Đề tài Hệ mô tả rời rạc và ứng dụng trình bày một số kiến thức về hệ phương trình sai phân, thuật toán Putzer, công thức Jordan, sự ổn định của hệ tuyến tính, phương pháp Liapunov; trình bày vận dụng hệ phương trình sai phân để nghiên cứu lý thuyết điều khiển, nghiên cứu với điều kiện nào của hệ phương trình sai phân thì hệ thống điều khiển được hoàn toàn.
Trang 2TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
Lấ ĐỨC HÀ
HỆ Mễ TẢ ROI RAC VA UNG DUNG
Chuyờn ngành: Toỏn Giải tớch Mó số: 8460102
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Người hướng dẫn khoa học: TS Lờ Hải Trung
ĐÀ NẴNG - NĂM 2018
Trang 3
LOI CAM DOAN
Tồi xin cam đoan đõy là cụng trỡnh nghiờn cứu của riờng tụi Cỏc số liệu, kết quả nờu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai cụng bố trong bắt kỡ cừng trỡnh nào khỏc
Lờ Đức Hà
Trang 4Lời đầu tiờn tụi xin gửi lời cảm ơn sõu sắc tới thầy giỏo hướng dẫn TS Lờ Hải Trung đó tận tỡnh hướng dẫn tụi trong suốt quỏ trỡnh thực hiện đề
tài để tụi cú thể hoàn thành được luận văn này
Tụi
giỏo đó tận tỡnh dạy bảo tụi trong suốt thời gian học tập của khúa học sũng xin gửi lời cảm ơn chõn thành nhất đến tất cả cỏc thầy cụ
Đồng thời, tụi cũng xin gửi lời cảm ơn đến cỏc anh chị trong lớp Cao học Giải tớch K32 đó nhiệt tỡnh giỳp đỡ tụi trong quỏ trỡnh học tập tại lớp
“Tỏc giả
Trang 51.2 Thuật toỏn Putzer của hệ rời rạc
1.3 Hệ phương trỡnh sai phõn tuyến tớnh ll
1.4 Cụng thức Jordan 22 2c 19
1.5 Sự ổn định của hệ tuyến tớnh 30
1.5.1 Su ổn định của hệ tuyến tớnh với hệ số phụ thuộc ứ 30 1.5.2 Sự ổn định của hệ tuyến tớnh với hệ số hằng 33
1.6 Hệ phương trỡnh sai phõn phi tuyến tớnh 36
1.6.1, Phuong phỏp thứ nhất của Liapunov 36
1.6.2 Phương phỏp thứ hai của Lipunov 43
CHUONG 2.HE MO TA ROI RAC VA UNG DUNG 46
2.1 Hệ điều khiển được hoàn toàn - 46
2.1.1 Giới thiệu ààà 22222 ven 46 2.1.2 Hệ điều khiển được hoàn toàn 48
Trang 7“Tờn đề tài: Hệ mụ tả rời rạc và ứng dụng
Ngành: Toỏn Giải tớch
Họ và tờn học viờn: Lẻ Dức Hà
Người hướng dẫn khoa học: T'S Lờ Hải Trung
'Cơ sở đào tạo: Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng
“Túm tắt:
1 Những kết quả chớn
Sau một thời gian tỡm hiểu và nghiờn cứu luận văn đó thu được những kết qua sau:
~ Hệ thống cỏc kiển thức cơ bản về hệ phương trỡnh sai phõn
~ Trỡnh bảy một cỏch chỉ tiết cỏc định nghĩa định lớ bổ đề và hệ quả vẻ lý thuyết hệ
phương trỡnh sai phõn
~ Chứng mớnh lại một cỏch chỉ tiết cỏc định lớ về lý thuyết hệ phương trỡnh sai phõn
è liệu tham khảo
inh cỏc định lý về mỗi liờn hệ giữa hệ phương trỡnh sai phõn với lý thuyết so với ~ Chứng điều khiến
~ Trinh bõy cỏc vớ dụ minh họa cụ thể cho cỏc phần kiến thức về hệ phương trỡnh sai
phõn với cỏc bài toản thực tế của lý thuyết điều khiển
2 í nghĩa khoa học và thực tiễn:
~ Đề tải cú giỏ trị về mặt lớ thuyết và thực tiễn ứng dụng tốt trong việc dạy và học
'Toỏn chương trỡnh đại học Cú thể sử dụng luận văn như là tải liệu tham khảo dảnh cho
sinh viờn ngành Toỏn và cỳc đổi tượng quan tõm
3 Hướng nghiờn cứu tiếp theo của đề tài:
Trang 8Name of thesis:, Discrete descriptor system and application
Major: Mathematical analysis
Full name of Master student: Le Due Ha,
Supervisor: Dr, Le Hai Trung
‘Training institution: The University of Da Nang - University of Education
Abstract:
1 The results:
~ Introduce the basic concepts of linear difference equations and system of linear difference equations
- Describe in detail the concepts, theorems consequences of the stability theory of
the differential equation system
= Demonstrate in detail the theorems of systematic differential equation versus
“reference,
~ Present clearly the theorem about the relationship between the dilYerential equation
system and the control theory
= Present examples of the knowledge of the differential equation system with practical problems of control theory
2 The new contributions of the thesis:
= The topics are valuable in terms of theoretically and practicabili
be used as a reference material for students, master students and someone who is interested
‘The thesis can
in studying about system of linear difference equations,
3 The applicability in practice and subsequent research of the thesis:
- Applied theories of differential equations to further study control theory
Key words: Difference Equations, System of Linear Difference Equations, Mathematical
analysis, Control Theory
Supervisor's confirmation Studeni
€ ie oh ees ie
B47.QT751-02
Trang 91 Lý do chọn đề tài
Hiện nay, khi mụ hỡnh cỏc vấn đề thực tiễn đặt ra trong nhiều lĩnh vực
khoa học kỹ thuật thường dẫn đến nghiờn cứu hệ phương trỡnh
#(n + 1) = Az(n) + Bu(n) (1)
“Trong cỏc vấn đề đú, lý thuyết điều khiển đó trở nờn ngày càng quan
trọng như một mụn nghiờn cứu của cỏc kỹ sư, nhà toỏn học, nhà khoa học và cỏc nhà nghiờn cứu khỏc Vớ dụ về cỏc bài toỏn điều khiển bao
gồm việc hạ cỏnh một phương tiện trờn mặt trăng, điều khiển nền kinh tế
của một quốc gia, sản xuất người mỏy và kiểm soỏt sự lõy lan dịch bệnh
Thong qua hàng loạt sỏch thảo luận về lý thuyết điều khiển liờn tục |6],
[Sj [H], tụi 5s
hệ thống này hoặc để khiến nú phải hoạt động theo một phương thức đó định trước, chỳng ta sẽ ỏp dụng vào hệ thống một lực tỏc động hoặc một
lực điều khiển Vậy hệ điều khiển được là hệ phương trỡnh khụng thuần lới thiệu ở đõy về lý thuyết điều khiển rời rạc Để điều kh nhất x(n + 1) = Az(n) + u{n) (2)
Để cú được hệ (2) thành phần điều khiển được giả định cú thể ỏp dụng,
để gõy ảnh hưởng trực tiếp lờn mỗi biến trạng thỏi của hệ thống Tuy
nhiờn, trong phần lớn việc ỏp dụng thỡ giả định này khụng thực tế Vớ
dụ trong việc kiểm soỏt địch bệnh, chỳng ta khụng thể dự đoỏn khả năng,
ảnh hưởng trực tiếp lờn mọi biến trạng thỏi của hệ thống Chỳng ta tỡm
một vớ dụ khỏc trong lĩnh vực kinh tế, cỏc nhà kinh tế và ngay cả một số để biết được cỏch kiểm soỏt tỷ lệ
chớnh trị gia sẵn sàng chỉ rất nhiều
lạm phỏt, đặc biệt bằng cỏch thay đổi một vài hoặc toàn bộ cỏc biến sau: thuế, cung ứng tiền tệ, lói suất cho vay ngõn hàng Cú thể sẽ khụng cú
Trang 10một mụ hỡnh hợp lý hơn cho hệ thống điều khiển được cú thể được phỏt triển Chỳng ta biểu thị nú bằng hệ phương trỡnh (1), trong đú ỉ là n
ma tran cd (k x m) đụi khi cũn goi 1a ma tran dau vao va u(n) 1a n
ma trận cỡ (m x 1) Trong hệ này chỳng ta cú biến điều khiển m hoặc cỏc thành phần wy(n), a(n), uu(n), trong đồ mm < k
Với mong muốn nghiờn cứu về hệ mụ tả rời rạc và cỏc ứng dụng của nú
cựng với sự gợi ý và hướng dẫn khoa học từ TS Lờ Hải Trung, tụi quyết định chọn đề tài: “Hệ mụ tả rời rạc và ứng dụng” cho luận văn thạc ia minh 2 Mục đớch nghiờn cứu e Hệ thống lại cỏc kiến thức về lý thuyết của hệ phương trỡnh sai phan
trong cỏc tài liệu tham khảo khỏc nhau
e Nghiờn cứu về hệ phương trỡnh sai phõn (1)
 Ung dụng lý thuyết của hệ phương trỡnh sai phõn để nghiờn cứu lý
thuyết điều khiển
3 Đối tượng nghiờn cứu
e Hệ phương trỡnh sai phõn
ô Cỏc ứng dụng của hệ phương trỡnh sai phõn vào lý thuyết điều khiển 4 Phạm vi nghiờn cứu
Hệ phương trỡnh sai phõn, cỏc ứng dụng của hệ phương trỡnh sai phõn vào lý thuyết điều khiển
5 Phương phỏp nghiờn cứu
e Thu thập, tổng hợp cỏc tài liệu liờn quan đến nội dung đề tài luận
Trang 11e Phõn tớch, nghiờn cứu cỏc tài liệu thu thập được để thực hiện dộ tài e Tham gia cỏc buổi seminar của thầy hướng dẫn để trao đổi cỏc kết quả đang nghiờn cứu
6 í nghĩa khoa học và thực tiễn
Nội dung chớnh của đề tài là nghiờn e
trỡnh sai phõn để vận dụng vào lý thuyết điều khiển Luận văn cú thể được
dựng làm tài liệu tham khảo cho sinh viờn, học viờn cao học và những ai
cú nhu cầu về nghiờn cứu lý thuyết hệ phương trỡnh sai phõn, lý thuyết
điều khiển
7 Tổng quan và cấu trỳc luận văn
Luận văn cú cấu trỳc như sau:
Mở đầu
Chương 1: Kiến thức cơ bản Trong chương này, tỏc giả trỡnh bay một số kiến thức về hệ phương trỡnh sai phõn, thuật toỏn Putzer, cụng
thức Jordan, sự ổn định của hệ tuyến tớnh, phương phỏp Liapunov
Chương 2: Hệ mụ tả rời rạc tà ứng dựng Chương 2 tập trung
trỡnh bày vận dụng hệ phương trỡnh sai phõn để nghiờn cứu lý thuyết điều
khiển, nghiờn cứu với điều kiện nào của hệ phương trỡnh sai phõn thỡ hệ thống điều khiển được hoàn toàn
Kết luận oà kiến nghị
Trang 12KIẾN THỨC CƠ BẢN
Trong chương này, tỏc giả trỡnh bày một số kiến thức về hệ phương
trỡnh sai phõn, thuật toỏn Putzer, cụng thức Jordan, sự ổn định của hệ
tuyến tớnh, phương phỏp Liapunov Cỏc kiến thức trong chương này được
tham khảo từ cỏc tài liệu [3], [14],[15].[16] Cỏc vớ dụ do tỏc giả đưa ra và phần chứng minh cỏc định lý được trỡnh bày chỉ tiết và rừ ràng hơn trong
tài liệu tham khảo
1.1 Hệ ễ-tụ-nụm
Định nghĩa 1.1 Hệ cú dạng
fi(n +1) = anfi(n) + arfo(n) + + ae fe(n),
ớn + 1) = ai flr) + are foln) + + are fi(n), (1.1) Sin +1) = ana fi(n) + ane fo(n) + + aux fe(n),
được gọi là hệ phương trỡnh sai phõn tuyến tớnh ễ-tụ-nụm cấp k hoặc bất biến theo th gian Hệ (1.1) cú thể viết dưới dạng ma trận như sau: f(n +1) = Af(n), (1.2)
trong dộ f(n) = (fi(n), foln), fan)” € RA, A = (aj;) là ma trận thực cấp k x ẩ khụng suy biến Cỏc hệ khụng ễ-tụ-nụm hoặc khụng bắt biến
theo thời gian sẽ được xem xột ở phần sau
Nộu ta dua vao dude np > 0, f(no) = fo, thi hộ (1.2) dude gọi là hệ
phương trỡnh sai phõn ễ-tụ-nụm với điều kiện đầu Bằng cỏch lặp đi lặp
lại liờn tiếp (hoặc bằng phộp thế trực tiếp phương trỡnh), ta được nghiệm
của (1.2) được cho bởi:
f(n,no, fo) = A" fo, (13)
Trang 13Ta thấy rằng ƒ(ng,nọ,#o) = A" fy = Ify = fo Nộu no = 0 thi nghiộm (1.3) duge viột la f(n, fo), ho&c don gidn la f(n) Khong mat tinh
tổng quỏt, giả sử nọ = 0 va dat y(n — no) = ƒ(n) thỡ (1.2) trở thành: y(n + 1) = Ay(n), (1.4) với (0) = ƒ(no) và y(n) = A*u(0) (1.5) Trong lý thuyết phương trỡnh vi phõn thỡ nghiệm của hệ phương trỡnh vi phõn yy —=Afi(t), TT A/(é với điều kiện ban đầu được cho bởi ƒ(fạ) — /u, trong đú 4 là ma trận cấp kx kw eR la: Alto) fy, f(t) 1.2 Thuật toỏn Putzer của hệ rời rạc
“Trong cỏc phương trỡnh vi phõn, thuật toỏn Putzer được sử dụng để tớnh e'!, sau đõy là một thuật toỏn tương tự để tớnh A",
Cho A = (aĂ) là một ma trận thực cấp & x ẩ, trị riờng của A là một
số thực hoặc số phức À sao cho 4Ê = ÀÊ với 0 # € € CẺ hay:
(A-ANE=0 (1.6)
Phương trỡnh (1.6) cú nghiệm khỏc 0 khi và chỉ khi đet(A— A1) =0
Khai triển định thức trờn, ta được phương trỡnh:
M+ ay! + aM? 4 + apa ta =
(1.7)
Phương trỡnh (1.7) được gọi là phương trỡnh đặc trưng của ma trận A,
À được gọi là giỏ trị riờng của A Nếu Ai, Àa, À¿ là cỏc giỏ trị riờng của
ma trận 4 thỡ (1.7) được viết lại thành
k
pQ) = TT -A) jel
Trang 14vuong bat kỳ cấp k x k Khi dộ, ma tran A thỏa món phương trỡnh đặc
trưng của nú
hay
AB 4 ay Ađ + agAđ? + + aI = 0
Chứng minh Với p(A) là đa thức đặc trưng của ma trận 4 thỡ ta cú
P(A) = po + pid t pod? + + Pad"; pi € Ry = 1,2 ,n
Goi Q(A) là ma trận liờn hợp của ma trận A — XJ, tite la:
QO) = Qo + Qid + Q2À? + + Q,ÀẼ,
Bằng cỏch sử dụng cụng thite: (adjA)A = (det A)I, ta cú: Q(A)(A= AI) = det(A = ADI = p(T
Trang 15Cộng cỏc đẳng thức trờn về theo về ta được:
Onn = po + Pid + pd? + + pnd” Ta cú thể biến đổi kết quả trờn về dạng
A™ + aA" + aA"? + + dnl = Onn Định lý được chứng minh Bõy giờ cho A là ma trận cấp k x k Ta đi tỡm khai triển của 4" dưới dạng: An=é2uj(n)M(j — 1) (110) ja với uy(n) là hàm số vụ hướng sẽ được xỏc định sau, và: M) = (A= Aj1)M( - 1),M(0) = 1 (1.11) Cho j lan luot cỏc giỏ trị 1,2,3, ,n, ta duge: A(1) =(A— À1)M(0) M(2) = (A— Àa1)M(1) (1.12) M(n) = (A= Ant)M(n — 1)
Nhõn về theo về và rỳt gọn, ta được:
M(n) = (A—AnD)(A— Anil) (A= Ad) hay viột gon thanh: M(n) =] (A-Aj1) (113) ja Tit dinh ly Cayley - Hamilton ta cộ: k M(k) = TJ (A-Aj) = 0 ja Vi vay, M(n) = 0,Yn > ẩ Từ đú, (1.10) được viết lại thành: k An =S uj(n)M(j — 1) (114) ja
Nếu ta cho n = 0, từ cụng thức (1.14) ta cú được:
Trang 16Đẳng thức này thỏa món khi và chỉ khi ui (0) = 1; u2(0) = u3(0) = = (0) = 0 (115) “Từ cụng thức (1.14) ta cú: k k Suy(n + 1)M(j — 1) = AA"= A b u,(n)M(j - 7 jal j=l k = } )uj(n)AM(j — 1) ja Biến đổi (1.11): M(j) = AM(j — 1) — À;TM( — 1) => AM(j - 1) = M() + ÀjIM(j — 1) “Thay vào đẳng thức trờn, ta được: k k Yo uj(n+ YMG -1) =o uj(n) (MG) +A;MG-D] — (116) ja = So sỏnh cộe hộ s6 cita M(j), 1 < j < k trong (1.16) và ỏp dụng điều kiện (1.15), ta được t(n + 1) = Àyti(n), (0) = 1,
uj(n +1) = Ajuj(n) + wy-a(n), uj(0) = 0.9 = 2,3,
Nghiệm của phương trỡnh trờn được cho bởi
tin) = ÀỆ
y(n) = Fwy a), 9 = 2,3, -.4k =o (1.17)
Phương trỡnh (1.13) và (1.17) cựng nhau tạo thành một phương phỏp để tớnh 4", thuật toỏn này được gọi là thuật toỏn Putzer
Trang 18Cho đ(n) là ma trận cấp & x k mà cỏc cột là cỏc nghiện tức là (n) = [2i(n),22(n), 24(n)] Ta cú đ(n+1) = [ri(n + 1),zs(n + 1), , zx(n + 1)]
= |A(m)zi(n), A(n)xs(n), A(n)zx(n)] =_ A(n) [#i(n), #a(n), , #(n)}
= A(n)đ(n)
Do đú, đ(n) thỏa món ma trận phương trỡnh sai phõn:
đớn + 1) = A(n)đ(n) (1.21)
hơn nữa cỏc nghiệm #1(n) #a(n), #z(n) là độc lập tuyến tớnh với mọi
n > nọ, khi và chỉ khi ma trận đ(n) là ma trận khụng suy biền (det &(n) 4 0) với mọi n > no
Định nghĩa 1.3 Nếu đ(n) là ma trõn khụng suy biến với mọi ứ > no và thỏa món (1.21) thỡ nú được gọi là ma trận cơ sở của hệ phương trỡnh (1.18) Định lý 1.3 Nếu đ{n) là ma trận cơ sở va C la mot ma tran khong suy biến bắt là thỡ đ(n)Œ cũng là một ma trận cơ sở Chứng minh Do đ(n) là một ma trận cơ sở nờn đ(n) thỏa món cụng thức (1.21) đ(n + 1) = A(n)đ(n) > địn + 1)C = A(n)đ(n)C
Vậy đ(n)C là một ma trận cơ sở Như vậy cú vụ số ma trận cơ sở cho
một hệ nhất định Tuy nhiờn, cú một ma trận cơ sở mà chỳng ta đó biết:
nl
O(n) = TJ AW, O(n) = 1
i=ng
“Trong trường hgp A là một ma tran hằng trong hệ ễ-tụ-nụm thỡ đ(n) =
Trang 19để tớnh toỏn ma trận cơ sở cho hệ ễ-tụ-nụm là rất phự hợp
Định lý 1.4 Tồn (ại nghiệm duy nhất W(n) của ma trận (121) tới W(n) = 1
Chứng minh Cú thể coi (1.21) như một hệ phương trỡnh gồm &? phương trỡnh sai phõn tuyến tớnh cấp một Như vay để chứng minh định lý này,
chỳng ta sử dụng “Sự tồn tại uà du nhất nghiệm” ở Định lý 1.2 để cú được
một nghiệm œ k”- vectơ sao cho: v(no) = (1,0, ,1,0, )", trong đú, 1
i tri dau tiờn, thứ k + 2,2& + 3, 0 ở cỏc vị trớ cũn lại Vectơ ứ được
chuyển thành ma trận W(n) cấp k x k bing cỏch nhúm cỏc thành phần thành tập của & phần tử, trong đú mỗi tập là một cột Rừ ràng (ng) = I
Định nghĩa 1.4 Cho đ{n) là một ma trận cơ s đ{n)đˆ`(no) cũng là một ma trận cơ sở Ma trận cơ sở đặc biệt này được kớ hiệu bởi , vỡ vậy ma trận
đớn, nạ) và được gọi là ma trận chuyển tiếp trạng thỏi
Ta c6 thể viết đ(n,mm) = đ(n)đ~!(m) với n,m là hai số nguyờn dương, mà ủỡ > ùm Tinh chat 1.1 Ma tran cơ sở đ{(n,rm) cú một số tớnh chất cơ bản sau: (i) đˆ{n,m) = đ(m,n); (i) #(n,m) = #(n, on r,m); (iii) đ(n,m) = il A(i
Ching minh (i) Ta Â6: &(n,m) = (n)b-!(m)
Trang 20nà (iii) Ta 66 đ(n) = J] Ali), đ(no) = 1 Do đú: na m— m a ona đ(n,m) = &(n)đ"(m) = [Th Ali i I1 46) = ][ 40 —ơ — i=m
Hệ quả 1.1 Nghiệm duy nhất z(n, nạ, +) của (1.18) vdi #(nạ, nạ, #ọ) =
#ụ được cho bởi cụng thức x(n, no, 29) = đ(n, nạ)#o (122) Chứng minh Theo cụng thức (1.20), ta cú: x(n, no, 20) [i140] in not ma T] A(i) = đ(n,no) theo tớnh chất 1.1 (ii), suy ra z(n,nọ,zo) = đn, nạ)zo
Bộ dộ 1.1 (Cụng thức Abel) Với mọi n > nạ >0)
det đ(n) = (il [det 40) det đ(no) (1.23)
Chứng minh Theo cụng thức (1.21) ta cú:
đớ(n + 1) = A(n)đ(n) = det (n + 1) = det A(n) det &(n)
Giải phương trỡnh trờn ta được: n=l
det địn) = (il {det x0) det đ(ng)
Hệ quả 1.2 Nếu trong (1.18), A là ma trận hằng thỡ đet đ(n) = [det 4]"”"° det đ(nụ)
Chứng minh Theo cụng thức Abel, ta cú:
đetĐịn) = (il ) det (no)
Trang 21Hệ quả 1.3 ÁMa trận cơ sở đ(n) là ma trận khụng suy biến uới moin > no
khi tà e Ă khi đ(ng) là ma trận khụng suy biến
Chứng minh Từ cụng thức Abel, ta cú nà det &(n) = ( J leet x9) det &(no) sng mà ma trận cơ sở đ{(n) là ma trận khụng suy biến nờn det đ(n) # 0 Mat khỏc đet A; # 0 nờn
det đ(n) 4 0 + det &(ng) 4 0
Hệ quả 1.4 Cỏc nghiệm +4(n), #a(n) z‡(n) là độc lập tuyến tớnh uới
mọi n > no khi va chi khi đ(nạ) là ma trận khụng suy biến
Chứng mỡnh Ta đó biết cỏc nghiệm zĂ(n), #a(n) „#(n) là độc lap
tớnh khi và chỉ khi đ(n) là ma trận khụng suy biến với mọi n > nụ Từ Hệ quả 1.3 ta suy ra điều phải chứng minh
tuy
Định lý 1.5 Hệ (1.18) cú k nghiệm độc lập tuyến tớnh uới mọi n > no
Chứng mỡnh Với mỗi i — 1,2, ,k, đặt eĂ = (0.0 ,1 ,0)7 là vectơ đợn vị trong RẺ, trong đú 1 ở vị trớ thứ i Theo Định lý 1.2, với
mỗi eĂ € R*, tồn tại nghiệm #{n, nọ, e;) của (1.18) với x(no, no, €
“Tiếp theo, ta sẽ chứng minh tập nghiệm {z(n, nọ, e;) |1 < ¿ < k} độc lập
tuyến tớnh Vỡ đ(nạ) = I nờn nú khụng suy biến Theo Hệ quả 1.1 thỡ
{z(n,nọ,eĂ) [L< ¿ < k} độc lập tuyến tớnh Một kết quả khỏ quan trọng
là cỏc nghiệm của hệ (1.18) đúng đối với phộp cộng và phộp nhõn vụ hướng
Định lý 1.6 Nếu zi(n),za(n) là hai nghiệm của (1.13) tà c € đ thà: (1) #i(n) + za(n) cũng là nghiệm của (1.18)
(3) cri(n) cũng là nghiệm của (1.18)
Trang 22Dat x(n) = y(n) — yp(n) Ta c6: a(n+1) = y(n+1)—yp(n+1) = A(n)y(n) = A(n)y,(n) = A(n) (y(n) ~ w(n)] A(n)z(n) Do đú, z(n) là nghiệm của phương trỡnh thuần nhất (1.18), suy ra a(n) = 8(n)e tức là y(n) — ;(n) = đ{n)c
Tiếp theo, ta xõy dựng cụng thức để tỡm nghiệm riờng y,(n) Bổ đề 1.2 Nghiệm riờng của (1.19) được cho bởi cụng thức mộ] yp(n) = é 2 đ(n,r + 1)g(r) tới (nạ) = 0 Chứng minh Ta cú: „(n+1) = > địn + 1,r + 1)g(r) rm nd = YS An) O(n, r + 1)g(r) + đ(n + 1,n + 1)g(n) = A(n)yp(n) + g(n)
Vay yp(n) là một nghiệm của (1.19), hơn nữa ;(nạ) = 0
Trang 23hoặc một cỏch rừ rựng hơn: mà mt fn
y(n, no, yo) = (1 40) ywo+ jane fem \iort ( Il 40) g(r)- (1.29)
Chitng minh Sit dung Dinh ly 1.7, ta cú:
y(n) = đ(n)e+ y(n) Từ Bồ đề 1.2 ta cú: nal ty(n) = 32 đ(n,r + 1)g(r), do đú: y(n, no, yo) = đ(n,no)o + Yp(n, No, Yo) nt n—1 = (il A0} 9o + 3) Đ(n,r + 1)g(r) = (iis) + Š (is) g(r)
Hệ quả 1.5 Nếu A là ma trận hằng trong hệ ễ-tụ-nụm thỡ nghiệm của (1.7) được cho bởi cụng thức
y(n, No, yo) = A™™ yy + SO An=r=N(y), (1.30)
Vi du 1.3 Gidi hệ
vine )=(9 3) um +(7),
với điều kiện đầu y(0) = ( ỡ )
Trang 241.4 Cụng thức Jordan Định nghĩa 1.6 Cho 4 là đồng dạng với nhau nếu tồn tại một ma trận khụng suy biến P sao cho: PAP =B
i B la hai ma trận cấp k x k, A va B duge gọi
Ta cú thể chứng minh rằng trong trường hợp này A va B 6 cing gid
trị riờng
Định nghĩa 1.7 Nếu ma trận A đồng dạng với ma trận chộo D = diag (A1, Ao,
ở đõy, cỏc phần tử chộo của D: Ài,Àa, , À¿ là cỏc giỏ trị riờng của ma .„A,) thỡ 4 được gọi là ma trận chộo húa được Chỳ ý rằng
trận A
Ta biết rằng, chỉ một số cỏc ma trận đặc biệt thỡ mới chộo húa được
Với những ma trận A chộo húa được, tớnh 4” được thực hiện theo
Trang 25
Nếu P-LAP = D= diag[Ài,Às, À¿] thỡ 4A = PDP-, và do đú: A" = (PDP™')" = PD"P~} Xe Dộ tim ra ma trận cơ sở khỏc của phương trỡnh x(n +1) = A(n)z(n), ta cho Mo a 0 ằ 6 Le đ(n) = A"P =P (1.31) Tit cong thite (1.31) ta e6 đ(0) = P và do đú A" = O(n)đ"1(0)
Tiếp theo, ta đi tỡm cỏch tớnh ma trận P trong cụng thức (1.31)
Cho P = (1, , ,&) v6i & la cot thit i cia ma trận P Vỡ P“LAP =
D nờn AP = PD, điều này cú nghĩa là:
AG = X6, ù = 1,2, ,k
Do đú, ẫ(Ă = 1,2, ,ẩ) là vectơ riờng của 4 ứng với giỏ trị riờng À¿,
cột thứ ¿ của P là vectơ riờng của A tương ứng với giỏ trị riờng À;
thứ ¿ của 4 Vỡ P là ma trận khụng suy biến nờn cỏc cột của P là độc lập
tuyến tớnh Cụ thể, nếu & vectơ riờng của ma trận 4 cấp k x k độc lập
tớnh thỡ 44 chộo húa được Ta cú định lý sau đõy:
tuys
Định lý 1.9 Một ma trận cấp k x k là chộo húa được khi tà chỉ khi nú
cú k vecta riộng độc lập tuyến tớnh
Cho Aj, Az 1& la
k vecto riộng tương ứng độc lập tuyến tớnh của A Từ cụng thức (1.31) ta
Trang 26với 5" 1 0 O(n) = (MEME, ME) = (= o 4) va (0) = Do do: 5" 1 a(n) = (? 0 ấm —1 DI = [ped or Trong phan tiộp theo, ta sẽ xột trường hợp ma trận cú giỏ trị riờng
là số phức Để ý rằng nếu A là ma trận với hệ số thực và nếu À = a + 18 là một giỏ trị riờng của 4, thỡ A = œ — ¿Z cũng là một giỏ trị riờng của
A Hơn nữa, nếu € là vectơ riờng của 4 ứng với trị riờng À = œ + ¿đ thỡ Ê cũng là vectơ riờng của 4 ứng với trị riờng À = œ — iđ Phương phỏp sau
đõy sẽ nờu cỏch tỡm ma trận cơ sở của phương trỡnh (1.33) trong trường
hợp này
Giả sử € = i+i6, nghiệm của (1.32) 6 dang: x(n) = (a + if)" (& + if), trong đú œ + cú dạng lượng giỏc là r cosỉ + isinỉ Nghiệm này được
viết lại như sau:
x(n) = [reosỉ + isin6]” (6 + is) = r"(cosnO + isinnđ) (Ă + i&)
= 1" {[(cosnd) & — (sin nd) &] + ir" [(cosn#) & + (sin n8) &]
Trang 27v6i u(n) = r" [(eos n8) & — (sin nd) &)] va v(n) = 1" [(eos n8) & + sinndộ)]
Vi du 1.5 Tỡm nghiệm tổng quỏt của phương trinh x(n + 1) = Ax(n)
a-(1 3):
Lời giải Bằng cỏch giải tương tự như Vớ dụ (1.4), ta tỡm được cỏc giỏ trị
riờng Ài = 2i, À; = —2iĂ ứng với cỏc vectơ riờng là: 5 Cie) 12 Do đú, z(n) = (2i)" ( #1 với ) là một nghiệm của phương trỡnh “Từ cụng thức Ts isin™ nm isin ™ i=cos= +isin —,i" = cos — + isin — 2 2 2 2 nghiệm này được viết lại như sau: x(n) =2° (cos (M2) + isin (™2)) ( #5 +
“ win) =e (Fe) ion )
là 2 nghiệm độc lập tuyến tớnh Nghiệm tổng quỏt của bài toỏn là: #Ín) = ciu(n) + œ0(n) = [Gores VỚI | “Ta xột trường hợp tổng quỏt mà ma trận A là ma trận khụng chộo húa 3,
được Điều này xảy ra khi ma trận 4 lặp lại cỏc giỏ trị riờng và khụng thể tao ra k vecto doc lap tuyến tớnh Vớ dụ:
200
[7;|-|921|-
Trang 28Định nghĩa 1.8 Nếu một ma trận 4 cấp ẩ x k là khụng chộo húa được
thỡ nú đồng dạng với cụng thức Jordan, tức là P~!AP = J với J = diag(J, Jạ, J,),1 < r <ẫ (135) Cụng thức (1.35) được gọi là cụng thức Jordan, trong đú À1 0 0 0 Àj 1 0 =| 0 0= : (1.36) " od 00 À
Ma trận J, được gọi là khối Jordan
Dinh lý 1.10 Bỏt kỡ ma trận A cắp k x ẩ nào cũng đều đồng dạng uới cụng thức Jordan được cho bởi cụng thức (1.35), uới mỗi JĂ là một ma trận =k cấp 8; x sĂ của cụng thức (1.36), va Định nghĩa 1.9 Số khối Jordan tương ứng với một giỏ trị riờng À được gọi là bội số hỡnh học của À, và bội số hỡnh học này lần lượt bằng với số cỏc vectơ riờng độ
lập tuyến tớnh tương ứng với trị riờng À
Bội số đại số của giỏ trị riờng A là số lần lặp lại của À Nếu bội số đại số là 1 (tức là khụng lặp lại) thỡ A được gọi là đơn Nếu bội số hỡnh hoe
của À bằng bội số đại số (tức là chỉ cú 1 x 1 khối Jordan tương ứng với À)
thỡ nú được gọi là khụng đơn Chỳ ý rằng ma trận cú cụng thức X10 0 0À 1-0 000 1 000 À
chỉ cú một veetơ riờng, cụ thể là, vectơ đơn vị eĂ = (1,0, ,0)” Điều
này cho thấy rằng cỏc vectơ riờng độc lập tuyến tớnh của cụng thức Jordan
J được cho bởi (1.35) là
C1, Cs 41, Cap tsgtly ô++ 3 +sz+ +sr~i+1‹
Vi PAP = J nờn
Trang 29Ngược lại cho |A| < 1 với mọi giỏ trị riờng của A của 4, phải chứng
minh lim A" = 0 =
Do |À| < 1 nờn lim \" = 0 Do do: =
slim x(n) = Tim (ANE + ASE + + CALE)
= lim cfr + lim eZ + + lim ceXLEe
= 0+0+ +0=0
Mặt khỏc ta lại cú z(n) = 4? với e là một vectơ hằng, khi đú: lim z(n) = lim A"e=0= lim A"=0 na nooo nso Vớ dụ 1.6 Sử dụng cụng thức (1.42) để tỡm nghiệm tổng quỏt của phương trỡnh z(n + 1) = Az(n) với 41 2 A=|02 -1] 01 6
lời giải Ma trận A cú cỏc giỏ trị riộng IA Ay = Ay = Ay = 4 Dộ tim cae vectơ riờng ứng với cỏc giỏ trị riờng, ta giải phvtong trinh (A — AI)E = 0, hay 0 1 2 d, 0 0-2 -4)(a@)=(0 01 2 dị 0 d; + 2d; = 0 ô@ 4 —2d; — 4d; =0 dạ + 2d; = 0 â dy = —2d; “Từ đú ta tỡm được hai vectơ riờng của A là =0<)
Để tỡm vectơ riờng thứ 3, ta sử dụng cụng thức (1.38), đầu tiờn, kiểm
tra (A— 41)& =&:
0 1 2 a 0
0 =2 -4 |[ứ |=[ =2 ]
Trang 31Vậy: [a oes “=Íop „ non! 0 0 a" Nghiệm tổng quỏt của bài toỏn là: z(n,aọ) = PJ"P-lzụ n?—ðn +16 nđ+3n =n? +5n 1 at 4n 4n + 16 —4n 1 n—n n+7n —-n?+n+16 1 n?+3n+16 = 2" !Í 4n+16 n2 + n + 16 1.5 Sự ổn định của hệ tuyến tớnh 1.5.1 Sự ổn định của hệ tuyến tớnh với hệ số phụ thuộc 0 Xột hệ phương trỡnh z(n+1)=A(n)z(n), n>nạ>0 (143) Giả sử A(n) là ma trận khụng suy biến với mọi n > nọ Nếu đ(n) là ma trận cơ sở bắt kỡ của hệ (1.43), ta cú (n,m) = đ(n)đ"(m) Định nghĩa 1.10 Diểm cõn bằng z* của hệ phương trỡnh sai phõn #(n+1)= ƒ(n,#(n)) x(n) = x0, được gọi là:
Ổn định (S) nếu We > 0, nọ > 0, 3ổ = ổ (e, nạ) sao cho
lzo — z||< ổ thỡ Ij (n,n9,20) — 2° || <e,Ơn > no
Trang 32với ||zo|| < ổ Mà ||zo|| < ổ nờn 5 llzo|| < 1 Do đú,
1 €
IE @)Il = sup [đ(n) Ell = 5 sup _[|@(n) 2oll < 5 = M- ll<1 Izl<ð
(iv) Gi sử (1.47) đỳng, khi đú nghiệm gốc của hệ (1.40) ổn định đều
theo (ii) Hơn nữa, cho Ê > 0,0 < e < A, chọn N sao cho < 7 Do dộ, nộu |j:x9|| < 1 thi
[lx (n, n9, 20)|] = ||đ (nr, n0) ol] < Ma" <e,
vội n > no + N Vay nghiộm gộc là ổn định tiệm cận đều
Ngược lại, giả sử rằng nghiệm gốc là ồn định tiệm cận đều nờn nú cũng ổn định đều, do đú | (n,m)|| < M, với 0 < nạ <m <n < % Tit su hut đều, tồn tại / > 0 sao cho với 0 < e < 1, tồn tại ẹ: l8 ứ.m)|è < Fp = vin > ng +N, ||roll <p Từ đú AM || (n.nạ)|| < Ê với n 2 nọ + ẹ Vội n € [no + MN, no + (m+ 1) N],m > 0 ta c6 II (n, no) | < | (n, m0 + mN)||- [| (nm + MN, no + (m — 1) N)|] ]đ (ro + MN, no) || <Men< v(c8) = M0" < Ny - 1 với mẹ < n — nạ < (m +1) ẹ,M = —.n=eẹN Định lý được chứng mỡnh
Hệ quả 1.7 Đối uới hệ phương trỡnh (1.40), cỏc phỏt biểu sau là đỳng:
(i) Nghiệm gốc là ổn định khi tà chỉ khi tất cả cỏc nghiệm đều bị chặn;
(ii) Nghiệm gốc là ổn định theo cấp độ mũ khi uà chỉ khi nú là ổn định
Trang 33Hệ quả 1.8 Đối uới hệ phương trỡnh (1.40), mọi tớnh chất ổn định địa
phương của nghiệm gốc kộo theo tớnh chất ổn định toàn cục tương ứng k Dinh ly 1.12 (i) Nộw Y Jai; (n)| < 1,1 <j < k,n > no thi nghiem goc của hệ (1.40) là ổn định k (8) Nếu 3” |a¿ (n)| < 1— +, > 0,1 < j < k,n 3 nạ thà nghiệm gốc = là ổn định tiệm cận đều 1.5.2 Sự ổn định của hệ tuyến tớnh với hệ số hằng, Xột hệ phương trỡnh #(n+1)= Az(n) (1.48) Định lý 1.13 Cỏc phỏt biểu sau là đỳng
( Nghiệm gốc của (1.48) là ổn định nếu va chi nộu p(A) < 1 tà những
giỏ trị riờng mà mnodun nhỏ hơn 1 cú khối Jordan tương ứng là đường chộo;
Trang 34Rừ ràng J? khụng bị chặn nếu |À;| > 1 hoặc |À;| = 1 Nếu |A,| < 1 thỡ J? + 0 khi n 00 “Tiờu chuẩn ổn định của hệ hai chiều =[#n 42 A= (tn a) cú phương trỡnh đặc trưng X= (ay + đai) À + (@ndz› — aiaaaI) = 0 hay Àấ — (fr4) À + đet A = 0 (149) Xột ma trận Như ta đó biết, 1+trA+detA >0 l|<1@ 4 I-frA+detA>0 @|A|<1+det4<2 (150) 1—detA>0
Như vậy với điều kiện (1.50) thi nghiệm gốc của hệ phương trỡnh
#(n+1) = Az(n) là ồn định tiệm cận Bay giờ chỳng ta sẽ xột trường
hợp mà trong cỏc giỏ trị riờng của A, tồn tại những giỏ trị riờng cú modun
lớn hơn 1
Cho À là một giỏ trị riờng của A cú bội m và ẫ, ếs, , „„ là cỏc vộctơ riờng tương ứng với À Khi đú với mỗi Ă,1 < Ă <m
AG = NE — (& là một vộctơ riờng của A ), hoặc
AG = G+ GA,
tức là cỏc vộctơ riờng tương ứng với À là nghiệm của phương trỡnh
(A-AJ)™E=0
Tap hgp tat cA nhitg tổ hợp tuyến tớnh của cỏc vộctơ riờng tương ứng
với \ la bat biến và được gọi là khụng gian riờng #2\ Rừ ràng nếu À # À¿
thi Ey, Ey, = {0} Gia sit ring A 1a hyperbolic (AE) = Ey) ma khong
cú giỏ trị riờng nào cú modun bằng 1 Đặt
Ay = (Ar Aves Av} với |A[<11<¿<r;
Trang 35Khụng gian riờng xỏc định bởi cỏc giỏ trị riờng của A, được kớ hiệu là w= Ua ma Khụng gian riờng xỏc định bởi cỏc giỏ trị riờng của A„ được kớ hiệu là k w= UA =m Định lý 1.14 (Định lý Manifold) Nộu A la hyperbolic thi nhitng khiing định sau là đỳng:
(i) Nếu z(n) là một nghiệm của (1.48) vdi x (0) € W* thi uới mỗi n, #(n) € WW* Ngoài ra, lim x(n) = 0
(ii) Nếu z(n) là một nghiệm của (1.48) uới z (0) € W" thi vdi mỗi n, x(n) €W" Ngoai ra, lim x(n) = 0
Chứng minh (i) Cho z(n) là một nghiệm của (1.48) với z (0) € W”* Vỡ A la hyperbolic nen AW* = W/*, Do đú z(n) € W*,Vn € Z* Để chứng mỡnh lim #(n) = 0, xột n-900
+(0)=3)e&, 1<&<r,
ist
là vộctơ riờng tổng quỏt tương ứng với cỏc phần tit trong A, Cho J =
P-'AP là dạng Jordan của A, J cú thể viết dưới dạng J = (ủ 1) với
J, cú giỏ trị riờng trong As.J„ cú giỏ trị riờng trong A„ Ta đó biết vộctơ
riờng tổng quỏt €;,1 < ¿ < À của J, cú dang
Trang 36nờn Jay > 0 sao cho nộu x € B(2*,a9)thi f (x) € B(x*,a4)
Cho 0 < Ê < as, xỏc định (e) = min {V (x) |e < |jz—2°|| < ai},
khi dộ 35 : 0 < 6 < € sao cho
V() < U(e),Vz
ma |x —2*|| < ở Ta cần chứng mỉnh rằng, nếu z € Z(z*,ð) thi
a(n) € B(z*,e),Vn > 0 That vay, gia sit Jay € B(2x*,5) vam € Z*
sao cho x(r) € B(2*,2),Vr € [1,m] và z(m+1) ý B(*,e
a(m) € B(x*,e) C B(a*,a2) hay ô(m+ 1) € B(x*,a) Do dộ V(#(m+1)) > ỳ(e)
Nhưng V (z(m + 1)) < < V (a) < (e), điều này là mõu thuẫn Như vậy z* là ổn định
Để chứng minh z* là ổn định tiệm cận, giả sử zu € Z(z*,ð), khi đú
zớ(n) € B(z*,e),Vn > 0 Nếu {z (n)} khụng hội tụ tới z* thỡ nú cú mot day con {x (n;)} hoi tu tdi € RẺ Cho E C B(x*,a;) là một lõn cận mở
của y với z* ý E Đặt vue) hộ
ơ
ta cú thể thấy h là xỏc định và liờn tục, hơn nữa h(z) < 1,Yz € E Nếu n € (h(y),1) thi Ja > 0 sao cho x € B(y,a) thi h(x) < 7 Do a6 Sn;
đủ lớn để
VỮ Œ(m;))) < n„V (z(nĂ — 1)) < rỀV (œ (nị — 3)) < < *V (œạ) Do đú
lim V((m)) =0
Nhưng lim V (z (ứ,)) = V (y) nờn V (y) = 0, hay ý = #" Dộ chứng minh
+* là ổn định tiệm cận toàn cục, ta chứng minh rằng tắt cả cỏc nghiệm đều
bị chặn Thật vậy, giả sử tồn tại nghiệm z (n) khụng bị chặn, khi đú tồn
tai day con {x (n;)} + 00 khi n —+ oo Tit (1.52) ta eú:V(z(mi)) —> œ Khi nj —> Sâ, điều này là mõu thuẫn do
V (xi) > V (z(n,)),Vi
Trang 37@ > 0,V (x) + 00 khi |lz|] => se thà tất cả cỏc nghiệm của (1.51) đều bị chặn Vi dụ 1.8 Xột phương trỡnh sai phõn: ax (n+ 1) 1+ Bx? (n) Goi +* là điểm cõn bằng của phương trỡnh, khi đú ta cú #(n+1)= „a8 >0, an’ “= 1+ A(z") 2" = 0 hove 2° = + (a> 1)
Dat y(n) = x(n —1), y(n) = z (n) ta thu được hệ
va(n ty) = one) (n+ 1) = y(n) + đu” (n)
Ta xột tớnh ổn định của điểm cõn bằng (0,0) Chọn hàm Liapunov
V (0,3) = tŸ + tổ -
Rừ ràng V liờn tục và xỏc định dương trờn R2 Ta cú 7
AV (ui (2) y2 (a) = (——>— - 1] p(n) < (a? = 1) 8 (n) sade PE Ms (da (1.53)
Nộu a? <1 thi AV < 0, khi d6 2* = 0 là điểm cõn bằng duy nhất Theo Dịnh lý 1.15 thi 2° 1a ộn định Nhưng do lim V (x) = so nờn theo 2 |-400
Hệ quả 1.9, tất cả cỏc nghiệm đều bị chặn Hơn nữa AV = 0 tại tất cả cỏc điểm trờn trục 12 nờn khụng xỏc định được tớnh ổn định tiệm cận của
hệ phương trỡnh này Tỡnh huống này là điển hỡnh trong hầu hết những, vấn đề của ứng dụng khoa học và kĩ thuật Do đú, yờu cầu đặt ra là phải phõn tớch được tốt hơn và chớnh xỏc hơn, từ đú dẫn đến nguyờn tắc bất
biến Lasalle
Trang 38(i) Cho tập con G C RẺ, z là một điểm giới hạn của G nếu tồn tại một
dóy {zĂ} trong G sao cho x; + x khi i + 00;
(ii) Bao dộng G 1a hgp cita G va tất cả cỏc điểm giới hạn của G;
(ii) Xột phương trỡnh z(a+ 1) = f(a(n)) (1.51), qui dao dương
ểŸ (z) được xỏc định
O* (xo) = {x(n,0, 29) In € Z*}
Vỡ ta chỉ xột quỹ đạo dương nộn O* (2x) con duge ki hiộu 1a O (ao);
(iv) Tap giới han duong 2 (29) là tập tất cả cỏc điểm giới hạn dương,
của x9 sao cho
Q(x) = {y € B'|x (ni) + y khi nj > 00, {nj} C Z*}
(v) Một tập hợp A được gọi là bất biến chắc chắn nếu
O(œo) C A.,Vzo € A
Dễ dàng thấy rằng ể (zo) va 2 (70) đều là bat biến chắc chắn
Định lý 1.16 Cho >ụ € RẺ va Q (a9) la tap giới hạn của nú trong (1.51)
Khi đú những phỏt biểu sau là đỳng
200) = NU Loo} = AU Conds
(ii) Nộw 9 (ao) = yo, j € Z* thà 2 (yo) = 9 (ao); (iti) (x9) la dng va bat biến;
(iv) Nếu quó đạo O (xạ) là bị chặn thà 2 (x9) là khỏc ỉ tà bị chăn
Chứng minh (Ă) Cho € (zg), do đú f™ > y khi n; > 00 V6i mai i
tồn tại một số nguyộn duong Nj; sao cho
Trang 39Như vậy, với mỗi Ă, 3ƒ" (zọ) € ệụ (#o) với mị < nạ < nạ < và nị — œ
Khi i > 00 Rừ ràng ƒ" (zụ) —> khi ny —> so, do đú € â (2o)
(ii) Vỡ bao đúng của một tập là đúng nờn J {z„} là đúng Hơn nữa,
â (zạ) là giao của tất cả cỏc tập đúng nờn â (z) là đúng
Ta chi ra rằng Q(zọ) là bất biến Thật vậy, cho € â(zạ) khi đú
f™ (xo) —> y khi ni > oo Vỡ ƒ là liờn tục nờn ƒ“#!(zo) = ƒ nờn
f" (ao) + f (y) Do a6 f (y) € 2 (xo) hay â (ứụ) là bắt biến
Bõy giờ cho V là một hàm Liapunov xỏc định dương trờn một tập con
GCR*,E= {ze GIAV (z) = 0}, gọi M là tập con bất biến lớn nhất
của E Khi đú M là hợp của tắt cả cỏc tập con bắt biến của E
Định lý 1.17 (Nguyờn tắc bất biộn Lasalle) Cho V la mot hàm
Liapunov xộc định dương của (1.51) trong Œ C RẺ Khi đú uới mỗi nghiệm
bị chặn z(n) của (1.51) trong G, ín € Z* luụn tồn tại số c sao cho x(n) + MAV-!(c) khin > 00
Chứng minh Cho 2 (n) 1a mot nghiộm bi chan cia (1.51) vội x (0) = a9
va x(n) bi chan ở trong G Theo Dinh lý 1.17 ta cú ỉ # Q (xq) C Ở
Do đú, nếu € Q (xo) thỡ x (ni) + y khi ni 00, {ni} C Z*
Vỡ V ((n)) là khụng tăng và bị chặn dưới nờn lim V (x(n) = e Hơn
nữa, do tớnh liờn tục của V nờn V (# (n;)) —> V (y) khi n; —> %
Như vậy, V (y) = e hay V (â(zo)) = e, do đú ỉ(zg) C V~'(e) Ngoài ra, AV (y) = 0,Ơy € â(zu) nờn â (zu) C E Nhưng do (a9) la bat biộn
nộn â (ag) C M Nhu vay z (n) + 2 (a9) C M C V7! (c) khin —> so
Trang 40r{n + 1)sinỉ(n + 1) = rˆ (n) sin 29 (n) (155) Chia (1.54) cho (1.55) ta duge ỉ(n + 1) = 20 (n) “Thay vào (1.54) ta cú r{n+1) =r?(n) Do đú ta cú thể viết nghiệm là r{n) = [r(0)}? 9(n) = 2"9 (0) Điểm cõn bằng là (0.0) và (1,0) + Nếu r (0) < 1 thỡ lim r (n) = 0, khi đú nghiệm gốc là ổn định tiệm cận; a + Nếu r(0) > 1thỡ lim z (n) = se, khi đú điểm cõn bằng (1,0) khụng ổn định; a
+ Nếu r(0) = 1,r(n) = 1,Vn > 0, khi đú nghiệm là một vũng trũn