NTCT .(NT)*1C3] = nw > NTE = & + CTu cb
thể điều khiển C (Dinh ly 2.2.)
Hệ trên được gọi là hệ kép (2.4) Theo Định lý 3.2 chúng ta có (3b) = (3ƒ)
là tương đương
4 Suy ra từ 1 và tương tự như ở 3 bởi Dịnh lý 2.2
Ví dụ 3.1 Xét lại hệ mô tả từ Ví dụ 2.4 với phương trình đầu ra bổ sung,
được cho bởi - 11 0 a= at u 01 1 0+, =2: “Lo u y= [1 0}n
virank( CJ = (4°) <= nyvarank( @.) =rank (°°) = CJ 11 ŒN 00
0< n , chúng ta thấy rằng hệ thống con chậm là có thể quan sát trong khi
đó hệ thống con nhanh không thể quan sát
Định lý 3.2 Xét hệ tuyến tính không thay đổi của dạng (2.2) Thì he (2.2) có thể quan sát ï‡ khi và chỉ khi hệ thống con chậm (2.3) có thé quan sat C, tức là rank ( ee A ) =n với mọi \ € C hitu han 7 l ki od thd tifa on x(t) \ Chitng minh Moi trang thai c6 thé tiép can x(t) = T 22) } dang ’ 21(t) = e7'x,(0) + [ el) Byu(s)ds, lọ
y(t) = i() + 9a() = Crzi(t) + Cora(t),
tức là #¿(/) được xác định duy nhất bởi u(f) và yi(t) = Cixi(t) = y(t) — C¿za(L) được xác định duy nhat bdi y(t) va u(t), Do d6, trang thai x(¢) có thể tiếp cận có thể được xây dựng lại tit y(t) va u(t) khi và chỉ khi z(/) có