Ước lượng tham số của đại lượng ngẫu nhiên...31.. Ước lượng các tham số của ĐLNNXét một ĐLNN X thể hiện trên một đám đông nào đó.. Các số đặc trưng củaX được gọi là các tham số lý thuyết
Ước lượng tham số của đại lượng ngẫu nhiên
Ước lượng bằng khoảng tin cậy
Để ước lượng tham số θ của ĐLNN X, trước hết từ đám đông ta lấy ra mẫu ngẫu nhiên W = (X1,X2, … , Xn) Tiếp đến ta xây dựng thống kê G = f(X1,X2, … ,
Để xác định quy luật phân phối xác suất của G không phụ thuộc vào tham số θ, ta cần cặp giá trị α1 và α2 thỏa mãn điều kiện α1 ≥ 0, α2 ≥ 0 và α1 + α2 = α với xác suất γ = 1 – α cho trước Dựa vào quy luật phân phối xác suất đã biết của G, ta có thể tìm các phân vị g1-α1 và gα2 sao cho P(G > g1-α1) = 1 – α1 và P(G > gα2) = α2.
Cuối cùng bằng cách biến đổi tương đương ta có: P(θ * 1 < θ < θ * 2) = 1 – α = γ
Trong đó: γ = 1 – α * được gọi là là độ tin cậy,
(θ * 1, θ * 2) được gọi là độ tin cậy,
I = θ * 2 – θ * 1 được gọi là độ dài của khoảng tin cậy.
Người ta thường chọn α1 = α2 = α/2 Nếu chọn α1 = 0 và α2 = α hoặc chọn α1
= α và α2 = 0 thì ta sẽ có khoảng tin cậy một phía (dùng để ước lượng giá trị tối thiểu hoặc giá trị tối đa của θ).
Ước lượng các tham số của ĐLNN
Chuyên đề thực tập cuối khóa
2.1 Ước lượng kỳ vọng toán của ĐLNN Để ước lượng kỳ vọng toỏn E(X) = à của ĐLNN X, từ đỏm đụng ta lấy mẫu W=(X1,X2,…,Xn) Từ mẫu này ta tìm được trung bình mẫu X và phương sai mẫu điều chỉnh S’² Ta sẽ ước lượng à thụng qua Xột cỏc trường hợp sau: a) ĐLNN X trên đám đông có phân phối chuẩn đã biết. b) ĐLNN X trên đám đông có phân phối chuẩn chưa biết. c) Chưa biết quy luật phân phối xác suất của X nhưng n>30.
Khi n lớn, có phân phối xấp xỉ chuẩn Mặt khác ta luôn có và
Ta xây dựng thống kê: U = ~ N(0,1)
Khoảng tin cậy đối xứng ( lấy α1 = α2 = α/2)
Với độ tin cậy γ = 1 – α cho trước ta tìm được phân vị chuẩn sao cho:
P(|U| < ) = 1 – α =γ Thay biểu thức của U vào công thức trên ta có:
P( – ε < à < + ε ) = 1 – α = γ, trong đó ε là sai số của ước lượng và γ = 1 – α là độ tin cậy Khoảng tin cậy ngẫu nhiên ( – ε; + ε) bao gồm giá trị của à, với xác suất γ = 1 – α đảm bảo rằng khoảng tin cậy này bao trùm đúng giá trị xác định của à.
Trong 1 lần lấy mẫu ta tìm được 1 giá trị cụ thể của Khi đó ta có 1 khoảng tin cậy cụ thể của à là ( – ε; + ε)
Chuyên đề thực tập cuối khóa
Ta có những bài toán sau:
Để giải bài toán 1, khi đã biết kích thước mẫu n và độ tin cậy γ = 1 – α, ta cần xác định sai số ε hoặc khoảng tin cậy Bằng cách tra bảng dựa trên giá trị γ, ta có thể tìm ra sai số ε và từ đó xác định khoảng tin cậy tương ứng.
Để xác định độ tin cậy γ khi biết kích thước mẫu n và sai số ε, trước tiên ta cần tìm giá trị α/2 từ bảng Sau khi có α/2, ta có thể tính độ tin cậy γ bằng công thức γ = 1 – α.
Từ công thức tính khoảng tin cậy, sai số ước lượng được xác định bằng một nửa độ dài của khoảng tin cậy Khi biết khoảng tin cậy đối xứng (a,b), chúng ta có thể tính sai số ước lượng theo công thức ε Bài toán 3 đặt ra yêu cầu: với độ tin cậy γ và sai số ε đã biết, cần xác định kích thước mẫu n Với γ = 1 – α, chúng ta có thể tính được kích thước mẫu tối thiểu cần thiết.
Chú ý 1 : Nếu chưa biết σ, nhưng kích thước mẫu lớn (n>30) Ta có thể thay σ bằng ước lượng không chệch tốt nhất của nó là s’
Chỳ ý 2 : Trong trường hợp biết à cần ước lượng biến đổi tương đương công thức ta có:
P( à - ε < < à + ε ) = 1 – α = γ Vậy khoảng tin cậy của là ( à - ε, à + ε ).
Khoảng tin cậy phải (lấy ; dùng để ước lượng giá trị tối thiểu của à)
Chuyên đề thực tập cuối khóa
Ta vẫn dùng thống kê
Với độ tin cậy γ = 1-α cho trước ta tìm được phân vị chuẩn sao cho:
P(U< ) = 1 – α = γ Thay vào biểu thức của U vào công thức trên ta có:
Như vậy, khoảng tin cậy phải đối với độ tin cậy γ = 1 – α của à là:
Khoảng tin cậy trỏi (lấy α2 = 0 ; α1 = α, dựng để ước lượng giỏ trị tối đa của à)
Ta cũng dùng thống kê :
Với độ tin cậy γ = 1 – α cho trước ta tìm được sao cho:
Ta cú khoảng tin cậy trỏi với độ tin cậy γ = 1 – α của à là:
2.3 Ước lượng phương sai của ĐLNN phân phối chuẩn.
Chuyên đề thực tập cuối khóa
Kiểm định giả thuyết thống kê
Một số khái niệm và định nghĩa
Giả thuyết thống kê, ký hiệu là Ho, đề cập đến quy luật phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên (ĐLNN) liên quan đến tham số đặc trưng hoặc tính độc lập của các ĐLNN.
Trong thống kê, mọi giả thuyết khác với giả thuyết H0 được gọi là đối thuyết, ký hiệu là H1 Cặp giả thuyết H0 và H1 tạo thành một cặp giả thuyết thống kê Khi đã chọn cặp giả thuyết H0 và H1, việc bác bỏ H0 đồng nghĩa với việc chấp nhận H1.
1.2 Tiêu chuẩn kiểm định Để kiểm đinh cặp giả thuyết thống kê Ho và H1,từ đám đông ta chọn mẫu ngẫu nhiên:W=(X1,…,Xn).dựa vào mẫu trên ta xây dưng thống kê
Một số tham số liên quan đến giả thuyết Ho đóng vai trò quan trọng trong việc xác định quy luật phân phối xác suất của thống kê G Khi giả thuyết Ho đúng, thống kê G sẽ có phân phối xác suất hoàn toàn xác định, và tại thời điểm đó, thống kê G được gọi là tiêu chuẩn kiểm định.
1.3 Miền bác bỏ Để xây dựng miền bác bỏ ta sử dụng nguyên lý xác suất nhỏ:Nếu một biến cố có xác suất nhỏ ta có thể coi nó không xảy ra trong một lần thực hiện phép thử.
Biết quy luật phân phối xác suất của G, ta có thể xác định miền Wα, được gọi là miền bác bỏ, với một số α nhỏ cho trước Nếu giả thuyết Ho đúng, xác suất để G nhận giá trị thuộc miền Wα sẽ bằng α.
Do α khá nhỏ theo nguyên lý xác suất, chúng ta có thể xem biến cố (G Wα/Ho) không xảy ra trong một lần thực hiện phép thử Vì vậy, từ một mẫu cụ thể, ta có thể rút ra những kết luận đáng tin cậy về hiện tượng này.
Chuyên đề thực tập cuối khóa w=(x1, , xn) ta tìm được giá trị thực nghiệm mà
(Nghĩa là vừa thực hiện phếp thử thấy biến cố (G Wα/Ho) xảy ra)ta có cơ sở bác bỏ giả thuyết Ho.
Kí hiêu là miền bù của Wα, và do α nhỏ, 1-α gần 1 Theo nguyên lý xác suất lớn, nếu một biến cố có xác suất gần 1, nó có thể coi là xảy ra trong một lần thử nghiệm Nếu trong một lần lấy mẫu ta quan sát thấy điều này, giả thuyết Ho trở nên hợp lý và chưa có cơ sở để bác bỏ.
Ho Vì vậy ta có quy tắc kiểm định sau:
Từ đám đông ta lấy ra một mẫu cụ thể kích thước n: w=(x1,…,xn) và tính
Nếu thì bác bỏ Ho chấp nhận H1
Nếu thì chưa có cơ sở bác bỏ Ho.
Theo quy tắc kiểm định trên ta có thể mắc hai loại sai lầm như sau:
Sai lầm loại một xảy ra khi chúng ta bác bỏ giả thuyết Ho khi thực tế nó đúng Xác suất mắc sai lầm loại một được ký hiệu bằng α, và giá trị α này được gọi là mức ý nghĩa.
Sai lầm loai hai là sai lầm chấp nhận Ho khi chính nó sai.Nếu ký hiệu xác suất mắc sai lầm loại hai là ò thỡ ta cú.
Các trường hợp kiểm định
2.1.Kiểm định giả thuyết về kỳ vọng toán của một ĐLNN
Khi nghiên cứu một dấu hiệu X trong một đám đông, ta có các ký hiệu E(X) = à và Var(X) = σ², trong đó à là giá trị chưa biết Từ một cơ sở dữ liệu nào đó, người ta xác định à = à0, nhưng có sự nghi ngờ về giá trị này Để kiểm tra giả thuyết H0: à = à0, ta cần thiết lập mức ý nghĩa α cho trước.
Chuyên đề thực tập cuối khóa
Từ đám đông, ta lấy mẫu W = ( ,……, ) và tính các đặc trưng mẫu S’2 Đối với ĐLNN X trên đám đông có phân phối chuẩn đã biết, ta áp dụng các phương pháp thống kê phù hợp Trong trường hợp ĐLNN X trên đám đông có phân phối chuẩn chưa biết, cần sử dụng các kỹ thuật ước lượng khác Cuối cùng, khi quy luật phân phối xác suất của X chưa biết nhưng n > 30, ta có thể áp dụng định lý giới hạn trung tâm để phân tích.
Khi n lớn, có phân phối xấp xỉ chuẩn Mặt khác ta luôn có và
* Xây dựng tiêu chuẩn kiểm định (XDTCKĐ): U Nếu H0 đúng thì U~N(0,1) Xét những bài toán cụ thể sau:
Với α cho trước ta có thể tìm được sao cho P(|U|> ) = α Ta có miền bác bỏ:
Chuyên đề thực tập cuối khóa trong đó: Bài toán 2 :
Với α cho trước, ta có thể tìm được sao cho P(U > ) = α Từ đó ta có miền bác bỏ:
Với α cho trước ta có thể tìm được phân vị chuẩn sao cho P(U< - ) = α Do đó ta có miền bác bỏ:
2.2.Kiểm định giả thuyết về tỉ lệ của đám đông.
Giả sử trong một đám đông, tỷ lệ phần tử mang dấu hiệu A là p, với p là xác suất chọn ngẫu nhiên một phần tử mang dấu hiệu A Nếu p được xác định là p₀ nhưng có sự nghi ngờ về điều này, ta cần kiểm định giả thuyết H₀: p = p₀ Để thực hiện kiểm định, chọn một mẫu có kích thước n từ đám đông, trong đó f là tỷ lệ phần tử mang dấu hiệu A trong mẫu Khi kích thước n đủ lớn, các phương pháp thống kê có thể được áp dụng để đánh giá tính chính xác của giả thuyết này.
Chuyên đề thực tập cuối khóa
Bài toán 1 yêu cầu tìm phân vị chuẩn sao cho P( > )= với mức ý nghĩa đã cho Do giá trị này khá nhỏ, theo nguyên lý xác suất nhỏ, miền bác bỏ được xác định là { : > }.
Tại một địa phương, tỷ lệ mắc bệnh gan đã được xác định là 34% Sau khi điều trị bằng một loại thuốc, 120 người được kiểm tra lại và phát hiện có 24 người vẫn mắc bệnh gan Với mức ý nghĩa 5%, câu hỏi đặt ra là liệu tỷ lệ mắc bệnh gan ở địa phương này có thay đổi hay không.
Gọi f là tỉ lệ người mắc bệnh gan trên mẫu
P là tỉ lệ người mắc bệnh gan trên đám đông
Vì n0 khá lớn nên với mức ý nghĩa =0,05 cần kiểm định:
Chuyên đề thực tập cuối khóa
Vói cho trước ta xác định được sao cho: P( > ) Vì khá bé nên theo nguyên lý xác suất nhỏ ta có
Vậy với mức ý nghĩa 5% thì tỉ lệ người mắc bệnh gan ở địa phương đó có thay đổi.
Bài toán 2: Với mức ý nghĩa cho trước ta tìm được phân vị chuẩn sao cho P(U> )= Lập luận tương tự bài toán 1 ta thu được miền bác bỏ
Vào ngày 10/10/2006, một bài báo chỉ ra rằng 90% doanh nghiệp tại Việt Nam chưa chú trọng đến thương mại điện tử Một số ý kiến cho rằng tỷ lệ này có thể thấp hơn thực tế Để xác minh, một nghiên cứu trên 120 doanh nghiệp cho thấy có đến 115 doanh nghiệp vẫn chưa quan tâm đến lĩnh vực này Với mức ý nghĩa 0,05, điều này khẳng định rằng tình trạng thiếu quan tâm đến thương mại điện tử vẫn là vấn đề đáng lo ngại trong cộng đồng doanh nghiệp Việt Nam.
Chuyên đề thực tập cuối khóa
Gọi X là số doanh nghiệp chưa quan tâm đến thương mại điện tử f là tỉ lệ số doanh nghiệp chưa quan tâm đến thương mại điện tử trên mẫu p là tỉ lệ số doanh nghiệp chưa quan tâm đến thương mại điện tử trên đám đông
Vì n0 khá lớn nên với mức ý nghĩa =0,05 cần kiểm định:
Vói cho trước ta xác định được sao cho: P(U> ) Vì khá bé nên theo nguyên lý xác suất nhỏ ta có
Chuyên đề thực tập cuối khóa
Vậy với mức ý nghĩa 0,05 thì ta nói rằng tỉ lệ các doanh nghiệp chưa quan tâm đến thương mại điện tử lớn hơn 90%
Bài toán 3: Với mức ý nghĩa cho trước ta tìm được phân vị chuẩn sao cho P(U