Đinh Ngọc Thanh Bùi Lê Trọng Thanh Huỳnh Quang Vũ GIẢI TÍCH HÀM || f ||p Bài giảng Bài giảng Giải tích hàm Đinh Ngọc Thanh, Bùi Lê Trọng Thanh, Huỳnh Quang Vũ Bản ngày 3 tháng 2 năm 2023 ii Đây là tóm[.]
Bài giảng GIẢI TÍCH HÀM || f ||p Đinh Ngọc Thanh Bùi Lê Trọng Thanh Huỳnh Quang Vũ Bài giảng Giải tích hàm Đinh Ngọc Thanh, Bùi Lê Trọng Thanh, Huỳnh Quang Vũ Bản ngày tháng năm 2023 ii Đây tóm tắt số nội dung lí thuyết danh sách tập dùng cho môn MTH10403 Giải tích hàm trình độ đại học Khoa Tốn - Tin học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh Giải tích hàm mơn sinh viên có hiểu biết khơng gian vô hạn chiều Các kiến thức cần thiết cho nhiều chun ngành tốn lí thuyết lẫn ứng dụng Đây nơi mà khả tiếp thu sử dụng lí luận tốn học trừu tượng xác tiếp tục rèn luyện kiểm tra Phần đơng sinh viên học mơn từ học kì thứ tư trở sau Tóm tắt nội dung học phần: khơng gian mêtríc (nhắc lại), khơng gian định chuẩn, ánh xạ tuyến tính liên tục định lý chúng, không gian Hilbert Dấu ✓ tập để lưu ý người đọc tập đặc biệt có ích quan trọng, nên làm Những phần có đánh dấu * tương đối khó nâng cao so với yêu cầu chung môn học Biên soạn: Đinh Ngọc Thanh, Bùi Lê Trọng Thanh, Huỳnh Quang Vũ (người biên tập, email: hqvu@hcmus.edu.vn) Địa chỉ: Khoa Toán - Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh Các góp ý vui lịng gởi cho người biên tập Bản tài liệu này, mã nguồn, có https://sites.google.com/view/hqvu/teaching Tài liệu dùng quyền Public Domain (CC0) http://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0/, áp dụng được, khơng dùng quyền Creative Commons Attribution 4.0 International License http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/ Mục lục Giới thiệu 1 Khơng gian mêtríc 1.1 Mêtríc 1.2 Đóng, mở, hội tụ, liên tục 1.3 Không gian compắc không gian đầy đủ 1.4 Bài tập 14 Không gian định chuẩn 17 2.1 Không gian vectơ 17 2.2 Không gian định chuẩn 19 2.3 Không gian định chuẩn hữu hạn chiều 23 2.4 Không gian ℓ 𝑝 26 2.5 Không gian hàm liên tục 28 2.6 Không gian 𝐿 𝑝 34 2.7 Các đề tài khác 39 2.8 Bài tập 42 Ánh xạ tuyến tính liên tục 53 3.1 Chuẩn ánh xạ tuyến tính liên tục 53 3.2 Tính chuẩn 56 3.3 Ánh xạ tuyến tính khơng gian hữu hạn chiều 59 3.4 Không gian ánh xạ tuyến tính liên tục 62 3.5 Một số ánh xạ tuyến tính liên tục đặc biệt 63 3.6 Định lý Hahn–Banach 64 3.7 * Các đề tài khác 68 3.8 Bài tập 70 Khơng gian Hilbert 4.1 Khơng gian tích 77 77 iii iv MỤC LỤC 4.2 Phép chiếu vng góc 4.3 Phiếm hàm tuyến tính liên tục 4.4 Họ trực chuẩn 4.5 * Khai triển Fourier 4.6 Bài tập 85 89 90 100 102 Hướng dẫn học tiếp 111 Gợi ý cho số tập 113 Tài liệu tham khảo 115 Chỉ mục 117 Giới thiệu Vào kỉ 18, 19, phát triển vượt bậc châu Âu thời đại Khai sáng Cách mạng công nghiệp thúc đẩy khảo cứu học thuật thực dụng Trong có khảo cứu Bernoulli, Euler, Lagrange, Fourier nhiều người khác tượng vật lí, truyền sóng truyền nhiệt Trong khảo sát này đối tượng cần tìm hàm số, chẳng hạn nhiệt độ hàm số vị trí thời điểm, tượng thường miêu tả phương trình hàm Nghiên cứu phương trình đưa đến việc tính chất tập hợp hàm chiếm vị trí trung tâm Chẳng hạn để biết phương trình có nghiệm hay khơng dẫn tới khảo sát ánh xạ tập hợp hàm, hay việc xấp xỉ nghiệm dẫn tới nhu cầu đưa cách đo độ khác biệt hàm Đáng ý nhiều tập hợp hàm có cấu trúc khơng gian tuyến tính vơ hạn chiều, ví dụ tập hợp đa thức hay tập hợp hàm số liên tục Từ có nhu cầu khảo sát khái niệm giải tích hội tụ liên tục không gian vô hạn chiều Môn Giải tích hàm miêu tả sơ lược ngắn gọn giải tích khơng gian tuyến tính vơ hạn chiều Từ đầu kỉ 20 Giải tích hàm định hình phát triển nhanh chóng, vừa phát triển nội toán học, vừa nhu cầu khoa học kĩ thuật Ngày Giải tích hàm trở thành phần tốn học mơn Giải tích hàm trở thành mơn sở chương trình đào tạo đại học ngành tốn MỤC LỤC Chương Khơng gian mêtríc Khơng gian mêtríc phát triển tương tự khơng gian Euclid, tập hợp có khoảng cách Ở chương ôn tập số tính chất khơng gian mêtríc có liên quan tới mơn giải tích hàm Những nội dung có mơn Giải tích 2, người học nên ơn tập, đọc lại giáo trình [17, 18] nhiều tài liệu khác [4], [10] Trong phần nhắc lại nhấn mạnh việc hiểu ý nghĩa khả liên hệ phần kiến thức không kiểm tra tính đắn mệnh đề Một số mệnh đề quan trọng với mơn Giải tích hàm khơng kết mà cịn lý luận giải thích chứng minh, người học nên làm lại để củng cố 1.1 Mêtríc Mêtríc nghĩa khoảng cách ¹ Một khơng gian mêtríc tập hợp có khoảng cách phần tử Khoảng cách tổng quát cần có tính chất tổng kết từ khoảng cách Euclid không gian R𝑛 mà ta sử dụng môn học trước 1.1.1 Định nghĩa Cho 𝑋 tập hợp không rỗng Một ánh xạ 𝑑:𝑋×𝑋 → R (𝑥, 𝑦) ↦→ 𝑑 (𝑥, 𝑦) gọi mêtríc 𝑋 tính chất sau thỏa với 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋: (a) 𝑑 (𝑥, 𝑦) ≥ 0, 𝑑 (𝑥, 𝑦) = ⇐⇒ 𝑥 = 𝑦 (xác định dương), (b) 𝑑 (𝑥, 𝑦) = 𝑑 (𝑦, 𝑥) (đối xứng), (c) 𝑑 (𝑥, 𝑦) ≤ 𝑑 (𝑥, 𝑧) + 𝑑 (𝑧, 𝑦) (bất đẳng thức tam giác) ¹Trong tiếng Anh từ metric có nghĩa “cách đo”, có họ hàng với từ metre (mét) CHƯƠNG KHƠNG GIAN MÊTRÍC 𝑥 𝑦 𝑧 Hình 1.1.2: Bất đẳng thức tam giác Cặp (𝑋, 𝑑) gọi khơng gian mêtríc hay khơng gian có khoảng cách Mỗi phần tử tập 𝑋 cịn gọi điểm Khơng gian mêtríc (𝑋, 𝑑) hay viết vắn tắt 𝑋 mêtríc 𝑑 ngầm hiểu khơng cần xác định cụ thể 1.1.3 Ví dụ (khơng gian Euclid R𝑛 ) Với 𝑛 ∈ Z+ , tập hợp R𝑛 = {(𝑥 , 𝑥 , , 𝑥 𝑛 ) | 𝑥 ∈ R, 𝑥 ∈ R, , 𝑥 𝑛 ∈ R} với mêtric Euclid 𝑑 ((𝑥 , 𝑥 , , 𝑥 𝑛 ), (𝑦 , 𝑦 , , 𝑦 𝑛 )) = q (𝑥1 − 𝑦 ) + (𝑥2 − 𝑦 ) + · · · + (𝑥 𝑛 − 𝑦 𝑛 ) gọi không gian Euclid thực 𝑛-chiều Đặc biệt 𝑛 = khơng gian mêtríc Euclid R có mêtríc thơng thường cho giá trị tuyệt đối hiệu hai số thực, 𝑑 (𝑥, 𝑦) = |𝑥 − 𝑦|, khoảng cách hai số thực, vốn quen gọi đường thẳng Euclid Việc khoảng cách Euclid thỏa bất đẳng thức tam giác kiểm sau Xét bất đẳng thức 𝑑 (𝑥, 𝑦) + 𝑑 (𝑦, 𝑧) ≥ 𝑑 (𝑥, 𝑧) tức 𝑛 Õ ! 21 (𝑦𝑖 − 𝑥𝑖 ) + 𝑖=1 𝑛 Õ ! 12 (𝑧𝑖 − 𝑦𝑖 ) ≥ 𝑖=1 𝑛 Õ ! 21 (𝑧𝑖 − 𝑥𝑖 ) 𝑖=1 Viết 𝑎𝑖 = (𝑦𝑖 − 𝑥𝑖 ), 𝑏𝑖 = (𝑧𝑖 − 𝑦𝑖 ) bất đẳng thức trở thành 𝑛 Õ 𝑖=1 ! 21 𝑎𝑖2 + 𝑛 Õ 𝑖=1 ! 12 𝑏𝑖2 ≥ 𝑛 Õ 𝑖=1 ! 12 (𝑎𝑖 + 𝑏𝑖 ) (1.1.4) ... sát khái niệm giải tích hội tụ liên tục không gian vô hạn chiều Môn Giải tích hàm miêu tả sơ lược ngắn gọn giải tích khơng gian tuyến tính vơ hạn chiều Từ đầu kỉ 20 Giải tích hàm định hình phát... Bài giảng Giải tích hàm Đinh Ngọc Thanh, Bùi Lê Trọng Thanh, Huỳnh Quang Vũ Bản ngày tháng năm 2023 ii Đây tóm tắt số nội dung lí thuyết danh sách tập dùng cho mơn MTH10403 Giải tích hàm. .. mơn Vi tích phân hàm biến hàm nhiều biến Vì ta kế thừa tất kết có giới hạn liên tục không gian Euclid 1.2.12 Ví dụ Các hàm số thực sơ cấp hàm lũy thừa