Cap toan tu lien hop va bai toan gia tri ban dau 109851

Đồ án tốt nghiệp Mục lục Lời nói đầu. .2 Chơng Phơng pháp thang Banach toán giá trị ban đầu hệ phơng trình đạo hàm riêng cấp 1.1 Đặt vấn đề 1.2 Thang kh«ng gian Banach 1.2.1 Định nghĩa thang không gian Banach 1.2.2 To¸n tư Cauchy Riemann tổng quát thang không gian Banach 1.3 Cặp toán tử liên hợp .6 1.4 Thang kh«ng gian Banach hàm chỉnh hình 1.4.1 1.4.2 1.4.3 Xây dựng không gian Banach .7 Xây dựng thang không gian Banach Chøng minh c¸c bỉ ®Ị Nagumo 13 1.5 Giải toán giá trị ban đầu .16 1.6 Bài toán giá trị ban đầu biến thực 20 Chơng Các toán giá trị ban đầu hệ phơng trình đạo hàm riêng tuyến tính hƯ sè h»ng 23 2.1 C¸c trờng hợp đặc biệt .23 2.1.1 2.1.2 2.1.3 Bài toán 23 Bµi to¸n 28 Bài toán 31 2.2 C¸c trêng hợp tổng quát .35 2.2.1 2.2.2 Bài toán 4: 35 Bài toán 5: 40 Chơng Bài toán giá trị ban đầu hệ phơng trình đạo hàm riêng có hệ số hµm 45 3.1 Bµi to¸n 45 KÕt luËn 48 Tài liệu tham khảo .49 Sinh viªn thùc hiƯn : Hồ Sỹ Ngọc Lớp KSTN- Toán tin_K44 Đồ án tốt nghiệp Lời nói đầu Bi toán giá trị ban đầu đà toán giá trị ban đầu đà đợc đặt từ lâu đà có nhiều tác giả đa nhiều cách giải khác cho toán Một cách làm dùng nguyên lý ánh xạ co không gian Banach Ví dụ toán sau: du =f (t , u) dt (0.1) u(0 )=u0 (0.2) ®ã u(t , x) vectơ hàm, x=( x , , x n ) Dùng nguyên lý ánh xạ Co ta chứng minh đợc nghiệm toán tồn tại, đợc cho công thức xấp xỉ không gian Banach Tuy nhiên, toán tử f (t , u) vế phải (0.1) chứa toán tử u đạo hàm dạng x j , nghĩa phơng trình (0.1) trở thành: du ∂u ∂u =f (t , x,u , ,⋯, ) dt x1 xn (0.1a) nói chung toán tử không giới nội giải toán (0.1a), (0.2) theo phơng pháp Vì vậy, để giải toán (0.1a), (0.2) ta dùng nguyên lý ánh xạ Co thang Banach Đặc biệt, ta giải đợc toán (0.1a), (0.2) lớp thang Banach, để xác định lớp đó, ta đa vào khái niệm cặp toán tử liên hợp Đợc hớng dẫn Thầy giáo Lê Hùng Sơn, em đà thực đồ án tốt nghiệp đại học đề tài: Cặp toán tử liên hợp toán giá trị ban đầu Trong đồ án tốt nghiệp em nội dung gồm có chơng: Chơng 1: Phơng pháp thang Banach toán giá trị ban đầu hệ phơng trình đạo hàm riêng tuyến tính Trong chơng em trình bày định nghĩa thang không gian Banach, cặp toán tử liên hợp Sau em xây dựng thang không gian Banach thích hợp, dùng bổ đề Nagumo áp dụng nguyên lý ánh xạ co vào thang không gian Banach để giải toán Sinh viên thực : Hồ Sỹ Ngọc Lớp KSTN- Toán tin_K44 Đồ án tốt nghiệp Chơng 2: Bài toán giá trị ban đầu hệ phơng trình đạo hàm riêng tuyến tính hệ số Trong chơng em đa toán giá trị ban đầu dạng đặc biệt dạng tổng quát Sau tìm toán tử liên hợp với toán tử đà cho toán Cuối cùng, áp dụng định lý đà chứng minh chơng 1, em kết luận toán có tồn nghiệm lớp hàm ban đầu chúng thỏa mÃn số tính chất Chơng 3: Bài toán giá trị ban đầu phơng trình đạo hàm riêng tuyến tính có hệ số hàm Trong chơng này, em đa toán giá trị ban đầu có hệ số phụ thuộc hàm số Em tìm toán tử liên hợp với toán tử đà cho toán chứng minh đợc toán có tồn nghiệm lớp hàm ban đầu chúng thỏa mÃn số tính chất Cuối em xin chân thành cảm ơn thầy giáo, cô giáo trờng Đại Học Bách Khoa nói chung khoa Toán ứng dụng trờng Đại Học Bách Khoa nói riêng, đà trang bị cho em kiến thức quan trọng năm em học tập trờng để em hoàn thành đồ án tốt nghiệp Đặc biệt em xin cảm ơn thầy giáo hớng dẫn: GS.TSKH Lê Hùng Sơn, ngời đà tận tình híng dÉn em st thêi gian em thùc hiƯn đồ án Vì khả thời gian có hạn, đồ án chắn nhiều thiếu sót Em mong đợc góp ý thầy cô bạn Sinh viên thực : Hồ Sỹ Ngọc Lớp KSTN- Toán tin_K44 Đồ án tốt nghiệp Ch-ơng Phơng pháp thang Banach toán giá trị ban đầu hệ phơng trình đạo hàm riêng cấp 1.1 Đặt vấn đề Xét toán giá trị ban đầu sau: + Tìm hệ thống hàm u(t , x )={u1 (t , x ),⋯, um (t , x ) } , ®ã t∈R lµ n biÕn thêi gian, x={ x ,⋯, x n }∈Ω⊂R ®iỊu kiƯn sau: ∂u ∂u =F t , x ,u , ∂t ∂x ( lµ biÕn không gian thoả mÃn ) (1.1) u(0, x )=ϕ(x ) (1.2) víi ϕ ( x )= {ϕ ( x ),⋯, ϕ m( x ) } lµ hƯ thống m hàm cho trớc, F toán tử n vi phân tuyến tính phi tuyến, miền R Các ký hiệu (1.1) đợc hiểu nh sau: u u u1 = ,⋯, m ∂t ∂t ∂t ( ( F t , x,u, ∂ u ∂u ∂u = ,⋯, ∂ x ∂ x1 ∂ xn ) ( ) ∂u j ∂u ∂u = ,⋯, j , j =1,⋯, n ∂ x j ∂ x1 ∂ xn ∂u ∂u ∂u =F t , x ,u , , ⋯ , Fm t , x , u , ∂x ∂x ∂x ) ( ) ( ( ) ) Giả sử u(t , x) nghiệm toán (1.1) (1.2), ,F liên tục theo biến chúng, u(t , x) thoả mÃn phơng trình tích phân sau: t ( u(t , x )=ϕ( x )+∫ F u (τ , x ), ∂u ∂u (τ , x ), ⋯, (τ , x ) dτ ∂ x1 ∂ xn ) (1.3) Dễ dàng chứng minh đợc toán (1.1) (1.2) tơng đơng với phơng trình vi tích phân (1.3) Do đó, để giải toán giá trị ban đầu (1.1) (1.2) ta cần giải phơng trình vi phân (1.3) Để làm đợc điều này, ta cần phải xây dựng không gian hàm thích hợp toán tử ánh xạ không gian hàm nói vào cho nghiệm (1.3) điểm bất động toán tử Đà có nhiều tác giả Sinh viên thực : Hồ Sỹ Ngọc Lớp KSTN- Toán tin_K44 Đồ án tốt nghiệp xây dựng không gian Banach sử dụng nguyên lý điểm bất động toán tử không gian Banach, nhng trờng hợp toán (1.3) giải đợc cho lớp hạn chế toán tử vi phân F Nếu F chứa toán tử dạng u xj nói chung toán tử không giới néi (xem vÝ dơ cđa Lewy [3]), nªn trêng hợp dùng nguyên lý điểm bất động không gian Banach Để khắc phục điều đó, ta dùng lý thuyết thang Banach nguyên lý điểm bất động thang Banach để giải phơng trình vi phân (1.3) 1.2 Thang không gian Banach 1.2.1 Định nghĩa thang không gian Banach Định nghĩa 1.1: Họ không gian Banach { Bs } , 0< s< s0 ( s0 >0 ) đợc gọi thang không gian Banach thoả mÃn tính chất sau: Với cặp s , s' cho 0< s