(Luận văn thạc sĩ file word) Giải bài toán giá trị riêng thông qua tối ưu hóa

(Luận văn thạc sĩ file word) Giải bài toán giá trị riêng thông qua tối ưu hóa(Luận văn thạc sĩ file word) Giải bài toán giá trị riêng thông qua tối ưu hóa(Luận văn thạc sĩ file word) Giải bài toán giá trị riêng thông qua tối ưu hóa(Luận văn thạc sĩ file word) Giải bài toán giá trị riêng thông qua tối ưu hóa(Luận văn thạc sĩ file word) Giải bài toán giá trị riêng thông qua tối ưu hóa(Luận văn thạc sĩ file word) Giải bài toán giá trị riêng thông qua tối ưu hóa(Luận văn thạc sĩ file word) Giải bài toán giá trị riêng thông qua tối ưu hóa(Luận văn thạc sĩ file word) Giải bài toán giá trị riêng thông qua tối ưu hóa(Luận văn thạc sĩ file word) Giải bài toán giá trị riêng thông qua tối ưu hóa(Luận văn thạc sĩ file word) Giải bài toán giá trị riêng thông qua tối ưu hóa(Luận văn thạc sĩ file word) Giải bài toán giá trị riêng thông qua tối ưu hóa(Luận văn thạc sĩ file word) Giải bài toán giá trị riêng thông qua tối ưu hóa(Luận văn thạc sĩ file word) Giải bài toán giá trị riêng thông qua tối ưu hóa(Luận văn thạc sĩ file word) Giải bài toán giá trị riêng thông qua tối ưu hóa(Luận văn thạc sĩ file word) Giải bài toán giá trị riêng thông qua tối ưu hóa(Luận văn thạc sĩ file word) Giải bài toán giá trị riêng thông qua tối ưu hóa(Luận văn thạc sĩ file word) Giải bài toán giá trị riêng thông qua tối ưu hóa(Luận văn thạc sĩ file word) Giải bài toán giá trị riêng thông qua tối ưu hóa(Luận văn thạc sĩ file word) Giải bài toán giá trị riêng thông qua tối ưu hóa(Luận văn thạc sĩ file word) Giải bài toán giá trị riêng thông qua tối ưu hóa(Luận văn thạc sĩ file word) Giải bài toán giá trị riêng thông qua tối ưu hóa(Luận văn thạc sĩ file word) Giải bài toán giá trị riêng thông qua tối ưu hóa(Luận văn thạc sĩ file word) Giải bài toán giá trị riêng thông qua tối ưu hóa

I H C TH I NGUY N TR NG I H C KHOA H C o0o INH TH KIM OANH GI I B I TO N GI TR RI NG TH NG QUA T I U H A Chuy n ng nh: To n ng d ng M s : 46 01 12 LU N V N TH C S TO N H C C N B H NG D N KHOA H C TS Nguy n Thanh S n TS Ho ng Th Tu n Th i Nguy n - 2021 Licm n Lu n v n n y c ho n th nh t i Tr ng i h c Khoa h c - i h c Th i Nguy n d i s h ng d n h t s c t n t nh c a t p th h ng d n, TS Nguy n Thanh S n v TS Ho ng Th Tu n T i xin c b y t l ng k nh tr ng v bi t n s u s c nh t t i c c Th y, nh ng ng i lu n theo s t, h ng d n, ch b o nhi t t nh v ng vi n t i su t qu tr nh t l a ch n t i cho n th c hi n v ho n thi n lu n v n Qua y, t i c ng xin ch n th nh c m n t i c c qu Th y, C gi o thu c Khoa To n - Tin, Tr ng i h c Khoa h c - i h c Th i Nguy n t n t nh gi ng d y v gi p t i ho n th nh kh a h c Cu i c ng, t i xin g i l i c m n t i Ban gi m hi u, t p th c c Th y, C gi o c a Tr ng THPT L ng Th Vinh n i t i ang c ng t c, ng vi n v t o i u ki n cho t i su t th i gian h c t p c ng nh th c hi n t i Th i Nguy n, th ng n m 2021 T c gi inh Th Kim Oanh Licm n i Mcl c M c l c ii Danh m c k hi u v ch vi t t t iv M u Ki n th c chu n b 1.1 M t s v n c b n v b i to n gi tr ri ng 1.2 S l c m t s ph ng ph p gi i b i to n gi tr ri ng 1.2.1 Ph ng ph p Arnoldi 1.2.2 Ph ng ph p Lanczos 1.3 Nh c l i s l c v b i to n t i u 11 1.3.1 i u ki n c n 12 1.3.2 i u ki n 12 1.3.3 Ph ng ph p ng d c nh t 12 Gi i b i to n gi tr ri ng th ng qua t i u h a 14 2.1 nh l Courant-Fischer-Weyl 14 2.2 T m gi tr ri ng th ng qua t i u h a h m v t ma tr n 15 2.3 X p x gi tr ri ng b ng t s Rayleigh 18 2.4 S d ng h m chi ph Brockett 22 2.4.1 H m chi ph v h ng t m ki m 22 2.4.2 i m t i h n 24 2.5 M t s b i to n gi tr ri ng kh ng ti u chu n 25 Mcl c ii iii 2.6 B i to n gi tr ri ng c a c p ma tr n i x ng/ph n i x ng ch nh t c: gi tr ri ng symplectic 30 Danh m c k hi u v ch vi t t t H Kh ng gian Hilbert th c H Rn Kh ng gian th c n chi u C2n T ch Descartes c a C hay kh ng gian ph c v c t 2n chi u P(2n) Kh ng gian c c ma tr n th c c n × n T p c c ma tr n th c i x ng, x c nh d ng c 2n × 2n Sp(2n) T p t t c c c ma tr n symplectic c 2n × 2n Sp(2k, 2n) T p t t c c c ma tr n symplectic c 2n × 2k ∇f Gradient c a h m f Rn×n ∇ f Hessian c a h m f ⟨x, y⟩ T ch v h ng c a hai v c t x v y ǁxǁ Chu n c a v c t x iv M u V n t nh to n kh ng gian ri ng v gi tr ri ng c a ma tr n l r t ph bi n k thu t v khoa h c v t l N li n quan n c c l nh v c a d ng nh ng l c h c c u tr c v khai th c d li u v c r t nhi u ng d ng k thu t V th , kh ng c g ng c nhi n n v ang l m t l nh v c nghi n c u r t t ch c c B i to n gi tr ri ng tr th nh kinh i n i s n t nh v to n h c t nh to n Trong nh ngh a ti u chu n, gi tr ri ng l nghi m c a ph ng tr nh c tr ng c a ma tr n C ch ti p c n n y kh ng gi p ch cho vi c t nh gi tr ri ng c a ma tr n c trung b nh v l n C c ph ng ph p s t nh gi tr ri ng hi n nh ph ng ph p Lanczos, ph ng ph p Arnoldi s d ng ch y u c c ki n th c c a i s n t nh s m t di n bi n kh c, t i u tr th nh m t ng nh l n c a to n h c N ph t tri n c kh a c nh l thuy t v gi i s C u h i t l ta c th a b i to n gi tr ri ng v b i to n t i u hay kh ng? N u th c hi n c i u n y, ta c th s d ng nh ng thu t to n t i u v n r t phong ph p d ng cho b i to n n y V m t l thuy t, n nh m t n t g ch n i cho ph p k t h p gi a hai h ng nghi n c u t ng ch ng t li n quan n Lu n v n n y s tr nh b y c ch ti p c n t i u h a cho b i to n gi tr ri ng N i dung c a lu n v n c chia l m hai ch ng Ch ng Ki n th c chu n b Trong ch ng n y, ch ng t i t ng k t l i c c ki n th c c b n v b i to n gi tr ri ng, s l c m t s ph ng ph p s gi i b i to n gi tr ri ng v ki n th c c n thi t v t i u h a C c t i li u tham kh o cho ch ng n y g m c [3, 5, 6] M u Ch ng Gi i b i to n gi tr ri ng th ng qua t i u h a Ch ng n y l n i dung ch nh c a lu n v n Trong ch ng n y ch ng t i x t b i to n gi tr ri ng ti u chu n cho ma tr n v cho c p ma tr n (A, B) v i B i x ng x c nh d ng C th , tr c ti n, ch ng t i tr nh b y nh l Courant- Fischer-Weyl kinh i n v x c nh gi tr ri ng c a ma tr n i x ng th ng qua b i to n minimax Sau , ch ng t i x t m nh t ng qu t h n v n li n quan n m t t p h p c c gi tr ri ng v c c v c t ri ng t ng ng Ch ng t i ti p t c i s u khai th c h ng n y tr nh b y h ng ti p c n b i to n n y nh m t b i to n t i u tr n a t p c ng v i vi c s d ng phi m h m Brockett Hai m c cu i c a ch ng n y c d nh cho vi c tr nh b y c c k t qu t ng t nh ng li n quan n b i to n gi tr ri ng kh ng ti u chu n B l ma tr n kh ng x c nh v B l ma tr n ph n i x ng Khi vi t ch ng n y, ch ng t i tham kh o c c t i li u [2, 4, 5, 8] (A1, J) v c c c p c a n (XT AX, J1) n n p1 q1 i trXT AX ≥ Σ i=1 α+ − Σ j j=1 α− = t0 Ngo i ra, n u c m t X0 v i AX0 = JX0Λ, X T JX0 = J1, v Λ = diag(α+, , α+ , α− , , α−), p1 q1 th trX0T AX0 = t0 Gi thi t v s t n t i ma tr n v c t ri ng X0 nh l 2.5.4 hi n nhi n c th a m n n u c p (A, B) c th ch o ho c Nh v y, ch ng ta c H qu 2.5.5 Cho c p (A, B) x c nh d ng ho c n a x c nh d ng v ch o h a c Khi gi tr t0 nh l 2.5.4 l gi tr nh nh t th c t H qu 2.5.6 Cho (A, B) l m t c p n a x c nh d ng Khi t0 t (2.16) l c n d i ng c a h m (2.14) b gi i h n b i (2.15) Ch ng minh Cho ϵ > v coi c p nhi u (A + ϵI, B), l x c nh d ng Theo H qu 2.5.5 mintrXT (A + ϵI)X = t0(ϵ) B y gi kh ng nh theo sau b i t nh li n t c c a c c gi tr ri ng nh l 2.5.7 Cho h m (2.14) c gi tr c c ti u a ph ng n u b gi i h n b i (2.15) Khi c p n y l n a x c nh d ng v gi tr nh nh t l t i B t k gi tr c c ti u X1 v i X T 1BX1 = J1 th a m n ph ng tr nh AX1 = BX1Λ v i Λ = diag(Λ+, Λ−) (trong s ph n chia kh i gi ng nh c a J1 (2.15) v Λ+, Λ− l i x ng) cho α+, , α+ l c c gi tr ri ng c a Λ+ v α− , , α− p1 q1 l c c gi tr ri ng c a Λ− 2.6 B i to n gi tr ri ng c a c p ma tr n i x ng/ph n i x ng ch nh t c: gi tr ri ng symplectic M t c ch t ng qu t, c c m c tr c x t gi tr ri ng c a c p ma tr n (A, B), v i A, B l c c ma tr n i x ng Th t v y, B = I , ta c b i to n gi tr ri ng ti u chu n Khi B i x ng x c nh d ng, ta c b i to n gi tr ri ng i x ng x c nh Tr ng h p c n l i l b i to n gi tr ri ng kh ng x c nh tr nh b y M c 2.5 m c n y, ch ng ta s x t tr ng h p B l ph n i x ng, t c l BT = −B Do m t ma tr n ph n i x ng lu n c th a c v ma tr n Poisson J =  −I0 0I  nh ph p bi n i t ng ng n n, kh ng m t t nh t ng qu t, ta c th gi s B = J H a ra, y l i l m t b i to n gi tr ri ng c bi t, b i to n gi tr ri ng symplectic m ng i u ti n x c nh n l Williamson Tr c ti n, ch ng t i nh c l i n i dung nh l Williamson y G i R2n×2n l kh ng gian c a c c ma tr n th c c 2n × 2n, P(2n) l t p c a R2n×2n bao g m c c ma tr n x c nh d ng, v Sp(2n) l nh m c c ma tr n symplectic th c, t c l , Sp(2n) = M ∈ R2n×2n : M T JM = J } Ta c ng n i c c ma tr n c 2n×2k, k < n, l ma tr n symplectic n u M T J2nM = J2k v k hi u t p c c ma tr n n y l Sp(2k, 2n) N u A l m t ph n t c a P(2n), t n t i m t ma tr n symplectic M cho D M T AM =   D l m t ma tr n , D ng ch o v i c c ph n t d ng d1(A) ≤ d2(A) ≤ ≤ dn(A) C c s di(A), i = 1, , n, c g i l gi tr ri ng symplectic c a ma tr n A y th ng c g i l nh l Williamson nh l minimax Courant-Fischer-Weyl tr nh b y M c 2.1 l m t nh ng c ng c quan tr ng vi c ph n t ch c c gi tr ri ng c a c c ma tr n Hermitian M t k t qu t ng t nh v y c ng th a m n cho gi tr ri ng symplectic c a ma tr n i x ng x c nh d ng thu n ti n cho ng i c, ch ng t i ph t bi u n i dung v ch ng minh c a n nh l 2.6.1 (Minimax Courant-Fischer-Weyl cho gi tr ri ng symplectic) Cho A ∈ P(2n) Khi , v i ≤ j ≤ n d (A) = j d (A) = j max M⊂C2n dim M=j ⟨x, iJx⟩ , x∈M (x,Ax⟩=1 max ⟨x, iJx⟩ x∈M M⊂C2n dim M=2n−j+1 (x,Ax⟩=1 Ch ng minh T ch v h ng Euclid th ng th ng tr n Rm ho c Cm c k hi u b i ⟨·, ·⟩ Nh c l i r ng ch ng t i t ch v h ng Euclid kh ng gian ph c l n t nh li n h p theo bi n u ti n Cho A ∈ P (2n), ta nh ngh a m t t ch v h ng kh c tr n C2n b ng c ch t (x, y) = ⟨x, Ay⟩ Ta k hi u kh ng gian t ch v h ng t ng ng b i H t A# = iA−1J Khi (x, A#y) = i ⟨x, Jy⟩ = (A#x, y) Do , A# l to n t Hermitian tr n H C c gi tr ri ng symplectic c a A−1 c s p x p theo th t gi m d n l 1 ≥ ≥ ≥ d1(A) d2 (A) (A) dn C c gi tr ri ng (th ng th ng) c a A# l d1(A) ≥ d2(A) ≥ ≥ dn(A) ≥ −1 dn(A) p d ng nguy n l minimax tr nh b y ta c i u ph i ch ng minh ≥ ≥ −1 d1(A) M c 2.1 cho ma tr n A# , M t nh ng h qu quan tr ng c a nguy n l minimax i v i ma tr n Hermitian l nguy n t c an xen cho c c gi tr ri ng c a A v c c gi tr c a m t ma tr n ch nh i u c ng ng cho gi tr ri ng symplectic nh l 2.6.2 ( nh l xen k cho c c gi tr ri ng symplectic) Cho A ∈ P(2n) Ph n ho ch A b i A = [Aij ] m i Aij , i, j = 1, 2, l m t ma tr n c n×n M t ma tr n B ∈ P(2n−2) c g i l m t ma tr n s- ch nh c a A n u B = [Bij ], v m i Bij l m t ma tr n ch nh (n − 1) ×(n − 1) c a Aij c c ng v tr Aij v i i, j = 1, N i c ch kh c, B nh n c t A b ng c ch x a h ng v c t th i v i + c a A, i v i m t s ≤ i ≤ n Khi dj(A) ≤ dj(B) ≤ dj+2(A), ch ng ta p d ng quy ≤ j ≤ n − 1, c r ng dn+1(A) = ∞ Ch ng t i b qua ch ng minh nh l n y Gi tr ri ng symplectic c nh h nh th ng qua b i to n t i u d i y nh l 2.6.3 Cho A ∈ P(2n) Khi vittc 1≤k≤n k M ∈Sp(2k,2n) j=1 Σ dj(A) = trMT AM (2.21) Tr c ch ng minh, ta th o lu n th m m t s t nh ch t c a ma tr n symplectic Ta nh n th y, m i ph n t M c a Sp(2n) u c m t ph n t ch kh i M= A B , (2.22) C G A, B, C, G l c c ma tr n c n × n th a m n i u ki n AGT − BC T = I, ABT − BAT = 0, CGT − GCT = (2.23) Ch ng ta li n k t v i M m t ma tr n M˜ c c c ph n t ˜ij = m c cho b i (aij + b2ij + c2ij + g2ij ) Ma tr n n y c m t s t nh ch t p v c th vi c nghi n c u ma tr n symplectic c s d ng t t B y gi ch ng ta i n ch ng minh nh l 2.6.3 Ch ng minh M t ma tr n A c n × n c cho l ng u nhi n k p n u aij ≥ v i m i i, j , n Σ aij = v i t t c ≤ i ≤ n j=1 v n Σ aij = v i t t c ≤ j ≤ n i=1 M t ma tr n B v i c c ph n t kh ng m c g i l si u-ng u nhi n k p n u c m t ma tr n A ng u nhi n k p cho bij ≥ aij v i m i i, j L p lu n ti p theo ˜ cho th y r ng M l m t ma tr n si u-ng u nhi n k p Ta kh ng nh r ng, v i m i ma tr n M ∈ Sp(2n) ma tr n M˜ c t nh ch t Σ n ˜ mij ≥ 1, ≤ i ≤ n, j=1 v n Σ ˜ mij ≥ 1, ≤ j ≤ n (2.24) i=1 Th t v y, t i u ki n AG − BC T = I (2.23), ch ng ta c T n Σ 1= (aij gij − bij cij ) ≤ j=1 Σ n n (a + g ) + Σ + c2 ) (b2 j=1 n = Σ ˜ j=1 ij ij j=1 ij ij mij, v i ≤ i ≤ n p d ng l p lu n t ng t cho M T ch ng ta th y r ng b t ng th c th hai (2.24) c ng ng Ti p ta x t tr ng h p c bi t k = n Kh ng m t t nh t ng qu t, ch ng ta c th gi s r ng D0 A = D^ =    D G i M l m t ph n t b t k c a Sp(2n) v ph n t ch n th nh M= P R theo c c quy t c (2.22) v (2.23) Khi Q S trMT DM = tr(PT DP + QT DQ + RT DR + ST DS) n Σ n = di (A) Σ (p2 = Σ i j i= n j=1 n i=1 n Σ j=1 ij + q + r + s2i ) ij j Σ di (A) (2m˜ ij ) ≥2 di(A), i=1 s d ng (2.24) Khi M = I , hai ph i b ng Nh v y M ∈Sp(2n) i l ng t n c ng v b n tr i v b n Σ n trMT AM = dj(A) j=1 y l tr ng h p c bi t c a (2.21) k = n B y gi ta x t tr ng h p k ≤ n G i M l ma tr n c 2n × 2k th a mn i u ki n M T J2nM = J2k Ph n ho ch M th nh M =  P ′ Q′  ,  R′ S′  m i kh i l m t ma tr n c n × k Khi t ma tr n symplectic c 2n × 2n  L=  P ta c th t m cm  Q  R S m i kh i l m t ma tr n c n × n v k c t u t n c a P, Q, R, S l n l t l c c c t c a P ′ , Q′ , R′ , S′ Ma tr n M T AM l mt ma tr n s-ch nh c 2k × 2k c a LT AL C c gi tr ri ng symplectic c a LT AL l d1(A) ≤ d2(A) ≤ ≤ dn(A) Gi c c gi tr ri ng c a M T AM l d′ ≤2 d′ ≤ ≤k d′ B ng nguy n l xen k ch ng minh tr n, d′j ≥ dj(A) v i ≤ j ≤ k T tr ng h p c bi t ch ng ta c th th y r ng Σ k trM AM ≥ T d Cu i c ng, p d ng nguy n l xen k ′ j j=1 tr n, ta thu k Σ trM AM ≥ dj(A) T j=1 c y c ng ch nh l i u c n ch ng minh Ch 2.6.4 Do t p Sp(2k, 2n) kh ng b ch n n n phi m h m m c ti u (2.21) kh ng b ch n Do , kh ng gi ng nh b i to n gi tr ri ng ti u chu n, ta kh ng th suy k t qu t ng t nh ph t bi u nh l 2.6.3 thay b ng max v k gi tr ri ng nh nh t b i k gi tr ri ng l n nh t i m c c ti u c a b i to n t i u nh l 2.6.3 cho ta kh ng gian symplectic sinh b i c c v c t ri ng ng v i k gi tr ri ng symplectic nh nh t tm c k gi tr ri ng , ng i ta ph i ti p t c p d ng nh l Williamson cho ma tr n miM T AMmin , Mmin l m t i m c c ti u v a t n m c Chi ti t v vi c n y v nh ng t nh ch t c a b i to n t i u r ng bu c (2.21) c th c t m th y k t qu g n y, tham kh o t [7] K t lu n Ngo i tr vi c nh c l i m t s kh i ni m li n quan n b i to n gi tr ri ng v hai ph ng ph p ph bi n t nh gi tr ri ng, lu n v n tr nh b y m t s k t qu li n quan n c ch ti p c n t i u cho b i to n gi tr ri ng Tr c ti n, n m u v i nh l c i n CourantFischer-Weyl v n cho ph p bi u th m t gi tr ri ng b t k c a ma tr n i x ng th ng qua m t b i to n minimax Ti p n, c c k t qu li n quan n gi tr ri ng c a ma tr n hay c p ma tr n th ng qua t i thi u h a h m v t ma tr n c tr nh b y y c th coi l ph t bi u c a nh l Ky-Fan c i n cho ma tr n v nh ng bi n th kh c c a n L n l t, lu n v n tr nh b y t i thi u h a v t c a t s Rayleigh m r ng, x t t s Rayleigh v i r ng bu c c t tr c giao c ti p c n nh l b i to n t i u tr n a t p; thay cho t s Rayleigh nh l h m m c ti u, lu n v n c ng x t h m m c ti u Brockett v i m t l i th r r ng l nghi m c c ti u cho ta gi tr ri ng c n t m Cu i c ng, c ch ti p c n t i u c m r ng x t m t s b i to n gi tr kh ng ti u chu n nh b i to n gi tr ri ng kh ng x c nh, b i to n gi ri ng symplectic 37 T i li u tham kh o Ti ng Vi t [1] V V n T n (2015), V m t s thu t to n t nh gi tr ri ng c a ma tr n c l n, Lu n v n th c s To n h c, Tr ng i h c Khoa h c, i h c Th i Nguy n Ti ng Anh [2] P.-A Absil, R Mahony & R Sepulchre (2008), Optimization Algorithms on Matrix Manifolds, Princeton University Press [3] P Arbenz & D Kressner (2012), Lecture note on solving large scale eigen- value problems, D - MATH ETH Zu rich [4] R.W Brockett (1991), Dynamical systems that sort lists, diagonalize ma- trices, and solve linear programing problems Linear Algebra Appl., 146: 79-91 [5] G.H Golub & C.F Van Loan (2014), Matrix Computations, The Johns Hopkins University Press [6] J Nocedal & S.J Wright (2006), Numerical Optimization, Springer Sci- ence+Business Media [7] N.T Son, P.-A Absil, B Gao & T Stykel (2021), Symplectic eigen- value problem via trace minimization and Riemannian optimization arXiv:2101.02618 [math.OC] 38 39 [8] J.K Striko & K Veselic (1995), Trace minimization of symmetric pencils Linear Algebra Appl., 216: 139-158 ... 12 Gi i b i to n gi tr ri ng th ng qua t i u h a 14 2.1 nh l Courant-Fischer-Weyl 14 2.2 T m gi tr ri ng th ng qua t i u h a h m v t ma tr n 15 2.3 X p x gi... Fischer-Weyl kinh i n v x c nh gi tr ri ng c a ma tr n i x ng th ng qua b i to n minimax Sau , ch ng t i x t m nh t ng qu t h n v n li n quan n m t t p h p c c gi tr ri ng v c c v c t ri ng t ng ng... b i to n gi tr ri ng th ng qua t i u h a Trong ch ng n y ch ng t i c p n m t s ph ng ph p t i u t m gi tr ri ng, ch ng h n nh vi c x p x b ng t s Rayleigh, hay th ng qua h m v t ma tr n, hay d