Trang 1 NHTHO.WORDPRESS.COM 2019-2020Bài giảng mụn Giải tớch hàm nhiều biến Trang 2 Đõy là bài giảng mụn Giải tớch hàm số nhiều biến dành cho sinh viờn năm thứ nhất của cỏc Khoa Cụng t
NHTHO.WORDPRESS.COM Bài giảng mơn Giải tích hàm nhiều biến TS NGUYỄN HỮU THỌ 2019-2020 BỘ MƠN TỐN – TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦY LỢI Bài giảng mơn Giải tích hàm nhiều biến TS Nguyễn Hữu Thọ 2019 -2020 Đây giảng mơn Giải tích hàm số nhiều biến dành cho sinh viên năm thứ Khoa Cơng trình, Khoa Công nghệ thông tin số ngành khác Trường đại học thủy lợi Giáo trình Giải tích hàm nhiều biến (Lưu hành nội bộ) Sách dịch, Bộ Mơn Tốn Trường Đại học Thủy Lợi biên dịch (đã chỉnh lý lần thứ năm 2010) CÁCH ĐÁNH GIÁ ĐIỂM Điểm trình: chiếm 40% + Điểm chuyên cần + Điểm tích cực + Điểm Kiểm tra kỳ (1 KT 50 phút) Điểm kiểm tra cuối kỳ: chiếm 60% Điểm học phần = ĐQT + ĐThi nhtho.wordpress.com Bài giảng môn Giải tích hàm nhiều biến TS Nguyễn Hữu Thọ 2019 -2020 LỊCH TRÌNH GIẢNG DẠY (SYLLABUS) Mơn học : Giải tích hàm nhiều biến Mỗi tuần: tiết Lý thuyết + tiết Bài tập Buổi Nội dung giảng Số tiết Thông báo đề cương môn học, cách cho điểm trình, lịch kiểm tra $1 Hệ tọa độ không gian ba chiều Mặt cong + Hệ tọa độ véc tơ không gian ba chiều (18.1) + Đường thẳng mặt phẳng (18.4) + Các mặt cong khơng gian ba chiều: mặt trụ, mặt trịn xoay, mặt bậc không suy biến (nhấn mạnh parabol eliptic, nón) (16.5-16.6) Bài tập $1 $2 Đạo hàm riêng + Hàm số nhiều biến, miền xác định, đường mức, mặt mức (19.1) + Đạo hàm riêng cấp một, đạo hàm riêng cấp (19.2) + Mặt phẳng tiếp xúc mặt cong (19.3) Bài tập $2 $3 Đạo hàm có hướng, đạo hàm hàm hợp, đạo hàm hàm ẩn + Số gia vi phân hàm hai biến Bổ đề (19.4) + Khái niệm, công thức đạo hàm theo hướng (19.5) + Gradient ứng dụng hình học (tiếp diện, pháp tuyến với mặt cong) Bài tập $3 $4 Đạo hàm hàm hợp Giới thiệu phương trình đạo hàm riêng + Quy tắc dây chuyền (19.6) + Đạo hàm hàm ẩn (19.10) + Giới thiệu phương trình truyền sóng, phương trình truyền nhiệt, phương trình Laplace Poison (19.9): luyện tập tính đạo hàm riêng Bài tập $4 $5 Bài toán giá trị cực đại cực tiểu (19.7) + Khái niệm cực đại, cực tiểu hàm số + Điều kiện cần hàm hai biến có cực trị + Điều kiện đủ hàm hai biến có cực trị + Ứng dụng cực trị tự hàm hai biến toán thực tế Bài tập $5 nhtho.wordpress.com Bài giảng mơn Giải tích hàm nhiều biến Buổi TS Nguyễn Hữu Thọ Nội dung giảng Số tiết $6 Cực trị có điều kiện (19.8) + Khái niệm cực trị có điều kiện phương pháp nhân tử lagrange + Điều kiện đủ theo tiêu chuẩn vi phân toàn phần cấp hai Bài tập $6 10 11 2019 -2020 $7 Tích phân bội hai + Tính thể tích tích phân lặp (20.1) + Khái niệm tích phân bội hai (20.2) + Cách tính tích phân bội hai theo miền thẳng đứng nằm ngang đơn giản Đổi thứ tự lấy tích phân (20.2) + Giới thiệu cơng thức: Các ứng dụng vật lý tích phân bội hai (20.3) Bài tập $7 Kiểm tra kỳ $8 Tích phân bội hai tọa độ cực + Đổi biến tích phân bội + Đổi biến sang toạ độ cực (20.4) Bài tập $8 $9 Tích phân bội ba (20.5) + Khái niệm tích phân bội ba + Cách tính tích phân bội ba + Vẽ miền chọn cận tính tích phân bội ba Bài tập $9 $10 Đổi biến tích phân bội ba + Hệ toạ độ trụ, hệ toạ độ cầu (18.7) + Đổi biến sang toạ độ trụ (20.6) + Đổi biến sang toạ độ cầu (20.7) + Ứng dụng tích phân bội ba: thể tích Bài tập $10 12 $11 Tích phân đường mặt phẳng + Lý thuyết trường: grad, dive, curl ý nghĩa vật lý + Bài tốn tính cơng lực biến đổi khái niệm tích phân đường (21.1) + Cách tính tích phân đường 13 Bài tập $11 nhtho.wordpress.com Bài giảng mơn Giải tích hàm nhiều biến Buổi 14 15 TS Nguyễn Hữu Thọ Nội dung giảng 2019 -2020 Số tiết $12 Định lý Green (21.3) + Định lý Green + Bốn mệnh đề tương đương + Trường bảo tồn khơng phụ thuộc vào đường (21.2) Bài tập $12 $13 Tích phân mặt định lý phân nhánh (A22, trang 249) + Khái niệm tích phân mặt + Định lý phân nhánh + Diện tích mặt cong (20.8) Bài tập $13 $14 Tổng kết môn học Đọc điểm q trình nhtho.wordpress.com Bài giảng mơn Giải tích hàm nhiều biến TS Nguyễn Hữu Thọ 2019 -2020 Bài số HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG ℝ MỘT SỐ MẶT CONG TRONG ℝ I Giải tích véc tơ Nhắc lại tham số đường cong x = f (t ) Dạng: (1) y = g (t ) Trong toán Vật lý ta thường xét chuyển động điểm t hiểu thời gian đo từ thời điểm mà chuyển động bắt đầu Điểm P = (x , y ) = (x (t ), y (t )) vạch đường cong t biến thiên: t1 ≤ t ≤ t2 Nhận xét: Phương trình tham số mơ tả + Quỹ đạo mà điểm di chuyển + Hướng chuyển động + vị trí quỹ tích nhiều giá trị t , Với t ta xác định vị trí điểm P (x (t ), y (t )) Có thể có nhiều cách tham số hóa đường cong Hàm véc tơ biến x = x (t ) a Định nghĩa : Xét đường cong có phương trình tham số: y = y(t ) Mét ®iĨm P = (x , y ) chun ®éng däc theo đờng cong mặt phẳng xy, thời điểm t xác định vị trí điểm P = (x , y ) = (x (t ), y (t )) Nh véc tơ định vị điểm chuyển động miêu tả xác chuyển động Khi ®ã: với t cho tương ứng với véc tơ R(t ) = OP = x (t )i+y(t ) j ta nói rng ta cú hàm véc tơ t viÕt R = R(t ) b Giíi h¹n TÝnh liªn tơc (Tự đọc) nhtho.wordpress.com Bài giảng mơn Giải tích hàm nhiều biến Ta nãi r»ng TS Nguyễn Hữu Thọ lim R (t ) = R 2019 -2020 vµ chØ ∀ ε > 0, ∃δ > : ∀t, < t − t0 < δ th× ta cã t →t0 (Chó ý: A-B = (a1 − b1 )2 + (a − b2 )2 R(t ) − R < ε Nh− vËy: nÕu R(t ) = x (t )i + y(t ) j; R = x 0i + y0 j ; ®ã lim x (t ) = x t →t lim R (t ) = R (x ; y ) ⇔ t →t0 lim y(t ) = y t →t0 R(t) đợc nói liên tục t = t0 lim R (t ) = R (t0 ) t →t0 cã nghÜa lµ R(t ) − R(t ) cã thể có giá trị nhỏ tuỳ ý lấy t ®đ gÇn t Nh− vËy : R(t ) = x (t )i + y(t ) j; R(t ) = x (t )i + y(t )j x (t ) R (t ) liªn tơc nÕu liên tục, tức y (t ) lim x (t ) = x (t ) t →t lim R (t ) = R ⇔ t →t0 lim y(t ) = y(t ) t t0 c Đạo hàm hàm véc tơ R = R(t) Cho hàm véc tơ : R(t ) = x (t )i + y (t ) j , t biÕn thiªn tíi t + ∆t , thay đổi R Xét giới hạn : ∆R = R(t +∆t ) - R(t ) = x (t + ∆t ) - x (t ) i + y(t + ∆t ) - y(t ) j ∆R R(t + ∆t ) − R(t ) lim = lim ∆t → ∆t ∆t → ∆t nÕu giíi h¹n tồn ta nói hàm véc tơ R(t ) có đạo hàm (khả vi) theo t , giá trị giới hạn đạo dR dt dR dx dy = i+ j dt dt dt t−¬ng tù đạo hàm cấp hai : R"(t ) Nhận xét : Hàm véc tơ R(t ) khả vi hàm vô hớng x (t ) y (t ) hàm khả vi hµm cÊp cđa R(t ) , ký hiƯu : R '(t ), vµ R '(t ) = ((x '(t ), y '(t )) VÝ dơ: XÐt hµm vÐc t¬ R(t ) = (2t + t + 1)i + (t + t ) j , ®ã ta cã R'(t ) = (4t + 1)i + (3t + 1) j Các quy tắc tính đạo hµm: Cho R1(t ), R (t ), R(t ) hàm véc tơ khả vi, u (t ) hàm vô hớng (hàm số) khả vi Khi : nhtho.wordpress.com Bài giảng mơn Giải tích hàm nhiều biến TS Nguyễn Hữu Thọ 1) dR dR d R1 ± R ) = ± ( dt dt dt 2) d dR du (uR) = u +R dt dt dt 3) NÕu R = R(u ), u = u(t ) , ta sÏ cã 2019 -2020 dR dR du = ⋅ dt du dt 4) NÕu R(t ) = R * véc tơ (không thay ®ỉi t thay ®ỉi) th× dR d R * = = O (vÐc t¬ O) dt dt ý nghÜa hình học : Xét hàm véc tơ R(t ) , điểm cuối P biểu diễn R(t ) vạch đờng cong Khi đạo hàm dR(t ) véc tơ tiếp xúc với dt đờng cong điểm P R(t ) , độ dài véc tơ là: dx dy dR dx + dy ds = + = = dt dt dt dt dt Nh− vËy : VÐc t¬ dR dt có hớng hớng chuyển động, độ dài tốc độ chuyển động Ví dụ : Cho R(t ) (4 cos 2t )i (3 sin 2t ) j , hÃy tìm quỹ đạo chuyển động điểm cuối P biểu diễn hàm véc tơ đó, tính vận tốc v điểm ®−êng ®ã v lµ lín nhÊt vµ nhá nhÊt x cos 2t Giải + Phơng trình tham sè ®−êng ellipse y sin 2t x y2 + =1 16 §iĨm P (x ; y ) chuyển động ellip ngợc chiều kim ®ång hå + VËn tèc lµ : v + Tốc độ là: v = v = (64 sin2 2t + 36 cos2 2t )1/2 = (28 sin2 2t + 36)1/2 nhtho.wordpress.com Bài giảng mơn Giải tích hàm nhiều biến TS Nguyễn Hữu Thọ 2019 -2020 + Tốc độ nhỏ sin 2t , đạt đợc P hai đầu trục phụ + Tốc độ lớn sin 2t ®ã cos 2t nghĩa P hai đầu trục Vận tốc v điểm chuyển động tốc độ biến thiên vÞ trÝ cđa nã, gia dv d R = tốc a là tốc độ biến thiên cđa vËn tèc cđa ®iĨm : a = dt dt Nếu điểm dịch chuyển P vị trí chuyển động học vật có khối lợng m chuyển động dới tác động lực F, theo Định luật II Newton F ma Nh− vËy: lùc vµ gia tốc có hớng Cả F a hớng tới bề lõm đờng cong(trừ số trờng hợp ngoại lệ F a tiếp xúc với ®−êng cong) VÝ dô1.(tiÕp tôc) Ta cã gia tèc a cđa vËt chun ®éng a= dv = (−16 cos 2t )i + (−12 sin 2t ) j dt a = −4 (4 cos 2t ) i + (3 sin 2t ) j = −4R hay lµ : Nh vậy: Gia tốc luôn hớng đến tâm ®−êng ellipse VÝ dơ 2: (Chun ®éng trßn ®Ịu) Mét vật có khối lợng m chuyển động ngợc chiều kim ®ång hå däc ®−êng trßn x y r 2 với tốc độ không đổi v HÃy tính gia tốc vật lực cần thiết để tạo chuyển động Giả: + Đờng cong quỹ đạo viết nh sau R (rcos)i (rsin) j + V× s r ta cã : v = + Do ®ã ds dθ =r dt dt d v , nªn dt r v= vµ : a= d R dR d θ v = = (−r sin θ ) i + (r cos θ ) j dt d θ dt r = v (− sin θ ) i + (cos θ ) j d v dv d θ v v2 = = v (− cos θ)i + (− sin θ) j = − (cos θ)i + (sin θ) j dt d dt r r Bằng cách nhân vµ chia cho r ta cã a = - (v2/r2)R Nh vậy,vectơ gia tốc a hớng tâm đờng tròn có độ lớn a = v2 v2 R = r r2 nhtho.wordpress.com Bài giảng môn Giải tích hàm nhiều biến TS Nguyễn Hữu Thọ 2019 -2020 Theo định luật Newton, lực F cần thiết để tạo chuyển động phải hớng tâm đờng tròn : Lực đợc gọi lực hớng tâm d) Véc tơ tiếp tuyến đơn vị Xét tham số s độ dài cung đo dọc theo đờng cong từ điểm cố định P0 đến P Khi R R(s ) véc tơ T đợc định nghÜa: T= dR ∆R = lim ∆ t → ds s véc tơ véc tơ tiếp tuyến đơn vị đờng cong P Ta có : v= dR dR ds ds = =T dt ds dt dt hớng v đợc T độ lớn ds dt e) Véc tơ pháp tuyến đơn vị Xét góc (góc tạo chiều dơng trục Ox tiếp tuyến P ) ta có véc tơ tiếp tuyến đơn vị T = i cos φ + j sin φ dT = N: dφ → dT = - i sin φ + j cos d véc tơ pháp tuyến đơn vị điểm P f) Độ cong Vì hớng đờng cong đợc quy định góc từ trục Ox đến tiếp tuyến, ta xét góc nh hàm số độ dài cung s định nghĩa độ cong k tốc độ biến thiên φ theo s : k= dφ ds + k có nghĩa tăng s tăng đờng cong dịch chuyển xa sang bên trái đờng tiếp tuyến theo hớng dơng + k nghĩa chuyển xa sang bên phải tiếp tuyến Nhận xét : Đờng thẳng có độ cong b»ng kh«ng nhtho.wordpress.com Bài giảng mơn Giải tích hàm nhiều biến TS Nguyễn Hữu Thọ ∇f = 2019 -2020 ∂f ∂f ∂f i+ j+ k ∂x ∂y ∂z b Toán tử div Nếu F(x, y, z ) = L(x, y, z )i + M (x, y, z ) j + N (x, y, z )k trường vectơ, thành phần L(x, y, y ), M (x, y, z ), N (x, y, z ) có đạo hàm riêng Khi độ phân nhánh F divF = ∇.F = ∂L ∂M ∂N + + ∂x ∂y ∂z c Curl: Tích có hướng ∇ F : ∇×F = i j ∂ ∂x L ∂ ∂y M k ∂N ∂M ∂L ∂N ∂M ∂L ∂ i + j + k = − − − ∂y ∂z ∂x ∂z ∂z ∂x ∂y N đại lượng vectơ gọi vectơ xoáy F thường ký hiệu curlF, nên ta có ∂N ∂M ∂L ∂N ∂M ∂L i + j + k curlF = ∇ × F = − − − ∂y ∂z ∂x ∂z ∂x ∂y Ví dụ 1: Tính dive vectơ xoáy trường vectơ F = 2x 2yi + 3xz j + xy 2z k Giải : + divF = ∇.F = ∂ ∂ ∂ 2x 2y + 3xz + xy 2z = 4xy + 2xy 2z ∂x ∂y ∂z ( i ∂ + curlF = ∇ × F = ∂x 2x 2y ) j ∂ ∂y 3xz ( ) ( ) k ∂ = (2xyz + 9xz )i + (−y 2z ) j + (3z − 2x )k ∂z xy 2z Ý nghĩa Vật lý + Nếu trường véc tơ: F(x, y, z ) = L(x, y, z )i + M (x, y, z ) j + N (x, y, z )k mô tả trường vận tốc dòng chảy ℝ , chất điểm dịng chảy gần điểm (x, y, z ) xoáy theo trục có hướng hướng CurlF + Nếu CurlF = ta có dịng khơng xốy Một số tính chất: i) Nếu f (x, y, z ) hàm số biến có đạo hàm riêng lên tục đến cấp ta có: Curl(∇f ) = ii) Xét trường véc tơ F(x, y, z ) = L(x, y, z )i + M (x, y, z ) j + N (x, y, z )k ℝ , có thành phần hàm số L(x , y, y ), M (x, y, z ), N (x, y, z ) có ĐHR liên tục Khi F(x, y, z ) gọi trường bảo tồn CurlF = iii) Ta ln có div(curlF) = 106 nhtho.wordpress.com Bài giảng môn Giải tích hàm nhiều biến TS Nguyễn Hữu Thọ 2019 -2020 Ví dụ 2: Chứng minh trường véc tơ sau khơng bảo toàn: F(x , y, z ) = xz i + xyz j - y k Giải: + Ta có L = xz, M = xyz , N = −y i ∂ + curlF = ∇ × F = ∂x xz j k ∂ ∂ = −y(2 + x )i + xj + yzk ≠ ∂y ∂z xyz −y + Do F(x , y, z ) = xz i + xyz j - y k khơng trường bảo tồn Ví dụ 3: a) CMR trường véc tơ F(x , y, z ) = y 2z i + 2xyz j + 3xy 2z k trường bảo tồn b) Khi tìm hàm số w = f (x , y, z ) cho F = ∇f Hàm w = f (x , y, z ) gọi hàm trường véc tơ bảo tồn F Giải: a) + Ta có L = y 2z , M = 2xyz , N = 3xy 2z nên: curlF = ∇ × F = i j ∂ ∂x L ∂ ∂y M k ∂ = ∂z N = (6xyz − 6xyz )i − (3y 2z − 3y 2z ) j + (yz -yz )k=0 + Do F(x , y, z ) = y 2z i + 2xyz j + 3xy 2z k trường bảo tồn b) Vì F trường bảo toàn nên tồn hàm số w = f (x , y, z ) cho fx = L = y z f = M = 2xyz y fz = N = 3xy 2z (1) (2) (3) + Lấy tích phân hai vế (1) ta được: f (x , y, z ) = xy 2z + g(y, z ) (4) + Lấy đạo hàm hai vế (4) theo y ta có: fy = 2xyz + gy (y, z ) (5) sau so sánh với (2) ta nhận gy (y, z ) = → g (y, z ) = h(z ) + Khi (4) trở thành f (x , y, z ) = xy 2z + h(z ) (4*) + Lấy đạo hàm hai vế (4*) theo z ta có: fz = 3xy 2z + h '(z ) (6) , so sánh với (3) suy h '(z ) = → h(z ) = C + Vậy nên: f (x , y, z ) = xy 2z + C , với C hàng số Định lý Stokes 107 nhtho.wordpress.com Bài giảng mơn Giải tích hàm nhiều biến TS Nguyễn Hữu Thọ 2019 -2020 a Đặt vấn đề: Định lý Stoke mở rộng Định lý Green không gian ba chiều Nhớ lại rằng: Định lý Green: Nếu (C) đường cong đóng, đơn, trơn mảnh, bao quanh miền R ℝ , M(x,y), N(x,y) liên tục có ĐHR liên tục dọc theo (C) R ∂N ∂M Mdx + Ndy = ∫C ∫∫ ∂x − ∂y dA R Vấn đề : Nếu (C) đường cong ghềnh kín biên mặt cong S R ta có nhận kết tương tự hay khơng? b Tích phân đường R : Cho trường véc tơ F(x, y, z ) = L(x, y, z )i + M (x, y, z ) j + N (x, y, z )k xác định miền R Giả sử (C) đường cong nằm miền xét xác định phương trình tham số hoá x = x (t ) y = y(t ) (*) Khi tích phân đường F dọc (C) định nghĩa : z = z (t ) ∫ F.dR = ∫ L.dx + Mdy + Ndz C C Cách tính: Tương tự tích phân đường R : Giả sử đường cong (C ) R tham số hóa (*) với t biến thiên từ t1 → t2 , đó: ∫ F.dR = ∫ Ldx + Mdy + Ndz = C C t2 = ∫ L(x (t ), y(t )z (t )).x '(t ) + M (x (t ), y(t ), z(t ))y '(t ) + N (x (t ), y(t ), z (t ))z '(t )dt t1 Nếu C đường cong kín tích phân đường viết là: ∫ FdR = ∫ Ldx + Mdy + Ndz C C Tích phân đo lượng chất lỏng chuyển qua xung quanh (C) gọi thông lượng F quanh (C) c Định lý Stokes : Nếu S mặt R với biên đường cong (C) kín , thơng lượng trường véc tơ F dọc theo (C) tích phân S tích vơ hướng véc tơ pháp tuyến đơn vị curlF : ∫ F.dR = ∫∫ (curl F).ndS C 108 S nhtho.wordpress.com Bài giảng mơn Giải tích hàm nhiều biến TS Nguyễn Hữu Thọ 2019 -2020 Chú ý: + Ở cần giả thiết S mặt định hướng với VTPT đơn vị tương ứng n định hướng (C) theo quy tắc ngón tay + VTPT đơn vị n cần phải liên tục + Trường véc tơ F cần liên tục; L, M, N cần phải có ĐHR liên tục, v.v Ví dụ 4: Nếu mặt S miền R phẳng mặt phẳng xy, n = k đó: (curlF).n = ∂∂Mx − ∂∂Ly Áp dụng Định lý Stoke: ∂M ∫ Ldx + Mdy = ∫∫ ∂x C − R ∂L dA ∂y Đây Định lí Green Như vậy, Định lý Green trường hợp đặc biệt Định lý Stokes Ví dụ 5: Tính tích phân đường: I = ∫ y z dx + 3xy z dy + 2xy zdz 2 C dọc theo đường đóng (C) với phương trình véc tơ R = a sin t.i + b cos t j + c cos t.k , ≤ t ≤ 2π , abc ≠ Giải Cách 1: Tính I cách áp dụng Stokes: + Tích phân thơng lượng xung quanh đường cong kín (C) trường véc tơ: F = y 3z 2i + 3xy 2z j + 2xy 3zk + Tính tốn dễ dàng thấy rằng: curlF=∇ × F=0 + Nếu S mặt bị chặn (C), từ Định lý Stokes cho I = Cách 2: Tính I trực tiếp: x = a sin t + P/trình tham số đường cong (C) là: y = b cos t , z = c cos t 2π + Do đó: I = ∫ (b )( ) t : → 2π ( )( ) cos3 t c cos2t (a cos t ) + (a sin t ) b cos2 t c cos2 t (−b sin t ) + ( ) +2 (a sin t ) b cos3 t (c cos t )(−c sin t ) dt 2π = ab 3c ∫ cos6 t − cos4 t sin2 t dt = ab 3c sin t cos5 t = 2π d Bốn mệnh đề tương đương: Xét trường véc tơ R : F(x, y, z ) = L(x, y, z )i + M (x, y, z ) j + N (x, y, z )k 109 nhtho.wordpress.com Bài giảng mơn Giải tích hàm nhiều biến TS Nguyễn Hữu Thọ 2019 -2020 xác định miền đơn liên R ⊂ R , đường cong (C ) nằm miền R Khi mệnh đề sau tương đương (a) ∫ FdR = đường cong đóng (C) nằm R C (b) ∫ F.dR khơng phụ thuộc vào đường lấy tích phân C (c) F trường bảo toàn (trường gradient), nghĩa là, F = ∇f với trường vô hướng f (d) curlF = 110 nhtho.wordpress.com Bài giảng mơn Giải tích hàm nhiều biến TS Nguyễn Hữu Thọ 2019 -2020 TỔNG KẾT MƠN GIẢI TÍCH HÀM NHIỀU BIẾN I Đạo hàm Đạo hàm riêng cấp 1, cấp hai hàm nhiều biến (2, biến) Vi phân toàn phần cấp 1, cấp 2: + Cho w = f (x, y, z ) hàm số có ĐHR cấp liên tục, hàm số khả vi vi phân toàn phần cấp hàm số: dw = fxdx + fydy + fzdz + Nếu w = f (x, y, z ) có ĐHR liên tục đến cấp 2, ta có vi phân toàn phần cấp hai hàm số: d 2w = fxx d 2x + fxydxdy + fyyd 2y Đạo hàm (cấp 1) hàm hợp: a) Trường hợp 1: Giả sử w = f (x, y ) đó: x = g(t ) y = h(t ) Khi hàm hợp w = f g(t ), h(t ) = F (t ) hàm biến đạo hàm hàm hợp xác định : b) Trường hợp 2: dw ∂w dx ∂w dy = + dt ∂x dt ∂y dt x = x (t, u ) Nếu w = f (x, y) , y = y(t, u ) Khi w = f x (t, u ), y(t, u ) hàm phụ thuộc vào hai biến t, u đạo hàm riêng theo bién xác định bởi: ∂w ∂w ∂x ∂w ∂y = + ∂t ∂x ∂t ∂y ∂t ∂w ∂w ∂x ∂w ∂y = + ∂u ∂x ∂u ∂y ∂u Đạo hàm hàm ẩn Định lý: Xét phương trình F (x , y, w ) = c hàm F (x , y, w ) có đạo hàm riêng liên tục lân cận điểm (x , y , w ) giả sử F (x , y , w ) = c Fy (x , y , w ) ≠ Khi tồn lân cận U chứa (x , y ) cho tồn hàm khả vi w = f (x, y ) xác định U thỏa mãn w = f (x , y ) F x , y, f (x , y ) = c Hơn nữa, đạo hàm hàm số (ẩn) w = f (x, y) xác định từ công thức: F ∂w =− x ; ∂x Fw F ∂w =− y ∂y Fw Đạo hàm theo hướng Cho hàm số w = f (x, y, z ) , có ĐHR, điểm P(x, y, z ) véc tơ v đạo hàm hàm số theo hướng v điểm P(x, y, z ) xác định bởi: 111 nhtho.wordpress.com Bài giảng mơn Giải tích hàm nhiều biến TS Nguyễn Hữu Thọ 2019 -2020 df = (grad f ).u ds u véc tơ đơn vị hướng với v II Cực trị hàm hai biến Cực trị tự : Định lý: Nếu f (x, y ) có đạo hàm đến cấp hai liên tục lân cận điểm tới hạn (x , y ) 0 số D (gọi biệt số) xác định bởi: (x , y ) D = fxx (x , y ) fyy (x , y ) − fxy (x , y ) (2) i) Điểm cực đại D>0 fxx (x , y ) < ; ii) Điểm cực tiểu D>0 fxx (x , y ) > ; iii) Điểm yên ngựa D 0, ∀dx , dy z = f (x, y) đạt cực tiểu với điều kiện g(x, y ) = (x , y ) 112 nhtho.wordpress.com Bài giảng mơn Giải tích hàm nhiều biến TS Nguyễn Hữu Thọ 2019 -2020 Nếu d 2L(x , y ) < 0, ∀dx , dy z = f (x, y) đạt cực đại với điều kiện g(x, y) = (x , y ) + Hơn nữa: GTLN (hoặc GTNN) f (x, y ) điểm GTLN (hoặc GTNN) f (x , y ) với điều kiện g(x, y ) = Bài toán GTLN, GTNN miền đóng : Xét hàm số z = f (x, y ) xác định miền đóng D Tìm GTLN, GTNN hàm số ỷtên D Bước 1: + Tìm điểm tới hạn miền miền đóng D Bước 2: Tìm giá trị hàm số biên miền đóng D Bước 3: So sánh giá trị hàm số điểm tới hạn với giá trị hàm số biên suy ra: + GTLN hàm số miền D + GTNN hàm số miền D II Tích phâm bội hai Tính tích phân bội hai Một miền R gọi thẳng đứng đơn giản (có hai cạnh phương với Oy) miêu tả bất đẳng thức dạng a ≤ x ≤b, y1 (x ) ≤ y ≤ y2 (x ) (5) y = y1 (x ) y = y2 (x ) hàm số liên tục [a,b] Một miền gọi nằm ngang đơn giản (có hai cạnh phương với Ox) miêu tả bất đẳng thức dạng : c ≤ y ≤ d x 1(y ) ≤ x ≤ x (y ) (6) x = x 1(y ) x = x (y ) hàm số liên tục c, d Định lý Cho f (x , y ) hàm số liên tục R Nếu R miền thẳng đứng đơn giản cho (5), b y2 (x ) ∫∫ f (x, y )dA = ∫ ∫ f (x, y )dydx R 113 (7) a y1 (x ) nhtho.wordpress.com Bài giảng mơn Giải tích hàm nhiều biến TS Nguyễn Hữu Thọ 2019 -2020 R miền nằm ngang đơn giản cho (6), d x2 (y ) ∫∫ f (x, y )dA = ∫ ∫ f (x, y )dxdy (8) c x1 (y ) R Ứng dụng tích phân bội hai: a Tính diện tích miền phẳng : Xét miền phẳng, giới nội D, diịen tíc D : dt(D ) = ∫∫ dA D b Tính thể tích miền trụ cong : Miền trụ cong R xác định được: + Mặt cong đáy (S ) : w = f (x, y ) + Đáy miền giới nội D (chính hình chiếu (S ) lên Oxy ) + Mặt bên mặt trụ có đường sinh phương trục Oz Khi thể tích R : tt(R) = ∫∫ f (x , y )dA D c Tình diện tích mặt cong: Xét mặt cong S xác định phương trình : z = f (x , y ), (x , y ) ∈ R fx (x , y ) fy (x , y ) hàm liên tục + R miền đóng giới nội mặt phẳng xOy hình chiếu mặt cong S mặt phẳng xOy Khi tích mặt cong S là: dt(S ) = ∫∫ fx + fy + 1.dA R d Ứng dụng Vật lý Tích phân bội hai tọa độ cực + Cách xác định cận miền phẳng tọa độ cực: { D : r1 (θ ) ≤ r ≤ r2 (θ ), α ≤ θ ≤ β } + Tích phân : ∫∫ f (.,.)dA = ∫∫ f (r cos θ, r sin θ )rdrd θ R R β r2 (θ ) = ∫ ∫ f (r cos θ, r sin θ )rdrd θ α r1 (θ ) IV Tích phân đường mặt phẳng Cách tính tích phân đường: ∫ F.dR = ∫ M (x, y )dx + N (x, y )dy C 114 C nhtho.wordpress.com Bài giảng môn Giải tích hàm nhiều biến TS Nguyễn Hữu Thọ 2019 -2020 Trường hợp 1: Đường cong C phần đồ thị hàm số y = f (x ), với điểm đầu A điểm cuối B, x biến thiên tương ứng từ a = x A tới b = x B ,thì cơng thức tính tích phân đường là: b ∫ M (x , y )dx + N (x , y )dy = C ∫ M (x, y(x ))dx + N (x, y(x ))y '(x )dx a b = ∫ M (x, y(x )) + N (x, y(x ))y '(x )dx a Trường hợp 2: Đường cong C phần đồ thị hàm số x = g(y ), với điểm đầu A điểm cuối B, y biến thiên tương ứng từ c = yA tới d = yB cơng thức là: d ∫ M (x, y )dx + N (x, y )dy = ∫ M (x (y ), y)x '(y )dy + N (x (y ), y )dy C c d = ∫ M (x (y ), y )x '(y ) + N (x (y ), y )dy c x = x (t ) , với t biến thiên từ t1 đến t2, ta có: Trường hợp 3: Đường cong C xác định y = y(t ) t2 ∫ M (x, y )dx + N (x, y )dy = ∫ M (x (t ), y(t )) x '(t ) + N (x (t ), y(t ))y '(t ) dt C t1 Nếu đường cong kín ta tính theo Định lý Green Định lý Green: Nếu C đường cong đóng, đơn, trơn mảnh, bao quanh miền R ℝ , M(x,y), N(x,y) liên tục có đạo hàm riêng liên tục dọc theo C R ∂N ∂M dA Mdx + Ndy =∫∫ − ∂x C ∂y R ∫ Trường bảo toàn hàm vị a Khái niệm: Trường véc tơ F gọi gradient trường vô hướng f (gọi tắt trường gradient), nếu: ∂f ∂f F = ∇f = i+ j ∂x ∂y Khi trường véc tơ F gọi Trường bảo tồn, hàm vơ hướng f gọi Hàm vị (hàm thế) 115 nhtho.wordpress.com Bài giảng môn Giải tích hàm nhiều biến TS Nguyễn Hữu Thọ 2019 -2020 b Hàm vị Nếu trường véc tơ F = M (x, y )i + N (x, y ) j bảo toàn, tức F = ∆f với hàm f(x,y) - hay nói cách khác: tồn hàm số f (x, y ) cho: ∂f = M (x , y ) (1) ∂x ∂f N ( x , y ) (2) = ∂y Khi ta tìm hàm vị f(x,y) cách nào? Giải quyết: Bước 1: Ta tích phân hai vế hai phương trình (1) (2), chắng hạn tích phân hai vế (1) suy f (x , y ) = ∫ M (x, y )dx + g(y ) (3) Bước 2: Sau lấy đại hàm hai vế hàm số (3) vừa tìm theo biến y ta nhận được: ∂f =? ∂y Bước 3: Từ (2) (4) tìm g(y ) = ? Bước 4: Kết hợp lại ta có kết (4) V Tích phân mặt Tích phân bội ba Định lý Stokes Chú ý: Cách định hướng mặt cong : xem lại Bài giảng số 13 Tính thơng lượng trường véc tơ qua mặt cong đóng: + Tính thơng qua cách tính tích phân mặt Cách tính tích phân mặt Ta đưa tính theo tích phân bội hai Xét tích phân: I = ∫∫ F.ndS =∫∫ L(x, y, z )dydz + M (x, y, z )dzdx + N (x, y, z )dxdy S = ∫∫ S L(x , y, z )dydz +∫∫ M (x , y, z )dzdx +∫∫ N (x , y, z )dxdy S Tính: I = S ∫∫ N (x, y, z )dxdy : S giả sử mặt ( S ) có phương trình z = f (x, y) , hình chiếu ( S ) lên S Oxy D1 - Nếu VTPT tương ứng ( S ) tạo với chiều dương Oz góc nhọn thì: I1 = ∫∫ N (x, y, z )dxdy = ∫∫ N (x, y, z )dxdy S D1 - Nếu VTPT tương ứng S tạo với chiều dương Oz góc tù thì: I1 = ∫∫ N (x, y, z )dxdy = −∫∫ N (x, y, z )dxdy S 116 D1 nhtho.wordpress.com Bài giảng mơn Giải tích hàm nhiều biến Tính tích phân: I = TS Nguyễn Hữu Thọ ∫∫ M (x, y, z )dzdx ; I3 = S ∫∫ L(x, y, z )dydz 2019 -2020 cách tương tự S + Tính thơng qua định lý phân nhánh: Định lý phân nhánh (Định lý Gauss).Thông lượng trường vectơ F xuyên qua mặt đóng (S ) tích phân divF miền (giới nội) R có biên (S ) : ∫∫ F.ndS = ∫∫∫ divFdV S R n VTPT đơn vị định hướng mặt (S ) Tính thông qua Định lý Stokes Định lý Stokes : Nếu S mặt R với biên đường cong C kín , thơng lượng trường véc tơ F dọc theo C tích phân S tích vơ hướng véc tơ pháp tuyến đơn vị curlF : ∫ F.dR = ∫∫∫ (curlF).ndS C S Các phép tính : a) Gradient Gradient trường vô hướng w = f (x, y, z ) ℝ : ∇f = ∂f ∂f ∂f i+ j+ k ∂x ∂y ∂z b) Toán tử div Nếu F(x, y, z ) = L(x, y, z )i + M (x, y, z )j + N (x, y, z )k trường vectơ, thành phần L(x, y, y ), M (x, y, z ), N (x, y, z ) có đạo hàm riêng Khi độ phân nhánh F divF = ∇.F = ∂L ∂M ∂N + + ∂x ∂y ∂z c) Curl: Tích có hướng ∇ F : ∇×F = i j ∂ ∂x L ∂ ∂y M k ∂N ∂M ∂L ∂N ∂M ∂L ∂ i + j + k = − − − ∂z ∂x ∂z ∂z ∂x ∂y ∂y N Đại lượng vectơ gọi vectơ xoáy F thường ký hiệu curlF, nên ta có ∂N ∂M ∂L ∂N ∂M ∂L i + j + k curlF = ∇ × F = − − − ∂y ∂z ∂x ∂z ∂x ∂y 117 nhtho.wordpress.com Bài giảng môn Giải tích hàm nhiều biến TS Nguyễn Hữu Thọ 2019 -2020 Tích phân bội ba a Tính tích phân lặp hàm biến b Tính tích phân bội ba: Đưa tích phân lặp i Nếu miền lấy tích phân R có dạng { } R = a ≤ x ≤ b, y1(x ) ≤ y ≤ y2 (x ), z1 (x , y ) ≤ z ≤ z (x , y ) Chú ý: Chiếu miền R lên xOy ta miền D, trường hợp ta nhận thấy: { } D = a ≤ x ≤ b, y1(x ) ≤ y ≤ y2 (x ) Khi đó: b ∫∫∫ f (x, y, z )dV = ∫ R a y2 (x ) z2 (x ,y ) ∫ ∫ f (x , y, z )dz dy dx = y (x ) z1 (x ,y ) ii Nếu miền lấy tích phân R có dạng { b y2 (x ) z (x ,y ) ∫ ∫ ∫ f (x , y, z )dzdydx a y1 (x ) z1 (x ,y ) } R = x 1(y ) ≤ x ≤ x (y ), c ≤ y ≤ d, z1 (x , y ) ≤ z ≤ z (x , y ) Lúc chiếu miền R lên xOy ta miền D: { } D = x 1(y ) ≤ x ≤ x (y ), c ≤ y ≤ d Và : d ∫∫∫ f (x, y, z )dV = ∫ R c x2 (y ) z2 (x ,y ) ∫ ∫ f (x , y, z )dz dx dy = x (y ) z x ,y ( ) c Tính thể tích : Thể tích miền R ℝ : Th.t (R) = d x (y ) z (x ,y ) ∫ ∫ ∫ f (x , y, z )dzdxdy c x (y ) z1 (x ,y ) ∫∫∫ dV R d Tích phân bội ba tọa độ trụ ∫∫∫ fdV R = ∫∫∫ f (r cos θ, r sin θ )rdrd θdz R (r ,θ ,z ) e Tích phân bội ba tọa độ cầu ∫∫∫ fdV = ∫∫∫ f (ρ sin φ cos θ, ρ sin φ sin θ, ρ cos φ)ρ sin φd ρd φd θ R 118 R nhtho.wordpress.com Bài giảng mơn Giải tích hàm nhiều biến TS Nguyễn Hữu Thọ 2019 -2020 MỘT SỐ ĐỀ TỰ LUYỆN TẬP ĐỀ SỐ Câu Cho hàm ẩn z = z(x, y) thỏa mãn hệ thức: x + y + z + 6xyz = Tính đạo hàm riêng cấp z theo x theo y Câu Tìm cực trị hàm: f (x , y ) = 10 + x + 3y , với điều kiện x + y = 1; x > 0, y > Câu Tính tích phân bội hai: I = ∫∫ 3ydxdy, D miền giới hạn đường thẳng x + 2y = D parabol x = − y Câu Tính tích phân đường: I = x + y 2dx + xy + y ln(x + x + y dy ∫ C đường tròn (C) theo chiều dương: x + y = Câu Tính thơng lượng trường véc tơ F = x i + y j + z k phía ngồi mặt tứ diện Ω : x = 0; y = 0; z = 0; x + y + z = ĐỀ SỐ Câu Viết phương trình pháp tuyến tiếp diện điểm (−2,1, −3) mặt: (E): x2 z2 + y2 + = Câu Tìm cực trị tự hàm hai biến: z (x ; y ) = x + xy + y – 3x – 6y Câu Tính tích phân bội hai: I = ∫∫ x + y 2dxdy, với D miền giới hạn đường tròn x + y = x D Câu Tính tích phân đường: I = ∫ (x ) + y dx − 4xydy , C (C ) biên tam giác OAB từ O(0;0) đến A(0;1) đến B(−1;0) trở O(0;0) Câu Dùng tích phân bội ba tính thể tích vật thể giới hạn mặt: z = 0; y = 1; y = x z = x + y 119 nhtho.wordpress.com Bài giảng mơn Giải tích hàm nhiều biến TS Nguyễn Hữu Thọ 2019 -2020 ĐỀ SỐ Câu Cho hàm số w (x ; y ) = f (2x − 2y ; 5y − 5x ) có đạo hàm riêng liên tục Chứng minh yw x + xw y = Câu Tìm cực trị hàm số hai biến: z = (x − y )e y Câu Tính diện tích miền nằm góc phần tư thứ giới hạn hai đường tròn x + y = 4; x + y = 16 hai đường thẳng y = x ; y = x Câu Xét (C ) đường cong nối từ gốc tọa độ tới điểm A(1;1) Hãy chứng minh tích phân I = ∫ y(e xy − y )dx + x (e xy − 2y )dy C không phụ thuộc vào đường lấy tích phân; sau tính tích phân cách chọn đường (C ) cụ thể x3 y3 i + j + zk qua mặt vật thể R bị giới 3 2 2 hạn mặt paraboloid: z = − x − y , z = x + y Câu Tính thơng lượng trường véc tơ F= ĐỀ SỐ f (x, y, z ) = x + Câu Tìm tốc độ thay đổi lớn y z điểm P (3; 4; − 2) véc tơ cho ta giá trị lớn Câu Tìm cực trị hàm số Câu Tính tích phân I = z = xy(3 − x − y ) ∫∫ D y =x y= D miền giới hạn đường x x =2 , Câu Tính tích phân đường : , x2 dxdy , y2 K =∫ C −xy dx + ln(1 + x )dy , với C biên miền giới hạn 1+x đường y = 0, x + y = 2, x = Câu Sử dụng tích phân bội ba tính thể tích miền bị chặn phía mặt phẳng z = 2x phía mặt z = x + y CHÚC CÁC EM THI ĐẠT KẾT QUẢ CAO! 120 nhtho.wordpress.com